ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMATICOS

Modelo matemtico: Con frecuencia se desea describir el comportamiento de algn sistema o

fenmeno de la vida real en trminos matemticos; dicho sistema puede ser fsico, sociolgico o hasta

econmico. La descripcin matemtica de un sistema o fenmeno se llama modelo matemtico y se

forma con ciertos objetivos en mente; por ejemplo, podramos tratar de comprender los mecanismos de

cierto ecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones de animales, o podramos tratar de

fechar fsiles analizando la desintegracin de una sustancia radiactiva, sea en el fsil o en el estrato

donde se encontraba.

La formulacin de un modelo matemtico de un sistema se inicia:

a) Mediante la identificacin de las variables causantes del cambio del sistema. Podremos elegir no

incorporar todas las variables en el modelo desde el comienzo. En este paso especificamos el nivel de

resolucin del modelo.

b) Establecemos un conjunto de hiptesis razonables acerca del sistema que tratamos de describir. Estas

hiptesis incluyen todas las leyes empricas aplicables al sistema.

Para algunos fines quiz baste contar con modelos de baja resolucin; por ejemplo, en los cursos bsicos

de fsica el lector habr advertido que al modelar el movimiento de un cuerpo que car cerca de la

superficie de la Tierra, se hace caso omiso de la resistencia del aire. Pero si el lector es un cientfico cuyo

propsito es predecir con exactitud la trayectoria de vuelo de un proyectil de largo alcance, deber

tener en cuenta la resistencia del aire y otros factores, tales como la curvatura de la Tierra.

Dado que la hiptesis acerca de un sistema implica con frecuencia la razn o tasa, de cambio de un o

ms de las variables, el enunciado matemtico de todas esas hiptesis es una o ms ecuaciones donde

intervienen derivadas. En otras palabras, el modelo matemtico puede ser una ecuacin o un sistema de

ecuaciones diferenciales.

Una vez formulado un modelo matemtico (sea una ecuacin diferencial o un modelo de ellas),

llegamos al problema de resolverlo, que no es fcil en modo alguno. Una vez resuelto, juzgamos que el

modelo es razonable y su solucin es consistente con los datos experimentales o los hechos conocidos

acerca del comportamiento del sistema. Si las predicciones que se basan en la solucin son deficientes,

podemos aumentar el nivel de resolucin del modelo, o elaborar hiptesis alternativas sobre los

mecanismos de cambio del sistema; entonces, se repiten los pasos del proceso de modelado, como se

muestra en el diagrama N 1.

Al aumentar la resolucin, aumentamos la complejidad del modelo matemtico y la probabilidad de que

no lleguemos a una solucin explicita.

Con frecuencia, el modelo matemtico de un sistema fsico incluir la variable , el tiempo. En este caso,

una solucin del modelo expresa el estado del sistema; en otras palabras, para valores adecuados de ,

los valores de la o las variables dependientes describen el sistema en el pasado, presente y futuro.

Dinmica de poblaciones: Uno de los primeros intentos de modelar matemticamente el crecimiento

demogrfico humano lo hizo el economista ingles Thomas Malthus en 1798. En esencia, la idea del

modelo malthusiano es la hiptesis de que la tasa de crecimiento de la poblacin de un pas crece en

forma proporcional* a la poblacin total, (), de ese pas en cualquier momento . En otras palabras,

entre mas personas haya en el momento , mas habr en el futuro. En trminos matematicos, esta

hiptesis se puede expresar

o sea

=

donde es una constante de proporcionalidad. A pesar de que este sencillo modelo no tiene en cuenta

muchos factores (por ejemplo, inmigracin y emigracin) que puede influir en las poblaciones humanas,

hacindolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la poblacin de los Estados Unidos desde

1790 hasta 1860. Las poblaciones que crecen con la tasa descrita por la ecuacin (1) son raras, sin

embargo, se sigue usando la ecuacin para modelar el crecimiento de poblaciones pequeas en

intervalos cortos de tiempo (por ejemplo, el crecimiento de bacterias en un disco de Petri).

Desintegracin radiactiva: El ncleo de un tomo est formado por combinaciones de protones y

neutrones. Muchas de esas combinaciones son inestables; esto es, los tomos se desintegran, o se

convierten en tomos de otras sustancias. Se dice que estos ncleos son radiactivos; por ejemplo, con el

tiempo, el radio Ra 226, intensamente radiactivo, se transforma en gas radn, Rn 222, tambin

radiactivo. Para modelar el fenmeno de la desintegracin radiactiva, se supone que la tasa con que los

ncleos de una sustancia se desintegran (decaen) es proporcional a la cantidad (con ms precisin, el

nmero de ncleos) () de sustancia que queda al tiempo :

o sea

=

Por supuesto que las ecuaciones (1) y (2) son exactamente iguales; la diferencia radica en la

interpretacin de los smbolos y de las constantes de proporcionalidad. En el caso del crecimiento, como

cabe de esperar en (1), > 0, y en el caso de la desintegracin, como en (2), < 0.

El modelo (1) de crecimiento tambin puede verse en la ecuacin

= que describe el crecimiento

de un capital invertido continuamente a una tasa anual de inters compuesto. El modelo de

Hiptesis Expresar la hiptesis en trminos

de ecuaciones diferenciales

Formulacin matemtica

Si es necesario modificar la hiptesis

o aumentar la resolucin del

modelo

Resolver las

ecuaciones

diferenciales

Comparar las predicciones del

modelo con hechos conocidos

Obtener soluciones

Mostrar las predicciones del modelo.

Por ejemplo en forma grfica

(1)

(2)

*Si dos cantidades y son proporcionales, se escribe . Esto quiere decir que una cantidad es mltiplo constante de

la otra: = .

desintegracin (2) tambin se aplica a sistemas biolgicos; por ejemplo, la determinacin de la vida

media o periodo medio de una medicina ; es decir, el tiempo que tarda el organismo en eliminar 50%

de ella, sea por excrecin o por metabolizacin. En qumica, el modelo de decaimiento de la ecuacin (2)

aparece en la descripcin matemtica de una reaccin qumica de primer orden. El concepto es el

siguiente:

Una sola ecuacin diferencial puede ser un modelo matemtico de muchos fenmenos distintos.

Con frecuencia, los modelos matemticos se acompaan de condiciones definitorias; por ejemplo, en las

ecuaciones (1) y (2) cabria esperar conocer una poblacin inicial, 0 , y la cantidad inicial de la sustancia

radiactiva, 0, respectivamente. Si el tiempo inicial se define como = 0, sabemos que 0 = 0 y que

0 = 0. En otras palabras, un modelo matemtico est formado por un problema de valor inicial, o

tambin por un problema de valores de frontera.

Ley de Newton del enfriamiento o calentamiento: Segn la ley emprica de Newton acerca del

enfriamiento, la razn con que cambia la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre

su temperatura y la del medio que le rodea, que es la temperatura ambiente. Si () representa la

temperatura del objeto al tiempo , es la temperatura constante del medio que lo rodea y

es la

razn con la que la temperatura del cuerpo cambia, la ley de Newton del enfriamiento-calentamiento se

traduce en el enunciado matemtico:

o sea

= ( )

donde es una constante de proporcionalidad. En ambos casos, calentamiento o enfriamiento, si es

constante, es razonable suponer que < 0.

Propagacin de una enfermedad: Una enfermedad contagiosa la gripe, por ejemplo se propaga en

una comunidad, por contacto entre las personas. Denotemos con () el numero de personas que han

contrado la enfermedad y con () en nmero de personas que no han estado expuestas, todava al

contagio. Parece razonable suponer que la razn

a la que se propaga la enfermedad es proporcional

al nmero de encuentros o interacciones entre estos dos grupos de personas. Si suponemos que el

nmero de interacciones es conjuntamente proporcional a () y () esto es, proporcional al

producto entonces:

=

donde es la constante de proporcionalidad usual. Suponga una pequea comunidad con una

poblacin fija de personas. Si una persona infectada se introduce en esta comunidad, entonces se

podra argumentar que () y () estan relacionadas por + = + 1. Usando esta ecuacin para

eliminar en (4) obtenemos el modelo:

= ( + 1 )

Una condicin inicial obvia que acompaa a la ecuacin (5) es 0 = 1

(3)

(4)

(5)