lectura de operaciones con gráficas
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Lectura de Graficación de Funciones
Transformaciones de Funciones
En esta sección estudiamos la forma en que ciertas transformaciones de una función afectan su grafica. Esto nos dará una mejor comprensión acerca de cómo graficar funciones. Las transformaciones que estudiaremos son el desplazamiento, la reflexión y el alargamiento o compresión vertical. Además, revisaremos algunas propiedades de las gráficas.
Desplazamiento Vertical de las GráficasEn general suponga que conocemos la gráfica de Cómo obtenemos a partir de ella la gráfica de
y cxfy )( (c>0)
La ecuación nos dice que las coordenadas y de cada punto de su gráfica está c unidades por encima de la del punto correspondiente de la . Así, obtenemos la gráfica de
+ c simplemente desplazando la gráfica de hacia arriba en c unidades. Resumimos estas observaciones en el recuadro que sigue.
Ecuación Cómo obtener la gráfica
Apariencia de la Gráfica
Desplace la gráfica de hacia arriba
en c unidades
Desplace la gráfica de hacia abajo c
unidades
x
c
y
0
cxfy )(
)(xfy
c
y
0
)(xfy
cxfy )(
x
Desplazamiento Horizontal de las Gráficas
En general, supongamos que conocemos la gráfica de . ¿Cómo usamos esto para obtener las de y (c>0)
El valor de en x es el mismo que el de en x-c. Dado que x-c está a c unidades a la izquierda de x, de ahí se desprende que la gráfica de es simplemente la de desplazada c unidades hacia la derecha. Un razonamiento similar demuestra que la gráfica de
es la de corrida hacia la izquierda c unidades. El siguiente recuadro resume todo lo anterior.
Ecuación Cómo obtener la gráfica
Apariencia de la gráfica
Desplace la gráfica de
hacia la derecha c unidades
Desplace la gráfica de
hacia la izquierda c unidades
Gráficas Reflejadas
0x
y
c
)( cxfy
)(xfy
x0
y
c
)( cxfy
)(xfy
Suponga que conocemos la gráfica de . ¿Cómo obtenemos a partir de ella las de y ?. La coordenada y de cada punto sobre la gráfica de es
simplemente la negativa de la del punto correspondiente sobre la de . Así, la gráfica deseada es la reflexión de la de respecto al eje x. El valor de en x es el mismo que el de en –x, y por lo tanto la gráfica buscada es la reflexión de la de
respecto al eje y. El recuadro siguiente resume estas observaciones.
Ecuación Cómo obtener la gráfica
Cuál es la apariencia de la gráfica
Refleje la gráfica de en el eje x
Refleje la gráfica de en el eje y
Alargamiento o Compresión Vertical de las Gráficas
0 x
y
)(xfy
)(xfy
0
y
x x
)(xfy
)( xfy
Suponga que conocemos la gráfica de . ¿Cómo obtenemos a partir de ella la de ? La coordenada y de en x es la misma que la de multiplicada por a. La multiplicación de la ordenada y por a tiene el efecto de alargar o encoger verticalmente (dependiendo si a >1 o 0< a <1) la gráfica por un factor igual a .
Ecuación Cómo obtener la gráfica
Cuál es la apariencia de la gráfica
Alargue la gráfica
verticalmente por un factor igual a
Encoja la gráfica
verticalmente por un factor igual a
Encogimiento y compresión horizontal de las Gráficas
y
x0
)(xfy
)(xafy
y
x0
)(xfy
)(xafy
Ahora veremos el encogimiento y alargamiento horizontal de las gráficas. Si conocemos la gráfica de , ¿cómo está relacionada con ésta la gráfica de ? La ordenada de
en es la misma que la de en . Por lo tanto, las absicsas en la gráfica de corresponden a las de multiplicadas por Viendo esto en sentido contrario,
notamos que las abscisas de la gráfica de son las de la gráfica de
multiplicadas por , como se resume en el recuadro siguiente.
Ecuación Cómo obtener la gráfica
Cuál es la apariencia de la gráfica
Encoja la gráfica de horizontalmente por un factor de
Alargue la gráfica de
horizontalmente por un factor de
Funciones Pares e ImparesSi una función satisface para todo número en su dominio, entonces se le conoce como función par. Por ejemplo, la función es par porque
y
x0
)(xfy
)(axfy
y
x0
)(xfy
)(axfy
El significado geométrico de una función de este tipo es que su gráfica es simétrica respecto al eje . Esto quiere decir que si hemos trazado la gráfica de para , entonces podemos obtener toda la gráfica simplemente reflejando lo trazado respecto al eje .
Si satisface para todo número en su dominio, entonces se le conoce como función impar. Por ejemplo, la función es impar porque
La gráfica de una función de este tipo es simétrica respecto al origen. Si hemos trazado la gráfica de para para, entonces podemos obtener toda la gráfica girando lo graficado 180° alrededor del origen. (Esto es equivalente a primero reflejarla respecto al eje , y después respecto al eje .)
Definición Simetría de la gráfica de
Cuál es la apariencia de la gráfica
es par si para todas
las en su dominio
La gráfica de es simétrica respecto al eje
es impar si para
todas las en su dominio
La gráfica de es simétrica con respecto al origen
y
xx-x
)(xf)( xf
0
y
x0
)( xf
)(xf