lecciones de algebra elemental (rev 2014)

Francisca Ferreira Castro Lecciones de lgebra elemental MATERIAL EDUCATIVO DE DISTRIBUCIN GRATUITA CORTESIA DE LA AUTORA

Ultima actualizacin agosto del 2014 1997-2014. Francisca Ferreira Castro

Se permite reproducir este material para propsitos educativos solamente. Este material se proporciona sin ninguna garanta expresa o implcita. sese bajo su propio riesgo.

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CCUUAADDEERRNNOOSS 33

LLEECCCCIIOONNEESS

DDEE

AALLGGEEBBRRAA EELLEEMMEENNTTAALL

F.M. Francisca Ferreira Castro

Agosto del ao 2014. Morelia, Mich. Mxico.




2

INTRODUCCION.-

Al iniciar el estudio de cualquier rama de la ciencia y en particular de la

matemtica, como el lgebra, es fundamental que se establezca de manera clara

el lenguaje que se usar en el desarrollo y estudio de tal o cual rama del

conocimiento. Mientras que en la aritmtica usamos los nmeros reales tal y como

ellos son, es decir, como nmeros especficos, en el lgebra usaremos las letras

del alfabeto de manera simblica para representar a los nmeros especficos de

tal manera que el uso de LITERALES nos permitir considerar las propiedades

generales de los nmeros y no sus atributos especficos. As, la notacin que

emplearemos en el lgebra es simple y compacta.

En nuestro caso, iniciaremos el estudio del lgebra elemental recordando

los conjuntos numricos y las propiedades de los nmeros reales; y para evitar

confusiones mencionaremos a continuacin LOS TERMINOS Y LA NOTACION

ms usuales para desarrollar sin problemas esta rama de la matemtica.

LOS CONJUNTOS NUMERICOS.

Los conjuntos de nmeros que se utilizan en la aritmtica son los siguientes:

Los nmeros naturales: = {1, 2,3,...}.

Tradicionalmente se dice que los nmeros naturales, representados por , son los

que sirven para contar. Este conjunto tiene un nmero infinito de elementos. Posteriormente se construyeron los naturales negativos que al asociarse con el

cero dieron lugar a los nmeros enteros representados por el siguiente conjunto:

= {...,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,...}.




3

Despus se construyeron los nmeros racionales: Que son todos aquellos

nmeros que se pueden escribir como el cociente de dos nmeros enteros, es

decir, los que se pueden escribir como una fraccin. Los nmeros racionales se representan de la siguiente manera:

= { x = ; donde a y b son enteros y b 0}

Ejemplos de nmeros racionales son: , , 1/2, 5/7, 12/30, etc.

- Los nmeros que tienen un nmero finito de decimales, son racionales. Por ejemplo: 2/3=0.66666666666666666666666666666667

- Los nmeros que son peridicos, son racionales. Por ejemplo: 5/7=0.71428571428571428571428571428571

Existen, sin embargo, una gran cantidad de nmeros que no se pueden escribir

como una fraccin o como el cociente de dos enteros; estos nmeros son los que

se conocen como los nmeros irracionales y se representan por el siguiente

conjunto:

= { x ; donde a y b son enteros y b 0}

Ejemplos de nmeros irracionales son: 2, 3, , etc.

- Los nmeros que tienen infinitos decimales y no son peridicos, son irracionales.

Si unimos todas las clases de nmeros anteriormente mencionados en un solo

conjunto, se construye el conjunto de los nmeros reales, representado por y

que definimos como el conjunto de todo tipo de nmeros. Si ahora tomamos una

recta y a cada punto de la recta le asociamos un nmero real, entonces habremos

construido la recta real.




4

LAS PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES. Si ahora se definen en las operaciones de suma y multiplicacin, encontraremos

que se cumplen una serie de propiedades muy importantes, que son las siguientes:

Si consideramos que a, b, c y d, son nmeros reales cualesquiera, entonces: Se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad de cerradura. a + b es un nmero real

ab es un nmero real

Esto es, si se suman o multiplican dos nmeros reales, se obtiene como resultado otro nmero real.

Existencia del elemento neutro o idntico. Para la suma: Cero (0) es el elemento neutro para la suma y tiene la propiedad de que al sumarse con cualquier otro nmero real lo deja igual, o sea:

a + 0 = 0 + a = a

Para la multiplicacin: Uno (1) es el elemento neutro para la multiplicacin ya que tiene la propiedad de que si se multiplica con cualquier nmero real, lo deja

igual, o sea:

1a = a1 = a

Existencia de elemento inverso. Para la suma: Para cualquier nmero real a, existe otro nmero real (-a), con la propiedad de que al sumarse ambos nmeros se obtiene el neutro aditivo, o sea:

a + (-a) = 0




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(-a) se llama el inverso aditivo de a. Por ejemplo, el inverso aditivo de 4 es -4; el inverso aditivo de 15 es -15; el inverso aditivo de -5 es -(-5) = 5; el inverso aditivo

de 250 es -(-250) = 250; etc.

Para la multiplicacin: Para cualquier nmero real a, existe otro nmero real (a-1) con la propiedad de que si se multiplican, se obtiene el neutro multiplicativo, o sea,

a (a-1) = (a-1) a = 1

(a -1) se llama el inverso de a y se escribe como

, o sea, =

.

Por ejemplo, qu nmero multiplicado por 5 da como resultado 1?, o sea,

5(?)=1. Sol.

; de igual manera, qu nmero multiplicado por

da como

resultado 1?, o sea (

) (?) = 1. Sol (

) = 7. Observar que:

=

=

Observacin:

=

=

Propiedad conmutativa. El orden en que se sumen o se multipliquen dos nmeros, no altera el resultado.

a + b = b + a y ab = ba

Propiedad asociativa. Tres o ms nmeros reales se pueden sumar o multiplicar en cualquier orden.

(a + b) + c = a + (b + c) y (ab)c = a(bc)




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Propiedad distributiva. Esta propiedad nos dice que el producto se distribuye sobre la suma; ntese que un producto se transforma en una suma.

a (b + c) = ab + ac

Con estas propiedades, el conjunto de los nmeros reales ( ) bajo las

operaciones de suma ( + ) y multiplicacin ( ), constituye la estructura algebraica

denominada campo de los nmeros reales.

NOTACION Y TERMINOLOGIA ALGEBRAICA.

Como ya se dijo, mientras que en la aritmtica usamos los nmeros reales

tal y como ellos son, es decir, como nmeros especficos, en el lgebra usaremos

las letras del alfabeto de manera simblica para representar a los nmeros

especficos de tal manera que el uso de literales nos permitir considerar las propiedades generales de los nmeros y no sus atributos especficos. As, la notacin que emplearemos en el lgebra es simple y compacta.

Con base en lo anterior, diremos entonces que:

3, -1, 5, -15647,... etc. son nmeros especficos.

a, b, c, d,... x, y, z, etc. son nmeros generales, literales o variables.

Los smbolos +, -, y se reconocen como los smbolos algebraicos de operacin binaria.

Los smbolos < (menor que), > (mayor que), (menor o igual a), (mayor o igual

a), (para todo), (existe al menos) y (pertenece a); se reconocen como los smbolos algebraicos de relacin.




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2a, 7x, 6xy, abc,... etc. simplemente representan el producto de nmeros

especficos por variables o el producto de variables.

Los smbolos de agrupacin como los parntesis ( ), llaves { } y corchetes [ ] se utilizan para indicar que se efectuar ms de una operacin.

Por ejemplo, 2x + 5(x - 1) significa que a 2x le sumaremos cinco veces (x - 1).

Quitar, suprimir o eliminar los smbolos de agrupacin significa que se efectuarn

las operaciones indicadas por ellos; se eliminarn los smbolos de uno en uno

iniciando con los que sean ms interiores siguiendo el orden que indiquen las

mismas operaciones.

Cada uno de los elementos de una suma se denomina SUMANDO. En a + b, a y b son los sumandos. Cada uno de los elementos contenidos en un producto se llama FACTOR del producto. De esta manera, los factores de 7ab son 7, a, b, 7a, 7b y ab.

Un TERMINO ALGEBRAICO no es otra cosa que un nmero, una variable, un

producto de ellos, un cociente de los mismos o una raz. Por ejemplo, las

cantidades: 89, 12a, xy, ()

, w9c, etc. son trminos algebraicos.

En cualquier trmino algebraico se pueden distinguir dos componentes: EL

COEFICIENTE y LA VARIABLE. Generalmente el coeficiente es el primer

elemento de un trmino y puede ser un nmero especfico o una constante

representada por una literal; por ejemplo, si A es una constante, y x es una

variable, entonces en Ax, A es el coeficiente; de igual forma, en 23xy, 23 es el

coeficiente.




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Cuando no aparezca ningn nmero especfico o literal como constante en un

trmino como por ejemplo en xy, se considerar que el trmino tiene coeficiente

1, ya que (1)(xy) = xy.

Si un trmino no tiene especificado un signo que lo preceda, como en 12xy, se

tomar como implcito el signo +.

El coeficiente de un trmino puede ser asociado a cualquier elemento del trmino

y no slo al primero. Ejemplo 5xy=x5y.

Se denominan TERMINOS SEMEJANTES a aquellos trminos que poseen

factores literales idnticos; por ejemplo: 3xyz, -12zyx, yxz son trminos

semejantes. Por otra parte, 23xy y 56xz, no son trminos semejantes.

Una EXPRESION ALGEBRAICA es una combinacin de trminos mediante la

adicin o la sustraccin. Por ejemplo, 34, 7x - 4y, 7abc + 9 x/y y 2a, son ejemplos

de expresiones algebraicas.

Las expresiones algebraicas se clasifican segn el nmero de trminos que

contengan. Una expresin algebraica que est compuesta por varios trminos

unidos mediante las operaciones de adicin, sustraccin o multiplicacin se

denomina un POLINOMIO.

Un MONOMIO es un polinomio que contiene slo un trmino, como 4xy.

Un BINOMIO es un polinomio que contiene solamente dos trminos, como 2x - y

a + b.

Un polinomio que contiene tres trminos se denomina TRINOMIO, por ejemplo:

7x + 2y -5ab y a2 + 2ab + b2 son trinomios.




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Una expresin de la forma an se conoce como EXPRESION EXPONENCIAL. En una expresin exponencial como la anterior, a es la base y n es el exponente.

UN POLINOMIO EN UNA VARIABLE es una expresin algebraica de la forma

P(x) = an xn + an-1 x n-1 +... + a1 x + a0

donde n es un nmero natural, x es una variable y los coeficientes a0, a1, ..., an son constantes. Por, ejemplo P(x) = 2x4+7x3+9x2+12x-23 es un polinomio de una

variable. P(x) se lee P de x y significa que el polinomio representado por P depende de la variable x. Si tuviramos dos variables, por ejemplo x e y, entonces P(x,y) se lee P de xy y significa que el polinomio

representado por P depende de las variables x e y.

UN POLINOMIO CON MAS DE UNA VARIABLE es una expresin algebraica que

tiene uno o ms trminos de la forma ai xm yn... zp, donde los exponentes m, n,..., p

son nmeros naturales y los coeficientes, ai, son constantes. A los exponentes

tambin se les llama la potencia de la variable. Por ejemplo, 12x3y4+5xy2+2xyz es

un polinomio con ms de una variable.

Si los coeficientes de P(x) son nmeros reales y la o las variables toman valores

en el conjunto de los nmeros reales, entonces P(x) se llama un POLINOMIO

REAL.

El GRADO DE UN TERMINO en un polinomio es la potencia de la variable que

aparece en el trmino; si hay ms de una variable, entonces la suma de las

potencias de las variables, en el trmino, constituye el grado del trmino. Por

ejemplo, 2x2 es de segundo grado; mientras que 3x4y2 es de sexto grado.

EL GRADO DE UN POLINOMIO lo obtenemos del grado del trmino con mayor

grado en el polinomio. Por ejemplo, el polinomio 2x2y5 + 3x3 + 7y8 + 12 es de

octavo grado porque el trmino de mayor grado es 7y8.




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Una constante distinta de cero se define como un POLIOMIO DE GRADO CERO.

Por ejemplo 23 es un polinomio de grado cero,

El nmero 0 (cero) se llama POLINOMIO CERO y no tiene grado definido.

Operaciones entre polinomios.

En la primera parte se estudi el lenguaje algebraico y la notacin ms usual en el

lgebra elemental. As, se estableci, por ejemplo, que dos trminos son

semejantes si estn definidos en las mismas variables y con los mismos

exponentes; y que si dos o ms trminos semejantes aparecen en un polinomio,

estos se pueden reducir a uno slo simplemente sumando los coeficientes.

Se estableci, tambin, que una cantidad exponencial es una expresin de la

forma an, donde a, nmero real, se llama la base y n, nmero natural, es el

exponente o potencia y se define como:

an = aaa ... a (n veces a).

Al iniciar el estudio de los polinomios y las operaciones entre ellos, es necesario

establecer las siguientes PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES.

Si x e y, son nmeros reales y n y m son nmeros naturales, entonces se cumple que:

1.- xn xm = xn+m 2.- (xy)n = xn yn

3.- (xn)m = xnm 4.- x

yn = xn

yn , con y 0




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xn-m s n > m

5.- xn

xm= 1 s n = m

1

xmn s m > n y x 0

6.- 1

xn = x-n , si x 0

Estas propiedades junto con las propiedades de los nmeros reales nos permitirn

efectuar con facilidad las operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin de

polinomios, de la siguiente manera.

Adicin y sustraccin de polinomios.

La adicin y sustraccin de polinomios con una o ms variables se efecta

quitando los smbolos de agrupacin que aparezcan y reduciendo los trminos

semejantes; este proceso se basa fundamentalmente en la propiedad asociativa

(que nos permite quitar o poner smbolos de agrupacin en la operacin de la

adicin), en la propiedad distributiva y en el hecho de que cualquier expresin que

contenga la sustraccin se puede convertir en una adicin (x - y = x + (- y)).

EJEMPLO. Dados los polinomios P(x) = 2(x2 + 5) y Q(x) = x2 +2x + 13, hallar:

P(x) + Q(x) y P(x) - Q(x).

SOLUCION:

P(x) + Q(x) = 2(x2 + 5) + x2 +2x + 13 = 2 x2 + 10 + x2 +2x + 13 = 3 x2 + 2x + 23.

P(x) - Q(x) = 2(x2 + 5) (x2 +2x + 13) = 2 x2 + 10 - x2 -2x - 13 = x2 - 2x 3




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Ntese que la adicin y la sustraccin de polinomios se pueden efectuar

mentalmente y de manera mecnica simplemente quitando los smbolos de

agrupacin y reduciendo los trminos semejantes.

EJERCICIO. Quitar todos los smbolos de agrupacin y simplificar.

1.- 3(y2 + 2y) - (y2 - 2y + 1)

2.- (3x - 5y) - (7x - 4(y + 8)).

3.- 2x2 - {14 - 7 (2x - 5x (4 - 2x))}.

4.- -(14 - 7x (2x + 3)) - {12x2 + 4x (5 + (2x - 1))}.

Multiplicacin de polinomios.

Ya se vio, con cierta extensin, que para quitar los smbolos de agrupacin se

tiene que usar, entre otras, la propiedad distributiva; y precisamente en esta

propiedad se basa el principio que permite la multiplicacin de polinomios de una

manera sencilla y clara, ya que para multiplicar dos polinomios cualesquiera se

multiplica cada trmino de uno por cada trmino del otro y el resultado se

simplifica reduciendo los trminos semejantes.

Ejemplo. Realizar la siguiente multiplicacin: (5x + 2) (3x2 - 2x + 1).

Solucin: Existen dos maneras de efectuar la multiplicacin; la primera es la

siguiente:

(5x + 2)(3x2 - 2x + 1)= 5x (3x2 - 2x + 1) + 2(3x2 - 2x + 1)

= 15x3 - 10x2 + 5x + 6x2 - 4x + 2

= 15x3 - 4x2 + x + 2.

la segunda manera es la siguiente:




13

3x2 - 2x + 1

5x + 2

15x3 - 10x2 + 5x

6x2 - 4x + 2

15x3 - 4x2 + x + 2

El lector deber realizar la multiplicacin de las dos maneras sealadas. Es de

hacer notar que el procedimiento para la multiplicacin de polinomios es nico y

que vale independientemente si se multiplica un monomio por un binomio o por un

trinomio, un binomio por un binomio o por un trinomio, etc.; asimismo es

recomendable ordenar los polinomios en orden decreciente de potencias de la

variable y si hay varias variables se toma una como referencia.

EJERCICIO. Efectuar las siguientes multiplicaciones y simplificar el resultado.

1.- 4x (3x2 - 5x +2y - 4)

2.- 2x2 (2xy - 5x +2y - 8)

3.- (2x2 - 3y) (7xy - 8x + 3y -1)

4.- (3x2 -2y2) (x - y + 14)

5.- (12x2 - 19x3 - 4x - 5 + 16x5 - 13x7) (1 - x x2 x3 x4 x5).

Productos notables.

Definicin.- Son aquellos productos de polinomios cuyo desarrollo se conoce fcilmente por simple observacin. Entre ellos estn los siguientes:




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El cuadrado de la suma o diferencia de dos cantidades o binomio al cuadrado.

( a b )2 = a2 2ab + b2 El cuadrado de la suma o diferencia de dos trminos es igual al cuadrado del primer trmino ms (o menos) el doble producto de ambos trminos ms el cuadrado del segundo trmino. (La expresin a2 2ab + b2 se conoce como trinomio cuadrado perfecto) Ejemplo. Desarrollar el siguiente binomio al cuadrado: (5x + 7)2. Sol. (5x + 7)2 = (5x)2 + 2(5x) (7) + (7)2 = 25x2 + 70x + 49

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, binomios conjugados o diferencia de cuadrados

( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

La suma de dos trminos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del

primer trmino menos el cuadrado del segundo trmino.

Ejemplos.

(x + 3)(x - 3) = x2 9

(x y)(x + y) = x2 y2

Cubo de una suma o diferencia de dos cantidades

( a b )3 = a3 3a2b + 3ab2 b3




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El cubo de la suma (o diferencia) de dos trminos es igual al cubo del primer

trmino ms (o menos) el triple producto del cuadrado del primer trmino por el

segundo trmino ms el triple producto del primer trmino por el cuadrado del

segundo trmino ms (o menos) el cubo del segundo trmino. Note que en el caso

de la diferencia los signos van alternados.

Ejemplos.

(2x 3)3 = (2x)3 3(2x)2(3) + 3(2x) (3)2 (3)3 = 8x3 36x2 + 54x 27

(x + 2)3 = x3 + 3(x)2(2) + 3(x) (2)2 + (2)3 = x3 + 6x2 +12x + 8

Producto de dos binomios que tienen un trmino comn

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

El producto de dos binomios de esta forma que tienen un trmino comn es igual

al cuadrado del trmino comn ms la suma de los trminos no comunes

multiplicado por el trmino comn ms el producto de los trminos no comunes.

Ejemplos.

(x + 2)(x + 5) = x2 + (2 + 5)x + (2)(5) = x2 + 7x + 10

(x 1)(x + 3) = x2 + ((-1) + 3)x + (-1)(3) = x2 + 2x - 3

Factorizacin.

Antes de iniciar con el tema de factorizacin es necesario recordar uno de los

conceptos que se utilizarn con mucha frecuencia.




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Factor comn.- se llama as al factor que aparece en cada uno de los trminos de

un polinomio.

Ejemplo 1.

Consideremos la siguiente expresin: 2ax2 - 4ay + 8a2x

Analicemos trmino por trmino:

El primer trmino podemos expresarlo como: 2axx = (2a) xx = (2a) x2

El segundo trmino podemos expresarlo como: -22ay = -2(2a)y = (2a) (2y)

Finalmente el tercer trmino podemos expresarlo como:

42aax =4(2a)ax = (2a) (4ax).

Como podemos observar en los tres trminos que componen el polinomio

tenemos el trmino 2a, a este trmino se le conoce como factor comn.

De esta forma 2ax2 - 4ay +8a2x, puede expresarse como: 2a (x2 - 2y + 4ax); o sea,

2ax2 4ay + 8ax= (2a) x2 - (2a) (2y) + (2a) (4ax) = 2a(x2 2y + 4ax)

El ejemplo anterior nos muestra que factorizar significa transformar una suma en una multiplicacin. No existen frmulas para la factorizacin, sin embargo, la experiencia con los productos notables nos permitir reconocer cundo una

expresin algebraica es el producto resultante de factores conocidos.

Decimos que factorizamos completamente cuando llegamos a una expresin en

que cualquier factorizacin posterior produce nmeros fraccionarios.

Ejemplo 2.

Factorizar 2x + 6y.

2x + 6y podemos expresarlo como 2x + 23y




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En este caso los coeficientes son mltiplos de 2; por lo tanto podemos tomar como

factor comn a 2, ya que aparece en ambos trminos del polinomio. Por tanto,

2x + 6y = 2x + 23y = 2(x + 3y)

Ejemplo 3.

Descomponer en factores la expresin siguiente: a(x + 2y) - 3(x + 2y)

En este ejemplo el factor comn es (x + 2y), ya que aparece en los dos trminos

que componen el polinomio, por tanto a(x + 2y) - 3(x + 2y) = (x + 2y) (a - 3)

Factorizacin de un trinomio cuadrado perfecto

Para saber si el polinomio que tenemos lo podemos factorizar como un binomio al

cuadrado, debemos basarnos en la definicin que se dio en el tema anterior.

Ejemplo 1.

Factorizar a2 - 4ab + 4b2

Paso 1. Obtenemos la raz cuadrada del primer trmino: a2 = a

Paso 2. Obtenemos la raz cuadrada del tercer trmino: 4b2 = 2b

Paso 3. Hacemos el doble producto de las races del primer y tercer trmino:

(2) (a) (2b) = 4ab

Como podemos observar el doble producto de las races es igual al segundo

trmino del polinomio dado; por lo que se trata de un trinomio cuadrado perfecto

que se puede escribir como un binomio al cuadrado. Por lo tanto a2 - 4ab + 4b2

podemos expresarlo como (a - 2b)2.




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De esta forma, a2 - 4ab + 4b2 = (a - 2b)2.

Ejemplo 2.

Factorizar 36x2 -18xy4 + 4y8

Paso 1. Obtenemos la raz cuadrada del primer trmino: 36x2 = 6x

Paso 2. Obtenemos la raz cuadrada del tercer trmino: 4y8 = 2y4

Paso 3. Obtenemos el doble producto de las races del primer y tercer trmino:

(2) (6x) (2y4) = 24xy4

Como podemos observar el polinomio no es un trinomio cuadrado perfecto, ya que

el segundo trmino no es igual al doble producto de las races del primero y tercer

trminos.

Diferencia de cuadrados. a2 b2 = (a b) (a + b)

Regla: Se extrae la raz cuadrada al minuendo (1er trmino) y al sustraendo (2

trmino) y se multiplica la suma de estas races por la diferencia de las mismas.

Ejemplo 1.

Factorizar 1 - a2

Realizando los pasos que se mencionan en la regla, tenemos:

Raz cuadrada del minuendo: 1 = 1

Raz cuadrada del sustraendo: a2 = a

Multiplicamos la suma de estas races (1 + a) por la diferencia de las mismas

races (1 - a).




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Por lo tanto: 1 - a2 = (1 + a) (1 - a) (Recordar la definicin de los binomios conjugados)

Ejemplo 2.

Factorizar 16x2 -25y4

Procedemos como en el ejemplo anterior:

Raz cuadrada del minuendo: 16x2 = 4x

Raz cuadrada del sustraendo: 25y4 = 5y2

Multiplicamos la suma de estas races (4x + 5y2) por la diferencia de las mismas

races (4x - 5y2).

Por lo tanto: 16x2 - 25y4 = (4x + 5y2) (4x - 5y2)

Diferencia de cubos. a3 b3 = (a b) (a2 +ab + b2)

Regla: se extrae la raz cbica de cada trmino de la diferencia de cubos y se

multiplica la diferencia de estas races por el polinomio formado por el cuadrado de

la raz del primer trmino ms el producto de las dos races ms el cuadrado de la

raz del segundo trmino.

Ejemplo 1:

Factorizar y3 27

Siguiendo los pasos que se mencionan en la regla se tiene que:

La raz cbica de y3 es y.

La raz cbica de 27 es 3




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Segn la regla establecida y3 - 27 = (y - 3) [(y)2 + (y)(3) + (3)2] Por tanto, y3 - 27 = (y - 3) (y2 + 3y + 9)

Ejemplo 2:

Factorizar 125x3 8

Siguiendo los pasos que se mencionan en la regla se tiene que:

La raz cbica de 125x3 es 5x.

La raz cbica de 8 es 2

Segn la regla establecida 125x3 - 8 = (5x - 2) [(5x)2 + (5x) (2) + (2)2] Por tanto, 125x3 - 8 = (5x - 2) (25x2 + 10x + 4)

Factorizacin de trinomios

Recordemos que el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es de la forma

(a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - 2ab + b2; para poder factorizar un polinomio que

presenta esta forma, veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1:

Factorizar x2 + 2x - 15

En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, as que abrimos dos

parntesis; ahora descomponemos a x2 en x por x y las ponemos en cada

parntesis. As, x2 + 2x 15 = (x ) (x ).

Para completar los dos binomios descomponemos al trmino independiente en

dos nmeros que multiplicados nos d 15 y sumados nos d 2.




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Para este caso particular los nmeros son 5 y -3, ya que al sumarlos (5 3 = 2)

obtenemos 2 y multiplicndolos (5(-3) = -15) obtenemos -15.

Por tanto, x2 + 2x - 15 puede expresarse como: (x - 3) (x + 5).

Factorizacin por agrupacin. Para explicarla, veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.

Factorizar ax ay bx + by

Esta expresin con cuatro trminos no la podemos factorizar en dos binomios con

trminos semejantes.

En este caso el primer paso a seguir es aplicar la propiedad asociativa, que nos

permita encontrar un factor comn para lograr la factorizacin completa.

Aplicando la propiedad asociativa: (ax - ay) - (bx - by)

En el primer binomio (ax - ay) vemos que el factor comn es a, por lo tanto

podemos expresarlo como: a(x - y).

En el segundo binomio (bx - by) el factor comn es b, por lo tanto podemos

expresarlo como: b(x - y).

De esta forma: ax ay bx + by podemos expresarlo tambin como:

a(x - y) - b(x - y), que a su vez podemos factorizar; el factor comn es (x - y),

quedando de la siguiente forma: (a - b)(x - y).

Por tanto, ax ay bx + by = (a - b)(x - y).




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Recordemos que cuando la factorizacin es completa, los factores son siempre los

mismos, no importa en qu orden se hayan factorizado.

Ejemplo 2.

Factorizar x2 - y2 + x3 - y3

Aplicando la ley asociativa tenemos: (x2 - y2) + (x3 - y3)

Si tomamos primero el primer binomio (x2 - y2), podemos ver que se trata de una

diferencia de cuadrados, por tanto podemos expresarlo como (x - y) (x + y).

Tomando ahora el segundo binomio, vemos que se trata de una diferencia de

cubos, por tanto podemos expresarlo como ( x - y ) [x2 + xy + y2].

De esta forma: x2 - y2 + x3 - y3 = (x - y) (x + y) + (x - y) [x2 + xy + y2]

En esta ltima expresin podemos ver que (x - y) es el factor comn del polinomio,

por lo que finalmente podemos expresarlo de la siguiente forma:

x2 - y2 + x3 - y3 = (x - y) [(x + y)+(x2 + xy + y2)].

Divisin de polinomios.

Para efectuar la divisin de polinomios procederemos como en la aritmtica, es

decir, identificaremos un dividendo, un divisor, un cociente y un residuo; de esta

manera, si P(x) es el dividendo, D(x) es el divisor, Q(x) es el cociente y R(x) es el

residuo, entonces se deber de cumplir que:

P(x) = D(x) Q(x) + R(x)




23

Que escrito en la forma tradicional de efectuar la divisin se escribe:

Q(x) COCIENTE

DIVISOR D(x) P(x) DIVIDENDO

R(x) RESIDUO

Es de hacer notar que Q(x) es de grado menor que P(x) y que R(x) es de menor

grado que D(x) o es cero. Asimismo, observamos que el grado de D(x) es menor o

igual que el grado de P(x).

La diferencia entre la divisin aritmtica y la divisin de polinomios estriba en que

al efectuar la divisin de polinomios, invariablemente y para facilitar el proceso,

SE ORDENAN EL DIVIDENDO Y EL DIVISOR EN POTENCIAS DECRECIENTES

DE LA VARIABLE colocando las que no aparezcan con coeficiente cero despus de las que si aparecen.

Por ejemplo, para ordenar 3x - 22 + 34x5,

Escribiremos 34x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 3x - 22. (Ntese los coeficientes 0 de las potencias que no aparecen en el polinomio dado)

Una vez que se han ordenado los polinomios en orden decreciente de la variable,

"SE DIVIDE EL PRIMER TERMINO DEL DIVIDENDO, P(x), POR EL PRIMER

TERMINO DEL DIVISOR, D(x), y el resultado ser el primer trmino del cociente

Q(x); a continuacin se multiplica el primer trmino del cociente por cada trmino

del divisor y el resultado se ordena debajo del dividendo y se resta como en la

aritmtica para reducir trminos semejantes. Enseguida se baja el siguiente

trmino al nivel del resultado de reducir los trminos semejantes y se repite el

proceso hasta obtener, como residuo, un polinomio de grado menor que el divisor,

o cero.




24

Ejemplo. Dividir 6x2 - 30 + 9x3 entre 3x - 4.

Solucin: Ordenamos el trinomio dado en potencias decreciente de la variable y

escribimos como en la aritmtica:

3x2 + 6x + 8 COCIENTE

DIVISOR 3x 4 9x3 + 6x2 + 0x 30 DIVIDENDO

-(9x3 -12x2)

18x2 + 0x

-(18x2 -24x)

24x - 30

-(24x - 32)

2 RESIDUO

EJERCICIO.

Efectuar las divisiones siguientes.

1.- (2x2 + x - 6) / (x + 2) 2.- (6x2 + 5x - 6) / (3x - 2)

3.- (y2 - 9) / (y + 3) 4.- (3y y2 + 2y3 - 1) / (y + 2)

DIVISION SINTETICA. La Divisin Sinttica es un procedimiento abreviado para realizar la divisin de un

polinomio P(x) = an xn + an-1 x n-1 +... + a1 x + a0 de grado n, esto es an 0, entre

un polinomio lineal x - c. El procedimiento para realizar esta divisin es muy simple, se toman todos los coeficientes del polinomio P(x) y la constante c y se hace el siguiente arreglo, de tres renglones, que facilitar el proceso:

an an-1 an-2 a1 a0

c

1er rengln

2 rengln

3er rengln




25

A continuacin ''se baja'' el coeficiente an al 3er rengln, a este coeficiente lo

llamaremos bn 1 y se multiplicar por la constante c, el resultado se coloca en el 2 rengln en la segunda columna y se suma al siguiente coeficiente an - 1, al

resultado lo denotaremos como bn 2 y se ubicar en el 3er rengln, este ltimo

resultado se multiplica nuevamente por c, se coloca en el 2 rengln, y se suma al

coeficiente an - 2 y el proceso se repite hasta llegar a a0. Los resultados parciales

que se obtienen se denotan por bn - 1, bn - 2, ... , b1, b0 (se inicia con bn - 1 pues el

cociente tiene un grado menos que el dividendo), y el ltimo valor obtenido se

denota por R, pues es el residuo de la divisin, de esta manera lo que se obtiene

es el siguiente arreglo:

De esta manera, el cociente de la divisin de P(x) por x - c es:

Q(x) = bn - 1xn - 1 + bn - 2xn - 2 + ... + b1x1 + b0

con un residuo R, en donde los coeficientes se detallan como

bn - 1 = an bn - 2 = cbn - 1 + an - 1 bn - 3 = cbn - 2 + an - 2 . . . b1 = cb2 + a2 b0 = cb1 + a1 R = cb0 + a0

an an-1 an-2 a1 a0

cbn-1 cbn-2 cb1 cb0 c an cbn-1+an-1 cbn-2+an-2 cb1+a1 cb0+a0 bn-1 bn-2 bn-3 b0 R

se baja se suman se suman se suman se suman

se le llama




26

EJEMPLO (Divisin Sinttica) Realice la divisin de P(x) = 3x4 + 2x3 - x2 + 4x + 2 entre x + 2.

Solucin

Para aplicar el algoritmo de la divisin sinttica tomaremos los coeficientes de P(x)

y a x+2 lo escribiremos como x-(-2) para tener la forma x-c y as tendremos c=-2

con lo que se obtiene:

As, el cociente de la divisin de P(x) = 3x4 + 2x3 - x2 + 4x + 2 entre x + 2 es

3x3 - 4x2 + 7x - 10 y se obtiene un residuo R = 22.

Resumiendo, se hizo lo siguiente:

1. En el 1er rengln se ordenaron los coeficientes de los trminos en orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde fue necesario, pero en este caso no hizo falta.

2. Despus escribimos c=-2 en la parte derecha del 2 rengln

3. Se baj el coeficiente de la izquierda, o sea 3, al tercer rengln.

4. Multiplicamos este coeficiente, 3, por c=-2 para obtener el primer nmero del segundo rengln que colocamos debajo del 2 termino del 1er rengln (el primer espacio del 2 rengln siempre se deja en blanco).

5. Se suman los coeficientes de manera vertical para obtener el segundo nmero del tercer rengln, o sea -4.

6. Con este ltimo nmero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el ltimo nmero del tercer rengln, que es el residuo.

3 2 -1 4 2

-6 8 -14 20 -2

3 -4 7 -10 22




27

EJEMPLO (Divisin Sinttica) Realice la divisin de x4 -3x2 +5 entre x -3. Solucin: Para aplicar el algoritmo de la divisin sinttica ordenaremos los coeficientes del

polinomio dado en orden descendente de potencias de x rellenando con

coeficiente cero donde sea necesario, por lo que tendremos el polinomio dado de

la siguiente forma P(x)= x4+0x3-3x2+0x+5 y adems c=3 con lo que tendremos el

arreglo de la divisin de la siguiente forma despus de ejecutar los pasos

enumerados anteriormente:

1 0 -3 0 5

3 9 18 54 3

1 3 6 18 59

As, el cociente de la divisin de P(x) entre x - 3 es x3 +3x2 + 6x +18 y se obtiene

un residuo R = 59.




28

Ecuaciones lineales o de primer grado.

La ecuacin 2x - 3 = 0 se llama ecuacin lineal en una variable. Obviamente slo

tiene una solucin ya que slo un valor de x hace que la igualdad se cumpla.

La ecuacin -3x + 2y = 7 se llama ecuacin lineal en dos variables. Sus

soluciones son pares ordenados de nmeros. Tiene infinitas soluciones que se

obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.

La ecuacin x - 2y + 5z = 1 se llama ecuacin lineal en tres variables. Sus

soluciones son ternas ordenadas de nmeros. Tiene infinitas soluciones que se

obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las otras dos.

En general, una ecuacin lineal en "n" variables es del tipo:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + + anxn = b

donde los valores a1, a2, a3, , an son los coeficientes; el valor b es el trmino

independiente y x1, x2, x3, , xn son las incgnitas o variables.

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas.

Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultneamente varias

ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. Tambin

resultan muy tiles en geometra (las ecuaciones lineales se interpretan como

rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posicin relativa de

estas figuras geomtricas en el plano o en el espacio).

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas es un arreglo de

ecuaciones de la forma:




29

a1x + b1y = c1 (1)

a2x + b2y = c2 (2)

donde a1, a2, b1 y b2 son los coeficientes, c1 y c2 son los trminos independientes y

todos son constantes (nmeros reales) y x e y son las incgnitas o variables.

Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar los valores de las

incgnitas que hagan que las igualdades (1) y (2) sean ciertas; para encontrar

tales valores, que constituyen la solucin del sistema, se pueden emplear varios

mtodos de solucin:

1.- Mtodo grfico (solucin aproximada).

2.- Mtodo de eliminacin o de sumas o restas.

3.- Mtodo de sustitucin.

4.- Mtodo de igualacin.

5.- Mtodo por determinantes.

1.- Mtodo grafico.

Este mtodo consiste en trazar la grfica de cada una de las ecuaciones dadas,

que por ser ecuaciones de primer grado, son rectas, y encontraremos que:

a) si las rectas se cortan en un punto, entonces la solucin del sistema de

ecuaciones son las coordenadas del punto de interseccin de las dos rectas.

b) si las rectas son paralelas, entonces el sistema de ecuaciones NO TIENE

SOLUCION y en este caso se dice que el sistema es "inconsistente".




30

Si en la ecuacin: x + y = 6 se sustituye x = 0, entonces se

obtiene que y = 6, y por tanto

encontramos el punto (0,6). Por

otro lado, si ahora se sustituye

y = 0 en la ecuacin, entonces

se encuentra que x = 6 y as se

localiza el punto (6,0).

Por tanto, la recta representada

por la ecuacin x + y = 6 pasa por los puntos (0,6) y (6,0).

Si en la ecuacin: 3x y = 2 se sustituye x = 0, entonces se

encuentra que y = -2, y por tanto

encontramos el punto (0,-2). Por

otra parte, si ahora se sustituye

y = 0 en la ecuacin, entonces se

encuentra que x = 2/3 y as se localiza el punto (2/3,0).

Por tanto, la recta representada

por la ecuacin 3x y = 2 pasa por los puntos (0,-2) y (2/3,0).

NOTA: Las coordenadas del punto de interseccin, si este existe, no siempre se

pueden leer exactamente, de esta manera, la solucin grfica resulta ser

aproximada.

Ejemplo. Encontrar grficamente la solucin del sistema de ecuaciones

x + y = 6 y 3x - y = 2

SOLUCION. Se dibujan las grficas de las rectas correspondientes a las dos

ecuaciones en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.

Para trazar las grficas es suficiente localizar dos puntos de cada recta, ya que

sabemos que por dos puntos pasa una nica recta, as:




31

La grfica de estas dos rectas se muestra en la siguiente figura.

La solucin del sistema son las coordenadas del punto de interseccin, o sea

(2,4), es decir, x = 2 e y = 4.

2.- Mtodo de eliminacin o de sumas o restas.

Este mtodo consiste en tratar de hacer que los coeficientes de cualquiera de las incgnitas, en cada una de las ecuaciones, sean iguales y de signo contrario, cuando se logra se suman las ecuaciones resultantes y de esta manera se eliminar una de las incgnitas y tendremos como resultado una ecuacin de

primer grado con una sola incgnita cuya solucin es fcil de obtener. Una vez

que tenemos el valor numrico para una de las incgnitas, este se sustituye en

cualquiera de las ecuaciones originales y se obtiene el valor de la otra incgnita; al

conocer los dos valores procedemos a sustituirlos en las ecuaciones originales

para comprobar que la solucin obtenida es la correcta.

x + y = 6

3x - y =




32

Ejemplo. Utilizando el mtodo de eliminacin o de sumas o restas, hallar la

solucin al siguiente sistema de ecuaciones

3x + 2y = 12 ------ (1) y 5x - 3y = 1 ------- (2)

SOLUCION. Observamos cuidadosamente las dos ecuaciones dadas y vemos

que los trminos que contienen a y ya son de signos contrarios, por lo que tendremos que hacer que sean iguales; para ello, multiplicaremos la ecuacin (1)

por 3 y multiplicaremos la ecuacin (2) por 2 y de esta manera tendremos que los

coeficientes de y son iguales y de signos contrarios como se quera.

3x + 2y = 12 (multiplicamos cada trmino de esta ec. por 3 y se obtiene) 9x + 6y = 36

5x - 3y = 1 (multiplicamos cada trmino de esta ec. por 2 y se obtiene) 10x - 6y = 2

sumando, obtenemos 19x + 0 = 38, o sea,

19x = 38, de donde, x = 38 / 19 = 2, por tanto x = 2.

Sustituyendo este valor de x = 2 en la ecuacin (1) se obtiene:

3(2) + 2y = 12, o sea, 6 + 2y = 12, es decir, 2y = 12 - 6, o sea, 2y = 6, de

donde, y = 6 / 2 = 3, por tanto, y = 3.

Por lo tanto, la solucin del sistema de ecuaciones es: x = 2 e y = 3.

Para comprobar que la solucin obtenida es la correcta, se sustituyen los valores

encontrados para x e y en las ecuaciones originales.




33

3.- Mtodo de sustitucin.

El mtodo de sustitucin, para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos

incgnitas, consiste en despejar de una de las ecuaciones dadas una de las

incgnitas y el resultado se sustituye en la otra ecuacin. Con este procedimiento

se elimina una de las incgnitas dando como resultado una ecuacin de primer

grado con una sola incgnita, misma que se resuelve muy fcilmente.

El procedimiento anterior lo podemos sistematizar de la siguiente manera:

a) Se elige una de las dos ecuaciones dadas.

b) Se despeja una de las incgnitas de la ecuacin elegida.

c) El resultado del paso anterior se sustituye en la otra ecuacin dada y as

obtendremos una ecuacin con una sola incgnita.

d) Se resuelve la ecuacin obtenida en el paso anterior y obtendremos el valor

numrico de una de las incgnitas.

e) El valor numrico obtenido en el paso anterior se sustituye en la ecuacin

obtenida en el segundo paso y as obtendremos el valor numrico de la otra

incgnita, con lo cual tendremos ya la solucin del sistema de ecuaciones.

Ejemplo. Utilizando el mtodo de sustitucin, encontrar la solucin del siguiente

sistema de ecuaciones.

5x + 3y = 14 ---------------- (1)

7x - 3y = -2 ---------------- (2)

SOLUCION. De la ecuacin (1) despejaremos a x:




34

Restamos 3y en ambos lados de la ec. (1):

5x + 3y - 3y = 14 - 3y, de donde obtenemos 5x = 14 - 3y.

Dividiremos esta ltima ecuacin entre 5 para despejar a x: 5x

5= 143y

5 , de donde obtenemos que x = 143y

5 --------------- (3)

Sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (2) se obtiene:

7 143y

5 - 3y = - 2, si multiplicamos esta ltima ec. por 5 obtenemos

7 ( 14 - 3y ) - 15y = - 10, o sea, 98 - 21y - 15y = - 10, es decir, 98 - 36y = - 10,

de donde obtenemos 98 + 10 = 36y, o sea 36y = 108,

y de aqu se obtiene que y = 108 / 36 = 3. Por tanto, y = 3.

Sustituyendo y = 3 en la ec. (3) obtendremos que x = 143(3)5

= 1495

= 55

= 1 Por tanto, x = 1.

De esta manera hemos encontrado que la solucin del sistema de ecuaciones es:

x = 1 y y = 3. Para comprobar que esta es la solucin correcta se sustituyen los valores

encontrados en las ecuaciones originales.




35

4.- Mtodo de igualacin.

Este mtodo para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas

consiste en despejar de cada una de las ecuaciones dadas la misma incgnita y a

continuacin igualar los resultados obtenindose, as, una ecuacin con una sola

incgnita misma que se resuelve muy fcilmente.

Ejemplo. Resolver, por el mtodo de igualacin, el siguiente sistema de

ecuaciones

x + 2y = 1 -------- (1)

2x + 5y = 4 -------- (2)

SOLUCION. Despejaremos a x de cada una de las ecuaciones dadas e

igualaremos los resultados.

De la ec. (1): x + 2y - 2y = 1 - 2y, de donde x = 1 - 2y ------- (3)

De la ec. (2): 2x + 5y - 5y = 4 - 5y, de donde, 2x = 4 - 5y, o sea, x = 45y2

-- (4)

Igualando las ecuaciones (3) y (4) se obtiene que 1-2y = 4 - 5y2 , de donde 2 ( 1 - 2y ) = 4 - 5y , o sea, 2 - 4y = 4 - 5y, de donde, 2 + 5y - 4y = 4 - 5y + 5y , o

sea, 2 + y = 4, de donde, 2 + y - 2 = 4 - 2, es decir, y = 2 .

Sustituyendo este valor en la ecuacin (3) obtendremos el valor para x, es decir:

x = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3, por tanto, x = - 3.

De lo anterior concluimos que la solucin del sistema de ecuaciones es:

x = - 3 e y = 2.

Para comprobar que la solucin encontrada es la correcta, se sustituyen los

valores encontrados en las ecuaciones originales.




36

5.- Mtodo por determinantes.

Un determinante es un arreglo rectangular de nmeros de la forma

a11 a12

= a11 a22 - a21 a12

a21 a22

Los elementos de un determinante se representan por una sola letra con doble

subndice por conveniencia. El primer nmero en el subndice representa el

rengln en el que est el elemento y el segundo nmero del subndice indica la

columna. As, a12 es el elemento del primer rengln y segunda columna; a21 es el

elemento del segundo rengln y primera columna.

El valor numrico del determinante se obtiene al efectuar la operacin sealada en

el lado derecho de la expresin para el determinante, es decir, a11 a22 - a21 a12.

Ejemplo. Encontrar el valor del determinante

Sol.

= (-3)(7) (5)(4) = -21 - 20 = - 41

Ejercicio. Encontrar el valor de

a) b)

-3 4 5 7

-3 4 5 7

-1 -2 -5 -8 11 7 20 5

Se multiplican a11 por a22 y al resultado se le resta el producto de a21 por a12.




37

Para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incgnitas

utilizando los determinantes, observaremos que del sistema de ecuaciones

siguiente:

a1x + b1y = c1 (1)

a2x + b2y = c2 (2)

podemos construir tres determinantes utilizando los coeficientes de las incgnitas

y los trminos independientes; es decir, podemos construir, primero el

determinante formado por los coeficientes de las incgnitas que llamaremos el

determinante del sistema y lo representaremos por la letra (delta mayscula), de la siguiente manera:

=

Podemos construir el determinante que llamaremos el determinante para x, y que

representamos por x, al sustituir la primera columna de por la columna

formada por los trminos independientes, de la siguiente manera:

x =

Finalmente podemos construir el determinante que llamaremos el determinante

para y, y que representaremos por y, al sustituir la segunda columna del

determinante del sistema por la columna de los trminos independientes, de la

siguiente manera:

y =

a1 b1 a2 b2

c1 b1 c2 b2

a1 c1 a2 c2




38

3 -2 1 3

8 -2 -1 3

3 8 1 -1

Con esto es muy fcil encontrar la solucin de un sistema de dos ecuaciones con

dos incgnitas, ya que simplemente utilizaremos las siguientes frmulas:

x = x / y

y = y /

Nota. Si el determinante del sistema es cero, eso significa que el sistema de ecuaciones no tiene solucin.

Ejemplo.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3x 2y = 8

x + 3y = -1

Solucin.

El determinante del sistema es = = (3)(3) (1)(-2) = 9 + 2 = 11

El determinante para x es x = = (8)(3) (-1)(-2) = 24 2 = 22

El determinante para y es y = = (3)(-1) (1)(8) = -3 -8 = -11




39

De esta manera, la solucin para x es:

x = x / = 22 / 11 = 2.

y la solucin para y es:

y = y / = -11 / 11 = -1

Para verificar que los valores encontrados son la solucin del sistema de

ecuaciones, se sustituyen dichos valores en las ecuaciones dadas y si las

igualdades se mantienen, entonces la solucin es correcta.

Sustituyendo x = 2 e y = -1 en la primera de las ecuaciones del sistema se obtiene

que: 3(2) 2(-1) = 6 + 2 = 8, que es el valor dado.

Sustituyendo x = 2 e y = -1 en la segunda ecuacin del sistema se obtiene que:

2 + 3(-1) = 2 3 = -1, que es el valor dado.

Por tanto la solucin encontrada es correcta.

Nota. Este procedimiento se puede extender a sistemas de ecuaciones con tres o

ms incgnitas utilizando los determinantes correspondientes; por desgracia ese

tema queda fuera del alcance de este trabajo.

Ejercicios. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.

1) 3x 4y = -2 2) 2x 3y = 7 3) 4x + 6y = 12

-6x + 8y = 1 -3x + y = -7 2x + 3y = -6




40

La ecuacin de 2 grado en una variable o incgnita.

Una ecuacin de segundo grado o ecuacin cuadrtica con una incgnita, x, es

una ecuacin de la forma:

2 + + = 0, con 0

conocida como la forma general o forma cannica de la ecuacin de 2 grado, donde a, b y c son nmeros reales y a 0 para asegurar que exista el

termino en x2.

La ecuacin de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:

1.- Completa: Si en la forma cannica: ax2+bx+c = 0, los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero. En este caso la ecuacin admite (en los nmeros reales)

dos posibilidades para las soluciones: dos nmeros reales diferentes o dos

nmeros reales iguales (un nmero real doble).

Se resuelven por factorizacin, por el mtodo de completar el cuadrado o por la

frmula general. La frmula general se muestra ms adelante.

2.- Incompleta pura: Si es de la forma: ax2+c = 0, donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones elementales y su

solucin son dos races reales que difieren en el signo si los valores de a y c

tienen signo contrario. Si los valores de a y c tienen el mismo signo, la ecuacin no

tiene solucin en los reales.

3.- Incompleta mixta: Si es de la forma: ax2+bx = 0, donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorizacin de x y siempre tiene la

solucin trivial x1 = 0.




41

Existen varios mtodos para resolver las ecuaciones cuadrticas. El mtodo

apropiado para resolver una ecuacin cuadrtica depende del tipo de ecuacin

cuadrtica que se tenga que resolver. En este curso utilizaremos los siguientes

mtodos: solucin por la formula general, por factorizacin y completando el

cuadrado.

Solucin de la ecuacin de 2 grado por la frmula general.

Diremos que la ecuacin general de 2 grado completa tiene siempre dos

soluciones reales, no necesariamente distintas, llamadas races, mismas que se

obtienen aplicando la frmula general siguiente:

1,2 = 2 42 donde el smbolo "" indica que tendremos las dos races siguientes:

1 = + 2 42 y 2 = 2 42 Que son las dos soluciones de la ecuacin cuadrtica. Es interesante observar

que esta frmula tiene las seis operaciones racionales del lgebra elemental.

La expresin b2 4ac dentro de la raz cuadrada se conoce como el discriminante y su valor nos dar informacin sobre la naturaleza de las dos soluciones de la ecuacin de 2 grado, es decir:

1. Si b2 4ac > 0, tendremos dos soluciones reales y diferentes; 2. Si b2 4ac = 0, tendremos una solucin real doble; 3. Si b2 4ac < 0, la solucin no existe.




42

Ejemplo.

Encontrar las races, si existen, de la ecuacin 3x2 4x + 1 = 0.

Solucin. Comparamos esta ecuacin con la ecuacin general y encontramos que a = 3, b = - 4 y c = 1, sustituyendo en la formula general tenemos:

1,2 = (4) (4)2 4(3)(1)2(3) = 4 16 126 = 4 46 = 4 26

De donde x1 = 6/6 = 1 y x2 = 2/6 = 1/3

Solucin de la ecuacin de 2 grado por factorizacin. Para utilizar este mtodo la ecuacin cuadrtica debe estar igualada a cero. Luego

expresar el lado de la ecuacin que no es cero como un producto de factores.

Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.

Ejemplo. Encontrar por factorizacin las races de la ecuacin cuadrtica x2 + 6x - 7 = 0. Solucin. Cuando se estudiaron los productos notables aprendimos como

factorizar este tipo de trinomios; recordaremos que para encontrar los factores de

este trinomio se descompone x2 en x por x y el termino independiente, o sea -7, se

descompone en dos factores que multiplicados den -7 y sumados den el

coeficiente del trmino en x, o sea 6; as -7 lo descomponemos en (7)(-1) ya que

estos factores multiplicados dan -7 y sumados dan 6, de esta manera la ecuacin

cuadrtica dada la factorizamos como: x2 + 6x - 7 = (x + 7)(x - 1) = 0; para que

este producto sea 0 se requiere que (x + 7) = 0, en cuyo caso encontraremos que

x = -7, o tambin que (x - 1) = 0, en cuyo caso encontraremos que x = 1. Por tanto

las races de la ecuacin cuadrtica x2 + 6x - 7 = 0 son x1 = 1 y x2 = -7.




43

Solucin de la ecuacin de 2 grado completando el cuadrado. Completar el cuadrado significa construir un trinomio cuadrado perfecto cuando

conocemos los primeros dos trminos de una ecuacin cuadrtica. Esto es,

trinomios de la forma: x2 + bx + ? = (x + ?)2. Al completar el cuadrado queremos obtener una ecuacin equivalente que tenga

un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuacin equivalente, el

nmero que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuacin.

En este mtodo, la ecuacin tiene que estar en la forma ax2+bx+c; y

siempre buscaremos que el coeficiente de x2 sea igual a 1.

Para hallar el trmino independiente de x2 + bx + ? y completar el cuadrado para

tener un trinomio cuadrado perfecto, se suma y se resta a la expresin dada la mitad al cuadrado del coeficiente del trmino en x. Esto es, el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros trminos son x2 + bx es:

2 + + 22

22 = +

22

22, de aqu observamos que hemos

construido un trinomio cuadrado perfecto completando el cuadrado, o sea

encontramos que 2 + + 22 = +

22

Ejemplo

Resolver la siguiente ecuacin x2 + 6x - 7 = 0 por el mtodo de completar el

cuadrado.

Solucin. Completaremos el cuadrado sumando y restando en la ecuacin dada la

mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado, o sea sumaremos y restaremos a

la ecuacin dada (6/2)2 = (3)2 y tendremos: x2 + 6x + (3)2 (3)2 7 = 0, de donde,




44

x2 + 6x + (3)2 9 7 = 0, o sea tenemos que (x + 3)2 16 = 0, de donde

encontraremos que (x + 3)2 = 16, ahora sacaremos raz cuadrada en ambos lados

de la igualdad y obtendremos que x + 3 = 4, de donde x = -3 4, por tanto las

soluciones de la ecuacin cuadrtica son x1 = -3 + 4 = 1 y x2 = -3 - 4 = -7.

Para verificar que estas son las races correctas se sustituyen en la ecuacin dada

y obtendremos una identidad en ambos casos.

Ejercicios.

Encontrar las races o soluciones, si existen, de las siguientes ecuaciones

cuadrticas utilizando el mtodo adecuado.

01) x2 = 81 02) 14x2 - 28 = 0 03) (x + 6)(x - 6) = 13 04) (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0 05) (x + 11)(x - 11) = 23 06) x2 = 7x 07) 21x2 + 100 = - 5 08) 2x2 - 6x = 6x2 - 8x

09) (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16 10) (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1) 11) x2 + 12x + 35 = 0 12) x2 - 3x + 2 = 0 13) x2 + 4x =285 14) 5x(x - 1) - 2(2x2 - 7x) = - 8 15) (x + 2)2 = 1 - x(x + 3

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lecciones de algebra elemental (rev 2014)

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