lecciones algebra lineal

LECCIONES DE

ALGEBRA LINEAL

Libro de trabajo para

estudiantes y guıa didactica

del docente

Vivian Libeth Uzuriaga Lopez

Alejandro Martınez Acosta

GRUPO DE INVESTIGACION

EMEMATIC

xy

z

Plano xy

Plano

xzPlano yz

I

II

III

IV

V

V I

V III

Universidad Tecnologica de Pereira

Facultad de Ciencias Basicas

Departamento de Matematicas

LECCIONES DE ALGEBRA LINEAL. Libro de trabajo para estudiantes y

guıa didactica del docente

c© Vivian Libeth Uzuriaga Lopez. Autor

Profesora titular


c© Alejandro Martınez Acosta. Autor

Profesor asociado


Grupo de investigacion EMEMATIC1

Primera edicion, Pereira - Risaralda. Agosto de 2010

ISBN 978-958-44-7196-3

Portada: Alejandro Martınez Acosta

Diseno y diagramacion: los autores

Digitacion y elaboracion de dibujos: los autores

Impreso y hecho en Colombia

Impreso por Postergraph S.A.-Cra. 9 No. 7-03 Bodega 1 La Badea - Dosquebradas

Derechos reservados.

Prohibida la reproduccion total o parcial sin autorizacion escrita del titular

de los derechos.

1“Estudios metodologicos para la ensenanza de las matematicas y el uso de las nuevas

tecnologıas”.

Contenido

Presentacion v

1. Sistemas de ecuaciones lineales 1

1.1. Taller pre-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Lecciones de clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Leccion 1. La lınea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2. Leccion 2. Sistemas 2× 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3. Leccion 3. Sistemas m× n . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4. Leccion 4. Matriz asociada. Metodos de solucion . . . . 13

2. Vectores, rectas y planos 21

2.1. Taller pre-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22


2.2.1. Leccion 1. Vectores en el plano . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.2. Leccion 2. Operaciones con vectores en R2 . . . . . . . 32

2.2.3. Leccion 3. Producto escalar en R2 . . . . . . . . . . . . 36

2.2.4. Leccion 4. Vectores en R3 y Rn . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.5. Leccion 5. Operaciones con vectores en R3 y Rn . . . . 41

2.2.6. Leccion 6. Producto escalar en R3 y Rn . . . . . . . . . 44

i

Contenido

2.2.7. Leccion 7. Producto vectorial en R3 . . . . . . . . . . . 46

2.2.8. Leccion 8. Rectas y planos en R3 . . . . . . . . . . . . 49

3. Matrices 53

3.1. Taller pre-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53


3.2.1. Leccion 1. Definicion, operaciones y propiedades . . . . 56

3.2.2. Leccion 2. Producto y propiedades . . . . . . . . . . . 60

3.2.3. Leccion 3. Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . 61

4. Determinantes 65

4.1. Taller pre-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65


4.2.1. Leccion 1. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . 67

4.2.2. Leccion 2. Propiedades (continuacion). Relacion deter-

minante e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5. Espacios vectoriales reales 75

5.1. Taller pre-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75


5.2.1. Leccion 1. Definicion. Subespacios . . . . . . . . . . . . 78

5.2.2. Leccion 2. Combinacion lineal, independencia y

dependencia lineal, espacio generado . . . . . . . . . . 81

5.2.3. Leccion 3. Bases y dimension. Espacios

fundamentales de una matriz . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2.4. Leccion 4. Vector de coordenadas, cambio de base, ba-

ses ortonormales y proyecciones en Rn . . . . . . . . . 90

6. Transformaciones lineales 95

6.1. Taller pre-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

ii

Contenido


6.2.1. Leccion 1. Definicion y propiedades . . . . . . . . . . . 98

6.2.2. Leccion 2. Nucleo e imagen. Representacion

matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7. Valores y vectores propios 107

7.1. Taller pre-clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107


7.2.1. Leccion 1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.2.2. Leccion 2. Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.2.3. Leccion 3. Diagonalizacion ortogonal . . . . . . . . . . 113

7.2.4. Leccion 4. Formas cuadraticas y secciones conicas . . . 115

A. Ejemplos de examenes 121

A.1. Primer parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

A.2. Segundo parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

A.3. Tercer parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

A.4. Examen Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Referencias 128

iii

PRESENTACION

Este libro es resultado de experiencias de aula realizadas con estudiantes de

ingenierıa y tecnologıa de la Universidad Tecnologica de Pereira durante 7

semestres academicos entre 2007 y 2010, en el desarrollo de los proyectos de

investigacion: diagnostico de algunas causas que obstaculizan el aprendizaje

del algebra lineal y estudios metodologicos para contribuir a mejorar el

proceso de ensenanza-aprendizaje del algebra lineal, incorporando las nue-

vas tecnologıas de la informacion y las comunicaciones, propuestos por el

grupo “Estudios Metodologicos para la Ensenanza de la Matemati-

ca y el uso de las Nuevas Tecnologıas, EMEMATIC”.

La estructura del libro fue lo que llevo a su denominacion “Lecciones de

algebra lineal. Libro de trabajo para estudiantes y guıa didactica

del docente”, porque responde a las necesidades, inquietudes y requerimien-

tos de cada uno. La manera como esta presentado le ayuda al estudiante a

subsanar las falencias mas frecuentes tales como la apatıa, la poca lectura,

falta de motivacion y compromiso con su aprendizaje, que son algunas de las

causa que impiden aprender los conceptos basicos del algebra lineal.

Para el docente, el texto se convierte en una guıa de trabajo ya que la for-

ma de organizacion y presentacion del contenido le brindan la posibilidad

de crear ambientes que contribuyan o favorezcan el desarrollo integral de los

estudiantes, generando espacios en donde se fomenta el espıritu crıtico, au-

torreflexivo y se promueva el trabajo individual, colaborativo, cooperativo

v

Presentacion

y en equipo; posibilitando al alumno salir de la pasividad que caracteriza a

un estudiante en una metodologıa tradicional. Ademas, la estructuracion del

libro por lecciones de clase permite el desarrollo de los temas de un primer

curso de algebra lineal para estudiantes de ingenierıa y tecnologıa en un se-

mestre academico, lo cual lo convierte en otra fortaleza y lo diferencia de

otros similares.

La metodologıa, que se concreta en la forma como esta escrito y presentado

el libro, es uno de los aspectos que lo diferencia de otros textos y esta

fundamentada teoricamente en el aprendizaje desarrollador. Las actividades

que se proponen promueven en el alumno el transito progresivo de la

dependencia a la independencia y autorregulacion y lo llevan paulatinamente

a iniciarse en pequenas investigaciones.

El contenido teorico del libro es el clasico para un primer curso de algebra

lineal para estudiantes de ingenierıas y tecnologıas, la diferencia radica en

la forma sistemica como se presentan, desarrollan y relacionan los temas,

los cuales se muestran de manera progresiva y entrelazada, permitiendo al

estudiante avanzar en el conocimiento e integrarlo para hacer de el un todo,

posibilitandole la solucion exitosa de muchos problemas en el desarrollo de

su carrera y posteriormente en su actividad profesional.

Para la organizacion del contenido se tuvo en cuenta la celula generadora

a partir del concepto de combinacion lineal, el cual se desarrolla desde el

segundo capıtulo. Aunque el algebra lineal se fundamenta esencialmente en

la teorıa de los espacios vectoriales, las transformaciones lineales y los valores

y vectores propios, el texto inicia con sistemas de ecuaciones lineales porque

permite al estudiante continuar el desarrollo de sus conocimientos a partir

de lo visto y aprendido en sus cursos previos, a la vez que posibilita ver su

utilidad, ası como establecer una continuidad con lo que estudio en sus anos

de colegio, logrando que los estudiantes vayan cambiando su actitud frente

a la matematica, llevandolo gradualmente a perderle el miedo y la fobia, en

particular al algebra lineal.

El libro facilita al estudiante la apropiacion de uno de los conceptos mas abs-

vi

Presentacion

tractos del curso, espacios vectoriales, de manera natural y rigurosa. Se inicia

con espacios vectoriales conocidos y trabajados por ellos en otras asignaturas,

por ejemplo en fısica, cuando usan vectores. Posteriormente, se hace la teori-

zacion de estos objetos matematicos como espacios vectoriales y finalmente

se desarrollan los temas transformaciones lineales y valores y vectores pro-

pios.

El libro esta distribuido en siete capıtulos y un apendice. Cada capıtulo

contiene talleres pre-clase y lecciones de clase. El contenido se desarrolla

completamente en un semestre academico de 16 semanas con una intensidad

de 4 horas semanales, lo cual es otra diferencia con textos similares.

Los talleres pre-clase aparecen al inicio de cada capıtulo con el proposito

de que el alumno realice una lectura previa de los ejercicios propuestos, se

familiarice con ellos y este atento al desarrollo de los conceptos del capıtulo

a traves de las lecciones de clase, para identificar la teorıa que le permitira la

solucion de estos.

Los talleres constan de 5 secciones:

• Ejercicios que requieren de conceptos desarrollados en las lecciones de

clase para su modelacion.

• Solucion, generalizacion, clasificacion o particularizacion.

• Preguntas para decidir su valor de verdad, con las cuales se verifican

los conceptos vistos, se construyen ejemplos y contraejemplos, se

familiarizan con leyes, propiedades y regularidades del tema de cada

capıtulo.

• Ejercicios de tipo algorıtmico

• Aplicaciones en la vida cotidiana o en el contexto matematico.

Las lecciones de clase, estructuradas para una sesion de dos horas cada una,

contienen definiciones, ejemplos, ejercicios, leyes y propiedades que permiten

el desarrollo de los temas de cada capıtulo. Ademas, contienen espacios en

vii

Presentacion

blanco cuyo proposito es que los estudiantes los completen en la medida

en que se desarrolla la leccion; esto con el fin de motivar al alumno a leer,

escribir, construir sus propios ejemplos, contraejemplos, argumentar y deba-

tir, lo que caracteriza que el texto es de trabajo y no de simple consulta.

La manera como se presentan las lecciones, permiten al estudiante avanzar a

su propio ritmo y desarrollarlas de acuerdo a sus conocimientos, habilidades

y competencias.

Los contenidos se distribuyen en capıtulos como se describe a continuacion:

El capıtulo 1, sistemas de ecuaciones lineales, proporciona al alumno las

herramientas necesarias para el desarrollo de los capıtulos posteriores.

En los capıtulos 2 y 3, vectores, rectas, planos ymatrices, se desarrolla la

estructura de espacio vectorial en conjuntos particulares tales como vectores

y matrices.

En el capıtulo 4, determinantes, se da su definicion y se ilustran con ejem-

plos sus propiedades las cuales seran usadas mas adelante en valores y vec-

tores propios.

El capıtulo 5, espacios vectoriales, generaliza el concepto de espacio

vectorial, su estructura, propiedades, leyes y regularidades, el cual es uno

de los temas centrales del curso.

En los capıtulos siguientes 6 y 7, transformaciones lineales y valores y

vectores propios, se estudian conceptos fundamentales para la formacion

de los ingenieros y tecnologos.

En el apendice A se incluyen ejemplos de examenes realizados en semestres

anteriores para cada una de las notas parciales y el examen final, los cua-

les permitiran a los estudiantes autoevaluarse y familiarizarse con el tipo de

preguntas que realizan.

Los autores.

viii

Capıtulo 1

Sistemas de ecuaciones lineales

En este capıtulo se estudian los sistemas de ecuaciones lineales en

la modelacion y solucion de problemas y situaciones que surgen en ingenierıa,

tecnologıa o la vida practica.

1.1. Taller pre-clase

A. Resuelva las siguientes situaciones

1. Encuentre dos numeros cuya suma sea 23y su diferencia sea 2

5.

2. Una industria produce dos tipos de plastico: regular y especial. Cada

tonelada de plastico regular necesita 2 horas en la planta A y 5 en

la planta B; cada tonelada del plastico especial necesita 2 horas en

la planta A y 3 en la planta B. Si la planta A dispone de 8 horas

al dıa y la planta B 15, ¿cuantas toneladas de cada tipo de plastico

pueden fabricarse diariamente de modo que las plantas operen a toda

su capacidad?

B. Teorıa

1. Escriba una definicion de

• solucion de ecuacion lineal,

• solucion de un sistema de ecuaciones lineales.

1

2 Capıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales

2. Construya un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales que sea

consistente y otro que sea inconsistente.

3. Investigue sobre los metodos de Gauss–Jordan y eliminacion gaussiana

• Defina cada uno de los metodos

• Establezca al menos dos diferencias

• Construya 2 ejemplos en los cuales use los metodos

• ¿Cual de los metodos es mas eficiente en la practica? ¿Por que?

4. Construya dos ejemplos de matrices que esten en forma escalonada y

escalonada reducida.

5. Escriba una definicion de matrices equivalentes por renglones y de un

ejemplo.

6. Describa un procedimiento para transformar una matriz en la forma

escalonada y escalonada reducida por renglones.

C. Responda verdadero (V) o falso (F) a las afirmaciones

siguientes. Justifique cada una de sus respuestas

1. Existen sistemas homogeneos inconsistentes

2. Todo sistema cuadrado es consistente

3. Todo sistema con mas incognitas que ecuaciones siempre tiene

infinitas soluciones

4. El sistema

x+ 2y = 5

2x+ y = 4

x+ y = 1

no tiene solucion.

5. Todo sistema con mas ecuaciones que incognitas siempre es

inconsistente

D. Poniendo en practica la teorıa

1. Encuentre un valor de r, si existe, de modo que la terna dada sea una

solucion del sistema de ecuaciones lineales.

Alejandro Martınez A. Vivian Libeth Uzuriaga L.

Grupo de investigacion EMEMATIC 3

2x+ 3y − z = −1x− y + 2z = 2

4x+ y + 3z = 3

a) (r, 2,−1)

b) (2, r,−3)

c) (−1, 1, r)2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante el

metodo de eliminacion gaussiana:

a)

x+ 2y + 3z = − 4

3x+ 4y + 5z = − 8

−2x+ 3y + 4z = −15b)

− 3y − z + w = −32x− y − 2z + w = 9

x+ y − 2z = 6

c)

2x+ 4y + 6z = −122x− 3y − 4z = 15

4x+ y + 2z = 7

3. La matriz aumentada del sistema Ax = b, esta dada por:

1 0 −2 | −10 1 1 | 2

0 α α2 | 3α− 1

Determine los valores de α, si existen, para que el sistema dado tenga:

a) Solucion unica. Escriba la solucion

b) Infinitas soluciones. Escriba el conjunto solucion

c) Ninguna solucion

d) Para α = 1, determine cual de los vectores es solucion del sistema

(i) x1=

5

0

2

(ii) x

2=

−21

1

E. Aplicaciones.

1. Cuando se agrega un disco duro a una computadora personal, el

sistema nuevo cuesta $1.400.000. Se sabe que 13

del valor de la

computadora mas 15del valor del disco duro dan un total de $400000.

¿Cual es el costo del disco duro? (Ejercicio 48, pagina 14 de [7]).



2. Determine la ecuacion de la parabola con eje paralelo al eje y en el

plano xy, que pasa por los puntos P (1, 0), Q(−1, 6) y R(2, 0).

(Ejercicio 14, pagina 52 de [7]).

3. [Empaquetamiento de libros]. Cesar Andres es un estudiante de

segundo semestre de ingenierıa de la Universidad Tecnologica de Pe-

reira que se va a cambiar de casa. Al empacar sus libros, nota que si

coloca 11 libros en cada caja, dejara uno por fuera. Por otro lado, si

pone 12 libros en cada caja, entonces la ultima contiene un solo libro.

¿Cuantos libros y cuantas cajas tiene Cesar Andres?

4. Dos personas A y B inician un negocio aportando capitales iguales.

Transcurridos tres meses, una tercera persona C ingresa al negocio y

aporta la misma cantidad que invirtieron A y B. Si al cabo de un ano

las utilidades son de $1’980.000, ¿cuanto le corresponde a cada uno,

si las ganancias se reparten proporcionalmente?

Resuelva solo uno de los siguientes problemas.

5. Un departamento de pesca y caza proporciona 3 tipos de comida a

un lago que alberga a 3 especies de peces. Cada pez de la especie

1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1

del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2

consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 del

alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Para un pez de la especie 3, el

promedio semanal de consumo es 2 unidades del alimento 1, 1 unidad

del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada semana se suministra

al lago 15000 unidades del primer alimento, 10000 del segundo y 35000

del tercero. Suponga que todo el alimento se consume.

a) Construya un modelo matematico que represente la informacion

del problema.

b) ¿Podran coexistir 4000 peces de la especie 3 en el lago?

c) ¿Pueden coexistir 6000 peces de la especie 3?

d) ¿Pueden coexistir 9000 peces de la especie 3?

e) ¿Que poblacion de las tres especies de peces puede coexistir?



6. Encuentre las cantidades desconocidas en el circuito de la figura 1.1.

i1

3Ai2

i3

5A

10A

a b c d

efghb

b

b

b

10V E2

E3−+ −+ −+

5Ω 2Ω

R

Figura 1.1. Circuito

Indicacion. V representa el voltaje, R es la resistencia e i es la corriente.

1.2. Lecciones de clase

1.2.1. Leccion 1. La lınea recta

Se recordaran conceptos basicos de la lınea recta tales como: el calculo y la

interpretacion de la pendiente, diferentes representaciones de la ecuacion de

la recta. Ası, al finalizar la leccion el alumno estara en condiciones de usar

la recta para modelar y resolver diferentes situaciones.

Coordenadas en el plano

b

b b

x1

y1

P (x1, y

1)Py(0, y1

)

Px(x1, 0)

O x

y

Figura 1.2. Coordenadas en R2

R2 = (x, y) : x, y ∈ R

o

R2 =

(

x

y

)

: x, y ∈ R



La lınea recta

Para determinar la ecuacion de la recta se debe conocer uno de los datos

contemplados a continuacion:

1. Dos puntos diferentes. Sean P (x0, y

0) y Q(x

1, y

1) dos puntos del plano.

b

b

b

P (x0, y

0)

Q(x1, y

1)

R(x, y)

O x

y

Figura 1.3. Recta por dos puntos

Si x06= x

1, la ecuacion de la recta que los contiene, en su forma punto–

pendiente es:

y − y0= m(x− x

0) o y − y

1= m(x− x

1), donde m =

y1− y

0

x1− x

0

.

Ejercicio 1. Verifique que la ecuacion de la recta que pasa por los puntos

P (x0, y

0) y Q(x

0, y

1) con y

06= y

1es x = x

0.

2. Un punto y la pendiente. Si la pendiente es m y el punto es P (x0, y

0),

la ecuacion es: y − y0= m(x− x

0).

3. La pendiente y el intercepto con el eje y. Si la pendiente es m y el

intercepto con el eje y es el punto es P (0, k), la ecuacion es: y = mx+ k.

4. La derivada de una funcion y = f(x) en un punto dado. Si f ′(x0)

es la derivada de y = f(x) en el punto P (x0, f(x

0)), la ecuacion de la

recta tangente a la grafica de y = f(x) en el punto P es:

y = f(x0) + f ′(x

0)(x− x

0)



b P (0, k)

O x

y

(a) Pendiente-intercepto

b P (x0, f(x

0))

O

y = f(x)

x

y

(b) Recta tangente

Figura 1.4. Pendiente-intercepto y recta tangente

En general, la ecuacion de una recta se puede escribir en la forma

ax+ by = c, (1.1)

donde a, b, c ∈ R, a y b no son simultaneamente nulos.

Ejercicio 2. Considere la ecuacion de la recta 3x− 2y = −4. Responda.

a) La recta tiene como pendiente

b) Los intersectos con los ejes coordenados son: y .

c) Su grafica es:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

y

Figura 1.5. Recta del ejercicio 2



d) Determine que puntos satisfacen la ecuacion de la recta:

i) (2, 5) ii) (1,−1) iii) (−4,−4) iv) (3, 3)

v) (0, 0) vi) (2a, 3a+ 4), a ∈ R

• ¿Geometricamente que representan los puntos que satisfacen la ecua-

cion?

• ¿Que relacion tienen los puntos que no satisfacen la ecuacion de la recta

con la grafica?

e) ¿Cuantos puntos satisfacen la ecuacion de la recta? Caracterıcelos.

Ejercicio 3. En un juego de video se observa un aeroplano que vuela de

izquierda a derecha a lo largo de la trayectoria dada por y = 1+ 1x, x > 0, y

dispara proyectiles en direccion tangente a la trayectoria, a blancos que estan

en el eje x en las posiciones ubicadas en los puntos 1, 2, 3, 4 y 5. Determine si

los proyectiles daran en algun blanco si el avion los dispara cuando esta en

los puntos P (1, 2) y Q(32, 53). (Ejercicio 63, pagina 150 de [9]).

Sugerencia: Debe recordar la interpretacion geometrica de la derivada.

Ejercicio 4. Halle la funcion lineal que pasa por los (1,−1) y (−4, 9).Recuerde: Una funcion lineal es de la forma f(x) = a

0+ a

1x.

1.2.2. Leccion 2. Sistemas 2× 2

Con esta leccion el alumno reconocera sistemas de dos ecuaciones lineales

con dos incognitas a partir de situaciones problemas. Ademas, sera capaz de

resolverlos, identificando cuando es consistente o no y establecer condiciones

para ello.

Observe que al resolver el ejercio anterior se obtienen dos ecuaciones lineales

con dos incognitas a0y a

1, que al analizarlos en conjunto, resulta un sistema

2× 2 como se define a continuacion.



Definicion 1.1 (Sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incognitas).

Un sistema de dos ecuaciones lineales en las variables x y y, denominado

sistema 2× 2, es de la forma

a11x+ a

12y = b

1

a21x+ a

22y = b

2,

donde a11, a

12, a

21, a

22∈ R no simultaneamente nulos, son los coeficientes

del sistema y b1, b

2∈ R, los terminos independientes.

Notacion: En aij, i representa la i–esima ecuacion, mientras que j, indica

la j−esima variable.

Cuando se tiene un sistema 2× 2 y se grafican las rectas en un mismo plano,

siempre sucede uno y solo uno de los casos siguientes:

x

y

a21x+ a

22y = b

2

a11x+ a

12y = b

1

(a) Solucion unica

x

y

a21x+ a

22y = b

2

a11x+ a

12y = b

1

(b) Infinitas soluciones

x

y

a21x+ a

22y = b

2

a11x+ a

12y = b

1

(c) Ninguna solucion

Figura 1.6. Sistemas 2× 2

a) Cuando las rectas se cortan en un solo punto, analıticamente existe

un unico punto que satisface las dos ecuaciones y se dice que el sistema

tiene solucion .

b) Cuando las rectas se cortan en infinitos puntos, analıticamente existen

infinitos puntos que satisfacen las ecuaciones. En este caso, se dice que el

sistema tiene soluciones.

c) Si las rectas no se cortan, analıticamente el sistema .



Definicion 1.2. Si un sistema tiene solucion unica o infinitas soluciones, se

dice que es consistente. En otro caso, se dice que es .

Ejercicio 1. Resuelva los siguientes sistemas, grafique cada par de rectas en

un mismo plano e identifique el punto o los puntos de interseccion, si existen.

a)x− y = −13x− 2y = −4 b)

− x+ 23y = 4

3

3x− 2y = −4 c)−3x+ 2y = 5

3x− 2y = −4

Ejercicio 2. Una refinerıa produce gasolina con y sin azufre. Cada tonelada

de gasolina sin azufre requiere 5 minutos en la planta de mezclado y 4 en

la planta de refinacion. Por su parte, cada tonelada de gasolina con azufre

requiere 4 minutos en la planta de mezclado y 2 en la planta de refinacion. Si

la planta de mezclado tiene 3 horas disponibles y la de refinacion 2. ¿Cuantas

toneladas de cada gasolina se deben producir para que las plantas se utilicen

al maximo? (Ejercicio 21, pagina 10 de [5]).

Ejercicio 3. Encuentre los valores de a y c, si existen, de modo que las rectas

de ecuaciones x− 2y = 4 y ax+ 3y = c se corten en infinitos puntos.

1.2.3. Leccion 3. Sistemas m× n

Partiendo de una situacion problema, se llega al planteamiento de sistemas

de m ecuaciones lineales con n incognitas. A partir de la relacion, paralelo o

analogıa que se hace con el metodo de eliminacion aprendido por el estudiante

en su colegio, se deduce el metodo de eliminacion. Ademas, se desarrollan los

conceptos de ecuacion lineal en n variables, solucion de esta y los sistemas de

m ecuaciones lineales con n incognitas, haciendo analagıas y relaciones con

los estudiados en las lecciones 1.2.1 y 1.2.2.

Definicion 1.3. Una ecuacion lineal en las variables x1, x

2, . . . , xn es una

expresion de la forma

a1x

1+ a

2x

2+ · · ·+ anxn = b (1.2)

donde a1, a

2, . . . , an ∈ R, no son simultaneamente nulas son los coeficientes

y b ∈ R es el termino independiente.



Ejercicio 1. Determine cuales de las siguientes ecuaciones son lineales:

a) 42x+√7 y + z − 1

2w = log 2

b) 42x+√7y + z − 1

2w = log 2

c)(sen π

3

)x+ 3y = 8

d) sen(π3x) + 3y = 8

e) e2x− 3xy + 8w = 40

f) e2x − 3x− 3y + 8w = 40

g) −2x1+ 3x

2+ 4x

3= −5

Definicion 1.4. Una solucion de la ecuacion (1.2) es una n−tupla ordenada

s1

...

sn

de numeros reales (o complejos), que al ser sustituıdos en la ecuacion

(1.2), se obtiene un enunciado verdadero.

Ejemplo 1.1. La ecuacion −2x1+3x

2+4x

3= −5 es una ecuacion lineal en

las variables x1, x

2, y x

3. Algunas soluciones de la ecuacion son:

a) x1= 2, x

2= 1, x

3= −1 b) x

1= 1, x

2= −1, x

3= 0

c) x1= 1

2, x

2= 0, x

3= −1

Ejercicio 2. Considere la ecuacion del ejemplo 1.1

a) ¿Como comprobar que en efecto los valores de las variables dados en los

literales a), b) y c) son solucion de dicha ecuacion?

b) ¿Existen otras soluciones para tal ecuacion?, ¿cuantas?

Sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas

Ejercicio 3. Encuentre una funcion polinomial de grado 3 que pase por

los puntos P1(1,−2), P2(−1, 3), P3(2, 2) y P4(3, 4). Recuerde: Una funcion

polinomica de grado 3 es de la forma: f(x) = a0+ a

1x+ a

2x2 + a

3x3.

Al analizar este problema, se llega a un sistema de 4 ecuaciones lineales con

4 variables, a0, a

1, a

2y a

3. Para resolverlo, se introduce primero la definicion

de m ecuaciones lineales con n incognitas y las metodos para solucionarlos.



Definicion 1.5. Un sistema de m ecuaciones lineales en las n variables

x1, x

2, . . . , xn es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma

a11x

1+ a

12x

2+ · · ·+ a

1nxn = b

1

a21x

1+ a

22x

2+ · · ·+ a

2nxn = b

2

......

. . ....

...

am1x

1+ a

m2x

2+ · · ·+ a

mnxn = b

m,

(1.3)

donde aij ∈ R no son simultaneamente nulos son los coeficientes del sistema

y bi ∈ R son los terminos independientes.

Definicion 1.6. Una solucion del sistema (1.3) es una n−tupla ordenada

s1

...

sn

de numeros reales (o complejos), que es solucion de cada una de las

ecuaciones que conforman el sistema.

Ejemplo 1.2. Los siguientes son ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales

a)

x− 2y + 3z = 11

4x+ y − z = 4

2x− y + 3z = 10

b)

x+ 2y − 3z + 2w = 3

−2x− 5y + 5z − w = −8x − 2z + 5w = 5

c)

x+ y = 7

4x− y = 4

3x− 2y = 5

Ejercicio 4. Determine el numero de ecuaciones y de incognitas en cada uno

de los sistemas del ejemplo 1.2.

Ejercicio 5. Cuales vectores son solucion del sistema del ejemplo 1.2b).

a)

−96

0

0

b)

15/2

1

5/2

1/2

c)

12

−21

−1

d)

0

0

0

0

Definicion 1.7. Si un sistema tiene solucion unica o infinitas soluciones, se

dice que es consistente. En otro caso, se dice que es .

Ejercicio 6. Usando el metodo de eliminacion estudiado en su bachillerato

resuelva el sistema del ejemplo 1.2a).



1.2.4. Leccion 4. Matriz asociada. Metodos de solucion

Con esta leccion, el alumno desarrollara habilidades para proponer como

modelo matematico, los sistemas de ecuaciones lineales para solucionar si-

tuaciones problemas. Ademas, sera capaz de usar los metodos de eliminacion

gaussiana y de Gauss-Jordan para determinar la solucion de un sistema de

ecuaciones lineales. Tambien se representa un sistema en forma matricial.

Definicion 1.8 (Matriz asociada de un sistema). El arreglo

a11

a12

. . . a1n| b

1

a21

a22

. . . a2n| b

2

......

. . .... | ...

am1

am2

. . . amn| b

m

se llama matriz asociada o aumentada del sistema (1.3).

A =

a11

a12

. . . a1n

a21

a22

. . . a2n

......

. . ....

am1am2

. . . amn

es lamatriz de coeficientes del sistema, b =

b1

...

bm

el vector de terminos independientes y x =

x1

...

xn

es el vector de variables.

La diagonal principal de A es (a11, a

22, . . . , akk), donde k = mınm,n.

Ejercicio 7. Escribir la matriz asociada para cada sistema del ejemplo 1.2.

Operaciones elementales de renglon

1. cf i, c ∈ R, c 6= 0. Multiplicar una fila por una constante no nula

2. f j + cf i, c ∈ R, c 6= 0. Sumar a un renglon un multiplo de otro

3. f i ↔ f j o f ij. Intercambiar dos renglones



Definicion 1.9. La matriz A de m× n es equivalente por renglones con la

matriz B de m×n, si B se puede obtener de A aplicando una sucesion finita

de operaciones elementales por renglon.

Regresando al ejercicio 6 de la lecccion anterior y usando la representacion

matricial de un sistema m× n, se establece la siguiente analogıa.

Ejemplo 1.3. Usando el metodo de eliminacion, resolver el sistema dado

en el ejemplo 1.2a)

Solucion. En la siguiente tabla se muestra la solucion del sistema usando

eliminacion, haciendo el paralelo ecuaciones-forma matricial.

Sistema de ecuaciones lineales Matriz asociada al sistema

x− 2y + 3z= 11 Ec 1

4x+ y − z= 4 Ec 2

2x− y + 3z= 10 Ec 3

1 −2 3 | 114 1 −1 | 42 −1 3 | 10

Operacion en las ecuaciones 2 y 3, tomando

como base la ecuacion 1, para volver cero

el coeficiente de x en ambas ecuaciones

Operacion en las filas o renglones 2 y 3, to-

mando como base el renglon 1, para volver

cero las componentes a21

y a31

Ec 2← Ec 2− 4Ec 1 f2← f

2− 4f

1

−4x+ 8y − 12z= −444x+ y − z= 4

9y − 13z= −40 Ec 4

1 −2 3 | 11

0 9 −13 | −402 −1 3 | 10

Ec 3←− Ec 3− 2Ec 1 f3←− f

3− 2f

1

−2x+ 4y − 6z= −222x− y + 3z= 10

3y − 3z= −12 Ec 5

1 −2 3 | 11

0 9 −13 | −400 3 − 3 | −12

El sistema resultante equivalente es

x− 2y + 3z= 11 Ec 1

9y − 13z= −40 Ec 4

3y − 3z= −12 Ec 5



Operacion en la ecuacion 3, tomando como

base la ecuacion 2, renombrada como Ec 4,

para volver cero el coeficiente de x en dicha

ecuacion

Operacion en la fila 3, tomando como base

el renglon 2 de la nueva matriz, para volver

cero la posicion a32

Ec 5← 3Ec 5 9y− 9z = −36 Ec 6 f5← 3f

5

1 −2 3 | 11

0 9 −13 | −400 9 − 9 | −36

Ec 5← Ec 5− Ec 4 f5← f

5− f

4

9y − 13z= −409y − 9z= −36

4z= 4 Ec 7

1 −2 3 | 11

0 9 −13 | −400 0 4 | 4

Sistema equivalente Sistema equivalente

x− 2y + 3z = 11

9y − 13z = −404z = 4

x− 2y + 3z = 11

9y − 13z = −404z = 4

Determinando la solucion: despejando en

la ultima ecuacion la variable z y haciendo

sustitucion hacia atras se obtiene:

4z = 4⇒ z = 1

9y − 13(1) = −40,⇒ y = −3

x− 2(−3) + 3(1) = 11,⇒ x = 2

Es decir, x = 2, y = −3 y z = 1. Tambien

puede escribirse ası:

2

−31

Determinando la solucion: de la ultima fila

se escribe la ecuacion, 4z = 4, se encuentra

el valor de z y se hace sustitucion hacia

atras

4z = 4⇒ z = 1

9y − 13(1) = −40⇒ y = −3

x− 2(−3) + 3(1) = 11⇒ x = 2

Es decir,

2

−31

Observe que la ultima matriz tiene ceros debajo de la diagonal principal

y se dice que esta en forma triangular superior. Este tipo de matrices son

una generalizacion de las matrices en forma escalonada que se definen a

continuacion.



Definicion 1.10. Una matriz Am×n esta en forma escalonada reducida

por renglones cuando satisface las siguientes propiedades. Ver [2].

1. Todos los renglones que constan solo de ceros, si los hay, estan en las

ultimas filas de la matriz.

2. Al leer de izquierda a derecha, la primera entrada distinta de cero en

cada renglon (que no este formado completamente de ceros) es 1, y se

le denomina pivote.

3. Si los renglones fi y fi+1 son dos renglones sucesivos que no constan

completamente de ceros, entonces la entrada principal (o pivote) del

renglon fi esta a la derecha del pivote del renglon fi+1.

4. Si una columna contiene un pivote de algun renglon, entonces el resto

de las componentes de esa columna son iguales a cero.

Si solo se cumplen 1, 2 y 3; se dice que A esta en forma escalonada.

Ejercicio 8. Determine cuales de las siguientes matrices estan en forma

escalonada por renglones y cuales en forma escalonada reducida.

A =

1 5 0 −30 1 0 3

0 0 1 9

, B =

1 7 0 0 6

0 0 0 1 8

0 0 0 0 1

, C =

1 0 0 2 1

0 1 0 0 0

0 1 1 0 0

,

D =

(

1 0 0

0 1 0

)

, E =

(

0 0 0

0 0 0

)

, F =

1 3 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

,

G =

1 2 0 0 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 5

, H =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 9. Llevar las matrices del ejemplo 1.2 a una forma escalonada.

Teorema 1. Toda matriz de Am×n no nula es equivalente por renglones con

una unica matriz Em×n en forma escalonada reducida por renglones.



Metodos de solucion

Eliminacion

Paso 1. Formar la matriz aumentada del sistema:(

A | b)

Paso 2. Aplicar operaciones de renglon para llevar la matriz A a una forma

triangular superior U :(

A | b)

→(

U | b′)

Paso 3. Decidir si el sistema tiene solucion. El sistema no tendra solucion

si U tiene al menos una fila de ceros y el correspondiente termino

independiente b′i es distinto de cero. Si el sistema tiene solucion se

utiliza sustitucion hacia atras para hallarla.

Eliminacion gaussiana


A | b)

.

Paso 2. Aplicar operaciones de renglon hasta llevar la matriz A a su forma

escalonada por renglones F :(

A | b)

→(

F | b′)

.

Paso 3. Decidir si el sistema tiene solucion. El sistema no tendra solucion

si la forma escalonada de A tiene al menos una fila de ceros y el

correspondiente termino b′i es distinto de cero. Si el sistema tiene

solucion se utiliza sustitucion hacia atras para hallarla.

Eliminacion de Gauss–Jordan


A | b)

.

Paso 2. Aplicar operaciones de renglon hasta llevar la matriz A a su forma

escalonada reducida por renglones E:(

A | b)

→(

E | b′)

.

Paso 3. Decidir si el sistema tiene solucion. El sistema no tendra solucion si

la forma escalonada reducida de A tiene al menos una fila de ceros y

el correspondiente termino b′i es distinto de cero. Si el sistema tiene

solucion, se determina directamente de la matriz aumentada.



Ejercicio 10. Retomando el ejercicio 3, encuentre una funcion polinomial

de grado 3 que pase por los puntos P1(1,−2), P2(−1, 3), P3(2, 2), P4(3, 4).

Ejercicio 11. Halle el valor (o valores) de λ para que el sistema

x− 2y = 1

−2x+ λ2y = λ

i) tenga solucion unica. Muestre la solucion, ii) tenga infinitas soluciones.

Escriba la solucion general, ii) sea inconsistente.

Ejercicio 12. Determine los valores de a y k para el cual el sistema de ecua-

ciones lineales representado por la matriz sea consistente, halle el conjunto

solucion en cada caso, y los valores de a y k para el cual sea inconsistente.

3 −2 0 | 1

0 1 5 | 1

0 0 k − a | a+ 1

Teorema 2 (Teorema resumen). Sea A una matriz n× n. La siguientes

afirmaciones son equivalentes

1. El sistema Ax = b tiene solucion unica para cada n-vector b

2. El sistema homogeneo Ax = 0 tiene solucion y la solucion es

3. La forma escalonada reducida de A es

4. A es equivalente por renglones a la matriz

5. La forma escalonada de A tiene pivotes

Taller de repaso

Se proponen actividades de refuerzo que le permiten al estudiante autoeva-

luarse en el desarrollo de los propositos del capıtulo.



Ejercicio 1.

a) Determine el valor (o valores) de k para el cual el sistema de ecuaciones

lineales representado por la matriz sea consistente, halle el conjunto solu-

cion en cada caso, y el valor (o valores) de k para el cual sea inconsistente.

1 0 −1 | 1

0 1 1 | 1

0 k k2 | 2k − 1

b) Para k = 1, determine si el vector dado es una solucion del sistema

(i)

2

0

1

(ii)

2

−13

Ejercicio 2. Determine el valor (o valores) de a para el cual el sistema de

ecuaciones linealesx+ 2y + z = a2

x+ y + 3z = a

3x+ 4y + 7z = 8

a) sea consistente, halle el conjunto solucion en cada caso.

b) sea inconsistente.

Ejercicio 3. Una biologa ha colocado tres cepas bacterianas (I, II, y III)

en un tubo de ensayo, donde seran alimentadas con tres distintas fuentes

alimenticias (A, B, y C). Cada dıa 2300 unidades de A, 800 de B y 1500 de

C se colocan en el tubo de ensayo, y cada bacteria consume cierto numero

de unidades de cada alimento por cada dıa, como muestra la tabla

Cepa︷︸︸︷

I II III

Alimento

A

B

C

2 2 4

1 2 0

1 3 1

¿Cuantas bacterias de cada cepa pueden coexistir en el tubo de ensayo y

consumir todo el alimento? (Ejemplo 2.27, pagina 101 de [8]).



Ejercicio 4. ABC Publicaciones edita tres calidades de libros: encuaderna-

cion rustica, pasta dura y empastados en piel. Para los rusticos, la empresa

gasta en promedio $5 en papel, $2 en ilustraciones y $3 las pastas. Para los

de pasta dura, los gastos son $10 en papel, $6 en ilustraciones y $8 en pastas;

y para los de lujo, empastados en piel, $20 en papel, $20 en ilustraciones

y $24 en pastas. Si el presupuesto permite $235000 en papel, $158000 en

ilustraciones y $205000 en pastas:

a) Construya un modelo que represente la informacion del problema.

b) ¿Es posible que se puedan editar 2000 libros empastados en piel?

c) ¿Se podran editar 4000 libros empastados en piel?

d) ¿Se podran producir 6000 libros empastados en piel?

e) ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?

Ejercicio 5. Determine la solucion de los siguientes sistemas de ecuaciones

lineales homogeneos

a)

x+ 2y − 2z = 0

2x+ 7y + 2z = 0

x− 2y − z = 0

b)

x+ 2y − 2z = 0

2x+ 7y + 2z = 0

x− y − 8z = 0

Ejercicio 6. Considere el sistema homogeneo

a1x+ b

1y = 0

a2x+ b

2y = 0

Sean x = x1, y = y

1y x = x

2, y = y

2soluciones del sistema. Muestre que

a) x = x1+ x

2, y = y

1+ y

2tambien es solucion del sistema.

b) x = 3x1+ 2x

2, y = 3y

1+ 2y

2tambien es solucion del sistema.

c) x = λ1x

1+ λ

2x

2, y = λ

1y1+ λ

2y2tambien es solucion del sistema.


Capıtulo 2

Vectores, rectas y planos

En este capıtulo se estudian los vectores desde el punto de vista geometrico,

para R2 y R3, analıticamente para Rn, n > 1. Se usa la teorıa de vectores

en la modelacion de diferentes problemas que surgen en matematicas, fısica,

ingenierıa y en el quehacer diario. Tambien se hace el estudio de la lınea recta

y del plano en R3.

Se concluye con un teorema, denominado teorema resumen, el cual recoge los

resultados basicos que surgen durante del desarrollo de las lecciones, que sirve

de retroalimentacion y autorregulacion del aprendizaje de los estudiantes, ya

que esta propuesto con las hipotesis mınimas para que ellos deduzcan sus

conclusiones y completen los espacios que aparecen.

Este teorema aparecera al finalizar cada uno de los capıtulos con el proposito

de que el alumno lo complemente con las proposiciones que deduzca a partir

de la teorıa desarrollada en ellos, como se observa en el capıtulo 1.

21

22 Capıtulo 2. Vectores, rectas y planos


Vectores en R2

A. Resuelve la siguiente situacion:

Un barco es empujado por un remolcador con una fuerza de 300 libras

a lo largo del eje y negativo, mientras que otro remolcador lo empuja a

lo largo del eje x negativo con una fuerza de 400 libras. Determine la

magnitud y direccion de la fuerza resultante. (Ejercicio 29, pagina 228

de [5]).

B. Teorıa.

1. Describa un procedimiento geometrico y algebraico para

a) Sumar y restar vectores en el plano. Ejemplifique

b) Multiplicar un vector por un escalar (real)

2. Defina los siguientes terminos. De ejemplos y dibuje

a) Longitud o norma de un 2–vector

b) Vector unitario en R2. Vector coordenado unitario.

c) Producto punto y angulo entre dos vectores no nulos del plano

d) Vectores paralelos y perpendiculares

e) Combinacion lineal, dependencia e independencia lineal, espacio

generado.

C. Responda verdadero o falso. Justifique sus respuestas.

1. El producto punto de dos vectores no nulos de R2 nunca es cero

2. Sean #»x , #»y , #»z ∈ R2. Si #»x •#»y = #»x •

#»z y #»x 6= #»

0 , entonces #»y = #»z .

3. Si #»u , #»v , #»w ∈ R2 no nulos tales que #»u es paralelo a #»v , entonces

no existen escalares λ y µ, tales que #»w = λ #»u + µ #»v

4. El vector#»

0 ∈ R2 siempre es posible escribirlo como combinacion

lineal de cualquier conjunto de vectores #»v1, #»v

2, . . . , #»vk de R2.



D. Poniendo en practica lo aprendido

1. Sea #»v = (−1, 2). Halle un vector unitario que tenga direccion opuesta

a la de #»v .

2. Exprese los siguientes vectores (5,−7), (1/2, 4) y (π,−√3) como suma

de los vectores canonicos.

3. Sean#»

A = (4, 6) y#»

B = (−6, 4). Halle los vectores paralelos al vector# »

AB y de longitud 6 unidades.

4. Sean A(−4,−3), B(1, 4) y C(λ, 2) tres puntos del plano. Determine el

valor o valores de λ de modo que el triangulo ABC sea

a) Isosceles b) Rectangulo

5. Calcule proy #»v#»u , donde #»u = 2ı− 3 y #»v = ı+ .

E. Aplicaciones

1. Dos lanchas ayudan a que un barco salga de su embarcadero. Una de

las lanchas esta jalando de el con una fuerza de 200 N, mientras que

la otra lo hace con una fuerza de 150 N. La primera lancha toma una

direccion que forma un angulo de 25o. Que direccion debe tomar la

otra lancha para que el barco salga paralelamente al espigon? , ver [4].

2. Una fuerza#»

F de magnitud de 10 N se aplica en la direccion del vector#»

T = 4ı − 3. ¿Cual es el trabajo al mover el objeto desde el punto

A(1, 1) hasta el punto B(5, 4)?, ver [3].

Vectores en R3 y en Rn

A. Resuelva la siguiente situacion

Un fabricante produce cuatro artıculos. Su demanda esta dada por el

vector d = (30, 60, 40, 10) y el precio por unidad que recibe esta dado por

el vector p =(

$20, $50, $100, $25)

. ¿Cuanto dinero recibira el fabricante?



B. Teorıa.

1. Sean P y Q dos puntos de Rn. Defina la norma del n-vector P y la

distancia de P a Q. Ejemplifique y dibuje los vectores para n = 3.

2. Defina vector unitario en Rn. Ejemplifique la definicion anterior para

n = 3. Dibuje los vectores.

3. Demuestre las propiedades que cumple el producto escalar de vectores

de Rn enunciadas en la leccion 4 del capıtulo 2.

4. Sean #»a y#»

b dos vectores de R3. Demostrar: #»a × #»

b = − #»

b × #»a .

C. Responda verdadero o falso a las siguientes afirmaciones.

Justifique cada una de sus respuestas.

1. El producto escalar de dos n-vectores es otro n-vector

2. Sean #»x , #»y ∈ Rn. Si #»x •#»y = 0, entonces por lo menos uno de los

vectores es el vector nulo.

3. Sean #»u , #»v ∈ R3. Si #»u × #»v =#»

0 , entonces al menos uno de los

vectores es el vector nulo.

4. Sea #»u = (x, y, z) ∈ R3. Si ( #»u × k) • (1, 0, 3) = 2, entonces y = −25. Sean #»u , #»v , #»w ∈ R3, #»u 6= #»

0 . Si #»u × #»v = #»u × #»w entonces #»v = #»w.

D. Poniendo en practica lo aprendido.

1. Los puntos A(−a,−a,−a), B(a, a,−a), C(−a,−a, a) y D(a, a, a)

representan cuatro vertices de un cubo. Halle las coordenadas de los

demas vertices.

2. Determine los octantes en que pueden estar los puntos P (x, y, z) si:

a) x+ y = 0 b) x− z = 0 c) y + z = 0 d ) xy < 0

e) 0 > yz f) xyz > 0

3. Sean #»a y#»

b dos vectores de R3 que forman un angulo ϕ = 2π/3. Si

‖ #»a‖ = 3 y ‖ #»

b ‖ = 4. Calcule:

a) #»a •

#»

b b) ‖ #»a +#»

b ‖ c) (3 #»a − 2#»

b ) • ( #»a + 2#»

b )



4. Determine los valores de λ y β, si existen, de modo que los vectores#»a = (−2, 3, β) y #»

b = (λ,−6, 2) sean paralelos.

5. Los vectores #»a y#»

b son perpendiculares y #»c forma con ellos angulos

iguales a π/3. Si ‖ #»a‖ = 3, ‖ #»

b ‖ = 5 y ‖ #»c ‖ = 8. Calcule:

a) ‖3 #»a − 2#»

b )× (#»

b + 3 #»c )‖ b) ‖ #»a + 2#»

b − 3 #»c ‖2

E. Aplicaciones.

1. Una tienda maneja 100 artıculos diferentes. El inventario fısico al inicio

de semana se describe mediante el vector de inventario u ∈ R100.

El numero de artıculos vendidos al final de la semana se describen

mediante el vector v ∈ R100.

a) Explique el significado de u− v.

b) Si la tienda recibe un nuevo embarque de artıculos representado

por el vector w, ¿como se escribe el nuevo inventario?

2. La fabrica de comestibles La Fresa cuenta con 2000 empleados, anota

los salarios de cada uno de sus empleados como una componente de

un vector u ∈ R2000. Si se ha aprobado un incremento salarial general

del 8%, determine una expresion que utilice a u y establezca todos

los nuevos salarios. (Basado en el ejercicio 33, pagina 156 de [5]).

3. Una aerolınea compra provisiones para tres de sus aviones. El costo

por viaje, en dolares, se expresa con la matriz.

Avion 1 Avion 2 Avion 3

Clase

Primera

Negocios

Economica

350 400 450

500 600 700

800 700 900

a) Si los tres aviones volaron el mismo dıa, ¿cuanto gasto la aerolınea

en provisiones?

b) Si solo el avion 3 vuela 5 dıas a la semana ¿Cuanto invierte la

aerolınea en 3 semanas? (Ejercicio 55, pagina 78 de [7]).



Momento de una fuerza. El momento m de una fuerza#»

F respecto

de un punto P es el productom = ‖ #»

F ‖d, donde d es la distancia de P a

la recta L definida por las direccion de#»

F . Se define el vector momento

como sigue: # »m = #»r × #»

F . La magnitud de # »m es el momento m, y se

desplaza a lo largo del eje de rotacion que genera#»

F con respecto a P .

En la practica, se le da un signo al momento. El signo de m es positivo

si la fuerza tiende a producir rotacion en sentido antihorario respecto

al punto dado, y es negativo en caso contrario.

b

b

d

P

Q

#»r#»

F

θ

L

Figura 2.1. Momento de una fuerza

4. Calcule el momento m de#»

F = −2ı− 4+ k en #»r = (−2, 1,−3).

Condiciones de equilibrio para fuerzas coplanares.

Cuando las fuerzas coplanares actuan sobre un cuerpo rıgido, este se

encontrara en equilibrio si se satisfacen las siguientes condiciones.

(i) La suma vectorial de las fuerzas es cero.

(ii) La suma algebraica de los momentos con signo de todas las fuer-

zas respecto de cualquier punto del plano es cero.

5. El extremo superior de una barra PQ uniforme, de 5 pies de longitud y

que pesa 50 lb, descansa recargada en un muro vertical liso, ver figura

izquierda. El extremo inferior descansa apoyado en un piso horizontal

liso, a 3 pies del muro. Una cuerda OR sujeta al sistema en equilibrio.

Si la distancia RQ es 1 pie, ¿cual es la tension#»

T de la cuerda?

(Ejemplo 78, pagina 139 de [7]).



4

3

5

O

P

Q

R

θ1

O

P

Q

R

M

S#»w

#»

R2

#»

R1

#»

T

d 3− d

5/2

5/2

M

Figura 2.2. Grafica ejercicio E5

Rectas y planos

1. Halle el punto de interseccion entre plano de ecuacion π : 2x+3y+ z = 1

y la recta

L : x− 1 =y + 1

−2 =z

6.

2. Determine la ecuacion parametrica de la recta L2que pasa por el punto

M(3,−2,−4), es paralela al plano π : 3x− 2y − 3z = 7 y se corta con la

recta

L1:x− 2

3=

y + 4

−2 =z − 1

2.

3. Encuentre la ecuacion del plano que pasa por el punto A(1,−2, 1) y es

perpendicular a la recta que es la interseccion de los dos planos

π1: x− 2y + z − 3 = 0 y π

2: x+ y − z + 2 = 0.

4. Halle la ecuacion del plano π que pasa por el origen de coordenadas y es

perpendicular a los planos π1: 2x− y + 3z − 1 = 0 y π

2: x+ 2y + z = 0.

5. Describa un algoritmo, si existe, que permita dibujar un plano. Dibuje un

plano paralelo a los ejes coordenados y uno que no sea paralelo a los ejes.

6. Sean P un punto, L un recta y π un plano en R3. Describa un procedi-

miento para calcular la distancia de P a L, de L a π y de P a π. Escriba

una definicion para cada una de estas distancias.




2.2.1. Leccion 1. Vectores en el plano

Se comienza retomando los conceptos de distancia entre puntos, punto medio

y mediatriz. Al finalizar, el alumno los podra usar para deducir una expresion

para el calculo de la distancia de un punto a una recta. Se continua con las

definiciones basicas de vectores en R2.

Coordenadas en el plano cartesiano.

b

b b

x1

y1

P (x1, y

1)Py(0, y1

)

Px(x1, 0)

O x

y

Figura 2.3. Coordenadas cartesianas en R2

R2 = (x, y) : x, y ∈ R

Tambien

R2 =

(

x

y

)

: x, y ∈ R

Teorema 3 (Distancia). Sean

P1(x

1, y

1) y P

2(x

2, y

2) dos puntos del

plano. La distancia entre P1y P

2es

d = d(P1, P

2) =

b

b

x2

y2

x1

y1 a

bd

P (x1, y

1)

Q(x2, y

2)

O x

y

Figura 2.4. Distancia en R2

Ejercicio 1. Halle los valores de λ, si existen, de modo que los puntos P y

Q disten 5 unidades: a) P (−5, 0), Q(λ, 4) b) P (3,−2), Q(λ, 1).

Punto medio. Sean P1(x

1, y

1) y P

2(x

2, y

2) puntos en R2. Las coordenadas

del punto medio P (x, y) son: x =x

1+ x

2

2, y =

y1+ y

2

2.

Mediatriz La mediatriz de un segmento de recta se define como la recta

perpendicular que pasa por el punto medio del segmento.



Ejercicio 2. Determine la ecuacion de la mediatriz del segmento de recta

que une los puntos P (−3, 6) y Q(7,−4).

Distancia de un punto a una recta

d

Q

P

L

x

p

y

Figura 2.5. Distancia de L a P

La distancia d del punto P a la recta Les

d =∣∣PQ

∣∣,

donde Q es el punto de interseccion de

la recta peerpendicular a L que pasa

por P .

Ejercicio 3. Halle la distancia entre la recta 3x − 4y = −10 y el punto P

que es la interseccion de las rectas 2x− 3y = 3 y x− 2y = 1.

Vectores en el plano (R2)

Definicion 2.1 (Vector). Geometricamente, un vector es un segmento

de recta dirigido, analıticamente es una pareja ordenada de numeros reales.

Notacion. Los vectores de R2 los denotaremos mediante letras con una flecha

encima, por ejemplo, #»a ,#»

b , #»v ,#»

A. Un vector tambien se puede representar por

un segmento rectilıneo dirigido en la forma# »

PQ donde P es el origen, cola o

punto de aplicacion y Q es el extremo o cabeza.

b

b

b

b

O

R(a, b)

#»

R= (a,

b)P (x

1, y

1)

Q(x2, y

2)

x

y

Figura 2.6. Vector posicion

Si la cola es el origen, se escribira#»

R en

vez de# »

OR. Ası, es posible asociar a cada

punto R(a, b) del plano un unico vector#»

R = (a, b) cuya cola es el origen, que se

denomina vector localizado (anclado)

o vector de posicion del punto R, figura

2.6. Ası, se puede hacer la identificacion

R(a, b)←→ #»

R = (a, b).



Vector nulo. El vector nulo es el vector#»

0 = (0, 0) o#»

0 =

(

00

)

.

Definicion 2.2 (Igualdad de vectores).

1. Geometricamente.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

0

1

2

O

#»v

x

y

Figura 2.7. Vectores iguales en R2

Dos vectores no nulos son iguales si

tienen la misma longitud y direccion.

Dibuje otros vectores que sean iguales

a #»v .

2. Analıticamente. Los vectores #»v1= (x

1, y

1) y #»v

2= (x

2, y

2) son iguales si

y .

Ejercicio 4. Determine los valores de los escalares λ y β, si existen, de modo

que los vectores #»v1= (2− λ,−3) y #»v

2= (−3− 2β,−λ+ β) sean iguales.

Ejercicio 5. Sea #»u = (1,−3).

a) Dibuje un vector #»v igual a #»u con cola en el punto P (−5, 4).

b) Dibuje un vector #»w igual a #»u con cabeza en el punto Q(5,−1).

Norma de un vector. Sea #»u = (a, b)

en R2, la norma, longitud o magnitud de#»u , denotada por ‖ #»u‖, es

‖ #»u‖ = O

#»u = (a, b)

‖#»u‖ =√ a

2 +b2

x

y

Figura 2.8. Norma

Ejercicio 6. Halle la norma de los siguientes vectores

a) #»u = (−3, 4) b) #»v = (−6, 8)c) #»v = (6,−8) d)

#»

0 = (0, 0)



Teorema 4 (Propiedades de la norma). Sean #»u , #»v ∈ R2 y λ ∈ R.

No. propiedad nombre

1. ‖ #»u‖ ≥ 0 No negatividad

2. ‖ #»u‖ = 0 si y solo si #»u =#»

0

3. ‖λ #»u‖ = |λ| ‖ #»u‖ Homogeneidad

Definicion 2.3 (Direccion de un vector en R2). Sea #»u = (a, b) ∈ R2,#»u 6= #»

0 . La direccion de #»u , denotada por θ = dir #»v , es el angulo θ con menor

valor absoluto que forma el vector con la parte positiva de las abscisas.

θ1

θ2

θ3

θ4

#»v1

#»v2

#»v3

#»v4

x

y

(a) −π < θi ≤ π

θ1

θ2

θ3

θ4

#»v1

#»v2

#»v3

#»v4

x

y

(b) 0 ≤ θi < 2π

Figura 2.9. Direccion de un vector en R2

En la figura 2.9(a) se muestra la direccion de varios vectores.

La direccion θ de un vector #»u = (x1, y

1) de R2 se puede determinar mediante

tan θ = si x16= 0

¿Que sucede si x1= 0?

Ejercicio 7. Halle la longitud y direccion de los siguientes vectores:

a) #»v1= (4, 4)

b) #»v2= (−4, 4)

c) #»v3= (−4,−4)

d) #»v4= (4,−4)

e) #»v = (0, b), b ∈ R

f) ı = (1, 0)

g) = (0, 1)

h) u = (1/√2,−1/

√2)



Vector unitario. Sea #»u ∈ R2, se dice que #»u es unitario si y solo si ‖ #»u‖ = 1.

Si #»u es unitario, se denota por u.

Los vectores ı = (1, 0) y = (0, 1) se denominan vectores canonicos.

Nota. La direccion de un vector no nulo #»u de R2, tambien se puede definir

como el angulo de menor giro positivo del vector con respecto al eje positivo

de las abscisas, como se ilustra en la figura 2.9(b).

2.2.2. Leccion 2. Operaciones con vectores en R2

Se estudian los conceptos geometricos y analıticos de las operaciones suma

y multiplicacion por un escalar de los vectores de R2, al igual que sus

propiedades. Ademas, se contextualizan estos conceptos en una aplicacion.

Tambien se estudian los vectores desde la estructura de espacio vectorial

y se introduce el concepto de combinacion lineal como celula generadora

para llegar a las definiciones de dependencia e independencia lineal, espacio

generado y conjunto generador.

Definicion 2.4 (suma).

1. Geometricamente.

Desde este punto de vista, la suma de vectores en R2 se puede realizar

mediante dos procedimientos equivalentes: regla del triangulo y regla del

paralelogramo. Sean #»v1y #»v

2dos vectores de R2, complete la siguiente

figura.

#»v1

#»v2

(a) Regla del triangulo

#»v1

#»v2

(b) Regla del paralelogramo

Figura 2.10. Suma geometrica de vectores



2. Analıticamente.

La suma de los vectores #»v1= (x

1, y

1) y #»v

2= (x

2, y

2) de R2, denotada por

, se define como:

#»v1+ #»v

2=

Definicion 2.5 (Multiplicacion por un escalar).

1. Geometricamente.

#»v

λ #»vb

#»v

λ #»v

(a) Dilatacion: |λ| > 1

#»v

λ #»v

b

λ #»v

#»v

(b) Contraccion: 0 < |λ| < 1

Figura 2.11. Multiplicacion por un escalar

2. Analıticamente. La multiplicacion del vector #»v = (x, y) por el escalar

λ se denota por y se define como

Ejercicio 1. Responda las siguientes preguntas

a) ¿Como es la direccion de λ #»v comparada con la de #»v ?

b) ¿A que es igual ‖λ #»v‖? c) ¿Que sucede con el vector #»v si λ = 0?

Ejercicio 2. Considere los vectores #»v1= (2, 3) y #»v

2= (−1, 4). Realice las

siguientes operaciones en forma analıtica y geometrica.

a) #»v1+ #»v

2b) − #»v

2c) #»v

1− #»v

2d) 2 #»v

1+ 3 #»v

2

Ejercicio 3. Una empresa de artıculos deportivos tiene dos fabricas y en cada

una se ensamblan bicicletas de montana fabricada en aluminio y titanio. La

primera planta produce 180 bicicletas de aluminio y 18 de titanio por dıa.

La segunda 240 y 20, respectivamente. Si v1=(

180, 18)

y v2=(

240, 20)

.

a) Calcule e interprete el significado de las siguientes expresiones



i. v1+ v

2ii. v

2− v

1iii. 10v

2iv. 2v

1+ 3v

2

b) ¿Cuantos dıas deberıa trabajar cada fabrica para que la empresa entregue

4920 bicicletas de aluminio y 520 de titanio? (Ejemplo 10, pag. 73 de [7]).

Propiedades de la suma y la multiplicacion por un escalar

Sean #»u , #»v , #»w ∈ R2; λ, β ∈ R. Las siguientes propiedades se satisfacen:

No. Propiedad Nombre

1S. #»u + #»v es un vector de R2

2S. #»u + #»v = #»v + #»u

3S. ( #»u + #»v ) + #»w = #»u + ( #»v + #»w ) Asociativa

4S. #»u +#»

0 = #»u

5S. #»u + (− #»u) =#»

0 Invertiva

1M. λ #»u es un vector de R2

2M. λ( #»u + #»v ) = λ #»u + λ #»vDistributiva de la multiplicacion por un

escalar con respecto a la suma vectorial

3M. (λ+ β) #»u = λ #»u + β #»u

4M. (λβ) #»u = λ(β #»u) = β(λ #»u) Regularidad escalar

5M. 1 #»u = #»uModulativa de la multiplicacion por un

escalar

Definicion 2.6 (Espacio vectorial). El conjunto R2 con las operaciones

suma y multiplicacion por un escalar satisfaciendo las propiedades 1S–5S,

1M–5M, que denotaremos 〈R2,+, .〉, es un espacio vectorial.

Ejercicio 4. Halle el valor de las constantes, si existen, de modo que

a) #»v = (5,−3) = λ1(1, 0) + λ

2(0, 1)

b) #»v = (5,−3) = λ1(1, 0) + λ

2(0, 1) + λ

3(2, 3)

c) #»v = (5,−3) = λ1(1,−1) + λ

2(−2, 2)

d) #»v = (−1/2,√7) = λ

1(1, 0) + λ

2(0, 1)



Definicion 2.7 (Combinacion lineal). Sean #»u , #»v1, #»v

2, . . . , #»v

k∈ R2. El

vector #»u es combinacion lineal de los vectores #»v1, #»v

2, . . . , #»v

k, si existen

escalares λ1, λ

2, . . . , λ

ktales que

#»u = λ1

#»v1+ λ

2

#»v2+ · · ·+ λ

k

#»vk=

k∑

i=1

λi

#»vi.

Ejercicio 5. Determine los vectores de R2 que sean combinacion lineal de

a) #»v1= (1, 3), #»v

2= (−1,−1) b) #»v

1= (1, 3), #»v

2= (−2,−6)

Definicion 2.8 (Dependencia e independencia lineal). Los vectores#»v

1, #»v

2, . . . , #»v

kde R2 son linealmente independientes (LI) si el vector

nulo se puede escribir de manera unica como combinacion lineal de los

vi, i = 1, 2, . . . , k. Es decir

#»

0 =k∑

i=1

λi

#»vi

implica 0 = λ1= λ

2= · · · = λ

k

En otro caso, se dice que los vectores son linealmente dependientes (LD)

Ejercicio 6. Determine si los siguientes vectores son LI o LD.

a) #»v1= (1, 3), #»v

2= (−1,−1) b) #»v

1= (1, 3), #»v

2= (0, 0)

c) #»v1= (1, 3), #»v

2= (−2,−6) d) #»v

1= (1, 3), #»v

2= (−1,−1), #»v

3= (3, 5)

Definicion 2.9 (Vectores paralelos). Dos vectores no nulos #»u y #»v son

paralelos si existe un escalar (no nulo) λ tal que .

Definicion 2.10 (Espacio generado). Sea S = #»v1, #»v

2, . . . , #»v

k ⊂ R2. El

espacio generado por S, denotado por genS, esta formado por todos los

vectores #»u que son combinacion lineal de #»v1, #»v

2, . . . , #»v

k. Es decir,

genS =

#»u ∈ R2 | #»u = λ1

#»v1+ λ

2

#»v2+ · · ·+ λ

k

#»vk=

k∑

i=1

λi

#»vi

.

Ejercicio 7. Determine el espacio generado por el conjunto de vectores dados



a) #»v1= (2,−1), #»v

2= (−4, 2) b) #»v

1= (2,−1), #»v

2= (1, 3)

Definicion 2.11. Se dice que S = #»v1, #»v

2, . . . , #»v

k ⊂ R2 es un conjunto

generador de H ⊆ R2 si todo vector #»u en H se puede escribir como

combinacion lineal de los elementos de S.

2.2.3. Leccion 3. Producto escalar en R2

Se introduce el producto escalar como otra operacion que se realiza entre

vectores, se estudian sus propiedades y el uso de las mismas en la definicion

de angulo entre vectores y proyecciones.

Definicion 2.12 (Producto escalar). Sean #»u = (x1, x

2) y #»v = (y

1, y

2)

vectores de R2. El producto escalar o producto punto entre #»u y #»v ,

denotado por #»u •#»v , se define como

#»u •#»v = .

Ejercicio 1. Sean #»u = (2, 2), #»v = (−1, 2) y #»w = (3,−2). Halle #»u •#»v ,

#»v •#»u , #»u •

#»w, 2 #»u •#»v , #»u • ( #»u + #»w), #»u •

#»u y #»v •#»w

Teorema 5 (Propiedades). Sean #»u , #»v , #»w ∈ R2 y λ ∈ R


1. #»u •#»v = #»v •

#»u Conmutativa

2. #»u • ( #»v + #»w) = #»u •#»v + #»u •

#»w

3. λ( #»u •#»v ) = (λ #»u) •

#»v = #»u • (λ #»v )

4. ‖ #»u‖2 = #»u •#»u

Angulo entre vectores y proyecciones

Teorema 6 (Angulo entre vectores). Sean #»u y #»v dos vectores no nulos

de R2 y θ el angulo entre ellos. Entonces



cos θ =#»u •

#»v

‖ #»u‖ ‖ #»v‖ .O

#»u

#»v

θ

Figura 2.12. Angulo entre vectores

Ejercicio 2. Que se puede decir de los vectores #»u y #»v si:

a) #»u •#»v = 0

b) el angulo entre ellos es θ = 0 o π radianes

Definicion 2.13 (Vectores ortogonales). Dos vectores no nulos #»u y #»v

son ortogonales (perpendiculares) si el angulo entre ellos es .

Ejercicio 3. Si ‖ #»a‖ = 3 y∥∥∥

#»

b

∥∥∥ = 5. Calcule

∥∥∥

#»a +#»

b

∥∥∥ en cada caso:

a) #»a y#»

b son ortogonales b) el angulo entre ellos es π/3

Teorema 7 (Desigualdad de Cauchy–Schwarz). Si #»u y #»v son vectores

de R2, entonces | #»u •#»v | ≤ ‖ #»u‖ ‖ #»v‖

Definicion 2.14 (Proyeccion y componente). Sean#»

0 6= #»u , #»v ∈ R2.

1. La proyeccion de #»v sobre #»u , denotada por proy #»u#»v , esta dada por

proy #»u#»v =

2. La componente de #»v sobre #»u , denotada por comp #»u#»v , esta dada por

comp #»u#»v =

O #»u

#»v#»w

θ

(a) 0 < θ < π/2

b

O #»u

#»v

θ = 90

(b) θ = π/2

O #»u

#»v#»w

θ

(c) π/2 < θ < π

Figura 2.13. Proyecciones en R2



Ejercicio 4. Sean #»u = (4, 3) y #»v = (−3, 2). Calcule proy #»u#»v , comp #»u

#»v

proy #»v#»u y comp #»v

#»u . Dibuje los vectores.

Ejercicio 5. Probar que #»w = #»v − proy #»u#»v es ortogonal a #»u .

2.2.4. Leccion 4. Vectores en R3 y Rn

Se inicia el estudio de los vectores en R3 y Rn generalizando las definiciones,

operaciones y propiedades desarrolladas en las lecciones anteriores. Se espera

que sean los mismos alumnos los que escriban sus propias definiciones a partir

de los conceptos estudiados en vectores de R2.

Vectores en R3 y en Rn

Los planos coordenados xy, xz y yz dividen al espacio en ocho regiones

llamadas octantes. Los primeros cuatro estan situados encima del plano

xy y se enumeran de acuerdo al orden en que aparecen los cuadrantes en

dicho plano. Los restantes se encuentran ubicados debajo del plano xy y se

continua la numeracion siguiendo el mismo orden.

Ejercicio 1. Determine el signo de cada una de las coordenadas

xy

z

Plano xy

Plano

xzPlano yz

I

II

III

IV

V

V I

V III

Octante x y z

I + + +

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

Ejercicio 2. Ubique en R3 cada uno de los siguientes puntos, indicando el

octante en que se encuentran.



a) (1, 0, 0)

b) (0, 1, 0)

c) (0, 0, 1)

d) (1, 1, 1)

e) (2,−6,−4)

f) (−2,−1, 2)

g) (−3, 1,−1)

h) (−2,−3,−1)

Definicion 2.15 (Igualdad de vectores).

1. Los vectores #»v1= (x

1, y

1, z

1) y #»v

2= (x

2, y

2, z

2) son iguales si ,

y .

2. Los vectores #»v1= (x

1, x

2, . . . , xn) y #»v

2= (y

1, y

2, . . . , yn) son iguales si

, , . . . y .

Definicion 2.16 (Norma o longitud de un vector).

1. Sea #»v = (x1, x

2, x

3) un vector de R3. La norma de #»v , denotada por ‖ #»v‖,

se define como

‖ #»v‖ = .

2. Sea #»v = (x1, x

2, . . . , x

n) un vector de Rn. La norma de #»v , denotada por

‖ #»v‖, se define como

‖ #»v‖ = .

Nota. La norma de los vectores en R3 y en Rn, satisface las mismas propie-

dades dadas en el Teorema 4, pagina 31 para vectores de R2.

Definicion 2.17 (Vector unitario).

Definicion 2.18 (Vectores canonicos). Los vectores canonicos

1. en R2 son: ı = (1, 0) y = (0, 1),

2. en R3 son: ı = (1, 0, 0), = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1),

3. en Rn son: e1= (1, 0, . . . , 0), e

2= (0, 1, . . . , , 0), . . . , en = (0, 0, . . ., 1).

Definicion 2.19. La direccion de un vector #»v no nulo de Rn, se define como

el vector unitario u =1

‖ #»v‖#»v .



Angulos y cosenos directores

En R2. Sea#»

0 6= #»v = (x1, y

1) ∈ R2.

α1

α2

#»v = (x1, y

1)

x

y

Figura 2.14. Angulos directores en R2

cosα1=

cosα2=

cos2 α1+ cos2 α

2=

En R3. Sea #»v = (x1, y

1, z

1) ∈ R3, #»v 6= #»

0 .

x

y

z

b

#»v = (x1, y

1, z

1)

O

α1

α2

α3

Figura 2.15. Angulos directores en R3

cosα1=

cosα2=

cosα3=

cos2 α1+ cos2 α

2+ cos2 α

3=

En Rn. Sea #»v = (x1, x

2, . . . , x

n) ∈ Rn, #»v 6= #»

0 .

cosα1= , cosα

2= , . . . , cosα

n=

cos2 α1+ cos2 α

2+ · · ·+ cos2 α

n=

Ejercicio 3. Halle un vector #»v ∈ R2 si se sabe que ‖ #»v‖ = 4 y el angulo

director α1= 3π

4.

Ejercicio 4. Encuentre un vector en R3 de longitud 6, cuyas componentes

sean positivas y tenga angulos directores iguales.



Definicion 2.20 (Distancia).

1. Sean P (x1, y

1, z

1) y Q(x

2, y

2, z

2) dos puntos de R3. La distancia d entre P

y Q, denotada por , se define como

d =

2. Sean P (x1, x

2, . . . , x

n) y Q(y

1, y

2, . . . , yn) puntos de Rn. La distancia d

entre P y Q, denotada por , se define como

d =

Ejercicio 5. Determine el conjunto de puntos P (x, y, z) que estan a R uni-

dades de distancia del punto C(x0, y

0, z

0).

Definicion 2.21. El conjuto de puntos P (x, y, z) ∈ R3 que estan situados a

una distancia r > 0, denominado radio, a un punto fijo C(x0, y

0, z

0), llamado

centro, recibe el nombre de superficie esferica o simplemente esfera.

Ejercicio 6. Halle la ecuacion de la esfera de centro C(5, 2,−2) y radio 4.

2.2.5. Leccion 5. Operaciones con vectores en R3 y Rn

Se estudian los vectores de Rn desde la estructura de espacio vectorial. El

estudiante generalizara las definiciones de combinacion lineal, dependencia e

independencia lineal, espacio generado y conjunto generador dados en R2.

Operaciones con vectores

Definicion 2.22 (Suma).

1. La suma de #»v1= (x

1, y

1, z

1) y #»v

2= (x

2, y

2, z

2) se denota por

y se define como

2. La suma de #»v1= (x

1, x

2, . . . , xn) y #»v

2= (y

1, y

2, . . . , yn) se denota por

y se define como



Definicion 2.23 (Multplicacion por un escalar).

1. La multiplicacion del vector #»v = (x, y, z) por el escalar λ se denota por

y se define como

2. La multiplicacion del vector #»v = (x1, x

2, . . . , xn) por el escalar λ se denota

por y se define como

Definicion 2.24. Rn, n ≥ 1 con las operaciones suma y multiplicacion

por un escalar definadas anteriormente es un espacio vectorial. Se denota

〈Rn,+, ·〉.

Definicion 2.25 (Combinacion lineal). Sean #»u , #»v1, #»v

2, . . . , #»v

kvectores

en Rn. El vector #»u es combinacion lineal de #»v1, #»v

2, . . . , #»v

k, si existen escalares

λ1, λ

2, . . . , λ

ktales que

#»u = λ1

#»v1+ λ

2

#»v2+ · · ·+ λ

k

#»vk=

k∑

i=1

λi

#»vi

Ejercicio 7. Determine si #»u es combinacion lineal de los vectores dados

a) #»u =

2

1

5

; #»v

1=

1

2

1

, #»v

2=

1

0

2

b) #»u =

4

2

2

; #»v

1=

1

−2−4

, #»v

2=

1

3

5

, #»v

3=

2

1

1

c) #»u =

−14

2

2

; #»v1=

1

0

0

1

, #»v2=

1

1

0

0

, #»v3=

0

1

2

1

. Ejer. 25, pag. 289 de [5].

d) #»u =

−11

−4

; #»v

1=

1

3

5

, #»v

2=

1

1

3

, #»v

3=

2

−28



e) #»v =

x

y

z

; ı =

1

0

0

, =

0

1

0

, k =

0

0

1

Definicion 2.26 (Dependencia e independencia lineal). Los vectores#»v

1, #»v

2, . . . , #»v

kde Rn son linealmente independientes (LI) si el vector nulo

se puede escribir de manera unica como combinacion lineal de ellos. Es

decir

#»

0 =k∑

i=1

λi

#»vi

implica 0 = λ1= λ

2= · · · = λ

k

En otro caso, se dice que los vectores son linealmente dependientes (LD)

Ejercicio 8. Determine si los siguientes vectores son LI o LD.

a) #»v1=

1

2

3

, #»v

2=

−1−1−3

, #»v

3=

0

0

1

b) #»v1=

1

2

3

, #»v

2=

−1−1−3

, #»v

3=

0

1

0

c) #»v1=

1

2

3

4

, #»v2=

−1−1−32

Definicion 2.27 (Vectores paralelos). Dos vectores no nulos #»u y #»v son

paralelos si existe un escalar (no nulo) λ tal que .

Definicion 2.28 (Espacio generado). Sea S = #»v1, #»v

2, . . . , #»v

k ⊂ Rn. El

espacio generado por S, denotado por genS, esta formado por los vectores#»u que son combinacion lineal de los vectores #»v

1, #»v

2, . . . , #»v

k. Es decir,

genS =

#»u ∈ Rn | #»u = λ1

#»v1+ λ

2

#»v2+ · · ·+ λ

k

#»vk=

k∑

i=1

λi

#»vi; λi ∈ R

.

Definicion 2.29. Se dice que S = #»v1, #»v

2, . . . , #»v

k ⊂ Rn es un conjunto

generador de H ⊆ Rn si todo vector #»u perteneciente a H se puede escribir

como combinacion lineal de los elementos de S.

Ejemplo 2.1. S =

1

1

1

,

1

0

1

,

1

1

0

es un conjunto generador de R3.



2.2.6. Leccion 6. Producto escalar en R3 y Rn

Los alumnos generalizaran la definicion de producto escalar para los vectores

de R3 y Rn a partir de lo estudiado en R2.

Definicion 2.30 (Producto escalar). Considere los dos vectores#»u = (x

1, x

2, . . . , xn) y #»v = (y

1, y

2, . . . , yn) de Rn. El producto escalar

o producto punto entre #»u y #»v , denotado por #»u •#»v , se define como

#»u •#»v = .

Ejercicio 1. Sean #»u = (2, 1, 5), #»v = (−1, 3, 4) y #»w = (7, 8, 6). Realice las

operaciones que se indican

a) #»u •#»u b) ‖ #»u‖2 c) #»u •

#»v d) #»v •#»u e) #»u •

#»w

f) #»u •#»v + #»u •

#»w g) #»u • ( #»v + #»w)

Teorema 8 (Propiedades). Sean #»u , #»v , #»w ∈ Rn y λ ∈ R.


1. #»u •#»v = #»v •

#»u Conmutativa

2. #»u • ( #»v + #»w) = #»u •#»v + #»u •

#»w

3. λ( #»u •#»v ) = (λ #»u) •

#»v = #»u • (λ #»v )

4. ‖ #»u‖2 = #»u •#»u

Ejercicio 2. Sean #»u , #»v ∈ Rn; n > 1, λ ∈ R. Responda falso o verdadero.

Justifique claramente su respuesta.

a) Si #»u 6= #»

0 y #»v 6= #»

0 , entonces #»u •#»v 6= 0.

b) #»u •#»u > 0.

c) Si #»u •#»v = #»u •

#»w y #»u 6= #»

0 , entonces #»v = #»w.



Angulo entre vectores y proyecciones

Teorema 9 (Desigualdad de Cauchy–Schwarz). Para #»u , #»v ∈ Rn,

| #»u •#»v | ≤ ‖ #»u‖ ‖ #»v‖

Definicion 2.31 (Angulo entre vectores). Sean #»u y #»v vectores no nulos

de Rn. El angulo θ entre ellos se define como el angulo que satisface

cos θ =#»u •

#»v

‖ #»u‖ ‖ #»v‖ .

Ejercicio 1. Que se puede decir de los vectores #»u y #»v si:

a) #»u •#»v = 0

b) el angulo entre ellos es θ = 0 o π radianes

Definicion 2.32 (Vectores ortogonales). Dos vectores no nulos #»u y #»v

son ortogonales (perpendiculares) si el angulo entre ellos es .

Ejercicio 2. Sean #»a ,#»

b ∈ Rn. Si ‖ #»a‖ = 3 y ‖ #»

b ‖ = 5, calcule ‖ #»a − 2#»

b ‖ si

a) #»a y#»

b son ortogonales b) el angulo entre ellos es 2π/3

Ejercicio 3. Halle el angulo entre #»u = (1, 0, 0, 1) y #»v = (0, 1, 0, 1), (ejemplo

No. 11, pagina 237 de [5].)

Ejercicio 4. Determine los valores de a de modo que #»u = (a, 2, 1, a) y#»v = (a,−1,−2,−3) sean ortogonales.

Ejercicio 5. Sean #»u , #»v ∈ Rn. Demostrar las siguientes propiedades

1. ‖ #»u + #»v‖ ≤ ‖ #»u‖+ ‖ #»u‖. (Desigualdad triangular)

2. ‖ #»u + #»v‖2 = ‖ #»u‖2 + ‖ #»v‖2, si #»u y #»v son ortogonales. (Teorema de

Pitagoras)

Definicion 2.33 (Proyeccion y componente). Sean#»

0 6= #»u y #»v dos

vectores de Rn.



1. La proyeccion de #»v sobre #»u , denotada por proy #»u#»v , esta dada por

proy #»u#»v =

2. La componente de #»v sobre #»u , denotada por comp #»u#»v , esta dada por

comp #»u#»v =

Ejercicio 6. Determine proy #»v#»u y comp #»v

#»u dado que #»u = (2, 1, 0,−1) y#»v = (0, 0, 1, 4).

2.2.7. Leccion 7. Producto vectorial en R3

Se introduce el producto vectorial como otra operacion entre vectores de R3

y sus propiedades, se finaliza con el calculo de areas y volumenes como una

aplicacion de algunas de estas.

Ejercicio 1. Calcule detA si A =

2 −1 2

3 0 4

−1 1 5

.

Definicion 2.34 (Producto cruz). Sean #»u = (u1, u

2, u

3) y #»v = (v

1, v

2, v

3)

vectores de R3. El producto cruz o producto vectorial entre #»u y #»v ,

denotado por #»u × #»v , esta dado por

#»u × #»v =

∣∣∣∣∣

u2u

3

v2v3

∣∣∣∣∣ı−

∣∣∣∣∣

u1u

3

v1v3

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣

u1u

2

v1v2

∣∣∣∣∣k =

∣∣∣∣∣∣∣

ı k

u1u

2u

3

v1v2v3

∣∣∣∣∣∣∣

Ejercicio 2. Sean #»u = (1,−1, 3), #»v = (2, 1,−2), #»w = (1, 2,−5) ∈ R3 y

λ ∈ R. Realice las operaciones que se indican

a) #»u × #»v

b) #»v × #»u

c) #»u × #»

0

d) #»u × #»u

e) λ #»u × #»u

f) #»u • ( #»u × #»v )

g) #»v • ( #»u × #»v )

h) #»u × #»w

i) #»v × #»w

j) #»u × ( #»v + #»w)

k) ( #»u + #»v )× #»w



Indique que relacion existe en las siguientes expresiones

i. #»u × #»v #»v × #»u ii. #»u × ( #»v + #»w) #»u × #»v + #»u × #»w

Las siguientes propiedades generalizan las ilustradas en el ejemplo anterior.

Teorema 10 (Propiedades). Sean #»u , #»v , #»w vectores de R3; λ, β ∈ R.


1. #»u × #»v = − #»v × #»u Anticonmutativa

2. #»u × ( #»v + #»w) = #»u × #»v + #»u × #»wDistributiva por la izquierda del

producto vectorial sobre la suma

3. ( #»u + #»v )× #»w = #»u × #»w + #»v × #»w

4. λ( #»u× #»v ) = (λ #»u)× #»v = #»u×(λ #»v )

5. #»u × #»

0 =#»

0 =#»

0 × #»u

6. #»u × #»u =#»

0

7. λ #»u × #»u =#»

0

8. #»u • ( #»u × #»v ) = 0 = #»v • ( #»u × #»v )

Ejercicio 3. Halle un vector unitario ortogonal a #»u = 2ı−3 y a #»v = 4+3k.

Teorema 11 (Identidad de Lagrange). Si #»u y #»v son vectores de R3,

entonces

‖ #»u × #»v‖2 = ‖ #»u‖2 ‖ #»v‖2 − ( #»u •#»v )2

Ejercicio 4. Demostrar: ‖ #»u × #»v‖ = ‖ #»u‖ ‖ #»v‖ sen θ, donde θ es el angulo

entre #»u y #»v .

Ejercicio 5. Sean #»a ,#»

b y #»c vectores de R3 tales que ‖ #»a‖ = 4, ‖ #»

b ‖ = 6 y el

angulo entre #»a y#»

b es θ = 2π/3. Si #»c = 3 #»a − ( #»a × 2#»

b ), calcule

i)#»

b •#»c . ii) ‖ #»c ‖. iii) El angulo entre

#»

b y #»c .

Definicion 2.35 (Producto mixto). Sean #»u , #»v y #»w vectores de R3. El

producto mixto o triple producto escalar de ellos es #»u • ( #»v × #»w).



Definicion 2.36 (Triple producto vectorial). Sean #»u , #»v y #»w vectores

de R3. El triple producto vectorial de ellos es #»u × ( #»v × #»w).

Teorema 12. Sean #»u , #»v y #»w vectores de R3. Entonces

1. #»u • ( #»v × #»w) = #»v • ( #»w × #»u) = #»w • ( #»u × #»v )

2. #»u × ( #»v × #»w) = ( #»u •#»w) #»v − ( #»u •

#»v ) #»w

Teorema 13. Sean #»u = (u1, u

2, u

3), #»v = (v

1, v

2, v

3) y #»w = (w

1, w

2, w

3).

Entonces

#»u • ( #»v × #»w) =

∣∣∣∣∣∣∣

u1u

2u

3

v1v2v3

w1w

2w

3

∣∣∣∣∣∣∣

Interpretacion Geometrica de ‖ #»u × #»v‖ y |( #»u × #»v ) •#»w|

#»u × #»v

θ

h

#»u

#»v h

#»u

#»v

#»w

#»u × #»v

ϕ

1. El area S del paralelogramo determinado cuyos lados adyacentes son los

vectores #»u y #»v esta dado por

S =

2. El volumen VPAR

del paralelepıpedo determinado por #»u , #»v y #»w es

VPAR

= |( #»u × #»v ) •#»w |

3. El volumen VTET

del tetraedro de vertices P,Q,R y S es

VTET

= 16

∣∣∣(

# »

PQ× # »

PR) •

# »

PS∣∣∣ = 1

6V

PAR



Ejercicio 6. Calcule

a) el area del paralelogramo y del triangulo cuyos vertices consecutivos son

los puntos P (1,−2, 3), Q(2, 1, 0) y R(0, 4, 0).

b) el volumen del paralelepıpedo cuyos lados adyacentes son los vectores#»u = (1, 2, 2), #»v = (−2, 1, 3) y #»w = (−3, 3, 1). Ejercicio 25 Pag. 271 de [2].

2.2.8. Leccion 8. Rectas y planos en R3

Se inicia con el estudio de la recta en R3, haciendo una analogıa con la

caracterizacion de la recta en R2 estudiada en el primer capıtulo. Se finaliza

con el estudio de los planos y la deduccion de su ecuacion cartesiana.

Rectas en R3

P (x0, y

0, z

0)

R(x,y, z)

b

b L

O

#»v

#»v = (a, b, c)

x

y

z

El vector# »

PR es paralelo

al vector #»v

Figura 2.16. Recta en R3

#»v : Vector director de L

Ecuacion vectorial

Ecuaciones parametricas

Ecuaciones simetricas

Ejercicio 1. Sean P (2, 3,−1) y Q(−1, 2, 4) dos puntos de R3.

a) Halle ecuaciones parametricas para la recta L que pasa por P y Q

b) Cuales de los siguientes puntos estan en L: R(−4, 1, 9), S(5, 4,−6),T (8, 5, 9).

c) Determine los puntos donde la recta corta a los planos coordenados



Ejercicio 2. Determine ecuaciones simetricas para la recta que pasa por el

punto P (3, 4, 5) y es paralela al vector #»v = −5ı+ 3k

a) Encuentre un punto en la recta y uno que no este en la recta.

b) ¿Las ecuaciones simetricas de la recta son unicas?

Definicion 2.37 (Rectas paralelas y perpendiculares). Sean L1y L

2

dos rectas en R3 con vectores directores #»v1y #»v

2, respectivamente. Entonces

L1y L

2son

1. paralelas (o coincidentes) si

2. perpendiculares si

Ejercicio 3. Determine que pares de rectas son paralelas, coincidentes,perpendiculares

L1:

x = −5− 2t

y = 2 + t ,

z = 6− 6t

L2:

x = − 3r

y = 1

2− r ,

z = 7 + 4r

L3:

x = 8 + s

y = 7− 1

2s ,

z = −1 + 3s

L4:

x = 7

5− u

y = −8− 9u

z = 9

4− 3u

Ejercicio 4. Sean L1y L

2dos rectas en el espacio. ¿Si L

1y L

2no son

paralelas, entonces L1y L

2siempre se cortan?

Planos en R3

P (x0, y

0, z

0)

b

bQ(x, y, z

O

#»n = (a, b, c)

π

x

y

z

Figura 2.17. Plano en R3

#»n : Vector normal del plano π

P : Punto fijo del plano

Q ∈ π si y solo si #»n •

# »

PQ = 0

Ecuacion cartesiana

π =



Ejercicio 5. Halle la ecuacion del plano que contiene el punto P (2, 3,−1) yes perpendicular a la recta L : x = 1− 2t, y = −2 + t, z = 3− t; t ∈ R

Ejercicio 6. Encuentre la ecuacion del plano que contiene los puntos

P (2, 3,−1), Q(3, 2, 1) y R(1, 0, 0).

Ejercicio 7. Determine la ecuacion del plano que contiene los puntos

P (1,−1, 2), Q(3, 5, 7) y es paralelo a la recta L :x− 3

2= y + 1 =

z − 1

−1 .

Ejercicio 8. Muestre que las rectas

L1 :

x = 1 + 3t

y = −2 + 4t ;

z = 4− 2t

t ∈ R y L2 :

x = 1− 32r

y = 1− 2r ;

z = −1 + r

r ∈ R

son paralelas y halle la ecuacion del plano que las contiene.

Definicion 2.38. Sean π1y π

2dos planos con vectores normales

# »

N1y

# »

N2

respectivamente. Los planos π1y π

2

1. Son paralelos si# »

N1y

# »

N2lo son y ademas, los planos no tienen puntos

en comun.

2. Son coincidentes si# »

N1y

# »

N2son paralelos y ademas, los planos se tocan

en todos sus puntos.

3. Son perpendiculares si# »

N1y

# »

N2lo son, es decir, si

# »

N1

•

# »

N2= 0

4. Son oblıcuos si el angulo θ entre# »

N1y

# »

N2satisface 0 < θ < π y θ 6= π

2.

Teorema 14 (Teorema resumen). Sea A una matriz de tamano n × n.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:


2. El sistema Ax = b tiene solucion para cada n-vector b y la

solucion es .






6. Las filas de A son

7. El espacio generado por las filas de A es . Es decir, genf1, . . . , fn=

8. Todo vector u ∈ Rn se puede escribir como

de las filas de A.

9. Las columnas de A son

10. El espacio generado por las columnas de A es . Es decir,

genc1, c

2, . . . , cn =


de las columnas de A.


Capıtulo 3

Matrices

A partir de algunas situaciones problemas el estudiante usara el concepto

de matriz y sus propiedades para su modelacion y solucion. Desarrollara

habilidades que le permitiran aplicar las propiedades de las operaciones

definidas sobre matrices para hacer demostraciones y simplificacion de

expresiones que las contienen. Ademas reconocera al conjunto de matrices

con las operaciones usuales de suma y multiplicacion por un escalar como

otro ejemplo de espacio vectorial.


A. Resuelve la siguiente situacion

Un proyecto de investigacion nutricional comprende adultos y ninos de

ambos sexos. La composicion de los participantes esta dada por la matriz

Adultos Ninos

A =

[

40 50

70 80

]

Hombres

Mujeres

El numero de gramos diarios de proteınas, grasa y carbohidratos que

consume cada nino y adulto esta dado por la matriz

53

54 Capıtulo 3. Matrices

Proteinas Grasas Carbohidratos

B =

[

20 20 20

10 20 30

]

Hombres

Mujeres

a) ¿Cuantos gramos de carbohidratos ingieren diariamente todos los

hombres y mujeres del proyecto?

b) ¿cuantos gramos de grasa consumen a diario todos las hombres? (Ba-

sado en el ejercicio 29, pagina 32 de [2]).

B. Teorıa.

1. Defina y construya ejemplos para cada una de las siguientes matrices:

a) Matriz nula

b) Matriz identidad

c) Transpuesta

d) Simetrica

e) Antisimetrica

f) Triangular inferior

g) Triangular superior

h) Diagonal

i) Ortogonal

j) Idempotente

k) Nilpotente

2. Encuentre una matriz B =

(

a b

c d

)

tal que

(

2 3

1 2

)

B =

(

1 0

0 1

)

.

3. Describa un procedimiento para calcular la inversa de una matriz A.

C. Responda falso o verdadero, justificando sus respuestas

Sean A,B y C matrices de tamanos tales que las operaciones indicadas

se pueden realizar.

1. El producto de matrices es conmutativo

2. Si AC = BC y C 6= 0, entonces A = B.

3. Si AB = 0, entonces A = 0 o B = 0. Nota: 0 es la matriz nula.

4. Si A y B matrices cuadradas entonces (AB)k = AkBk, k = 2, 3, . . .

5. Si A y B conmutan entonces (A+B)(A−B) = A2 −B2.

6. Si A y B son matrices invertibles, entonces A−B es invertible.

7. Si A es una matriz 2 × 2 no nula que satisface la ecuacion

(2A− I)(A− I) = I, entonces A es invertible.



D. Poniendo en practica lo aprendido.

1. Sean A =

(

1 2 x

3 −1 2

)

y B =

y

x

2

. Si AB =

(

6

8

)

, encuentre x y y.

(Ejercicio 4, pagina 31 de [2]).

2. Sean A =

2 −3 4

1 2 3

5 −1 −2

y B =

1 −13 2

2 4

. Exprese AB como una

combinacion lineal de las columnas de A. (Ejer. 14, pag. 31 de [2]).

3. Determine un valor de r y un valor de s de modo que ABT = 0, donde

A =(

1 r 1)

y B =(

−2 2 s)

. (Ejercicio 14, pagina 31 de [2]).

4. Simplifique las siguiente expresion

X = 13B(CTAB−T + 2CTB−T

)T (16A

TC)−1

.

5. Simplifique y encuentre la matriz X tal que

XC−1 = 2(CB−1A+CA)(CB−1A

)−1.

6. Sea A = QDQT , donde D es una matriz diagonal n× n. Demuestre

que A es simetrica.

7. Sea A una matriz n × n. Probar: Si A 6= 0,A2 6= 0, . . . ,Ak−1 6= 0 y

Ak = 0, entonces I −A es invertible. ¿Cual es su inversa?

E. Aplicaciones.

1. Un fabricante elabora productos P y Q en dos plantas X y Y . Durante

la fabricacion se producen los contaminantes bioxido de azufre, oxido

nıtrico y partıculas suspendidas. Las cantidades de cada contaminante

estan dadas en kilogramos por la matriz.

Bioxido de azufre Acido nıtrico Partıculas

A =

[

300 100 150

200 250 400

]

Producto P

Producto Q



Los reglamentos estatales exigen la eliminacion de estos contami-

nantes. El costo diario por deshacerse de cada kg. de contaminante

esta dado en dolares por la matriz

Planta X Planta Y

B =

8 12

7 9

15 10

Bioxido de azufre

Acido nıtrico

Partıculas

a) Halle el costo de deshacerse de los contaminantes del producto P

en la planta X.

b) Halle el costo de deshacerse de los contaminantes del producto Q

en la planta Y.

2. Investigue en su Facultad o programa una aplicacion que requiera de

la teorıa de matrices para su modelado o solucion.


3.2.1. Leccion 1. Definicion, operaciones y propiedades

Se inicia retomando el concepto de matriz introducido en el capıtulo 1 y el

estudiante complementara los espacios con sus caracterısticas basicas tales

como notacion, tamano y sus componentes. Ademas, construira definiciones

y ejemplos de algunos tipos de matrices. Se continua con las definiciones y

propiedades de las operaciones de suma de matrices y multiplicacion por un

escalar, para llegar a la estructura de espacio vectorial.

Definicion 3.1 (Matriz m×n). Una matriz de tamano m×n es un arreglo

rectangular de mn numeros (reales o complejos) escritos en forma de m



renglones o filas y n columnas

a11

a12

. . . a1j

. . . a1n

a21

a22

. . . a2j

. . . a2n

......

. . ....

. . ....

ai1

ai2

. . . aij . . . ain...

.... . .

.... . .

...

am1

am2

. . . amj

. . . amn

Notacion y observaciones

1. Las matrices se denotan con y para abreviar se

escribe

2. En el tamano de la matriz A, m y n

3. Si m = n se dice que A es una matriz de orden

4. Las componentes de la diagonal principal de A son

5. Las componentes de la fila i de A son y for-

man un vector de tamano . Es decir,

reniA = Ai =

6. Las componentes de la columna j de A son

y forman un vector de tamano . Es decir,

coljA = A(j) =

Definicion 3.2 (Igualdad). Dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q son

iguales si , y .



Ejercicio 1. Determine los valores de λ y β, si existen, de modo que

a) A = B b) C = A c) B = C.

A =

(

4 −2−5 7

)

, B =

(

3λ− 2 7− λ− β

−5 2β − 7

)

, C =

(

3 5

−5 7

)

Ejercicio 2. Defina las siguientes matrices y de por lo menos dos ejempos

de cada una

a) Matriz nula: .

Ejemplos:

b) Matriz triangular superior: .

Ejemplos:

c) Matriz triangular inferior: .

Ejemplos:

d) Matriz diagonal: .

Ejemplos:

e) Matriz identidad: .

Ejemplos:



Operaciones y propiedades

Definicion 3.3 (Transposicion). Sea A = (aij) un matriz m × n. La

transpuesta de A es la matriz B = (bij) de tamano tal que

Definicion 3.4 (Suma). SeanA = (aij) yB = (bij) dos matrices de tamano

m× n. La suma de A y B, es la matriz C = A+B, tal que cij =

Definicion 3.5 (Multiplicacion por un escalar). Sean A = (aij) una

matriz de tamano m× n y λ un escalar. La multplicacion de λ con A, es la

matriz B = λA tal que bij = .

Ejercicio 3. Considere las matrices

A =

(

1 2 3 4

5 6 7 8

)

, B =

(

−3 5 6 −10 2 11 9

)

, C =

1

2

5

y D =

(

1 2 5)

De ser posible, realice las siguientes operaciones:

a) A+B b) C +D c) −1A d) AT +BT e) CT +D

f) Halle la matriz E tal que 3A− 2B +E = 0

Teorema 15 (Propiedades de la suma y la multiplicacion por un

escalar). Sean A, B, C matrices; λ, β ∈ R.

No. Suma No. Multiplicacion por un escalar

1. A+B es una matriz 1. λA es una matriz

2. A+B = B +A 2. 0A = 0

3. (A+B) +C = A+ (B +C) 3. λ(A+B) = λA+ λB

4. A+ 0 = A 4. (λ+ β)A = λA+ βA

5. A+ (−A) = 0 5. 1A=A

Definicion 3.6. El conjunto de matrices m × n con la suma y la multipli-

cacion es un espacio vectorial. Se denota por 〈Mm×n,+, ·〉



3.2.2. Leccion 2. Producto y propiedades

Se define el producto y la transpuesta de matrices como otras operaciones,

asimismo se estudian sus propiedades. El estudiante usara dichas propiedades

en la simplificacion de expresiones que las contienen.

Definicion 3.1 (Multplicacion de matrices). Sean A = (aij) y B = (bij)

dos matrices de tamanos m× p y p× n, respectivamente. La multiplicacion

o producto de A con B, que se denota por , es la matriz C = (cij) de

tamano tal que cij =

Ejercicio 1. Halle AB y BA si A =

1 −10 2

4 −3

y B =

(

2 −3 −44 7 6

)

a) ¿El producto de matrices es conmutativo?

b) Dadas dos matrices, ¿siempre es posible realizar el producto entre ellas?

c) Sean A y B matrices tales que AB existe. ¿AB es un matriz cuadrada?

Ejercicio 2. Sean A =

(

2 3 x

1 1 −2

)

y B =

x

y

−1

. Halle los valores de x y

y, si existen, tales que AB =

(

7

5

)

.

Teorema 16 (Propiedades). Sean AB, y C matrices de modo que las

operaciones que se indican, se pueden realizar y λ ∈ R.

No. producto No. transpuesta

1. (AB)C = A(BC) 1.(AT)T

= A

2. A(B +C) = AB +AC 2. (AB)T = BTAT

3. (A+B)C = AC +BC 3. (A+B)T = AT +BT

4. AI = IA = A 4. (λA)T = λAT



Ejercicio 3. Sean A,B,C y D matrices de tamano 4 × 4. Si BD = I y

CCT = I, simplificar la expresion: X = B(DATC +DC)(ATC)T .

Definicion 3.2 (Matriz simetrica). Sea A una matriz cuadrada de orden

n. Se dice que A es simetrica si

Definicion 3.3 (Matriz antisimetrica). Sea A una matriz cuadrada de

orden n. Se dice que A es antisimetrica si

Ejercicio 4.

1. Complete las componentes que hacen falta para que la matriz sea

simetrica o antisimetrica, segun sea el caso:

A =

1 3

2 5

8

, B =

0 −2 3

−4

2. Construya ejemplos de matrices simetricas y antisimetricas.

Ejercicio 5. Sean A y B matrices simetricas de orden n. Demostrar: AB

es simetrica si y solo si A y B conmutan.

Ejercicio 6. Sean A =

(

1 5

1 2

)

y B =

(

1 −2−2 4

)

. Halle, si existe, una

matriz X tal que XA = B +XT .

3.2.3. Leccion 3. Inversa de una matriz cuadrada

Se introduce la inversa de una matriz cuadrada a partir del producto y la

igualdad de matrices. Se continua con el estudio de sus propiedades y se

finaliza con el uso de dichas propiedades en la demostracion de teoremas y

simplificacion de expresiones que contienen matrices.



Ejercicio 1. Encuentre una matriz B tal que AB = I2, si A =

(

1 1

2 3

)

.

Definicion 3.4 (Inversa). Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se di-

ce que A es invertible o no singular si tal

que . En este caso, se dice que es la inversa de A. En caso

contrario, se dice que A es no invertible o singular.

Ejercicio 2. Sean A y B matrices cuadradas. Demostrar: Si A es una

matriz invertible, entonces su inversa es unica.

Notacion. Si A es invertible, su inversa se denota por A−1.

Ejercicio 3. Probar: Si A satisface la ecuacion (A − 2I)(A + I) = 0,

entonces A es invertible. ¿A que es igual A−1?

Ejercicio 4. Describa un procedimiento para hallar la inversa de una matriz.

Ejercicio 5. Halle, si existe, la inversa de las siguientes matrices

a) A =

(

1 3

−2 −7

)

b) B =

(

1 −6−2 12

)

c) C =

1 −3 1

−2 4 4

1 −4 3

Ejercicio 6. Sea A una matriz de orden n invertible.

a) ¿Cuantos pivotes tiene A?

b) ¿Cuantas soluciones tiene el sistema Ax = b? y

Definicion 3.5 (Potencias de matrices). Sea A una matriz cuadrada de

orden n. Las potencias de A se definen de la siguiente manera

1. A0 = I si A 6= 0. 2. Ak = Ak−1A; k = 2, 3, . . .

Ejercicio 7. Calcule A2 en cada caso y BBT



a) A =

(

1 0

1 0

)

b) A =

(

0 1

1 0

)

c) A =

(

0 1

0 0

)

d) B =

(2√5− 1√

51√5

2√5

)

Ejercicio 8. Defina las siguientes matrices

a) Matriz idempotente:

b) Matriz nilpotente:

c) Matriz ortogonal:

Teorema 17 (Propiedades). Sean A y B dos matrices invertibles de orden

n, 0 6= λ ∈ R y k un entero positivo.

1.(A−1

)−1= 3. (λA)−1 =

2. AB es invertible y (AB)−1 = 4. (A−1)T = y A−k =

Ejercicio 9. Considere las matrices:

A =

0 −1 1 0

2 1 0 2

1 −1 3 0

0 1 1 1

y B =

4 −1 −1 0

−1 4 0 −1−1 0 4 −10 −1 −1 4

a) Simplifique y encuentre la matriz X, si

XA−1 = 4A−1(AB−1C +AC)(2AB−1C)−1.

b) Calcular las componentes x32

y x22

de la matriz X.

Ejercicio 10. Sean A y B matrices invertibles ¿(A+B)−1 = A−1 +B−1?

Justifique





1. A es invertible.



solucion es .







de las filas de A.



genc1, c

2, . . . , cn =

12. Todo vector u ∈ Rn se puede escribir como de

las columnas de A.


Capıtulo 4

Determinantes

Se introduce la definicion de determinante y a partir de ejercicios de tipo

algorıtmico los estudiantes ilustraran sus propiedades. Ademas, se calcularan

determinantes de matrices cuadradas usando propiedades para comparar las

ventajas sobre el uso de la definicion.


A. Teorıa.

1. Describa un metodo para calcular el determinante de una matriz A.

2. ¿A que es igual el determinante de una matriz triangular?

3. ¿Como es detA comparado con det(AT )?

4. Si A es una matriz que tiene una fila (o columna) de ceros, ¿Que se

puede concluir del valor de su determinante?

5. ¿Que valores puede tomar el determinante de A, si A es una matriz:

a) antisimetrica b) ortogonal c) idempotente.

B. Responda verdadero o falso, justificando sus respuestas

1. Si A y B matrices de orden n, entonces det(AB) = det(BA).

65

66 Capıtulo 4. Determinantes

2. Si A y B son matrices de tamano n× n, entonces

det (A−B) = detA− detB.

3. Si A y B son matrices equivalentes por renglones, detA = detB.

4. El sistema homogeneoAx = 0 tiene infinitas soluciones si |A| 6= 0.

5. A y su adjunta conmutan.

6. Si A es una matriz singular, entonces detA 6= 0

7. Si A es no singular, A−1 =1

detAadjA

C. Poniendo en practica lo aprendido.

1. Use propiedades del determinante para calcular detA en cada caso

a) A =

1 −2 3

−3 5 −82 5 2

b) A =

1 3 4 5

−1 −2 −3 −41 4 −1 2

2 7 3 7

2. Si

∣∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣∣

= 20, calcule

∣∣∣∣∣∣∣

a d g

5b 5e 5h

c+ a f + d i+ g

∣∣∣∣∣∣∣

.

3. Si

∣∣∣∣∣∣∣

x y z

3 0 2

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣

= 2, halle

∣∣∣∣∣∣∣

2x 2y 2z

3x+ 3 3y 3z + 2

x+ 2 y + 2 z + 2

∣∣∣∣∣∣∣

.

D. Aplicaciones.

Use determinantes para encontrar

a) El area del rectangulo con lados adyacentes #»u = (2, 3) y #»v = (6,−4).b) El volumen del paralelepıpedo cuyos lados estan determinados por los

vectores #»u = (2, 2, 0), #»v = (4,−4, 1) y #»w = (2,−2,−16). (Ejercicio11, pagina 162 de [1]).



Ejercicios adicionales

1. Si k ∈ R y A es una matriz n× n, entonces det(kA) = .

2. Sea A una matriz no singular de n× n. Calcule det(adjA).

3. Determine los valores de λ, si existen, para los cuales la matriz

A =

−λ λ− 1 λ+ 1

1 2 3

2− λ λ+ 3 λ+ 7

no tiene inversa.

4. Sea A una matriz 4× 4 tal que∣∣2A−1

∣∣ = 2. Calcule

∣∣−AT

∣∣.

5. Sean A y B matrices de simetricas de 4× 4. Si∣∣2B−1

∣∣ = 2, encuentre el

valor de λ de modo que[AB(adjB −B−1) +A

]−1AT = λI.

6. Sean y A =

−1 0 0

0 1 0

0 0 2

y B =

0 0 2

3 0 1

1 2 3

. Simplifique y encuentre la

matriz X tal que X =(A+B−1A

) (3B−1A

)−1 |AB|. Halle x31

y x32.

7. Sean A, B y C matrices 3 × 3 tales que |A| = 4, |B| = −2 y |C| = 3,

calcule∣∣(adjA)(A−1BCT )

∣∣+∣∣(ABTC−1)−1

∣∣−1


4.2.1. Leccion 1. Definiciones y propiedades

Se define el determinante de una matriz cuadrada y se deducen algunas de

sus propiedades a partir de ejemplos y se concluye con la formalizacion de

las mismas. Al finalizar la leccion, el alumno podra calcular determinantes

de una matriz usando tanto la definicion como las propiedades.

Definicion 4.1 (Determinante 2 × 2). Sea A =

(

a11

a12

a21

a22

)

. El determi-

nante de A, se denota por detA o y se define como

detA =



Definicion 4.2 (Menor ij de A). Sea A = (aij) un matriz de tamano

n× n. El menor ij de A, se denota por M ij y se define como la matriz que

se obtiene de A al suprimirle la fila i−esima y la columna j−esima.

Ejercicio 1. Calcule M11,M

12y M

13de la matriz A =

2 −2 3

−2 3 −73 −3 8

.

Definicion 4.3 (Cofactor1 ij de A). Sea A = (aij) un matriz cuadrada

de orden n. El cofactor ij de A, se denota por Aij y se define como

Aij = (−1)i+j|Mij|.

Observe que (−1)i+j =

1 si i+ j es par

−1 si i+ j es impar

Ejercicio 2. Calcule A11, A

12y A

13de la matriz A del ejercicio anterior

Nota. La matriz formada por las cofactores de A, se denomina matriz de

cofactores y se denota por cof A. Es decir, cof A =(Aij

).

Definicion 4.4 (Determinante n× n). El determinante de la matriz

A =

a11

a12

. . . a1n

a21

a22

. . . a2n

......

. . ....

an1

an2

. . . ann

,

se denota por y se define como

= a11A

11+ a

12A

12+ · · ·+ a

1nA

1n=

n∑

j=1

a1jA

1j

Ejercicio 3. Calcule el determinante y la matriz de cofactores de la matriz

A del ejercicio 1.

1Algunos autores usan la notacion cij para denotar los cofactores.



Ejemplificando (NO DEMOSTRANDO) propiedades del determinante

1. El determinante de A =

3 5 3

0 7 7

0 0 −6

es: ¿Que clase de matriz

es A?

2. El determinante de B =

(

8 0

0 4

)

es: ¿Que clase de matriz es

B? ¿Como es el valor del determinante de las matrices A

y B comparado con el producto de sus componentes de la diagonal

principal?

Teorema 1. Si A es una matriz triangular, entonces detA =

3. Considere las matrices A =

(

2 1

3 4

)

y B =

(

−2 3

4 −6

)

.

a) detA = ¿A es invertible?

b) detB = ¿B es invertible?

¿Que relacion hay entre el determinante de una matriz con el hecho

que la matriz tenga inversa?

Teorema 2. A = (aij) es una matriz invertible si y solo si detA .


(

2 1

3 4

)

y B =

(

1 3

−2 −9

)

. Calcule:

AB, A−1, B−1, |A|, |B|, |AB|,∣∣A−1

∣∣ y∣∣B−1

∣∣.

a) ¿Como es |AB| comparado con |A||B|?b) ¿Como es |A| comparado con

∣∣A−1

∣∣?

c) ¿Como es |B|−1 comparado con |B|?

Teorema 3. Sean A y B dos matrices de tamano n× n. Entonces

det(AB) = .



Teorema 4. Si A es invertible, entonces det(A−1) =

5. Responda verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones,

Justifique su respuesta

a) det(AB) = det(BA)

b) det(A+B) = detA+ detB

c) det(A+A−1) = 1

d) det(AA−1) = 1

Ejercicio 4. Encuentre los valores de k para los cuales la matriz

A =

(

k −34 1− k

)

es singular.

6. Sea A =

(

1 2

3 4

)

. Calcule el determinante de la matriz B en cada

caso.Comparelo con |A| e identifique la operacion que se realizo a la

matriz A para obtener la matriz B.

a) B =

(

3 4

1 2

)

, |B| = = |A|. Operacion:

Teorema 5. Si B es una matriz que se obtiene de A al intercambiar

dos filas (columnas), entonces |B| = |A|.

b) B =

(

5 10

3 4

)


Teorema 6. Si B es una matriz que se obtiene de A al multiplicar

una fila (columna) por una constante λ 6= 0, entonces |B| = |A|.

c) B =

(

3 6

6 8

)


d) B =

(

5 10

15 20

)




Teorema 7. Sea 0 6= λ ∈ R y B una matriz de n×n tal que B = λA,

entonces |B| = |A|.

e) B =

(

1 2

0 −2

)


Teorema 8. Si B es una matriz que se obtiene de A al sumarle a un

renglon (columna) un multiplo escalar de otro, entonces |B| |A|.

Ejercicio 5. Utilice las propiedades de los determinantes para calcular detA

en cada caso.

a) A =

1 −2 3

−2 3 −73 −3 8

b) A =

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

4.2.2. Leccion 2. Propiedades (continuacion). Relacion

determinante e inversa

Se continua con la ejemplificacion y deduccion de propiedades del determi-

nante y se establece la relacion de este con la inversa de una matriz.


(

7 2

3 10

)

y A =

7 9 3

0 10 8

5 0 −6

. Calcule

|A|,∣∣AT

∣∣ para cada matriz A. ¿Como es |A| comparado con

∣∣AT

∣∣?

Teorema 9. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Entonces |A|∣∣AT

∣∣

Consecuencia: El determinante de una matriz se puede calcular por cual-

quier fila o columna. Esto es:

|A| =

ai1A

i1+ a

i2A

i2+ · · ·+ a

inA

in; para i = 1, 2, . . . , n

a1jA

1j+ a

2jA

2j+ · · ·+ a

njA

nj; para j = 1, 2, . . . , n



Ejercicio 1. Si

∣∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣∣

= −15, encuentre

∣∣∣∣∣∣∣

a d g

4b 4e 4h

c− a f − d i− g

∣∣∣∣∣∣∣

.

8. Calcule detA en cada caso.

a) A =

(

3 −6−12 24

)

. ¿Como son las filas de A?

b) A =

(

2 5

2 5

)

. ¿Como son las filas de A?

Teorema 10. Si A es una matriz que tiene por lo menos una fila (columna)

multiplo escalar de otra, entonces |A| = .

9. Sean A =

(

11 5

4 8

)

, B =

(

−2 3

4 8

)

y C =

(

9 8

4 8

)

. Halle

|A|, |B| y |C|. Comparelos ¿Que relacion puede establecer?

Observe: A, B y C se diferencian unicamente en la primera fila. Ademas, la

primera fila de C es la suma de la primera fila de A con la primera fila de B.

Teorema 11. Sean A, B y C matrices de tamano n × n que difieren solo

en la fila i. Si la fila i de C es la suma de la fila i de la matriz A con la fila

i de la matriz B. Entonces |C| |A|+ |B|.

Determinante e inversa

Definicion 4.5 (Matriz adjunta). Sea A = (aij) de tamano n × n. La

adjunta de A, denotada por adjA, se define como la transpuesta de la matriz

de cofactores de A.

Ejercicio 2. Encuentre la adjunta de la matriz A del ejercicio 1 de la leccion

4.2.1, calcule A adjA y (adjA)A.

Teorema 12. A adjA = |A| I



Ejercicio 3. Si A es singular, A adjA = 0. Justifique.

Ejercicio 4. SeanA yB matrices n×n. Muestre que adj(AB) = adjB adjA.

Justifique.

Ejercicio 5. Demuestre. Si A es no singular, entonces A−1 =1

|A| adjA.

Demostracion

Ejercicio 6. Sea An×n una matriz invertible. Pruebe que |adjA| = |A|n−1.

Ejercicio 7. Sean A y B matrices cuadradas de orden 4. Si∣∣−B−1

∣∣ = 1

2y

|A| = 3, calcule el determinante de la matriz C = A[B(adjB −B−1

)]+A

Ejercicio 8. Muestre que∣∣∣[adj(AC)]

(ABTC

)−1∣∣∣ =

|A|2|C|2|B| . Halle su

valor siA,B yC son matrices 4×4 tales que |A| = 3, |B| = −8 y∣∣2CT

∣∣ = −32.

Regla de Cramer

Sea A una matriz n×n invertible. Entonces el sistema Ax = b tiene solucion

unica dada por

xj =|Aj||A| , j = 1, 2, . . . , n,

dondeAj es la matriz que se obtiene deA reemplazando la j−esima columna

de A por el vector columna b.

Ejercicio 9. Resuelva los siguientes sistemas mediante la regla de Cramer

a)2x+ 3y = 3

3x+ 2y = 2 b)

x− y + z = 2

2x+ y + z = 2

3x+ 2y − 2z = 3





1. A es invertible.



solucion es .




7. detA




de las filas de A.



genc1, c

2, . . . , cn =


las columnas de A.


Capıtulo 5

Espacios vectoriales reales

Se generalizan algunos conceptos estudiados en los capıtulos 2 y 3, vectores

en R3 y matrices m×n, y se introduce el concepto de espacio vectorial como

una estructura algebraica sobre un conjunto no vacıo en el cual se definen

dos operaciones, una interna llamada suma, ⊕, y una externa al conjunto

denominada multiplicacion por un escalar, ⊙. Asimismo, se generaliza el

concepto de combinacion lineal como celula generadora para la definicion de

dependencia e independencia lineal, espacio generado y conjunto generador

de un espacio vectorial.

Se estudian caracterizaciones para determinar si un subconjunto no vacıo de

un espacio vectorial es un subespacio. Se finaliza con el cambio de base y el

proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt.


A. Teorıa Realice un estudio comparativo entre la definicion de espacio

vectorial general y la definicion de espacio vectorial en R2, Rn y Mm×n.

Establezca similitudes y diferencias.

B. Poniendo en practica la aprendido

1. V = (R2,⊕,⊙) es un espacio vectorial, donde ⊕ y ⊙ se definen de la

75

76 Capıtulo 5. Espacios vectoriales reales

siguiente manera:

(x, y)⊕ (z, w) = (x+ z − 1, y + w − 1)

λ⊙ (x, y) = (λx− λ+ 1, λy − λ+ 1)

a) Halle el elemento neutro para la suma ası definida

b) Encuentre el opuesto para cada vector v de R2

c) Verifique que λ⊙ [(x, y)⊕ (z, w)] = λ⊙ (x, y)⊕ λ⊙ (z, w)

2. V = (R+,⊕,⊙) es un espacio vectorial, donde ⊕ y ⊙ se definen de la

siguiente manera:

x⊕ z = xz

λ⊙ x = xλ

a) Determine el elemento neutro para la suma ası definida

b) Encuentre el opuesto para cada vector v de R+

c) Compruebe que (λ+ µ)⊙ x = λ⊙ x⊕ µ⊙ x

3. Sean W = gen (1, 1, 1), (1, 0, 2) y H =(x, y, z) ∈ R3 : 3x− 2y + z = 0

subespacios de R3.

a) Determine W ∩H

a) Halle una base para W ∩H y dim (W ∩H)

4. Determine el valor (o valores) de λ de modo que el vector #»v = (1, 3, λ)

no este en el espacio generado por #»v1= (1, 0,−2) y #»v

2= (2,−1, 5).

5. Sean #»x1, #»x

2, . . . , #»x

k∈ Rn, 2 ≤ k ≤ n, tales que #»x i •

#»x j =

0, si i 6= j

1, si i = j.

Muestre que #»x1, #»x

2, . . . #»x

kson linealmente independientes.

6. Construya una base de R3 que contenga a #»v1=

1

0

1

y a #»v

2=

1

−11

.

Explique claramente su respuesta.



7. Construya una base para R4 que contenga a #»v1=

1

0

2

0

y a #»v2=

1

−1−21

.

Explique claramente su respuesta.

8. Sean B1 = #»v1= (1, 2), #»v

2= (1, 0) y B2 = #»w

1, #»w

2 bases de R2. Si la

matriz de transicion de B1 en B2 es PB1B2=

(

2 1

1 1

)

, halle la base B2.

9. Encuentre una base para el nucleo y la imagen de cada una de las

siguientes matrices. Ademas, determine su nulidad y su rango.

a) A =

1 −1 2

−3 4 −55 −6 12

a) B =

1 −1 0

0 1 1

2 −1 −1−1 1 2

10. Construya una base ortonormal para

H =(x, y, z) ∈ R3 : 3x− 2y − z = 0

.

C. Responda verdadero o falso a las siguientes afirmaciones.

Justifique cada una de sus respuestas

1. Los vectores 1, x, x2, 2− x+ x2 generan a P2.

2. Los vectores 1, x, x2, 2− x+ x2 forman una base para P2.

3. Todo conjunto generador de un espacio vectorial es una base.

4. Toda base de un espacio vectorial es un conjunto generador.

5. El conjunto S =

A1=

(

2 2

6 0

)

,A2=

(

1 −13 2

)

es una base para

H =

(

a a− b

3a b

)

: a, b ∈ R

.

6. Sea A una matriz 4×5. Si el rango de A es 4, entonces kerA = 0

D. Aplicaciones. Consulte en su Facultad sobre aplicaciones de espacios

vectoriales. Ademas, consulte como se aplican los conceptos de espacio

vectorial en comunicaciones.




5.2.1. Leccion 1. Definicion. Subespacios

Con esta la leccion el alumno podra determinar si un conjunto dado con las

operaciones definidas en el, es un espacio vectorial o no. Asimismo, sera capaz

de verificar cuando un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio.

Definicion 5.1 (Espacio Vectorial). Sea V un conjunto no vacıo, en el

cual se definen dos operaciones ⊕ y ⊙, llamadas suma y multiplicacion

por un escalar (numero real), respectivamente. Se dice que V con las dos

operaciones es un espacio vectorial, si satisface los siguientes axiomas:

Para la suma Para la multiplicacion por un escalar

1S. Si u, v ∈ V , entonces u⊕ v ∈ V 1M. Si u ∈ V y λ ∈ R, entones λ⊙u ∈ V

2S. Si u, v ∈ V, entonces u⊕ v = v ⊕ u2M. Si u,v ∈ V y λ ∈ R, entonces

λ⊙ (u⊕ v) = λ⊙ u⊕ λ⊙ v

3S. Para cada u, v, w ∈ V , se tiene

(u⊕ v)⊕w = u⊕ (v ⊕w)

3M. Si u ∈ V y λ, β ∈ R, entonces

(λ+ β)⊙ u = λ⊙ u⊕ β ⊙ u

4S. Existe e ∈ V tal que para cada u ∈ V ;

u⊕ e = u

4M. Si u ∈ V y λ, β ∈ R, entonces

(λβ)⊙ u = λ⊙ (β ⊙ u)

5S. Para cada u ∈ V , existe w ∈ V tal

que u⊕w = e

5M. Para cada u ∈ V, 1⊙ u = u

Notacion y observaciones.

1. Un espacio vectorial se denota de cualquiera de las siguientes formas:

(V, ⊕, ⊙), (V, ⊕), V.

2. Cada uno de los elementos de un espacio vectorial se llama vector.

3. El vector e se llama el elemento identidad o el modulo para ⊕.

4. El vector w ∈ V de la propiedad 5S se llama el inverso de u, y se

denota por ⊖u; de modo que u⊖ u = u⊕ (⊖u) = e.



5. Cuando no se indican las operaciones, se asume que son las usuales.

Cuando se especifican las usuales, estas no se encierran en un cırculo.

En este caso, e = 0 y ⊖u = −u.

Ejercicio 1. Determine cuales de los conjuntos con las operaciones indicadas

son espacios vectoriales. Si no lo es, diga que propiedades no satisface.

a) V = (N,+)

b) V = (Z,+)

c) V = (Q,+)

d) V = (I,+)

e) V = (R,+)

f) V = (R2,+)

g) V = (Rn,+)

h) V = (M2×2,+)

i) V = (M2×2, ·)

j) V = (M−1n×n,+)

k) V = (Mm×n,+)

l) V = (M−1n×n, ·)

m) V =

(

x

y

)

: y = 2x+ 1

n) V =

(

x

y

)

: y = 2x

n) V = (P2,+)

Notaciones.

• Mm×n representa las matrices de tamano n× n.

• M−1n×n representa las matrices invertibles de tamano n× n.

• P2representa los polinomios de grado ≤ 2 junto con el polinomio 0.

• Pn representa los polinomios de grado ≤ n junto con el polinomio 0.

Definicion 5.2 (Subespacio).

Teorema 1 (Caracterizacion de subespacio). Sea V un espacio vectorial

y H un subconjunto no vacıo de V . H es un subespacio de V si y solo

λh1+ βh

2∈ H para todo h

1,h

2∈ H y λ, β ∈ R.

Ejercicio 2. Pruebe las siguientes afirmaciones



a) Si 0 /∈ H, entonces H no es subespacio de V .

b) H no es subespacio de V , si en H no se cumple la cerradura para la suma.

c) H no es subespacio de V , si en H no se cumple la cerradura para la

multiplicacion por un escalar.

Ejercicio 3. Determine cuales de los siguientes subconjuntos son subespacios

del espacio vectorial dado

a) H =

(

x

y

)

∈ R2 : x ≥ 0 y y ≥ 0

b) H =

(

x

y

)

∈ R2 : y = 2x

c) H =

(

x

y

)

∈ R2 : y = 2x+ 3

d) H = D ∈Mn×n : D es diagonal

e) H =

A ∈M2×2 : A =

(

a 5a

b 0

)

; a, b ∈ R

f) H =p(x) = c+ bx+ ax2 ∈ P

2: a− 2b+ c = 0

g) H =(x, y, z) ∈ R3 : ax+ by + cz = 0; a, b, c ∈ R

h) H = A ∈Mn×n : |A| 6= 0

i) H = p(x) ∈ P4: gr(p(x)) = 4

j) H = 0

k) H = V

l) El conjunto dado por la grafica y = x2

x

y

Ejercicio 4. Sean H1y H

2subespacios de V .

a) Demostrar que H = H1∩H

2es un subespacio de V .

b) ¿H = H1∪H

2es un subespacio de V ?



5.2.2. Leccion 2. Combinacion lineal, independencia y

dependencia lineal, espacio generado

En esta leccion se generalizan los conceptos de combinacion, independencia

y dependencia lineal, ası como espacio generado y conjunto generador los

cuales fueron estudiados para vectores en Rn, n > 1 y para matrices m× n,

a cualquier conjunto que sea espacio vectorial. Con estas generalizaciones, el

estudiante podra avanzar hacia la abstraccion y entender los conceptos de

manera natural y coherente con el contenido desarrollado.

Definicion 5.3 (Combinacion lineal). Sean u,v1,v

2, . . . ,v

kelementos de

un espacio vectorial V . Se dice que u es combinacion lineal de los vectores

v1,v

2, . . . ,v

k, si existen escalares λ

1, λ

2, . . . , λ

ktales que

u = λ1v

1+ λ

2v

2+ · · ·+ λ

kv

k=

k∑

i=1

λivi

Observaciones.

1. La multiplicacion del escalar λi con el vector vi depende de la forma

como se haya definido en el espacio vectorial.

2. La igualdad (=) es la definida en cada espacio.

3. Despues de establecer la igualdad se obtiene un sistema de ecuaciones

lineales en λ1, λ

2, . . . , λk, el cual puede ser consistente en cuyo caso, u

es combinacion lineal de los vectores vi o ser inconsistente, de donde

se concluye que u no es combinacion lineal de los vi.

Ejercicio 1. Determine si u es combinacion lineal de los vectores dados.

a) u =

(

1

5

)

; v1=

(

1

3

)

, v2=

(

2

7

)

b) u =

(

−12

)

; v1=

(

1

−2

)

, v2=

(

−24

)



c) u = 5 + x2; v1= 1 + x, v

2= x2

d) u = 2 + 2x− x2; v1= 1 + x, v

2= x2

e) u =

(

4 −7 14

−9 10 2

)

; v1=

(

1 −1 2

0 4 5

)

, v2=

(

0 1 −23 2 6

)

f) u =

(

2 3

1 1

)

,v1=

(

1 1

1 0

)

,v2=

(

1 1

0 1

)

,v3=

(

1 0

1 1

)

Definicion 5.4 (Independencia y dependencia lineal). Sea V un

espacio vectorial y S = v1,v

2, . . . ,v

k ⊆ V . Se dice que S es un conjunto

de vectores linealmente independiente (LI) si el vector nulo se puede

escribir de manera unica como combinacion lineal de v1,v

2, . . . ,v

k. Es decir,

0 =∑

implica 0 = λ1= λ

2= · · · = λ

k

De otro modo, se dice que S es un conjunto linealmente dependientes

(LD).

Ejercicio 2. Determine si cada uno de los siguientes conjuntos de vectores

es linealmente independiente o dependiente.

a) S =

v1=

(

1

3

)

, v2=

(

2

7

)

b) S =v

1= 1 + x, v

2= 1 + x2, v

3= 1 + x+ x2

c) S =v

1= 1 + x, v

2= 1− 2x+ 3x2, v

3= 1 + x2

d) S =

v1=

1

2

3

, v

2=

6

11

17

, v

3=

−5−9−14

e) S =

A1=

(

1 0

0 0

)

, A2=

(

2 −10 0

)

,A3 =

(

−1 1

0 0

)



Definicion 5.5 (Espacio generado). Sea S = v1,v

2, . . . ,v

k ⊂ V . El

espacio generado por S es el conjunto de las combinaciones lineales de

v1,v

2, . . . ,v

k. Es decir:

gen v1,v

2, . . . ,v

k = u ∈ V : u = λ

1v

1+ λ

2v

2+ · · ·+ λ

kv

k

Ejercicio 3. Determine el espacio generado por los vectores

a) v1=

(

1

3

)

, v2=

(

2

7

)

b) v1=

(

1

−2

)

, v2=

(

−24

)

c) v1=

1

2

3

, v

2=

6

11

17

d) v

1= 1 + x, v

2= 2 + x2

e) v1= 1 + x, v

2= 1− 2x+ 3x2, v

3= 1 + x2

f) A1=

(

1 0

0 0

)

, A2=

(

2 −10 0

)

Definicion 5.6. Se dice que S = v1,v

2, . . . ,v

k ⊂ V es un conjunto

generador del espacio vectorial V si todo vector u ∈ V se puede escribir

como combinacion lineal de los elementos de S.

Ejercicio 4. Pruebe que S =

v1=

(

1

3

)

, v2=

(

2

7

)

, v3=

(

4

−2

)

es un

conjunto generador de R2.

Ejercicio 5. Pruebe que S1y S

2son conjuntos generadores de R3

S1=

−11

0

,

1

0

1

,

1

0

0

, S2=

1

0

0

,

0

1

0

,

0

0

1

Ejercicio 6. Pruebe que S1y S

2son conjuntos generadores de P

2

S1=v

1= 1, v

2= x, v

3= x2

S2=w

1= 1 + x+ x2, w

2= 1− x, w

3= 1 + x2

Ejercicio 7. Pruebe que S1es un conjunto generador de M2×2

S1 =

A1=

(

1 0

0 0

)

, A2=

(

0 1

0 0

)

, A3=

(

0 0

1 0

)

, A4 =

(

0 0

0 1

)



Observe que la diferencia de estas definiciones con las dadas para vectores en

Rn, n > 1 y para matrices m×n es que aquı se hace para cualquier conjunto

V que es espacio vectorial.

Ejercicio 8. Encuentre conjuntos generadores de las espacios vectoriales

dados que sean linealmente independientes.

a) Rn; S1=

S2=

b) P3; S1=

S2=

c) Pn; S1=

S2=

d) M2×2

; S1=

S2=

5.2.3. Leccion 3. Bases y dimension. Espacios

fundamentales de una matriz

Se describen los conceptos fundamentales de base y dimension de un espacio

finito dimensional. Ademas, se caracterizan los espacios fundamentales de

una matriz, haciendo enfasis en el espacio nulo. El estudiante finalizara la

leccion caracterizando las bases para un espacio vectorial dado, su dimension

y el uso del teorema de la dimension.

Definicion 5.7 (base). Sea S = v1,v

2, . . . ,v

n un subconjunto no vacıo

de un espacio vectorial V . Se dice que S es una base para V si

1. S genera a V . 2. S es un conjunto LI

Ejercicio 1. Determine si el conjunto dado es o no una base para V .



a) S =

v1=

(

1

1

)

, v2=

(

−13

)

; V = R2

b) S =

v1=

1

1

2

, v

2=

−13

2

, v

3=

−11

0

; V = R3

c) S =

v1=

1

1

0

, v

2=

−11

2

, v

3=

−13

4

; V = R3

d) S =f

1= 1 + x, f

2= 1− 2x+ 3x2, f

3= 1 + x2

; V = P

2

e) S =

(

1 1

1 1

)

,

(

1 1

1 0

)

,

(

1 1

0 0

)

,

(

1 0

0 0

)

; V = M2×2

Teorema 2. Si un espacio vectorial V tiene una base con n elementos,

entonces cualquier otra base de V tambien tiene n elementos.

El teorema anterior justifica la siguiente definicion.

Definicion 5.8 (Dimension). Si un espacio vectorial V tiene una base con

n elementos, se dice que V es finito–dimensional y n es la dimension de V .

Se denota por dimV = n. Si V = 0 , dimV = 0. En otro caso, se dice que

V es de dimension infinita.

En la pagina siguiente se muestra una tabla con los espacios vectoriales mas

usados con la base canonica y su dimension.



Bases canonicas

Espacio Base canonica Dimension

V = R 1 1

V = R2

(

1

0

)

,

(

0

1

)

2

V = R3

1

0

0

,

0

1

0

,

0

0

1

. Tambien e1, e

2, e

3 3

V = Rn e1, e

2, . . . , e

n, donde e

i=

0

0...

1...

0

0

←− Posicion i n

V = P1 1, x 2

V = P2 1, x, x2 3

V = Pn 1, x, x2, . . . , xn n+ 1

V = P 1, x, x2, . . . , xn, . . . ∞

V = M2×2

(

1 0

0 0

)

,

(

0 1

0 0

)

,

(

0 0

1 0

)

,

(

0 0

0 1

)

4

V = M2×3

(

1 0 0

0 0 0

)

,

(

0 1 0

0 0 0

)

, . . . ,

(

0 0 0

0 0 1

)

6

V = Mm×n

1 0 · · · 0

0 0 · · · 0...

.... . .

...

0 0 . . . 0

,

0 1 · · · 0

0 0 · · · 0...

.... . .

...

0 0 . . . 0

, . . . ,

0 0 · · · 0

0 0 · · · 0...

.... . .

...

0 0 . . . 1

mn



Ejemplo 5.1. Determine una base para el subespacio vectorial de R2

H =

(x

y

) ∣∣∣ 3x+ y = 0

.

Solucion. Como 3 · 0 + 0 = 0, entonces

(0

0

)

∈ H. Luego, H 6= ∅.

Sea

(x

y

)

∈ H. Entonces 3x+ y = 0. Es decir, y = −3x, x ∈ R. Luego,

(

x

y

)

=

(

x

−3x

)

= x

(

1

−3

)

, x ∈ R.

De ahı,H = gen

(

1

−3

)

. Por lo tanto, una base paraH es S =

(

1

−3

)

y su dimension es 1.

Ejercicio 2. Halle una base para cada uno de los siguientes subespacios

vectoriales y determine su dimension.

a) H =

x

y

z

∈ R3 : x+ y − 2z = 0

b) H = p(x) = d+ cx+ bx2 + ax3 ∈ P3 : a = b, c = d+ 2b

c) H = A ∈M2×2 : A es simetrica

Espacios fundamentales de una matriz

Sea A una matriz de tamano m× n.

Definicion 5.9 (Espacio nulo, nucleo o kernel). El espacio nulo,

nucleo o kernel de A, denotado por NA o kerA y se define como

NA = kerA = x ∈ Rn : Ax = 0 .



Teorema 3. kerA es un subespacio de Rn.

Demostracion. Es claro que kerA 6= ∅ pues 0 ∈ kerA. Ahora demostraremos

la cerradura de la suma y de la multiplicacion por un escalar

1. Sean x1,x

2∈ kerA. Entonces Ax

1= 0 y Ax

2= 0. (Hipotesis). Ahora,

A(x1+x

2) = Ax

1+Ax

2= 0+0 = 0. Esto implica que x

1,x

2∈ kerA.

2. Ahora consideremos, x1∈ kerA y λ ∈ R. Entonces Ax

1= 0. Ahora

A(λx1= λAx

1= λ0 = 0, de donde λx

1∈ kerA.

Por lo tanto, kerA es un subespacio de Rn.

Definicion 5.10 (Nulidad). La nulidad de A que se denota por ν(A) se

define como ν(A) = dim(kerA).

Ejercicio 3. Encuentre el nucleo, una base para el nucleo y la nulidad de

las siguientes matrices

a) A =

1 4 5 −70 1 −2 3

1 5 3 −4

b) B =

1 0 0

8 5 0

9 7 2

Complete el enunciado del siguiente teorema.

Teorema 4. An×n es invertible si y solo si ν(A) =

Definicion 5.11 (Imagen). La imagen de A es

imA = y ∈ Rm : Ax = y, para algun x ∈ Rn .

Teorema 5. imA es un subespacio de Rm.

Demostracion. Ejercicio

Definicion 5.12 (Rango). El rango de A es ρ(A) = dim(imA).

Ejercicio 4. Encuentre la imagen, una base para la imagen y el rango de

cada una de las matrices del ejercicio 3, pagina 88.



¿A que es igual la nulidad mas el rango de cada una de las matrices anteriores?

Teorema 6. An×n es invertible si y solo si ρ(A) =

Teorema 7 (Teorema de la dimension). Sea A una matriz de tamano

m× n, entonces

ν(A) + ρ(A) = n.

Definicion 5.13 (Espacio renglon). El espacio renglon o espacio fila

de Am×n denotado por FA o RA, se define como

FA = RA = gen f1, f2, . . . , f .

Definicion 5.14 (Espacio columna). El espacio columna de Am×n que

se denota por CA es

CA = gen c1, c

2, . . . , c .

Teorema 8. Si A una matriz de m× n, entonces

1. imA = CA 2. dimRA = dimCA = ρ(A)

Ejemplo 5.2. En la matriz A del ejercicio 3, pagina 88 se tiene

imA = CA = gen

1

0

1

,

0

1

1

=

x

y

z

∈ R3

∣∣∣ x+ y − z = 0

Teorema 9. Sea B una matriz equivalente por renglones con la matriz A.

Entonces

1. FA = FB 2. ν(A) = ν(B) 3. ρ(A) = ρ(B)

Ejercicio 5. Halle una base para el espacio fila y una base para el espacio

columna de las matrices del ejercicio 3, pagina 88.

Teorema 10. dim(FA) = dim(CA) = ρ(A)



5.2.4. Leccion 4. Vector de coordenadas, cambio de ba-

se, bases ortonormales y proyecciones en Rn

Al finalizar la leccion el alumno podra determinar las coordenadas de un

vector con respecto a una base fija. Ademas, realizara cambios de coordenadas

de una base a otra, usara el proceso de Gram-Schmidt para ortonormalizar

una base, es decir para encontrar otra que tenga vectores ortogonales y Se

generaliza el concepto de proyeccion estudiado en la leccion 3 seccion 2.2.3

del capıtulo 2 de la pagina 36.

Ejercicio 1. Sean

B1 =

#»u1=

(

1

0

)

, #»u2=

(

0

1

)

y B2 =

#»v1=

(

1

1

)

, #»v2=

(

1

2

)

bases de R2. Compruebe que los escalares que permite escribir los vectores

de la base B1 como combinacion lineal de los elementos de la base B2 son 2

y −1 para #»u1, y −1 y 1 para #»u

2. Se puede denotar

[ #»u1]B1

=

(

2

−1

)

y [ #»u2]B1

=

(

−11

)

.

Ejercicio 2. Considere B1 = 1, x, x2 la base canonica de P2

y

B2 = 2 + 3x+ x2, 1− 2x+ x2,−1 + 6x2 otra base.

a) Encuentre los escalares que permiten escribir cada vector de B1 como

combinacion lineal de los vectores de la base B2.

b) Encuentre los escalares que permiten escribir cada vector de B2 como

combinacion lineal de los vectores de la base B1.

Nota. Los escalares que se encuentran en los dos ejercicios anteriores y que

permiten escribir un vector como combinacion lineal de los vectores de una

base forman un vector columna denominado vector de coordenadas, tal

como se define a continuacion.



Definicion 5.15 (Vector de coordenadas). Sea V un espacio vectorial,

B = v1,v

2, . . . ,vn una base de V y u ∈ V . El vector de coordenadas de

u en la base B se define como el vector columna formado por los escalares

c1, c

2, . . . , cn que permiten escribir a u como combinacion lineal de los vectores

de la base B y se denota por [u]B. Es decir,

[u]B =

c1

c2

...

cn

si y solo si

Definicion 5.16 (Matriz de transicion). Sea V un espacio vectorial de

dimension n, B1 = v1,v

2, . . . ,vn y B2 bases de V . La matriz A tal que

A [u]B1= [u]B2

, (5.1)

se denomina la matriz de transicion de B1 a B2 y se denota por A = P B1B2.

Nota. La matriz de transicion de B1 a B2 esta dada por

A =(

[v1]B2

[v2]B2

. . . [vn]B2

)

Ejercicio 3. Escriba la matriz de transicion de B1 a B2 del ejercicio 1.

Ejercicio 4. Escriba la matriz de transicion de B2 a B1 del ejercicio 2.

Bases ortonormales

Ejercicio 5. Sea B = e1, e

2, . . . , en la base canonica de Rn. Entonces

1. ei • ej = para cada par de vectores distintos de B.

2. ‖ei‖ = para cada vector de B.

Una base B que satisface las dos condiciones anteriores se denomina base

ortonornmal de Rn. Ahora generalizamos este concepto.

Definicion 5.17. Sea S = u1,u

2, . . . ,u

k un subconjunto de Rn. Se dice

que S es un conjunto ortonormal si satisface las siguientes condiciones:

1.

2.

Si S satisface solo , se dice que S es ortogonal.



Ejercicio 6. Encuentre un conjunto de R3 que sea ortogonal y que no sea

ortonormal. ¿Cuantos elementos puede tener a lo sumo este conjunto?

Teorema 11. Si S = u1,u

2, . . . ,uk ⊆ Rn es ortogonal, entonces S es un

conjunto linealmente independiente.

Demostracion. Ejercicio

Definicion 5.18 (Base ortonormal). Una base de Rn que es un conjunto

ortonormal se denomina base ortonromal de Rn.

Proyecciones en Rn y proceso de Gram–Schmidt

Sea H un subespacio de Rn y S = v1,v

2, . . . ,vm una base de H. Para

construir una base B = u1,u

2, . . . ,um ortonormal para H a partir de S,

se procede de la siguiente manera:

u1=

w1

‖w1‖ , donde w

1= v

1. Observe que ‖u

1‖ =

u2=

w2

‖w2‖ , donde w

2= v

2− (v

2• u

1)u

1

En general

uk+1

=w

k+1∥∥w

k+1

∥∥, donde w

k+1= v

k+1−

k∑

i=1

(vk+1

• ui)u

i

O #»w1= #»v

1u1

#»w1= #»v

1

#»v2

#»w2

u1

u2

O

#»w1= #»v

1

#»v2

#»v3

#»w2

#»w3

u1

u2

u3

O

Figura 5.1. Proceso de Gram–Schmidt en R3



Ejercicio 7. Construya una base ortonormal para R3 a partir de la base

S =

1

0

1

,

1

1

0

,

1

1

1

Ejercicio 8. Sea H =

x

y

z

: x− y + z = 0

un subespacio de R3. Deter-

mine una base B para H y construya una base ortonormal a partir de B.

Ejercicio 9. Construya una base ortonormal para el nucleo de la matrices

dadas en el ejercicio 3 de la pagina 88.

Ejercicio 10. Determine una base ortonormal para

H = gen

v1=

1

−10

1

,v2=

2

3

1

0

,v3=

1

−21

−1

,v4=

1

1

1

−1

.



1. A es invertible.



solucion es .




7. detA






de las filas de A.



genc1, c

2, . . . , cn =


las columnas de A.

14. ν(A) =

15. ρ(A) =


Capıtulo 6

Transformaciones lineales

Se estudia el concepto de transformacion lineal y se analiza la geometrıa de

algunas transformaciones lineales en R2.

El estudiante reconocera las funciones que son transformaciones lineales,

sera capaz de representarlas matricialmente y de relacionar el espacio nulo e

imagen de la transformacion con la de la matriz que la representa, ası como

usar adecuadamente el teorema de la dimension.


A. Teorıa

Realice un estudio comparativo entre las operaciones y algunas funciones

estudiadas en los cursos de matematicas y determine cuales satisfacen

las proiedades de linealidad. Es decir, las dos propiedades que cumple y

definen una transformacion lineal

B. Aplicando la teorıa

1. Halle una transformacion lineal T : R2 7→ R3 si

T

(

1

3

)

=

2

−11

y T

(

−14

)

=

−42

−2

95

96 Capıtulo 6. Transformaciones lineales

2. Dada la transformacion lineal T : R4 7→ R3 definida por

T

x

y

z

w

=

x− 2y + 2z + 3w

y + 4z + w

x + 6z + 6w

a) Halle kerT , una base para kerT y la nulidad de T .

b) Encuentre imT , una base imT y el rango de T .

c) ¿El vector

2

−46

∈ imT? Explique su respuesta.

3. Sea T : P2 7→ P2 una transformacion lineal que satisface

T (1) = 1 + x, T (1 + x) = 2 + 3x+ x2, T (1− x+ x2) = 3 + 4x+ x2

a) Halle la transformacion lineal T .

b) Halle la matriz de la transformacion

c) Encuentre el nucleo y la nulidad de T .

d) Determine una base para la imagen y el rango de T .

4. Encuentre una transformacion lineal T : R3 7→ R2 tal que

kerT = gen

1

1

1

,

1

0

1

e imT =

(

a

b

)

∈ R2 : 2a− b = 0

5. Halle una transformacion lineal T : R2 7−→ R2 de manera que la region

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3-1

0

1

2

3

4

5

se transforme enu

v

-1 0 1 2 3 4 5-1

0

1

2

3

.

6. Sea T : R2 7→ R2 una transformacion definida por

T

(

x

y

)

=

(

cos θ − sen θ

sen θ cos θ

)(

x

y

)

, 0 ≤ θ < 2π (o − π < θ ≤ π).



a) Demuestre que T es una transformacion lineal

b) Halle la imagen de los vectores

(

1

0

)

,

(

0

1

)

y

(

3

2

)

i. Si θ = π/4 ii. Si θ = −π/3

c) Muestre que ‖T (v)‖ = ‖v‖, donde v =

(

x

y

)

.

7. Sea A =

(

1 2

−1 0

)

la matriz de la transformacion T : R2 7−→ R2,

referida a las bases B1 =(

1

2

)

,

(

3

4

)

y B2 =(

1

3

)

,

(

2

7

)

, halle la

transformacion.

8. Sea T : P27→ P

1una transformacion lineal definida por T (p) = p′, en

donde p′(x) =d

dx[p(x)].

a) Determine el nucleo de la transformacion y la nulidad.

b) Determine la imagen de la transformacion y el rango.

c) Halle la matriz de la transformacion con respecto a las bases: B1la base usual de P2 y B2 = 1, 1 + x base de P1.

9. Sea T : R3 → R2 una transformacion lineal definida por

T

x

y

z

=

(

x+ y − z

2x+ 3y − 4z

)

.

Si AT

=

(

2 1 −11 1 −3

)

es la matriz de T relativa a las bases

B1 =

#»v1=

1

2

1

, #»v

2=

3

2

3

#»v3=

−11

4

de R3 y B2 = #»w1, #»w

2

de R2, halle la base B2.

C. Responda verdadero o falso. Justifique claramente su respuesta

1. Si T : V 7→W una transformacion lineal uno a uno (o inyectiva),

entonces kerT = 0, (0 es el vector nulo de V ).



2. Si T : V 7→ W una transformacion lineal, entonces el nucleo y

la imagen de T siempre son diferentes de vacıo, es decir, kerT 6= ∅ eimT 6= ∅.

3. Si T : V 7→W es una transformacion lineal sobreyectiva, imT = W .

D. Aplicaciones

Identifique los conceptos que permiten solucionar la siguiente situacion.

Un caricaturista moderno emplea computadora y algebra lineal para

transformar las imagenes

-2 -1 0 1 2-1

0

1

2

3

b

b

b

b

b

b

b

b

T

x

y

(a)-2 -1 0 1 2

-1

0

1

2

3

b

b

b

b

b

b

b

b

u

v

(b)

Figura 6.1. Deslizamiento en transformaciones de imagenes

Suponga que trata de dar la sensacion de movimiento a la imagen de la

figura 6.1(a), inclinandola y estirandola (horizontalmente) en forma gra-

dual para llegar a la figura 6.1(b). Si el estiramiento gradual necesario,

por ejemplo, a lo largo del eje x es 50%, ¿como puede modelarlo ma-

tematicamente y hacer que la computadora trace la imagen inclinada?

(ver [7], pagina 306).


6.2.1. Leccion 1. Definicion y propiedades

Se estudia el concepto de transformacion lineal y las propiedades que la

caracterizan.



Al finalizar la leccion, dada una funcion, el estudiante podra determinar si es

o no una transformacion lineal a partir de la definicion o de las propiedades

que la caracterizan. Asimismo, conociendo las imagenes de los vectores de

una base del espacio de partida donde esta definida la transformacion lineal,

podra determinar la regla que la define.

Definicion 6.1 (Transformacion lineal). Sean V yW espacios vectoriales.

Una Transformacion Lineal T de V en W (T : V 7→ W ) es una funcion que

satisface las siguientes condiciones:

1. T (u+ v) = T (u) + T (v), para cada u,v ∈ V .

2. T (λu) = λT (u), para cada u ∈ V y para cada escalar (real) λ.

Ejercicio 1. Demuestre que la funcion T dada es una transformacion lineal.

a) T : R2 7→ R2; T

(

x

y

)

=

(

x

−y

)

.

b) T : R+ 7→ R, T (x) = ln x. Ver ejercicio B2 del taller pre-clase capıtulo 5.

Ejercicio 2. Sea T : R2 7→ R2;T

(

x

y

)

=

(

x+ βy

y

)

una transformacion lineal.

Bosqueje la region obtenida al aplicar la transformacion al rectangulo dado,

cuando β = 2 y cuando β = −3.y

x

-1 0 1 2 3 4-1

0

1

2

3

-1 0 1 2 3 4 5 6 7-1

0

1

2

3y′

x′

(b) β = 2-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1

0

1

2

3y′

x′

(c) β = −3

Observacion. Una transformacion lineal T : V 7→ W tambien recibe el

nombre de operador lineal.

Ejemplo 6.1. D : C1[R] 7→ C0[R] dada por D[f(x)] = f ′(x) es un operador

lineal, llamado operador derivada.



Teorema 1. Si T : V 7→ W es una transformacion lineal, entonces

1. T (0V ) = 0W . 2. T (u− v) = T (u)− T (v); u,v ∈ V .

3. T

(k∑

i=1

λivi

)

=k∑

i=1

λiT (vi); λi ∈ R, vi ∈ V .

Ejercicio 3. Determine cual o cuales de las siguientes funciones dadas son

transformaciones lineales:

a) T : R 7→ R; T (x) = −3xb) T : R 7→ R; T (x) = −3x+ 2

c) T : C1[0, 1] 7→ C[0, 1]; T (f(x)) = f ′(x)

d) T : Mm×n 7→Mn×n; T (A) = AT

e) T : R2 7→ P2;T (a, b) = a+ b+ (a+ b)x+ (2a− b)x2

Teorema 2. Si V es un espacio vectorial de dimension n con base

S = v1,v

2, . . . ,vn y T : V 7→ W es una transformacion lineal,

entonces para cada u ∈ V , T (u) queda completamente determinado por

T (v1), T (v

2), . . . , T (vn)

Ejercicio 4. Sea T : P17→ P

2la transformacion lineal definida por:

T (x+ 1) = x2 − 1 y T (x− 1) = x2 + x.

a) Halle la imagen del vector 5x− 1. Es decir, T (5x− 1) =

b) Determine la transformacion. Es decir, T (ax+ b) = .

6.2.2. Leccion 2. Nucleo e imagen. Representacion

matricial

Al culminar la leccion el estudiante podra representar matricialmente una

transformacion lineal que este definida en tre espacios de dimension finita.

Tambien determinara el nucleo y la imagen de una transformacion lineal y

los relacionara con los de la matriz que la representa, por ultimofinalmente

entendera y usara adecuadamente el teorema de la dimension.



Definicion 6.2 (Nucleo o Kernel). Sea T : V 7→ W una transformacion

lineal. El nucleo (o Kernel) de T , es el conjunto de todos los vectores

u ∈ V tales que T (u) = 0. Se denota por kerT o nuT . Es decir.

kerT = nuT = u ∈ V : T (u) = 0 .

Ejemplo 6.1. Si T : R4 7→ R2 es una transformacion lineal dada por

T

x

y

z

w

=

(

x+ y

z − w

)

, entonces kerT =

x

y

z

w

∈ R4

∣∣∣ x = −y, z = w

.

Definicion 6.3 (Nulidad). Si kerT es de dimension finita, esta se denomina

nulidad de T y se denota por ν(T ). Es decir, ν(T ) = dim(kerT ).

Ejemplo 6.2. En la transformacion lineal del ejemplo anterior se tiene

ν(T ) = 2.

Definicion 6.4 (Imagen). Sea T : V 7→ W una Transformacion Lineal. La

imagen de T , es el conjunto de todos los vectores w de W que son imagenes,

bajo T , de vectores de V . Esto es, W esta en la imagen de T si existe un

u ∈ V tal que T (u) = w. La imagen de T se denota por imT . Es decir,

imT = w ∈ W : T (u) = w, para algun u ∈ V .

Definicion 6.5 (Rango). Si imT es de dimension finita, esta se denomina

el rango de T y se denota por ρ(T ). Es decir, ρ(T ) = dim(imT ).

Ejemplo 6.3. En la transformacion del ejemplo 6.1 se tiene que imT = R2,

luego, ρ(T ) = 2

Teorema 3. kerT es subespacio de V e imT es un subespacio de W .

Demostracion. Se probara que kerT es un subespacio de V . Es claro que

kerA 6= ∅ pues 0 ∈ kerA. Ahora demostraremos la cerradura de la suma y

de la multiplicacion por un escalar



1. Sean v1,v

2∈ kerT . Entonces T (v

1) = 0 y T (v

2) = 0. (Hipotesis).

Ahora, T (v1+ v

2) = T (v

1) + T (v

2) = 0 + 0 = 0. Esto implica que

v1,v

2∈ kerT.

2. Ahora consideremos, v ∈ kerT y λ ∈ R. Entonces T (v) = 0. Ahora

T (λv) = λT (v) = λ0 = 0 Luego λv ∈ kerT .

Por lo tanto, kerT es un subespacio de V .

Ejercicio 1. Halle kerT, ν(T, imT y ρ(T ) de cada una de las siguientes

transformaciones lineales. Encuentre una base para kerT y para imT .

a) T : R2 7→ R2, T

(

x

y

)

=

(

x+ y

x− y

)

b) T : M2×27→M2×2; T

(

a b

c d

)

=

(

a+ b 0

c c+ d

)

c) T : P27→ P

2; T (a

0+ a

1x+ a

2x2 + a

3x3) = a

0+ a

1x+ a

2x2

d) T : P27→ P

3, T (c+ bx+ ax2) = b− bx+ cx3

Ejercicio 2. Demostrar: T : V 7→ W es una transformacion lineal uno a uno

si y solo si kerT = 0.

Ejercicio 3. Determine cual o cuales de las siguientes transformaciones

lineales, T : V 7→ W , son uno a uno. Halle la transformacion inversa

T−1 : imT 7→ V cuando sea 1− 1.

a) T : R2 7→ R2; T

(

x

y

)

=

(

y − x

y + x

)

b) T : R2 7→ R3; T

(

x

y

)

=

x− 2y

2x− 3y

4x− 7y

c) T : R3 7→ R2; T

x

y

z

=

(

x− 2y + 2z

2x− 3y + 3z

)



Definicion 6.6. Una transformacion lineal T : V 7→ W es sobreyectiva si

imT = W .

Teorema 4 (Teorema de la dimension). Si V es un espacio vectorial de

dimension n y T : V 7→ W es una transformacion lineal, entonces

ν(T ) + ρ(T ) = n.

Teorema 5. Sean V, W espacios vectoriales tales que dimV = n y

dimW = m, B1 = v1,v

2, . . . ,vn una base de V y B2 = w

1,w

2, . . . ,wm

una base de W . Si T : V 7→ W es una transformacion lineal, entonces existe

una matriz ATde tamano m× n tal que

AT[v]B1

= [T (v)]B2para cada v ∈ V.

Definicion 6.7. La matriz ATdel teorema 5 recibe el nombre de matriz

de T con respecto a las bases B1 y B2, y esta dada por

AT=[[T (v

1)]B2

[T (v2)]B2

. . . [T (vn)]B2

],

donde [T (vj)]B2=

a1j

a2j

...

amj

si y solo si

Recuerde: [T (vj)]B2es el vector de coordenadas de T (vj) en la base B2.

Teorema 6. Si ATes la matriz de la transformacion con respecto a las bases

B1 y B2, entonces

1. ν(T ) = ν(AT) 2. ρ(T ) = ρ(A

T)

Observe. Si V = Rn y W = Rm y T : V 7→ W es una transformacion

lineal, entonces AT, la matriz de la transformacion con respecto a las bases

canonicas de Rn y Rm, respectivamente, satisface:

1. AT = [T (e1) T (e

2) . . . T (en)]

2. kerT = kerAT, ν(T ) = ν(A

T)



3. imT = imAT, ρ(T ) = ρ(A

T)

Ejercicio 4. Halle la matriz de la transformacion con respecto a las bases

B1 y B2. Determine: nucleo, nulidad, imagen y rango de cada transformacion

lineal.

a) T : P27→ P

3, T (c+ bx+ ax2) = b− bx+ cx3

(i) B1 y B2 son las bases canonicas.

(ii) B1 = 1 + x, 1− x, 1 + x+ x2B2 = 2 + 3x+ x2, 1− 2x+ x2,−1 + 6x2

b) T : R4 7→ R3, T

x

y

z

w

=

x− y + 2z + 3w

y + 4z + 3w

x + 6z + 6w

i. B1 y B2 son las bases canonicas.

ii. B1 =

1

1

0

0

,

1

0

1

1

,

0

0

1

1

,

0

1

0

1

, B2 =

1

0

0

,

1

1

0

,

1

1

1

Teorema 7 (Teorema resumen). Sea A una matriz de tamano n×n. Las

siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. A es invertible.



solucion es .






7. detA




de las filas de A.



genc1, c

2, . . . , cn =


las columnas de A.

14. ν(A) =

15. ρ(A) =

16. Si A es la matriz de una transformacion lineal T : V 7→ V entonces

16.1 kerT =

16.2 T es una funcion

16.3 imT =


Capıtulo 7

Valores y vectores propios

Se estudiaran los valores y vectores propios de una matriz cuadrada A de

tamano n × n. Se retoma el concepto de nucleo de una matriz, base y su

dimension con los que se introducen las definiciones de espacio caracterıstico,

vector propio y multiplicidad algebraica y geometrica de un valor propio λ.

Se continuara con la diagonalizacion de matrices cuadradas y luego con la

diagonalizacion ortogonal de matrices simetricas para lo cual usa el proceso

de Gram-Schmidt. Por comodidad, se consideran matrices 2×2 y 3×3 que sonmas sencillas de manipular. Finalmente se estudian las formas cuadraticas y

las secciones conicas, como una aplicacion de los conceptos del capıtulo y de

los anteriores.


A. Teorıa

Identifique los conceptos de capıtulos anteriores que se usan para el desarrollo

de la teorıa de valores y vectores propios.

B. Poniendo en practica lo aprendido

1. Determine si A =

(

4 3

0 4

)

y B =

(

6 1

0 −5

)

son diagonalizables. Justifique

claramente su respuesta.

107

108 Capıtulo 7. Valores y vectores propios

2. Sea A =

2 1 1 1

1 2 1 1

1 1 2 1

1 1 1 2

a) Verifique si λ = 1 y λ = 2 son valores de propios de A.

b) Halle el valor propio de A asociado al vector propio #»v1=

1

1

1

1

c) Halle el espacio propio correspondiente al valor propio λ = 1.

d) Determine la multiplicidad geometrica de λ = 1

e) Determine si A es diagonalizable. En caso afirmativo, halle una matriz

invertible P tal que P−1AP = D, donde D es una matriz diagonal.

Recuerde: multiplicidad geometrica de λ ≤ multiplicidad algebraica

de λ.

3. Calcule A10 si A =

3 2 4

2 0 2

4 2 3

. Use el hecho que A es diagonalizable.

C. Responda verdadero o falso. Justifique sus respuestas

1. Si λ = 0 es un valor propio de A, entonces la matriz es singular.

2. An×n es diagonalizable si tiene n valores propios.

3. SiAn×n tiene n valores propios distintos, entoncesA es diagonalizable.

4. Si cada uno de los valores propios de A tiene multiplicidad algebraica

1, entonces A tiene n vectores propios linealmente independientes.

5. Si An×n es una matriz con componentes reales, entonces sus valores

propios son reales.

6. Sea A una matriz de tamano 3 × 3. Si p(λ) = (λ − 4)2(λ + 3) es el

polinomio caracterıstico de A, entonces A es diagonalizable.



D. Aplicaciones

Dadas la ecuaciones cuadraticas

1. −2x2 + 10xy − 2y2 = 21.

2. x2 + 4xy + 4y2 + 4√5 x− 2

√5 y = 20

a). Halle la matriz simetrica A que representa la forma cuadratica

b). Encuentre los espacios propios de la matriz A.

c). Diagonalice ortogonalmente la matriz A.

d). Elimine el termino cruzado e identifique la conica dada por la ecuacion

e). Realice el grafico de la conica donde muestre los ejes principales y el

angulo de rotacion


7.2.1. Leccion 1. Definiciones

Se recordara el calculo de determinantes, ası como los conceptos de espacio

nulo o nucleo de una matriz A. Ademas se hallara una base y su nulidad

los cuales se relacionaran con las definiciones de valores y vectores propios,

espacio caracterıstico, multiplicidad algebraica y geometrica.

Ejercicio 1. Para cada una de las siguientes matrices

1. A =

(

1 2

4 3

)

2. A =

(

2 −15 −2

)

3. A =

0 1 0

0 0 1

2 −5 4

4. A =

−1 0 1

3 0 −31 0 −1

5. A =

2 1 1

1 2 1

1 1 2

6. A =

(

5 −2−2 8

)



determine el o los valores de λ que hagan que el determinante de la matriz

A − λI sea igual a cero, es decir, |A− λI| = 0. (λ es un numero real o

complejo). Recuerde: I es la matriz identidad.

Ejercicio 2. Para cada una de las matrices anteriores, encuentre el nucleo

de la matriz A− λI. Considere para cada matriz A el valor o los valores de

λ encontrados en el numeral anterior. Ademas, encuentre una base para el

nucleo y determine la nulidad.

Recuerde: encontrar el nucleo de A−λI es equivalente a resolver el sistema

homogeneo con matriz de coeficientes A− λI.

Complete las siguientes definiciones:

Definicion 7.1 (Valor propio).

Definicion 7.2 (Vector propio).

Definicion 7.3 (Polinomio caracterıstico).

Definicion 7.4 (Espacio caracterıstico).

Definicion 7.5 (Multiplicidad algebraica).

Definicion 7.6 (Multiplicidad geometrica).



Teorema 8. Sea An×n.

1. Vectores propios correspondientes a valores propios diferentes son

2. A tiene n vectores propios LI si y solo si Ma(λ) Mg(λ) para cada

valor propio λ.

3. A es invertible si y solo si λ = 0

4. Si A es una matriz triangular, los valores propios de A son

7.2.2. Leccion 2. Diagonalizacion

Se estudian las matrices semejantes y la diagonalizacion de matrices cuadra-

das, con el proposito de usarlos mas adelante en algunas aplicaciones.

En esta leccion los alumnos deberan recordar claramente los conceptos que

se estudiaron en la leccion anterior los cuales sintetizan los aspectos basicos

desarrollados durante el semestre.

Definicion 7.7 (Matrices semejantes). Sean A y B matrices cuadradas

de orden n. A y B son semejantes o similares , si existe una matriz invertible

C tal que

B = C−1AC

Ejemplo 7.1. A =

(

2 3

1 4

)

y B =

(

5 2

0 1

)

son matrices semejantes.

Ejercicio 1. Considere las matrices A y B del ejemplo 7.1.

a) Compruebe que A y B son semejantes donde C =

(

1 −11 1

)

permite

establecer la relacion.

b) Calcule detA y detB

c) Halle los polinomios caracterısticos de las matrices A y B



Teorema 9. Si A y B matrices semejantes, entonces sus polinomios carac-

terısticos son iguales.

Demostracion. Se debe probar que |A− λI| = |B − λI|. Justifique los pasosde la demostracion

B = C−1AC Definicion de semejanza

B − λI = C−1AC − λI

|B − λI| =∣∣C−1AC − λI

∣∣

=∣∣C−1AC − λC−1C

∣∣

=∣∣C−1(A− λI)C

∣∣

= |C−1||A− λI||C|= |A− λI|

Definicion 7.8 (Matrices diagonalizables). Sean A una matriz cuadrada

de orden n. A es diagonalizable, si A es semejante con una matriz diagonal.

Es decir, existe una matriz invertible P tal que

D = P−1AP ,

donde D es una matriz diagonal.

Ejemplo 7.2. A =

−1 0 1

3 0 −31 0 −1

es diagonalizable, D =

0 0 0

0 0 0

0 0 −2

es

la matriz diagonal. ¿Cuales son los vectores propios de A?

Preguntas.

1. Dada una matriz A, ¿como determinar si es diagonalizable?

2. Si A es diagonalizable, ¿como hallar D y P ?

3. ¿D y P son unicas?

Ejercicio 2. ¿Cuales de las matrices de la leccion 1 son diagonalizables?



El siguiente teorema contribuye a dar respuesta a algunos de los interrogan-

tes.

Teorema 10. An×n es diagonalizable si y solo si A tiene n vectores propios

linealmente independientes.

Sean λ1, λ

2, . . . , λn los n valores propios de A y v

1v2. . . vn los n vectores

propios linealmente independientes

Como A es diagonalizable, P−1AP = D, donde D = diag λ1, λ

2, . . . , λn

matriz diagonal y P = (v1

v2. . . vn) .

Observe que que las columnas de P son los vectores propios de A.

Ejemplo 7.3. Para la matriz A del ejemplo 7.2 se tiene

P =

1 0 −10 1 3

1 0 1

.

Ejercicio 3. Determine cuales de las siguientes matrices son diagonalizables

a) A =

1 1 −24 0 4

1 −1 3

b) A =

4 2 3

2 1 2

−1 −2 0

c) A =

−1 2 2

2 −1 2

2 2 −1

¿Como son los vectores propios correspondientes a valores propios diferentes

de una matriz simetrica?

7.2.3. Leccion 3. Diagonalizacion ortogonal

Se generaliza la diagonalizacion estudiada en la leccion anterior a matrices

simetricas y se incorpora la diagonalizacion ortogonal, para lo cual el alumno

debe manejar y recordar el proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt.

Teorema 11. Si A es una matriz simetrica, λ1y λ

2son valores propios de

A distintos, con vectores propios v1, v

2respectivamente, entonces v

1y v

2son

ortogonales.



Teorema 12. Toda matriz matriz simetrica es diagonalizable, ademas sus

valores propios son reales.

Teorema 13. Si A es simetrica, entonces A tiene n vectores propios orto-

normales.

Definicion 7.9 (diagonalizacion ortogonal). Se dice que una matriz

An×n es diagonalizable ortogonalmente, si existe una matriz ortogonal Q

tal que

D = QTAQ,

donde

D = diag (λ1, λ

2, . . . , λn); λ

1, λ

2, . . . , λn son los n valores propios de A.

Q = (u1

u2. . . un) ; u

1, u

2, . . . ,un son vectores propios ortonormales de A.

Ejemplo 7.4. La matriz A =

2 1 1

1 2 1

1 1 2

es simetrica, luego es diagonali-

zable ortogonalmente. Se tiene

Q =

1/√2 1/

√2 1/

√2

−1/√2 0 1/

√2

0 −1/√2 1/

√2

, D =

1 0 0

0 1 0

0 0 4

Describa un procedimiento para construir a Q.

Teorema 14. A es diagonalizable ortogonalmente si y solo si es simetrica.

Ejercicio 4. Diagonalice ortogonalmente las matrices simetricas

1. A =

2 1 1

1 2 1

1 1 2

2. A =

−1 2 2

2 −1 2

2 2 −1



7.2.4. Leccion 4. Formas cuadraticas y secciones coni-

cas

En esta leccion se hace una aplicacion de los conceptos desarrollados en las

lecciones anteriores a conceptos que se estudian en otros cursos de matemati-

cas y que ahora se desarrollan desde los conceptos del algebra lineal.

Definicion 7.10 (Forma y ecuacion cuadratica en dos variables).

Una forma cuadratica en las variables x y y es una expresion de la forma

F (x, y) = ax2 + bxy + cy2, (7.1)

donde | a|+ | b|+ | c| 6= 0.

La expresion (7.1) se puede abreviar como F (X) = XTAX, donde

A =

(

a b/2

b/2 c

)

es la matriz asociada a la forma cuadratica y X =

(

x

y

)

.

Puesto que A es simetrica, es diagonalizable ortogonalmente. Es decir, existe

una matriz ortogonal Q, |Q| = 1 y D = diag (λ1, λ

2), tal que

A = QDQT

Para eliminar el termino mixto xy, sea X1 = QTX =

(x

1

y1

)

, que corresponde

a los nuevos ejes coordenados. Ası, la expresion (7.1) queda

G(X1) = G(x1, y

1) = XT

1DX1 = λ1x2

1+ λ

2y21. (7.2)

Ejemplo 7.5. Elimine el termino cruzado en la forma cuadratica

F (x, y) = 5x2 − 4xy + 8y2.

Solucion. La matriz simetrica asociada a F esA =

(

5 −2−2 8

)

, cuyos valores

propios son 9 y 4. Una matriz ortogonal que diagonaliza a A es

Q =

(

1/√5 2/

√5

−2/√5 1/

√5

)

, con |Q| = 1, D =

(

9 0

0 4

)

.



Ası, F (x, y) se transforma en G(x1, y

1) = 9x2

1+ 4y2

1.

Una ecuacion cuadratica en las variables x y y es una expresion de la

forma

ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey = f, (7.3)

donde | a|+ | b|+ | c| 6= 0.

La ecuacion (7.3) se puede escribir abreviadamente como

XTAX+BX = f,

la cual se transforma en

XT1DX1 +B1X1 = λ

1x21 + λ

2y21+ d

1x

1+ e

1y1= f,

donde B = (d e) y B1 = (d1e1) = BQ.

Teorema 15. Suponga que la ecuacion (7.3) representa una conica. Sean

λ1y λ

2los valores propios de la matriz simetrica asociada A de la forma

cuadratica (7.1). Entonces

i. Si λ1λ

2> 0, entonces (7.3) es una

ii. Si λ1λ

2< 0, entonces (7.3) es una

iii. Si λ1λ

2= 0, entonces (7.3) es una

Ejemplo 7.6. Identifique y trace la grafica de la conica 5x2−4xy+8y2 = 36

Solucion. Segun el ejemplo 7.5, la ecuacion transformada es 9x21+4y2

1= 36.

Como el producto de los valores propios de la matriz simetrica asociada es

positivo, la grafica es una elipse con centro en (0, 0) y semiejes mayor y menor

de 2 y 3 unidades respectivamente en los nuevos ejes rotados. Los nuevos ejes

rotados estan dados en las direcciones de los vectores ortogonales #»v1=

(

1

−2

)



y #»v2=

(

2

1

)

. El angulo de rotacion se calcula mediante la formula

tan θ =q21

q11

=v21

v11

= −2, θ = tan−1 (−2) ≈ −63,4o.

La grafica es

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5 y

x

x1

y1

#»v1

#»v2

θ

Figura 7.1. Grafica ejemplo 7.6

Ejemplo 7.7. Identifique y trace

5x2 − 4xy + 8y2 + 10√5 x− 4

√5 y = 11 (A)

Solucion. Se tiene que A =

(

5 −2−2 8

)

, B = (10√5 − 4

√5). De este modo,

la ecuacion (A) se transforma en

9x21+ 4y2

1+ 18x

1+ 16y

1= 11

y esta a su vez en(x

1+ 1)2

4+

(y1+ 2)2

9= 1. Una elipse con centro en

(−1,−2) y semiejes mayor y menor de 2 y 3 unidades respectivamente en los

nuevos ejes rotados y trasladados.

Los nuevos ejes rotados estan dados en las direcciones de los vectores orto-

gonales #»v1=

(

1

−2

)

y #»v2=

(

2

1

)

. El angulo de rotacion se calcula mediante



la formula

tan θ =q21

q11

=v21

v11

= −2, θ ≈ −63,4o.

La grafica es

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6 y

x

x1

y1

#»v1

#»v2

b

θ

Figura 7.2. Grafica ejemplo 7.7

Ejercicio 5. Identifique y trace la grafica de la ecuacion dada.

a) x2 + xy + y2 = 6

b) 9x2 + 6xy + y2 = 9

c) x2 + 2√3 xy − y2 + 6x = 0

d) 3y2 + 4xy + 2√5x+ 4

√5y = 1

e) 9x2 + 6xy + y2 − 10√10x+ 10

√10 y = −90

f) x2 + 2xy + y2 +√2 x−

√2 y = 0



1. A es invertible.





solucion es .




7. detA




de las filas de A.



genc1, c

2, . . . , cn =


las columnas de A.

14. ν(A) =

15. ρ(A) =

16. Si A es la matriz de una transformacion lineal T : V 7→ V entonces

16.1 kerT =

16.2 T es una funcion

16.3 imT =

17. Todos los valores propios de A son


Apendice A

Ejemplos de examenes

A.1. Primer parcial

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA

FACULTAD DE CIENCIADS BASICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Primer Parcial de Algebra Lineal

I. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales

x + y + z = 2

2x + ay + 2z = 6

2x + 2y + (a2 − 2)z = a+ 6

Determine el valor o valores de a de modo que el sistema

a) tenga solucion unica. De la solucion

b) tenga infinitas soluciones. Escriba la solucion general

c) no tenga solucion.

II. ABC Publicaciones edita tres tipos de libros: encuadernacion rustica,

pasta dura y empastados en piel. Para los rusticos, la empresa gasta

en promedio $5 en papel, $2 en ilustraciones y $3 las pastas. Para los

de pasta dura, los gastos son $10 en papel, $6 en ilustraciones y $8

en pastas; y para los de lujo, empastados en piel, $20 en papel, $20

121

122 Capıtulo A. Ejemplos de examenes

en ilustraciones y $24 en pastas. Si el presupuesto permite $235000 en

papel, $158000 en ilustraciones y $205000 en pastas, ¿cuantos libros de

cada cada categorıa pueden producirse?

III. Sean #»u = −2 ı+3 +2 k y #»v = 3ı+ β − 3k. Encuentre en cada caso

el valor (o valores) de β, si existen, de modo que

a) #»u y #»v sean ortogonales.

b) #»u y #»v sean paralelos.

c) #»u y #»v formen un angulo de π/3.

IV. Formule dos preguntas cortas (distintas) sobre los temas que se incluyen

en este examen y respondalas claramente.

A.2. Segundo parcial




Segundo Parcial de Algebra Lineal

1. RECTAS Y PLANOS Considere el plano

π1: 2x− y + 3z = 6

a) Determine que puntos pertenecen al plano π1:

P (1,−1, 1), Q(−2, 3, 4), R(2, 4, 2), S(1, 1,−3)

b) Halle ecuaciones parametricas para la recta L1que interceca al plano

π1en uno de los puntos determinados en la parte a) y pasa por uno de

los puntos dados que no este en el plano π1.

c) Encuentre la ecuacion cartesiana del plano π2que contiene a la recta

L1 y otro punto del plano π1



2. MATRICES Y DETERMINANTES.

Considere las matrices A =

2/3 −2/3 1/3

2/3 1/3 −2/31/3 2/3 2/3

,B =

1 −2 3

−2 3 −53 −6 15

y C =

−2 4 5

7 6 8

1 2 −3

.

a) Compruebe que A es ortogonal.

b) Simplifique y encuentre la matriz X, si se sabe que

X =1

3B(CA−TB−T − 2CB−T

)T(B adjB).

Use propiedades del determinante cuando sea necesario calcularlo.

c) Determine las componentes x13

y x32

de la matriz X.

3. FALSO Y VERDADERO. Responda verdadero o falso a cada

una de las siguientes afirmaciones. Justifique sus respuestas.

a) No existen valores de a y b de modo que u = (−3, a,−4, a) y

v = (2, 6, b, b) sean paralelos.

b) Si #»u y #»v son vectores no nulos de R2, entonces #»u •#»v 6= 0.

c) Si A y B son matrices no nulas entonces AB 6= 0.

d) Si

∣∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣∣

= 20 entonces

∣∣∣∣∣∣∣

5b 5e 5h

a− 3b d− 3e g − 3h

2b+ c 2e+ f 2h+ i

∣∣∣∣∣∣∣

= −100.

e) El vector #»u =

1

3

−2

es combinacion lineal de los vectores

#»v1=

1

2

3

y #»v

2=

2

3

7

.



A.3. Tercer parcial




Tercer Parcial de Algebra Lineal

I. ESPACIOS VECTORIALES

1. Determine el valor o valores de α, si existe(n), de modo que el vector#»u = (1, 1,−4) se encuentre en el espacio generado por el conjunto

S = #»v1= (2,−1, α), #»v

2= (α,−1, 2).

2. Considere la matriz A =

1 −2 1 4 5

−1 2 1 2 3

2 −4 0 2 2

(a) Encuentre el nucleo y la imagen de A. Halle una base para kerA

y para im A

(b) Determine la nulidad y el rango de A.

II. TRANSFORMACIONES LINEALES. VALORES Y VECTORES

PROPIOS

1. Encuentre la transformacion lineal T : P17→ R3 de manera que

A =

2 −11 2

−2 3

es la matriz de la transformacion con respecto a las

bases B1= −1 + x, 1− 2x y B

2=

1

0

1

,

1

−10

,

1

1

1

.

2. Considere la ecuacion cuadratica x2 + 2√3 xy − y2 + 6x = 0.

a. Elimine el termino cruzado e identifique la conica.

b. Realice un grafico de la conica donde muestre los ejes principales

y el angulo de rotacion.



III. FALSO Y VERDADERO. Responda verdadero o falso cada

una de las siguientes afirmaciones. Justifique claramente sus

respuestas.

1. S =

A1 =

(

1 1

3 0

)

,A2 =

(

1 −13 2

)

genera al subespacio

H =

(

a a− b

3a b

)

: a, b ∈ R

.

2. Sea A una matriz 4×5. Si el rango de A es 4, entonces kerA = 0 .

3. Si T : R2 7→ R3 es una transformacion lineal tal que T

(

1

3

)

=

2

−11

y T

(

−14

)

=

−42

−2

, entonces T

(

1

−6

)

=

8

−48

.

4. Si λ es un valor propio de una matriz no singular A, entonces 1λes

un valor propio de A−1.



A.4. Examen Final


FACULTAD DE CIENCIADS BASICAS- DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Examen final de Algebra Lineal

I. ESPACIOS VECTORIALES

Halle el valor o valores de α, si existe(n), de modo que el vector#»u = (1, 1,−4) se encuentre en el espacio generado por el conjunto

S = #»v1= (α,−1, 1), #»v

2= (1,−1, α).

II. TRANSFORMACIONES LINEALES

1. Sea T : R3 → R4 una transformacion lineal tal que

imT =

a

b

c

d

: 2a− b− c+ d = 0, a− 2b− 2c+ 2d = 0

(i) Halle una base para R4 que contenga una base de imT .

(ii) Determine el rango y la nulidad de T .

(iii) Encuentre una base ortonormal para imT

2. Sea T : R2 7→ R3 es una transformacion lineal tal que T

(

1

3

)

=

2

−11

y T

(

−14

)

=

−12

−2

. Calcule T

(

5

−6

)

III. VALORES Y VECTORES PROPIOS. Considere la ecuacion

cuadratica x2 − 6xy + y2 + 4√2x− 4

√2y = −8.

1. Elimine el termino cruzado e identifique la conica.



2. Realice un grafico de la conica donde muestre los ejes principales y

el angulo de rotacion.

IV. VERDADERO O FALSO. Responda verdadero o falso. Justifique

claramente su respuesta.

1. El punto Q(2, 2,−3) no pertenece a la recta L que contiene el

punto P (1, 2, 3) y es paralela al vector #»v = (1,−1, 1)2. Si A y B son matrices 4× 4 tales que |A| = 4, |B| = 3, la com-

ponente b34

= −1 y X = |AB|(B−1A+A

)(2B−1A)−1, entonces

la componente x34= −6

3. El subconjunto

x

y

H =

(

x

y

)

∈ R2 : y ≥ x2

es un subespacio de R2.

4. El vector p(x) = x2 +2x− 2 ∈ kerT , donde T : P27→ P

1es una

transformacion lineal definida por T (ax2+bx+c) = (2a+c)x+(b+c).

5. La region

1 3

1

3

x

y

se transforma en

−3 3−1 1

3

1

u

v

mediante la transformacion lineal T : R2 → R2, T

(

x

y

)

=

(

x− y

x+ y

)

.

6. #»v =

−2−2−2−2

es un vector propio de A =

1 2 −2 2

2 1 2 −2−2 2 1 2

2 −2 2 1

.


Referencias

[1] Florey Francis. Fundamentos de Algebra Lineal y aplicaciones. Prentice Hall.

1980.

[2] Grossman Stanley. Algebra Lineal con aplicaciones. Quinta edicion. McGraw

Hill.

[3] http://huitoto.udea.edu.co/ vectorial/uni3/seccion35/ejemplos35.html.

[4] http://www.isftic.mepsyd.es/w3/Descartes/Bach CNST 1/Vectores en el -

plano/ Probl Vect.htm.

[5] Kolman Bernard. Algebra lineal con aplicaciones y MatLab. Sexta edicion.

Prentice Hill

[6] Martınez Alejandro, Mesa Fernando y Correa V. German. Algebra lineal con

aplicaciones. Universidad Tecnologica de Pereira. Pereira 2006.

[7] Nakos Joyner David. Algebra lineal con aplicaciones. International Thomsom

Editores

[8] Poole David. Algebra lineal con aplicaciones. Segunda edicion. Editorial

Thomsom.

[9] Swokowski Earl W. y Cole Jeffrey A. Algebra y Trigonometrıa con Geometrıa

Analıtica. Tercera edicion. Grupo Editorial Iberoamericano. 1992.

[10] Uzuriaga Vivian, Martınez Alejandro. Algebra lineal con problemas de mode-

lado. En prensa.

128

lecciones algebra lineal

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