leccion_8 rii / mecanica - ucsm

5/20/2018 Leccion_8 RII / Mecanica - UCSM

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12.3Funciones de discontinuidad

El uso del mtodo de integracin para encontrar la ecuacin de la curva

elstica de una viga o eje resulta conveniente si la carga o momento interno

puede expresarse como una funcin continua a lo largo de toda la longitud de

la viga.

Funciones de discontinuidad

Con el fin de expresar la carga sobre la viga o el momento interno dentro de

sta usando una sola expresin se emplearan dos tipos de operadores

matemticos como funciones de discontinuidad


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Funciones de Macaulay

A fin de determinar la deflexin de una viga o un eje, pueden usarse las

funciones de Macaulay, llamadas as en honor al matemtico W. H. Macaulay

para describir las cargas distribuidas. Estas funciones pueden expresarse en

forma general como.

Aqu x representa la coordenada de posicin de un punto a lo largo de la viga

y a es la ubicacin sobre la viga que ocurre una discontinuidad,es decir , el

punto donde comienza una carga distribuida


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Funciones de singularidad

Estas funciones solo se utilizan para describir la ubicacin de las fuerzas

concentradas o momentos de par que actan sobre una viga o eje. En

especifico, una fuerza concentrada P puede considerarse como un caso

especial de una carga distribuida, donde la intensidad de la carga es w=P/de

tal manera que su longitud sea , donde -0

Para describir la fuerza P. Aqu n=-1 de modo que

las unidades de w son de fuerza por longitud , como

deban ser. Adems la funcin toma el valor de Psol en el punto x=a donde se produce la carga ,d e

lo contrario su valor es cero


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De manera similar un momento de par M considerado positivo en sentido

horario es un limite cuando -0 de dos cargas distribuidas como las mostradas

en la figura aqu la siguiente funcin describe su valor.

El exponente n=-2, tiene la finalidad de

garantizar que se mantengan las unidades de

w, fuerza por longitud.


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La integracin de las dos funciones de singularidad anteriores siguen las reglas del

calculo operacional y produce resultados diferentes a los obtenidos mediante las

funciones de Macaulay. En especifico

Usando esta formula, observe como M0Y P, que se describen en la tabla 12-2 en lasfilas 1 y 2, se integran una vez y luego dos veces para obtener la fuerza cortante y el

momento interno en la viga. La aplicacin de las ecuaciones 12-11 a 12-15

proporciona un medio mas directo para expresar las carga o el momento interno en una

viga como funcin de x


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Ejemplo 12.5

Determine la deflexin mxima de4 la viga que se muestra en al figura 12-18a. EI es

constante

Curva elsticala viga experimenta la deflexin como se muestra en la figura 12.18(a). Las condiciones de

frontera requieren desplazamiento cero A y B

Funcin de carga


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Ejemplo 12.5


constante

Pendiente y curva elstica


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Ejemplo 12.5


constante



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Ejemplo 12.5


constante

El signo negativo indica que el desplazamiento es hacia abajo como se muestra en la figura12-18(a). Para localizar el punto D ,use la ecuacin 2 con x>10pies y dv/dx=0 se obtiene


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Ejemplo 12.5


constante

Al comparar este valor con vc, se observa que vmaz=vc


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Ejemplo 12.6

Determine la ecuacin de la curva elstica para la viga en voladizo que se muestra en la

figura 12-19a. EI es constante

Curva elsticaLas curvas asen que la viga presente deflexin como se muestra en al figura 12-19(a).

Las condiciones d4e frontera requieren que la pendiente y el desplazamiento sean

iguales a cero en A

Funcin de carga

j l


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Ejemplo 12.6



Funcin de carga

En este mismos resultado puede obtenerse directamente de la tabla 12-2

Ej l 12 6


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Ejemplo 12.6




P bl 12 35


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Problema 12.35

El eje esta fabricado de acero y tiene un dimetro de 15 mm. Determine su deflexin

mxima. Los cojinetes en A y B ejercen solo reacciones verticales sobre el eje. Eac=200GPa

Curva elstica y la pendiente

P bl 12 35


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Problema 12.35



Condiciones de contorno

De Eq.(1)

P bl 12 35


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Problema 12.35



Asumir Vmax se produce a

Sustituir x=0.3300m en la curva elastica

P oblema 12 39


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Problema 12.39

Determine la deflexin mxima de la viga simplemente apoyada.

E=200GPa e I=65.0(10)6 mm4

Apoyar reacciones y la curva elstica: como se muestra en la Fig.(a)

Momento en funcin: De Fig.(a) obtenemos

Problema 12 39


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Problema 12.39


E=200GPa e I=65.0(10)6 mm4

Ecuaciones de pendiente y curva elstica

Condiciones de contorno: en x=0; v=0.Entonces Eq(2) da.

Problema 12 39


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Problema 12.39


E=200GPa e I=65.0(10)6 mm4

sustituyendo el valor de C1 en Eq(1)

Condiciones de contorno: en x=6; v=0.Entonces Eq(2) da.

Problema 12 39


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Problema 12.39


E=200GPa e I=65.0(10)6 mm4

Solucin para la raz

Suponiendo que se produce en la regin entonces

Problema 12 39


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Problema 12.39


E=200GPa e I=65.0(10)6 mm4

Vmax se produce a x=2.9079m donde . as

sustituyendo el valor de C1y C2 en Eq(2)

Problema 12 43


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Problema 12.43

Determine la deflexin mxima de la viga en voladizo. La viga es de un material que tiene

E=200GPa e I=65.0(10)6 mm6

Problema 12 43


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Problema 12.43


E=200GPa e I=65.0(10)6 mm6

Apoyar reacciones y la curva elstica: como se

muestra en la Fig.(a)

Momento en funcin: De Fig.(b) obtenemos

Ecuaciones de pendiente y curva elstica

Problema 12 43


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Problema 12.43


E=200GPa e I=65.0(10)6 mm6

Condiciones de contorno: en x=0;

. Entonces Eq(1) da.

Condiciones de contorno: en x=0;

v=0.Entonces Eq(2) da.

sustituyendo el valor de C1y C2 en Eq(2)

Problema 12 43


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Problema 12.43


E=200GPa e I=65.0(10)6 mm6

Vmax se produce a x=3m donde


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12.4 Pendiente y desplazamiento por el mtodo del

momento de rea

El mtodo de rea proporciona una tcnica semigrafica para encontrar la pendiente yel desplazamiento en puntos especficos sobre la curva elstica de una viga o eje

Teorema 1Considera la viga simplemente apoyada con su curva elstica asociada, que se

muestra en la figura 12-20(a). Un segmento diferencial dx de la viga se asla en la

figura 12-20(b)


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momento de rea

Teorema 1Como la pendiente es pequea , =dv/dx y por lo tanto

(12-16)

Si se construye el diagrama de momentos para la viga y se divide entre la rigidez a la

flexin, EI, figura 12-20(c), entonces esta ecuacin indica que d es igual al rea

bajo el diagrama M/EI para el segmento dx de la viga. Al integrar desde un punto A

seleccionada sobre la curva elstica hasta otro punto B se tiene

(12-17)

Teorema 1: El ngulo entre las tangentes en dos puntos cualesquiera sobre la

curva elstica es igual al rea bajo el diagrama M/EI entre estos dos puntos.

12 4 Pendiente y desplazamiento por el mtodo del


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momento de reaTeorema 2

El segundo teorema del momento de rea se basa en la desviacin relativa de las tangentes

a la curva elstica. En la figura 12-21(a) se muestra una vista muy exagerada de la

desviacin vertical dt de las tangentes a cada lado del elemento diferencial dx.

(12-18)

12 4 Pendiente y desplazamiento por el mtodo del


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momento de reaTeorema 2

Como el centroide de un rea se encuentra a partir de dx

representa el rea bajo el diagrama M/EI, tambin se puede escribir

(12-19)

Aqu x es la distancia desde A hasta el centroide del rea bajo el diagrama M/EI entre A Yb

figura 12-21(b)

Ejemplo 12.7


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Ejemplo 12.7

Determine la pendiente de la viga mostrada en la figura 12-22(a) en el punto B. EI es

constante

Diagrama M/EI Vea la figura 12-22(b)

Curva elstica

La fuerza P hace que la viga experimente deflexin como se muestra en la figura

12-22(c).(la curva elstica es cncava hacia abajo, puesto que M/EI es negativo)

Ejemplo 12.7


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Ejemplo 12.7

Determine la pendiente de la viga mostrada en la figura 12-22(a) en el punto B. EI es

constante

Teorema del momento de rea

Al aplicar el teorema 1, B/A es igual al area bajo el diagrama M/EI entre los puntos A y B,

es decir

B=B/A

Ejemplo 12.8


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j p

Determine el desplazamiento de los puntos B y C de la viga mostrada en la figura 12-23(a).

EI es constante

Diagrama M/EI Vea la figura12-23(b)

Curva elstica El momento de par 12-23(b)en C hace que la viga sufra deflexin,como se muestra en la figura 13-23(c)

Ejemplo 12.8


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j p

Determine el desplazamiento de los puntos B y C de la viga mostrada en la figura 12-23(a).

EI es constante

Teorema delmomento de rea

Al aplicar el teorema 2, t(B/A) es igual al momento del rea en

gris oscuro bajo el diagrama M/EI entre A y B calculado con

respecto al punto B(el punto sobre la curva elstica) ya que es elpunto donde debe determinarse la distancia vertical. Por lo tanto

a partir de la figura 12-23(b)

Del mismo modo, para t(C/A) se debe determinar el momento del rea bajo todo el

diagrama M/EI desde A hasta C con respecto al punto C (el punto de la curva elstica).

Se tiene

Ejemplo 12.9


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j p

Determine la pendiente en el punto C del eje en la figura 12-24(a). EI es constante


Curva elstica

Como la carga se aplica simtricamente en la viga, la curva elstica es

simtrica y la tangente en D es horizontal, figura

12-24(c). Adems, se dibuja la tangente en C porque se desea

encontrar la pendiente c mediante la construccin, el Angulo C/D

entre las tangentes en tan D y C es igual a c , es decir

Ejemplo 12.9


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j p

Determine la pendiente en el punto C del eje en la figura 12-24(a). EI es constante


Si se usa el teorema 1, C/D es igual al rea en gris bajo el diagrama M/EI entre lospuntos D y C,. Se tiene

Ejemplo 12.10


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j p

Determine la pendiente en el punto C para la viga de acero mostrada en la figura 12-25(a).

Considere Eac=200 Gpa, I=17(10)6 mm4

Curva elstica

La curva elstica se muestra en la figura

12-25(c). Se indica la tangente en C porque

se desea encontrar c. Tambin construyen

las tangentes en los soportes, A y B, como

se muestra en la figura. El ngulo C/A es

el ngulo entre las tangentes en A y C. lapendiente en A, A, en la figura 12-25(c)

puede encontrarse usando

Esta ecuacin es valida puesto que tB/A es

realmente muy pequea de modo que el

valor de tB/A en metros puede

aproximarse mediante la longitud de unarco circular definido por un radio de

L(A/B)=8m y una amplitud de A en

radianes.(recuerde que s=r). A partir de la

geometra de la figura 12-25(c) se tiene


Ejemplo 12.10


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Si se usa el teorema 1, C/A es equivalente al rea bajo el diagrama M/EI entre los puntos

A y C,. Se tiene

Si se aplica el teorema 2, tB/A es equivalente al momento del rea bajo el diagrama M/EI

entre B y A respecto al punto B (el punto sobre la curva elstica) ya que este es el punto

donde debe determinarse la distancia vertical. Se tiene,. Se tiene

Ejemplo 12.10


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Al sustituir estos resultados en la ecuacin , se obtiene

Este resultado se calculo en unidades de kN y m, por lo que al convertir EI a estas unidades

resulta

Ejemplo 12.11


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Determine el desplazamiento en C para la viga mostrada en la figura 12-26(a). EI es

constante

Curva elsticaSe dibuja la tangente en C sobre la curva

elstica ya que se desea encontrar c, figura

12-26(c)(observe que C no es la ubicacin de

la deflexin mxima de la viga, debido a que

la carga y por ende la curva elstica no son

simtricas). En la figura 12-26(c) tambin seindican las tangentes en los soportes A y B.

se observa que .Si se determina

tA/B, entonces encontrarse mediante

tringulos semejantes.

Es decir. Por lo

tanto


Ejemplo 12.11


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Determine el desplazamiento en C para la viga mostrada en la figura 12-26(a). EI es

constante


Al aplicar el teorema 2 para determinara tA/B y tC/B. Se tiene

al sustituir estos resultados en la ecuacin 1 resulta

Ejemplo 12.12


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Determine el desplazamiento en el punto C para la viga con voladizo de acero que se

muestra en la figura 12-27(a). Considere Eac=29(10)3, I= 125 pulg2

Curva elsticaLa carga hace que la viga sufra deflexin,

como se muestra en la figura 12-27(c). Se

debe encontrar c. Al construir tangentes en

C y en los soportes Ay B, se observa que

.Sin embargo, puede

relacionarse con tB/A mediante tringulossemejantes, esto es, /24= o bien

= .Por lo tanto


Ejemplo 12.12


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Si se aplica el teorema 2 para determinara tC/A y tB/A. Se tiene

Por qu estos trminos son negativos?. Al sustituir los resultados en la ecuacin 1 se obtiene

Ejemplo 12.12


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Tomando en cuenta que los clculos se realizaron en unidades de kip y pis, se tiene

Problema 12.56


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Determine la pendiente en C. EI es constante

Refirindose a fig.( b)

Problema 12.56


48/52

Determine la pendiente en C. EI es constante

A partir de la geometra mostrada en la fig.( b)

Aqu

Ans

Ans

Problema 12.58


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Determine la pendiente en A y la deflexin mxima. EI es constante

El punto D est situado en el tramo medio de laviga. Debido a la simetra, la pendiente en D es

cero. Refirindose en la Fig.(b)

Problema 12.58


50/52

Determine la pendiente en A y la deflexin mxima. EI es constante

A partir de la geometra mostrada en la Fig.(b)

Ans

Ans

Problema 12.62


51/52

Determine la deflexin y la pendiente en C. EI es constante

Ans

Ans

Problema 12.67


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La viga esta sometida a una carga P, como se muestra en la figura. Determine la magnitud de

la fuerza F que debe aplicarse al extremo C del voladizo para que la deflexin en C sea cero.

EI es constante

Ans

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