Lección 35

Lección 35. Intersección Sólido - Sólido, Método del Plano Cortante

Para la Intersección de dos prismas por el método de Planos Cortantes, se tomó un ejercicio diferente con la intervención de dos volúmenes, un prisma triangular recto con un prisma triangular truncado y oblicuo. El primero de estos está identificado por los puntos s, s', r, r', t, t'; el segundo de éstos está compuesto por las caras a, a', b, b' y c, c'. En la proyección Horizontal se encuentra al prisma triangular recto de perfil (sección recta), el cual intercepta parcialmente al prisma triangular oblicuo truncado ya que el primero traspasa completamente al segundo (según se puede observar en la proyección Frontal) por sus aristas a, a' y b, b', sin llegar a intervenir a la arista c, c' (evidenciado en la proyección Horizontal).

Para la determinación de los Planos Cortantes, se deben tomar como referencia a todas aristas, las cuales indican cambios de dirección del sólido, por lo tanto las aristas a señalar en la proyección Horizontal (ya que es en esta proyección donde se está mostrando la sección recta), son las aristas - a, a', b, b' - del prisma triangular oblicuo truncado que tienen relación con el otro prisma (triangular recto), del cual se tomarán también aristas, que en el caso de este prisma triangular recto, se están mostrando como punto, debido a su posición perpendicular a la proyección Horizontal (sección recta), pero que intervienen en la definición de la sección de la intersección, debido a que cada arista señala un cambio de dirección del sólido y por lo tanto también un cambio de dirección de la sección, por esta razón también deberán tomarse como referencia para la ubicación de los Planos Cortantes, a las aristas (vistas como punto) del prisma triangular recto, que intervienen en la sección de la intersección, tales como t, t' y r, r'.

Por lo tanto para la definición de las Planos Cortantes entre prismas, se debe tener en cuenta que uno de los dos prismas deberá presentarse en una de las dos proyecciones principales dadas, con su sección recta (de perfil) y en ésta proyección se deberán señalar todas la aristas que estén involucradas en la interesección, lo que quiere decir que todas la aristas que se crucen con el otro sólido deberán llevar un Plano Cortante y no solo se establecerán sobre un prisma, sino que se deberán tener en cuenta a las aristas de los dos prismas que intervienen, esto debido a que no se cuenta con un plano Auxiliar y por ello es en esta proyección (en donde se muestra a uno sus prismas con su sección recta), en donde se establecen los planos Cortantes en todas las aristas localizadas dentro del cruce de sólidos.

Figura 34. Proceso Intersección Sólido - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 1. 

 

 Entonces, los Planos Cortantes se localizarán sobre la arista a, a' y b, b' del prisma triangular oblicuo truncado, y sobre las aristas, mostradas como punto, t, t' y r, r' del prisma tringular recto. El señalamiento de los puntos se hace a partir de los puntos de corte de los Planos Cortantes, por lo tanto el PC-1 localizado sobre la arista a, a', corta en el punto 1 a la cara r, r', s, s' y el punto 2 sobre la cara s, s', t, t'. El PC-2 señalado por la presencia de la arista t, t' del prisma triangular recto, se extiene de forma paralela al Plano Cortante 1, por lo tanto no solo cortará a la arista t, t' sino que también tendrá intervención sobre las aristas del prismas triangular oblicuo truncado, pues como se había explicado en lecciones anteriores, los Planos Cortantes se extienden ilimitadamente, tanto en la dirección de la arista sobre la que se posan como también en dirección perpendicular a ésta, por lo tanto cortará todas las caras que se localicen en su trayecto, pero debido a que la intersección solo se encuetra en un determinado sector del prisma triangular oblicuo truncado no se hace necesario identificar todos los puntos que corta el PC-2, ya que es evidente que por la tapa y la base del prisma no hay relación entre los volumenes, por esta razón solo deberán tomarse en cuenta los puntos que corte el Plano Cortante 2 dentro de los límites del encuentro de los dos sólidos.

En el PC-2 se señalarán el punto 3, 4 en la arista t, t', debido a que esta arista se choca con dos caras del prisma triangular oblicuo truncado, lo que indica que deben existir dos puntos de encuentro, ya que al ver simultáneamente las proyecciones Horizontal y Frontal, se evidenciará que la arista t, t' está pasando por las caras - a, a', b, b' - y - a, a', c, c' -, y es por esta razón que en esta arista se señalan dos puntos, lo cual es lógico al analizar que la posición de esta arista es perpendicular y no se está visualizando por su longitud sino de forma perpendicular a ésta. También dos puntos son señalados en las demás aristas, sólo que en los otros casos éstas aparecen por su longitud, caso de la arista - a, a' - la cual señala dos puntos de intersección (1 y 2), y así debe ser en todas las aristas, ya que se están interviniendo dos sólidos que poseen varias superficies, por lo tanto están compuestos de varias caras.

Debido a que se está incursionando en la realción espacial ente dos elementos que poseen espesores y que por lo tanto hacen parte de la realidad de nuestros objetos, la descripción de los proceso se hace más extensa, por ello, el análisis del PC-2 se prolonga y prolongará por varios párrafos, de tal forma que en los siguientes párrafos también se harán indicaciones sobre este Plano Cortante.

El Plano Cortante 2 aunque corta la cara r, r', s, s' del prisma triangular recto no se le señala punto alguno, debido a que el paso del plano cortante por esta cara no indicará algún cambio de posiciones de los puntos, ya que la cara del sólido se localiza sobre una cara del otro sólido también, no están sobre aristas, entonces no existe la necesidad de señalar otro punto, aunque si se hiciera no habría inconveniente, pues lo que sucedería es que el punto señalado en esta cara debido al corte del PC-2 indicaría un punto por donde necesarimente va a pasar la recta de la sección que va desde los puntos

de los Planos cortantes de las aristas adyacentes: a, a' y b, b', ya que sobre estos Planos Cortantes sí se están indicando puntos necesariamente, porque señalan cambio de dirección de los planos que conforman cada sólido, por el contrario, si se colocara el punto, al cual se esta haciendo referencia en esta explicación, del PC-2 como no se localiza sobre una arista paralela a los Planos Cortantes, tampoco sobre una arista perpendicular, entonces no sería determinante su denominación, pero si se hiciera, tampoco afectaría negativamente el ejercicio.

El paso de los puntos se debe realizar a través de las líneas de proyección, las cuales localizarán a los puntos de contacto en la sigueinte proyección. El punto 1 y 2 del PC-1 se situará sobre la arista - a, a' - la cual es la arista sobre la que se están situando en la proyección Horizontal. En el caso del corte del PC-2 en los puntos 3 y 4 establecidos sobre la arista t, t', éstos se deben proyectar a la siguiente proyección, pero debido a que la arista es perpendicular a la proyección Horizontal, no es posible definir en qué lugar de la extensión de la arista t, t' se deben colocar, ya que en la proyección Horizontal no se puede obtener el lugar en donde se encontrará pues en esta proyección la arista aparace como un punto; Debido a ello se debe proceder a analizar cómo se obtendrán el lugar exacto de la localización de los puntos que se encuentran sobre esta arista.

Figura 35. Proceso Intersección Sólido - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 2.

 

Como el PC-2 corta también a la base y tapa del otro sólido (prisma triangular oblicuo truncado) se debe analizar si es viable la localización de otros puntos de corte por estas aristas, teniendo en cuenta que los puntos se deben localizar sobre aristas que no sean perpendiculares a la Línea de Referencia y que tampoco se pueden presentar como un punto, por esta razón el PC-2 corta la tapa del prisma triangular oblicuo truncado, ya que es la única opción viable para el señalamiento de los puntos, pues el señalamiento de los puntos sobre la base de este prisma no sería viable, ya que se está formando un ángulo de 90° entre las aristas y la Línea de Referencia H - F, por lo tanto no se podría ubicar tampoco punto alguno en la siguiente proyección. Ahora, los puntos señalados en la tapa del prisma truncado es la opción adecuada, debido a que todas las aristas que conforman la cara de la tapa se encuentran en posiciones diferentes y no forman un ángulo de 90° con la Línea de Referencia, por lo tanto cualquier punto establecido sobre estas aristas se podrían trasladar a la siguiente proyección con precisión. Los puntos que se van a indicar en la tapa van a hacer referencia a los puntos de la arista t, t', ya que sobre la tapa no hay intersección real de los sólidos pues no existe un cruce de líneas de los prismas, y la indicación de los puntos sobre esta solo es un procedimiento necesario para el señalamiento exacto de los puntos de corte del PC-2, por esta razón los puntos de corte sobre las aristas de la tapa del prisma truncado se denominrán 3' y 4', en donde 3' es el punto localizado en la cara anterior y el 4' en la cara inferior, la cual es oculta en la proyección Horizontal. Esta organización de los puntos es importante de

señalar, ya que en el señalamiento de los puntos de la arista t, t', se coloca en una posición anterior al punto 3 y después separado con una coma se nombra el punto 4, con lo que se está indicando que el punto 3 está más cerca al observador que el punto 4, sabiendo que el observador se localiza en la proyección Horizontal en este caso de nombramiento de los puntos de los elementos en la proyección Horizontal.

El paso de los puntos 3' y 4' se realiza con el mismo procedimiento de traslado de cualquier punto, por medio de una línea de proyección que atraviesa de forma perpendicular la Línea de Referencia y se localiza sobre la arista respectiva, por lo tanto el punto 3' se ubica sobre la arista a', b' y el punto 4' sobre la arista a', c'. Después de localizar los puntos sobre sus aristas deben ser trasladados a la intersección real, por lo tanto a la arista t, t'; el procedimiento que se va a seguir es el siguiente: desde los puntos localizados ya en la proyección Frontal (3' y 4') por medio de líneas de proyección con dirección paralela a las aristas del prisma oblicuo truncado, se trasladan los puntos hasta que éstos se encuentren con la arista respectiva, arista t, t'. El traslado de los puntos se hizo de forma paralela a las aristas del prisma triangular oblicuo truncado, debido a que los Planos Cortantes se están colocando en la proyección anterior sobre las aristas de este prisma (triangular oblicuo truncado) y las adicionales se establecen de forma paralela a éstas, por lo tanto en la proyección Frontal también los Planos Cortantes van a ser paralelos y éstos se encuentran sobre las tres aristas del prisma oblicuo y los dos Planos Cortantes adiciones, como no están localizados sobre ninguna arista de este sólido sino sobre una cara de éste, no son visibles, entonces se deben señalar sabiendo que es un plano imaginario, pero que al igual que las aristas del prisma oblicuo también se visualizarían paralelos a éstas aristas.

Después del paso de los puntos de los primeros dos Planos Cortantes se deben pasar también los demás puntos de los dos Planos Cortantes faltantes: PC-3 y PC-4. Los puntos (5 y 6) del PC-3 se encuentran sobre la arista b, b' y se trasladan a la proyección Frontal a la arista respectiva; en el caso de los puntos (7 y 8) de la arista r, r' sucede los mismo que con los puntos de corte de la arista t, t' determinados por el PC-2, entonces la forma de proceder va a ser la misma: se señalarán en la tapa del prisma oblicuo truncado y se trasladarán a la siguiente proyección, proyección frontal, y luego de forma paralela a las aristas del prisma triangular oblicuo truncado se ubicarán sobre la arista correspondiente, arista r, r'.

El siguiente paso es la unión de los puntos por medio de líneas contínuas ó segmentadas que conformarán la sección de la intersección real de los sólidos. La unión correcta de los puntos se determina por el análisis correcto de la posición espacial de los elementos y la cercanía al observador de los mismos, entonces, el punto 7 y 8 se muestran en proyección Horizontal como los puntos más cercanos al observador, el cual se encuentra desde la proyección frontal mirando hacia la Horizontal. El análisis tanto de la unión correcta de los puntos como de su visibilidad depende de la comprensión de que no son líneas las que conforman estos formas geométricas, sino que son sueperficies, tienen masa y por lo tanto una cara puede ocultar a otra, debido a que son compactas. En el caso del punto 7 y 8, se puede entender el punto 7 está en la parte superior de la arista r, r', y como se hace evidente en la señalización de éstos en la proyección Frontal, éste se localiza sobre la cara b, b', c, c'. El punto 8 debe encontrarse también sobre la arista r, r' pero su localización va a ser en un punto posterior al punto 7, por lo tanto como se percibe en la proyección Frontal, el punto está ubicado sobre la cara c, c', a, a'.

Figura 36. Proceso Intersección Sólido - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 3. 

Ahora, la unión de los puntos también necesita de su correcto análisis y al haber entendido la posición de los primero dos puntos se pueden empezar a unir los demás, entonces como el punto 7 está enla cara b, b', c, c' se debe unir con otro localizado sobre una arista, pero una arista anterior y no posterior, por lo tanto se unirá con los puntos 5 y 6 localizados sobre las aristas b, b' (H), pero la línea 7, 8 será oculta ya que la línea se ubica sobre la cara r, r', s, s' del prisma triangular recto y ésta cara se encuentra detrás de la cara r, r', t, t', por lo tanto no será visible en la Frontal. Por el contrario, la línea 7, 6 será visible ya que se localiza sobre la cara visible del plano triangular recto.

La unión de los demás puntos es la siguiente: 6 se une con 3, ya que 3 se encuentra en un plano anterior del prisma triangular oblicuo truncado, por lo tanto se ubica sobre la cara b, b', a, a', pero 6 no se unirá con 4 porque 4 está en la cara inferior del prisma triangular oblicuo (esto se entiende por la forma en que se nombran los puntos, y el punto 3 está antes que el 4, indicando que el punto 3 está en un plano anterior y el plano 4 en uno posterior). El punto 3 se unirá con el punto 2, ya que el punto dos está en la arista que culmina la cara en la que se ubica el punto 3; luego el punto 2 se devolverá por la cara inferior del prisma oblicuo y se unirá en esta cara con el punto 4 localizado en esta cara inferior; El punto 4 se une con otro punto que se encuentra en una localización posterior, el punto 8, ya que está sobre la cara en la que se ubica el punto 4 (cara c, c', a, a'); el punto 8 se unirá con el punto 1, pues aunque el punto 1 se encuentre en el límite de una cara anterior, también es el límite de la cara inferior sobre la cual se ubica el punto 8. Y luego 1 se une con 5 sobre la cara b, b', a, a' y se cierra la sección.

Para aclarar algunas confusiones que puedan surgir al realizar la unión correcta de los puntos, se va a explicar por qué el punto 2 no se une con el 1, cuando estos dos son adyacente y es debido a que se encuentran en caras opuestas, ya que el punto 1 está ubicado sobre la cara r, r', s, s' del prisma triangular recto y el punto se encuentra sobre la cara s, s', t, t', además si se analiza con detenimiento el prisma triangular recto no está ingresando totalmente al prisma triangular oblicuo truncado, por lo tanto no hay forma alguna de que pase una recta que conecta a los puntos 1 y 2, pues estos están separados por masa, allí no los separa una línea, sino el espesor del prisma triangular recto.

La siguiente figura muestra las secciones de líneas que deben ser eliminadas y la visibilidad correcta. Debido a que el prisma triangular recto traspasa completamente al prisma triangular oblicuo truncado por sus caras a, a', a, b' y parte de la cara a, a', c, c' se deben quitar partes del otro prisma al cual está atravesando el prisma triangular recto, ya que si esto no se hiciese, no fuese posible insertar un volumen en otro, si no se rompe y no se eliminan parte del otro volumen, no esistiría la intersección real, por lo tanto, la sección de la arista a, a' localizada al interior de las aristas del prisma recto se eliminan, al igual que las de las aristas b, b'.

Finalmente esta es la sección de la intersección real.

Figura 37. Proceso Intersección Sólido - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 4. 

  Antes de terminar el capítulo de Intersecciones se hace una aclaración sobre los procedimientos. En las lecciones se muestran los pasos del proceso para obtener la sección de la intersección, y se muestran en diferentes imágenes, proceso en el cual también se eliminan ciertos elementos como las líneas de proyección, las auxiliares y letras de identificación, entre uno y otro proceso, como también se eliminana en algunos casos las líneas ocultas; se hace la aclaración de que el dibujo es solo uno, el ejercicio solo debe ser uno, las diferentes figuras presentadas para mostrar el procedimiento correcto para obtener la sección, son los pasos que el estudiante debe seguir y debe realizar en el ejercicio entregado inicialmente, por lo tanto, a partir de las dos proyecciones principales entregadas para obtener la intersección, el estudiantes realizará todos los pasos descritos en este capítulo y en la lección correspondiente, sobre el ejercicio inicial, no deberán hacer varias veces las vistas Horizontal y Frontal, sino que a partir de las dos vistas principales se inicia paso a paso el proceso descrito en la lección correspondiente, pero que acá se presentó en diferentes figuras buscando que fuese más claro para el estudiante entender el proceso, y no presentarles una sóla imagen con el proceso total y culminado, ya que tantas líneas de proyección podrían llegar a causar confusión absoluta en los lectores.