lección 1.8 composición y descomposición de funciones cel
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COMBINANDO FUNCIONESCOMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN
UNIDAD IFUNCIONES Y TRANSFORMACIONES
A.PR.11.3.2J. Pomales CeL
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INTRODUCCIÓN
En el tema pasado realizamos combinaciones de funciones a través de la suma, resta, multiplicación y división.
Hoy, trabajaremos con una quinta combinación llamada composición. Se realizarán en: expresiones algebraicas, tablas y gráficas.
Luego definiremos y haremos ejercicios de su operación contraria: descomposición.
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COMPOSICIÓNDE FUNCIONES
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¿QUÉ ES COMPOSICIÓN DE FUNCIONES?
De forma sencilla, la composición de funciones es colocar una función dentro de otra y simplificarla.
Al igual que con las operaciones básicas, al hacer la composición de funciones (concatenación) generamos una nueva función.
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¿QUÉ ES COMPOSICIÓN DE FUNCIONES?
Se denota: (f o g)(x) = f [g(x)]Se lee: “ g compuesta con f ”
A g se le llama la función interior, o primera función y a f la función exterior, o segunda función en la composición.
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CARACTERÍSTICAS DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Cuando se escribe f o g entendemos que g es la primera función que actúa en la cadena, a pesar de que se escribe a la derecha después de f
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CARACTERÍSTICAS DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES?
No necesariamente todos los elementos del dominio de g estarán en el dominio de f o g
La operación de componer funciones no es conmutativa, es decir que en general:
f o g ≠ g o f(aunque puede haber excepciones)
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EJEMPLOSDE COMPOSICIÓN DE
FUNCIONES
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Si y halla:
HALLA LAS SIGUIENTES
COMPOSICIONES g f o1xf(x) 2
2xg(x)
12
1)(2
)(
)]([ ))( (
2
2
2
o
x
x
xf
xgfxgfSOLUCIÓN
Lo que hicimos fue colocar una función dentro de la otra y simplificar:
12
1) (2
)( 12)(
2
2
x
xxgxxf 2x
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Si y halla:
HALLA LAS SIGUIENTES
COMPOSICIONES f g o1xf(x) 2
2xg(x)
144
)12(
)12(
2
2
xx
x
xg
)]([ ))( ( o xfgxfg SOLUCIÓN
Lo que hicimos fue colocar una función dentro de la otra y simplificar:
144
) (
12)( )(
2
2
2
xx
xxfxxg 12 x
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CREA LA TABLA DE VALORES DE LA SIGUIENTE COMPOSICIÓN
f g oHalla
x f(x)
1 -3
2 2
3 4
4 6
5 0
6 1
7 -9
x g(x)
2 10
0 3
4 4
-9 -6
1 0
-3 2
6 -5
x (g o f)(x)
Asegúrate de comenzar por la primera función que en este caso es f (x)
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CREA LA TABLA DE VALORES DE LA SIGUIENTE COMPOSICIÓN
f g oHalla
x f(x)
1 -3
2 2
3 4
4 6
5 0
6 1
7 -9
x g(x)
2 10
0 3
4 4
-9 -6
1 0
-3 2
6 -5
x (g o f)(x)
1 2
2 10
3 4
4 -5
5 3
6 0
7 -6
CUIDADO: No siempre el dominio de la nueva función será el mismo que el dominio
de la función original.
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DIBUJA LA GRÁFICA DE LA SIGUIENTE
COMPOSICIÓNHalla (m o h)(x)
h(x) m(x)
Dato: La composición de dos funciones lineales siempre será otra lineal.
Cuando no se conoce qué tipo de gráfica será la composición entonces necesitas encadenar muchas parejas de puntos.
2.5
1.6
-5 -2 -2 2.5-2 1 1 1.6
El valor del recorrido lo uso como dominio en la otra función
Asegúrate de comenzar por la primera función
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DIBUJA LA GRÁFICA DE LA SIGUIENTE
COMPOSICIÓN
Halla (m o h)(x)(m o h)(x)
-5 -2 -2 2.5-2 1 1 1.6
Como sabemos que de dos funciones lineales obtenemos la
composición de otra función lineal, sólo necesitamos dos
puntos para la construcción de la nueva función.
¿Sabes cuáles son estos puntos?
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DIBUJA LA GRÁFICA DE LA SIGUIENTE
COMPOSICIÓN
Halla (m o h)(x)(m o h)(x)
-5 -2 -2 2.5-2 1 1 1.6
Utilizo el valor del dominio de la primera función junto al
valor del rango de la segunda función
2.51.6
-5 2.5-2 1.6
¡Y listo!¿Por qué sólo se utilizaron 2 puntos para construir la nueva gráfica?
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DESCOMPOSICIÓNDE FUNCIONES
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¿QUÉ ES DESCOMPOSICIÓN
DE FUNCIONES?
Es identificar cuáles funciones se componen para formar otra.
Es el proceso opuesto a componer funciones.
Este proceso se estudiará más a fondo en los cursos de Cálculo.
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¿QUÉ ES DESCOMPOSICIÓN
DE FUNCIONES?
La descomposición de una función cualquiera no es única, puede incluir dos o más funciones.
Es necesario que se establezca el orden en que se deben componer las funciones para obtener la función original.
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EJEMPLOSDE DESCOMPOSICIÓN
DE FUNCIONES
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DESCOMPONER h(x) EN 2 FUNCIONES
Recuerda mencionar el orden en que se debe componer la función y comprueba su resultado:
23)()1 x xh
(x)f) o (gh(x) seríaorden El
23)( x (x)fy xxg
COMPROBACIÓN:
23
)23(
)]([))((
x
xg
xfgxf o g
OTRA SOLUCIÓN PODRÍA SER:
323)( x (x)fy xxg
23
33
)(3
)(
)]([))(f (
32
32
32
x
x
x
xg
xfgxog
¿Qué ocurre si cambias el orden?No se genera la función original h(x), a
menos que intercambies el nombre de las funciones en la solución.
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REFERENCIAS
PRECÁLCULO. Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas
PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS. Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill
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