lcinri - trilce.edu.pe · lcinri matemática examen ni 2018 ii prohibida su venta 2 pregunta 03...

SOLUCIONARIO

Examen UNI 2018 – II

Matemática

Proh

ibid

a su

ven

ta

www.trilce.edu.pe 1

Pregunta 01

Sean: P(x) = 9 - x2, Q(x)= ax3 - 2x +3

Determine el valor de “a” para que P(x).(Q(x)-1) sea divisible por x-3 y satisfaga que la suma de los coeficientes de los términos del cociente sea -12.

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolución 01

División algebraica

Sea: P(x)=9 – x2; Q(x)=ax3 – 2x+3

Del enunciado: P(x).[Q(x) – 1]≡(x – 3).M(x) ...... α

Donde: M(x): cociente

Además: M(1)=–12

En “α” reemplazamos: x=1

P(1).[Q(1) – 1]=(– 2).M(1)

Reemplazando los valores:

(8).(a)=(– 2)(– 12)

` a=3

Rpta.: 3

Pregunta 02 2

Determine cuántos números de 3 cifras que son divisibles por 11 tienen por suma de sus cifras igual a 15.

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

Resolución 02

Divisibilidad

Criterios de divisibilidadSea el número abc.

• abc=11 y a+b+c=15

abc+ +-

= 11

111111

a c b+ − =S

15 – b – b=15 – 2b=

b=2

Luego

13

4 9

5 8

6 7

7 6

8 5

9 4

a c

pares6

. .

+ =

_

`

a

bbbb

bbbb

∴ Hay 6 números.

Rpta.: 6

SOLUCIONARIO

MatemáticaExamen UNI 2018 – II

www.trilce.edu.pe

Proh

ibid

a su

ven

ta

2

Pregunta 03

Sean las clases de equivalencia de números racionales:

,ba

nm y s

r8 8 8B B BDadas las siguientes proposiciones:

I. Si ba

nm

+ z=8 8B B , entonces an = bm

II. Si ba

nm

+ ! z8 8B B , entonces bn

am=

III. Si ba

nm

sr+ =8 8 8B B B, entonces

bnan bm

sr

!+ 8 B.

¿Cuáles son correctas?

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) II y III

E) I y III

Resolución 03

Números racionales

Clases de equivalencia

;ba

nm y

sr8 8 8B B B: Clases de equivalencia

I. Si ba

nm+ z=8 8B B , entonces: an=bm (F)

porque ba

nm an bm*+ !z=8 8B B

II. Si ba

nm+ ! z8 8B B , entonces: an=bm ... (F)

„ bn

am= Si a≠0, pero no si a=0

III. Si ba

nm

sr+ =8 8 8B B B,

entonces: bn

an bmsr!+ 8 B (V)

Porque:

bnan bm

sr+ =8 8B B

Rpta.: III

Pregunta 04

Halle el menor valor de a + n, donde a, n, M ∈ N tales que

( ) ( ) ... ( ) ... 259a a a M3 9 3 9 3 9 00 0

n cifras n cifras2 2

2=1 2 34444 4444S

N es el conjunto de los números naturales.

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolución 04

Divisibilidad

Criterios de divisibilidad

... ... . .a a a M3 9 3 9 3 9 00 00 7 37

n n2 2

2=^ ^ ^

^ ^

h h h

h h1 2 34444 4444S

• Observación: Un número de 6 cifras de la

forma xyxyxy siempre es 7o

y 37o

.

Como pide el menor valor, la cantidad de cifras significativas debe ser 6.

a a a3 9 3 9 3 9

2 6nn 3

==

^ ^ ^h h h1 2 34444 4444

Si a=1 → 3 9 3 9 3 9=7.37.1521

392S

„ a=1 y n=3

a+n=4

Rpta.: 4

SOLUCIONARIO


CENTRAL: 6198 – 100

Proh

ibid

a su

ven

ta

3

Pregunta 05

Se tiene dos barras de oro; en la primera el 80% del peso total es oro y en la segunda el 75% de su peso es oro, siendo esta el cuádruple de la anterior. Si se mezclan, determine la pureza resultante de dicha mezcla.

A) 0,755

B) 0,760

C) 0,765

D) 0,770

E) 0,775

Resolución 05

Aleación

Ley media

,

,

, , ,,

Pesos Leyes Ley media

W K

W Km1 0 80

4 0 75 51 0 80 4 0 75

53 8

0 7601

2,

==

=+

= =_ _i i

4

Rpta.: 0,760

Pregunta 06

En un total de 15 personas, 10 son hombres y 5 son mujeres, van a ser divididos al azar en cinco grupos con 3 personas cada uno. Calcule la probabilidad que en cada uno de los cinco grupos siempre haya una mujer.

A) 0,05

B) 0,06

C) 0,07

D) 0,08

E) 0,09

Resolución 06

Probabilidades

Cálculo de probabilidadesSe tiene 10 hombres y 5 mujeres; se forma 5 grupos.

Sea “P(A)” la probabilidad de que en cada grupo haya 2 hombres y 1 mujer.

. . . . .grupo grupo grupo grupo grupo

PC

C CC

C CC

C CC

C CC

C C

1 2 3 4 5

( )

er o er o o

A315

210

15

312

28

14

39

26

13

36

24

12

33

22

11#

##

##

##

##=

`P(A)=0,08

Rpta.: 0,08

Pregunta 07

Señale la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. 111(3) = 23(5)

II. 0,25 = ,0 1(5)|

III. , ,a0 0 4(5)(11) =| | , donde a=10

A) F V F

B) F V V

C) V F F

D) V V F

E) V V V

Resolución 07

Números racionales

Fracción generatrizI.

( )V

111 23

3 3 1 2 5 3

13 13

3 52

#

f

=+ + = +=

^ ^h h

II. , ,

V

0 25 0 1

10025

41

5

f

=

=

7

^

^

h

h

III. , ,a

a V

0 0 4

10 44

11 5=7

f

7

10a"= = ^

^ ^

h

h h

Rpta.: VVV

SOLUCIONARIO


www.trilce.edu.pe

Proh

ibid

a su

ven

ta

4

Pregunta 08

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. Si a - b ∈ N y b ∈ N , entonces a ∈ N .

II. Si a - b ∈ N y a ∈ N , entonces b ∈ N .

III. Si a2 ∈ N , entonces a ∈ N .

N es el conjunto de los números naturales.

A) V F F

B) V F V

C) V V F

D) V V V

E) F V F

Resolución 08

Números reales

Números naturalesI. Si (a – b) ! N y b ! N,

entonces (a – b)+b = a ! N ....................(V)

Propiedad de clausura en N

II. Si (a – b) ! N y a ! N, entonces b ! N ....(F)

porque el conjunto N no es cerrado con respecto a la resta; es decir: a – (a – b)=b ∉ N

III. Si a2 ! N, entonces a ! N ......................(F)

Si a ! N → a2 ! N, pero

si a2 ! N → a ! N; no siempre es cierto

Ej.: 3 N2!^ h , entonces 3 N! ; no es

cierto.

Rpta.: VFF

Pregunta 09

Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):

Sea A una matriz cuadrada de orden n e I la matriz identidad del mismo orden.

I. Si |A - kI|=0, k número real, entonces [AT - kI] = 0

II. Si A2=I-A, entonces |A|=0

III. Si B=(-1)n+1|A|A2n, entonces

|B|= |A|3n

A) VVV

B) VFV

C) VVF

D) FFV

E) VFF

Resolución 09

Matrices

DeterminantesI. Verdadero

|A – kI|=0 → |(A – kI)T|=0

|AT – kIT|=0 → |AT – kI|=0

II. Falso

A2=I – A → A2+A=I

A (A+I)=I → |A (A+I)|=|I|

|A|.|A+I|=1 →|A|≠0

III. Verdadero

B=(– 1)n+1.|A|. A2n

|B|={(– 1)n+1.|A|}n.|A 2n |

|B|=( )1– n n2 + .|A|n.|A|2n

|B|=1.|A|3n=|A|3n

Rpta.: VFV

SOLUCIONARIO


CENTRAL: 6198 – 100

Proh

ibid

a su

ven

ta

5

Pregunta 10


Sea la matriz:

A100

010

101

= > H

I. det (An) = n para todo n ∈ N .

II. An1

00

010

01

n = > H para todo n ∈ N

III. Si B es la matriz inversa de An, entonces det (Bn) = -n para todo n ∈ N .

A) V V V

B) V F V

C) F V V

D) F V F

E) F F F

Resolución 10

Matrices

Matriz cuadradaNótese que det(A)=1. Ahora en cada proposición:

I. Falso

det(An)=[det(A)]n=1n=1; ∀n∈N

II. Verdadero

An=A.A.A ... n veces= n1

00

010

01

J

L

KKK

N

P

OOO

III. Falso

det(Bn)= [det(B)]n= [det(A–n)]n

det detA A

1 1

11

1 1

n

n n

nn

2

22

=

= =

_ _

c _

i i

m i

> >H H

Rpta.: FVF

Pregunta 11


I. Si a los términos de una progresión aritmética se le aumenta un valor constante, entonces se forma una progresión aritmética con la misma razón.

II. Si la progresión tiene una cantidad par de términos, la suma de los términos extremos de una progresión aritmética (primero y último) es igual a la suma de los términos centrales.

III. Si a los términos de una progresión aritmética se le multiplica por el valor constante, entonces se forma una progresión aritmética con la misma razón.

A) VVV

B) VVF

C) VFV

D) FVV

E) VFF

Resolución 11

Sucesiones

Progresión aritméticaProgresión aritmética inicial

a; a+R, a+2R, a+3R

I. Sumando “c” a cada uno.

(a+c); (a+c)+R; (a+c)+2R; (a+c)+3R

nueva PA: m; m+R; m+2R; m+3R ... (V)

II. Propiedad en progresión aritmética: “La suma de términos equidistantes a los extremos es constante”.

a+(a+3R)=(a+R)+(a+2R) ... (V)

SOLUCIONARIO


www.trilce.edu.pe

Proh

ibid

a su

ven

ta

6

III. Multiplicando por K.

; ; ;ak ak Rk ak Rk ak Rk2 3m m m m

+ + +SS S S

Resulta m; m+Rk; m+2Rk; m+3Rk

Observaciones:

i. No es la misma razón.

ii. Si K=0: 0; 0; 0; 0

No es progresión aritmética. ... (F)

∴ VVF

Rpta.: VVF

Pregunta 12

Determine el conjunto de valores de K para que el siguiente sistema lineal en x e y admita al menos una solución.

(K+3)x + 2Ky = 5K – 9

(K+4)x + (3K – 2)y = 2K+1

A) , ,2 3,3 3- -B) , , ,2 2 3 3, ,3 3- - -C) , ,2 2,3 3- - -D) , , ,2 2 2 3 3, , 3-E) , ,2 2,3 3-

Resolución 12

Sistema de ecuaciones

• Según la condición del problema:

El sistema es consistente.

• Por contradicción:

El sistema no tiene solución.

Propiedad:

KK

KK

KK

43

3 22

2 15 9!

++ =

− +−

Al resolver:

K=−2

„ Para que el sistema tenga al menos una solución:

, ,K 2 2d ,3 3- - -

Rpta.: , 2 2,,3 3- - -

Pregunta 13


Respecto al sistema de ecuaciones lineales en x, y,

(1 – l)x+y = c

2x – ly = 2c

x – y = (1+l)c

I. Si l=– 2, el sistema tiene solución para todo c ! R .

II. Si l=0, el sistema no tiene solución.

III. Si l=1, el sistema tiene solución única para cada valor real de c.

A) VVV

B) VFV

C) VFF

D) FVF

E) VVF

Resolución 13

Sistema de ecuaciones

Clasificación del sistemaI. Verdadera.

Si l = – 2, el sistema:3

2 2 2

x y c

x y c

x y c

+ =+ =− =−

*

Al resolver: x=0 ) y=c

El sistema tiene solución para todo c ! R.

II. Falsa.

Si l = 0, el sistema:x y c

x c

x y c

2 2

+ ==− =

*

SOLUCIONARIO


CENTRAL: 6198 – 100

Proh

ibid

a su

ven

ta

7

Al resolver: x = 0 ) y = 0

El sistema tiene solución para todo c ! R.

III. Falsa.

Si l = 1, el sistema:................

....

.......

y c

x y c

x y c

1

2 2 2

2 3

=− =− =

^^^

hhh

*

Al resolver (1) y (2) se obtiene:

x c y c23 /= =

Los cuales no verifican la ecuación (3).

` El sistema no admite solución.

Rpta.: V F F

Pregunta 14

En una granja de pollos se da una dieta “para engordar” con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y 20 unidades de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo M, con una composición de 1 unidad A y 5 unidades de B; y el tipo N, con una composición de 5 unidades de A y 1 de B.

El precio del tipo M es de 1000 soles y el del tipo N es de 3000 soles.

El dueño de la granja quiere saber qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo.

Si

x : número de unidades del compuesto M que se compran

y : número de unidades del compuesto N que se compran

Modele el problema que responda a la inquietud del dueño de la granja.

A) mín (1000 x+3000 y) sujeto a

x+5y # 15

5x+y # 20

x$0, y $ 0

B) mín (3000 x+1000 y) sujeto a

x+5 y $ 15

5x+y # 20

x $ 0, y $ 0

C) mín (1000 x+3000 y) sujeto a

x+5 y $ 15

5x+y $ 20

x $ 0, y $ 0

D) mín (1000 x+3000 y) sujeto a

x+5 y $ 20

5x+y $ 15

x $ 0, y $ 0

E) mín (3000 x+1000 y) sujeto a

x+5 y $ 15

5x+y $ 20

x $ 0, y $ 0

Resolución 14

Programación lineal

ModelaciónClases de compuestos

Tipo M: “x”; precio S/ 1000

Tipo N: “y”; precio S/ 3000

Función objetivo: mín(1000x+3000y)

Datos de la composición Restricciones

Sust

A

Sust

B

Tipo M 1 5

Tipo N 5 1;

Sx y

x yx y

5 155 20

0 0

$

$

$ $

=++*

SOLUCIONARIO


www.trilce.edu.pe

Proh

ibid

a su

ven

ta

8

Rpta.: mín (1000 x+3000 y) sujeto a

x+5 y $ 15

5x+y $ 20

x $ 0, y $ 0

Pregunta 15

Sea:

/ 0M x Rx xx x

1 42 3

! $=− − ++ − +) 3

¿Cuántos números enteros hay en Mc?

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Resolución 15

Inecuaciones

Inecuaciones con valor absoluto

.x xx x

x xx x

1 42 3

01 42 3

$− − ++ − +

− + ++ + +c cm m

( ) ( )( ) ( )x xx x

1 42 3

02 2

2 2$

− − ++ − +

( ) ( )( ) ( )

xx

2 3 52 5 1

0$+ −+ −

0xx

2 32 5

$++

25-

23-

+ +-

Luego: M ∈ ; 25 ;2

3< ,3 3− − − +B

∴ ;M 25

23C ! - - B

Cantidad de valores enteros: 1

Rpta.: 1

Pregunta 16

La ecuación cuadrática x2+bx+c=0 tiene como conjunto solución {D – 1, D+1}; D es el discriminante de la ecuación. Determine la suma de sus raíces.

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 12

Resolución 16

Ecuaciones cuadráticas

Reconstrucción/Discriminantex2 + bx + c = 0

CS={D – 1; D + 1}

Por reconstrucción de la ecuación

x2 – (D – 1 + D + 1)x + (D – 1)(D + 1) = 0

x2 – 2Dx + D2 – 1 = 0 ... (α)

Luego

D = 4D2 – 4(D2 – 1)

D = 4

Reemplazando en (α)

x2 – 8x + 15 = 0

∴ x1 + x2 = 8

Rpta.: 8

SOLUCIONARIO


CENTRAL: 6198 – 100

Proh

ibid

a su

ven

ta

9

Pregunta 17

Señale el mayor rango de la función:

xx x

58 152

4 2

−− +

A) , ;3 5 53- -6 " ,

B) ;3 3-6C) ,3 23-6 " ,

D) ,2 33-6 " ,

E) ,2 13-6 " ,

Resolución 17

Funciones

Función lineal

Se tiene: ( )( )

( ) ( )f x

xx x

53 52

2 2=

−− −

; D 5Rf != − " ,

f(x) = x2 - 3 ; x 5!!

Gráficamente:y

-3

x

2

- 5 5

∴ ,Ran 3 2( )F 3= −6 " ,

Rpta.: ,3 23-6 " ,

Pregunta 18

Considere la siguiente función:

f: [0;6]→[– 4;4] cuya gráfica se muestra a continuación:

0

-4

6

4

y

x


I. f es biyectiva.

II. |f(x)| – f(x)>0 para todo x ! [0,6].

III. g(x)=f(x)+|f(x)| es inyectiva.

A) VVV

B) VVF

C) VFF

D) FFV

E) FFF

Resolución 18

Funciones

Clases de funcionesI. Verdadero

La función es inyectiva y suryectiva a la vez; por tanto, f es biyectiva.

II. Falso

Nótese que cuando f(x) ≥ 0, entonces

|f(x)|= f(x)

Por lo tanto:

|f(x)|– f(x)=0

SOLUCIONARIO


www.trilce.edu.pe

Proh

ibid

a su

ven

ta

10

III. Falso

Del gráfico dado:

Si f(x)< 0 →|f(x)|=–f(x)

Luego:

g(x)=f(x)+|f(x)|=0

∴ g(x) no es inyectiva

Rpta.: VFF

Pregunta 19

Dado xyz41= , calcule

Exy z xy z

xy z x y z xy z6 6

4 2 2 2 2 4=

+ − −+ + − + −

^ ^

^ ^ ^

h h

h h h

A) 41

B) 21

C) 1

D) 2

E) 4

Resolución 19

Productos notables

Diferencia de cubos

( ) ( )( ) ( ) ( )

Exy z xy z

xy z x y z xy z6 6

4 2 2 2 2 4=

+ − −+ + − + −

Hacemos xy + z = A ∧ xy – z = B

Luego:

( )E

A BA AB B

EA B

A A B B

2

6 6

4 2

2 3 2 3

4 2 2 2

=−

+ +

=−

+ +^ ^h h

( ) ( )

( ) ( )

:

EA B A A B B

A A B B

Exy z xy z

E xyz

Por dato xyz

1

41

41

2 2 4 2 2 4

4 2 2 4

2 2

=− + +

+ +

=+ − −

=

=

∴ E=1

Rpta.: 1

Pregunta 20


I. La función f(x)=4x+4–x es monótona.

II. La función g(x)=4x – 4–x posee en algún xo ! R su valor mínimo.

III. La función h(x)=2x–3–x es una función impar.

A) VVV

B) VVF

C) VFV

D) FVV

E) FFF

SOLUCIONARIO


CENTRAL: 6198 – 100

Proh

ibid

a su

ven

ta

11

Resolución 20

Funciones

Función exponencialI. Falso

Nótese que f(– x)=f(x); ∀x !R

f es una función par; por tanto, no es monótona.

II. Falso

Nótese que g(x)=g1(x)+g2(x)

g1(x)=4x es creciente

g2(x)=– 4– x es creciente

Por lo tanto, g(x) es creciente.

III. Falso

Es evidente que h(– x)≠–h(x)

Rpta.: FFF

Pregunta 21

En un ángulo triedo isósceles una cara es recta y la medida del ángulo entre dichas caras y la arista opuesta es 45°. Calcule la medida de una de las caras congruentes.

A) 30°

B) 45°

C) 60°

D) arctan32

E) arcos31

Resolución 21

Geometría del espacio

Ángulo triedro

O

Q

H45°

45°x x

P

m

m 2

Piden: x

* OPH (notable 45° y 45°)

OP=2m

* OPQ (notable 30° y 60°)

` x = 60°

Rpta.: 60°

Pregunta 22

Desde un punto O fuera del plano de un triángulo ABC, cuyo perímetro es p, se proyecta dicho triángulo ABC sobre un plano Q paralelo al plano del triángulo. Si A’ B’ C’ es el triángulo proyectado y A A’ = AO, entonces el perímetro del triángulo A’ B’ C’ es:

A) p2

B) p

C) 2p

D) 3p

E) 4p

SOLUCIONARIO


www.trilce.edu.pe

Proh

ibid

a su

ven

ta

12

Resolución 22


Rectas alabeadasPiden: 2PA’B’C’

Por base media

A’B’=2c Si a+b+c=p

B’C’=2a

A’C’=2b

2a

cc a

B

O

A

2c

2bA’ C’

B’ ⇒2PA’B’C’=2pb

Rpta.: 2p

Pregunta 23

En el exterior de un poliedro convexo se toma un punto, el cual se une con los vértices de la cara más próxima; este nuevo poliedro posee 16 aristas, su número de vértices es igual al número de caras, y el número de aristas excede en 4 a las del poliedro inicial. Determine el número de caras del poliedro inicial.

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

Resolución 23

Poliedros

Piden C.

Poliedro final

A2=16

C2+V2=16+2

2C2=18

→ C2=9 → V2=9

Poliedro inicial

C1= ?

V1= ?

A1=12

C1+V1=12+2

∴ C1=6

P

Poliedro

inicial

(A2 – A1)

Aristas Poliedro

final

Rpta.: 6

Pregunta 24

Se tiene un tronco de cilindro circular recto con AB = 8 cm como diámetro de la base y generatrices AC > 2 cm y BD = 2 cm. La bisectriz del ángulo ACD corta a AD en E de tal forma que AE=

94 68 .

Si AC+CD = 18 cm , halle volumen (cm3) del tronco de cilindro.

A) 60π

B) 70π

C) 80π

D) 90π

E) 100π

SOLUCIONARIO


CENTRAL: 6198 – 100

Proh

ibid

a su

ven

ta

13

Resolución 24


Tronco de cilindroPiden el volumen del tronco.

OA B

C

D

4 4

5K

4K

2E

θ θ

95 68

94 68

• ED= 95 68

• ACD=Teorema de la bisectriz

• 94 68

DCAC

DCAC

95 68 5

4&= =

AC=4K y CD=5K

• Dato: AC+DC=18

4K+5K=18

K=2

• AC=4(2)

AC=8

• Volumen del tronco= 28 2 4 2r

+` ^j h =80π cm3

Rpta.: 80π

Pregunta 25

Se tiene 2 conos rectos de la misma altura h y bases del mismo radio R. Si el vértice de cada cono está en el centro de la base del otro cono, el volumen común (en u3) a los conos es:

A) R h4

2r

B) R h6

2r

C) R h8

2r

D) R h12

2r

E) R h13

2r

Resolución 25


Cono

h

R

RR

R

2h

2h

R/2

Piden: VSólidosombreado

VSólidosombreado

2 .R h2 2 3

12r= ` j

VSólidosombreado

R h12

2r=

Rpta.: R h12

2r

SOLUCIONARIO


www.trilce.edu.pe

Proh

ibid

a su

ven

ta

14

Pregunta 26

Se tienen dos esferas concéntricas, se traza un plano secante a la esfera mayor y tangente a la esfera menor, determinando un círculo de área 16π m2. Calcule el área, en m2, del casquete menor formado en la esfera mayor sabiendo que el radio de la esfera menor es 3 m.

A) 16π

B) 18π

C) 20π

D) 22π

E) 24π

Resolución 26


Esfera

4

r1

3R

r=3

hA=16r

Piden Acasquete.

πr12=16π r1=4

⇒R=5 h=2

Acasquete=2πRH=2π(5)(2)

∴ Acasquete=20π

Rpta.: 20π

Pregunta 27

lndique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado:

I. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

II. Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares y congruentes entonces el cuadrilátero es un cuadrado.

III. Si las diagonales de un trapecio son congruentes entonces el trapecio es isósceles.

A) VVF

B) VFF

C) VFV

D) FVF

E) VVV

Resolución 27

Cuadriláteros

TeoríaPiden indicar V o F.

I. V

A

B C

D

a

b

b

aα αO

AOB ≅ COD

SOLUCIONARIO


CENTRAL: 6198 – 100

Proh

ibid

a su

ven

ta

15

II. F

A

B

C

D

AC=BD ∧ BD ⊥ AC

III. V

Se traza el DBCE: paralelogramo

→ ACE: isósceles

→ ABCD: trapecio isósceles θ=α

θ α αA

B C

D E

Rpta.: VFV

Pregunta 28

Sean ABCD un cuadrado y AEF un triángulo equilátero, ambos inscritos en la misma circunferencia, de modo que AF y CD se intersecan en el punto I. ID=2cm, halle el radio de la circunferencia (en cm).

A) 2 2 – 6

B) 2 + 6

C) 2 2 + 6

D) 2 +2 6

E) 2 2 +2 6

Resolución 28

Polígonos regulares

Piden: R

60º

60º 230º

90ºA D

F

CR

I

BE

15º R 2

• AD=,4 → AD= R 2

• ADI: notable 15º-75º

R 2 = 2(2+ 3 )

∴R=( )cm2 2 6+

Rpta.: 2 2 6+

Pregunta 29

En la figura mostrada, determine PO (en cm),

tal que PC es la bisectriz interior en el triángulo

BPN, m\BNO=m\ROP, AP=4 cm y ON=3 cm

P

O

A

R

CB N

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

SOLUCIONARIO


www.trilce.edu.pe

Proh

ibid

a su

ven

ta

16

Resolución 29

SemejanzaP

O

A4

x

33k

xk

αα

θ

θ

R

CB N

Piden “x”.

• RO // CN: Teorema de Tales

RCPR x

3=

• PRA ∼ PCO

3xk kxk

x4

+=

Y YY

• x = 6

Rpta.: 6

Pregunta 30

En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se ubican los puntos M y N, puntos medios de los lados AB y BC respectivamente. En AC se ubican los puntos R y H de modo que R ∈ AH. Sabiendo que el área de la región formada por el cuadrilátero RMNH es la mitad del área formada por la región triangular ABC. Calcule

MNRH .

A) 0,25

B) 0,50

C) 0,75

D) 1

E) 1,25

Resolución 30

Áreas

Áreas triangulares y cuadrangulares

Piden MNRH

ax= .

h

h

a

2a

xR H C

N

B

M

A

Condición

SRMNH= S2

ABC

( )..a x h a h

2 2 22 2+

=

x=a

∴ ax =1

Rpta.: 1

Pregunta 31

En una circunferencia, dos cuerdas paralelas miden 2 cm y 6 cm. Si la distancia entre ellas es 2 cm, calcule el radio (en cm) de dicha circunferencia.

A) 3

B) 10

C) 2 3

D) 4

E) 3 2

SOLUCIONARIO


CENTRAL: 6198 – 100

Proh

ibid

a su

ven

ta

17

Resolución 31

Circunferencia

Piden R.

P

R

R

F

OE

C

Ab b

θ

D

B

1 111

2

3

2

22

b + θ

• CD = AP

• mCAD = mACP

OFD ( )Not y237

2143o o

∴ R = 10

Rpta.: 10

Pregunta 32

Un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia. Tiene por lados AB = 7a cm, BC =15a cm, CD = 20a cm y AD = 24a cm. Si M y N son puntos medios de las diagonales AC y BD respectivamente, MN = 15 cm . Calcule el perímetro del cuadrilátero ABCD (en cm).

A) 130

B) 132

C) 135

D) 140

E) 142

Resolución 32

Relaciones métricas en el cuadrilátero

B

A D

C

15

N53º7a

15a

M

37º16º

20a

24a

a2

25

a2

25

Piden 2P ABCD

• Por teorema de Ptolomeo

AC.BD=7a.20a+15a.24a

AC.BD=500a2 ... (I)

• Por teorema de Viette

..

BDAC

a a a aa a a a

24 20 7 157 24 15 20=

+ ++ +

...BDAC II

585468= ^ h

• De I y II

BD=25a

• AMN; notable (37º y 53º)25 a2

25=

a=2

• 2P ABCD=66(2)

=132 cm

Rpta.: 132

SOLUCIONARIO


www.trilce.edu.pe

Proh

ibid

a su

ven

ta

18

Pregunta 33

La distribución diaria (en horas) de luz solar durante el año en Lima está dada por la función

11 , 0 365f sen t t3652 54t # #r= − +^`^ hjh ,

donde t es el número de días transcurridos desde el inicio del año. Determine en qué fecha del año se tiene la menor cantidad de luz.

A) 29 de nov

B) 27 de nov

C) 24 de nov

D) 20 de nov

E) 15 de nov

Resolución 33

Funciones trigonométricas

Función senoDistribución diaria:

F t Sen t

t

3652

54 11

3652

542

3

43 365

menor luzm nimo 1í

&

#

r

r r

= − +

− =

=−

,t d as327 75 í=

t 54= +

_ _

_

i i

i

< E1 2 34444 4444S

∴ 24 de noviembre

Rpta.: 24 de nov

Pregunta 34

Resuelva la siguiente inecuación:

cos x x23 0$r

+^ h

A) ,x3

3! r− +8

B) ,x2

3! r− +8

C) ,x2

3! r- - B

D) ,x3

3! r- - B

E) ,x125 3! r− +8

Resolución 34

Inecuaciones trigonométricas

0 ( ) ( )cos cosx x x x f x g x23

23

$ $$ $ $r r

+ −

x

2y

0x

-1

π

1

π/2-π/2

f(x)

g(x)

El punto de intersección

x23r

= - cosx

∴ x 3r=−

;x 3 >3!r− +8

Rpta.: ;x 3 3!r− +8

SOLUCIONARIO


CENTRAL: 6198 – 100

Proh

ibid

a su

ven

ta

19

Pregunta 35

Sea ABCD un cuadrilátero con AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 2 cm y AD = 5 cm.

Calcule el valor de cos

cosE

DB

51 6

=+

^

^

h

h.

A) 1

B) 3/2

C) 2

D) 5/2

E) 3

Resolución 35

Resolución de triángulos oblicuángulos

A

B

B

C

D

D

3 cm

5 cm 2 cm

4 cm

Por teorema de cosenos:

AC2 = 32+42-2(3)(4)cosB

AC2 = 52+22-2(5)(2)cosD

Igualando:

25-24cosB = 29-20cosD

1coscos

DB

51 6+ =

Rpta.: 1

Pregunta 36

Dado el punto P = (– 2, 3 ), determine las nuevas coordenadas del punto luego que los ejes coordenados giran un ángulo de 30º en sentido antihorario.

A) , 132

-` j

B) ,2 325-` j

C) ,327-` j

D) 3 ,2 2

5-c m

E) ,43

21- -c m

Resolución 36

Transformación de coordenadas

Rotación de ejesFórmulas de rotación inversa:

cos

cos

x x ysen

y y xsen

i i

i i

= += −

y

y

Reemplazando:

2 30°x y 3/ / i=− = =Obtenemos:

;x

yP2

3

52

23

25= −

=−

y

y

yc m4

Rpta.: ,23

25-c m

SOLUCIONARIO


www.trilce.edu.pe

Proh

ibid

a su

ven

ta

20

Pregunta 37

Dados dos ángulos, calcule la medida del menor ángulo en radianes, si la diferencia de los cuatro tercios del número de grados sexagesimales de uno y los tres quintos del número de grados centesimales del otro es 20. Además, son complementarios.

A) 74 r

B) 94 r

C) 92 r

D) 9r

E) 16r

Resolución 37

Sistemas de medición angular

Fórmula general de conversiónDatos

S

C

R

a*

S

C

R

90

100

2

b

r

-

-

Z

[

\

]]

]]

Además

34 S−

53 (100 − C)=20

34 S+

53 C=80; ahora

S=9l , C=10l , R=20rl

Reemplazando

34 (9l )+

53 (10l )=80

9l=40 S=40

∴ El menor R=92r

Rpta.: 92r

Pregunta 38

En la circunferencia trigonométrica del gráfico

mostrado, si AM i=!

, calcule la ordenada del punto P.

Y

X

M

P

OA

θ

A) tan

tan1i

i

-^

^

h

h

B) tan

tan1 i

i

- ^

^

h

h

C) cos

cos1i

i

-^

^

h

h

D) cos

cos1 i

i

- ^

^

h

h

E) sen

sen1i

i

-^

^

h

h

SOLUCIONARIO


CENTRAL: 6198 – 100

Proh

ibid

a su

ven

ta

21

Resolución 38

Circunferencia trigonométrica

Línea trigonométrica tangente

1y

y45°

1−y

−tanθθ

xA

M

P

y

Z

[

\

]]]

]]]

_

`

a

bbb

bbb

Por semejanza

anyy

t1 1

i

−= −

1 any t1 1

i− = −

anany t

t1ii= −

Rpta.: an( )

ant

t1i

i-

Pregunta 39

Si el ángulo θ satisface sen(θ)=1 – sen2(θ),

calcule M=csc2(θ) – tan2(θ).

A) 21

B) 2

C) 3

D) 2

E) 5

Resolución 39

Identidades trigonométricas

Identidades trigonométricasDato:

senθ=cos2θ

tgθ=cosθ

tg2θ=cos2θ

ctg2θ=sec2θ

csc2θ – 1=1+tg2θ

csc2θ – tg2θ=2

Rpta.: 2

Pregunta 40

Determine el conjunto solución de:

0 ,tan tan

para1

16

42 2

2 !i i

i r r−

+−

−^ ^h h

A) arctan 12

1 1i r^ h

B) arctan ,arctan1 31 1i^ ^h h

6arctan2

1 1i r

C) arctan arctan2 61 1i^ ^h h

D) arctan ,arctan1 21 1i^ ^h h

6arctan2

1 1i r^ h

E) 6arctan2

1 1i r^ h

SOLUCIONARIO


www.trilce.edu.pe

Proh

ibid

a su

ven

ta

22

Resolución 40

Inecuaciones trigonométricas

4tan tan1

16

02i i−

+− efectuando operaciones

básicas

( ) ( )0

tan tantan

1 62

2i i

i- -

-

→tani , ,1 2 6, 3! +

Para el intervalo solicitado, tani es creciente; entonces:

1; ;arctan arctan arctan2 6,!i 2r

Rpta.: a r c t a n ( 1 ) < θ < a r c t a n ( 2 ) ,

arctan(6)<θ< 2r2

lcinri - trilce.edu.pe · lcinri matemática examen ni 2018 ii prohibida su venta 2 pregunta 03...

Documents