Las Matrices y su aplicacin en Ing. Civil.

Las Matrices y su aplicacin en Ing. Civil.

I. Resumen general de matrices Matrices Dimensin de una matriz Matriz igual Clase de matrices Operacin con matriz Matriz inversa Rango de una matriz

Matrices

Se denominamatriza todo conjunto de nmeros o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los nmeros de que consta lamatrizse denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posicin que ocupa, es decir, lafilay lacolumnaa la que pertenece.

Las matrices se suelen denotar por letras maysculas: A, B, X,... y los elementos de una matriz se denotan con la misma letra que la matriz pero en minscula y dos subndices representando la fila y la columna en la que se encuentra el elemento: aij , bij ... Cuando escribimos una matriz por medio de sus elementos, escribimos estos en forma de tabla y delimitados por parntesis.

Dimensin de una matriz

El nmero de filas y columnas de una matriz se denomina dimensinde una matriz. As, una matriz ser de dimensin: 2x4, 3x2, 2x5,... Si la matriz tiene el mismo nmero de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...

El conjunto dematricesdem filasyn columnasse denota por Amxno(aij), y unelementocualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, poraij.

Matrices igualesDosmatricessonigualescuando tienen la misma dimensin y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Clases de matrices Matriz filaUnamatriz filaest constituida por una sola fila.

Matriz columnaLamatriz columnatiene una sola columna

Matriz rectangularLamatriz rectangulartiene distinto nmero de filas que de columnas, siendo sudimensin mxn.

Matriz cuadradaLamatriz cuadradatiene el mismo nmero de filas que de columnas.

Los elementos de la formaaiiconstituyen ladiagonal principal.Ladiagonal secundariala forman los elementos coni+j = n+1.

Matriz nulaEn unamatriz nulatodos los elementos son ceros.

Matriz triangular superiorEn unamatriz triangular superiorlos elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferiorEn unamatriz triangular inferiorlos elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonalEn unamatriz diagonaltodos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalarUnamatriz escalares una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidadUnamatriz identidades una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuestaDada una matriz A, se llamamatriz traspuestade A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t= A(A + B)t= At+ Bt(A)t= At(A B)t= Bt At

Matriz regularUnamatriz regulares una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singularUnamatriz singularno tiene matriz inversa. Matriz idempotenteUna matriz, A, es idempotente si:A2= A.

Matriz involutivaUna matriz, A, es involutiva si:A2= I.

Matriz simtricaUnamatriz simtricaes una matriz cuadrada que verifica:A = At.

Matriz anti simtrica o hemisimtricaUnamatriz anti simtrica o hemisimtricaes una matriz cuadrada que verifica:A = -At.

Matriz ortogonalUna matriz es ortogonal si verifica que:AAt= I.

Operaciones con matricesSuma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensin,A=(aij)yB=(bij), se define la matriz suma como:A+B=(aij+bij).

La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posicin.

Propiedades de la suma de matrices Interna:La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensin m x n.Asociativa:A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:A + 0 = ADondeOes la matriz nula de la misma dimensin que la matriz A.

Elemento opuesto:A+ (A) = OLa matriz opuesta es aquella en que todos los elementos estn cambiados de signo.Conmutativa:A + B = B + A

Producto de un escalar por una matrizDada una matrizA=(aij)y un nmero realkR, se define el producto de un nmero real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento est multiplicado por k.kA=(k aij)

Propiedades a (bA) = (ab)AAMmxn, a, b a (A + B) = aA + aBA,BMmxn, a (a + b)A = aA + bAAMmxn, a, b 1A = AAMmxn

Producto de matricesDos matrices A y B son multiplicables si elnmero de columnas de Acoincide con elnmero de filas de B.Mm x nx Mn x p= Mm x p

El elementocijde la matriz producto se obtienemultiplicandocada elemento de lafila ide la matriz A por cada elemento de lacolumna jde la matriz B ysumndolos.

Propiedades del producto de matrices Asociativa:A(BC) = (AB)C

Elemento neutro:AI = ADondeI es la matriz identidaddel mismo orden que la matriz A. No es Conmutativa:AB BA

Distributiva del producto respecto de la suma:A(B + C) = AB + AC

Matriz inversaEl producto de unamatriz por su inversaes igual a lamatriz identidad.A A-1 = A-1 A = I

Se puede calcular lamatriz inversapor dos mtodos: 1Clculo por determinantes

Ejemplo

1.Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendr inversa.

2.Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por suadjunto.

3.Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

4.La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

2.Clculo de la matriz inversa por el mtodo de GaussSea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos comoA-1, seguiremos los siguientes pasos:

1Construir una matriz del tipoM = (A | I), es decir, A est en la mitad izquierda de M y la matriz identidadIen la derecha.Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2Utilizando el mtodo Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora est a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho ser la matriz inversa: A-1.F2- F1

F3+ F2

F2- F3

F1+ F2

(-1) F2

Lamatrizinversaes:

Propiedades de la matriz inversa(A B)-1 = B-1 A-1(A-1)-1 = A(k A)-1 = k-1 A-1(At)-1 = (A-1)t

Rango de una matrizRango de una matriz: es el nmero de lneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.

Una lnea eslinealmente dependientede otra u otras cuando se puede establecer una combinacin lineal entre ellas.

Una lnea eslinealmente independientede otra u otras cuando no se puede establecer una combinacin lineal entre ellas.

El rango de una matriz A se simboliza:rang(A)or(A).

Tambin podemos decir que el rango es:el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definicin se puede calcular el rango usando determinantes.

Se puede calcular el rango de una matriz por dos mtodos: 1.Clculo del rango de una matriz por el mtodo de GaussPodemos descartar una lnea si: Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos lneas iguales. Una lnea es proporcional a otra. Una lnea es combinacin lineal de otras.

F3= 2F1F4es nulaF5= 2F2+ F1r(A) = 2.

En general consiste en hacer nulas el mximo nmero de lneas posible, y el rango ser el nmero de filas no nulas.

F2= F2- 3F1F3= F3- 2F1

Por tantor(A) = 3.

2.Clculo del rango de una matriz por determinantesEl rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.

Podemos descartar una lnea si:. Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos lneas iguales. Una lnea es proporcional a otra. Una lnea es combinacin lineal de otras.

Suprimimos la tercera columna porque es combinacin lineal de las dos primeras:c3= c1+ c2

2.Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no ser nulo.|2|=20

3.Tendr rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

4.Tendr rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango 3, por tantor(B) = 2.

5.Si tiene rango 3 y existe alguna submatriz de orden 4, cuyo determinante no sea nulo, tendr rango 4.De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4.

II. IMPORTANCIA DE LAS MATRICES EN ING. CIVIL

Las matrices en la Ing. Civil

Las matrices, se mencionaron por primera vez en Inglaterra a mediados del siglo pasado en los trabajos del Irlands W. Hamilton, constituyen una de las aportaciones ms valiosas y fructferas a las matemticas modernas, por la simplificacin rotacional que permiten en la representacin de problemas complejos en los que interviene un gran nmero de variables.

En las ms diversas disciplinas, como la Fsica, la Ingeniera, la economa, la psicologa o la administracin, una gran cantidad de problemas que requieren del uso de muchas variables no podran ser delimitados, planeados y resueltos por la notacin simblica del lgebra tradicional a causa de los pocos alcances que sta otorga.

La escritura matricial por su agilidad, brevedad y precisin suple esta deficiencia. Dentro de la Ingeniera Civil en especfico, se ocupan las matrices en diversos aspectos: El diseo estructural se resuelve mediante matrices. Los problemas de dinmica estructural se resuelven mediante matrices. Los anlisis avanzados de elemento finito se resuelven mediante matrices. Los anlisis de redes de flujo en mecnica de suelos se resuelven mediante matrices.

Las matrices tienen diversas aplicaciones en la ingeniera civil por ejemplo en el clculo estructural para analizar la capacidad de carga y el diseo de elementos; en ingeniera de trnsito para generar matrices de informacin en la planificacin de transporte y aforos vehiculares; en topografa para realizar resmenes de datos y cuadricular terrenos para curvas de nivel; en dibujo asistido por computadora en el software Autocad.

Tambin en esttica, se utiliza para resolver problemas de equilibrio en el espacio en 3D con operaciones vectoriales; en hidrulica para hacer referencias del estudio de la prdida de energa por accesorios (circuito cerrado) y en el anlisis, diseo y distribucin de caudales para la poblacin; en anlisis numrico para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Mtodo matricial de la rigidez. El mtodo matricial de la rigidez es un mtodo de clculo aplicable a estructuras hiperestticas de barras que se comportan de forma elstica y lineal. En ingls se le denomina direct stiffness method (DSM, mtodo directo de la rigidez), aunque tambin se le denomina el mtodo de los desplazamientos.

Este mtodo est diseado para realizar anlisis computarizado de cualquier estructura incluyendo a estructuras estticamente indeterminadas. El mtodo matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador.

El mtodo de rigidez directaEs la implementacin ms comn del mtodo de los elementos finitos. Las propiedades de rigidez del material son compilados en una nica ecuacin matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados resolviendo esta ecuacin.

El mtodo directo de la rigidez es el ms comn en los programas de clculo de estructuras (tanto comerciales como de fuente libre). El mtodo directo de la rigidez se origin en el campo de la aeronutica. Los investigadores consiguieron aproximar el comportamiento estructura de las partes de un avin mediante ecuaciones simples pero que requeran grandes tiempos de clculo.

Con la llegada de los ordenadores estas ecuaciones se empezaron a resolver de forma rpida y sencilla. El mtodo consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemtico, llamado matriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados).

La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura, mediante la siguiente ecuacin: Donde: son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura; son las reacciones hiperestticas inicialmente desconocidas sobre la estructura; los desplazamientos nodales incgnita de la estructura y el nmero de grados de libertad de la estructura.

La energa de deformacin elstica tambin puede expresarse en trminos de la matriz de rigidez mediante la relacin: Del teorema de Maxwell-Betti se deduce que la matriz de rigidez debe ser simtrica y por tanto: El mtodo matricial requiere asignar a cada barra elstica de la estructura una matriz de rigidez, llamada matriz de rigidez elemental que depender de sus condiciones de enlace extremo (articulacin, nudo rgido,...), la forma de la barra (recta, curvada, etc.) y las constantes elsticas del material de la barra (mdulo de elasticidad longitudinal y mdulo de elasticidad transversal).

A partir del conjunto de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acoplamiento que tiene en cuenta la conectividad de unas barras con otras se obtiene una matriz de rigidez global, que relaciona los desplazamientos de los nudos con las fuerzas equivalentes sobre los mismos.

Igualmente a partir de las fuerzas aplicadas sobre cada barra se construye el llamado vector de fuerzas nodales equivalentes que dependen de las acciones exteriores sobre la estructura. Junto con estas fuerzas anteriores deben considerarse las posibles reacciones sobre la estructura en sus apoyos o enlaces exteriores (cuyos valores son incgnitos).

Conclusin

El uso de las matrices en la Ingeniera Civil es muy importante para resolver un diverso tipo de problemas, principalmente en el rea de anlisis y diseo estructural.

El mtodo matricial de la rigidez, por ejemplo, es de gran utilidad para estudiar una estructura, determinando su estabilidad por medio de tres tipos de ecuaciones que deben cumplirse: Ecuaciones de compatibilidad. Ecuaciones constitutivas. Ecuaciones de equilibrio.

De esta manera, vemos la importancia que tiene una materia bsica y fundamental en la Ingeniera como es el lgebra, adems de sus aplicaciones prcticas en la vida profesional.

Bibliografa

http://www.ditutor.com/matrices/matriz_inversa.html http://es.slideshare.net/nazaretth19/las-matrices https://www.google.com/search?hl=es&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1024&bih=509&q=matrices+en+ingenieria+civil&oq=MATRICES+EN+INGENIERI&gs_l=img.3.0.0i24l7.12372.17949.0.19427.25.13.1.2.2.0.590.1039.4-1j1.2.0....0...1ac.1.64.img..23.2.608.wngss87fCl0#imgrc=vgG2bpbLiJAXNM%3A