las matemáticas y la ca senoidal
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Las matemáticas y la CA senoidal
Algunos tipos de ondas periódicas tienen el inconveniente de no tener definida su expresiónmatemática, por lo que no se puede operar analíticamente con ellas. Por el contrario, laonda senoidal no tiene esta indeterminación matemática y presenta las siguientes ventajas:
La función seno está perfectamente definida mediante su expresión analíticay gráfica. Mediante la teoría de los números complejos se analizan con sumafacilidad los circuitos de alterna.
Las ondas periódicas no senoidales se pueden descomponer en suma de unaserie de ondas senoidales de diferentes frecuencias que reciben el nombre dearmónicos. Esto es una aplicación directa de las series de Fourier.
Se pueden generar con facilidad y en magnitudes de valores elevados parafacilitar el transporte de la energía eléctrica.
Su transformación en otras ondas de distinta magnitud se consigue confacilidad mediante la utilización de transformadores.
Onda sinusoidal
Artículo principal: Sinusoide
Figura 2: Parámetros característicos de una onda senoidal.
Una señal sinusoidal, a(t ), tensión, v(t ), o corriente, i(t ), se puede expresarmatemáticamente según sus parámetros característicos (figura 2), como una función deltiempo por medio de la siguiente ecuación:
donde
A0 es la amplitud en voltios o amperios (también llamado valor máximo o de pico),ω la pulsación en radianes/segundo,t el tiempo en segundos, yβ el ángulo de fase inicial en radianes.
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Dado que la velocidad angular es más interesante para matemáticos que para ingenieros, lafórmula anterior se suele expresar como:
donde f es la frecuencia en hercios (Hz) y equivale a la inversa del período . Losvalores más empleados en la distribución son 50 Hz y 60 Hz.
Valores significativos
A continuación se indican otros valores significativos de una señal sinusoidal:
Valor instantáneo (a(t)): Es el que toma la ordenada en un instante, t, determinado.
Valor pico a pico (App): Diferencia entre su pico o máximo positivo y su piconegativo. Dado que el valor máximo de sen(x) es +1 y el valor mínimo es -1, unaseñal sinusoidal que oscila entre + A0 y - A0. El valor de pico a pico, escrito como AP-
P, es por lo tanto (+ A0)-(- A0) = 2× A0.
Valor medio (Amed): Valor del área que forma con el eje de abcisas partido por superíodo. El valor medio se puede interpretar como la componente de continua de laonda sinusoidal. El área se considera positiva si está por encima del eje de abcisas ynegativa si está por debajo. Como en una señal sinusoidal el semiciclo positivo esidéntico al negativo, su valor medio es nulo. Por eso el valor medio de una ondasinusoidal se refiere a un semiciclo. Mediante el cálculo integral se puede demostrarque su expresión es la siguiente;
Pico o cresta: Valor máximo, de signo positivo (+), que toma la onda sinusoidal delespectro electromagnético, cada medio ciclo, a partir del punto “0”. Ese valor
aumenta o disminuye a medida que. la amplitud “A” de la propia onda crece odecrece positivamente por encima del valor "0".
Valor eficaz (A): su importancia se debe a que este valor es el que produce elmismo efecto calorífico que su equivalente en corriente continua. Matemáticamente,el valor eficaz de una magnitud variable con el tiempo, se define como la raízcuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos alcanzadosdurante un período:
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En la literatura inglesa este valor se conoce como R.M.S. (root mean square, valorcuadrático medio), y de hecho en matemáticas a veces es llamado valor cuadrático mediode una función. En el campo industrial, el valor eficaz es de gran importancia ya que casitodas las operaciones con magnitudes energéticas se hacen con dicho valor. De ahí que porrapidez y claridad se represente con la letra mayúscula de la magnitud que se trate (I, V, P,etc.). Matemáticamente se demuestra que para una corriente alterna senoidal el valor eficazviene dado por la expresión:
El valor A, tensión o intensidad, es útil para calcular la potencia consumida por unacarga. Así, si una tensión de corriente continua (CC), VCC, desarrolla una cierta
potencia P en una carga resistiva dada, una tensión de CA de Vrms desarrollará lamisma potencia P en la misma carga si Vrms = VCC.
Para ilustrar prácticamente los conceptos anteriores se considera, por ejemplo, la corrientealterna en la red eléctrica doméstica en Europa: cuando se dice que su valor es de 230 VCA, se está diciendo que su valor eficaz (al menos nominalmente) es de 230 V, lo quesignifica que tiene los mismos efectos caloríficos que una tensión de 230 V de CC. Sutensión de pico (amplitud), se obtiene despejando de la ecuación antes reseñada:
Así, para la red de 230 V CA, la tensión de pico es de aproximadamente 325 V y de
650 V (el doble) la tensión de pico a pico.Su frecuencia es de 50 Hz, lo que equivale a decir que cada ciclo de la ondasinusoidal tarda 20 ms en repetirse. La tensión de pico positivo se alcanza a los 5 msde pasar la onda por cero (0 V) en su incremento, y 10 ms después se alcanza latensión de pico negativo. Si se desea conocer, por ejemplo, el valor a los 3 ms depasar por cero en su incremento, se empleará la función sinsoidal:
Representación fasorial
Una función senoidal puede ser representada por un vector giratorio (figura 3), al que sedenomina fasor o vector de Fresnel, que tendrá las siguientes características:
Girará con una velocidad angular ω. Su módulo será el valor máximo o el eficaz, según convenga.
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Figura 3: Representación fasorial de una onda senoidal.
La razón de utilizar la representación fasorial está en la simplificación que ello supone.Matemáticamente, un fasor puede ser definido fácilmente por un número complejo, por loque puede emplearse la teoría de cálculo de estos números para el análisis de sistemas decorriente alterna.
Consideremos, a modo de ejemplo, una tensión de CA cuyo valor instantáneo sea elsiguiente:
Figura 4: Ejemplo de fasor tensión.
Tomando como módulo del fasor su valor eficaz, la representación gráfica de la anteriortensión será la que se puede observar en la figura 4, y se anotará:
denominadas formas polares, o bien:
denominada forma binómica.
Corriente trifásica
Artículo principal: Electricidad trifásica
La generación trifásica de energía eléctrica es la forma más común y la que provee un usomás eficiente de los conductores. La utilización de electricidad en forma trifásica es común
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mayoritariamente para uso en industrias donde muchas de las máquinas funcionan conmotores para esta tensión.
Figura 5: Voltaje de las fases de un sistema trifásico.Entre cada una de las fases hay un desfase de 120º.
La corriente trifásica está formada por un conjunto detres formas de onda, desfasadas una respecto a la otra 120grados, según el diagrama que se muestra en la figura 5.
Las corrientes trifásicas se generan mediante alternadores dotados de tres bobinas o gruposde bobinas, enrolladas sobre tres sistemas de piezas polares equidistantes entre sí. Elretorno de cada uno de estos circuitos o fases se acopla en un punto, denominado neutro,donde la suma de las tres corrientes, si el sistema está equilibrado, es cero, con lo cual el
transporte puede ser efectuado usando solamente tres cables.Esta disposición sería la denominada conexión en estrella, existiendo también la conexiónen triángulo o delta en las que las bobinas se acoplan según esta figura geométrica y loshilos de línea parten de los vértices.
Existen por tanto cuatro posibles interconexiones entre generador y carga:
1. Estrella - Estrella2. Estrella - Delta3. Delta - Estrella
4.
Delta - DeltaEn los circuitos tipo estrella, las corrientes de fase y las corrientes de línea son iguales y,
cuando el sistema está equilibrado,las tensiones de línea son veces mayor que lastenisones de fase y están adelantadas 30° a estos:
En los circuitos tipo triángulo o delta, pasa lo contrario, las tensiones de fase y de línea,
son iguales y, cuando el sistema está equilibrado, la corriente de fase es veces más
pequeña que la corriente de línea y está adelantada 30° a esta:
El sistema trifásico es un tipo particular dentro de los sistemas polifásicos de generacióneléctrica, aunque con mucho el más utilizado.
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Karl Friedrich Gauss
(Brunswick, actual Alemania, 1777 - Gotinga, id., 1855) Matemático, físico y astrónomoalemán. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad KarlFriedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la
leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad desu negocio para indicarle un error de cálculo), hasta el punto de ser recomendado al duquede Brunswick por sus profesores de la escuela primaria.
Karl Friedrich Gauss
El duque le proporcionó asistenciafinanciera en sus estudiossecundarios y universitarios, queefectuó en la Universidad de
Gotinga entre 1795 y 1798. Su tesisdoctoral (1799) versó sobre elteorema fundamental del álgebra(que establece que toda ecuaciónalgebraica de coeficientes complejostiene soluciones igualmentecomplejas), que Gauss demostró.
En 1801 Gauss publicó una obradestinada a influir de forma decisivaen la conformación de la matemática del resto del siglo, y particularmente en el ámbito de
la teoría de números, las Disquisiciones aritméticas, entre cuyos numerosos hallazgos cabedestacar: la primera prueba de la ley de la reciprocidad cuadrática; una solución algebraicaal problema de cómo determinar si un polígono regular de n lados puede ser construido demanera geométrica (sin resolver desde los tiempos de Euclides); un tratamiento exhaustivode la teoría de los números congruentes; y numerosos resultados con números y funcionesde variable compleja (que volvería a tratar en 1831, describiendo el modo exacto dedesarrollar una teoría completa sobre los mismos a partir de sus representaciones en elplano x, y) que marcaron el punto de partida de la moderna teoría de los númerosalgebraicos.
Su fama como matemático creció considerablemente ese mismo año, cuando fue capaz de
predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide Ceres, avistado por primeravez pocos meses antes, para lo cual empleó el método de los mínimos cuadrados,desarrollado por él mismo en 1794 y aún hoy día la base computacional de modernasherramientas de estimación astronómica.
En 1807 aceptó el puesto de profesor de astronomía en el Observatorio de Gotinga, cargoen el que permaneció toda su vida. Dos años más tarde, su primera esposa, con quien habíacontraído matrimonio en 1805, falleció al dar a luz a su tercer hijo; más tarde se casó ensegundas nupcias y tuvo tres hijos más. En esos años Gauss maduró sus ideas sobre
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geometría no euclidiana, esto es, la construcción de una geometría lógicamente coherenteque prescindiera del postulado de Euclides de las paralelas; aunque no publicó susconclusiones, se adelantó en más de treinta años a los trabajos posteriores de Lobachewskiy Bolyai.
Alrededor de 1820, ocupado en la correcta determinación matemática de la forma y eltamaño del globo terráqueo, Gauss desarrolló numerosas herramientas para el tratamientode los datos observacionales, entre las cuales destaca la curva de distribución de errores quelleva su nombre, conocida también con el apelativo de distribución normal y que constituyeuno de los pilares de la estadística.
Otros resultados asociados a su interés por la geodesia son la invención del heliotropo, y, enel campo de la matemática pura, sus ideas sobre el estudio de las características de lassuperficies curvas que, explicitadas en su obra Disquisitiones generales circa superficies
curvas (1828), sentaron las bases de la moderna geometría diferencial. También mereció suatención el fenómeno del magnetismo, que culminó con la instalación del primer telégrafo
eléctrico (1833). Íntimamente relacionados con sus investigaciones sobre dicha materiafueron los principios de la teoría matemática del potencial, que publicó en 1840.
Otras áreas de la física que Gauss estudió fueron la mecánica, la acústica, la capilaridad y,muy especialmente, la óptica, disciplina sobre la que publicó el tratado Investigaciones
dióptricas (1841), en las cuales demostró que un sistema de lentes cualquiera es siemprereducible a una sola lente con las características adecuadas. Fue tal vez la última aportaciónfundamental de Karl Friedrich Gauss, un científico cuya profundidad de análisis, amplitudde intereses y rigor de tratamiento le merecieron en vida el apelativo de «príncipe de losmatemáticos».