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MAB 503 Historia de la MatemticaProfesora: Dra. Mara Elena Gavarrete VillaverdeEstudiante: Hazel Fernndez lvarez I Ciclo 2015

Inca MathematicsTomas E. Gilsdorf

Tomas E. Gilsdorf, escritor del artculo Inca Mathematics, naci en St. Paul, Minnesota. Tiene una licenciatura en Matemticas de la Universidad de Minnesota, una maestra en Matemticas de la Universidad Estatal de Minnesota y un doctorado en Matemticas por la Universidad Estatal de Washington.Se dedica al estudio de las matemticas en el rea de espacios convexos, lo que origin su tesis, la otra parte de su tiempo se dedica al estudio de las matemticas culturales, cuyo inters surgi cuando fue estudiante universitario cunado recibi cursos obligatorios de antropologa, la lingstica, la lengua extranjera, y la msica de los afroamericanos, hasta que aprendi sobre Etnomatemtica. Actualmente es docente en la Universidad de Dakota del Norte (University of North Dakota).

Tomas E. Gilsdorf Imagen tomada de https://0.academia-photos.com/4037621/ 1598152/10237813/s200 _thomas.gilsdorf.jpg

A continuacin se expone el anlisis realizado al artculo Incas Mathematics, relacionado con las influencias de la matemtica en la Cultura Inca.

1. La influencia de la matemtica en la geografa, el clima y la economaLos incas constituyeron un poderoso imperio que logr la expansin territorial en la poca en que Coln iniciaba su viaje hacia lo desconocido. (Heil, 2014)El Imperio Inca abarc desde las sierras de la actual Colombia hasta el norte de Chile y Argentina, y desde la costa de Per y Ecuador hasta el este de los bosques del ro Amazonas y las alturas bolivianas. (Miguel, 2006)

Los incas eran un pueblo originario de las sierras y desde all dominaron, mediante la guerra de conquista, a los pueblos de las otras zonas.

Establecieron la capital de su imperio en la ciudad de Cuzco, que ocupa un valle situado a 3.400 metros sobre el nivel del mar.Los templos y las construcciones militares ocuparon un lugar importante en la ciudad, y cerca de sta zona se estableci sobre la cspide de una montaa entre dos picos de los Andes, se encuentra Machu Picchu, fortaleza andina construida con fines religiosos y militares. (Miguel, 2006)Ubicacin de Imperio IncaImagen tomada de http://www.monografias.com/ trabajos94/tarea-imperio-incas/image009.jpg

Cerro Machu PicchuImagen tomada de https://deaquiaalla.files. wordpress.com/2008/05/machu-picchu-peru.jpg

Esta sociedad estaba organizada y gobernada por fuertes Estados teocrticos, llamados as porque toda la autoridad resida en los sacerdotes, ya que el jefe del Estado era considerado como un dios. (Heil, 2014) Los templos eran edificios que tenan funciones religiosas y tambin econmicas, dado que almacenaban y distribuan los productos tributados por los campesinos.

Es importante rescatar que en varios lugares las condiciones desrticas de las costeras son bastante extremas, y en la Cordillera de los Andes se encuentran muchas reas inclinadas en las cuales solamente se puede ingresar caminando.

Por otra parte, el clima de la regin Inca es muy inestable, debido a los patrones geolgicos provocados por los terremotos, las sequas, las inundaciones y los efectos producidos por el fenmeno del Nio, estos aspectos geogrficos revelan las diferentes necesidades del uso de las matemticas, es as como podemos realizar una estrecha relacin con los inicios de la matemtica en el Antiguo Egipto la cual fue utilizada por la necesidad de medir la tierra despus de los efectos producidos por las inundaciones del Ro Nilo.

En este caso, los incas, utilizan las matemticas para crear eficaces sistemas de riego y acueductos, para mantener una agricultura de montaa flexible para las partes ms altas de la regin, en la construccin de puentes para cruzar los caones y las partes ms difciles de las montaas y en la prediccin del clima.

Agricultura y Sistemas de riegoImagen tomada de http://i.ytimg.com/vi/85UJ6zwLowY/maxresdefault.jpg

Otro factor, en el cual se encuentran presentes las matemticas, corresponde al sistema econmico de esta cultura, pues en la economa inca siempre ha estado presente el comercio, el cual est constituido por un extenso sistema de tributacin, mediante el uso de los quipus.

Es as como, las matemticas fueron necesarias para la geografa, la agricultura, el clima y la economa de este grupo indgena de Suramrica.

2. Los rituales, la decoracin, el tejido y otros factoresAnteriormente, hablamos de la influencia de las matemticas en el clima, en la geografa y en la economa, pero existen otras influencias de la matemtica en cuanto a su desarrollo y a la apreciacin de las matemticas como una sociedad.

Este tipo de conexiones entre las matemticas y la cultura son parte del lugar nuevo campo: Las Etnomatemticas. Segn DAmbrosio (1990), las etnomatemticas corresponden a una antropologa general del pensamiento y la prctica matemtica, mientras que Ascher (1991), la define como el estudio de los conceptos matemticos en pequea escala de las culturas indgenas. En el caso de las Incas, existen varias conexiones entre la matemtica y las decoraciones y los rituales. En toda la ciudad de Cuzco, se encuentran restos de los 328 marcadores llamados huacas, a lo largo de las lneas imaginarias llamadas ceques.

Las huacas, no slo poseen un significado social y cultural como santuarios sagrados., si no que tenan ciertas conexiones con la astronoma y las matemticas el sistema de ceques consista en 41 lneas imaginarias, las cuales partan desde el Coricancha y se dirigan hacia cada huaca, haciendo un total de 328 huacas. Sin embargo, estas lneas imaginarias slo eran conocidas por el cuerpo de sacerdotes y la distancia entre cada una de las huacas era de entre cinco a ocho kilmetros. (Daz, 2005)

Sistema de Ceques del CuzcoImagen tomada de Daz (2005)

Los 328 marcadores corresponde estrechamente con el ao sideral, segn la Real Academia Espaola es el tiempo que transcurre entre dos pasos consecutivos de la Tierra por el mismo punto de su rbita con respecto a la posicin de las estrellas.

Por otra parte, en cuanto a la decoracin indgena, supongamos que queremos hacer un patrn repitiendo la letra X, entonces el patrn sera XXXXXXX, es como una cinta horizontal decorativa. Nos damos cuenta que este patrn se mantiene sin cambios si lo reflejamos a travs de una lnea vertical que se deslice hacia la izquierda o la derecha, o si se refleja a travs de una lnea horizontal a travs del centro del patrn, o incluso si la rotamos 180 grados utilizando la mitad del patrn de una X sobre el que gire. Patrn de la letra XImagen creacin propia

Por otro lado, si quisiramos un patrn de la letra P, entonces obtendramos PPPPPPPPP, este patrn posee una simetra, pero no es igual a las simetras encontradas en el patrn creado con la letra X, generalmente, colecciones simetras de objetos geomtricos pueden ser descritos por la estructura matemtica conocida como grupo.

Patrn IncaImagen tomada de H.Selin, Figura 1 p.191

En la figura anterior, se muestra un ejemplo de los patrones utilizados por los incas, en el cual se puede observar que la figura posee una simetra respecto reflejo a travs de una lnea vertical que se deslice hacia la izquierda o la derecha, pero no posee una simetra si se reflejar mediante una lnea horizontal y tampoco tiene una simetra con respecto a la rotacin, pues si no entonces aparecer al revs.

3. Las palabras de los nmeros Incas En un estudio de las matemticas incas, hay dos aspectos que hay que tener en cuenta: las palabras de los nmeros y los smbolos nmeros.

Para ello, primero debemos aclarar que el idioma utilizado por los Incas es el Quechua, dialecto que se cree que se origin en norte del centro de Per en los aos 60 se extendi debido a la expansin Inca y ms tarde dividido en esencialmente dos lenguas.(Mannheim, 1985;Mannheim, 1991; Stark, 1985; Urton, 1997 y Weber, 1989)

Los Incas contaron con un sistema decimal y posicional, la siguiente en una lista de las palabras de los nmeros en el idioma Huallaga Quechua:

huk 1quanchis7

ishkay2pusaq8

kimsa3Isqon9

chuska4chunka10

pichqa5pachak100

soqta6waranqa1000

El formato de las palabras de los nmeros ms complejos es el siguiente: [multiplicador] {ncleo} (sumador). El ncleo es siempre una potencia de diez.

A continuacin se muestran algunos ejemplos de la notacin anterior:

isqon pachak: qanchis chunka pichqa: kimsa pachak chuska chunka qanchis waranqa ishkay:

4. El QuipuComo se mencionaron anteriormente los Incas contaban con un sistema decimal, adems tenan un gran territorio para controlar y ser utilizado, mediante un sistema complicado de tributacin, y le daban un seguimiento a esa informacin a travs de un dispositivo de registros cuidadosamente planeado formado por cuerdas anudadas, llamado Quipu, el cual sirve como un tipo de base de datos, no como un dispositivo de contabilidad.

Primeramente, los Quipus estn en blanco, luego se van llenando con informacin representada mediante nudos, el Quipu consta de varios tipos de cuerdas, y siempre hay una cuerda principal, a la cual se le atan otras cuerdas quedan colgando, las cuales se les llama cuerdas subsidiarios, de tal forma que puede haber solo una cuerda o hasta miles de ellas, adems los cables principales tienen los totales de valores de las otras cuerdas como su valor.

El QuipuImagen tomada de http://www.arqueologiadelperu.com/wp-content/uploads/2012/11/contador_amauta_tesorero_inca.jpg

Ascher (1983), nos explican cmo las paredes de piedra de la arquitectura Inca fueron cuidadosamente planificadas y el estilo geomtrico de las decoraciones de la cermica Inca indican tendencia cultural que posean hacia el orden y la precisin, en particular, seala que los diseos de los Quipus eran ordenados y su cuidadoso arreglo de cuerdas y nudos, nos transmiten una imagen de una sociedad metdica y precisa, pues este arreglo de nudos es ilustrado por los Incas por la practicidad de las cuerdas y por el deseo de llevar el dispositivo de registro de forma porttil.

Ahora vamos a examinar el aspecto matemtico de los Quipus, entre ellos estn: Los nudos simples: Representan potencias de diez. Los nudos largos: Estos estn hechos con varios nudos y representan dgitos entre 2 y 9. La figura de ocho: Representan el nmero uno. El espacio entre los nudos: Representa el valor posicional con respecto a los nudos indicados, as es como de esta forma se representa el sistema Inca es posicional. El color de las cuerdas: Diferentes colores pueden representar varios tipos de datos, el color es comparable a la utilizacin de la notacin matemtica, por ejemplo, en lugar de denotar nmero real por medio de la variable podramos simplemente distinguirlas esas cantidades por el color de variable.

Ejemplo de los nudos del QuipuImagen tomada de https://athahualpa.files.wordpress.com/2008/10/quipu2.jpg

En el siguiente ejemplo se muestra el uso de algunos conceptos bsicos del uso del Quipu:Una persona que vende joyas persona tiene 12 brazaletes, 31 pares de aretes y 110 pequeos pasadores.

El Quipu se utiliza para grabar estas cantidades, por lo que tendra cuatro cuerdas colgantes atadas al cable principal, las cuerdas se podran describir por el uso de colores como el rojo, azul, verde y morado de la siguiente manera:a. Los brazaletes: La cuerda es de color rojo, con un nudo simple que significa 10 y un nudo largo con dos giros para el nmero 2.b. Los aretes: La cuerda es de color azul, con tres nudos simples para el nmero 30, una figura de ocho que representa el nmero 1.c. Los pasadores: La cuerda es de color verde, con un nudo simple en el lugar de las centenas y otro nudo simple en el lugar decenas.d. El total: La cuerda es de color morado, estos son los nudos que indican el total: un nudo simple en el lugar de las centenas, cinco nudos simples en el lugar de las decenas y un nudo largo con tres giros, note cmo las posiciones de los nudos juegan un papel en los valores.

Ejemplo del uso del QuipoImagen tomada de H.Selin, Figura 4 p.197

Aparte de utilizar un sistema de numeracin posicional, los Incas conocan el concepto de cero. (Ascher, 1986 y Ascher, 1983), dejando un espacio donde no haba datos que representar, los Quipus indican que el Inca utiliz el concepto de cero como una posicin vacante que contribuye al valor de un nmero.

Por ejemplo, con un nudo simple en el lugar de las centenas y un nudo lardo de siete nudos, distinguimos entre 107 y 117 observando si hay un nudo en el lugar de las decenas adems, saban que "nada" por s mismo puede ser considerado como un nmero.

Los Quipucamayocs eran los expertos en la construccin e interpretacin de los Quipus, ellos posean el conocimiento matemtico ms importante y tenan que ser capaces de explicar la informacin proveniente del Quipus a la realeza Inca., aqu se ve un claro ejemplo de que los matemticos tenan un alto estatus social.

Existen varias maneras que hacer a los Quipu ser ms complejos, una de ellas corresponde a los grupos de colores, mientras que otra manera consiste en asociar grupos de cuerdas por medio del espaciado. La combinacin de estas dos maneras es posible.

Por ejemplo:(1). Si se quiere combinar cuatro colores repitindolos tres veces, en este caso se pueden expresar los valores de las cuerdas de la siguiente forma, cada cuerda es un elemento, son los grupos y son los colores, que podemos escribir simblicamente como con y

(2). Si quisiramos incluir ms colores y agruparlos en ms conjuntos de colores, el Quipu puede organizado en ms niveles, por ejemplo, con sesenta cuerdas que tiene cinco conjuntos de doce y cada uno de esos conjuntos organizados en tres grupos de cuatro colores, que se pueden escribir simblicamente como con , y

Otra manera de organizar un Quipu, es la utilizacin del concepto matemtico conocido como estructura de rbol, en este caso, los niveles van aumentado de acuerdo con el aumento la informacin y pueden obtenerse uniendo ms niveles de cuerdas subsidiarias a las cuerdas colgantes y as continuando este proceso para adquirir tantos niveles como desee.

Supongamos, que estamos considerando la jerarqua de un sistema de gobierno que est organizada por distritos, asuma que cada distrito tiene la misma estructura y que cada distrito tiene un cargo ejecutivo y este posee dos posiciones gerenciales y , luego tiene cuatro subordinados y tiene tres subordinados; y la siguiente suposicin es que se debe registrar el nmero de horas trabajadas en siete distritos en un lapso de cinco aos, como se representa en la siguiente estructura de rbol.Estructura de rbolImagen tomada de H.Selin, Figura 6 p.198

Cmo podemos representar esta informacin en el Quipu?

Primero, observamos que hay 7 rboles repitindose 5 veces para un total de 35 rboles.

Luego, podemos denotar a cada rbol como con y , as podemos agrupar las cuerdas en cinco grupos de siete, ahora para cada rbol cmo organizamos las cuerdas?Por la estructura del rbol dado, cada rbol tendra una cuerda para la posicin y dos cuerdas subordinadas paras las posiciones y . En la habra cuatro subsidiarias ms y en la habra tres subsidiarias ms.

Quipu que simboliza la situacin anteriosImagen tomada de http://blogsdelagente.com/paylakew/?doing_wp_cron

Bibliografa de Base

H. Sein (ed.), Mathematics Across Cultures: The history of Non-Western Mathematics, 189-203.

Referencias Bibliogrficas

Daz, I. (2005). El Sistema Ceques del Cuzco. Recuperado de http://www.monografias.com/trabajos32/sistema-ceques/sistema-ceques.shtml

Heil, M. (2014). Historia de los Incas, Aztecas y los Mayas conquista espaola Pizarro. Recuperado de http://historiaybiografias.com/incas/

Miguel, A. (2006). Las Culturas Precolombinas de Amrica. Revista de la Consejera de Educacin en Reino Unido e Irlanda. Recuperado de http://www.mecd. gob.es/dctm/ministerio/educacion/actividad-internacional/consejerias/reino-unido/t ecla/2006/c-10-03-06.pdf?documentId=0901e72b80b61a43

University of North Dakota. (s.f.). Thomas E. GilsdorfResearch Interests. Recuperado de http://www.und.edu/instruct/gilsdorf/webpages/research.html