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Las imágenes de la presentación han sido obtenidas del libro:

Physics for Scientists and EngineersPaul A. Tipler • Gene Mosca Copyright © 2004 by W. H. Freeman & Company

Conceptos fundamentales

Ecuación vectorial del equilibrio de hilos

Ecuaciones cartesianas

Ecuaciones intrínsecas

Equilibrio de hilo: fuerzas conservativas

Programa


Equilibrio de hilo: fuerzas paralelas

Parábola de puente colgante

Puente Colgante






Programa




Catenaria

Catenaria

f: flecha a: vano A, B: puntos de amarre






Programa




Catenaria

Equilibrio de hilo sobre superficies

Lisas

Rugosas: cabrestante

Objetivos

� Estudiar el equilibrio de sistemas estructurales de gran importanciay aplicación en ingeniería: hilos y cables

� Conocer los conceptos de hilo y tensión

� Establecer las condiciones del equilibrio de un hilo referido a unsistema de ejes cartesianos y a un sistema de ejes centrados encada punto del hilo (ecuaciones intrínsecas)cada punto del hilo (ecuaciones intrínsecas)

� Aplicar las condiciones del equilibrio en el caso particular defuerzas paralelas

� parábola de puente colgante� catenaria

� Estudiar el equilibrio de hilos apoyados sobre superficies lisas ysuperficies rugosas, aplicación: cabrestante, amarres, frenos….

Conceptos Previos

Hilo: una de las estructuras más importante en losproyectos de construcción, ya que va a soportar el peso delas otras partes y transmitirlo hasta la cimentación o apoyoscorrespondientes.

Hilo: sistema estructural unidimensional delgado quetrabaja sometido a momentos flectores pequeños.trabaja sometido a momentos flectores pequeños.

Concepto de Hilo

Sistema material

Deformable

Unidimensional

distancia entre dos puntos cualesquiera es infinitesimalContinuo

bajo estímulos externos cambia de forma o configuración

curva o línea geométrica

Flexible

Torsionable

Inextensible

no existen fuerzas interiores que se opongan a la flexión

no existen fuerzas interiores que se opongan a la torsión

la longitud es constante

no sufre alargamiento

No tiene elasticidad






Programa




Catenaria


Lisas


Ecuación vectorial del equilibrio de Hilos

1Tv

∑ =

=∑

0

0rr

rr

M

FM1

Tv

−ds

∑ = 0PM

0r

rr

=+ds

TdF

dsFr

M1

M

0rrr

=+ TddsF

Ecuaciones cartesianas del equilibrio de Hilos

0=

+ds

dxT

ds

dX

0=+ dyT

dY

0=

+ds

dxTdXds

0=+ dyTdYds0=

+ds

Tds

Y

0=

+ds

dzT

ds

dZ

0=

+ds

TdYds

0=

+ds

dzTdZds

0r

rr

=+ds

TdF 0

rrr=+ TddsF


Casos Particulares:

- Si la fuerza es perpendicular a un eje, la proyección de la tensión sobre ese eje es constante

0; =⇒⇒= XOXlarperpendicuOYparalelojYFrr

CteTTCtedx

Tdx

Td x ==== αcos;;0 CteTTCte

dsT

dsTd x ====

αcos;;0

- Si la fuerza es paralela a un eje, el momento de la tensión respecto a ese eje es constante

CteuT =⋅ rr

CteuT =∧ rr


Caso general:

La fuerza F depende de la posición, de la orientación del elementodiferencial ds en el espacio y de la posición de ds sobre la curvade equilibrio

dzdydx

zyx

−

−

;;

,,

sdsdsds

−

− ;;

1222

=

+

+

ds

dz

ds

dy

ds

dx

Condición geométrica:






Programa




Catenaria


Lisas


Triedro de Frenet

utun T

r

ut

un

Triedro de Frenet

bur

tur

Plano rectificante

nur

Plano normal

Plano osculador

Triedro de Frenet

bur

Plano normal

Plano

nur

tur

Plano osculador

Plano rectificante

Fórmulas de Frenet

ntb uuurrr ∧=

kds

dzj

ds

dyi

ds

dxut

rrrr ++=

ds

udk

ds

zdj

ds

ydi

ds

xdu t

n

rrrrr ρρ =

++=2

2

2

2

2

2

nt u

ds

ud rr

ρ1=

Ecuaciones intrínsecas del equilibrio de Hilos

0=+ds

dTFt

0=+ TF

ds

dTFt −=

TF −=0=+

ρFn

0=bF

ρFn −=

0=bF






Programa




Catenaria


Lisas




0r

rr

=+ds

TdF 0

rrr

rr=+ rd

ds

TdrdF

0rrrrr

=+ tuTdrdF

Si las fuerzas derivan de un potencial UF ∇−=rr

0=+− dTdU

CteUT +=






Programa




Catenaria


Lisas


Fuerzas Paralelas

Tr

Fr

Fuerza paralela al eje OY

jYFrr

=Z

Proyección de la tensión sobre el eje OX constante

CteT =

X

Y

CteTx =

La figura de equilibrio es plana

21 CxCCz =−

Ecuación diferencial que resuelve el equilibrio:

0=+′ YdsyCd

Fuerzas Paralelas

Proyección de la tensión sobre el eje OX constante

CteT x =






Programa




Catenaria


Lisas


Puente Colgante Cuenca

Brookling-Manhatan

Puente Colgante

Brookling-Manhatan

Santa Fe (Argentina)

Puente Colgante

Olafsund

Puente Colgante

Vizcaya

Puente Colgante

ATr

AXT

AYTBTr

BXT

BYT

AB

Carga q distribuida uniformemente según la horizontal

Luz = L

f

y

y0

Puente Colgante

ds

dx

jYFrr

=qdxYds −=

0cos TCT ==αdx


0=+′ YdsyCd dxT

qyd

0

=′ xT

qy

0

=′

∫ ∫=y

y

x xdxT

qdy

0 0

0

2

0

0 2x

T

qyy =−

Puente Colgante: Tensiones

jTiTT AYAXA

rrr+=

jTiTT BYBXB

rrr+−=

TTT ==

máxBA TTT ==

mínTT =0

0TTT BXAX ==

2

LqTT BYAY ==

2

0

0 21

+=

T

LqTT


;cos 0TT =α ;cos

0

αT

T =α

α21

1cos

tg+=

2

0 ´1 yTT +=xT

qytg ´==α

2

0

0 21

+=

T

LqTT

22

YX TTT +=

T0

Para x=L/2 Puntos A, B


0cos TTTX == α

Cálculo vectorial

Tr

XT

YT

ααsenTTY =

22

YX TTT +=

X

Y

T

T

T

Tsensenytg ====

αα

ααα

coscos´

22YX TTT −=22

XY TTT −=


0TTsenTX == β

+=

Cálculo vectorial

Tr

XT

YT

βcosTTY =β

22YX TTT +=

Y

X

T

T

T

Tsensenytg ====

ββ

ββα

coscos´






Programa




Catenaria


Lisas


Catenaria

ATr

AXT

AYTBTr

BXT

BYT

AB

Catenaria

Consideramos el peso del hilo por unidad de longitud: p (N/m)

Luz = L

f

y0 =a

Funciones Hiperbólicas

2

xx eeShx

−−=

xx eeChx

−+=122 =− xShxCh

2

eeChx

+=

∫ +=+

CArgShxx

dx21

jYFrr

=pY −=


0cos TCT ==α

Catenaria

dxyds 2´1+=

22 dydxds +=


0=+′ YdsyCd dsT

pyd

0

=′ dxyT

pyd 2

0

´1+=′

∫ ∫=+

´

020 ´1

y x

a

dx

y

dy

a

xaChy =

apT =0

a

xShy =´ ∫ ∫=y x

ydx

a

xShdy

00

Catenaria: Tensiones

;cos 0TT =α ;cos

0

αT

T =α

α21

1cos

tg+=

a

xChT

a

xShTT 0

2

0 1 =+=a

xShytg == ´α

aa

22YX TTT +=

a

a

xaChy = py

a

yTT == 0

Catenaria

paT

pyT

==

0sss

psT

totalAB

y

2===

Catenaria: Tensiones

0cos TTTX == α

Cálculo vectorial

Tr

XT

YT

ααsenTTY =

22

YX TTT +=

X

Y

T

T

T

Tsensenytg ====

αα

ααα

coscos´

22YX TTT −=22

XY TTT −=

Catenaria : tendido eléctrico

T0 T0T0 -T0-T0-T0

Las componentes horizontales de la tensión se anulan

Catenaria : tendido eléctrico

Las componentes horizontales de la tensión se anulan, excepto en los extremos: tirantes

tTtT

ϕ ϕ

0TTtx =

ϕcosttx TT = ϕcos0T

Tt =

tTtT

Catenaria: cálculo del arco

dss

222 say +=

a

y

ds

a

catenariaparámetroa

semiarcodellongituds

alturay

:

:

:

Catenaria Asimétrica

A

B

C

AB

CA

TT

TT

>=

y f

y0 =a

C

M yA

yB

xAxB

paTT

pyT

pyT

M

BB

AA

====

0

mínBxAx TTTT === 0

MBBy

AMAy

psT

psT

==

Catenaria Asimétrica

MBAMtotalAB ssss +==

222

222

MBB

AMA

say

say

+=+=

a

xaChy

a

xaChy

BB

AA

=

=






Programa




Catenaria


Lisas


Equilibrio sobre una superficie con rozamiento

dsRn

r

dsFr

r

nur

tur

A B

R R

1Tr

2Tr

Equilibrio estricto: A �B

dsRdsFTT nr

rrrr++= 12

Frr

= 0

ϕd

1T 2T

nnn

trr

uRR

uFF

F

rrr

rrr

−=

−=

= 0

0r

rrr

==+ds

TdRF nr

Ecuación diferencial del equilibrio


0=++−− ntnntr uR

Tu

ds

dTuRuF

rrrrrr

nr RFds

dT rr== µ

R

T

ds

dT µ=

nRR

Tds

r= ds

RT

dTRds

µ= ρRdds=

ϕµdT

dT = µϕ=0

lnT

TµϕeTT 0=


µϕeTT 0= Ejemplo:

ππϕ

µ

62

3

5,0

====

n

vueltasn

0000.123

0 TeTT == π

WW

NN

000.121

000.121

⇒

⇒

Cabrestante

Cabrestante

Aplicación Ingeniería Agroforestal

Cabrestante

Aplicación Ingeniería Naval

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