Las funciones trigonométricas y su aplicación en el análisis de patrones de rastros sanguíneos.

Las matemáticas por definición son el tratamiento sistemático de magnitudes, las relaciones entre figuras y formas, y las relaciones entre cantidades expresadas simbólicamente (por letras). Las matemáticas nos permiten reconocer las relaciones de los objetos reales a fin de que los podamos comprender mejor.

El análisis de patrones de rastros sanguíneos se basa en matemáticas en diferentes áreas. En particular, el analista utiliza las funciones trigonométricas. Estas funciones definen las relaciones entre los ángulos internos que conforman un triángulo y la longitud de sus lados. Aunque al analista no le agraden las matemáticas, su aplicación concreta en la criminología es relativamente fácil de entender.

Consideramos sólo las funciones trigonométricas relacionadas con los triángulos rectángulos y no aquellas que se definen para cualquier triangulo. Deberemos comprender cuatro términos y dos hechos básicos de todos los triángulos rectángulos.

Triángulo rectángulo: un triángulo rectángulo es aquel en el que uno de los tres ángulos mide 90 °. En la ilustración 1, el ángulo denominado A es un ángulo de 90 °, haciendo del triángulo un triángulo rectángulo.

Hipotenusa: Este término designa el lado del triángulo opuesto al ángulo de 90 °. En la ilustración 1 el lado etiquetado como “a” es la hipotenusa.

Cateto opuesto: Con este término se designa al lado de un triángulo opuesto un ángulo determinado. El lado etiquetado como “c” es el lado opuesto o cateto opuesto al ángulo C.

Cateto adyacente: Este término designa el lado del triángulo junto a un ángulo determinado, pero no la hipotenusa. El lado etiquetado como “b” es el cateto adyacente al ángulo C.

b

ca

C

B

A

Ilustración 1. Triángulo rectángulo. Uno de sus ángulos internos mide 90 grados

Los dos hechos básicos que nos ayuden en la comprensión de la aplicación de las funciones trigonométricas son:

la suma de los tres ángulos internos para cualquier triángulo rectángulo es siempre es 180 °. Para cada combinación posible de estos tres ángulos, existe una relación clara entre los ángulos

y las longitudes de los lados del triángulo. (conocida como el teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa, el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Las relaciones de interés para el analista son conocidas como el seno y la tangente.

Basándose en estas dos funciones, sabemos que para cualquier valor de ángulo C en la ilustración 1, lo siguiente es verdadero:

sinC=Catetoopuestohipotenusa

= ca

tanC= CatetoopuestoCateto adyacente

= cb

Estas relaciones se muestran tablas de funciones trigonométricas. Generalmente, dichas tablas muestran las relaciones trigonométricas de cada ángulo entre 0 y 90 °, en incrementos de 1 ° como mínimo. Aunque ese nivel de detalle es innecesario. La determinación del ángulo de impacto tiene generalmente una exactitud de ± 3 °. La tabla 1 muestras diferentes funciones trigonométricas, en incrementos de 5 ° para un subgrupo de posibles valores.

Comencemos con la función seno, que ayuda a establecer el ángulo de impacto de una gota. En la ilustración 2, tenga en cuenta que se gira la orientación del triángulo derecho. El ángulo recto se encuentra ahora en la parte superior del triángulo.

Teniendo en cuenta la siguiente figura, debemos estar seguros de que: una gota en vuelo es de forma esferoide. Por lo tanto, cualquier medición del diámetro de la gota será igual. Así, en la figura, AB = DE.

De forma tal que la ruta de una gota arriba a un destino en combinación con el soporte define el triángulo “abc”. Mediante este triángulo, podemos dibujar una analogía entre las dimensiones de la “mancha” resultante y el triángulo, que permite al analista definir el ángulo de impacto.

En la ilustración 3 la relación que trazamos entre la “mancha” resultante y el triángulo rectángulo. El lado opuesto (línea ab) es análogo a la anchura de la mancha (línea lm). La hipotenusa (línea bc) es análoga a la longitud de la “mancha”(línea de jk).

En la ilustración 2, el triángulo que utilizaremos para resolver el problema está formado por la dimensión vertical de la gota de sangre (línea ab), el camino de la gota (línea ac) y el área de la superficie de destino (el soporte) entre el punto donde toca primero la gota y la terminación de la ruta

iθ

c

a

b

Vector de goteo

Gota de sangre

B

A

ED

B

A

θc

a

b

m

l

kj

Donde: ab = lm y bc = jk

Ilustración 2. Diagrama de la caída de una gota de sangre, que sigue una determinada trayectoria. Mantiene en su caída libre una forma esférica hasta impactar sobre una superficie soporte.

Ilustración 3. Analogía entre un triángulo rectángulo y la mancha de una gota de sangre impactada sobre una superficie.

(línea bc.). Tenga en cuenta también que en la ilustración 2, el ángulo i es el mismo que el ángulo θ. El ángulo i define el ángulo de impacto y es lo que tratamos de determinar.

En la ilustración 3, trasladamos el triángulo rectángulo y ahora lo comparamos con la mancha resultante. Podemos dibujar una analogía entre la longitud de la hipotenusa (ac) y la longitud de la Mancha ( jk) y otra entre el ancho de la mancha (lm) y el cateto adyacente (ab). Utilizando las medidas de jk y lm en la mancha, podemos definir el ángulo θ, donde:

sin θ=Cateto opuestohipotenusa

=abbc

= lmjk

El resultado de esta división es una proporción. El analista, busca este dato en una tabla de funciones trigonométricas e identifica el ángulo más cercano correspondiente. Si el analista tiene una calculadora científica, también puede utilizarla obteniendo el seno inverso de θ, o la función de arco seno, que convierte en resultado de la división al ángulo correspondiente.

Es importante hacer una anotación: al observar los diagramas, puede parecer que existe una relación de 1:1 (uno a uno) entre las líneas lm y ab o entre las líneas ac y jk, lo cual no es necesariamente cierto. Cuando la gota impacta la superficie, el líquido se desplaza lateralmente desbordándose en el momento de colapsar. El diámetro de gota en libre vuelo es menor que el ancho de la mancha resultante; Sin embargo, debido a que este desplazamiento se produce en ambos ejes a lo largo y ancho de la mancha resultante, y como las funciones trigonométricas se dan en función de un cociente no tiene ningún efecto sobre la aplicación de las funciones. La ilustración muestra el efecto de una gota de sangre la colapsar sobre una superficie de soporte.

Vista superior de una gota de sangre al colapsar

Vista lateral de una gota de sangre al colapsar

1. Sólo una parte de la gota está en contacto. Esto, en combinación con la acción de fricción, crea el comienzo de la elipse.2. Mayor superficie de la gota hace contacto con el soporte, la elipse se ensancha. Una vez que la gota hace la mitad de su recorrido, la elipse se va formando y se convertirá en una más amplia.3. Como la ola principal comienza a aumentar, tensión superficial empuja al líquido en la ola de regreso estrechando la zona de contacto con la superficie4. La creación de la columna vertebral en efecto cierra completamente la elipse.

Dadas varias gotas que afectan una superficie como resultado de un evento único, nos puede interesar definir el punto de origen (B). Para ello necesitamos determinar la longitud del lado opuesto a los dos ángulos c y d, que es la línea AB. En la figura, la línea AC es el lado adyacente al ángulo c y la línea AD es el cateto adyacente al ángulo d. Porque AB es simplemente una línea recta que se proyecta desde un punto de origen desconocido a la superficie de soporte, el ángulo A es un ángulo recto para ambos triángulos.

Ilustración 4, las relaciones de nuestra escena a otro triángulo rectángulo cuando se utiliza la fórmula de la tangente. El punto probable por encima del blanco donde se originó la “mancha” está definido por la línea AB. La línea AC es igual a la distancia desde la base de la “mancha” C hasta el punto de convergencia (A). El ángulo c es el ángulo de impacto para manchar C.

Si queremos resolver el ángulo c en la ilustración 4, la tangente nos dice para cada triángulo:

tanC= CatetoopuestoCateto adyacente

= ABAC

Fácilmente podemos determinar los dos ángulos de impacto (c o d) utilizando la función seno. Midiendo desde la base de cada mancha hasta el punto donde se cruzan sus caminos, también podemos determinar la longitud del cateto adyacente de cada triángulo. Con estos dos valores conocidos, resolvemos para la longitud desconocida del cateto opuesto (línea AB) despejando de la ecuación original. Para el triángulo ABC y el ángulo c, significa:

tanC∗Cateto adyacente= Cateto opuestoCateto adyacente

∗Cateto adyacente

Cateto opuesto=tanC∗Cateto adyacent e

AB=tanC∗AC

dcC

A

B

D

Ilustración 4. Dos manchas sanguíneas en un patrón

Teniendo en cuenta el triángulo creado por el impacto de cada gota, podemos establecer una distancia general por encima de la superficie de destino para el punto B. Si todas las gotitas son desde el mismo origen y evento, entonces esta distancia debe ser la misma.

Ángulo sin tan sec csc ctn cos

0° 0.000 1.000 1.000 90°

5° 0.087 0.087 1.004 11.474 11.430 0.996 85°

10° 0.174 0.176 1.015 5.759 5.671 0.985 80°

15° 0.259 0.268 1.035 3.864 3.732 0.966 75°

20° 0.342 0.364 1.064 2.924 2.747 0.940 70°

25° 0.423 0.466 1.103 2.366 2.145 0.906 65°

30° 0.500 0.577 1.155 2.000 1.732 0.866 60°

35° 0.574 0.700 1.221 1.743 1.428 0.819 55°

40° 0.643 0.839 1.305 1.556 1.192 0.766 50°

45° 0.707 1.000 1.414 1.414 1.000 0.707 45°

cos ctn csc sec tan sin Ángulo

Dígitos significativos, exactitud y precisión

No importa lo que elegimos para medir: manchas de sangre, campos de fútbol o nuestra propia altura: siempre hay un nivel de incertidumbre en el proceso de medición. La naturaleza de la incertidumbre se ve afectada por dos conceptos: exactitud y precisión. Precisión de una medida es una declaración sobre el grado de certidumbre del que mide tiene para la medida final.

Cuanto mayor sea el nivel de incertidumbre en la medición, menor será la precisión. Precisión, por otra parte, describe la capacidad del analista para repetir la medición. En la medida que sea más probable que la medida pueda repetirse, logrando el mismo resultado, mayor es el nivel de precisión. La exactitud es afectada más por la naturaleza de lo que se está midiendo, mientras que la precisión es más afectada por el método de medición empleado.

Al considerar la determinación del ángulo de impacto de una gota mediante las fórmulas discutidas, tanto la exactitud como la precisión afectan el nivel de confianza que tiene el analista en el ángulo de impacto resultante. En términos de exactitud, debería ser evidente que debido a que aplicamos geometría lineal para definir un ángulo que se crea por una parábola, el nivel de precisión no es grande. No es tanta la precisión de las medidas utilizadas por el analista, sino más bien la forma de medición y la naturaleza del ángulo de impacto que se está midiendo. Generalmente aceptamos una precisión de ±3 ° en los ángulos de impacto para gotas a 60 grados o menos.

La precisión en la medición de los patrones de rastros sanguíneos es también un factor. Recuerde, la precisión habla de la capacidad para repetir la medición y lograr el mismo resultado (la misma medición).

La forma de medir la mancha es fundamental en la definición de precisión. Por ejemplo, si el analista utiliza una regla de escala a 1 mm para medir pequeñas manchas de sangre, entonces la precisión se verá afectada. En perspectiva de la escala en relación con la mancha, el analista estima la cifra final de la

medida hasta de medio milímetro por estimación. Si por el contrario el utiliza un micrómetro, la escala es cercana a una decima de milímetro (0.10 mm), la precisión de la medición aumenta.

Ahora, el analista estima la cifra final para la medición a nivel de 0.05 milímetros. Igual de importante que la precisión de la medición es el conocimiento o la habilidad de quien realiza la medida. Si el analista inapropiadamente incluye porciones de la cola o salpicaduras en la medición, la precisión se verá afectada.

El resultado la determinación de cualquier ángulo de impacto o punto de origen, en última instancia se dará como una medida, como un ángulo de impacto (p. ej., 65 °) o a la distancia de un objetivo (por ejemplo, 75 cm). Al aceptar esta medida, el analista debe reconocer los dígitos significativos del resultado. Este dígito significativo es siempre una cifra estimada. Por ejemplo, dada una determinación del ángulo de impacto de 64.5 °, el analista no puede asumir que la cifra significativa es 5.

La incertidumbre presente en el componente de precisión (±3 °) nos dice que la respuesta se estima que el segundo dígito (por ejemplo, 4). Reconocimiento del dígito significativo en respuesta de un cálculo es el reconocimiento de la incertidumbre global de la respuesta. Con la finalidad de mantener su objetividad los analistas deben tener en cuenta los efectos de la exactitud y la precisión de las mediciones y representan sus hallazgos de investigación adecuadamente. Esto significa mantener un ojo en el dígito significativo y no aludir a un nivel de certeza inexistente.

No incluir en la longitud ninguna parte de las salpicaduras o espinas satélite.

Una mancha tiene una longitud de 5 mm y un ancho de 4 mm, calcule el ángulo de impacto.

sin θ=Cateto opuestohipotenusa

=abbc

=4mm5mm

=0.8

Utilizando una calculadora científica la de Windows por ejemplo, el arco seno o seno inverso

sin−10.8=53.13o

por la precisión la respuesta deberá ser de 53° ±3 °, es decir de 50° a 56° si no tenemos otras referencias que nos auxilien a definirlo mejor, como otras gotas de rastro sanguíneo cercanas a esta.

Referencias:Bloodstain Pattern Analysis with an Introduction to Crime Scene Reconstruction Third EditionTom Bevel, CRC Press 2008, Páginas 387–391, ISBN: 978-1-4200-5268-8.

4 mm

5 mm

θc

a

b