las concepciones del concepto de sobre un...

LAS CONCEPCIONES DEL CONCEPTO DE

DERIVADA: DOS ESTUDIOS DE CASO

SOBRE UN MATEMÁTICO Y UN

LICENCIADO EN MATEMÁTICAS

SILVIA PAOLA SOLANO CAMARGO

UNIVERSIDAD DEL VALLE

INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN

ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

SANTIAGO DE CALI

2017

LAS CONCEPCIONES DEL CONCEPTO DE

DERIVADA: DOS ESTUDIOS DE CASO

SOBRE UN MATEMÁTICO Y UN

LICENCIADO EN MATEMÁTICAS


Tesis de grado para optar al título de

Magíster en Educación

Énfasis Educación Matemática

Tutor

CARLOS EDUARDO VASCO URIBE PH. D.

UNIVERSIDAD DEL VALLE

INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN

ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

SANTIAGO DE CALI

2017

Tesis de maestría Silvia Paola Solano Camargo

3

AGRADECIMIENTOS

Al terminar el informe final de esta tesis de maestría, después de casi 7 largos años, se ha acumu-

lado una lista extensa de personas a las que debo agradecer, probablemente no les recuerde a todas

en este momento, pero haré mi mejor esfuerzo.

A Dios dador de vida, salud, fortaleza, paciencia, e inteligencia, sin Él muchas cosas no habría

logrado, especialmente, la culminación de este trabajo de tesis. “Por la misericordia de Jehová no

hemos sido consumidos, porque nunca decayeron sus misericordias. Nuevas son cada mañana;

grande es tu fidelidad” (Lamentaciones, 3: 22-23).

A Beatriz Camargo que aunque no está físicamente, siempre estás en mi corazón y mis pen-

samientos. Lamento madre que no hayas alcanzado a ver esta meta cumplida. Sin embargo, gracias

por cuidarme y apoyarme siempre que lo necesité.

A mi familia, quienes me acompañaron siempre, a pesar de la distancia, y han creído y con-

fiado en mí, y me aman tanto como yo los amo a ellos.

A mis amigas Carolinas Poveda y Laverde. A Poveda por sus regaños y reclamos de hacer mi

maestría en una universidad en otra ciudad. A Laverde por sus porras y su ánimo para escribir este

documento.

A mis compañeros de la maestría: Liliana Andrea por tus aportes y sugerencias, José Julián

por ser mi amigo incondicional a pesar de la distancia y Yanjeline por ser mi buena e incondicional

amiga.

A los profesores Carlos Andrés, Wilmar, José Julián, Diana Haidive, Paola Andrea y Álvaro

Andrés, por aceptar la invitación a participar en esta investigación.

A mis maestros: César Delgado, Luis Recalde, Luis Arboleda, Maribel Anacona, Diego Gar-

zón, y Evelio Bedoya.

Muy especialmente quiero agradecer a mi querido profesor Carlos Eduardo Vasco

Uribe, por rescatarme del hoyo en el que me encontraba con mi problema de investigación y

quien desinteresadamente me brindó su apoyo, su ayuda, y sobre todo, su sabiduría. Gracias

profesor Carlos Eduardo, sin sus orientaciones y su paciencia este trabajo no hubiese sido

posible.


4

DEDICATORIA

A Beatriz

Porque madre solo hay una.


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Resumen ............................................................................................................................................................................... 7

Términos clave ................................................................................................................................................................... 7

1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN .................................................................................. 8

1.1 Justificación ........................................................................................................................................................... 8

1.2 Planteamiento del problema .............................................................................................................................. 9 1.2.1 Planteamiento del problema ............................................................................................................................................ 9 1.2.2 Objetivos ............................................................................................................................................................................. 10

1.2.2.1 Objetivo General ........................................................................................................................................................... 10 1.2.2.2 Objetivos Específicos ................................................................................................................................................... 10

1.2.3 Estado del arte .................................................................................................................................................................. 10 1.2.3.1 Sobre las creencias, concepciones y convicciones del Profesor de Matemáticas .......................................... 11 1.2.3.2 Sobre las concepciones de profesores y estudiantes acerca del concepto de la derivada ............................ 13

2. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN ...................................................................... 17

2.1 Marco metodológico .......................................................................................................................................... 17 2.1.1 El estudio de caso ............................................................................................................................................................. 18

2.2 Diseño metodológico ......................................................................................................................................... 18 2.2.1 Técnicas e instrumentos de recolección de información ........................................................................................ 18

3. MARCO TEÓRICO .................................................................................................................... 20

3.1 Concepciones de los profesores de matemáticas ......................................................................................... 20 3.1.1 Creencias ............................................................................................................................................................................. 20 3.1.2 Concepciones ..................................................................................................................................................................... 22 3.1.3 Convicciones ...................................................................................................................................................................... 23

3.2 Análisis didáctico ............................................................................................................................................... 24 3.2.1 Organizadores del currículo .......................................................................................................................................... 24 3.2.2 Análisis didáctico de contenido..................................................................................................................................... 25

3.2.2.1 Algunos datos históricos ............................................................................................................................................. 26

3.2.2.2 La Derivada de Carathéodory .................................................................................................................................... 26

3.2.2.3 El texto de Courtan & Robin ..................................................................................................................................... 26

3.2.2.4 Las acepciones de Thurston ....................................................................................................................................... 31

3.2.3 Análisis de contenido de la derivada ........................................................................................................................... 32 3.2.3.1 Estructura conceptual .................................................................................................................................................. 32 3.2.3.2 Sistemas de Representación ....................................................................................................................................... 39 3.2.3.3 Fenomenología .............................................................................................................................................................. 43


6

4. ANALIZANDO LOS CASOS .................................................................................................... 47

4.1 El matemático ..................................................................................................................................................... 47 4.1.1 Modelo de formación profesional ................................................................................................................................. 47 4.1.2 Análisis de concepciones y creencias ........................................................................................................................... 48

4.1.2.1 Identificando las concepciones ................................................................................................................................... 49 4.1.2.2 Analizando sus concepciones ..................................................................................................................................... 50 4.1.2.3 Sobre sus prácticas de aula ......................................................................................................................................... 60

4.2 El licenciado en matemáticas ........................................................................................................................... 61 4.2.1 Modelo de formación profesional ................................................................................................................................. 62 4.2.2 Análisis de sus concepciones y creencias.................................................................................................................... 64

4.2.2.1 Identificando las concepciones ................................................................................................................................... 64 4.2.2.2 Analizando sus concepciones ..................................................................................................................................... 65 4.2.2.3 Sobre sus prácticas de aula ......................................................................................................................................... 71

4.3 Comparando similitudes y diferencias entre las concepciones y las creencias ...................................... 72 4.3.1 Similitudes en las concepciones de la derivada ......................................................................................................... 72 4.3.2 Diferencias entre las concepciones y creencias ......................................................................................................... 73

5 CONCLUSIONES, LIMITACIONES Y RECOMENDACIONES .................................. 75

5.1 Conclusiones ........................................................................................................................................................ 75

5.1.1 Identificar y describir las concepciones ...................................................................................................................... 74 5.1.2 Diferencias y similitudes ................................................................................................................................................ 75

5.1.3 Conclusiones metodológicas .......................................................................................................................................... 75

5.2 Limitaciones. ....................................................................................................................................................... 77

5.3 Recomendaciones ............................................................................................................................................... 78

Referencias bibliográficas .............................................................................................................................................. 79

Lista de figuras ................................................................................................................................................................. 84

Lista de tablas ................................................................................................................................................................... 85

Anexo 1. Carta de invitación .......................................................................................................................................... 86

Anexo 2. Protocolo Entrevista Semiestructurada ..................................................................................................... 87


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RESUMEN

Esta investigación tiene como propósito general analizar desde un punto de vista didáctico las

concepciones de la derivada que tienen dos profesores de matemáticas de educación superior, con

el fin de determinar si estas concepciones son influenciadas por sus modelos de formación y sus

prácticas de enseñanza en sus contextos universitarios. Para lograr esto, se revisó, analizó y carac-

terizó desde un punto de vista didáctico las concepciones de dichos profesores de matemáticas con

respecto al conocimiento didáctico de la derivada expresado en sus creencias y concepciones a

través de unas entrevistas estructuradas y semiestructuradas, teniendo en cuenta unas categorías

de análisis determinadas por tres organizadores del currículo a saber, la estructura conceptual, los

sistemas de representación y los fenómenos que intervienen en el contenido matemático escogido.

Para ello se empleó como estrategia metodológica la propuesta de análisis didáctico que se ha

desarrollado en el marco de los trabajos del grupo PNA de la Universidad de Granada. De esta

manera, se caracterizaron las concepciones que tienen dos profesores de Matemáticas y como éstas

inciden en sus prácticas de enseñanza.

Esta investigación está propuesta desde una perspectiva epistemológica interpretativa, con un

enfoque cognitivo, para el cual se realizará un estudio de dos casos con el fin de observar y carac-

terizar las características de las distintas concepciones de los dos profesores de Matemáticas con

el propósito de analizar el fenómeno de la fase pre-activa, es decir, la fase de la planeación de la

clase de cálculo diferencial con respecto al objeto matemático de la derivada.

De esta manera, se realizaron entrevistas, ensayos y análisis de las distintas planificaciones de

clase, se indagó sobre los libros de texto que utilizaban, así como de las evaluaciones que ellos

aplican a sus estudiantes con el fin de identificar en ellos los aspectos conceptuales y didácticos

que caracterizan las concepciones teóricas de dichos profesores.

Los principales hallazgos de esta investigación permitieron identificar y describir las concep-

ciones que tienen un matemático y un licenciado en matemáticas. Asimismo, se establecieron las

diferencias y similitudes en las concepciones de estos dos profesores. Finalmente, se pudo deter-

minar de qué forman influyen estas concepciones en sus planeaciones de clase.

TÉRMINOS CLAVE

Organizadores del currículo, concepto de derivada, creencias, convicciones, concepciones de pro-

fesores.


8

1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

En este capítulo presento el problema de investigación que se abordó; para ello, describo

la justificación, realizo el respectivo planteamiento del problema junto con los objetivos de

la investigación y esbozo el estado del arte.

1.1 JUSTIFICACIÓN

Las instituciones de Educación Superior son lo que sus profesores y su historia es la

historia de los académicos; de la formación que han alcanzado, del prestigio que han

logrado adquirir, de los nichos que han construido (ICFES, 1997, p. 15).

Entre los factores de los cuales depende la calidad de la Educación Superior ocupa un lugar pre-

ponderante el nivel de formación y experiencia de los profesores. De esta manera, la investigación

en educación, especialmente en Educación Matemática, ha centrado uno de sus focos de interés en

el pensamiento del profesor y, más concretamente, en la investigación sobre el conocimiento, las

concepciones y las creencias de los profesores como factores determinantes de su práctica profe-

sional y de sus acciones en el aula (Houston, 1990; Thompson, 1992; Llinares, 1998).

En particular, los estudios e investigaciones sobre el pensamiento del profesor de matemáticas

y su conocimiento profesional han experimentado un desarrollo considerable en los últimos 30

años, siendo el estudio del conocimiento del profesor de matemáticas, del que las concepciones y

creencias sobre enseñanza y aprendizaje forman parte, un tema de interés tanto por su actualidad

como por sus conexiones con corrientes actuales de investigación en Educación Matemática (Con-

treras y Carrillo, 1998).

Hablar de la formación y experiencia profesional de los profesores comprende tanto aspectos

de orden ético, académico e investigativo, como pedagógico y didáctico. De esta manera, en esta

investigación se identificaron y analizaron las concepciones o formas de concebir el objeto mate-

mático de la derivada por parte de profesores y profesoras de cálculo actualmente en ejercicio, y

se describieron y caracterizaron dichas concepciones, con el fin de determinar las posibles dife-

rencias que puedan atribuirse a la formación profesional, y se precisaron las distintas formas en

que esas concepciones orientan sus prácticas de enseñanza de este tópico.

Mi interés en este tipo de estudio no es solo como profesora investigadora preocupada por la

formación de los profesores de matemáticas y la calidad de la Educación Matemática en nuestro

país, sino también personal, ya que como docente de matemáticas de nivel universitario me intere-

saba reflexionar y mejorar mi propia formación y conocimiento en relación con los conceptos

básicos del Cálculo y sobre su enseñanza.


9

Este interés, que nace de mi propia experiencia, se incrementó al iniciar la revisión preliminar

del estado de arte al respecto, donde encontré reflexiones de investigadores en Didáctica de las

Matemáticas como la de García, Moreno y Azcárate (2006), quienes realizaron una investigación

sobre las creencias, concepciones y el conocimiento profesional que tiene un grupo de profesores

de universidad sobre la enseñanza del cálculo diferencial a estudiantes de ciencias económicas.

Esta investigación se trató de un estudio de caso múltiple en el que participaron diez profesores de

matemáticas, y los resultados muestran que casi todos los profesores participantes seguían una

línea tradicional a la hora de abordar la enseñanza de la derivada y le dan un fuerte peso al conte-

nido matemático en sí, descuidando el contenido de las ciencias económicas relacionado con el

cálculo diferencial.

Ahora bien, investigaciones en el campo de Didáctica de las Matemáticas sobre el rol del

profesor de matemáticas muestran un divorcio entre los resultados de dichas investigaciones y la

práctica de la enseñanza de las matemáticas. Algunos autores, como Schoenfeld (1998, 2000a,

2000b, citado por Godino, 2011, p. 2), han investigado sobre los modelos de la enseñanza en Ma-

temáticas, intentando describir y explicar lo que pasa en la clase, las decisiones que toma el profe-

sor cuando enseña, los procesos mentales de los sujetos cuando resuelven problemas, entre otros.

De esta manera, hay múltiples investigaciones que describen los diversos factores que condicionan

las decisiones del profesor tales como creencias, conocimientos, concepciones, valores, opiniones,

etc., en los momentos de diseño, implementación y evaluación, aunque pocas de ellas abordan la

articulación conjunta de estos factores.

1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En este apartado realizo el planteamiento del problema, los objetivos de la investigación y el estado

del arte. Este último se divide en dos partes: (i) sobre las creencias, concepciones y convicciones

del Profesor de Matemáticas en general y, en particular, (ii) sobre las concepciones de profesores

y estudiantes acerca del concepto de la derivada.

1.2.1 Planteamiento del problema

El problema de investigación consistió en identificar y analizar las concepciones de la derivada

que tienen dos profesores actualmente en ejercicio de la docencia universitaria de matemáticas (un

matemático y un licenciado en matemáticas) con el fin de intentar describir y caracterizar dichas

creencias, concepciones y convicciones para contrastarla con la formación profesional inicial de

los profesores y precisar la influencia en la toma de decisiones en la fase preactiva o de planifica-

ción (según Jackson, 1975, citado por Llinares, 2000) y de lo que de allí se puede inferir respecto

a sus prácticas de enseñanza en la fase interactiva de este tópico.

De esta manera, para poder caracterizar dichas creencias, concepciones y convicciones, se

analizaron tres organizadores del currículo que dominan el análisis didáctico del contenido de ma-

temáticas con respecto al concepto de la derivada, como son la estructura conceptual, los sistemas

de representación y los fenómenos relacionados con el contenido matemático. Por lo tanto, se

plantearon las siguientes preguntas generales orientadoras de la presente investigación.


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¿Cuáles son las creencias, concepciones y convicciones de un Licenciado en Matemáticas

y un Matemático en torno al concepto de la derivada?

¿Cuáles son las similitudes y diferencias en las creencias, concepciones y convicciones de

los dos profesores en torno al concepto de la derivada?

¿Cómo o de qué manera influyen las creencias, las concepciones y los convicciones de los

profesores de matemáticas en sus planeaciones de clase?

Como se puso de manifiesto anteriormente y por las razones aducidas de la dificultad de verbali-

zación y de las menores expectativas de cambio, particularicé estas preguntas únicamente a aque-

llas creencias que llamé “concepciones o formas de concebir el objeto”. Este aspecto terminológico

se precisará más adelante (Sección 3.1).

1.2.2 Objetivos

En este apartado propongo los objetivos –generales y específicos– que espero lograr a través de la

presente investigación.

1.2.2.1 Objetivo General

Identificar y analizar las concepciones o formas de concebir el objeto matemático de la derivada

que tienen dos profesores de matemáticas (un matemático y un licenciado en matemáticas) para

intentar describir o caracterizar dichas concepciones, con el fin de precisar las distintas formas en

que estas concepciones orientan sus prácticas de enseñanza de este tópico.

1.2.2.2 Objetivos Específicos

1. Identificar y describir las concepciones que tienen dos profesores de Matemáticas en torno al

concepto de la derivada.

2. Caracterizar y contrastar las similitudes y diferencias de las concepciones de los dos profesores

de matemáticas en torno al concepto de la derivada.

3. Identificar la forma como influyen las concepciones de los profesores de matemáticas en sus

planeaciones de clase.

1.2.3 Estado del arte

En el ejercicio de la revisión del estado del arte debo señalar que sólo hasta inicios del presente

siglo se han empezado a precisar y estabilizar un poco las concepciones, en particular las llamadas

“misconcepciones” de los profesores de matemáticas. Ahora bien, en la literatura se distinguen los

términos concepciones, creencias y convicciones, pero no hay unanimidad o acuerdo en tales dis-

tinciones, esto dificultó realizar el meta-análisis necesario para un estado del arte, ya que por ejem-

plo, en las listas de términos suelen aparecer “conocimientos, creencias y concepciones”, o “sabe-

res y conocimientos”, entre otros. Ahora bien, en inglés no se distinguen saberes y conocimientos

y tampoco se puede hablar de conocimientos en plural. En español, muchos autores usan la expre-

sión “conocimiento del profesor” en sentidos muy diferentes, según estén influenciados o no por

la distinción francesa entre saberes y conocimientos.


11

Por ello hago explícita la dificultad de precisar los términos característicos, dado que existen

unas fronteras invisibles entre ellos que fácilmente se pueden sobrepasar. Sin embargo, en el marco

teórico voy a precisar que las creencias son lo más profundo, las convicciones no son necesaria-

mente verbales y las concepciones si se pueden verbalizar, por lo que voy a trabajar solamente

sobre las concepciones, por razones obvias.

A continuación, voy a exponer los documentos encontrados en la revisión de la literatura en

dos vías: sobre las creencias, concepciones y convicciones del Profesor de matemáticas en general

y, en particular, sobre las concepciones de profesores y estudiantes acerca del concepto de la deri-

vada.

1.2.3.1 Sobre las creencias, concepciones y convicciones del Profesor de Matemáticas

En la revisión de la literatura encontré varios trabajos sobre las creencias, concepciones y convic-

ciones de los Profesores de Matemáticas, dado que es un campo de investigación que se ha venido

desarrollando desde hace 30 años y en los cuales he encontrado algunos documentos que relaciono

a continuación.

1. Bohórquez (2013) se interesó en determinar los cambios de concepciones de un grupo de fu-

turos profesores de matemática sobre su gestión del proceso de enseñanza y aprendizaje en un

ambiente de aprendizaje fundamentado en la resolución de problemas. Para poder investigar

sobre ello, Bohórquez realizó una revisión exhaustiva del estado del arte sobre las creencias y

concepciones de los profesores de Matemáticas y ha encontrado investigaciones tales como la

de Thompson (1992) quien investigó sobre las concepciones – creencias (beliefs) de los profe-

sores de Matemáticas y señala que una de las características de las creencias es que pueden ser

consideradas con variación del grado de convicción. También, Bohórquez presentó las ideas

elaboradas por otros autores como Pajares (1992) quien considera que las creencias están con-

formadas de tres componentes: el cognitivo (conocimiento), el afectivo (emoción) y el con-

ductual (acción); además, Pajares (1992, citado por Bohórquez, 2013) señala que las creencias

son un tipo de conocimiento basado en evaluaciones y juicios ligados a la componente afectiva,

mientras que el conocimiento se basa en hechos objetivos. Así mismo, Ponte (1994, citado por

Bohórquez, 2013) considera las creencias en el sentido de proposiciones no demostradas, y

aunque hace una diferenciación entre creencias y conocimiento, considera a las primeras como

una parte del conocimiento del sujeto. Bohórquez encontró también que autores como Moreno

(2000) consideran que las creencias son conocimientos subjetivos, poco elaborados, generados

a nivel particular por cada individuo para explicarse y justificar muchas de las decisiones y

actuaciones personales y profesionales vividas. Las creencias no se fundamentan sobre la ra-

cionalidad, sino más bien sobre los sentimientos, las experiencias y la ausencia de conocimien-

tos específicos del tema con el que se relacionan, lo que las hacen ser muy consistentes y du-

raderas para cada individuo.

2. García, Moreno y Azcárate (2006) realizaron una investigación que se enmarcó dentro de la

figura del profesor de Matemáticas de universidad y cómo este aborda la enseñanza del cálculo

diferencial, desde sus concepciones, creencias y conocimientos profesionales analizando de

esta manera qué ejemplo matemático o no matemático cree que es el más adecuado para llegar

al concepto de derivada, qué tipo de aplicaciones de la derivada enseña a sus estudiantes y cuál


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es su posición frente a una propuesta de enseñanza del cálculo con problemas que involucren

situaciones reales de las carreras objeto de este estudio (ciencias económicas). Estos autores

señalan que las concepciones de los docentes consisten en la estructura que cada profesor de

Matemáticas da a sus conocimientos para posteriormente enseñarlos o transmitirlos a sus estu-

diantes. De hecho, consideran que algunas características de las concepciones del profesor son:

primero que forman parte del conocimiento, segundo que son producto del entendimiento, ter-

cero que actúan como filtros en la toma de decisiones, y finalmente, que influyen en los pro-

cesos de razonamiento.

3. D’Amore y Fandiño (2004) vincularon el significado de concepción a la idea de creencia, afir-

mando que la creencia (convicción) es una opinión, conjunto de juicios/expectativas, aquello

que se piensa a propósito de algo, y que el conjunto de las convicciones de alguien (A) sobre

un determinado aspecto (T) forma la concepción (K) de A relativa a T. Además, estos autores

establecen que “si A pertenece a un grupo social (S) y comparte con los demás miembros de S

el mismo conjunto de convicciones relativas a T, entonces K es la concepción de S relativa a

T” (D’Amore y Fandiño, 2004, p. 26).

4. Gil y Rico (2003) describieron y caracterizaron, en una investigación que se realizó con pro-

fesores de secundaria de Andalucía, las concepciones y creencias que sobre la enseñanza y el

aprendizaje de las matemáticas tienen dichos profesores. Se trató de un estudio exploratorio

que utiliza la técnica de encuesta (survey), por medio de la administración de un cuestionario

cerrado a modo de escala de valoración apoyada en la identificación empírica de los juicios de

los profesores, la generación inductiva de un sistema de categorías teóricamente fundamentado

para clasificar tales juicios y el control del proceso por expertos. Un estudio descriptivo de las

valoraciones de los profesores estableció el grado de aceptación de las categorías de análisis,

como por ejemplo: (a) la reflexión sobre el currículo y la búsqueda de información en libros y

listas de ejercicios caracterizan la preparación de materiales para el aula, (b) la satisfacción del

profesor viene determinada principalmente por el buen ambiente del aula, (c) el criterio prio-

ritario para determinar cuándo un alumno es bueno es su motivación, (d) la razón principal

para estudiar matemáticas es su utilidad social, (e) las matemáticas se aprenden motivando y

estimulando procesos cognitivos, (f) los contenidos que tienen implicaciones curriculares pos-

teriores y los actitudinales se valoran como más importantes, y, (g) los errores sirven para

reconsiderar la programación.

5. Schoenfeld (2000a) describió, en su propuesta por construir un modelo del profesor de mate-

máticas, la relación entre las creencias, las metas, el conocimiento del profesor y su práctica

docente de la siguiente manera:

Postulamos que, sea el profesor consciente o no de sus creencias metas y conocimientos,

estos son factores claves en el proceso de toma de decisiones y tal proceso toma en cuenta

esos factores… El modelo de un profesor particular contendrá representaciones de me-

tas, creencias y conocimiento atribuidos a ese profesor y un mecanismo de toma de de-

cisiones que sugiere como, en unas circunstancias dadas, esas metas, creencias y cono-

cimiento configuran la decisión del profesor respecto a qué hacer después (2000, p. 248).


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Para este autor, las creencias conforman la percepción que el individuo tiene de su experiencia,

configurando las metas que el profesor se impone para la interacción en el aula, las opciones

que el profesor cree que están disponibles para lograr esas metas y la manera en que estos

recursos se pueden emplear.

1.2.3.2 Sobre las concepciones de profesores y estudiantes acerca del concepto de la derivada

Con respecto a los estudios didácticos relacionados con el concepto de la derivada y su compren-

sión como objeto de investigación en estudiantes y profesores encontré, además de la investigación

de García, Moreno y Azcárate (2006), las investigaciones que menciono a continuación.

1. Acosta, Delgado y Rodríguez (1992) realizaron un trabajo donde mostraron una definición al-

ternativa de la derivada. En esta definición se resalta la continuidad y deja de lado la fundamen-

tación explícita en la existencia de un límite. Así, este desarrollo abre nuevas posibilidades en

la didáctica al interior de los cursos de cálculo, no solo en el curso del cálculo de una variable

sino también en varias variables. El concepto de derivada es abordado usualmente a partir de la

definición dada por Augustin Louis Cauchy. La derivada de Carathéodory no requiere de paso al

límite sino de la continuidad en un punto y dado que se puede definir continuidad sin paso al límite

este hecho ha llevado a que en algunos cursos se reduzca el concepto a un cálculo algebraico,

olvidando por completo su significado geométrico. Por tal motivo, estos autores consideraron

conveniente presentar una propuesta didáctica, para abordar un criterio de diferenciabilidad ba-

sado en la definición de derivada dada por Constantin Carathéodory, ya que esta ofrece un

tratamiento geométrico significativo. Esta derivada es equivalente a la derivada de Frechet. De

acuerdo con Acosta y Delgado (1994) esta definición tiene incidencia en el currículo que podría

orientarse de una manera más económica y más significativa. Uno de los hechos más importantes

de esta definición es que Acosta y Delgado (1994) demostraron que esta definición es equivalente

a la derivada de Frechet que se introduce en los cursos de cálculo vectorial en términos de límite.

También, Delgado (1998) demostró en su tesis doctoral que la derivada de Carathéodory es más

accesible en una construcción vía situaciones (Brousseau, 1986) que permiten superar obstáculos

epistemológicos asociados con la definición 휀 − 𝛿 de ése concepto y luego definir límite en términos

de la continuidad. Así las cosas, la transposición didáctica: continuidad – límite – Derivada de Ca-

rathéodory, sería más comprensible y se accedería directamente al cálculo vectorial.

2. Thurston (1994) escribió un artículo titulado “On proof and progress in mathematics” en el cual

manifestó que al intentar dar respuesta a la pregunta ¿cómo la gente entiende matemáticas? es

una cuestión muy difícil, dado que la comprensión es un asunto individual e interno y que es

difícil de tener plena conciencia de ello, difícil de entender y, a menudo difícil de comunicar.

Este autor argumentó que las personas tienen diferentes caminos para entender determinados

tópicos de las matemáticas y un buen ejemplo para mostrar estos caminos es la derivada de una

función, para la cual da una lista de siete definiciones y luego propone otra desde un punto de

vista muy avanzado.

3. Artigue (1995) ha realizado diversas investigaciones sobre la enseñanza de los principios del

cálculo, los problemas que presenta y las opciones que ofrecen como profesores, con sus forta-

lezas y debilidades. Esta autora puso de manifiesto los problemas sobre la comprensión de los

conceptos básicos del cálculo y argumenta que la enseñanza del cálculo tiende a centrarse en


14

una práctica algorítmica y algebraica del cálculo, evaluándose en esencia las competencias en

ese dominio.

4. Ortega y Sierra (1998) presentaron un artículo sobre el concepto de derivada, en el cual plan-

tearon, a partir de la teoría de los organizadores del currículo, algunas indicaciones para su

enseñanza. Estos autores argumentan que la enseñanza de los principios básicos del cálculo es

bastante problemática, dado que, si bien es cierto se consigue que los estudiantes resuelvan de

forma mecánica algunos límites, derivadas e integrales, no existe una comprensión satisfactoria

de los conceptos y métodos del análisis.

5. Sánchez-Matamoros, García y Llinares (2008) realizaron una investigación donde indagaron

sobre la dificultad de la comprensión de la derivada en estudiantes de bachillerato y primeros

años de universidad. Este trabajo se abordó tomando en cuenta tres frentes: (a) lo que se conoce

de la comprensión de la derivada de una función en un punto; (b) el papel de los sistemas de

representación; y, (c) las características del desarrollo del esquema de la derivada con el fin de

comprender como los estudiantes dotan de significado y usan el concepto de la derivada.

6. Sánchez-Matamoros, Fernández, Valls, García, y Llinares (2012) presentaron otra investiga-

ción cuyo objetivo es caracterizar grados de desarrollo de la competencia docente “mirar con

sentido” el pensamiento matemático de los estudiantes en el ámbito específico de la derivada

de una función en un punto. A partir de los resultados de las investigaciones previas sobre la

derivada, estos autores diseñaron un cuestionario formado por tres tareas a partir de las respues-

tas de estudiantes a 3 problemas sobre el concepto de derivada en un punto. Los resultados han

permitido generar descriptores de niveles de desarrollo de la competencia docente “mirar con

sentido” el pensamiento matemático de los estudiantes. Estos resultados aportan información

para el diseño de intervenciones en la formación de profesores de matemáticas que tengan como

uno de sus objetivos el desarrollo de la competencia docente “mirar con sentido” el pensamiento

matemático de los estudiantes.

7. Godino, Font y Pino-Fan (2013) presentaron un artículo en el que muestran los resultados de

una investigación durante la cual se diseñó y aplicó un instrumento para explorar y caracterizar

una de las facetas del conocimiento didáctico-matemático sobre la derivada de futuros profeso-

res de secundaria/bachillerato. En la primera parte se presenta el proceso de diseño del instru-

mento, abordando tanto las consideraciones teóricas y metodológicas contempladas para su di-

seño, como las características y conocimientos que se pretenden con cada una de las tareas que

lo conforman. El instrumento resultante puede significar un aporte para los formadores de pro-

fesores que deseen explorar y potenciar la faceta del conocimiento sobre la derivada. En la

segunda parte, estos autores presentaron los resultados obtenidos de la aplicación de dicho ins-

trumento a una muestra de futuros profesores de bachillerato en el contexto de una universidad

mexicana. “Los resultados del análisis de las respuestas de los estudiantes evidencian tanto una

desconexión entre los distintos significados parciales de la derivada como la necesidad de po-

tenciar el conocimiento del contenido especializado” (p. 44).


15

En el contexto colombiano, se conocen varias tesis doctorales, tesis de pre y post grado, así como

artículos publicados en revistas internacionales que profundizan en la enseñanza y el aprendizaje

de la derivada.

8. Badillo (2003) realizó un trabajo exhaustivo sobre el concepto de derivada como objeto mate-

mático y como objeto de enseñanza y aprendizaje en el nivel de bachillerato del sistema educa-

tivo colombiano, así como sobre las formas como los profesores interpretan y justifican las

situaciones concretas de enseñanza en las que deben actuar, como un punto de partida para

entender la práctica profesional del profesor y la generación del conocimiento profesional para

poder incidir en su formación permanente e inicial.

9. Martínez y Murillo (2004) presentaron una propuesta didáctica sobre la enseñanza y el apren-

dizaje de la derivada puntual. Esta propuesta intenta hacer un acercamiento intuitivo al Cono-

cimiento Matemático Escolar de derivada puntual fundamentada en el Análisis Didáctico de

una Unidad Didáctica basada en las utilidades de representación y visualización de las calcula-

doras graficadoras algebraicas (TI-92 plus ó Voyage 200).

10. Rojas (2008) realizó una investigación sobre la forma como el docente de matemáticas

puede reconstruir el concepto de derivada a partir de un curso abordado desde la resolución de

problemas, con el fin de evaluar la transformación que se produjo. Para realizar esta investiga-

ción, Rojas (2008) se basó en la investigación realizada por Badillo (2003) para clasificar a

algunos profesores de acuerdo con la teoría APOE en los niveles de comprensión de derivada

antes de comenzar el curso y al finalizarlo con el fin de evaluar la reconstrucción del concepto

en cada uno de ellos.

11. Villa (2011) comenzó con una amplia revisión de la literatura a luz del pensamiento varia-

cional y de la enseñanza y el aprendizaje de algunos tópicos del cálculo y cuyo propósito es

indagar por el proceso de comprensión de un concepto matemático específico a saber, como la

derivada. Desde los resultados de esta investigación se resaltan aspectos como: la interacción

entre las estudiantes, entre ellas y los medios, y con el investigador como factores que promue-

ven la comprensión matemática. Otros aspectos sobre el papel de la representación matemática

también son valorados en las conclusiones de este estudio.

12. Ramírez, G. & Ordoñez, J. (2014) realizaron un análisis didáctico del proceso de enseñanza

de la derivada en un curso de Cálculo I, ofrecido a los estudiantes de los programas de Licenciatura

del Área de Educación Matemática. Concretamente, estos autores se interesaron por describir y

analizar críticamente el papel que los profesores (principal y “tallerista”) y los estudiantes le asignan

a la visualización en el contexto local o particular del sistema didáctico que se implementa en la

clase de Cálculo I, cuando se propone enseñar y aprender el concepto (sistema o estructura concep-

tual) de la derivada.

La tesis doctoral de Villa (2011) me aportó elementos sobre el análisis didáctico del concepto de

la derivada, así como la tesis de Martínez y Murillo (2004); mientras que la tesis de Badillo (2003)

y de Rojas (2008) están enfocadas hacia la educación media y me permitieron avanzar hacia la

educación universitaria, especialmente para ubicarme en el primer semestre de universidad, espe-

cíficamente en el curso de cálculo diferencial, ya que en este trabajo de investigación me interesaba


16

indagar sobre los aspectos académicos y didácticos de las concepciones, creencias y convicciones

de profesores de matemáticas de instituciones de educación superior en torno a la derivada, con el

propósito de caracterizar o describir sus concepciones al respecto.


17

2. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN

En el presente capítulo abordaré las cuestiones metodológicas de la investigación para lo

cual presentaré un marco metodológico donde describo el método que se utilizó con los

dos profesores objeto de investigación: el estudio de casos. Adicionalmente, presentaré el

diseño metodológico de esta investigación donde describiré las técnicas y los instrumentos

de recolección de la información.

2.1 MARCO METODOLÓGICO

En el contexto de la investigación en Educación Matemática se identifica el análisis didáctico con

el procedimiento metodológico no-empírico que analiza, relaciona e integra, a través de un proceso

secuenciado la información procedente de diversas áreas de investigación interrelacionadas con el

objeto de estudio (González, 1998a, 1998c). Y en el contexto más general de la formación profe-

sional de profesores de matemáticas, se propone el análisis didáctico como una estrategia de cua-

lificación y de desarrollo profesional y de competencias de los docentes, así como de innovación

y desarrollo curricular y didáctico por parte de estos (Rico, 1997; Gómez, 2007; Bedoya, 2013).

Teniendo en cuenta lo anterior, y dado que este proyecto de investigación se propuso en el

campo de la Didáctica de las Matemáticas y la Formación de Profesores de Matemáticas, el modelo

de análisis que se adaptó en torno al contenido matemático que nos ocupa –la derivada– se centra

en los tres organizadores del currículo siguientes:

Estructura conceptual

Sistemas de representación

Fenomenología

Con este modelo local de análisis didáctico como referente, esta investigación se propuso con

carácter cualitativo, descriptivo e interpretativo, y se desarrolló mediante un enfoque metodológico

de estudio de caso múltiple en contextos educativos universitarios públicos y privados de la ciudad

de Bogotá.

De manera más concreta, una vez seleccionados los docentes y las correspondientes institu-

ciones de educación superior, teniendo el modelo de análisis didáctico adoptado como referente,

se realizó una rigurosa revisión y análisis de las distintas fuentes documentales y entrevistas que

permitieron caracterizar los distintos contextos y niveles de concreción curricular en los que los

docentes participantes se han formado inicialmente y se continúan formando.


18

2.1.1 El estudio de caso

El método que seguí es el estudio de caso, puesto que al contrario del experimentador que maneja

variables para determinar su significación casual o del encuestador que hace preguntas normaliza-

das a representativas muestras de individuos, el investigador de estudio de casos observa las ca-

racterísticas de una unidad individual, un niño, una pandilla, una clase, una escuela o una comuni-

dad.

El propósito de tal observación es poner a prueba profundamente y analizar intensamente el

fenómeno diverso que constituye el ciclo vital de la unidad, con el fin de intentar establecer con-

jeturas y nuevos modelos sobre las creencias que tienen los profesores objeto de estudio, en este

sentido, y para efectos de esta investigación, analicé a un matemático y un licenciado en matemá-

ticas.

2.2 DISEÑO METODOLÓGICO

La selección de los dos casos la realicé a partir de las experiencias profesionales de los profesores,

así como de la formación inicial y posgraduada que poseían, ya que me interesaba analizar los

diferentes contextos en los que se desenvuelven los maestros que entrevisté. De esta manera, para

poder escoger a los participantes en esta investigación, realicé una pequeña selección de matemá-

ticos y licenciados en matemáticas a los que les solicité a través de una carta que consignaran allí,

de manera libre, sus opiniones con respecto al aprendizaje de las matemáticas, la enseñanza de las

matemáticas y su opinión con respecto al concepto de la derivada. Esta carta se encuentra en el

anexo 1.

2.2.1 Técnicas e instrumentos de recolección de información

Una vez realizada la actividad de las cartas, tomé, de estas cartas, las dos que me permitieron

acercarme a las concepciones, creencias y convicciones de los profesores para así poder hacer la

recolección de los datos a través de los siguientes instrumentos.

Entrevistas

Análisis documental de las planeaciones y evaluaciones realizadas por los profesores.

Ahora bien, para un estudio de caso descriptivo observacional, la entrevista se convierte en una

técnica de investigación, que usé como: un medio de valoración –evaluación– del individuo, pun-

tualmente sobre sus concepciones, creencias y convicciones con respecto al concepto de la deri-

vada.

Más puntualmente la entrevista fue el medio que me permitió probar o desarrollar hipótesis,

plantear supuestos, reunir datos –información– hacer un seguimiento, sistematizar y caracterizar

dichas creencias, concepciones y convicciones de la derivada. De esta manera, utilicé una entre-

vista semiestructurada ya que ésta me permitía obtener la información relevante que quería conse-

guir. También, se hicieron preguntas abiertas dando oportunidad a recibir más matices de la res-

puesta y esto me permitió ir entrelazando los temas.

Así pues, la entrevista en este sentido fue una herramienta específica de la investigación, ya

que la entrevista se entiende como: “un dialogo iniciado por un entrevistador con el propósito


19

específico de obtener información relevante para la investigación y enfocado por él sobre el con-

tenido especificado por los objetivos de investigación de descripción, de predicción o de explica-

ción sistemática” (Goicoechea, Juarros y Nuez, 2010, p. 100), es decir, realicé una entrevista diri-

gida menos formal que permitió tener un cuestionario base con relación a unos temas pero no con

preguntas cerradas para un registro riguroso ceñido a un programa o formato, sino que me permitió

dirigir la conversación y profundizar en la información específica para caracterizar las creencias,

concepciones y convicciones, según el interés de esta investigación. El formato de esta entrevista

semiestructurada se presenta en el anexo 2.

Para realizar los análisis de los datos recogidos en la presente investigación utilicé la técnica

de la triangulación dado que esta técnica permite combinar dos o más teorías, fuentes de datos,

métodos de investigación, en el estudio de un fenómeno singular, y esta técnica me permitió ex-

plicar de manera más completa, la riqueza y complejidad de las distintas concepciones, creencias

y convicciones de los profesores que serán estudio de casos.


20

3. MARCO TEÓRICO

Las aproximaciones sucesivas a la delimitación del problema, llevadas a cabo a partir de

las revisiones preliminares de la literatura relacionada con los contenidos principales obje-

tos de estudio, me han llevado a la necesidad de precisar y reorientar algunos conceptos

que voy a asumir tanto en el marco conceptual como en la metodología de análisis de la

presente investigación.

3.1 CONCEPCIONES DE LOS PROFESORES DE MATEMÁTICAS

Como se mencionó en el planteamiento del problema de investigación, mi interés es caracterizar

las concepciones de la derivada que tienen dos profesores de Matemáticas; por lo tanto, en este

apartado preciso las interpretaciones de los términos creencia, concepción y convicción que abordé

en la presente investigación.

Algunos autores manejan, en español, los términos creencias y concepciones como sinóni-

mos; sin embargo, otros autores señalan que son diferentes tipos o niveles de conocimiento y que

por lo tanto forman parte del conocimiento profesional del profesor.

El término concepciones ha tenido y tiene diferentes usos y significados: creencias, sistema

de creencias, reflexiones a priori, ideologías y teorías implícitas.

3.1.1 Creencias

En el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española (2001) se establece que la creencia

proviene del latín “credere” y que se define como “tener por cierto una cosa que el entendimiento

no alcanza o que no está comprobada o demostrada”. También, en la versión de 2001 de este

diccionario, se define la creencia como “creer que (alguien o algo) tiene verdadera existencia”,

“estar convencido de la bondad o validez de algo o alguien”, “fe profunda que orienta la acción”.

De esta manera, la creencia la tomé en el sentido de la traducción de “beliefs”; e interpreto las

creencias en dos vías: las concepciones y las convicciones, dado que ellas también orientan la

acción.

Existen supuestos y creencias que configuran las maneras como los profesores enseñan mate-

máticas a los escolares, por ejemplo, Schoenfeld (2000) argumenta que:

Como sucede en las demás áreas, las creencias configuran la percepción que el individuo

tiene de su experiencia. Ellas configuran las metas que el profesor se impone para la


21

interacción en el aula, las opciones que el profesor cree que están disponibles para lo-

grar esas metas, y la manera en que estos recursos (en este caso, diferentes tipos de

enseñanza y de contenido matemático, rutinas de clase, etc.) se pueden emplear (p. 248).

Las creencias del profesor (sobre los estudiantes, el aprendizaje, la enseñanza, las ma-

temáticas…) configuran lo que el profesor ve como creíble, posible o deseable. Por lo

tanto, las creencias configuran la selección de metas y planes de acción (p. 253).

En la investigación educativa, para Grossman, Wilson y Shulman (1989), las creencias son más

discutibles que el conocimiento, están más abiertas al debate. Estos autores afirman que las creen-

cias del profesor son de dos tipos, dependiendo de si están referidas a las matemáticas como dis-

ciplina científica o a las matemáticas como objeto de enseñanza y aprendizaje. Las primeras influ-

yen en el contenido que se enseña y en la forma de enseñarlo. Las segundas influirán en la

orientación que el profesor da a la materia que enseña.

Thompson (1992) señala que una de las características de las creencias es que pueden ser

consideradas con variación del grado de convicción. El creyente puede estar pasionalmente entre-

gado a su punto de vista o en el otro extremo podría considerar una afirmación de un asunto como

más probable o no. Este autor afirma que las creencias a menudo incluyen sentimientos afectivos

y evaluaciones, memorias de experiencias personales vividas, supuestos sobre la existencia de en-

tidades y mundos alternativos los cuales no son abiertos a la evaluación externa o examinación

crítica (Thompson, 1992, p. 29). Otras características de las creencias que presenta este autor es

que no están consensuadas, son independientes de su validez y que están caracterizadas por una

falta de acuerdo sobre cómo son evaluadas y juzgadas (p. 29).

Por su parte, Pajares (1992) considera que las creencias están conformadas de tres componen-

tes: el cognitivo (conocimiento), el afectivo (emoción) y el conductual (acción); además, señala

que las creencias son un tipo de conocimiento basado en evaluaciones y juicios ligados a la com-

ponente afectiva, mientras que el conocimiento se basa en hechos objetivos.

Ponte (1994) toma las creencias en el sentido de proposiciones no demostradas, y aunque hace

una diferenciación entre creencias y conocimiento, considera a las primeras como una parte del

conocimiento del sujeto. Al respecto, este autor afirma que las creencias se pueden ver como una

parte del conocimiento relativamente “poco elaborado” en vez de ver a los conocimientos y a las

creencias como dos dominios distintos. Ponte establece que las creencias personales no requieren,

incluso, consistencia interna; esto implica que las creencias son a menudo discutibles, más infle-

xibles, y menos dinámicas que otros aspectos del conocimiento. Las creencias juegan un papel más

importante en aquellos dominios del conocimiento en los que la verificación es difícil o imposible

(Ponte, 1992, p. 30).

Vicente (1995) establece que las creencias son ideas u opiniones que la gente tiene en la ca-

beza pero sin haber comprobado ni haberse detenido a examinar si se trata de algo fundado o sin

fundamento.

Moreno (2000) considera que las creencias son conocimientos subjetivos, poco elaborados,

generados a nivel particular por cada individuo para explicarse y justificar muchas de las decisio-

nes y actuaciones personales y profesionales vividas. Las creencias no se fundamentan sobre la

racionalidad, sino más bien sobre los sentimientos, las experiencias y la ausencia de conocimientos


22

específicos del tema con el que se relacionan, lo que las hacen ser muy consistentes y duraderas

para cada individuo.

3.1.2 Concepciones

Las concepciones son más conscientes y fácilmente verbalizables, con definiciones, comparacio-

nes y teorías, más susceptibles al cambio. Las concepciones pueden ser adecuadas o inadecuadas

(misconceptions) y nos referimos a concepciones inadecuadas como aquellas concepciones que no

son adecuadas al problema que se quiere tratar; por esta razón evito traducir “misconceptions”

como “concepciones equivocadas”, pues pueden ser acertadas para otros problemas en otros con-

textos.

Ahora bien, sobre las concepciones, D’Amore & Fandiño (2004) establecen que son un con-

junto de juicios/expectativas, opiniones, lo que se piensa a propósito de algo. D’Amore y Fandiño

(2004) vinculan el significado de concepción a la idea de creencia afirmando que la creencia (con-

vicción) es una opinión, conjunto de juicios/expectativas, aquello que se piensa a propósito de algo

y que el conjunto de las convicciones de alguien (A) sobre un determinado aspecto (T) forma la

concepción (K) de A relativa a T. Además, estos autores establecen que “si A pertenece a un grupo

social (S) y comparte con los demás miembros de S el mismo conjunto de convicciones relativas

a T, entonces K es la concepción de S relativa a T” (D’Amore & Fandiño, 2004, p. 26).

Sfard (1991) establece que las concepciones pueden ser consideradas el lado personal/privado

del término “concepto”.

Ruíz (1994) determina que las concepciones se pueden situar en dos dimensiones. Por una

parte, se diferencian las concepciones subjetivas o cognitivas de las epistemológicas; y, por otra,

las concepciones locales de las globales. Este autor establece que las concepciones subjetivas son

mantenidas por cada sujeto, de manera individual y se refieren al conocimiento y creencias de los

sujetos. En cambio, las concepciones epistemológicas se refieren a tipologías de conocimiento

existente en un cierto periodo histórico, o circunscrito a los textos o programas de cierto nivel de

enseñanza. Ahora bien, sobre las concepciones globales, este autor señala que son aquellas que

describen holísticamente las concepciones ligadas a un concepto u otro objeto a diferencia de las

locales que tienen en cuenta aspectos parciales de los sistemas anteriores (Ruíz, 1994, p. 71).

Ponte (1994) señala que las concepciones pueden ser vistas como el plano de fondo organiza-

dor de los conceptos. Ellas constituyen como “miniteorías”, o sea cuadros conceptuales que desem-

peñan un papel semejante a los presupuestos teóricos de los científicos. Las concepciones condi-

cionan la forma de abordar las tareas y ligadas a ellas están las actitudes, las expectativas y el

entendimiento que cada uno tiene de lo que constituye su papel en una situación dada (Ponte, 1994,

p. 195).

García, Moreno y Azcárate (2006) señalan que las concepciones de los docentes consisten en

la estructura que cada profesor de matemáticas da a sus conocimientos para posteriormente ense-

ñarlos o transmitirlos a sus estudiantes. De hecho, estos autores consideran que algunas caracte-

rísticas de las concepciones del profesor son: (a) forman parte del conocimiento; (b) son producto

del entendimiento; (c) actúan como filtros en la toma de decisiones; y, (d) influyen en los procesos

de razonamiento.

Otro autor que relaciona las creencias con las concepciones es Pehkonen (2006), dado que

este autor utiliza el término concepción en paralelo a creencias. En este caso, Pehkonen define las


23

concepciones como las creencias conscientes, es decir, las concepciones forman un subgrupo de

las creencias (Pehkonen, 2006). Este autor entiende las creencias de un individuo como lo subje-

tivo, basado en la experiencia, el conocimiento y las emociones a menudo implícitos en algún

asunto.

Ernest (1988) presenta una concepción que los profesores tienen de las matemáticas, la cual

denomina concepción instrumentalista de las matemáticas, que Thompson (1992) caracteriza como

aquella en donde las matemáticas se conciben como un saco de herramientas que están formadas

de una acumulación de hechos, reglas y destrezas para ser usadas por expertos en la consecución

de un fin externo. Así, las matemáticas son un juego de efectivas y útiles reglas y hechos (Thom-

pson, 1992, p. 132).

De igual forma, Ernest (1989) escribió un artículo en el que identifica tres visiones de las

matemáticas que hacen parte de uno de los “componentes clave de las creencias delo profesores”

(p. 249). Se trata de las visones respecto a la naturaleza de las matemáticas: instrumentalista, pla-

tónica y resolución de problemas. Estas visiones, afirma Ernest, impactan los modelos de ense-

ñanza y aprendizaje que junto a las restricciones y condiciones institucionales, finalmente deter-

mina sus actuaciones.

Las concepciones de los profesores sobre la enseñanza están conformadas, según Thomson

(1992), por aspectos muy diversos; por ejemplo, lo que considera un profesor como objetivos

deseables del programa de matemáticas, su propio rol en la enseñanza, el rol de los estudiantes, las

actividades apropiadas del salón de clases, la aproximación a la práctica instruccional deseable, la

legitimación de los procedimientos matemáticos, y los resultados aceptables de la instrucción. Una

fuerte relación ha sido observada entre las concepciones de los maestros sobre la enseñanza y sus

concepciones sobre el conocimiento matemático de los estudiantes (Thompson, 1992, p. 135).

Hacia el año de 1992, Thompson informaba que los investigadores reportaban variados

desacuerdos o inconsistencias entre las concepciones y creencias profesadas por los profesores

sobre la naturaleza de las matemáticas y la práctica instruccional.

3.1.3 Convicciones

En la literatura se encuentra que el término “convicción” es sinónimo de “concepción”, y está

relacionado con las acciones de los profesores; de esta manera, algunos autores como Pehkonen

(2006) asegura que un profesor o estudiante para profesor debe ser consciente de sus acciones y

debe reflexionar sobre ellas, pues cuando el individuo reflexiona sobre sus acciones se produce

aprendizaje; de tal auto-reflexión, la conciencia de las propias creencias y concepciones puede

surgir.

Sobre las convicciones, vamos a asumirlas como las creencias más profundas, menos cons-

cientes y difícilmente verbalizables, por esto solo se pueden inferir de acciones y decisiones que

parecen inexplicables desde la teoría explícita y los razonamientos válidos a nivel consciente.

Por lo tanto, dentro de este universo de las creencias (beliefs) vamos a distinguir entre las más

profundas que no son verbalizables e inconscientes, que llamaré convicciones, y las que son más

verbalizables y conscientes que denominaré concepciones. Por estas dificultades no entraré a ana-

lizar en este trabajo las convicciones más profundas, sino aquellas creencias que llamo “concep-

ciones”.


24

3.2 ANÁLISIS DIDÁCTICO

El concepto de derivada, al igual que el de límite, continuidad o integral no es un con-

cepto aislado, sino que aparece en Matemáticas ligado a otros conceptos. Aunque en

estos momentos la derivada se apoya en el concepto de límite, esto no fue así hasta tiem-

pos recientes; reflexionando y refinando ciertos conceptos es como sea llegado a la de-

finición actual. (Ortega y Sierra, 1998)

3.2.1 Organizadores del currículo

Se considerará la propuesta de los organizadores para el currículo de matemáticas (Rico, 1997b;

1998a), desarrollada por el Grupo de Investigación del grupo PNA (Pensamiento Numérico y Al-

gebraico) de la Universidad de Granada bajo la dirección del Profesor Luis Rico, quien manifiesta:

Cuando un profesor inicia la puesta en práctica de las directrices curriculares con un

grupo concreto de alumnos necesita tomar una serie de decisiones de carácter general.

Estas decisiones se concretan mediante criterios para la selección, secuenciación y or-

ganización de los contenidos; criterios para la organización, desarrollo y control del

trabajo en el aula; prioridades en el proceso de construcción del conocimiento y en la

asignación de significados por parte de los alumnos y, finalmente, criterios para valorar

los logros en el aprendizaje y para el tratamiento adecuado de los errores (Rico, 1997,

p. 39).

Así pues, cuando los profesores reflexionan acerca de las decisiones a tomar sobre la puesta en

práctica de directrices curriculares hay que establecer prioridades que afectan a los objetivos, los

contenidos, metodología y evaluación. Sin embargo, de acuerdo con Rico (1997), el grado de ge-

neralidad con que aparecen las componentes del objeto de enseñanza contrasta con la mayor pre-

cisión con que aparecen detallados los contenidos. Esto lleva a la necesidad de definir los organi-

zadores del currículo, definidos por Rico (1997) como “aquellos conocimientos que adoptamos

como componentes fundamentales para articular el diseño, desarrollo y evaluación de unidades

didácticas” (Rico, 1997, p. 39).

Ahora bien, un organizador debe ofrecer un marco conceptual para la enseñanza de las mate-

máticas, un espacio de reflexión que muestre la complejidad de los procesos de trasmisión y cons-

trucción del conocimiento matemático y unos criterios para abordar y controlar esa complejidad.

De esta manera, los organizadores deben tener una base disciplinar adecuada que permita su trata-

miento objetivo. Así pues, para la planificación de cada uno de los temas, además de las posibles

opciones matemáticas de organización para un tópico, resulta imprescindible tener en cuenta otros

aspectos a saber.

1. Los errores y dificultades detectados del aprendizaje de un concepto matemático.

2. La diversidad de representaciones utilizadas para cada concepto matemático junto con la mo-

delización matemática.

3. La fenomenología de los conocimientos implicados.


25

4. La diversidad de materiales de tipo manipulativo y los recursos que pueden emplearse en la

enseñanza de un concepto matemático.

5. La evolución histórica de cada campo e incluso de cada concepto (Rico, 1997, p. 47).

Por lo tanto, estas cinco perspectivas, junto con los contenidos propios, ofrecen la posibilidad de

realizar un análisis didáctico de cada uno de los temas del currículo de matemáticas, es decir, un

análisis de los contenidos de las matemáticas al servicio de la organización de la enseñanza en el

sistema educativo.

Ahora bien, para poder caracterizar las concepciones de dos profesores de matemáticas res-

pecto del concepto de la derivada, asumiré la perspectiva de Gómez (2002, 2007), dado que para

este autor al realizar el análisis de contenido de un concepto matemático se aborda el significado

de dicho concepto atendiendo a tres organizadores que se denominan: sistemas de representación,

estructura conceptual y fenomenología.

En los sistemas de representación se incluyen las diferentes maneras en las que se puede

representar el concepto y sus relaciones con otros conceptos.

En la estructura conceptual se incluyen las relaciones del concepto con otros conceptos,

atendiendo tanto a la estructura matemática de la que el concepto forma parte, como a la

estructura matemática que dicho concepto configura.

En la fenomenología se incluyen aquellos fenómenos (contextos, situaciones o problemas)

que pueden dar sentido al concepto.

De esta manera, sólo me concentraré en los tres organizadores del currículo mencionados anterior-

mente.

3.2.2 Análisis didáctico de contenido

El análisis didáctico es un constructo pluridisciplinar que consiste en “la descripción de la manera

‘ideal’ de realizar actividades de diseño curricular a nivel local” (Bedoya, 2002). Se caracteriza

como proceso y resultado de la articulación y concreción en la práctica de las competencias pro-

fesionales relacionadas con los conocimientos disciplinares, curriculares, epistemológicos, cogni-

tivos e instruccionales.

Bedoya (2002), basándose en Gómez & Rico (2002), denomina Análisis Didáctico el proceso

mediante el cual el educador (profesor o investigador) matemático, basándose en el Conocimiento

Didáctico de las Matemáticas, diseña, desarrolla y evalúa las actividades de planificación, desa-

rrollo e innovación curricular a nivel local. Así pues,

El análisis didáctico se centra en un contenido y un contexto determinados, con miras

tanto al diseño de actividades o unidades de enseñanza-aprendizaje, como al desarrollo

de proyectos curriculares o de investigación. Rico (1997a; 1998) y Segovia y Rico (2001),

proponen como elemento teórico y metodológico, mediador, articulador y facilitador de

este análisis, la noción de organizadores del currículo de matemáticas. (Bedoya, 2002)

Para Gómez (2002), el análisis didáctico es su propuesta de la manera como el profesor debe pla-

nificar una unidad didáctica (secuencia de actividades de aprendizaje): “en el análisis didáctico

registramos cuatro actividades que el profesor debe realizar para el diseño, puesta en práctica y


26

evaluación de actividades de enseñanza: análisis de contenido, análisis cognitivo, análisis de ins-

trucción y análisis de actuación” (Gómez, 2002, p. 3). El carácter local del análisis didáctico im-

plica que éste se realiza en una asignatura que se encuentra en marcha y que tiene definidos, en su

diseño curricular global, unos objetivos y unos contenidos.

Para efectos de la presente investigación, me centraré en el análisis de contenido que descri-

biré en el apartado siguiente y que se diferencia del análisis cognitivo ya que este consiste en la

revisión de las investigaciones didácticas sobre las dificultades y errores de los alumnos durante

el proceso de enseñanza y aprendizaje del contenido matemático en que se basan las secuencias de

actividades de aprendizaje. Por esta razón y para efectos de caracterizar las creencias, convicciones

y concepciones de dos profesores de matemáticas, el análisis de contenido me permite analizar y

describir dichas creencias con base en los tres organizadores del currículo: la estructura conceptual,

los sistemas de representación y la fenomenología o el análisis de los fenómenos que involucran

la derivada.

El análisis didáctico de contenido consiste en la descripción del contenido matemático en el

que se basa la unidad didáctica, desde la perspectiva de su estructura conceptual, los sistemas de

representación y la fenomenología propia del concepto matemático que se quiere estudiar.

Ahora bien, así como en 2002, Gómez (2007) vuelve a describir los tres organizadores del

currículo, los cuales presentaré más explícitamente a continuación. No obstante, realizaré en pri-

mer lugar un recorrido a través de la historia para poder realizar el análisis de contenido de la

derivada.

3.2.2.1 Algunos datos históricos

En este apartado presentaré las ideas clave de la historia para hacer el análisis didáctico de conte-

nido de la derivada, con el fin de explorar los diferentes desarrollos que se han dado en torno a

este concepto, para de esta manera, tener una idea clara del concepto de derivada tal como está en

los textos de cálculo que se utilizan actualmente en la enseñanza del Cálculo en las instituciones

de educación superior en la ciudad de Bogotá.

Como es bien sabido, uno de los primeros antecedentes del concepto de derivada que se en-

cuentra en la historia de las Matemáticas aparece desde la época antigua con las Cónicas de Apo-

lonio de Pérgamo (262 – 190 A.C.) En el libro II de este tratado se encuentra un estudio relativo a

las tangentes de una cónica y en el libro V un estudio sobre máximos y mínimos trazados sobre

tangentes y normales a una sección cónica. Pero es Arquímedes (287 – 212 A.C.) el precursor de

los métodos infinitesimales, y parece que fue precisamente la lectura de sus obras la que influyó

en el resurgimiento de esos métodos. Estos métodos adquirieron mucha atención, puesto que una

gran cantidad de cuestiones que surgen tras los trabajos de Galileo en mecánica, astronomía, ar-

quitectónicos y de navegación presentan retos similares.

A comienzos del siglo XVII, los matemáticos de la época se enfrentan al mismo tema de las

curvaturas y cuadraturas; así el inicio del cálculo radica en cuatro problemas que fueron solucio-

nados en gran parte, por Fermat y Descartes. No obstante, estos trabajos sirvieron como motivación

para Newton y Leibniz en la formulación del cálculo con los matices propios de cada autor. Estas

técnicas permitieron encontrar nuevas y diversas aplicaciones a las ciencias, pero a la vez, mostra-

ron inconsistencia en su fundamentación matemática, lo cual condujo a matemáticos, de finales


27

del siglo XVII, y los siglos XVIII y XIX, como Lagrange, Euler, los Bernoulli, entre otros, a tratar

de superar las dificultades referentes al desarrollo de la definición de la derivada.

Álvarez (2009) realiza un recorrido en la historia para determinar los aportes históricos del

cálculo. Este autor identifica cuatro problemas que dieron origen al desarrollo del cálculo. Esos

cuatro problemas los presento a continuación.

Primer problema: dada la posición de una partícula en función del tiempo, obtener la

velocidad y/o aceleración instantáneas, y dada la función de la velocidad o aceleración

de una partícula, obtener la posición o su velocidad (respectivamente). (p. 18)

El segundo problema consistía en obtener la recta tangente a una curva en un punto de

ella. (p. 18)

Tercer problema: Hallar puntos máximos y mínimos locales de una curva. (p. 22)

Cuarto problema: Encontrar longitudes de una curva, áreas acotadas por curvas y vo-

lúmenes acotados por superficies. (p. 22)

De igual forma, Ortega y Sierra (1998) realizan un análisis histórico de la derivada con el fin de

proponer algunas cuestiones para su enseñanza.

No obstante, a continuación presento un aporte a la derivada y la relacionada con la derivada

de Carathéodory.

3.2.2.2 La Derivada de Carathéodory

La derivada de Carathéodory (1873 – 1950) se basa en procesos de factorización y en el concepto

de función continua. Esta derivada ha sido utilizada para simplificar los procesos de demostración

de teoremas muy conocidos. La definición de derivada de Carathéodory permite pensar en una

nueva forma de presentar los cursos de cálculo. Especialmente, el punto fundamental a tener en

cuenta en un proceso de transposición didáctica es que esta definición de derivada es equivalente

a la definición de derivada de Frechet. En consecuencia el cálculo vectorial se puede desarrollar

con la definición de Carathéodory que contempla el caso vectorial y la ecuación que define la

derivada se puede interpretar como una ecuación matricial de la cual se obtiene la derivada.

Así, el problema de hallar la recta tangente a la curva de una función en un punto, se puede

traducir en determinar la pendiente de dicha recta, ya que se conoce un punto de la tangente (el

punto de tangencia). El determinar la pendiente de la recta tangente, en general, no es inmediato.

Sin embargo, puede hacerse un acercamiento por medio de las pendientes de las rectas secantes a

la curva de la función que pasen por dicho punto; lo cual incita a construir una función de pen-

dientes de las rectas secantes y a observar su comportamiento.

Por tanto, la definición de la derivada de Carathéodory es: sea 𝑓: 𝑈 → ℝ, donde 𝑈 es un

abierto, entonces 𝑓 es diferenciable en el sentido de Carathéodory si existe una función 𝜙𝑓: ℝ →

ℝ de modo que satisface que

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) = 𝜙𝑓(𝑥)(𝑥 − 𝑎), ∀𝑥 ∈ 𝑈

Donde 𝜙𝑓 f tiene las siguientes características: 𝜙𝑓 es la función de pendientes de rectas secan-

tes, es una función continua, 𝜙𝑓(𝑎) es el valor de la derivada de f en a, es decir 𝑓′𝑎 = 𝜙𝑓𝑎.


28

El estudio del concepto de la derivada según la definición de Carathéodory, ha tenido recien-

temente un florecimiento, gracias a la divulgación realizada por diferentes profesores, como Er-

nesto Acosta, Cesar Delgado y Stephen Kuhn (1992). Asimismo, Acosta y Delgado (1994) de-

muestran que la derivada de Carathéodory es equivalente a la derivada de Frechet. Este última se

introduce para tratar con funciones vectoriales. Desde el punto de vista de la transposición didác-

tica esto tendría profundas implicaciones en el currículo de las matemáticas universitarias. En el

texto de Marsden/Tromba se aproxima en la búsqueda de introducir la derivada de manera más

económica y más significativa para los estudiantes (ver el prefacio del texto “Cálculo vectorial”).

Sin embargo, y a pesar de ello, actualmente no se conoce un texto de cálculo diferencial en una

variable que mencione la definición de Carathéodory o haga un desarrollo teórico basado en dicha

definición.

Finalmente, antes de realizar el análisis didáctico de la derivada, presentaré una síntesis del

concepto de derivada de los autores Courant y Robbins (1941) la cual todavía se comparte, por

algunos autores, pero no por todos, como lo indica Thurston (1994). Este último autor presenta en

un artículo denominado “On proof and progress in mathematics” las distintas formas de entender

el concepto de la derivada y las cuales me permitirán interpretar y caracterizar las concepciones

de dos profesores de matemáticas.

3.2.2.3 El texto de Courant y Robbins

En el libro ¿Qué es la matemática?, Courant y Robbins (1941) presentan la derivada en dos di-

mensiones y describen los diferentes procesos y versiones que ha tenido la derivada hasta llegar a

la definición que se estudia actualmente en los cursos de cálculo diferencial. De esta manera, estos

dos autores presentan la derivada de dos formas, la derivada como pendiente y la derivada como

límite, las cuales muestro a continuación.

La derivada como pendiente. Fermat estaba interesado por el problema de encontrar los

máximos y mínimos de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥). En una función, un máximo corresponde a

una cúspide más alta que todos los demás puntos próximos, mientras un mínimo corres-

ponde al fondo de un valle situado por debajo de todos los puntos inmediatos. Para carac-

terizar los puntos máximos o mínimos es natural utilizar el concepto de tangente a una

curva. Supóngase que la curva no tiene puntos angulosos u otras singularidades, y que en

todo punto tiene dirección definida, dada por una recta tangente. En los puntos máximo o

mínimo la tangente a la gráfica de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) debe ser paralela al eje de las x, puesto

que de lo contrario, la curva ascendería o descendería en dichos puntos. (Ver figura 1).1

1 Figura tomada del libro de Courant & Robin (1941) ¿Qué es la matemática?


29

Figura 1. La derivada como pendiente

Para determinar la dirección de una recta en el plano es costumbre dar su pendiente, que es la

tangente trigonométrica del ángulo de la dirección del semieje positivo de las x con la recta. Por

pendiente de una curva en un punto P, se entiende que es la pendiente de la tangente a la curva en

P. Se acepta la tangente a una curva como un concepto matemático dado intuitivamente, el único

problema que se plantea es el de hallar un procedimiento para calcular la pendiente.

La derivada como límite. La pendiente de una curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃(𝑥, 𝑦) no puede

calcularse con referencia exclusiva a la curva en el punto P, sino que se debe recurrir a un

paso al límite, bastante análogo al utilizado para calcular el área bajo de una curva y este

paso al límite constituye la base del cálculo diferencial. En la figura 1 se muestra la pen-

diente a la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃(𝑥, 𝑦). (Ver figura 2).2

2 Figura tomada de http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//2000/2002/html/3_in-

terpretacin_geomtrica_de_la_derivada.html

http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/2000/2002/html/3_interpretacin_geomtrica_de_la_derivada.html

http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/2000/2002/html/3_interpretacin_geomtrica_de_la_derivada.html


30

Figura 2. La derivada como límite en la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃(𝑥, 𝑦)

Considérese en la curva otro punto 𝑃1 próximo al P, de coordenadas (𝑥1, 𝑦1). Sea 𝑡1 la recta que

une a P con 𝑃1; es una recta secante de la curva que se aproxima a la tangente a la curva en P

cuando 𝑃1 está muy próximo a P.

Sea 𝛼1 el ángulo que forma 𝑡1 con el eje x si se hace tender ahora 𝑥1 a 𝑥, 𝑃1 se moverá a lo

largo de la curva hacia P y la secante 𝑡1 tenderá como posición límite, a la tangente t en el punto

P de la curva.

Si se designa por 𝛼 el ángulo que forma t con el eje x, al tender 𝑥1 a 𝑥∗, resulta 𝑦1 ⟶ 𝑦; 𝑃1 ⟶𝑃; 𝑡1 ⟶ 𝑡; 𝛼1 ⟶ 𝛼. La tangente es el límite de la secante y la pendiente de la tangente es el

límite de la pendiente de la secante. Por lo tanto, la pendiente se define como 𝑡1 =𝑦1−𝑦

𝑥1−𝑥=

𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥)

𝑥1−𝑥⇒ 𝑡1 =

Δ𝑦

Δ𝑥=

Δ𝑓(𝑥)

Δ𝑥

La pendiente de la secante 𝑡1 es un “cociente de diferencias”, o sea la pendiente 𝑡1 =

límite pendiente 𝑡1 = lim𝑥1⟶𝑥


𝑥1−𝑥= lim

Δ𝑥⟶0

Δ𝑦

Δ𝑥.

La pendiente de la tangente t a la curva es el límite del cociente de diferencias Δ𝑦

Δ𝑥 cuando Δ𝑥

tiende a cero. La función dada 𝑓(𝑥) proporciona la altura de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) para el valor x. Se

puede considerar ahora la pendiente de la curva en un punto variable P de coordenadas (𝑥, 𝑦) como

una nueva función de x, que se representará por 𝑓′(𝑥) y se denominará derivada de la función

𝑓(𝑥). Se nomina derivación de 𝑓(𝑥) al paso al límite mediante el cual se le ha obtenido. Este proceso

es una operación que asocia a una función dada 𝑓(𝑥) otra función 𝑓′(𝑥) de acuerdo con una regla

definida, exactamente igual que la función 𝑓(𝑥) viene definida por una regla que atribuye a un

valor cualquiera de la variable x el valor de 𝑓(𝑥), de esta manera 𝑓(𝑥) = altura de la curva 𝑦 =𝑓(𝑥) en el punto 𝑥 y por tanto𝑓′(𝑥) es la pendiente de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑥.


31

La derivada 𝑓′(𝑥) es pues, el límite del cociente de la diferencia 𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥) por la diferen-

cia 𝑥1 − 𝑥. Esto significa que 𝑓′(𝑥) = lim𝑥1⟶𝑥


𝑥1−𝑥. Otra notación, a menudo útil es 𝑓′(𝑥) =

𝐷𝑓(𝑥) donde D es la abreviatura de “derivada de”.

Si se recorre la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en la dirección que corresponde a valores crecientes de x, la

derivada positiva 𝑓′(𝑥) > 0 en un punto significa que la curva se eleva (el valor de y aumenta) y

al contrario, una derivada negativa 𝑓′(𝑥) < 0 que quiere decir que la curva desciende mientras

que 𝑓′(𝑥) = 0 significa que para ese valor de x la curva tiene una dirección horizontal.

En un máximo o mínimo la pendiente debe ser igual a cero. De ahí que resolviendo la ecuación

𝑓′(𝑥) = 0 respecto de x se puede determinar la posición de los máximos y mínimos como lo hizo

Fermat por primera vez. En la figura 33 se muestran algunos puntos máximos y mínimos de una

función 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Figura 3. Puntos máximos y mínimos de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥)

3.2.2.4 Las acepciones de Thurston

William Thurston (1994) afirma que las personas entienden un tema particular de las matemáticas

de distintas formas. Así, podemos asimilar estas distintas formas como concepciones diversas.

Para ejemplificar, el autor utiliza la derivada para evidenciar este hecho, puesto que la derivada se

puede pensar de las siguientes formas.

1. Infinitesimal: La derivada como la razón del cambio infinitesimal en el argumento de la fun-

ción y el cambio infinitesimal en la función.

2. Simbólica: La derivada de 𝑥𝑛 es 𝑛𝑥𝑛−1, la derivada de sen 𝑥 es cos 𝑥, la derivada de la función

compuesta (𝑓 ∘ 𝑔) es 𝑓′ ∘ 𝑔 ∗ 𝑔′, etc.

3 Figura tomada de http://enciclopedia.us.es/index.php/Derivada

http://enciclopedia.us.es/index.php/Derivada


32

3. Lógica: 𝑓′(𝑥) = 𝑑 si y sólo si para cada 휀 existe un 𝛿 tal que cuando 0 < ∆𝑥 < 𝛿 entonces

|[𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)]

∆𝑥− 𝑑| < 휀

4. Geométrica: La derivada es la pendiente de la línea tangente a la gráfica de una función, si la

gráfica tiene tangente.

5. Tasa (Rate): La velocidad instantánea de 𝑓(𝑡), t es el tiempo.

6. Aproximación: La derivada de la función es la mejor aproximación lineal a la función cerca de

un punto.

7. Microscópica: La derivada de una función es el límite que usted toma observando la función

en un punto con un microscopio y haciendo acercamientos (zoom in) en dicho punto.

Podemos decir, de acuerdo con lo presentado en los antecedentes históricos, que la concepción de

la derivada como aproximación coincide con la derivada de Carathéodory. No obstante, para este

estudio no consideré todas las relaciones con las derivadas de espacios vectoriales infinitos, dado

que esto no tiene mucha relación con la enseñanza del cálculo diferencial e integral en una variable.

3.2.3 Análisis de contenido de la derivada

El análisis de contenido de la derivada permite construir una descripción de este contenido desde

la perspectiva didáctica. En palabras de Gómez (2000)

Con este análisis el profesor busca producir una descripción estructurada y sistemática

del contenido matemático desde la perspectiva didáctica. Para ello, él debe construir la

estructura conceptual de este contenido, en la que sea posible identificar los conceptos y

procedimientos involucrados, junto con los sistemas de representación que permiten re-

ferirse a esos conceptos y procedimientos. Adicionalmente, el profesor debe realizar un

análisis fenomenológico que le permita identificar los fenómenos naturales, sociales y

matemáticos que pueden ser modelizados por subestructuras matemáticas contenidas en

la estructura anterior. (Gómez, 2000, p. 3)

De igual forma, Gómez (2007) aduce que el análisis de contenido es “el procedimiento en virtud

del cual el profesor puede identificar, organizar y seleccionar los significados de un concepto o

estructura matemática dentro del contenido de las matemáticas escolares”. En otras palabras, el

análisis de contenido es un análisis de las matemáticas escolares y su propósito es la descripción

de la estructura matemática desde la perspectiva de su enseñanza y aprendizaje en el aula. En este

análisis, se consideran tres organizadores del currículo: la estructura conceptual, los sistemas de

representación, y la fenomenología del tema matemático de la derivada.

3.2.3.1 Estructura conceptual

La estructura conceptual es la descripción, a nivel de conceptos y relaciones entre ellos, de la

estructura matemática de un tema de las matemáticas escolares. La construcción de la estructura

conceptual es un proceso que se inicia con la identificación de los conceptos y algunas de sus

relaciones pero que se desarrolla en la medida en que se tienen en cuenta los sistemas de represen-

tación, los modelos y los fenómenos asociados.


33

De acuerdo con Rico (1995), “los conceptos son aquello con lo que pensamos y, según su

mayor o menor concreción, podemos distinguir tres niveles de conocimientos en el campo con-

ceptual” (Rico, 1995, p. 11). Por lo tanto, se consideran los conceptos como una serie de unidades

de información que están conectados entre sí mediante una multiplicidad de relaciones. Usual-

mente, todo concepto admite una o varias representaciones de carácter gráfico o simbólico. (Rico,

1995, p. 14).

De otra parte, los conceptos no constituyen unidades aisladas de información, ya que entre

ellos se puede establecer una gran riqueza de relaciones que forman auténticas redes conceptuales.

En palabras de Rico “las relaciones entre conceptos dan lugar a nuevas estructuras, en las que cada

uno de los conceptos que la forman queda caracterizado por las relaciones que mantiene con el

resto” (1995, p. 14).

No obstante, con el fin de lograr el objetivo de la presente investigación, realicé la construc-

ción de la estructura conceptual de la derivada basándome en los planteamientos realizados por

Thurston (1994) sobre las diferentes formas de pensar o concebir los objetivos matemáticos, espe-

cialmente, la derivada; aunque, esta decisión me apartó de los planteamientos realizados por los

autores Rico (1997), Gómez (2002, 2007) y Bedoya (2002) sobre la estructura conceptual de un

contenido matemático. Sin embargo, al realizar la estructura conceptual de la derivada, de acuerdo

con lo propuesto por Thurston (1994), me permitió contemplar e incluir diversas formas de con-

cebir la derivada con el fin de caracterizar las diferentes creencias y concepciones de los profesores

objeto de estudio en esta investigación.

De esta manera, después de realizar la revisión histórica del concepto de la derivada, y de

estudiar la propuesta de Thurston (1994) pude considerar trece formas distintas de acepción de la

derivada. Estas trece formas corresponden a la derivada infinitesimal, la simbólica, la lógica, la

geométrica, la tasa, la aproximación, la microscópica (Thurston, 1994), además, la derivada alge-

braica, la derivada analítica, la derivada intuitiva, la derivada como razón de cambio, la derivada

como máximos y mínimos. Esta última definición de derivada como máximos y mínimos es utili-

zada por Pino-Fan, Castro, Godino, Vicenç (2013) en su trabajo sobre el significado epistémico

global de la derivada y los niveles de generalización. Finalmente, está la derivada como esa función

que asigna a cada punto de un conjunto A, el valor correspondiente a la pendiente de la recta

tangente. Estas trece formas de concebir la derivada las presento en la figura 4 y en la tabla 1 las

despliego como texto horizontal.


34

Tabla 1

Diferentes formas de concebir la derivada

Concepción Acción Notación

Infinitesimal Razón de cambio (Δ𝑦

Δ𝑥)

Simbólica Cambiar un símbolo por

otro.

(𝑥𝑛)′ = 𝑛𝑥𝑛−1 (𝑘𝑓)′ = 𝑘𝑓′

(𝑓 + 𝑔)′ = 𝑓′ + 𝑔′ (𝑘𝑓)′ = 𝑘𝑓′

(𝑓 ∙ 𝑔)′ = 𝑓′ ∙ 𝑔 + 𝑔′ ∙ 𝑓

(𝑓

𝑔)

′

=𝑓′ ∙ 𝑔 − 𝑓 ∙ 𝑔′

𝑔2

(𝑓(𝑔(𝑥)))′

= 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)

Lógica Rigor de escritura ∀휀 > 0, ∃𝛿 > 0|𝑓′(𝑥) = 𝛿

↔ |[𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)]

∆𝑥− 𝛿| < 휀

Geométrica Calcular la pendiente de

la recta tangente. 𝑀 = tan 𝛼

Tasa (Rate) Velocidad instantánea lim𝑡→𝑡1

𝑓(𝑡1) − 𝑓(𝑡)

𝑡1 − 𝑡

Aproximación (Deri-

vada de Cara-

théodory)

Continuidad de la función

de pendientes de las rec-

tas secantes ancladas en

un punto

Mejor aproximación lineal de la

función

Microscópica Dinámica Límite haciendo zoom en la

función

Algebraica Cociente diferencial 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Analítica Límite del cociente dife-

rencial limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Intuitiva: Rectas secantes. Límite de rectas secantes

Razón de cambio Razón de cambio prome-

dio

Razón de cambio instantánea

Máximos y mínimos Trazado de curvas Problemas de máximos y míni-

mos

Función Una función que asigna al argumento el valor de la pen-

diente de la recta tangente.


38

Razón

Cambio

Tasa/Rate AproximaciónGeométrica Algebraica AnalíticaInfinitesimal Lógica

Dinámica

MicroscópicaSimbólica

Cambiar un símbolo

por otro

Rigor de la

escritura

Pendiente de la

recta tangente

Velocidad

instantánea

Derivada de

Caratheodory

La mejor

aproximación

lineal de la

función en un

punto

M = tan α

Límite del

cociente

diferencial

Límite

haciendo zoom

in en la función

Intuitiva

Rectas secantes

Razón de

cambio

Razón de

cambio

promedio

Razón de

cambio

instantánea

El límite de

rectas secantes

Máximos y

mínimos

Trazado de

curvas

La definición

de Newton

Problemas de

máximos y

mínimos

Función

DERIVADA

A cada punto

del dominio le

asigna un valor

que es la

pendiente de la

recta tangente

Figura 4. Estructura conceptual de la derivada (Elaboración propia)


39

3.2.3.2 Sistemas de Representación

Los sistemas de representación se refieren a los sistemas de signos por medio de los cuales se

designa un concepto. La importancia de los sistemas de representación en el análisis de contenido

radica en que:

los sistemas de representación organizan los símbolos mediante los que se hacen presentes

los conceptos matemáticos;

los distintos sistemas de representación aportan distintos significados para cada concepto;

y, por lo tanto,

un mismo concepto admite y necesita de varios sistemas de representación complementa-

rios.

Las representaciones ofrecen signos o figuras que actúan como expresiones del concepto matemá-

tico sobre los que manipular propiedades y operaciones matemáticas. Como el conocimiento ma-

temático escolar tiene una estructura sistémica (objetos, relaciones, operaciones y propiedades),

entonces las representaciones matemáticas heredan este carácter sistémico. Por eso, se habla de

sistemas de representación (Rico, 20004; Castro & Castro, 19975).

Para el estudio de los sistemas de representación se tiene en cuenta la clasificación de los

diferentes tipos de representación en internos y externos (Duval, 19996; Castro & Castro, 1997):

Las representaciones internas, también denominadas representaciones mentales, “son las que per-

miten mirar el objeto en ausencia total del significante perceptible” (Duval, 1999, p. 35), y las

representaciones externas son las producidas de forma visible y observable por el sujeto con el

ánimo de comunicar (Duval, 1999; Castro & Castro, 1997).

La clasificación de las representaciones en internas y externas, aunque opuestas, están fuerte-

mente relacionadas: las representaciones externas cumplen con una doble función, la primera de

comunicar las representaciones mentales del individuo haciéndolas accesibles a los demás, y la

segunda es la labor que desempeña en la creación de las representaciones mentales (Duval, 1999,

p. 33). Como afirman Castro & Castro (1997, p. 101) las representaciones externas “actúan como

estímulo para los sentidos en los procesos de construcción de nuevas estructuras mentales”.

Para observar qué tanto aportan y movilizan los sistemas de representación en el aprendizaje

de un concepto, es necesario distinguir el concepto de sus representaciones externas, aunque se

cree que estas últimas son elementos fundamentales para la comprensión del concepto. Hitt

(1998)7, basándose en Duval (1996), sostiene que “para diferenciar un objeto matemático de su

representación es necesario que el estudiante represente ese objeto matemático, al menos de dos

4 Rico, L. (2000). Sobre las nociones de representación y comprensión en la investigación en educación matemática. Versión para el Seminario

sobre Representación y Comprensión en el IV Simposio de la SEIEM. Granada: Universidad de Granada. Disponible en Internet en:

http//www.ugr.es/~seiem/Actas/Huelva/IndiceIV.htm 5 Castro, E. y Castro, E. (1997). Representaciones y Modelización. En: Rico, L. La Educación Matemática en la Enseñanza Secundaria. Barcelona:

ICE-Horsori. p. 95-124.

6 Duval, R. (1999). Registros de representación, comprensión y aprendizaje. En Semiosis y pensamiento humano. Santiago de Cali: Universidad del Valle. p. 25-79.

7 Hitt, F. (1998). Visualización matemática, representaciones, nuevas tecnologías y currículo. En: Educación Matemática. Vol.10.No.2. (Agosto

1998). p. 23-45.


40

maneras diferentes” (Hitt, 1998, p. 23). Por otro lado, una representación de un concepto matemá-

tico no lo agota, sino que sólo pone de manifiesto algunas de sus propiedades relevantes. Esto

implica que cada concepto matemático requiere para su cabal comprensión el empleo articulado

de más de un sistema de representación (Duval, 1999; Hitt, 1998; Castro & Castro, 1997).

Al reconocer la importancia de usar diferentes sistemas de representación en la enseñanza y

aprendizaje de un concepto matemático es fundamental coordinar el trabajo de forma significativa

y coherente con el fin de aprovechar y resaltar lo que cada sistema caracteriza del concepto, ya que

como afirman Castro & Castro (1997, p. 103 – 104): “no hay un único sistema capaz de agotar en

su totalidad la complejidad de relaciones que cada concepto encierra” y los usos simultáneos y no

controlados de los sistemas de representación pueden crear problemas y dificultades en el apren-

dizaje de los conceptos. Duval (1999) sostiene que la transformación (traducción)* de representa-

ciones producidas en un sistema de representación en otro sistema, de manera tal que estas últimas

permitan explicitar otras significaciones relativas a aquello que es representado.

Entre los sistemas de representación externos y matizando este término de acuerdo con sus

trabajos e investigaciones (Bedoya, 2002; Duval, 1999; Castro & Castro, 1997; etc.) encontramos

lo siguiente.

1. El manejo de los sistemas de representación depende del nivel de competencia de los profeso-

res y alumnos para usar las diferentes representaciones.

2. Es fundamental para llevar a cabo el trabajo en el aula, no abusar de las potencialidades que

ofrece a cada concepto los sistemas de representación ya que sus usos simultáneos y no con-

trolados pueden crear problemas y dificultades en el aprendizaje.

3. El docente debe tener cuidado con el papel que asigna a las representaciones icónicas en el

proceso de enseñanza ya que

la creencia de que las representaciones icónicas son más naturales pueden inducir a su

utilización acrítica para representar estructuras conceptuales complejas y para las que

los alumnos no estén intelectualmente preparados, lo que llevará a un fracaso del apren-

dizaje pretendido (Castro & Castro, 1997, p. 104)

y por ende del proceso de enseñanza implementado.

En la Didáctica de las Matemáticas se empieza a reflexionar y a hacer uso sistemático de la noción

de representación a partir de la década de los 80. Rico (2000) caracteriza esta noción de un modo

práctico para la Educación Matemática del siguiente modo:

Las representaciones matemáticas se han entendido, desde entonces, en sentido amplio,

como todas aquellas herramientas –signos o gráficos- que hacen presentes los conceptos

y procedimientos matemáticos y con las cuales los sujetos abordan e interactúan con el

conocimiento matemático, es decir, registran y comunican sus conocimientos sobre las

*La conversión (traducción) es transformar la representación de un objeto en una representación del mismo objeto en otro registro (Duval, 1999,

p.44)


41

matemáticas. Mediante el trabajo con las representaciones las personas asignan signifi-

cados y comprenden las estructuras matemáticas (Rico, 2000).

Desde una perspectiva cognitiva, la representación de un concepto matemático lo hace presente

mediante un sistema de tipos de signos semióticos específicos y convencionales lo cual implica

que cada estructura matemática o concepto requiere para su cabal comprensión del empleo articu-

lado de más de un sistema de representación. Sin embargo:

No es usual considerar cuales son los aspectos y propiedades de un concepto o estructura

matemática que se destacan mediante cada tipo de representación. Cada uno de los mo-

dos de representación, junto con las reglas que los acompañan, propone una caracteri-

zación distinta del correspondiente concepto. Identificar los conceptos con cualquiera de

sus representaciones es una simplificación escolar, inadecuada para la investigación en

Educación Matemática. Por ello se deben diferenciar varios tipos de representación en

cada concepto (Rico, 2000, p. 8).

De otra parte, Duval (2004) precisa que “la utilización de representaciones semióticas es primor-

dial para la actividad matemática y para serle intrínseca”. En este sentido, los tratamientos mate-

máticos no pueden llevare a cabo prescindiendo de un sistema semiótico de representación.

Según Duval (1998), un sistema semiótico puede ser un registro de representación, si permite

tres actividades cognitivas relacionadas con la semiósis. Estas actividades cognitivas se presentan

a continuación.

- La presencia de una representación identificable.

- El tratamiento de una representación que es la transformación de la representación

dentro del ismo registro donde ha sido formulada.

- La conversión de una representación que es la transformación de la representación

en otra representación de otro registro en la que se conserva la totalidad o parte del

significado de la representación inicial (Duval, 1998).

Si se produce un cambio del registro semiótico también se modifica la representación semiótica,

en cambio si se produce un cambio de representación semiótica no necesariamente cambia el re-

gistro

Distintas representaciones semióticas del concepto de la derivada. Para poder caracterizar las di-

ferentes creencias y concepciones que tienen dos profesores de matemáticas sobre la derivada, voy

a utilizar cuatro registros semióticos: el simbólico, el verbal oral, el verbal escrito, y el gráfico

junto con sus representaciones semióticas que presento a continuación. Asimismo, designaré por

𝑅𝑛 al registro semiótico n-ésimo con n=1, 2, 3,…, y designaré por 𝑟𝑖𝑛(𝐴) a la representación se-

miótica i-ésima (i=1, 2, 3,…) de un objeto A en el registro semiótico 𝑅𝑛.

1. Registro semiótico 𝑟1: lenguaje simbólico

Representación semiótica 𝑟11 =

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ (Definición algebraica)

Representación semiótica 𝑟21 =

𝑑𝑓

𝑑𝑥 (Notación de Leibniz)


42

Representación semiótica 𝑟31 = lim

ℎ⟶0


ℎ (Definición Analítica)

Representación semiótica 𝑟41: 𝑦 = 𝑥𝑛 ⇒ 𝑦′ = 𝑛𝑥𝑛−1 (Definición Simbólica)

Representación semiótica 𝑟51: 𝑚 = tan 𝛼 (Definición Geométrica)

Representación semiótica 𝑟61: 𝑚 = 𝑓′(𝑥) (Definición Funcional)

2. Registro semiótico 𝑅2: lenguaje verbal escrito

Representación semiótica 𝑟12: la derivada es la pendiente de la recta tangente (Definición

geométrica)

Representación semiótica 𝑟22: la derivada es una razón de cambio instantánea (Definición

como razón de cambio)

Representación semiótica 𝑟32: la derivada es el límite del cociente diferencial (Definición

analítica)

3. Registro semiótico 𝑅3: lenguaje gráfico

Representación semiótica 𝑟13: Representación cartesiana de la recta secante (Definición in-

tuitiva) (Ver figura 5).8

Figura 5. Representación cartesiana de la recta secante de una función

8 Figura tomada de http://limitesudea.blogspot.com.co/2015/08/nocion-intuitiva-de-limite.html

http://limitesudea.blogspot.com.co/2015/08/nocion-intuitiva-de-limite.html


43

Representación semiótica 𝑟23 Representación cartesiana de la derivada como la pendiente

de la recta tangente (Definición geométrica) (Ver Figura 6). 9

Figura 6. Representación cartesiana de la derivada como la pendiente de la recta tangente

4 Registro semiótico 𝑅4: verbal oral

Representación semiótica 𝑟14: Los gestos (la cinésica se encarga del estudio del significado

expresivo de los gestos y de los movimientos corporales que acompañan los actos lingüís-

ticos, (Rae, 2016)).

Representación semiótica 𝑟24: Parte tonal (La prosodia se encarga del estudio de los rasgos

fónicos que afectan a la métrica, especialmente de los acentos y de la cantidad (Rae, 2016)).

3.2.3.3 Fenomenología

La fenomenología es la dimensión con la que se organizan los significados de un concepto en las

matemáticas escolares. La consideración de la fenomenología como elemento constitutivo del sig-

nificado de un concepto surge de una visión funcional del currículo, en virtud de la cual los senti-

dos en los que se usa un término conceptual matemático también incluyen los fenómenos que

sustentan el concepto.

En la disciplina de la educación matemática, la noción de fenomenología adquirió una parti-

cular relevancia con motivo de los trabajos de Freudenthal. Freudenthal (1983) define fenomeno-

logía y fenomenología didáctica de la siguiente manera:

La fenomenología de un concepto matemático, estructura o idea consiste en describirlo

en relación con los fenómenos para los que fue creado y con aquellos a los que se exten-

dió en el proceso de aprendizaje de la humanidad. Cuando esta descripción tiene que ver

9 Figura tomada de http://campusdematematicas.com/calculo-infinitesimal/significado-geometrico-de-la-

derivada-de-una-funcion/

http://campusdematematicas.com/calculo-infinitesimal/significado-geometrico-de-la-derivada-de-una-funcion/

http://campusdematematicas.com/calculo-infinitesimal/significado-geometrico-de-la-derivada-de-una-funcion/


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con el proceso de aprendizaje de una generación joven, es entonces fenomenología di-

dáctica: una manera de mostrarle al profesor aquellos lugares en los que los aprendices

pueden involucrarse en el proceso de aprendizaje de la humanidad (Freudenthal, 1983,

p. ix).

Puig (1997) utiliza el término análisis fenomenológico, en el contexto del análisis didáctico, de la

siguiente manera.

El análisis fenomenológico de un concepto o de una estructura matemática consiste en-

tonces en describir cuáles son los fenómenos para los que es el medio de organización y

qué relación tiene el concepto o la estructura con esos fenómenos (Puig, 1997, p. 63):

Por su parte, Segovia y Rico (2001) distinguen entre fenomenología (como una agrupación de

fenómenos) y análisis fenomenológico (como la descripción de esos fenómenos y su relación con

el concepto) y resaltan que los conceptos organizan y también describen los fenómenos.

La fenomenología de un concepto matemático la componen los fenómenos para los cua-

les dicho concepto constituye un medio de representación y organización… Un análisis

fenomenológico consiste en describir fenómenos asociados a los conceptos matemáticos

así como la relación que existe entre ellos (Segovia y Rico, 2001, p. 89).

Entonces, el análisis fenomenológico de una estructura matemática implica la identificación de:

1. Las subestructuras correspondientes a esa estructura.

2. Los fenómenos organizados por cada una de ellas.

3. La relación entre subestructuras y fenómenos.

De esta manera, dentro de los fenómenos asociados al concepto de la derivada se encuentran el

movimiento de una partícula, el fenómeno de la caída libre, en la geometría el área y el volumen

de una esfera, la catenaria, en la economía se encuentra el costo marginal, el ingreso marginal

Movimiento de una partícula. Si una partícula se mueve siguiendo una trayectoria rectilínea, su

movimiento está completamente descrito dando la posición x para un tiempo cualquiera t como

una función 𝑥 = 𝑓(𝑡). Se define un “movimiento uniforme” de velocidad constante b a lo largo

del eje x mediante una función lineal 𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑡 donde a es la abscisa de la partícula en 𝑡 = 0. En el plano, el movimiento de una partícula queda descrito por dos funciones 𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 =

𝑔(𝑡) que determinan las coordenadas en función del tiempo. En particular, un movimiento uni-

forme corresponde a un par de funciones lineales 𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑡; 𝑦 = 𝑐 + 𝑑𝑡 donde b, d son las dos

“componentes” de la velocidad constante y a, c las coordenadas de la partícula en el instante 𝑡 =0, la trayectoria de la partícula es una recta de ecuación (𝑥 − 𝑎)𝑑 − (𝑦 − 𝑐)𝑏 = 0. Que se obtiene

por eliminación de t entre las dos ecuaciones anteriores.

Si una partícula se mueve en el plano vertical (𝑥, 𝑦) exclusivamente sometido a la acción de

la gravedad, su movimiento está determinado por las ecuaciones 𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑡; 𝑦 = 𝑐 + 𝑑𝑡 −1

2𝑔𝑡2.

Donde a, b, c, d son constantes que dependen del estado inicial de la partícula y g la aceleración

debida a la gravedad.


45

Si una partícula se mueve a lo largo de una curva del plano (como un tren sobre la vía) su

movimiento puede describirse dando la longitud del arco s, medida a partir de un punto inicial P0,

hasta la posición P de la partícula en el instante t como función de t (𝑠 = 𝑓(𝑡)).

El propósito principal de Newton fue el de determinar la velocidad en un movimiento No

uniforme. Para mayor sencillez considérese el movimiento de una partícula sobre una recta, defi-

niendo la función 𝑥 = 𝑓(𝑡). Si el movimiento fuera uniforme, con velocidad constante, podría

hallarse la velocidad tomando dos valores t y t1 del tiempo y los correspondientes valores de 𝑥 =

𝑓(𝑡) y 𝑥1 = 𝑓(𝑡1) y tomando el cociente 𝑣 = velocidad=distancia

tiempo=

𝑥1−𝑥

𝑡1−𝑡=

𝑓(𝑡1)−𝑓(𝑡)

𝑡1−𝑡. Decir que la

velocidad del móvil es constante equivale simplemente a que el cociente de diferencias 𝑓(𝑡1)−𝑓(𝑡)

𝑡1−𝑡

es el mismo para todo los valores de t y t1.

Pero cuando el movimiento no es uniforme, el cociente anterior no da la velocidad en el ins-

tante t sino la velocidad media durante el intervalo de tiempo de t a t1.

Para obtener la velocidad en el instante preciso t debemos hallar el límite de la velocidad

media cuanto t1 tiende a t velocidad en el instante t = lim𝑡1⟶𝑡

𝑓(𝑡1)−𝑓(𝑡)

𝑡1−𝑡= 𝑓′(𝑡). En otras palabras la

velocidad es la derivada de la distancia respecto al tiempo.

Se denomina Aceleración a la variación de la velocidad. Es simplemente la segunda derivada

que se representa generalmente por 𝑓′′(𝑡) y se denomina Segunda derivada de 𝑓(𝑡).

Caída libre. Galileo dio el gran paso y se planteó el problema desde la experiencia; no sabemos si

éste realmente dejó caer desde la torre inclinada de Pisa dos cuerpos de distinto peso para ver que

llegaban a la vez; quizás se trate de una simple leyenda, pero el experimento ha pasado a la historia

como uno de los más cruciales de la Física. Galileo observó que para un cuerpo que cae libremente

la distancia vertical que recorre durante el tiempo t está dado por la fórmula 𝑥 = 𝑓(𝑡) =1

2𝑔𝑡2, donde g es la constante de gravitación. Por lo tanto, la velocidad con que cae el cuerpo está

dado por 𝑣 = 𝑓′(𝑡) = 𝑔𝑡. Y la aceleración 𝑎 = 𝑣′(𝑡) = 𝑓′′(𝑡) = 𝑔, que es una constante.

Geometría. Geométricamente, el área del círculo dado por la fórmula A(𝑟) = 𝜋𝑟2, y cuya derivada

representa la longitud de la circunferencia 𝐴′(𝑟) = 2𝜋𝑟. Así como el volumen de la esfera dado

por V(𝑟) =4

3𝜋𝑟3, y cuya derivada es el área de la superficie de la misma 𝑉′(𝑟) = 4𝜋𝑟2.

La catenaria es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por

sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la gravedad. En sentido estricto, no es una

curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de

sus extremos (𝑥0, 𝑦0), (𝑥1, 𝑦1) y por su longitud L. De hecho, Galileo creyó que las catenarias eran

parábolas, pero no lo son. Llamemos 𝑦(𝑥) a la función que estamos buscando, definida sobre un

intervalo [𝑥0, 𝑥1] y sujeta a las condiciones iniciales 𝑦(𝑥0) = 𝑦0; 𝑦(𝑥1) = 𝑦1. Además exigimos

que su longitud sea igual a un valor prefijado L, es decir, que ∫ √1 + 𝑦′(𝑥)2𝑑𝑥𝑥1

𝑥0

Más en general, consideramos la longitud de arco 𝑠: [𝑥0, 𝑥1] → [0, 𝐿] dada por 𝑠(𝑥) =

∫ √1 + 𝑦′(𝑥)2𝑑𝑥𝑥1

𝑥0 que es una función creciente, derivable.


46

Aplicaciones a la economía. Existen varios fenómenos económicos que requieren de la derivada

para su uso y comprensión. Entre estos fenómenos se encuentra el costo marginal el cual se define

como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es

decir, es el costo de producir una unidad adicional. Para hallar el costo marginal se debe derivar la

función del costo total. Asimismo, está el ingreso marginal que se interpreta como el ingreso apro-

ximado recibido al vender una unidad adicional de producción. También se puede describir como

el ingreso unitario generado por el último elemento vendido de la empresa. En este sentido, el

ingreso marginal indica la rapidez a la que cambia el ingreso con respecto a las unidades vendidas.

Por lo tanto, el ingreso marginal es la derivada de la función ingreso total con respecto a la canti-

dad.


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4. ANALIZANDO LOS CASOS

En este capítulo se presenta el análisis de las concepciones y creencias de los dos profesores

de matemáticas. Para esto, se presentará por separado cada uno de los dos casos y luego se

compararán las distintas concepciones y creencias con el fin de describir similitudes y di-

ferencias entre las mismas.

4.1 EL MATEMÁTICO

En este apartado se describirá el modelo de formación de un matemático en Colombia y se anali-

zarán sus diferentes concepciones y creencias sobre el objeto matemático de la derivada con base

en el resultado de las entrevistas, planeaciones de clase y evaluaciones realizadas por el profesor

de matemáticas.

4.1.1 Modelo de formación profesional

De acuerdo con el Sistema Nacional de Información de la Educación Superior – SNIES, a diciem-

bre de 2015 existían en Colombia 20 programas activos de pregrado en Matemáticas, un programa

de Matemáticas con Énfasis en Estadística ofertado por la Universidad del Tolima y un programa

de Matemática Aplicada que ofrece la Universidad Surcolombiana. De los 20 programas académi-

cos de Matemáticas, la mitad son ofertados por universidades oficiales y la otra mitad por univer-

sidades privadas. Vale la pena mencionar que para la presente investigación, sólo tuve en cuenta

aquellos programas académicos de pregrado que tuvieran modalidad presencial.

Al analizar el pensum del programa de Matemáticas de las distintas universidades, encuentro

que todos los programas coinciden con ofrecer un ciclo básico de formación. Este ciclo básico va

desde el primer semestre hasta el cuarto semestre. En estos períodos académicos los estudiantes

de matemáticas cursan materias relacionadas con Matemáticas Fundamentales (Introducción al

Cálculo en algunos programas), Cálculo Diferencial (Cálculo I), Cálculo Integral (Cálculo II),

Cálculo Vectorial (Cálculo III), Ecuaciones Diferenciales, Álgebra Lineal, Estadística y Probabi-

lidad. Además, los estudiantes deben tomar cursos de Física I, II con sus respectivos Laboratorios

de Física, Lógica, Geometría Euclidiana, Geometría Analítica, Geometría Vectorial y Fundamen-

tos de Programación (Algoritmia y Programación en algunos programas). Usualmente, estos cur-

sos también son tomados por los estudiantes de ingeniería, física, química, biología y algunos

estudiantes de las ciencias económicas. Existen algunos cursos de Español o Taller de Lenguaje y

electivas de Humanidades que deben tomar los estudiantes en este primer ciclo.


48

Una vez finalizados los cursos de Ecuaciones Diferenciales y Álgebra Lineal, los estudiantes

comienzan a tomar cursos especializados de matemáticas, aunque ya en los primeros semestres

también han estudiado algunos cursos como Teoría de Números, Estructuras Algebraicas y Teoría

de Conjuntos. Entre los cursos especializados de matemáticas se encuentran Análisis Matemático

I y II (Teoría de la medida e integración en algunos planes de estudio), Álgebra Abstracta I y II

(Teoría de grupos, Teoría de Anillos y Campos en algunos pensum), Análisis Numérico, Geome-

tría Diferencial, Variable Compleja, Topología, Integral de Lebesgue, Historia de las Matemáticas.

De esta manera, se puede inferir que el modelo de formación profesional de los estudiantes de

los programas de matemáticas contiene, en promedio, 18 cursos de matemáticas durante 8 a 10

semestres que dura la carrera de Pregrado. Estos 18 cursos están compuestos tanto de los cursos

que estudian en ciclo básico, como de los cursos especializados de Matemáticas. No obstante, vale

la pena mencionar que existen algunos programas de Matemáticas que incluyen dentro de su plan

de estudios un seminario denominado Práctica de Enseñanza que usualmente dura dos semestres,

sin embargo, encuentro que hay algunos programas que no incluyen estas prácticas.

Los demás cursos que forman parte del modelo de formación profesional de un matemático

son electivas profesionales que, en algunos casos, se denominan electivas básicas, electivas éticas,

y electivas avanzadas. En promedio, un estudiante de matemáticas estudia entre 4 y 6 electivas

profesionales a lo largo de su carrera. Finalmente, los estudiantes deben hacer un trabajo de grado

(alrededor de dos semestres) que consiste en una monografía para la cual escogen un tema de

matemáticas y realizan una investigación sobre el tópico escogido.

Después de presentar, de manera global, cómo están organizados los planes de estudio de

matemáticas en Colombia, creo que no existe mucha diferencia entre ellos, es decir, el modelo

profesional de un Matemático en el país es homogéneo en cuanto a los cursos que deben estudiar

durante su pregrado. Sin embargo, debo mencionar que fue difícil tener acceso a los planes de

asignatura de las distintas materias puesto que éstas no estaban publicadas en las páginas web de

los programas y me era difícil desplazarme a todas las universidades a lo largo y ancho del país.

4.1.2 Análisis de concepciones y creencias

Antes de iniciar el análisis de las concepciones y creencias de un Matemático y de un Licenciado

en Matemáticas, debo decir que, como lo mencioné en la metodología de la presente investigación,

envié unas cartas de invitación (ver anexo 1) a profesores de matemáticas, tanto Matemáticos como

Licenciados en Matemáticas que están laborando en el nivel universitario. En esta carta les hacía

la invitación a participar en esta investigación y les solicitaba reflexionar alrededor de cuatro cues-

tiones básicas.

¿Qué piensa usted de cómo aprenden los estudiantes el cálculo?

¿Qué piensa usted sobre la forma de enseñar Matemáticas en el primer año de universidad?

¿Qué papel le asigna al Conocimiento Conceptual de las Matemáticas en el momento de la

planeación de una clase particular de matemáticas?

Piense intuitivamente lo que le suscita, o le provoca o qué opinión le genera cuando oye

usted la expresión: “La derivada de…” Trate de formularlo en palabras.

El propósito con estas cuatro preguntas era hacer una ambientación al tema de la derivada, por ello

indagué cuestiones generales de enseñanza y aprendizaje y finalmente les solicité que me dieran


49

una idea “intuitiva” de lo que ellos pensaban cuando les hablaban de la derivada con el fin de poder

romper el hielo con los profesores y empezar a caracterizar sus concepciones y creencias sobre

este tema.

Sin embargo, esta tarea de la carta fue un poco maratónica dado que dentro de mis colegas

hubo mucha resistencia a responder la carta, pues algunos pensaban erróneamente que el propósito

de esta investigación era “evaluar” sus prácticas, y en ese sentido, decir que un profesor es “bueno”

o “malo” y realmente éste no es el objetivo de esta investigación. Si bien, yo expliqué a los colegas

de qué se trataba este estudio pero muy pocos accedieron a responder la invitación. Solamente 3

profesores matemáticos y 5 licenciados en matemáticas respondieron esta invitación. También,

debo decir que algunos de los profesores que aceptaron la carta se tomaron la tarea de responder

de una forma sincera y sin consultar en ninguna parte, más allá de lo que salió de su conciencia.

De los 8 profesores, hubo dos profesores que consultaron en internet y copiaron y pegaron la res-

puesta a estas cuatro preguntas, tampoco este era el objetivo de la carta, por esta razón no tuve en

cuenta las respuestas de ellos dos. A continuación presento las respuestas que los profesores ma-

temáticos de profesión me dieron.

Pienso en primer lugar en el sentido geométrico que tiene, es decir, dibujo en mi mente

una curva con sus rectas tangentes trazadas en cada punto. Después de unos segundos

pienso en su significado físico (velocidad) y más tarde aún pienso en su definición formal

y algebraica. (Carta invitación profesor matemático 1, abril 28 de 2014).

La palabra derivada no es más que la forma de medir el cambio instantáneo de una

función ya sea con respecto al tiempo o de cualquier otra variable, la cual tiene muchas

aplicaciones físicas o geométricas como la pendiente de la recta tangente a una curva

(Carta invitación profesor matemático 2, mayo15 de 2014).

La frase “la derivada de...” se me viene a la mente la tasa de cambio existente entre dos

cantidades (Carta invitación profesor matemático 3, abril 30 de 2014).

Dentro de estas tres respuestas, escogí para profundizar en sus creencias y concepciones al profesor

matemático 1 para continuar con la investigación. Tomé esta decisión con base en su respuesta, ya

que en ella menciona cuatro cosas importantes: el sentido geométrico de la derivada, el sentido

físico, la definición formal y la definición algebraica.

Las otras dos respuestas son válidas también, pues son las concepciones que tienen estos dos

profesores de matemáticas, pero para efectos de mirar las diferentes formas de concebir la derivada

escogí finalmente al profesor matemático 1, pues esta respuesta, a mi juicio, tiene más elementos

conceptuales que las otras dos respuestas.

De esta manera, concerté una fecha para realizar una entrevista (ver anexo 2) con el profesor

matemático con el fin de poder indagar más sobre la derivada.

4.1.2.1 Identificando las concepciones

Retomando la respuesta que dio el profesor matemático 1, este profesor menciona varias cosas: 1)

piensa en el sentido geométrico que tiene la derivada, y lo relaciona con una curva con sus rectas

tangentes trazadas en cada punto; 2) piensa en el significado físico (velocidad) de la derivada; 3)

piensa en su definición formal; y 4) piensa en la definición algebraica.


50

En este orden de ideas, puedo decir que sus concepciones alrededor de la derivada son cuatro,

la derivada geométrica, la derivada como tasa (rate) (Thurston, 1994), la definición formal, que en

principio puedo relacionar con la definición lógica de la estructura conceptual y la escritura formal

de la definición de la derivada, sin embargo, esto lo confirmaré o no más adelante en el desarrollo

de la entrevista, y finalmente, la definición algebraica de la derivada.

4.1.2.2 Analizando sus concepciones

En el desarrollo de la entrevista, se inició con la respuesta analizada en el apartado anterior y la

que me permitió identificar varias concepciones. Así pues, lo primero que hice fue pedirle que me

ampliara con detalle cada uno de estos significados. Empecé la entrevista preguntándole, ¿Podría

usted ampliar la idea sobre el sentido geométrico de la derivada? Y pregunté esto con el fin de ver

si el profesor distingue la tangente como función o como valor de la pendiente en ese punto. Su

respuesta fue, “la derivada en el sentido geométrico sigue siendo la recta tangente” (Entrevista

profesor matemático 1, agosto 3 de 2014) Y luego el profesor añade “Bueno ya lo único que se me

ocurre es ya cuando hablamos del Teorema fundamental del Cálculo, con la derivada de un área,

que sería lo único que tendría relación con geometría, pero de resto no tiene más” (Entrevista

profesor matemático 1, agosto 3 de 2014)

De esta manera, yo quería tratar de indagar más sobre la tangente, porque en la ampliación de

la respuesta no encontraba nada más allá de la recta tangente, entonces yo le dije, la palabra tan-

gente tiene diferentes connotaciones, y él argumentó

¡Claro! Es tangente de manera local, por supuesto, porque eso lo que hizo fue extender

la idea original antigua de que recta tangente a una curva es una rectica que solamente

corta la curva en un puntito. Entonces básicamente, la derivada fue la extensión que dio

Newton, entre otros, de este hecho. Entonces, si porque si solamente la definimos como

la recta tangente como la que toca solamente en un punto, no tendríamos recta tangente

en ciertos puntos a ciertas curvas. Bueno sí, es de manera local, es geométrico – local

(Entrevista profesor matemático 1, agosto 3 de 2014).

En este momento, encuentro que el profesor habla de dos cuestiones importantes. La primera cues-

tión es la tangente de manera local, en el sentido de la definición geométrica de la derivada, es

decir, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la

función en ése punto. Ahora, el matemático aclara sobre una “rectica que solamente corta la curva

en un puntito” (Entrevista profesor matemático 1, agosto 3 de 2014). En este sentido, pienso que

la definición geométrica de la derivada es una convicción que tiene el profesor sobre este objeto

matemático, puesto que él ha tomado la decisión de hacer la salvedad de que son pequeñas rectas,

y finaliza afirmando que “bueno sí, es de manera local, es geométrico – local” (Entrevista profesor

matemático 1, agosto 3 de 2014).

La segunda cuestión que me llama la atención en su respuesta es el argumento de la derivada

como extensión de los planteamientos de Newton, por consiguiente, considero que su definición

intuitiva sobre la derivada es una concepción, pues él hace mención al planteamiento de Newton,

pero asume una fuerte posición sobre la derivada geométrica.

Asimismo, dentro del registro semiótico verbal oral, en la representación semiótica de la pro-

sodia, el profesor matemático 1 sube el tono de la voz para confirmar que es tangente de manera


51

local, y se queda pensando por un momento y mueve y gira su mano derecha – representación

semiótica de la cinésica – que está en posición horizontal, para indicarme que es en puntual, y no

en toda la curva, que representa con un movimiento suave de su mano, como si estuviera trazando

una curva suave, y entonces señala con su dedo índice izquierdo sobre su mano derecha que es en

puntitos.

Al ver sus gestos, yo le pregunto que si puede representar en una hoja la imagen que se forma

en su mente de una curva con sus rectas tangentes trazadas en cada punto e inmediatamente él

acepta, y realiza el gráfico que presento en la figura 7.

Figura 7. Representación gráfica de la derivada profesor Matemático. (Entrevista profesor

matemático 1, agosto 3 de 2014)

Con respecto a esta representación gráfica, que pertenece al registro semiótico del lenguaje gráfico,

puedo decir que el profesor matemático 1 afirma una vez más su convicción sobre la derivada

geométrica. Mientras el profesor realiza el dibujo, dice en voz alta lo siguiente.

Voy a hacer sin que sea elaborado, lo que siempre hago en la clase, esta recta va a tocar

a la curva eventualmente por acá (señala los puntos por donde pasan las tangentes) y

hago siempre énfasis en el puntito de intersección y aquí está la recta tangente que sea

también así (vuelve a señalar). Esta es una recta tangente rara ¿no?, (hace referencia al

punto de la mitad, el punto de inflexión de la curva) que ya sabemos que hay puntos

algebraicos más allá. Pero geométricamente viene siendo básicamente esto (Entrevista

profesor matemático 1, agosto 3 de 2014).

En este sentido, considero que, dentro del registro semiótico del lenguaje gráfico, el profesor con-

firma su convicción de la definición geométrica de la derivada.


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Ahora, cuando el profesor me dice, y señala la tangente en el punto de inflexión de la curva

que dibujó, que la recta tangente es rara, le pregunto ¿cómo así rara? Y él me responde “en algunas

curvas esto pasa ¿no?, en otras pasa que esto es vertical y en otro si es así” (Entrevista profesor

matemático 1, agosto 3 de 2014). Entonces yo le pregunto, podrías darme un ejemplo o dibujar

una curva donde la tangente es vertical, él acepta inmediatamente y dice “Vertical vienen siendo

así, y así y la recta tangente me queda así. Pero es posible que sean así” (Entrevista profesor ma-

temático 1, agosto 3 de 2014). Esta última representación que hace el profesor la presento en la

figura 8.

Figura 8. Representación gráfica de rectas tangentes verticales. (Entrevista profesor matemático

1, agosto 3 de 2014)

Una vez mostrada esta gráfica, yo le pregunto por los ejemplos que él utiliza para su clase y él me

responde lo siguiente. “Tenemos estos ejemplos, tenemos estos puntos, donde es interesante ana-

lizar lo que estudiaremos como puntos de inflexión, son especiales” (Entrevista profesor matemá-

tico 1, agosto 3 de 2014). En este momento, el vuelve a realizar un dibujo, que presento en la figura

9 y él argumenta que “hay puntos donde no es posible, donde hay que formalmente saber cómo es

que vamos a definir esa derivada” (Entrevista profesor matemático 1, agosto 3 de 2014).


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Figura 9. Representación gráfica de una función con puntos angulares. (Entrevista profesor

matemático 1, agosto 3 de 2014)

Con respecto a la figura 9, el profesor argumenta que en estos puntos angulares, se hace necesario,

definir la recta tangente, definición que más adelante formaliza. Además, el profesor hace un co-

mentario sobre las rectas tangentes que él hace en los dibujos del tablero y reflexiona diciendo

aquí por ejemplo si la pinto de esta manera y por alguna razón nadie se pregunta ¿por

qué tiene que ser esta? (Figura 7) cuando yo hago este dibujo si yo pinto esta quizá nadie

le vea problema, pero si pinto esta recta como recta tangente, si va a haber problemas

(el punto con los ??) y ya lo he experimentado (Entrevista profesor matemático 1, agosto

3 de 2014)

En este momento, el profesor está pensando sobre lo que sus estudiantes deberían notar cuando él

hace rectas que son tangentes a una curva pero que atraviesan dicha curva. Y continúa reflexio-

nando sobre este hecho e intenta dar unos pasos de lo que él realiza en la clase cuando está ense-

ñando este tema.

Por esta razón siempre en el inicio del tema siempre muestro curvitas como estas (curvas

suaves) (Figura 7)… estas solo aparecen después de una versión, aquí tenemos como

paso 1 (Figura 7), como paso 2 digamos formulación algebraica 𝑚 =𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎo defi-

nición algebraica para poder hacer ya formal esto y después de haber estudiado esta

formulación algebraica, entonces se hace la pregunta ¿será que siempre existe tal recta

tangente? Y aparecen por ejemplo estas otras graficas (Figura 9)” (Entrevista profesor

matemático 1, agosto 3 de 2014).

De esta manera, y sin el profesor notarlo, él ha pasado de la definición geométrica de la derivada

como recta tangente, en su registro semiótico del lenguaje gráfico, al registro semiótico del len-

guaje simbólico en la representación semiótica de la definición que yo he llamado algebraica. En

la figura 10 se muestra lo que él escribió.


54

Figura 10. Formulación algebraica de la derivada (Entrevista profesor matemático 1, agosto 3 de

2014)

En este preciso instante, yo aprovecho para preguntarle ¿cuál sería la formulación algebraica de la

derivada? Y entonces, él vuelve a tomar la hoja y hace de nuevo otro dibujo, el cual presento en la

figura 11, y explica su formulación algebraica.

Entonces como formulación algebraica de la derivada hago el dibujito y entonces lo que

decimos es tomamos un puntito y otro, y trazamos una recta secante y entonces en lo que

pensamos es, bueno escribimos las coordenadas de esta (x, f(x)) y entonces si suponemos

que este es un punto a la derecha entonces este punto tendrá coordenadas (x+h, f(x+h))

la segunda coordenada, así que la recta pendiente de esta recta secante es 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ,

entonces ésta es la pendiente de la recta secante. Entonces lo que hago es son dibujitos

(está un poquito más grande – en el tablero) entonces para ir haciendo los dibujitos de

rectas secantes acercando cada vez este punto de la derecha más hacia este punto fijo

que estoy dejando fijo vemos que hay ahí como una posición final –llamémoslo así– así

que por esa razón formalmente se define la derivada de una función en un punto como

este límite 𝑙𝑖𝑚ℎ→0


ℎ (Entrevista profesor matemático 1, agosto 3 de 2014).

Figura 11. Representación gráfica de la formulación algebraica de la derivada (Entrevista

profesor matemático 1, agosto 3 de 2014)

Vale la pena anotar que, en esta descripción que él hace de la formulación algebraica de la derivada

también menciona otros conceptos de la derivada los cuales son, recta secante (definición intuitiva


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de la derivada), pendiente de recta secante (definición intuitiva), acercamiento de un punto (defi-

nición microscópica de derivada), el límite limℎ→0


ℎ (definición analítica de la derivada).

Esta definición analítica la muestro en la figura 12.

Figura 12. Definición analítica formal de la derivada (Entrevista profesor matemático 1, agosto 3

de 2014)

Por consiguiente, puedo inferir que entre las concepciones sobre la derivada que tiene este profe-

sional de las matemáticas se encuentran la definición intuitiva que surge del registro semiótico del

lenguaje gráfico en su representación de la recta secante, la definición microscópica y su definición

analítica que surgen de su registro semiótico del lenguaje simbólico en su representación alge-

braica.

Llegado a este punto, me inquieta que en su formulación de la derivada algebraica empiece

con dos puntos estáticos y luego mencione que uno de ellos empiece a moverse, es decir, se vuelve

dinámico Por tanto, le pregunto ¿O sea que empiezas como con algo estático, y luego dejas un

punto estático y el otro se mueve, es decir se vuelve un punto dinámico?

Sí, el otro se mueve, para ir haciendo en la cabeza como ese movimiento. ¿Por qué?

Porque es que siempre le enseño a mis estudiantes que en matemáticas, y quizá en la

mayoría de la vida, siempre uno tiene su conocimiento base y a partir de ese construye

nuevos conocimientos, basado en ciertas verdades que ya conocemos, entonces hasta el

punto que estamos en el curso y les pregunto, ¿nosotros sobre rectas qué sabemos?, so-

lamente sabemos calcular sus pendientes si conocemos dos puntos, entonces no hay de

otra que empezar a partir de allí. Así que si yo quiero definir una recta final tengo que

definirla desde esos dos puntos, entonces como basado en eso voy como empujando a

partir de lo que se ha visto en clase (Entrevista profesor matemático 1, agosto 3 de 2014).

En este sentido, puedo decir que el profesor matemático 1 tiene en cuenta los presaberes de los

estudiantes, para así construir, a partir de ellos, el conocimiento en sus estudiantes. Esta puede ser

una visión constructivista que tiene el profesor sobre la enseñanza, sin embargo, más adelante

indagaré sobre sus prácticas de enseñanza.

De otra parte, vuelve a surgir una discusión sobre lo algebraico y lo analítico en el sentido de

que el profesor matemático 1 habla de algo algebraico pero cuando está describiendo su formula-

ción él introduce la palabra “mover” y eso, de alguna manera, deja de ser algebraico y empieza a

ser analítico. Entonces, el profesor argumenta,

Sí eso es analítico. Sí pero aquí también hay algebra, lo que pasa es para mí geometría

es cuando uno le pone dibujitos, álgebra es cuando le pones letricas. Entonces, para mí


56

esto es álgebra (la definición algebraica) pero lo que pasa es que también tiene mucho

que ver porque estamos hablando de un tópico que es fundamental y elemental donde la

distinción real entre álgebra y análisis no la va a alcanzar a dilucidar nadie (Entrevista

profesor matemático 1, agosto 3 de 2014).

Retomando nuevamente lo que él mencionó en su primer acercamiento a la derivada, el profesor

habló de la definición formal y algebraica, y en este momento le pregunto por su definición formal

y el argumenta “es el mismo esquema que hice aquí sin recordarlo” (Entrevista profesor matemá-

tico 1, agosto 3 de 2014). Es decir, el profesor hace referencia a su dibujo de la figura 11 y figura

12, entonces, yo le pregunto ¿para ti la definición formal y algebraica son la misma? y el argumenta

Sí, es la misma, para mí es esta 𝑙𝑖𝑚ℎ→0


ℎ porque es que ya son nombres y para mí

los nombres por fortuna o infortuna tienen muy poco valor. Te repito en este punto uno

sabe que en matemáticas las que tienen letricas yo las llamo algebraicas y las que tienen

dibujos geométricas (Entrevista profesor matemático 1, agosto 3 de 2014).

No obstante, yo vuelvo a insistir pidiéndole que si pude dar una definición formal de lo que él

considera es la derivada. Y él responde “¿Mía? La definición es la que es, y no es mía, solo hay

una y Newton la dijo hace mucho tiempo” (Entrevista profesor matemático 1, agosto 3 de 2014).

En consecuencia, yo puedo deducir que en este momento su concepción acerca de la definición de

la derivada es lo que yo denomino derivada intuitiva. Sin embargo, yo insisto pidiéndole que si él

puede formularla con sus palabras, y él responde.

La derivada yo siempre digo que es el límite cuando… no, yo lo digo más facilito: tomo

dos puntitos “cercanos” tomo la recta secante correspondiente a esos dos puntitos y

después tomo el límite cuando un puntito se acerca al otro. Ese numerito del cociente de

esas pendientes se le llama la derivada. Cuando lo digo después de que he escrito esto

𝑙𝑖𝑚ℎ→0


ℎ y quiero explicarlo en palabritas básicamente lo digo así (Entrevista pro-

fesor matemático 1, agosto 3 de 2014).

En este registro semiótico del lenguaje verbal, correspondiente a la representación semiótica 𝑟32:

la derivada es el límite del cociente diferencial, está relacionada con la definición analítica de la

derivada. En este sentido, puedo deducir que esta definición es una concepción del profesor de

matemáticas. Sin embargo, yo le pregunto que si siempre hace referencia al dibujo que ha hecho

(figura 11) en el tablero, y él responde “siempre, y siempre haciendo el movimiento de un punto

hacia el otro para mí inevitablemente siempre lo hago” (Entrevista profesor matemático 1, agosto

3 de 2014). De esta manera, su registro semiótico del lenguaje gráfico, correspondiente a la deri-

vada como la pendiente de la recta secante, que luego en su registro semiótico del lenguaje verbal

oral hace corresponder con la definición analítica y en el registro semiótico del lenguaje simbólico

también coincide con dicha definición. Por consiguiente, empiezo a pensar que esta definición

analítica, en sus tres registros semióticos hacen parte de sus convicciones.

Ahora, cuando le propongo que le dé un nombre a dicha definición o si simplemente considera

que es la que fulanito de tal dijo hace muchos años, el profesor argumenta


57

No, esa es la definición que tengo yo en mi cabeza, no es la que fulanito de tal dijo,

porque la de fulanito de tal que he escuchado a esa la llaman el cociente de Newton. Y

es la que muchos profesores dicen nunca use esa palabra, con todo y que se llama Newton


Por consiguiente, yo vuelvo a insistir diciéndole y si tuvieras que ponerle un nombre ¿Cómo le

pondrías a tu definición? Y él responde sin reparo “a esa definición, le pondría definición intuitiva”

(Entrevista profesor matemático 1, agosto 3 de 2014). Por lo tanto, lo que en principio era una

definición geométrica, que ahora está relacionada con la definición algebraica y la analítica, final-

mente él la bautiza como una “definición intuitiva”.

De otra parte, le pregunté al profesor matemático 1 sobre los aspectos fenomenológicos o más

bien, sobre los fenómenos en los que está involucrada la derivada y el respondió.

Por ejemplo, el muy conocido razón de cambio, que mide la velocidad, bueno ahí estoy

citando principalmente movimiento de una partícula que es el más fácil de citar, pero

después hacia el final del curso de cálculo o a mediados, ya es posible citar problemitas

como la arenita cayendo y se va formando un conito, y entonces ese conito va aumen-

tando su radio y se quiere calcular cual es la velocidad con la que va aumentando el

volumen del conito. También se puede utilizar para modelar poblaciones, por ejemplo

decir que tenemos una función p en términos del tiempo que modela la cantidad de indi-

viduos en cierto instante, entonces la derivada representa su crecimiento en ese instante

si es negativa representa mortalidad o decrecimiento, etc. (Entrevista profesor matemá-

tico 1, agosto 3 de 2014).

De esta manera, puedo interpretar que el profesor matemático 1 considera dentro de los fenómenos

de la derivada aquellos que están relacionados con la cinemática, la variación de una variable con

respecto al tiempo, y la velocidad con la que cambia en ese tiempo. De igual forma, sobre los

fenómenos, el profesor argumenta que

En algunas instituciones donde me han tocado estudiantes de las ciencias exactas me he

atrevido a nombrar las ecuaciones diferenciales, por un ladito, por ejemplo cómo hacer

para modelar el movimiento de un resorte que ya son las más complicadas, pero en esos

cursos de otras carreras básicamente siempre nombro los ejemplos anteriores donde se

puede apreciar la derivada más fácilmente (Entrevista profesor matemático 1, agosto 3

de 2014).

En este sentido, puedo inferir que una categoría emergente de análisis que ha resultado de esta

entrevista son los fenómenos relacionados con crecimiento y decrecimiento de poblaciones, las

ecuaciones diferenciales, problemas que involucran movimiento de resorte, fenómenos que no ha-

bía tenido en cuenta en la construcción del marco teórico cuando realicé el análisis fenomenológico

de la derivada.

Después le pregunté al profesor ¿cómo le sintetizaría en un esquema/mapa conceptual a un

estudiante que le va a ayudar para repasar para el examen final de cálculo sobre la derivada? Hice

esta pregunta con el fin de identificar cuáles son los conocimientos previos que le profesor consi-


58

dera debe tener un estudiante para comprender la derivada. Entonces, el profesor retoma nueva-

mente su figura 11 y dice que lo primero que hace es pedirles a sus estudiantes que observen las

pendientes de la curva.

Básicamente lo que les digo cuando estoy haciendo un resumen del tema vuelvo a este

dibujo (figura 7) si lo he hecho, y hago exactamente lo mismo y les digo fíjese por este

lado las pendientes tienden a la pendiente de acá (señala en el dibujo de la figura 7) y

son capaces de decirme cuál es la pendiente. Lo que les digo es básicamente usted tiene

que aprender a decidir cuándo una función es diferenciable o derivable en un punto.

¿Cómo se hace eso? Visualmente usted lo va a ver siempre así (ver figura 11) tal cual,

un dibujito de estos, termina en picos (figura 9) o así en el caso que no es en rectas

siempre es así. Bueno, si la función es discontinua no hay nada que hacer ¿cierto?, y

para ellos (los estudiantes), lo he experimentado, si es obvio cuando una función es dis-

continua no es diferenciable. Por acá tengo una recta (mueve las manos y las coloca en

posición horizontal ambas pero mostrando que hay un salto) y por acá otra y el siguiente

paso por último es, si se lo pregunto visualmente es así y si se lo pregunto formalmente

debe aprender a usar el concepto de límite que ya hace parte de un trabajo anterior sobre

límites, donde es muy importante suponer que h es positivo y negativo con los límites

laterales (Entrevista profesor matemático 1, agosto 3 de 2014).

Después de haber escuchado esta argumentación por parte del profesor, encuentro que el profesor

matemático 1 menciona varios conceptos previos que deben tener los estudiantes. Por ejemplo, el

profesor menciona la pendiente de una recta, reconocer si una función es diferenciable o si es

continua, también los estudiantes deben saber límites. Entonces, yo le solicito que si puede hacer

una lista con los temas o los conceptos que debe estudiar para poder prepararse bien para el examen

de derivada y el profesor escribe lo que está en la figura 13 y a medida que escribe cada uno de

esos términos el profesor hace el siguiente relato.


59

Figura 13. Lista de conceptos previos. (Entrevista profesor matemático 1, agosto 3 de 2014)

Número uno, tiene que aprender el concepto de gráfica de una función o por lo menos

debe interpretar la gráfica de una función. Pero yo digo que no cómo graficarla sino

como cuando uno hace el ICFES es más uno de interpretar la gráfica, que significa ese

dibujo. Número dos, tiene que aprender sobre el concepto de límite, formalmente tiene

que saberse. Número 3 debe saber continuidad de funciones, y para entender continuidad

hay que pasar definitivamente por el concepto de límite de manera formal. Y si sigo re-

trocediendo entre más hablamos va yéndose como más hacia atrás. Siempre hay un fun-

damento y es porque es así, porque desde que Hilbert le dio porque las matemáticas

había que fundamentarlas de manera axiomática y la comunidad científica matemática

le dijo que si, pues así es, siempre vamos a terminar en todo concepto en los axiomas. Y

si no se aprende un axioma bien, más adelante siempre hay problemas (Entrevista profe-

sor matemático 1, agosto 3 de 2014).

En este momento, encuentro que hay una dificultad por parte del profesor matemático 1 con rela-

ción a los mapas conceptuales. Si bien, el profesor argumentó cuáles son los presaberes que un

estudiante debe tener, pues él los tiene completamente claro, pero él titubeo cuando le insistí en el

mapa y por eso le cambié la pregunta por una lista de conceptos. En este orden de ideas, el profesor

matemático 1 tiene claro todos los pre conceptos que debe tener un estudiante para abordar el tema

de la derivada, pero infiero que no tiene mayor conocimiento sobre los mapas conceptuales, pro-

bablemente no haya hecho alguno y tampoco es el interés de este estudio saber si él hace o no

mapas conceptuales.

Finalmente, le hice al profesor matemático 1 el siguiente comentario: a un estudiante se le

preguntó lo siguiente: “Seleccionemos un número real fijo cualquiera, por ejemplo equis entonces

qué significa equis prima, ¿qué cree que va a decir? ¿Dirá cero o uno?” El profesor matemático 1

respondió lo siguiente.


60

Algunos dirían cero y algunos dirían uno. Esto ya lo he experimentado. Y el conflicto

está cuando uno dice ¿cuál es la derivada de dos?, de hecho en la sola pregunta ya hay

inconsistencia, pero uno lo dice ¡que se le va a hacer!, y ellos contestan bien dicen cero,

pero es porque están pensando en la función constante 2, pero cuando dicen 1 creo que

ellos tienen en la cabeza números reales. Sin embargo, Puede ser uno o cero. Pero

cuando dicen uno, no los culpo porque yo también pasé por ahí. Cuando dicen uno, no

sé, de pronto se imagina que le ponen la variable x al lado y solamente deriven la varia-

ble. Pero el hecho de que me digan cero si la derivada de 2, automáticamente la relacio-

nen como derivada es una operación asociada a una función y no a números, entonces

asocian ese número como f(x)=2 entonces todo ese proceso lo hace pensar en la función

constante 2. (Entrevista profesor matemático 1, agosto 3 de 2014).

Me llama la atención dos cosas a este respecto. La primera cuestión es que el profesor no ha obje-

tado la pregunta. Porque, primero si se habla de un “número fijo” y segundo “equis prima” no se

puede interpretar como la operación derivada porque ella se aplica a funciones, no a números.

Ahora, en esta respuesta, el profesor matemático 1 menciona otra forma de concebir la derivada

como una operación asociada a una función. En este sentido, sin darse cuenta, el profesor mate-

mático 1 tiene una concepción de la derivada como una operación que se asigna entre funciones,

esta forma de concebir la derivada, yo tampoco la había tenido en cuenta en la estructura concep-

tual, lo que también puede considerarse como una categoría emergente, concebir la derivada como

una operación entre funciones. Pues bien, esta concepción él tampoco la había puesto de manifiesto

durante toda la entrevista, sino ya al finalizar la charla. Lamentablemente, por cuestiones de

tiempo, no pude seguir dialogando con el profesor sobre esto para que él me ampliara esta concep-

ción.

4.1.2.3 Sobre sus prácticas de aula

Luego de indagar sobre las concepciones que tiene el profesor de matemáticas sobre la derivada,

le pregunté por su planeación de clase. Específicamente le dije que si él se sentaba y hacia algunas

notas de clase para desarrollarlas en el salón o si simplemente tomaba un libro y lo ojeaba y se iba

para la clase o ¿qué hacía antes de su clase? El profesor me manifestó que usualmente no prepara

sus clases, pues argumenta que lleva varios años enseñando este curso, y que a la fecha no prepa-

raba sus clases. En este sentido, él reconoce que es una falla suya, pero tampoco hace nada para

remediarlo.

Hace mucho tiempo que no planeo una clase de cálculo diferencial, me la sé de memoria.

Aunque al principio sí revisaba libros y buscaba ejemplos, y hacía diapositivas, pero hoy

ya no hago nada de eso. Usualmente, en los lugares que trabajo nos dan el libro que

tienen y que les piden a los estudiantes y yo simplemente lo ojeo y les digo a los estudian-

tes hagan los ejercicios de tal sección o tales páginas, pero honestamente no preparo mi

clase y sé que es una falla, pero no tengo tiempo de prepararla, confío en mi conocimiento

y experiencia en este curso (Entrevista profesor matemático 1, agosto 3 de 2014).


61

Entonces, yo le pregunté que si recordaba los nombres de los libros que usualmente trabajan en

estos cursos de cálculo y él me respondió, “claro, el Cálculo de Stewart, para los cursos de inge-

niería, el libro de Matemáticas para administración y economía de Haeussler, si son cursos de

ciencias económicas, pero si son cursos de ciencias básicas, se usa el Cálculo de Apóstol” (Entre-

vista profesor matemático 1, agosto 3 de 2014).

Asimismo, le pregunté sobre las evaluaciones que hacía a sus estudiantes, en el sentido de

¿qué era lo que evaluaba con respecto a la derivada? Y el profesor argumentó.

Puedo decir que uno evalúa si un estudiante sabe aplicar reglitas de derivación, eso si la

gente lo aprende a hacer, pero solucionar problemas profundos en el que se evidencie

que, es decir, para mi evidenciar que uno sabe qué significa la derivada, es ser capaz de

dominar los criterios de la primera y segunda derivada. Lo que me refiero es para mí

que una persona sepa sobre este asunto es que sea capaz de decirme mire, es que si la

segunda derivada es positiva significa que la primera derivada es creciente ¿cierto? En-

tonces a partir de allí ir sacando conclusiones de esa clase de cosas, entonces para mí

eso solo se puede lograr aquí en interpretar gráficas, cuando uno dice creciente o decre-

ciente significa que está interpretando las gráficas y para interpretar las gráficas deben

saber, por lo menos, los criterios de la derivada, y por ende qué significa la derivada.


De acuerdo con lo anterior, puedo deducir que el profesor tiene en cuenta al momento de evaluar

la derivada, la interpretación que hacen sus estudiantes sobre funciones, es decir, el profesor evalúa

lo que he definido en mi estructura conceptual como la derivada como máximos y mínimos, por

consiguiente, el profesor también tiene una convicción sobre la derivada como máximos y míni-

mos que no es tan verbalizable pero que para efectos de la evaluación a sus estudiantes sobre la

derivada sí es importante para él, en este sentido, puedo decir que la derivada como máximos y

mínimos es una convicción del profesor, pues inconsciente de ello, el profesor matemático 1 lo

evalúa en su clase, sin darse cuenta que también es una creencia (beliefs) de la derivada que él

tiene.

Si bien, durante la charla el profesor no hizo mención a lo que yo denomino derivada simbó-

lica, sí lo hizo explícito de forma inconsciente cuando le pregunté sobre la evaluación, ya que para

él es importante “saber si un estudiante aplica las reglitas de derivación” (Entrevista profesor ma-

temático 1, agosto 3 de 2014). De esta manera, también puedo inferir que el profesor tiene una

convicción de la derivada simbólica, en tanto que son unas reglas que cambian unos símbolos por

otros y que de alguna manera a él le interesa saber si sus estudiantes las han aprendido, ya que en

sus palabras “uno evalúa si un estudiante sabe aplicar reglitas de derivación, eso si la gente lo

aprende a hacer” (Entrevista profesor matemático 1, agosto 3 de 2014).

4.2 EL LICENCIADO EN MATEMÁTICAS

En este apartado se describirá el modelo de formación de un Licenciado en matemáticas en Co-

lombia y se analizarán sus diferentes concepciones y creencias sobre el objeto matemático de la


62

derivada con base en el resultado de las entrevistas, planeaciones de clase y evaluaciones realizadas

por el profesor licenciado en matemáticas.

4.2.1 Modelo de formación profesional

De acuerdo con el Sistema Nacional de Información de la Educación Superior – SNIES, a diciem-

bre de 2015 existían en Colombia 14 programas activos de pregrado en Licenciatura en Matemá-

ticas, cinco programas de Licenciatura en Matemáticas y Física, dos programas de Licenciatura en

Matemáticas e Informática, y dos programa de Licenciatura en Básica primaria con Énfasis en

Matemáticas ofrecidos por las universidades Santiago de Cali, de carácter privado, y la Universi-

dad Distrital Francisco José de Caldas, de carácter oficial. De los 14 programas académicos de

Licenciatura en Matemáticas, doce programas son ofertados por universidades oficiales y dos por

universidades privadas (Universidad del Norte y Universidad Antonio Nariño). De los cinco pro-

gramas de Licenciatura en Matemáticas y Física, cuatro programas son ofrecidos por universidades

oficiales y uno por la Universidad Católica de Manizales que es de carácter privado. Los dos pro-

gramas de Licenciatura en Matemáticas e Informática son ofrecidos por las universidades La Gran

Colombia y Universidad Cooperativa de Colombia, ambas universidades de carácter privado. De

nuevo, vale la pena mencionar que para la presente investigación, sólo tuve en cuenta aquellos

programas académicos de pregrado de Licenciatura que tuvieran modalidad presencial.

Al analizar el pensum del programa de Licenciatura en Matemáticas de las distintas universi-

dades, encuentro que todos los programas coinciden con ofrecer un ciclo básico de formación. Este

ciclo básico va desde el primer semestre hasta el quinto semestre. En estos períodos académicos

los estudiantes de licenciatura en matemáticas cursan materias relacionadas con Matemáticas Fun-

damentales (Pre cálculo en algunos programas), Cálculo diferencial (Cálculo I), Cálculo integral

(Cálculo II), algunos programas ofrecen los cursos de Cálculo Vectorial (Cálculo III) y Ecuaciones

Diferenciales pero no es el común denominador en todos los programas que revisé. Asimismo, en

los planes de estudio de la licenciatura encontré cursos de Introducción al Álgebra, Álgebra Lineal,

Estadística y Probabilidad, Lógica, Geometría Euclidiana y Geometría Analítica. Adicional a los

cursos anteriores, en el ciclo básico los estudiantes de licenciatura en Matemáticas también toman

cursos obligatorios de Historia y Epistemología de la Pedagogía, Educación y Aprendizaje, Mo-

delos Pedagógicos, Currículo, Evaluación y en algunos pocos casos los programas ofrecen cursos

de Educación Matemática. También existen los cursos de Taller de Lenguaje y electivas de Hu-

manidades que deben tomar los estudiantes en este primer ciclo.

Una vez finalizados los cursos de Cálculo y Álgebra Lineal, los estudiantes comienzan a tomar

cursos especializados tanto de matemáticas como de didáctica, pedagogía e investigación, aunque

ya en los primeros semestres también han estudiado algunos cursos como Teoría de Números,

Estructuras Algebraicas y Teoría de Conjuntos. Entre los cursos especializados de matemáticas se

encuentran Análisis Matemático I, Álgebra Abstracta I (Teoría de grupos en algunos pensum),

Variable Compleja, Topología, e Historia de las Matemáticas. Entre los cursos de didáctica se

encuentran Didáctica de la Aritmética y la Geometría, Didáctica de la Estadística, Didáctica del

Álgebra, Didáctica del Cálculo. Entre los cursos de pedagogía se encuentran, por ejemplo, Psico-

logía de la Educación, Psicología del Aprendizaje, Psicología del ciclo vital, Filosofía y Educación.

También existen cursos sobre TIC’S Integradas a la Educación Matemática, Procesos Evaluativos


63

en Matemáticas, Resolución de Problemas, Tendencias Pedagógicas y Desarrollo Curricular, Cu-

rrículo y Educación Matemática. Entre los cursos de investigación se proponen Seminarios de

Investigación como Investigación Social, Investigación Educativa, que al parecer abordan los pa-

radigmas cuantitativos y cualitativos de la investigación en general y en particular en educación.

De esta manera, se puede inferir que el modelo de formación profesional de los estudiantes de

los programas de licenciatura en matemáticas contiene, en promedio, diez cursos de matemáticas

durante los 10 semestres que dura la carrera de pregrado. Estos 10 cursos están compuestos tanto

de los cursos que estudian en ciclo básico, como de los cursos especializados de matemáticas.

De otra parte, el modelo de formación profesional de un licenciado en matemáticas contiene

una buena parte de cursos en didáctica, pedagogía, currículo y evaluación, alrededor de 20 asigna-

turas. Esto quiere decir, que los estudiantes de licenciatura toman más cursos relacionados con la

educación que con la disciplina de las matemáticas. Finalmente, existe el Seminario de Práctica

Profesional (2 semestres) y Trabajo de grado (2 semestres). Vale la pena mencionar también que

hay planes de estudio que incluyen Práctica Profesional desde el quinto semestre, sin embargo,

encuentro que el común denominador de la práctica es de dos semestres.

Los demás cursos que forman parte del modelo de formación profesional de un licenciado en

matemáticas son electivas profesionales que, en promedio, son tres cursos a lo largo de su carrera.

Los programas de Licenciatura en Matemáticas y Física, contienen adicionalmente cursos de

Física I, Física II, Física III, y sus respectivos Laboratorios de Física I, II, y III, Física Moderna,

Historia de las ciencias, y Didáctica de la Física.

Los programas de Licenciatura en Matemáticas e Informática tienen unos cursos especializa-

dos de Programación y Algoritmos, TIC´S en educación y en uno de estos planes incluyen Análisis

Numérico.

Los programas de Licenciatura en Básica Primaria con Énfasis en Educación Matemática no

tienen tantos cursos de matemáticas, ni de didáctica de las matemáticas. A lo sumo, estos progra-

mas tienen cursos de didáctica de la aritmética, la geometría, y la estadística. También incluyen

cursos de Matemáticas Fundamentales, Geometría, Álgebra I y Estadística. Asimismo, se ofrecen

algunos cursos especializados de matemáticas como Teoría de Números, Álgebra II. Los demás

cursos están relacionados con currículo, evaluación, pedagogía, niñez y desarrollo, políticas edu-

cativas, ética, investigación social, investigación educativa y las electivas profesionales. También

en estos programas, los estudiantes deben hacer práctica profesional y un trabajo de grado para

poder optar al título de Licenciados en Básica Primaria con Énfasis en Educación Matemática.

Después de presentar, de manera global, cómo están organizados los planes de estudio de

Licenciatura en Matemáticas en Colombia, creo que no existe mucha diferencia entre los diferentes

planes de estudio de los programas de Licenciatura en Matemáticas y Licenciatura en Matemáticas

y Física, es decir, el modelo profesional de un Licenciado en Matemáticas en el país es homogéneo

en cuanto a los cursos tanto de matemáticas como de didáctica, pedagogía e investigación que

deben tomar los estudiantes durante su pregrado. Sin embargo, de nuevo debo mencionar que fue

difícil tener acceso a los planes de asignatura de las distintas materias, para poder presentar con

más detalle esta información, puesto que estos planes no estaban publicadas en las páginas web de

los programas y me era difícil desplazarme a todas las universidades a lo largo y ancho del país.


64

4.2.2 Análisis de sus concepciones y creencias

De la misma forma que hice con los matemáticos, a los profesores licenciados en matemáticas

también les envié la carta de invitación con las mismas cuatro preguntas (ver anexo 1) y a conti-

nuación presento las respuestas que los profesores licenciados en matemáticas de profesión me

dieron.

Me imagino que la expresión se complementa así: La derivada de la función... e imagino

que desean hallar la pendiente de la recta tangente a un punto dado de una función dada.

(Carta invitación profesor licenciado en matemáticas 1, julio 15 de 2014).

Tal vez desde mi experiencia como estudiante puedo decir que me recuerda largas listas

de ejercicios, repitiendo fórmulas de derivación o adivinando qué parte del problema es

la que tengo que convertir en función para derivarla. Pero desde mi experiencia como

docente, que por fin cree entender, me viene a la mente la aplicación, me maravilla pen-

sar lo útil que es este concepto en la vida diaria y lo sencillo que puede ser aprenderlo.

(Carta invitación profesor licenciado en matemáticas 2, junio 30 de 2014).

Lo primero que se me viene a la cabeza son tres cosas: razón de cambio, las reglas de

cálculo de derivadas y pensar en máximos y mínimos. Lo pienso así por la experiencia

de formación que tuve. Primero, una aproximación al concepto de derivada como razón

de cambio. Luego una ejercitación en los algoritmos de cálculo de derivadas. Y final-

mente, aplicar esos algoritmos en problemas de máximos y mínimos (Carta invitación

profesor licenciado en matemáticas 3, junio 30 de 2014).

No fue fácil escoger una de estas respuestas para poder profundizar sobre las concepciones y creen-

cias de un profesor licenciado en matemáticas. Entonces, para escoger una de estas tres respuestas,

decidí tomar al profesor licenciado en matemáticas 2 para continuar con la investigación. Tomé

esta decisión con base en su respuesta, ya que en ella menciona tres cosas importantes: fórmulas

de derivadas, funciones para derivar, las aplicaciones, pero además, este profesor hace una distin-

ción entre su rol como estudiante de licenciatura y su nuevo rol como docente en ejercicio, por

esta razón me incliné por esta respuesta.

4.2.2.1 Identificando las concepciones

Retomando la respuesta que dio el profesor licenciado en matemáticas 2, este profesor menciona

varias cosas: 1) fórmulas de derivadas, que corresponde a la definición simbólica de la derivada,

y lo relaciona con largas listas de ejercicios en su rol de estudiante; 2) piensa en la derivada como

una función que me ayuda a resolver un problema, aquí puedo interpretar la derivada en dos sen-

tidos, como razón de cambio o como máximos y mínimos; 3) piensa en las aplicaciones de la

derivada, es decir, en los fenómenos que involucra la derivada. Pero lo que más me llama la aten-

ción es en su nueva visión desde su rol de profesor que tiene sobre la derivada, en este sentido,

¿habrá cambiado sus concepciones sobre este tema? Más adelante daremos respuesta a esto.

Entonces, puedo decir que sus concepciones alrededor de la derivada son, la derivada simbó-

lica, la derivada como razón de cambio, la derivada como máximos y mínimos, la derivada como

fenómenos, sin embargo, esto lo confirmaré o no más adelante en el desarrollo de la entrevista.


65

4.2.2.2 Analizando sus concepciones

En el desarrollo de la entrevista, inició con la respuesta analizada en el apartado anterior y la que

me permitió identificar varias concepciones. Así pues, lo primero que hice fue pedirle que me

ampliara con detalle cada uno de estos significados. Empecé la entrevista preguntándole, ¿Podrías

ampliarme tu concepto sobre la derivada? Es decir, tú comentas allí en tu respuesta desde tu expe-

riencia como estudiante como una lista de fórmulas y ejercicios ¿cierto? y adivinar que debo con-

vertir en función para derivar en un problema, pero luego dices que desde tu experiencia como

docente que “cree entender” ¿cuál es tu idea de lo que es la derivada?

Lo que es para mí la derivada. Bueno, técnicamente te podría decir que es la pendiente

de la recta tangente a una curva, la pendiente de la recta tangente a una curva en un

punto dado. Y eso es digamos, bueno no en punto dado es una función que; más bien es

una función que asigna a cada punto la pendiente de la recta tangente a la curva en ese

punto. Eso es. (Entrevista profesor licenciado 2, agosto 24 de 2014).

Después de esta respuesta, puedo inferir varias cosas.

1. Su concepción de la derivada ha cambiado con respecto a lo que pensaba cuando era estudiante

de licenciatura.

2. Esta nueva acepción contempla la definición de la derivada geométrica.

3. Sin embargo, esta definición tiene otra acepción que es lo que yo denomino, la derivada como

función, la función que asigna a cada argumento el valor de la pendiente de la recta tangente.

Ahora, me llama la atención que el profesor licenciado 2 haya incluido en su respuesta la palabra

“técnicamente”, entonces yo le pregunto si esto es una cosa más de tecnicismo o es una forma

particular de su lenguaje, y el profesor licenciado 2 me responde.

si pudiera decírtelo en otras palabras yo diría que la derivada es la velocidad de creci-

miento o decrecimiento con que se mueve la recta tangente a lo largo de la curva. Si yo

pudiese explicarlo con un portátil con una aplicación, si yo quisiera entenderlo de una

manera práctica y tuviera la capacidad de hacerlo, digamos que me diseñaría un pro-

grama que me recorriera toda la función que yo quisiera con trocitos de recta y me re-

corriera toda la curva ¿no? Y que fuese describiendo, entonces es la velocidad con que

eso se va moviendo. (Entrevista profesor licenciado 2, agosto 24 de 2014).

Esta nueva forma de su definición de derivada incluye otro aspecto y es la derivada como tasa

(rate), es decir, como una velocidad. En este sentido, hay una nueva concepción de este profesor

licenciado y es la derivada como tasa (rate). También, el profesor licenciado en matemáticas 2

concibe la derivada como algo dinámico. Sin embargo, el profesor licenciado en matemáticas 2

continúa su argumento

…o sea para mí la derivada, por eso te digo, lo ideal para mí sería tener la capacidad yo

de diseñar un programa, debe haberlo ya ¿no?, de conocerlo y de poderlo implementar

de alguna manera. Si tuviera la imagen que yo tengo en mi cabeza de lo que es la deri-


66

vada sería algo así (mueve la mano sobre una curva suave), pedacitos de recta reco-

rriendo la curva ¿no? Entonces es eso. (Entrevista profesor licenciado 2, agosto 24 de

2014).

En este momento, aparece un registro semiótico del lenguaje verbal oral y es el correspondiente a

la representación semiótica gestual o cinésica, pues con su movimiento en una curva, el profesor

licenciado 2 va recorriendo dicha curva imaginándose pequeños segmentos de recta recorriéndola.

En este sentido, puedo decir que el profesor licenciado en matemáticas 2 tiene varias concepciones

de la derivada, la derivada geométrica, la derivada como función, la derivada como tasa (rate), la

derivada microscópica pues contempla lo dinámico de la recta que se mueve a lo largo de una

curva de forma tangente local.

Después de esto, yo le pido que por favor hable un poquito más desde su experiencia como

estudiante, es decir, le pido que amplíe la idea sobre esas largas listas de ejercicios, sobre esas

fórmulas de derivación, sobre ese problema que hay que traducir en palabras y hay que mirar cuál

es la función que hay que modelar para poder derivar. El profesor licenciado en matemáticas 2

argumenta lo siguiente.

yo creo que es que el punto de vista que yo tenía como estudiante tenía que ver con las

limitaciones de los presaberes que yo tenía, no era o no tenía mucho en qué basarme y

entonces mi estrategia fue básicamente yo tengo que sacar esto adelante, así sea de me-

moria ¿sí? Después de 100 problemas, de 100 ejercicios a lo mejor ya decía yo ah sí, si

se va a poder obtener ¿no?, pero que yo dijera es que yo soy muy analítica y desde que

me enseñaron el concepto yo sabía cómo iba a resolver el problema ¡No! yo tenía un

bache grande entre lo que me enseñaron en el colegio y lo que tenía que saber para estar

allí. Entonces yo me agarré a la memoria, sí, me agarré y salí adelante. Entonces mi

primera idea es algo que es muy difícil, que no entiendo para que es, no entiendo lo que

me preguntan, es más cuando me hacen la preguntan ni si quiera me creo que yo sea

capaz de resolverlo con lo que me dijeron. Que luego te acostumbras que si esos proble-

mas son así. Pero en un principio es una cosa diferente, para mí desde el punto de vista

como estudiante. (Entrevista profesor licenciado 2, agosto 24 de 2014).

En este sentido, el profesor licenciado en matemáticas 2 argumenta sobre sus dificultades al inten-

tar resolver ejercicios o problemas que involucran la derivada cuando era estudiante, y reflexiona

sobre sus presaberes, pues al parecer no tenía muy buenas bases de sus años de colegio y por ello

tenía gran dificultad con estos temas. Sin embargo, ahora en su rol de docente ya se tiene otro

punto de vista.

Ahora lo veo desde otro punto de vista. Sí, lo comprendo, sí, ¿creo? trato de desmenu-

zarlo, trato de que el concepto, de las aplicaciones, todos los capítulos o secciones que

involucran el concepto de la derivada, desde límites, hasta aplicaciones o sea todo ese

barrido trato que esté muy desmenuzado para intentar aliviar que no les pase lo mismo

que a mí. […] Ahora lo comprendo mejor porque ahora tengo un campo de visión más

amplio y tengo experiencia en otras cosas, que enseño en ecuaciones diferenciales, por

ejemplo, o en física que uno ve aceleración y que uno entiende que esto pues también

tiene como otros sentidos y otras cosas, pero que si lo viera por primera vez. No sé a lo


67

mejor seguiría igual de confusa. No, no lo sé. (Entrevista profesor licenciado 2, agosto

24 de 2014).

En este sentido, puedo inferir que su forma de enseñanza del cálculo diferencial se ha ido alimen-

tando a partir de su experiencia en la enseñanza de otras asignaturas como ecuaciones diferencia-

les, y también de los cursos de Física que estudió en su pregrado. Esto último puedo decirlo a partir

de una información que el profesor licenciado en matemáticas 2 me dio fuera de la entrevista y

que está relacionado con su formación académica. Este profesor tuvo un ciclo básico de tres cursos

de cálculo (I, II, III), ecuaciones diferenciales y dos cursos de física: mecánica y electro magne-

tismo con sus respectivos laboratorios.

Después de estas reflexiones, yo le pregunto al profesor licenciado en matemáticas 2 sobre

qué aplicaciones tiene la derivada O sobre ¿qué fenómenos pueden modelarse – aunque esta pala-

bra genera un poco de ruido – en donde se utiliza la derivada? El profesor argumenta lo siguiente.

En física y ya en la misma matemática, realmente no en la misma matemática sino en

todo lo que tú quieras optimizar. Ya sea de finanzas, ya sea de ingeniería civil, sea de

mercado bursátil, sea de física, todo lo que tú quieras optimizar se puede resolver, bueno

mientras se pueda interpretar a través de una función podrás siempre optimizarlo utili-

zando la derivada. Eso es lo que se tiene. Porque si también uno se fuera a intentar ver

que hay, cómo te lo digo, pequeños cambios de espacio contra tiempo, pero si como deltas

de espacio, pues a lo mejor hoy en día que está tan de moda esto de la supercomputación,

pues a lo mejor allí pueda haber aplicaciones, pero que yo las conozca no. (Entrevista

profesor licenciado 2, agosto 24 de 2014).

En esta respuesta, el profesor licenciado en matemáticas 2 inconscientemente menciona otra defi-

nición de la derivada, la que yo denomino derivada infinitesimal, ya que menciona pequeños cam-

bios, deltas de espacio. Por consiguiente, asumo que esta es otra concepción que tiene el profesor

sobre la derivada ya que en su registro semiótico verbal oral así lo manifiesta. No obstante, yo le

pregunto si pensar en esos deltas como los infinitesimales allí que aparecen en la derivada. El

profesor licenciado en matemáticas 2 aduce que “si claro, que a lo mejor algo de la nanotecnología

y de la supercomputación, a lo mejor eso por el hecho de que puedas detenerte y dividir tan pe-

queño como tú quieras tenga algo de aplicación” (Entrevista profesor licenciado 2, agosto 24 de

2014).

En este momento de la entrevista, yo le pido al profesor licenciado en matemáticas 2 que

dibuje la imagen que se forma en su mente cuando pensó en la curva y movió la mano y pensó en

esas recticas, y el profesor licenciado en matemáticas 2 realizó el dibujo que presento en la figura

14.


68

Figura 14. Representación gráfica de la derivada como la recta tangente. (Entrevista profesor

licenciado 2, agosto 24 de 2014).

Esta representación gráfica, coincide con el registro semiótico gráfico, en su representación gráfica

de la derivada como la pendiente de la recta tangente a una función, confirmándose así su convic-

ción de la derivada geométrica.

Seguidamente, le pido al profesor licenciado en matemáticas 2 si se le ocurre alguna otra

definición sobre la derivada, entonces el profesor manifiesta que

Digamos la primera concepción de la derivada como cosa útil fue cuando me di cuenta

que calculaba la velocidad, pero eso es una razón de cambio, entonces como que no sería

una novedad, pero a mí se me quedó y me impactó que con la derivada se podía calcular

la velocidad, es decir es una velocidad, pero no se me ocurre. (Entrevista profesor licen-

ciado 2, agosto 24 de 2014).

De esta manera, se confirma también su concepción de la derivada como tasa (rate). Después de

esto, intento persuadir al profesor licenciado en matemáticas 2 pidiendo una definición preferida

de la derivada, aquella que tenga más sentido para este profesor.

Realmente, me agrada más la de la pendiente de la recta tangente porque a mí, no soy

una buena dibujante pero me gusta dibujar en clase, hacer la recta secante e irla acer-

cando hasta que es una recta tangente. Entonces ahí ves que el límite, ahí ves por qué se

hace la definición con el límite, ahí ves eso y me gusta. Más que empezar como una razón

de cambio, a medir velocidades, o a medir tiempos y espacios más que ese prueba de

laboratorio de, por decirlo así, de medir espacios contra tiempos porque me parece que

la tengo más clara así, y me parece más clara hacer la secante e ir acercando los puntos

de manera que esa secante se vuelve una tangente. (Entrevista profesor licenciado 2,

agosto 24 de 2014).

En este sentido, el profesor licenciado en matemáticas 2 pone de manifiesto varias concepciones

de la derivada, la derivada geométrica, la derivada intuitiva, la derivada microscópica y la derivada


69

analítica. Es decir, el profesor licenciado en matemáticas 2 concibe la derivada de otras formas

que al parecer él mismo no es consciente de esto. Sin embargo, yo le pregunto si esa derivada es

dinámica o estática, y él responde “sí, dinámica” (Entrevista profesor licenciado 2, agosto 24 de

2014). De esta manera, puedo inferir que el profesor licenciado en matemáticas tiene una convic-

ción de la derivada microscópica, como una cuestión que no es estática, sino que es dinámica.

Después de esto, yo le pido que me diga algún nombre para bautizar esta definición y el pro-

fesor argumenta.

Como aproximación por secantes o una cosa así, o sea me parece importante que, lo que

pasa es que también es cierto que yo tengo una estructura hecha y entonces como ya en

ese punto yo he visto la ecuación de la recta, se me hace fácil hacer la pendiente de la

secante y me aproximo a la tangente. Entonces me parece que sería así como aproxima-

ción por secantes. (Entrevista profesor licenciado 2, agosto 24 de 2014).

Llegado a este punto, yo le digo que esa aproximación por secantes, si es que está pensando en los

dos puntos y que un punto se acerca al otro, entonces aparece la idea del límite, y ya con anterio-

ridad el profesor licenciado en matemáticas 2 había mencionado algo de la parte analítica, al pensar

en la idea de límites es de alguna manera que el profesor empieza a pensar en la idea del análisis.

Así que yo insisto ¿Y no te ayudaría a pensar que sería una derivada analítica? O no te parece

bueno ese término de derivada analítica. Y el profesor licenciado en matemáticas 2 pregunta, “¿que

la derivada se llamara derivada analítica?” (Entrevista profesor licenciado 2, agosto 24 de 2014).

Entonces yo repunto diciendo pues por todo lo que involucra esas secantes y estarse moviendo

y eso no tan estático sino más bien un poco dinámico, por tanto el profesor licenciado en matemá-

ticas 2 responde lo siguiente.

Pues como te dije hace un momento para mí, si nos vamos a dividir digamos las dos

partes de la ciencia, entonces sí para mi esta parte de la derivada es analítica pero la

derivada que tu calculas e introduces desde el punto de vista de vamos a tomar unos

datos y entonces vamos a mirar cuánto espacio recorrió en tanto tiempo y entonces va-

mos a eso para mí es más como una tasa de variación ¿me entiendes? Entonces, sí vamos

a dividirlo entre analítico y entre tasa de variación me quedo con la analítica, si me

identifico con la analítica [...] aunque de hecho para mí es geométrica. Es que lo de

geométrico sabes ¿por qué me gusta o porqué lo utilizo?, porque puedo hacer el dibujito

y es que yo las cosas las entiendo cuando las dibujo. Entonces, yo creo que lo único

geométrico que tiene es que dibujo y que tiene las recticas, pero realmente es analítica

porque realmente lo que yo intento hacer es un límite simplemente lo que quiero hacer

es lo que quiero poner en el límite, que para eso necesite un poco de geometría analítica

que es una recta, pues sí, necesito. Pero mi objetivo no es dibujar la recta, mi objetivo

final es que se vea la necesidad o la ventaja de poder tomar el límite, ese es mi objetivo,

entonces sí sería más analítica que geométrica y por supuesto no sería tasa de variación.

(Entrevista profesor licenciado 2, agosto 24 de 2014).

En esta reflexión que realiza el profesor licenciado en matemáticas 2, encuentro que ahora men-

ciona otras concepciones, una concepción de la derivada analítica, la derivada geométrica y la

derivada como tasa (rate) que ya la había mencionado con anterioridad. Entonces, considero que


70

otra convicción que tiene el profesor licenciado en matemáticas 2 sobre la derivada es la derivada

como tasa, como velocidad, mientras que las otras formas de pensar la derivada corresponden más

a las concepciones que tiene el profesor licenciado en matemáticas 2.

Después le hago la pregunta sobre ¿cómo le sintetizarías en un esquema o un mapa conceptual

o en una hoja una jerarquía o alguna cosa parecida a un estudiante para que le ayudaras a repasar

para el parcial de derivada? El profesor licenciado responde.

Yo creo que tiene que saber dos cosas: una es límites, o bueno no tiene que saber pero al

menos tiene que saber en qué consiste ¿vale?, aunque sería buenísimo que ya lo supiera,

pero tiene que al menos entender el concepto, y tiene que saber la ecuación punto –

pendiente de la recta ¿vale?. Una vez tenga esos dos conceptos yo le introduzco la defi-

nición, la derivada por definición, la definición que te di, la definición de la pendiente de

la recta tangente. Una vez tiene ese concepto una vez empezaría, si yo soy la que le tengo

que entrenar entonces, le haría preguntas y le preguntaría cosas como, por ejemplo ¿cuál

es la ecuación de la recta tangente a esta curva en este punto? De manera que tenga que

preguntarse de donde me saco la pendiente para construir esta recta. Y que tenga o que

se de cuenta o que recuerde que es la derivada que coincide con la derivada o bueno,

cosas así. También necesita saber funciones, límites, lo de la recta. Bueno no sólo fun-

ciones, sino gráficas de funciones, hombre pues hasta suma de fracciones, hasta ¿cómo

se dice eso? ya se me olvidó, división polinomial, por si acaso en el límite le sale algo de

división de polinomios. A lo mejor pondría algo así como polinomios, funciones con grá-

fica de funciones o al menos idea de gráfica de funciones, digamos geometría analítica,

aunque no necesita saber sino ecuación de la recta, bueno a lo mejor lo de la circunfe-

rencia también y límites y concepto de derivada y ya. Y si me sigue pensando seguramente

me daré cuenta que necesitará más. (Entrevista profesor licenciado 2, agosto 24 de 2014).

En este sentido, el profesor licenciado en matemáticas 2 hace rápidamente un recorrido por los

presaberes que un estudiante debe tener para poder abordar el tema de las derivadas, sin embargo,

aquí vuelve sobre su definición geométrica de la derivada como pendiente de la recta tangente,

pero este profesor sigue pensando en la derivada analítica. En este sentido, infiero que entre sus

registros semiótico verbal oral y verbal escrito tiene dos concepciones diferentes. De hecho, si

miramos su registro semiótico lenguaje simbólico, este profesor tiene dos concepciones de la de-

rivada en las diferentes representaciones de este registro, pues menciona la derivada como pen-

diente de la recta tangente y la derivada como límite.

Finalmente, le planteé al profesor licenciado en matemáticas 2 la siguiente situación: selec-

cionemos un número real fijo cualquiera, por ejemplo “equis” “Si uno le pregunta a un estudiante

qué significa equis prima, ¿qué crees que va a decir? ¿Dirá cero o uno?” Entonces, el profesor

licenciado en matemáticas 2 “yo creo que diría cero” (Entrevista profesor licenciado 2, agosto 24

de 2014). Luego, yo le digo ¿por qué? y él argumenta.

Porque directamente asociaría, le asociaría con una función constante y la derivada de

un número, no de la función constante, la derivada de un número es cero. Si me dijera,

el número 5 representa una función constante y por tanto su derivada es cero, yo me

quedaría muy feliz. Pero muy seguramente me va a decir, la derivada de un número y yo


71

me aprendí que la derivada de un número es cero. (Entrevista profesor licenciado 2,

agosto 24 de 2014).

A este argumento, yo le agregué y ¿qué pasa si hay estudiantes que escriben uno? El profesor

aduce que “es un obstáculo más de lectura y de la representación misma de los números reales”


4.2.2.3 Sobre sus prácticas de aula

Luego de indagar sobre las concepciones que tiene el profesor licenciado en matemáticas 2 sobre

la derivada, le pregunté por su planeación de clase. Específicamente, le pregunté lo mismo que le

dije al profesor matemático 1, si él se sentaba y hacia algunas notas de clase para desarrollarlas en

el salón o si simplemente tomaba un libro y lo ojeaba y se iba para la clase o ¿qué hacía antes de

su clase? El profesor licenciado en matemáticas 2 me manifestó que usualmente toma el texto guía

y lo lleva al salón de clase y a partir de lo que propone el libro él desarrolla su clase. Esta es una

posición cómoda de hacer su trabajo, sin embargo, este profesor argumenta que en la mayoría de

los lugares donde ha trabajado y trabaja actualmente, les dan un libro que se maneja al interior de

las diferentes facultades para sus materias y sus programas. En este sentido, el profesor licenciado

en matemáticas 2 dice que “no tiene lógica que yo planee mi clase con otro texto, pues aquí nos

dan el libro con el que ya están “casados” la editorial y la edición, entonces pues uno simplemente

sigue la regla.”.(Entrevista profesor licenciado 2, agosto 24 de 2014).

De esta manera, yo le pregunté por los nombres de los libros que usualmente trabajan en estos

cursos y él me respondió lo mismo que me dijo el profesor matemático 1, el libro de Stewart, para

ingenierías, el de Haeussler, para los cursos de ciencias económicas. Este profesor licenciado en

matemáticas 2 nunca ha dictado clase a cursos de ciencias básicas, y por esta razón no mencionó

el libro de Apóstol.

Sobre las evaluaciones que hace a sus estudiantes, le pregunté ¿qué era lo que evaluaba con

respecto a la derivada? Y el profesor argumentó.

Puedo decir que pregunto por derivadas a partir de su definición calculando el límite.

Aunque hay algunas derivadas que deben saber de memoria y entonces tal vez haríamos

ejercicio algorítmicos de aplicación de esas reglas. Aunque a mí me parece importante

también, preguntar por aplicaciones de la derivada, tanto en ejercicios de tasas relacio-

nadas como de máximos y mínimos de funciones y optimización. Usualmente esto es lo

que pregunto en mis evaluaciones. Ah y obviamente sobre la recta tangente a una curva.


De acuerdo con lo anterior, puedo deducir que el profesor tiene en cuenta al momento de evaluar

la derivada, la definición analítica de la derivada, la derivada como máximos y mínimos, la deri-

vada como tasas relacionadas, la derivada geométrica, pero también la derivada simbólica. Hasta

este momento de la entrevista el profesor licenciado en matemáticas 2 no había mencionado la

derivada simbólica, ni las reglas de derivación. Ahora, puedo concluir que el profesor licenciado

en matemáticas 2 tiene una convicción de la derivada como derivada simbólica pero el profesor

tiene una convicción de la derivada como la derivada geométrica que ya lo había mencionado con

anterioridad en su registro semiótico gráfico.


72

4.3 COMPARANDO SIMILITUDES Y DIFERENCIAS ENTRE LAS

CONCEPCIONES Y LAS CREENCIAS

En este apartado se compararán las similitudes y diferencias encontradas entre las concepciones y

creencias del matemático y del licenciado en matemáticas sobre el objeto matemático de la deri-

vada. También se presentarán diferencias y similitudes sobres sus prácticas de enseñanza y la

forma como han impactado sus concepciones en sus prácticas de aula.

4.3.1 Similitudes en las concepciones de la derivada

Entre las similitudes en las concepciones de la derivada, debo decir que tanto el profesor matemá-

tico 1 como el licenciado en matemáticas 2 comparten la convicción de la derivada como derivada

geométrica y entre sus concepciones coinciden con la derivada analítica, y la derivada intuitiva.

Ambos profesores están de acuerdo con la definición geométrica de la derivada como la pendiente

de la recta tangente. De hecho, ambos profesores coinciden en su concepción geométrica de la

derivada como la recta tangente – local.

De igual forma, ambos profesores conciben que la definición formal de la derivada es la deri-

vada analítica, es decir, la representación semiótica verbal oral que corresponde al límite del co-

ciente diferencial. Asimismo, ambos profesores coinciden en la definición intuitiva de la derivada

como la aproximación por las rectas secantes.

De otra parte, ambos profesores comparten sus representaciones semióticas del registro se-

miótico lenguaje gráfico al representar la derivada como la pendiente de la recta tangente – local

a una curva, pues ambos profesores dibujaron pequeñas rectas en varios puntos de una curva dada.

También, encuentro similitudes en sus representaciones semióticas del registro lenguaje ver-

bal oral, pues ambos profesores coinciden en definir la derivada en palabras como la pendiente de

la recta tangente.

En lo fenomenológico, puedo decir que los profesores coinciden en la derivada como una tasa

relacionada (rate), es decir, como una velocidad, como la variación entre dos variables. Aunque

un profesor la denomina derivada física, pero esto corresponde al mismo nombre de tasa o rate en

inglés. También los dos profesores coinciden en los problemas de cinemática y en los de máximos

y mínimos y optimización de funciones.

Sin ser muy conscientes de ello, los dos profesores tienen una convicción sobre la derivada

como derivada simbólica, si bien, ellos no lo manifestaron abiertamente, pero si lo tienen en cuenta

a la hora de evaluar a sus estudiantes. Por esta razón, me atrevo a decir que estos dos profesores

inconscientemente también tienen esta convicción de la derivada.

Con respecto a la lista de presaberes o preconceptos que deberían tener los estudiantes para

poder comprender el concepto de derivada, creo que ambos profesores coinciden en los mismos

conceptos, interpretación de gráficas, límites, línea recta, números reales. Aunque el profesor ma-

temático 1 se refirió también a la continuidad de funciones, mientras que el profesor licenciado en

matemáticas 2 no lo mencionó en ningún momento.

Finalmente, con respecto a las evaluaciones, pienso que ambos profesores coinciden en que

lo importante que deben saber los estudiantes sobre la derivada, y por tanto, lo que se evalúa en


73

clase con respecto a este contenido matemático es la definición geométrica de la derivada como

pendiente de la recta tangente. Además, ellos consideran pertinente evaluar la derivada simbólica

con el fin de que los estudiantes se ejerciten en los algoritmos o las reglas de derivación. Si bien,

este es un hecho que ya se había evidenciado y puesto de manifiesto en otros estudios como los

realizados por Sánchez, García y Llinares (2008), Artigue (1995). Este último autor argumenta que

las prácticas de aula en la clase de cálculo son “centradas en una práctica algorítmica y algebraica

de cálculo” (Artigue, 1995)

De otra parte, los profesores no mencionaron muchos detalles sobre lo que realmente hacen

al interior de sus aulas de clase, pero por lo que expresaron en sus entrevistas puedo inferir que

ambos tienen una posición fuerte sobre la enseñanza del cálculo de una forma tradicional, espe-

cialmente, estos profesores hacen énfasis en el contenido matemático en sí. Asimismo, en cuanto

a lo que realizan en sus aulas de clase, debo mencionar que mi intuición me dice que los dos

profesores realizan en el tablero los mismos dibujos de las curvas suaves para representar la deri-

vada, en este sentido, ambos utilizaron casi la misma curva.

Ahora, en lo que se refiere a los libros de texto que utilizan en clase, ambos profesores se

inclinan por utilizar el libro de texto sugerido por la Facultad donde trabajan, que al parecer es el

mismo texto. Creo, desde mi experiencia como docente de aula, que estos autores son los clásicos

en dichas facultades, solo cambia la edición del libro y la portada del mismo, porque el contenido

al interior de ellos es bastante similar. Aunque esto es una especulación de mi parte, bien podría

hacerse a futuro una investigación sobre los libros de texto que se utilizan en las facultades de

ingeniería, ciencias económicas y ciencias exactas para la enseñanza de cálculo diferencial.

4.3.2 Diferencias entre las concepciones y creencias

Entre las diferencias que hay en las concepciones que tienen estos dos profesores de matemáticas

puedo decir que el profesor matemático 1 es menos riguroso en su discurso, pues esto ha quedado

evidenciado en la respuesta que dio a la pregunta sobre si x es un número real… si bien, este

profesor admitió que había una confusión en el planteamiento de la pregunta al parecer no le dio

mayor importancia. En tanto que el profesor licenciado en matemáticas 2 si notó que había un

obstáculo en la pregunta que generaría una confusión en la respuesta de los estudiantes.

De otra parte, el profesor matemático 1 tiene más representaciones simbólicas de la derivada

puesto que durante la entrevista, este profesor tomó hoja y lápiz para escribir su representación

gráfica cartesiana, su representación algebraica y su representación analítica, mientras que el li-

cenciado en matemáticas 2 sólo se limitó a realizar la representación gráfica en la que sólo dibujo

una curva y sus tangentes, no realizó un sistema de coordenadas rectangulares como sí lo hizo el

profesor matemático 1. Parece una cuestión menor esto de las coordenadas cartesianas pero es un

detalle que los diferencia en sus registros de representación gráfica en las representaciones gráfi-

cas.

Otra diferencia que hay entre las concepciones entre estos dos profesores es que el profesor

matemático 1 tiene como convicciones la definición geométrica, la definición analítica y la defi-

nición intuitiva, mientras que el profesor licenciado en matemáticas 2 tiene como convicciones,

además de las anteriores, la derivada como función y la derivada microscópica. En este sentido, el

profesor licenciado en matemáticas 2 concibe la derivada como la función que toma cada argu-

mento le asigna por medio de la función derivada un valor que corresponde a la pendiente de la


74

recta tangente. Esta convicción no la tiene el profesor matemático 1, él no habla en ningún mo-

mento de la derivada como una función y a mi juicio esto hace una gran diferencia entre las con-

cepciones de estos profesores. De hecho, el profesor matemático 1 menciona la derivada como una

operación entre funciones, lo que podría incluirse dentro de sus concepciones más no de sus con-

vicciones.

Si bien ambos coinciden en tener una definición intuitiva de la derivada, el profesor matemá-

tico 1 se identifica con la definición de Newton, mientras que el profesor licenciado en matemáti-

cas 2 se va más por el lado de la aproximación por rectas secantes. Me llama la atención, que el

profesor matemático 1 habló sobre matemáticos reconocidos antiguos e hizo mención a la historia

de la derivada, de hecho el profesor matemático 1 argumentó sobre lo que yo ya había mostrado

en el desarrollo histórico de la derivada, en el sentido que primero fue la integral antes que la

derivada, al respecto el profesor matemático 1 argumentó

De hecho en todas las universidades enseñan primero cálculo diferencial y luego integral

cuando históricamente lo que surgió primero fue el integral. Entonces si vamos desde ahí

tenemos que pelear con el rector desde el principio porque hay que enseñar primero

cálculo integral y luego cálculo diferencial. (Entrevista profesor matemático 1, agosto 3

de 2014)

Mientras que el profesor licenciado en matemáticas 2 no hizo mención alguna a matemáticos an-

tiguos, ni tampoco habló del desarrollo histórico de la derivada. Esto me hace pensar, que el pro-

fesor matemático 1 también es riguroso en relación con lo histórico – epistemológico de los con-

ceptos matemáticas, especialmente este concepto fundamental de las matemáticas.

Otra diferencia que encuentro entre las concepciones de estos dos profesores es que el profesor

matemático 1 en su representación gráfica cartesiana de la derivada, contempla curvas que no

necesariamente son suaves, y de alguna manera tampoco son “fáciles de enseñar”. Por el contrario,

este profesor dibuja curvas con puntos angulares, y piensa en rectas tangentes en los puntos de

inflexión de la curva, en tanto que el profesor licenciado en matemáticas 2 se limitó a hacer una

curva suave “fácil de enseñar” y probablemente asuma que es “fácil de comprender” el concepto

de la derivada.

En cuanto a los fenómenos, encuentro que el profesor licenciado en matemáticas 2 tiene en

cuenta aplicaciones a la economía y las finanzas, mientras que el profesor matemático 1 utiliza

más aplicaciones hacia la física.

En cuanto a la forma de evaluar, encuentro que el profesor matemático 1 se preocupa más por

la interpretación de las gráficas de las funciones, y la interpretación de la primera y segunda deri-

vada, mientras que el profesor licenciado en matemáticas 2 evalúa más la definición geométrica

de la derivada y la práctica algorítmica y algebraica de la reglas de derivación.


75

5 CONCLUSIONES, LIMITACIONES Y

RECOMENDACIONES

En este apartado presento las conclusiones de la presente investigación junto con las limitaciones

de este estudio, y las recomendaciones para futuras investigaciones sobre las concepciones y creen-

cias de los profesores de matemáticas.

5.1 CONCLUSIONES

En primer lugar, voy a presentar las conclusiones de este estudio de dos casos sobre las concep-

ciones que tiene un profesor matemático y un licenciado en matemáticas sobre la derivada, de

acuerdo con los objetivos específicos planteados para esta investigación.

5.1.1 Identificar y describir las concepciones

En relación con el primer objetivo de identificación y descripción de las concepciones podemos

concluir en este estudio acerca de las concepciones que tiene un profesor de matemáticas sobre la

derivada, puedo concluir que los dos docentes conciben la derivada en el sentido geométrico como

la pendiente de la recta tangente y, de esta manera, estos dos profesores enfatizan sus prácticas de

enseñanza en torno a esta definición, sin embargo, puedo inferir que sus prácticas de enseñanza se

ven influenciadas por sus formaciones profesionales, y digo que se puede inferir esto ya que el

profesor matemático 1 utiliza diversas gráficas para enseñar este tópico. Al parecer, esto es pro-

ducto de su formación matemática rigurosa, axiomática, estricta con mayor número de cursos de

matemáticas avanzadas que tuvo durante su formación profesional, mientras que el profesor licen-

ciado en matemáticas, si bien, ha tomado los mismos cursos del ciclo básico y algunos cursos

avanzados de matemáticas, pero en todo caso menos cursos de matemáticas avanzadas, y con ello

no quiero decir que menos rigurosidad, pero sí se evidencia que el profesor licenciado en matemá-

ticas 2 es más laxo y utiliza gráficas de funciones que parecen más “fáciles de enseñar”.

Al describir las concepciones de los dos profesores de matemáticas puedo concluir que los

dos profesores tienen los mismos registros semióticos del lenguaje gráfico, lenguaje simbólico,

lenguaje verbal oral sobre el objeto matemático de la derivada. Estas representaciones semióticas

también influyen en sus prácticas de aula. No obstante, no solo estos registros son los que están

presentes en sus clases de cálculo, sino también el libro de texto que utilizan, ya que como se puso

de manifiesto, depende de la universidad en la cual enseñan y también de la facultad en la que


76

laboran que hacen uso de un libro determinado, que tiene sus propios ejemplos, su notación, len-

guaje y aplicaciones. Aunque el lenguaje matemático es considerado un lenguaje universal, pienso

que cada libro tiene su estilo y las aplicaciones que proponen, en algunos casos, son muy diferen-

tes, pues una cosa son las aplicaciones para las ingenierías, que las aplicaciones para las ciencias

económicas, o las aplicaciones en las ciencias exactas. Sin embargo, creo que esta discusión puede

dar pie para una investigación posterior sobre esta disyuntiva del uso de los textos escolares en las

clases de cálculo a nivel universitario.

5.1.2 Diferencias y similitudes

En relación con el objetivo de caracterizar y contrastar las diferencias y similitudes, puedo concluir

que no siempre los dos profesores coinciden en las formas de concebir el objeto matemático de la

derivada, pues se evidencia que existen algunas diferencias en dichas concepciones, especial-

mente, en la definición de la derivada como función que tiene el profesor licenciado en matemáti-

cas 2 y que no tiene el profesor matemático 1.

Una diferencia entre las concepciones de los profesores es que para estos dos profesores es

importante evaluar a sus estudiantes con respecto a la derivada. En este sentido, el profesor mate-

mático de profesión se preocupa más por la interpretación de la derivada, en tanto que el profesor

licenciado en matemáticas se preocupa más por la práctica algorítmica de las reglas de derivación.

Sin embargo, ambos profesores coinciden en evaluar a sus estudiantes la definición analítica de la

derivada. Es decir, los dos profesores evalúan el límite del cociente diferencial, y también ambos

evalúan la derivada en el sentido geométrico de la pendiente de la recta tangente. Probablemente,

las diferencias que tienen los dos profesores en cuanto a la interpretación de la derivada y la prác-

tica algorítmica de la derivada esté influenciada por sus formaciones profesionales, sin embargo,

considero que esto puede ser de nuevo otro tema de investigación posterior sobre las decisiones

que toma el profesor de matemáticas a la hora de evaluar a sus estudiantes.

En relación con el tercer objetivo que planteé para esta investigación, identificar las formas

como influyen las concepciones de los profesores de matemáticas en sus planeaciones de clase,

puedo decir que no se pudo lograr este objetivo en este estudio.

5.1.3 Conclusiones metodológicas

En relación con las conclusiones metodológicas que se derivan de este estudio puedo decir que la

selección de los dos participantes no fue intencionada, en la diferencia de género, pues mi interés

era caracterizar las concepciones y creencias de un matemático y un licenciado en matemáticas.

Por esta razón, después de que analicé las respuestas de la carta de invitación, escogí las dos res-

puestas en las que se puso de manifiesto las diferentes concepciones de los profesores. Y por ello

seleccioné al profesor matemático 1 y al licenciado en matemáticas 2. Con esto quiero decir que

no escogí un hombre y una mujer para comprender sus concepciones, sino que después de revisar

las respuestas a la carta de invitación es que caigo en la cuenta de que han quedado finalmente un

hombre y una mujer, pero no fue intencional esta escogencia.

Una segunda conclusión metodológica es que al construir la entrevista semiestructurada, me

doy cuenta que hacer preguntas que les permitan a los participantes ahondar en sus concepciones

tiene muchas ventajas, en el sentido que ellos se sienten cómodos al momento de expresar sus

opiniones, de asumir una posición y defender sus creencias. Sin embargo, también hay preguntas


77

que tienen desventajas, especialmente, las preguntas que están basadas en la confusión usual de

los registros semióticos de la derivada.

Aunque parece muchas personas saben qué es un mapa conceptual, pero resulta que no nece-

sariamente sucede así, en este sentido, considero que no fue tan buena la pregunta del mapa con-

ceptual pues cuando les pregunte a los profesores sobre esto, ellos no supieron cómo plantear el

mapa, aunque ambos profesores tenían claro lo que los estudiantes debían saber para el estudio de

la derivada, pero probablemente no sabían cómo organizar estos conceptos en un mapa conceptual.

Tal vez para futuras investigaciones, se deba hacer con anterioridad un taller sobre mapas concep-

tuales, qué son, cómo se construyen para poder abordar esta pregunta con más claridad.

Finalmente, en relación con la derivada de Carathéodory no se tiene en cuenta en el sentido

estricto para el análisis histórico ni en la entrevista. Si bien, es importante conocer las distintas

formas de concebir la derivada, pero no hay que proponerlas dentro del marco teórico ni metodo-

lógico puesto que en los cursos de cálculo diferencial de primer semestre esta concepción no se

enseña.

5.2 LIMITACIONES.

En cuanto a las limitaciones de este estudio, puedo decir que la principal limitante fue la resistencia

que pusieron mis colegas, y por ende la recolección de los datos se hizo un poco difícil, pues la

mayoría de los profesores con los que dialogué rechazaron la invitación porque creían que los iba

a evaluar, o poner una etiqueta de “buen profesor” o “usted no sabe sobre la derivada”. A pesar de

que les informé sobre el objetivo y el interés de este estudio varios profesores se rehusaron a par-

ticipar, considero que sentirse evaluado no les permitió la oportunidad de reflexionar sobre sus

propias prácticas, reflexionar sobre lo que saben, lo que enseñan y cómo lo enseñan.

Una segunda limitación de esta investigación fue la dificultad en el acceso a la información

sobre los programas de Matemáticas y Licenciatura en Matemáticas, pues en el Sistema Nacional

de Información de la Educación Superior – SNIES, la información está desactualizada y tuve que

indagar en los portales de las diferentes universidades para mirar si efectivamente ofrecían estos

programas de pregrado.

Asimismo, otra limitación fue el hecho de que en los portales de las universidades no aparecen

los planes de estudio de las diferentes asignaturas, esto también me dificultó el proceso de carac-

terizar los perfiles profesionales de los profesores de matemáticas. Ahora, también encontré que

según el documento que aparece en los cursos de licenciatura en matemáticas los estudiantes deben

tomar el curso de Historia y Epistemología pero en la práctica esto no se cumple, pues este curso

ya no se dicta en todas las universidades.

Finalmente, otra limitación está relacionada con el desconocimiento que tienen los profesores

de matemáticas sobre la elaboración de mapas conceptuales. Parece ser una cuestión menor, pero

aunque la gente hable de conceptos y preconceptos o presaberes, les cuesta mucho trabajo intentar

plasmar estos conceptos en un mapa conceptual y prefieren hacer un discurso alrededor de esos

conceptos.


78

5.3 RECOMENDACIONES

Las recomendaciones para futuras investigaciones sobre las concepciones y creencias de los pro-

fesores son, por ejemplo, indagar sobre las decisiones que toma un profesor de matemáticas al

momento de evaluar, sería interesante estudiar cómo inconscientemente los profesores preguntan

cosas que en su registro semiótico verbal no lo manifiestan como relevante, pero que al momento

de evaluar es una cuestión que siempre quieren mirar en sus estudiantes.

También sería interesante, para futuras investigaciones, indagar sobre los libros de texto de

matemáticas que se utilizan en los cursos de cálculo diferencial en el nivel universitario, pue si

bien existen varios autores y editoriales que son populares, pero hay unos libros especializados

para ingenierías y otros para las ciencias económicas y exactas que sería interesante revisar estos

libros para poder indagar sobre la influencia que tienen estos textos en las prácticas de enseñanza

de los profesores de matemáticas.

Finalmente, sería interesante que en Colombia se investigara sobre los planes de estudio ofre-

cidos por las universidades donde se forman los profesores de matemáticas, tanto matemáticos de

profesión, como licenciados en matemáticas, aunque los currículos son en su mayoría “homogé-

neos” en cuanto a los cursos avanzados de matemáticas y el ciclo básico, sería bueno indagar sobre

los programas actuales, cuáles están acreditados, e indagar sobre los planes de estudio con los que

se forman estos profesores y la influencia que esta formación ejerce en su desempeño como do-

cente de aula.


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LISTA DE FIGURAS

Figura 1. La derivada como pendiente p. 29

Figura 2. La derivada como límite en la curva = ( ) en el punto ( , ). p. 30

Figura 3. Puntos máximos y mínimos de una función = ( ) p. 31

Figura 4. Estructura conceptual de la derivada (Elaboración propia) p. 38

Figura 5. Representación cartesiana de la recta secante de una función p. 42

Figura 6. Representación de la derivada como tangente. p. 43

Figura 7. Representación gráfica de la derivada profesor Matemático. p. 51

Figura 8. Representación gráfica de rectas tangentes verticales p. 52

Figura 9. Representación gráfica de una función con puntos angulares p. 53

Figura 10. Formulación algebraica de la derivada. p. 54

Figura 11. Representación gráfica de la formulación algebraica de la derivada p. 54

Figura 12. Definición analítica formal de la derivada p. 55

Figura 13. Lista de conceptos previos. p. 59

Figura 14. Representación gráfica de la derivada como la recta tangente p. 68


85

LISTA DE TABLAS

Tabla 1. Diferentes formas de concebir la derivada p. 34


86

ANEXO 1. CARTA DE INVITACIÓN

Bogotá D. C.,

Señor:

XXX

Matemático/Licenciado en Matemáticas

Ciudad

Reciba un cordial saludo.

La presente carta tiene como fin hacerle extensiva la invitación a participar en la investigación de

la tesis de Maestría en Educación – Énfasis Educación Matemática de la Universidad del Valle,

titulada “Las concepciones del concepto de derivada: dos estudios de caso sobre un matemático

y un licenciado en matemáticas”; dicha investigación se propone en la línea de Didáctica de las

Matemáticas, en el campo de Formación de Profesores de Matemáticas, y se encuadra en la línea

del pensamiento del profesor, que pretende una mejor comprensión de los procesos de enseñanza-

aprendizaje del concepto de la derivada.

Ahora bien, lo que pretendo es caracterizar las creencias, convicciones y concepciones que

usted tiene con respecto al concepto de la derivada; de esta manera, le solicito muy atentamente

que me responda en algunas líneas las siguientes preguntas que orientarán dicha caracterización.

¿Qué piensa usted de como aprenden los estudiantes el cálculo?

¿Qué piensa usted sobre la forma de enseñar Matemáticas en el primer año de universidad?

¿Qué papel le asigna al Conocimiento Conceptual de las Matemáticas en el momento de la

planeación de una clase particular de matemáticas?

Piense intuitivamente lo que le suscita, o le provoca o qué opinión le genera cuando oye

usted la expresión: “La derivada de…” Trate de formularlo en palabras.

Agradezco la atención prestada a la presente carta, quedo atenta a sus comentarios y respuestas.

Sin otro particular al respecto,


Estudiante de Maestría en Educación – Énfasis Educación Matemática

Universidad del valle


87

ANEXO 2. PROTOCOLO ENTREVISTA SEMIESTRUCTURADA

Retomando la respuesta que usted dio a la pregunta: piense intuitivamente lo que le suscita, o le

provoca o qué opinión le genera cuando oye usted la expresión: “La derivada de…” Trate de for-

mularlo en palabras.

¿Podría usted ampliar la idea sobre el concepto de la derivada?

¿Por qué no me explica mejor las aplicaciones de la derivada?

¿Puedes mencionar otros fenómenos en los que también te sirve la derivada? (el fenómeno

de la densidad)

¿Podría representar en una hoja la imagen que se forma en su mente acerca de la pendiente

de la recta tangente a una curva?

¿Podría explicarme un poco más lo de la pendiente?

¿Podría explicarme un poco más lo de la tangente? (tangente geométrica)

¿Podría usted dar una definición de lo que usted considera es la derivada?

¿Cuál es su definición formal preferida? Dígala primero en sus palabras, y luego la escribe.

Tener a mano un papel para que la escriba.

¿Podría ponerle algún nombre a esta definición, o se la atribuye a algún matemático cono-

cido?

¿Cómo le sintetizaría en un esquema/mapa conceptual/ a un estudiante que le va a ayudar

para repasar para el examen final de cálculo sobre la derivada?

“Seleccionemos un número real fijo cualquiera, por ejemplo equis”. y escribir “x R”.

Luego sí decir: “Si uno le pregunta a un estudiante qué significa equis prima, que cree que

va a decir? ¿Dirá cero o uno?

las concepciones del concepto de sobre un...

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