Transformada de LAPLACEAnálisis Matemático IV

Transformada de LAPLACE

Introducción

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.

Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada

1. Definición de la TransformadaSea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integral converge

Notas1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se

considera constante2. La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la

variable s

3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:

1. De orden exponencial

2. Continua a trozos

2. Definición de la Transformada Inversa La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir

si es que acaso

Esta definición obliga a que se cumpla:

y

3. Tabla de Transformadas 1. Obtención

2. Obtención

3. Obtención

4. Obtención Para n entero

: 5. Obtención Para

6. Obtención Para s > a

7. Obtención

8. Obtención

9. Obtención

10.Obtención

4. Existencia de la Transformada Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para de una función cualquiera:

1. Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo 2. Ser de orden exponencial

5. Propiedades de la TransformadaEn las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.

1. Linealidad

IdeaLa transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

Versión para la inversa:

2. Primer Teorema de Traslación

donde

IdeaLa transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.

Versión para la inversa:

3. Teorema de la transformada de la derivada

IdeaLa transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

4. Teorema de la transformada de la integral

5. Teorema de la integral de la transformada

Siempre y cuando exista

6. Teorema de la derivada de la transformada

7. Transformada de la función escalón

Si representa la función escalón unitario entonces

8. Segundo teorema de Traslación

9. Transformada de una función periódica

Si f(t) es una función periódica con período T:

6. Teorema de la Convolución Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces

7. Técnicas para la Transformada Inversa 1. Separación de Fracciones,

2. Primer Teorema de Traslación,

3. Fracciones Parciales,

4. Segundo Teorema de Traslación,

5. Convolución,

8. Método de Solución de ED basado en Laplace

Pasos

1. Aplicar la transformada de Laplace en ambos miembros de la ED2. Usar las propiedades de la transformada para tener una expresión en L{y(t)}.

Esta expresión se conoce como la Ecuacion Característica

3. Aplicar la transformada inversa de Laplace para despejar y(t)

9. DEDUCCIONES DE FÓRMULA

La razón principal por la cual las demostraciones de las pruebas son incluidas es que hacen uso del teorema de la transformada de la derivada, haciéndolas sencillas y breves.

Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde :

Por tanto

Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde y utilizando la obtención 1:

Por tanto

Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde y utilizando la obtención 2 y la linealidad de la transformada:

Por tanto

Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde y utilizando un razonamiento inductivo:

Por tanto

Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la

función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde:

Por tanto y despejando :

Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde:

Por otro lado, si ahora utilizamos el mismo teorema de la transformada de la derivada pero usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

Si resolvemos este sistema de ecuaciones simultaneas en y obtenemos las fórmulas deseadas.