CONTROL DE PROCESOS 2016-II

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LABORATORIO N°2

TRANSFORMADA DE LAPLACE

27/04/2016

1. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Ayuda a relacionar las ecuaciones diferenciales lineales de orden n con el dominio s mediante el operador de Laplace.

𝐹(𝑠) = 𝐿[𝑓(𝑡)] = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

A continuación se explican dos propiedades de las más importantes de la transformada de Laplace, las cuales son útiles porque permiten obtener la transformada de algunas funciones a partir de las más simples.

2.1. Linealidad Esta propiedad la más importante, establece que la transformada es lineal; es decir, si k es una contante:

𝐿[𝑘𝑓(𝑡)] = k L[f(t)] = k F(s)

𝐿[𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡)] = L[f(t)] + L[g(t)] = F(s) + G(s)

2.2. Teorema de la Diferenciación Real Este teorema establece la relación de la transformada de una función con la de su derivada.

𝐿 [𝑑𝑓(𝑡)

𝑑𝑡] = s F(s) − f(0)

𝐿 [𝑑2𝑓(𝑡)

𝑑𝑡2] = s2 F(s) − s f(0) − f´(0)

3. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Se llama f(t) a la transformada inversa de Laplace de F(s), y se denota por:

𝑓(𝑡) = 𝐿−1[𝐹(𝑠)]

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4. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES

También llamado desarrollo de fracciones parciales, se conoce como polinomio característico a la transformación de una función f (t) a la forma F(s). Existen 4 casos bastante conocidos sobre este tema, que se exponen a continuación: Caso I. El polinomio característico presenta raíces reales distintas.

𝐺(𝑠) =𝑃(𝑠)

𝑄(𝑠)=

𝑃(𝑠)

(𝑠 + 𝑝1)(𝑠 + 𝑝2) … (𝑠 + 𝑝𝑛 )

𝐺(𝑠) =𝐴

(𝑠 + 𝑝1)+

𝐵

(𝑠 + 𝑝2)+ ⋯

𝑁

(𝑠 + 𝑝𝑛)

Caso II. El polinomio característico presenta n raíces reales repetidas.

𝐺(𝑠) =𝑃(𝑠)

𝑄(𝑠)=

𝑃(𝑠)

(𝑠 + 𝑝)𝑛

𝐺(𝑠) =𝐴

(𝑠 + 𝑝)+

𝐵

(𝑠 + 𝑝)2+ ⋯

𝑁

(𝑠 + 𝑝)𝑛

Caso III. El polinomio característico tiene raíces complejas distintas.

𝐺(𝑠) =𝑃(𝑠)

𝑄(𝑠)=

𝑃(𝑠)

(𝑠2 + 𝑏1𝑠 + 𝑐1)(𝑠2 + 𝑏2𝑠 + 𝑐2) … (𝑠2 + 𝑏𝑛𝑠 + 𝑐𝑛 )

𝐺(𝑠) =𝐴𝑠 + 𝐵

(𝑠2 + 𝑏1𝑠 + 𝑐1)+

𝐶𝑠 + 𝐷

(𝑠2 + 𝑏2𝑠 + 𝑐2)+ ⋯

𝑀𝑠 + 𝑁

(𝑠2 + 𝑏𝑛𝑠 + 𝑐𝑛)

Caso IV. El polinomio característico tiene n raíces complejas repetidas.

𝐺(𝑠) =𝑃(𝑠)

𝑄(𝑠)=

𝑃(𝑠)

(𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑐)𝑛

𝐺(𝑠) =𝐴𝑠 + 𝐵

(𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑐)+

𝐶𝑠 + 𝐷

(𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑐)2+ ⋯

𝑀𝑠 + 𝑁

(𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑐)𝑛

5. OTRAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace posee dos teoremas muy importantes usados en los

procesos dinámicos y el control de procesos.

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5.1. Teorema de Valor Inicial (TVI)

Si se tiene que y (t) es la respuesta de un sistema a una determinada entrada,

el teorema de valor inicial seria:

𝑦(0) = lim𝑡→0

𝑦(𝑡) = lim𝑠→∞

𝑠 𝑌(𝑠)

Este teorema es útil para calcular el valor inicial de una función a partir de su

transformada.

5.2. Teorema de Valor Final (TVF)

Igualmente para el teorema de valor final se establece que:

𝑦(∞) = lim𝑡→∞

𝑦(𝑡) = lim𝑠→0

𝑠 𝑌(𝑠)

Este teorema permite el cálculo del valor final o de estado estacionario de una

función a partir de su transformada.

6. EJERCICIOS DE APLICACIÓN CON MATLAB

6.1. Ejercicio N°1

De la ecuación diferencial de segundo orden:

𝑑2𝑐(𝑡)

𝑑𝑡2+ 3

𝑑𝑐(𝑡)

𝑑𝑡+ 2𝑐(𝑡) = 5𝑢(𝑡)

En la que u(t) es la función escalón unitario, encuéntrese la función c(t),

sabiendo que las condiciones iniciales son:

𝑐(0) = 0; 𝑑𝑐

𝑑𝑡(0) = 0

Aplicando Transformada de Laplace

𝐿 [𝑑2𝑐(𝑡)

𝑑𝑡2] + 𝐿 [3

𝑑𝑐(𝑡)

𝑑𝑡] + 𝐿[2𝑐(𝑡)] = 𝐿[5𝑢(𝑡)]

𝑠2𝐶(𝑠) + 3𝑠𝐶(𝑠) + 2𝐶(𝑠) = 5𝑈(𝑠)

𝐶(𝑠)(𝑠2 + 3𝑠 + 2) = 5𝑈(𝑠)

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𝐶(𝑠) =5

(𝑠2 + 3𝑠 + 2)𝑈(𝑠)

𝐶(𝑠) =5

(𝑠2 + 3𝑠 + 2)

1

𝑠

Resolviendo el polinomio del denominador para C(s)

𝐶(𝑠) =5

(𝑠2 + 3𝑠 + 2)𝑠

𝑄(𝑠) = (𝑠2 + 3𝑠 + 2)𝑠 = 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)

𝐶(𝑠) =5

𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)

Aplicando fracciones parciales:

𝐶(𝑠) =5

𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)=

𝐴

𝑠+

𝐵

𝑠 + 1+

𝐶

𝑠 + 2

𝐴 = lim𝑠→0

5

(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)=

5

2

𝐵 = lim𝑠→−1

5

𝑠(𝑠 + 2)= −5

𝐶 = lim𝑠→−2

5

𝑠(𝑠 + 1)=

5

2

Reemplazando resultados

𝐶(𝑠) =

52𝑠

−5

𝑠 + 1+

52

𝑠 + 2

Invirtiendo la transformada de Laplace

𝑐(𝑡) =5

2𝑢(𝑡) − 5𝑒−𝑡 +

5

2𝑒−2𝑡

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6.2. Ejercicio N°2

Encuentre x(t) para la siguiente función usando la descomposición de

fracciones parciales a través de dos métodos diferentes en MATLAB

𝑋(𝑠) =𝑠 + 1

(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)(𝑠2 + 4)

Solución por Método 1

num=[1 1]

den=conv(conv([1 2],[1 3]),[1 0 4])

[r, p, k]=residue(num,den)

r =

0.1538 + 0.0000i

-0.1250 + 0.0000i

-0.0144 - 0.0529i

-0.0144 + 0.0529i

p =

-3.0000 + 0.0000i

-2.0000 + 0.0000i

-0.0000 + 2.0000i

-0.0000 - 2.0000i

k =

[ ]

Solución por Método 2

syms s

x=(s+1)/(s+2)/(s+3)/(s^2+4)

diff(int(x))

ans =

2/(13*(s + 3)) - 1/(8*(s + 2)) + (- 3/208 - (11*i)/208)/(s - 2*i) + (- 3/208 + (11*i)/208)/(s + 2*i)

pretty(ans)

6.3. Ejercicio N°3

Considerar la transformada de Laplace y determinar el valor inicial, mediante

el uso de MATLAB

𝐺(𝑠) =4𝑠3 + 5𝑠 + 18

3𝑠4 + 12𝑠3 + 15𝑠2 + 24𝑠 + 10

Solución:

% Se crea la variable del numerador y denominador

num = [4 0 5 18 0];

den = [3 12 15 24 10];

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% se da un valor grande a la variable

inf = 1000000;

valini = polyval(num,inf)/polyval(den,inf)

valini =

1.3333

6.4. Ejercicio N°4

Considere la transformada y determinar el valor final, a mano y mediante el

uso de MATLAB.

𝐹(𝑠) =6(𝑠 − 2)(𝑠 + 2)

𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 3)(𝑠 + 4)

Solución:

% Se crea el numerador y denominador

num = conv(conv([0 6],[1 -2]),[1 2])

num =

0 6 0 -24

den = conv(conv([1 1],[1 3]),[1 4])

den =

1 8 19 12

% se aplica el comando polyval y se determina que sea evaluado en s = 0

valfin=polyval(num,0)/polyval(den,0)

valfin =

-2