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ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE 2010

TEMA VI

CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE

6.1. CONSIDERACIONES GENERALES.

Es posible considerar los circuitos vistos hasta ahora como conductivamente acoplados, porque un lazo afecta a los lazos adyacentes mediante la conducción de corriente. Cuando dos lazos con o sin contacto entre ellos se influyen a través del campo magnético generado por uno de ellos, se concluye que están acoplados magnéticamente.

El tipo de acoplamiento depende de los sistemas que estemos estudiando, puede ser eléctrico, mecánico, hidráulico, etc.; también puede ser mixto, como ejemplos el parlante con el medio acústico y la celda fotoeléctrica que genera una señal eléctrica ante un estímulo luminoso.

De hecho estos acoplamientos pueden ser deseados o indeseados, o parásitos, pero de todas formas debemos tener conocimiento de sus efectos ya sea para aprovecharlos o minimizarlos.

Nuestro estudio está restringido a los sistemas eléctricos y entonces los tipos posibles de acoplamiento son tres: conductivo, capacitivo y electromagnético.

• El acoplamiento conductivo es aquel en el que el acoplamiento se realiza a través de conductores, la vinculación es por medio de una resistencia o impedancia (o una red tal como un cuadripolo); por ejemplo un amplificador con su parlante, y su comportamiento se resuelve por los métodos ya vistos.

• El acoplamiento capacitivo se realiza por medio de campos eléctricos, la conexión se realiza por capacitores; por ejemplo el acoplamiento inter-etapa de amplificadores, para aislar la componente de continua requerida para la polarización de los dispositivos, y también se resuelve por los métodos vistos.

• Finalmente el acoplamiento electromagnético es aquel en el cual las señales se transmiten a través de un campo electromagnético. Como ejemplo más típico están los diversos tipos de transformadores.

Aclaramos, que para ser considerado dentro de este tipo no basta que haya inductancias, podría ser un acoplamiento conductivo, sino que la conexión, se haga a través del campo magnético creado por ellas.

Un equipo ó dispositivo eléctrico diseñado en base al concepto de acoplamiento magnético es el transformador, que consiste constructivamente de dos bobinas o arrollamientos (circuitos) acopladas magnéticamente, con el objetivo operativo de transferir energía de un arrollamiento (circuito) a otro. Los transformadores son equipos importantes de un sistema eléctrico ó electrónico que tienen la función de aumentar y/o disminuir tensiones y corrientes de la corriente alterna.

La convención del punto usada para determinar la polaridad de las bobinas (sentido de arrollamiento) ó devanados con acoplamiento magnético, es un imperativo de la Inductancia Mutua.

6.1. COEFICIENTE DE AUTOINDUCCIÓN (INDUCTANCIA).

Sea el siguiente circuito:

FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 1 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


Figura 1

Flujo Concatenado: ϕ= N*∅ (Wb) (1)

Ley de Faraday: V= N d∅dt (V) (2)

V= L didt (V) (3)

Igualando ecuaciones (2) y (3):

N d∅dt = L didt L= N d∅di (H) (4)

Ley de Ampere: ∅ = N*iR (5)

Donde:

- ℜ Reluctancia magnética del medio atravesado por el flujo ( A-v/Wb )



V= dϕdt = d(N∅)dt = N d∅dt = N d(N*i)/Rdt = N2R didt (6)

Donde:

N2R = L (Coeficiente de Autoinducción)

En función de sus características geométricas y magnéticas del núcleo:

L = N2*μ*Sl (H) (7)

En ecuación (7), tomar en cuenta lo siguiente:

• N – Número de espiras de la bobina, arrollamiento o devanado• μ - Permeabilidad del medio magnético• S – Sección magnética del circuito magnético• l Longitud del circuito que recorre el flujo magnético

6.2. INDUCTANCIA MUTUA.

Sea el siguiente circuito:



Figura 2

El flujo creado por la bobina ó arrollamiento 1:

ϕ1= ϕL1+ ϕ12 (8)

El flujo creado por la bobina ó arrollamiento 2:

ϕ2= ϕL2+ ϕ21 (9)

Los flujos ϕ12 y ϕ21, indican, que aunque las dos bobinas se encuentren físicamente separadas, ellas

se encuentran acopladas magnéticamente, es decir:

Tensión Autoinducida, Tensión Inducida en las dos bobinas cuando: i1=1 ; i2=0 Tensión Autoinducida Arrollamiento 1 Tensión Inducida Arrollamiento 2



v1= N1 d∅1dt v2= N2 d∅12dtv1= N1 d∅1di1 di1dt v2= N2 d∅12di1 di1dt

v1= L1 di1dt v2= M21 di1dtDonde: M21, es la inductancia mutua de la bobina 2 con respecto a la bobina 1

Tensión Autoinducida, Tensión Inducida en las dos bobinas cuando: i2=1 ; i1=0 Tensión Autoinducida Arrollamiento 2 Tensión Inducida Arrollamiento 1

v2= N2 d∅2dt v1= N1 d∅21dtv2= N2 d∅2di2 di2dt v1= N1 d∅21di2 di2dt

v2= L2 di2dt v1= M12 di2dtDonde: M12, es la inductancia mutua de la bobina 1 con respecto a la bobina 2

Flujo total que atraviesa cada bobina

Arrollamiento 1 Arrollamiento 2



ϕ1= ϕL1+ ϕ12 ∓ ϕ21 ϕ2= ϕL2+ ϕ21 ∓ ϕ12 ϕL1 = k1 N1 * i1R ϕL2 = k2 N2 * i2R

ϕ12 = 1-k1 N1 * i1R ϕ21 = 1-k2 N2 * i2Rϕ1= N1 * i1R ± 1-k2 N2 * i2R ϕ2= N2 * i2R ± 1-k1 N1 * i1R

Mismo núcleo y arrollamientos similares: 1-k1 = 1-k2 = k

La tensión en ambos arrollamientos:

V 1 = N 1 d ∅1dt = N12R d i1dt ±k N1 N2R d i2 dt = L1 d i1dt ± M d i2 dt

V 2 = N 2 d ∅2dt = N22R d i2dt ±k N1 N2R d i1 dt = L2 d i2dt ± M d i1 dtDonde:

M = k N1 N2R = k N12R N22R = k L1 L2 (10)



6.3. MÁXIMO ACOPLAMIENTO Y MÁXIMO DESACOPLAMIENTO.

El coeficiente de autoinducción y la inductancia mutua se puede escribir bajo las siguientes condiciones:

6.3.1. MÁXIMO ACOPLAMIENTO ( NO EXISTE FLUJO DISPERSO):

Los flujos de dispersión:

ϕL1 → 0ϕL2 → 0

Luego:k = 1

Ello quiere decir máximo acoplamiento:

M = L1 L2 Los coeficientes de autoinducción:

L1 = N12R

L2 = N22R



Donde la reluctancia ,R, del circuito magnético, no es despreciable, por lo que L1 y L2 son finitos.

6.3.2. MÁXIMO ACOPLAMIENTO Y MATERIAL FERROMAGNÉTICO.

El coeficiente de acoplamiento:

k = 1La reluctancia del material:

R → 0

Los coeficientes de autoinducción:

L1 → 0

L2 → 0

6.3.3. MÁXIMO DESACOPLAMIENTO (NO EXISTE FLUJO MUTUO).

Los flujos mutuos, bajo esta condición:

ϕ12 → 0

ϕ21 → 0

El coeficiente de acoplamiento:

k = 0La inductancia mutua:

M = 0Los coeficientes de autoinducción serán:



L1 = N12R

L2 = N22REn el cuadro mostrado a continuación se puede ver un resumen de la tensión autoinducida y la tensión inducida por efecto mutuo en bobinas:

Figura 3

6.4. POLARIDAD Y CONVENCIÓN DEL PUNTO.

Sea el siguiente circuito de análisis, de la Figura 4:



Figura 4

En el circuito se puede observar el sentido del arrollamiento de cada bobina, en él podemos aplicar la Regla de la Mano derecha para determinar los dos polos definidos, es decir, el polo norte y el polo sur, que se muestran en un pequeño círculo. En el circuito anterior podemos afirmar que las dos bobinas se encuentran conectadas magnéticamente en serie aditivo, vale decir, el sentido de los flujos en ambas bobinas son iguales a lo largo del circuito magnético. Con todo ello viene automáticamente definido la polaridad en ambas bobinas. Sin embargo, es práctica común dibujar las diferentes bobinas sin explicitar el sentido de sus arrollamientos, en este caso, es necesario aplicar el concepto de convención del punto. Ver el siguiente circuito:

Figura 5

En la figura 5, no se puede distinguir el sentido del arrollamiento, tampoco la polaridad, por lo que es necesario recurrir, en este caso, a la convención del punto, de la siguiente forma: Ver figura 6

Figura 6

En el anterior circuito, podemos puntualizar lo siguiente:

“ Una corriente que entra a la terminal con punto de una bobina (L1), produce una tensión en circuito abierto con una referencia de tensión positiva en la terminal con punto de la segunda bobina (L2), en caso contrario, proporciona una tensión que se mide negativamente en la terminal sin punto de la segunda bobina (L2) ”



“ Una corriente que entra a la terminal sin punto de una bobina (L1), proporciona una tensión que se mide positivamente en la terminal sin punto de la segunda bobina (L2), en caso contrario, proporciona una tensión que se mide negativamente en la terminal sin punto de la segunda bobina (L2) ”

En la figura 7 (a), (b), (c) y (d), se pueden ver una variedad de casos posibles, en función del punto y la polaridad de la tensión:

Figura 7

“ La tensión entre terminales de cualquier bobina proviene de la variación en el tiempo del flujo de esa bobina. ”

Ambas bobinas producen flujos en el mismo sentido, L1 y L2, figura 8

La tensión en terminales de la primera bobina (L1), figura 8, es mayor cuando existe circulación de corriente en la segunda bobina (L2), que cuando no existe i2. Por lo que i2, induce una tensión en la primera bobina del mismo sentido que la tensión autoinducida en la bobina L1.



Figura 8

La convención del punto sólo permite descartar la construcción física de las bobinas.

“ Si los flujos tienen el mismo sentido en ambas bobinas (L1) y (L2), la tensión propia de la bobina y la tensión inducida, en la misma, se suman”.

“ Si los flujos no tienen el mismo sentido en ambas bobinas (L1) y (L2), la tensión propia de la bobina y la tensión inducida, en la misma, se restan”.

“ Si la corriente entra en una bobina por el punto homólogo, la polaridad de la tensión inducida en la otra bobina es positiva en el borne marcado con punto ”.

“ Si la corriente sale en una bobina por el punto homólogo, la polaridad de la tensión inducida en la otra bobina es negativa en el borne marcado con punto ”.

Ver en los ejemplos de las figura 9 y 10, estas últimas consideraciones:

Figura 9



Las ecuaciones para ambos arrollamientos: v1 = L1 di1dt + M di2dt (11)

v2 = M di1dt+ L2 di2dt (12)

En el siguiente circuito observar el sentido de corriente en el arrollamiento L2, que modificará las ecuaciones (11) y (12), sustancialmente, no pierda de vista, son fiel cumplimiento de las anteriores afirmaciones, resaltado entre comillas.

Figura 10

v1 = L1 di1dt – M di2dt (13)

v2 = M di1dt - L2 di2dt (14)

En el circuito de la figura 11, aplicaremos los criterios alcanzados hasta ahora, para hallar las expresiones de las tensiones en un circuito formado por tres bobinas acopladas magnéticamente por otras dos bobinas cada



una. El método que más se adecúa para encarar un circuito con acoplamiento magnético, es el método de las corrientes de malla.

Figura 11

v1 = j X1 * i1 ( Malla 1 sin inducción mutua)

+ j XM12* i2+ j XM31* i3 ( Malla 1 con inducción mutua, acoplamiento de bobinas 2 y 3, sobre

bobina 1, respectivamente )

v1 = j X1 * i1 + j XM12* i2+ j XM31* i3 (A)

v2 = j X2* i2 ( Malla 2 sin inducción mutua)



+ j XM12* i1- j XM23* i3 ( Malla 2 con inducción mutua, acoplamiento de bobinas 1 y 3, sobre


v2 = j X2* i2 + j XM12* i1- j XM23* i3 (B)

v3 = j X3 * i3 ( Malla 3 sin inducción mutua)

- j XM23* i2+ j XM31* i1 ( Malla 3 con inducción mutua, acoplamiento de bobinas 2 y 1, sobre


v3 = j X3 * i3 - j XM23* i2+ j XM31* i1 (C)

Las ecuaciones (A), (B) y (C), son las ecuaciones resultantes del circuito con acoplamiento magnético de la figura 11, en las que, el signo positivo quiere decir que ambas corrientes, de malla y de su acoplamiento, ambas llegan al punto o ambas se alejan, el signo negativo, quiere decir que ambas corrientes, de malla y de su acoplamiento, una de ellas llega o se aleja del punto y la otra se aleja o llega al punto marcado. Ambas consideraciones proviene de la convención del punto considerados anteriormente.

En general, para aplicar corrientes de malla en la resolución de circuitos con acoplamiento magnético, se deben seguir los siguientes pasos:

Escójase arbitrariamente los sentidos de las corriente en cada malla La autoinducción produce tensiones con la polaridad positiva en el terminal por donde entra la

corriente (como un receptor) Las tensiones asociadas a las inductancias mutuas vienen dadas por el criterio de puntos Aplíquese la Ley de Kirchhoff de tensiones a cada malla

Aplicaremos los diferentes pasos en el siguiente circuito, figura 12:

EJEMPLO 6.4.1.

El circuito de la figura 12, funciona en régimen sinusoidal permanente a una frecuencia angular ω. Escriba las ecuaciones de malla del circuito acoplado magnéticamente.



Malla 1:

V= R1 + jw(L1+ L3 ) I1 -jw L3 I2 ( Malla 1, sin inducción mutua ) .........

Figura 12

.......... - jw M12 I2 ( Acoplamiento de L2 sobre L1, el signo negativo, porque I1 llega al punto en la bobina

L1, malla referencia, en cambio, a L2 llega la corriente de malla 2, al punto no marcado ) ...........

......... + jw M31 ( I2- I1 ) ( Acoplamiento de L3 sobre L1, siempre es positivo, porque es resultado de la

suma algebraica de dos corrientes de malla. Siempre se escribe primero la corriente de malla que coincide con la malla referencia, en este caso malla 1, la corriente de malla 1 llega al punto en L1 y en L3, llega al punto la corriente de malla 2 y la corriente de malla 1, llega al punto no marcado..............

............ – jw M31 I1 ( Acoplamiento de L1 sobre L3, el signo negativo, porque I1 no llega al punto en la

Bobina 3, referencia, en cambio, a L1 llega la corriente de malla 1, al punto marcado ) ...........

........... + jw M23 I2 ( Acoplamiento de L2 sobre L3, el signo positivo, porque I1 no llega al punto en la

Bobina 3, referencia, y tampoco llega la corriente de malla 2 al punto marcado de L2) ...........



La ecuación definitiva de la ecuación de malla 1 será:

V= R1 + jw(L1+ L3 ) I1 -jw L3 I2 - jw M12 I2 + jw M31 I2- I1 – jw M31 I1 + jw M23 I2

V = R1+ jw (L1+ L3-2 M31 I1 –jw L3+ M12- M31- M23 I2 .................. (I)

Malla 2:

0= R2 + jw(L2+ L3 ) I2 -jw L3 I1 ( Malla 2, sin inducción mutua ) .........

.......... - jw M12 I1 ( Acoplamiento de L1 sobre L2, el signo negativo, porque I2 no llega al punto en la

Bobina 2, referencia, en cambio, a L1 la corriente de malla 1, llega al punto marcado ) ...........

......... + jw M23 ( I1- I2 ) ( Acoplamiento de L3 sobre L2, siempre es positivo, porque es resultado de la

suma algebraica de dos corrientes de malla. Siempre se escribe primero la corriente de malla que coincide con la malla referencia, en este caso malla 2, la corriente de malla 2 no llega al punto en L2 y en L3, no llega al punto la corriente de malla 1 y la corriente de malla 2, llega al punto marcado.

............ + jw M31 I1 ( Acoplamiento de L1 sobre L3, el signo positivo, porque I2 llega al punto en la Bobina

3, referencia, y llega la corriente de malla 1 a L1 en el punto marcado ) ...........

........... - jw M23 I2 ( Acoplamiento de L2 sobre L3, el signo negativo, porque I2 llega al punto en la Bobina

3, referencia, pero, la corriente de malla 2 no llega al punto marcado de L2) ...........



La ecuación definitiva de la ecuación de malla 2 será:

0= R2 + jw(L2+ L3 ) I2 -jw L3 I1 - jw M12 I1 + jw M23 I1- I2 + jw M31 I1 - jw M23 I2

0 =jw M31- M23- M12- L3 I1 + R2 + jw(L2+ L3- 2 M23 ) I2 ...................... (II)

Las ecuaciones (I) y (II), son expresiones características básicas para encarar cualquier problema de este tipo, y en forma matricial será:

R1+ jw (L1+ L3-2 M31 jw L3+ M12- M31- M23 jw M31- M23- M12- L3 R2 + jwL2+ L3- 2 M23 I1 I2 = V1 V2

6.5. ENERGÍA EN UN ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO.

Sea el siguiente circuito de análisis:

Figura 13

6.5.1. ENERGÍA DEL CIRCUITO SIN ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO.

La tensión en el arrollamiento L1, será:



v1 = L1 d i1dt (V) ........................ (15)

La tensión en el arrollamiento L2, será:

v2 = L2 d i2dt (V) ........................ (16)

Multiplicando ambos miembros de ecuación (15), por i1:

v1 i1 = L1 d i1dt i1 ..................... (17)

Multiplicando ambos miembros de ecuación (16), por i2:

v2 i2 = L2 d i2dt i2 ..................... (18)

La Energía almacenada en L1 , se obtiene integrando ecuación (17) de 0 a t1:

EL1 = 0t1v1 i1 dt = 0i1L1 di1 i1 = 0i1L1 i1 di1 = 12 L1 i12

EL1 = 12 L1 i12 (J) ................... (19)

La Energía almacenada en L2 , se obtiene integrando ecuación (18) de 0 a t2 :



EL2 = 0t2v2 i2 dt = 0i2L2 di2 i2 = 0i2L2 i2 di2 = 12 L2 i22

EL2 = 12 L2 i22 (J) .. ............. (20)

6.5.2. ENERGÍA DEL CIRCUITO CON ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO:

La potencia del circuito, es la suma de las potencias en ambos arrollamientos:

p= v1 i1 + v2 i2En la figura 13, podemos observar que las corrientes de ambos arrollamientos llegan a los puntos marcados

de las bobinas L1 y L2, en base a ello se escribirán las tensiones v1 y v2 , luego:

p= v1 i1 + v2 i2 = (L1 d i1 dt + M d i2dt ) i1 + (L2 d i2 dt + M d i1dt ) i2

p= L1 i1 d i1 dt + M i1 d i2dt + L2 i2 d i2 dt + M i2 d i1dt

p= L1 i1 d i1 dt + L2 i2 d i2 dt + M ( i1 d i2dt + i2 d i1dt )

p= L1 i1 d i1 dt + L2 i2 d i2 dt + M d (i1*i2)dt .................. (21)

La Energía almacenada en en el circuito de la figura 13, se obtiene integrando ecuación (21) de 0 a t :



0tp dt = 0tL1 i1 di1 +0tL2 i2 di2 +0tM d(i1* i2)

W = 0tp dt = 12 L1 i12 + 12 L2 i22 + M i1* i2En Forma general, la Energía almacenada en el circuito de la figura 13, está dada por:

W = 0tp dt = 12 L1 i12 + 12 L2 i22 ± M i1* i2 …………………….. (22)

El signo ± , se debe a que no siempre las corrientes entrarán al punto en ambos arrollamientos, sino que

también en algunos casos entrarán por el punto, en un arrollamiento y saldrá por el punto en el otro arrollamiento, por lo que en algún caso será positivo y en otro, negativo.

Para evaluar el coeficiente de acoplamiento ‘k’, podemos también escribir la ecuación (22) de la siguiente forma:

W = 12 L1 i1 - L2 i22 + L1 L2 i1*i2 ± M i1* i2 .................. (23)

• No existe energía negativa en un consumo, por lo que W, siempre es mayor a cero.

• El primer término de la ecuación (23), resulta muy pequeño por lo que puede llegar a despreciarse, pero no será negativo.

Entonces podemos escribir:

L1 L2 i1*i2 ≥ M i1* i2



L1 L2 ≥ M

M ≤ L1 L2 ...................... (24)

El grado con el cual ‘M’ se acerca a su valor máximo se indica mediante el coeficiente de acoplamiento definido en la ecuación (10), de la siguiente forma:

k = M L1 L2

M ≤ L1 L2Podemos concluir, la variación de ‘k’:

0 ≤ k ≤ 1

0 ≤ M ≤ L1 L2‘k’, es la fracción del flujo total que emana de una bobina y que abraza a otra bobina, es decir, las dos ecuaciones son válidas:

k = ϕ12 ϕ1 = ϕ12 ϕL1+ ϕ12 ............. (25)



k = ϕ21 ϕ2 = ϕ21 ϕL2+ ϕ21 ......... (26)

6.6. EL TRANSFORMADOR LINEAL.

En esta parte introducimos el término transformador y además lineal, para aclarar estos conceptos podemos realizar las siguientes puntualizaciones:

Un transformador, es un dispositivo o equipo de 4 o más terminales que tienen dos ó más bobinas magnéticamente acopladas.

Un transformador se puede considerar lineal si:

El núcleo del transformador es estrictamente lineal.

El núcleo tiene una permeabiblidad magnética constante, vale decir. BH =1.

El material usado como circuito magnético incluye; el aire, el plástico, la baquelita, la madera, etc.

Posee núcleo de aire.

Su uso es estrictamente como filtro.

El transformador lineal constituye un modelo práctico utilizado a frecuencias de radio o a frecuencias superiores.

El transformador lineal utiliza material magnético que no provoca una relación alineal entre el flujo y la corriente; μ H = B, μ = 1.

Sea el siguiente circuito de un transformador:



Figura 14

6.6.1. IMPEDANCIA REFLEJADA.

Las ecuaciones de malla del circuito de la figura 14:

VS = R1+jw L1 I1 – jw M I2 ( Circuito Primario )

0 = R2+jw L2+ ZL I2 – jw M I1 ( Circuito Secundario )

VS = R1+jw L1 I1 – jw M I2 .......................... (27)

0 = – jw M I1 + R2+jw L2+ ZL I2 ................(28)



Z11 = R1+jw L1 ................. (29)

Z22 = R2+jw L2+ ZL ...........(30)

Ecuaciones (29) y (30) en (27) y (28), respectivamente:

VS = Z11 I1 – jw M I2 ..........(31)

0 = – jw M I1 + Z22 I2 ...... (32)

La impedancia de entrada será:

Zent = VSI1 ........................ (33)

De ecuación (32):

I2 = jw M I1Z22 ............................. (34)

Ecuación (34) en (31):



VS = Z11 I1 – jw M I2 = Z11 I1 – jw M * jw M I1Z22VS = Z11 I1+ w2 M2Z22 I1

Zent = VSI1 = Z11 + w2 M2Z22 ...................(35)

Si:

Z22 = R22+j X22 ....................... (36)

La impedancia de entrada bajo estas condiciones, será:

Zent = Z11 + w2 M2Z22 = Z11 + w2 M2R22+j X22 * R22- j X22R22- j X22

Zent = Z11+ w2 M2 R22- j X22R222 + X222



6.7. CIRCUITO EQUIVALENTE CONDUCTIVO ‘T’ Y ‘π ’.

Sea el siguiente circuito de la figura 15:

Figura 15

La tensión en el primer y segundo arrollamiento:

v1= L1 d i1 dt + M d i2dt .................. (39)

v2= M d i1dt + L2 d i2 dt ...................(40)

El circuito con acoplamiento magnético, de la figura 15, podemos representar por un circuito con acoplamiento conductivo, de la forma siguiente respetando las ecuaciones (39) y (40):



Figura 16

Las ecuaciones características del circuito de la figura 16:

v1= L1 d i1 dt - M d i1dt + M d i2dt + M d i1dt .............................. (41)

v2= L2 d i2 dt - M d i1dt + M d i2dt + M d i1dt .............................. (42)

Las ecuaciones (41) y (42), son equivalente a las ecuaciones (39) y (40), por lo que ambos circuitos, Figuras 15 y 16, son equivalentes.

Evaluando polaridades en el circuito de la figura 16, podemos proponer otro circuito equivalente también del tipo conductivo:

Figura 17

En circuito de la Figura 17, en función de parámetros pasivos será el denominado como circuito equivalente conductivo ‘T’, Figura 18 (b). En la figura 18, se puede apreciar el circuito con acoplamiento magnético original, Figura 18 (a) y el circuito equivalente sin acoplamiento magnético ( circuito conductivo) en la figura 18 (b), representado en la forma siguiente:



Figura 18

De ecuación 40 podemos escribir:

d i2 dt = 1L2 ( v2- M d i1dt ) ............... (43)

Reemplazando ecuación 43 en ecuación 39:

v1= L1 d i1 dt + M* 1L2 ( v2- M d i1dt )

v1= L1 d i1 dt + ML2 v2- M2L2 d i1dt

v1= L1 d i1 dt- M2L2 d i1dt + ML2 v2

v1= ( L1 - M2L2 )d i1dt + ML2 v2

d i1dt = 1L1 - M2L2 v1 - 1L1 - M2L2 ML2 v2FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 29 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


d i1dt = L2L1 L2 - M2 v1 - L2L1 L2 - M2 ML2 v2

d i1dt = L2L1 L2 - M2 v1 - ML1 L2 - M2 v2 ................................. (44)

De ecuación 39 podemos escribir:

d i1 dt = 1L1 ( v1- M d i2dt ) ............... (45)

Reemplazando ecuación 45 en ecuación 40:

v2= M 1L1 ( v1- M d i2dt )+L2 d i2 dt

v2= ML1 v1 + (L2- M2L1) d i2 dt

d i2 dt = 1L2- M2L1 v2 - 1L2- M2L1 ML1 v1

d i2 dt = - ML1 L2- M2 v1 + L1 L1 L2- M2 v2 ............. (46)

Integrando ecuaciones (44) y (46) de 0 hasta ‘t’, de la siguiente forma:



0Td i1dt = 0T(L2L1 L2 - M2 v1 - ML1 L2 - M2 v2 )

( i1 - i1(0)) u(t) = L2L1 L2 - M2 0Tv1 dt - ML1 L2 - M2 0Tv2 dt ............... (47)

0T d i2 dt = 0T(- ML1 L2- M2 v1 + L1 L1 L2- M2 v2)

( i2 - i2(0)) u(t) = - ML1 L2- M2 0Tv1 dt + L1 L1 L2- M2 0Tv2 dt ...........(48)

Las ecuaciones (47) y (48), pueden considerarse como ecuaciones nodales, por tener variables independientes a las tensiones de uno y otro arrollamiento, por lo que debe instalarse una fuente de corriente de escalón en cada nodo para darle las condiciones iniciales adecuadas.

Los factores que multiplican cada integral tienen la misma forma general de inversas de ciertas inductancias equivalentes, por ejemplo:

1LB = ML1 L2- M2 → LB = L1 L2- M2M ............................ (49)



1LA +1LB = L2L1 L2 - M2 → 1LA = L2L1 L2 - M2 - ML1 L2- M2 → LA= L1 L2 - M2 L2- M ........ (50)

1LC +1LB = L1L1 L2 - M2 → 1LC = L1L1 L2 - M2 - ML1 L2- M2 → LC= L1 L2 - M2 L1- M ......... (51)

En la figura 19, podemos ver reflejadas las ecuaciones (47), (48), (49), (50) y (51)

Figura 19

El circuito de la figura 15, con acoplamiento inductivo, también puede representarse por un otro circuito con

acoplamiento conductivo, denominado equivalente ‘π’, ver circuito, figura 20:



Figura 20

Resumiendo las dos equivalencias, sea el circuito original respectivo, obtenemos los circuitos equivalentes ‘T’ y ‘π’:

Figura 21

Del circuito con acoplamiento magnético, figura 15:

V1 V2 = jw L1 jw M jw M jw L2 I1 I2 ........... (52)

Del circuito sin acoplamiento magnético, Figura 22:



V1 V2 = jw (La+ Lc) jw Lc jw Lc jw (Lb+ Lc ) I1 I2 .......... (53)

Igualando ecuaciones (52) y (53), podemos concluir:

La= L1- M ; Lb= L2- M ; Lc= M

Invirtiendo ecuación 52:

I1 I2 = L2jw (L1 L2 - M2 ) - Mjw (L1 L2 - M2 ) - Mjw (L1 L2 - M2 ) L1jw (L1 L2 - M2 ) V1 V2 ........... (54)

Del circuito sin acoplamiento magnético, Figura 23:



I1 I2 = 1jw LA + 1jw LC - 1jw LC - 1jw LC 1jw LB + 1jw LC V1 V2 .....................(55)

Igualando ecuaciones (54) y (55), podemos concluir:

LA= L1 L2 - M2 L2- M ; LB = L1 L2- M2M ; LC= L1 L2 - M2 L1- M

Ahora si en el circuito con acoplamiento magnético de la figura 24, las corriente entra al punto en el primario, pero en el secundario sale del punto, los parámetros equivalentes correspondientes a los circuitos ‘T’ y ‘π’, serían las siguientes, ver figura 24:

Figura 24

Circuito ‘T’:

La= L1+ M ; Lb= L2+ M ; Lc=- M

Circuito ‘π’:

LA= L1 L2 - M2 L2+ M ; LB = - L1 L2- M2M ; LC= L1 L2 - M2 L1+ M

6.8. TRANSFORMADORES IDEALES.



El transformador ideal, constituye una aproximación útil a un transformador real, cuyo acoplamiento

magnético, es perfecto (k ≡1), consiste de dos ó más bobinas, con un gran número de vueltas alrededor de

un circuito magnético común de alta permeabilidad, y debido a esta alta permeabilidad del circuito magnético, el flujo abraza todas las vueltas de ambas bobinas y producen un acoplamiento perfecto. Sea la figura 25, los circuitos de análisis:

Figura 25

V1 = jw L1 I1+ jw M I2 ............................ (56)



V2 = jw M I1+ jw L2 I2 ............................ (57)

De ecuación (56):

I1 = V1 - jw M I2 jw L1 .............................. (58)

Reemplazando ecuación (58) en ecuación (57):

V2 = jw M ( V1 - jw M I2 jw L1 ) + jw L2 I2

V2 = ML1 V1 - jw M2L1 I2 + jw L2 I2

Usando la relación M2= L1 L2 , luego:



V2 = L1 L2 L1 V1 - jw L1 L2L1 I2 + jw L2 I2

V2 = L2L1 V1 - jw L2 I2 + jw L2 I2

V2 = N22*μ*Sl N12*μ*Sl V1 = N22 N12 = N2 N1 V1

V2 = N2 N1 V1 ................... (59)

V1 = N1 N2 V2 ................... (60)

Donde :

N2 N1 =V2 V1 = n - Relación de transformación, Transformador elevador, para ‘n’ > 0 ..........

(Rt-1)



N1 N2 =V1 V2 = a - Relación de transformación, Transformador reductor, para ‘a’ > 0 ...........

(Rt-2)

Un transformador se dice ideal cuando tiene las siguientes características:

Las bobinas tienen reactancias muy grandes (L1. L2, M →∞ )

El coeficiente de acoplamiento es igual a la unidad ( k = 1 )

Las bobinas primaria y secundaria no tienen pérdidas (R1= R2=0)

En conclusión, un transformador ideal es una unidad acoplada sin pérdidas, en el que las bobinas primaria y secundaria tienen autoinductancia e inductancia mutua infinitas.

6.8.1. IMPEDANCIA DE ENTRADA EN FUNCIÓN DE LA RELACIÓN DE TRANSFORMACIÓN.

Sea el siguiente circuito de análisis:

Figura 26

Las ecuaciones respectivas, involucradas en el circuito de la figura 26:}



V1 = jw L1 I1- jw M I2 ......................... (61)

0 = - jw M I1+ ( jw L2+ ZL ) I2 .......... (62)

De ecuación (62):

I2 = jw M I1jw L2+ ZL ..................... (63)

Reemplazando ecuación (63) en (61):

V1 = jw L1 I1- jw M jw M I1jw L2+ ZL La impedancia de entrada está definida como la relación:



ZENT = V1 I1

ZENT = V1 I1 = jw L1 + w2 M2jw L2+ ZL .............(64)

El coeficiente de acoplamiento en función de inductancias de ambos arrollamientos, está dado por:

M = k L1 L2 k = 1Reemplazando en ecuación (64):

ZENT = V1 I1 = jw L1 + L1 L2 w2 ZL + jw L2 ................... (65)

La relación de transformación en función de inductancias será:

L1L2 = N12*μ*Sl N22*μ*Sl = N12N22 = a2 → L1= a2 L2 ................... (66)

L2L1 = N22*μ*SlN12*μ*Sl = N22N12 = n2 → L2= n2 L1 ................... (67)

Reemplazando ecuación (67), en ecuación (65):



ZENT = jw L1 + n2 L1 w2 ZL + jw L1 n2 =

ZENT = jw L1 ZL- n2 L1 w2 + n2 L1 w2ZL + jw L1 n2 = jw L1 ZLZL + jw L1 n2 = ZLZLjw L1 + n2

ZENT= limL1→∞ ZLZLjw L1 + n2 = ZLn2ZENT= ZLn2 ..........................(68)

Como en un transformador ideal no existe pérdidas, podemos escribir la potencia de un transformador como:

S=V1 I1* ; S=V2 I2*



V1 I1*=V2 I2*

V1I1 =V2 I2

V2V1 = I1I2 = n

V2 = n V1 ................. (69)

I1 = n I2 .................. (70)

En base a las ecuaciones (69) y (70), podemos llegar a las siguientes conclusiones:

Si V1 y V2, son ambas positivas o negativas en terminales punteadas, use ‘ + n ‘ en la ecuación (69). En caso contrario, use ‘ – n ‘.

Si ambas corrientes I1 e I2, entran o salen de las terminales punteadas use ‘ - n ‘ en la ecuación (70). En caso contrario, use ‘ + n ‘. Ver circuitos descriptivos de la figura 27:



V2V1 = N2N1 ; I2I1 = N1N2 V2V1 = N2N1 ; I2I1 =- N1N2

V2V1= n = 1a ; I2I1 = a= 1n V2V1= n = 1a ;

I2I1 =- a= - 1n



V2V1 =- N2N1 ; I2I1 = N1N2 V2V1 =- N2N1 ; I2I1 =- N1N2

V2V1=- n = - 1a ; I2I1 = a= 1n V2V1=- n = -1a ;

I2I1 =- a= - 1n

Figura 27

6.9. AUTOTRANSFORMADORES IDEALES.

Un autotransformador, es un transformador en donde el primario y secundario se encuentran en un solo devanado ó arrollamiento, tienen un punto de conexión llamado toma o derivación entre los lados primario o secundario. La toma a menudo se ajusta para proporcionar la razón de transformación deseada, a fin de aumentar o disminuir la tensión. De esta forma, se proporciona una tensión variable a la carga conectada al autotransformador. Ver circuito en la figura 28 (a) y (bI:

Para el Autotransformador reductor, figura 28 (a):



V2V1 = N2N1+N2 = 11+ N1N2 = 11+ a V1V2 = N1+N2N2 =

1+ N1N2= 1+ aPara el Autotransformador elevador, figura 28 (b):

V2V1 = N1+N2N1 = 1+ N2N1 = 1+ n V1V2 = N1N1+N2 =

11+ n

Figura 28

7. EJEMPLOS.



7.1. El circuito de la figura 7.1, en cuya representación se ha utilizado notación fasorial, funciona en régimen sinusoidal permanente a una frecuencia angular ω. Son datos las características de todos los elementos y el

valor de la frecuencia y en particular cuando n=∞ y cuando a=∞. Para ambas relaciones de transformación,

se desea encontrar la expresión de: a) Las corrientes de malla I1, I2 e I3. (b) La tensión V1 y V2 del primario y secundario del transformador, respectivamente.

Figura 7.1

Para n=∞ y según ecuación (Rt-1), pág. 26:

V2 V1 = n= ∞ → V1=0 (V) (7.1-1)

Ello quiere decir que el arrollamiento primario del transformador se encuentra en cortocircuito.Por analogía de la ecuación (70), podemos escribir:

I1 I2 = - n= - ∞ → I2=0 (A) (7.1-2)

Ello quiere decir que el arrollamiento secundario del transformador se encuentra en circuito abierto.

El circuito propuesto de la figura 7.1, queda de la siguiente manera, ver figura 7.2:

Figura 7.2

En el circuito de la malla 1, la fuente de corriente se cierra sobre sí misma, desapareciendo la impedancia Z, luego:



IG=I1 (A) (7.1-3)

En cambio en la malla 2, no existe circulación de corriente por la resistencia R, por lo que la tensión V2, se encuentra aplicada, ahora, sobre la bobina ‘L’, perteneciente a esta malla, conservando su polaridad.

Las ecuaciones características de la malla 3, serán:

jw L+jw L+ 1jw C I3 –( jw M-jw M ) I3= VSVS = 2jw L+ 1jw C –2 jw M I3

I3 = VS2jw ( L – M )+ 1jw C (A) (7.1-4)

La tensión V2, a la que encuentra sometida la bobina L de la malla 3 es la siguiente:

VS = jw ( L – M ) I3 (V) (7.1-5)

Para a=∞ y por ecuación (Rt-2), pág. 25:

V1 V2 = a= ∞ → V2=0 (7.1-6)

Ello quiere decir que el arrollamiento secundario del transformador se encuentra en cortocircuito.

Por analogía de la ecuación (70), podemos escribir:



I2 I1 = - a= - ∞ → I1=0 (7.1-7)

Ello quiere decir que el arrollamiento primario del transformador se encuentra en circuito abierto.

El circuito propuesto de la figura 7.1, queda de la siguiente manera, ver figura 7.3:

Figura 7.3

En el circuito de la malla 1, la fuente de corriente se cierra sobre la impedancia Z, luego la tensión V1 se considera, ahora, como la caída en la impedancia:

V1=IG Z (V) (7.1-8)

Las ecuaciones características de las mallas 2 y 3, serán:

R+jw L I2 + jw L I3 – jw M I3= 0 R+jw L I2 + jw (L – M) I3= 0 (7.1-9)

jw L I3+jw L I3+I2+ 1jw C I3- jw M I3 - jw M ( I2 + I3)= VSjw L-M I2+ jw 2L+1jw C-2M I3= VS (7.1-10)

De ecuación (7.1-9):



I2 = jw (M – L) I3R+jw L (7.1-11)

Ecuación (7.1-11) en (7.1-10):

jw L-M jw (M – L) I3R+jw L + jw 2L+1jw C-2M I3= VS w2 L-M2R+jw L I3 + jw 2L-2M+1jw C I3= VS

I3 = VS w2 L-M2R+jw L + jw 2L-2M+1jw C (A) (7.1-12)

Reemplazando ecuación (7.1-12) en (7.1-11):

I2 = jw (M – L)R+jw L ( VS w2 L-M2R+jw L + jw 2L-2M+1jw C ) (A) (7.1-13)

7.2. El circuito de la figura 7.4 funciona a régimen senoidal permanente y a una frecuencia angular w, determinar:

a) El valor de ZL, de forma que ésta disipe la máxima potencia.b) La fuente de excitación representada por ‘Vg’ y ‘Zg’, y ésta ve una impedancia Zac, que puede ser

representada por:

Zac = Z1+ w2 M2Z2+ ZeqDonde:

Z1 = R1+ jw L1 Z2 = R2+ jw L2+ ZL



Hallar el valor de Zeq.

c) Escribir las ecuaciones características que permita caracterizar completamente la operación del circuito, cuando se aplica un cortocircuito, corriente de Norton, entre ‘a y b’.

Figura 7.4

a) La carga vista a partir de ZL, es igual a la conjugada de la carga del equivalente de Thévenin, para calcularla utilizamos el circuito de la figura 7.5.

Figura 7.5

Malla 1:

0 = (R1+ jwL1+ Zg) I1+ (R2+ jwL2) I1+ (R2+ jwL2) I2 – jw M I1 - jw M ( I1 +I2 )0 = ( Zg+ R1+ jwL1+R2+ jwL2- 2jw M) I1+ (R2+ jwL2- jw M) I2 ............. (7.2-1)



Malla 2:

(R2+ jwL2) I2 + (R2+ jwL2) I1-jw M I1 =VV = (R2+ jwL2-jw M) I1 +(R2+ jwL2) I2 .................. (7.2-2)

Despejamos de ecuación (7.2-1) la corriente I1 y reemplazando en ecuación (7.2-2):

I1 = (jw M-R2- jwL2)I2 Zg+ R1+ jwL1+R2+ jwL2- 2jw MV = (R2+ jwL2-jw M) ( (jw M-R2- jwL2)I2 Zg+ R1+ jwL1+R2+ jwL2- 2jw M ) +(R2+ jwL2) I2 V = (R2+ jwL2-jw M (jw M-R2- jwL2) Zg+ R1+ jwL1+R2+ jwL2- 2jw M +R2 + jwL2) La impedancia vista a partir de ‘bc’ es la siguiente:

VI2 = (R2+ jwL2-jw M)2 Zg+ R1+ jwL1+R2+ jwL2- 2jw M +(R2 + jwL2) ................. (7.2-3)

b) En el circuito de la figura 7.6, La notación es la siguiente:



Figura 7.6

Para la malla 1:

Vg= Zg* I1+ Vac .......... (7.2-4)

Vac = Vg- Zg* I1 ........... (7.2-5)

Vac = (R1+ jw L1+ R2+ jw L2 ) I1- R2+ jw L2 I2- jw M I1+ jw M ( I2- I1 ) Vac = (R1+ jw L1+ R2+ jw L2 – 2jw M) I1+ jw M -R2+ jw L2 I2

Reemplazando condiciones del inciso b): Z1 = R1+ jw L1 Z2 = R2+ jw L2+ ZL

Vac = ( Z1+ Z2- ZL – 2jw M) I1+ jw M -Z2- ZL I2 ........... (7.2-5)

Para la malla 2:

0= ZL+ R2+ jw L2 I2- R2+ jw L2 I1+ jw M I1



0= jw M - R2- jw L2 I1+ ZL+ R2+ jw L2 I2 0= - R2+ jw L2 -jw M I1+ ZL+ R2+ jw L2 I2 ...................... (7.2-6)

Reemplazando condiciones inciso b):

0=- Z2-ZL –jw M I1+ Z2 I2

I2 = Z2-ZL –jw M I1Z2 ........... (7.2-7)

Ecuación (7.2-7) en (7.2-5):

Vac = ( Z1+ Z2- ZL – 2jw M) I1+ jw M -Z2- ZL Z2-ZL –jw M I1Z2

Vac = ( Z1+ Z2- ZL – 2jw M) I1- Z2-ZL –jw M 2Z2 I1La impedancia vista de ‘ac’:

Zac = VacI1 = ( Z1+ Z2- ZL – 2jw M)- Z2-ZL –jw M 2Z2 Zac =( Z1+ Z2- ZL – 2jw M)- Z22+ZL2- 2 Z2ZL –2 Z2 jw M+ 2 ZL jw M- w2 M2Z2



Zac = Z2Z1 +Z22 -Z2ZL -2jwZ2M -(Z22+ZL2- 2 Z2ZL –2 Z2 jw M+ 2 ZL jw M- w2 M2 )Z2Zac = Z2Z1 + Z2ZL -ZL2-2 ZL jw M+ w2 M2 Z2 .......... (7.2-8)

De la condición del inciso b):

Zac = Z1+ w2 M2Z2+ Zeq ......................... (7.2-9)

Igualando ecuaciones (7.2-8) con (7.2-9):

Z2 Z1+w2 M2 +Z2 ZeqZ2 = Z2Z1 + Z2ZL -ZL2-2 ZL jw M+ w2 M2 Z2Despejando Zeq :

Zeq = Z2 ZL -ZL 2- 2 ZL jw M Z2 = ZL ( Z2 - ZL - 2 jw M ) Z2 Pero: Z2 = R2+ jw L2+ ZL (inciso b)

Zeq = ZL ( R2+ jw L2+ ZL- ZL - 2 jw M ) Z2 Zeq = ZL ( R2+ jw L2 - 2 jw M ) Z2 ( Ω ) ................ (7.2-10)

c) Realizado el cortocircuito podemos escribir las ecuaciones para esta condición:



Figura 7.7Podría suponerse que no circula corriente por R1 y L1, ya que el cortocircuito impone una tensión nula en los extremos de esa rama; sin embargo, existe tensión en L1 debido al efecto de Inducción Mutua, esta tensión debe ser compensada por otra igual y de signo contrario en R1 y L1 , para que la tensión sea nula, por lo que, si hay tensión en la resistencia, también existe corriente en ella.

Para la malla 1:

Vg= Zg I1+ ( R2+ jw L2) I1- I2+ Icc- I1 jw M

Vg=Zg + ( R2+ jw L2)-jw M I1 - R2+ jw L2 I2+ jw M Icc ............ (7.2-11)

Para la malla 2:

0= R1+ jw L1 Icc- I1 + I1- I2 jw M0= jw M- R1- jw L1 I1-jw M I2+ R1+ jw L1 Icc ........................... (7.2-12)

Para la malla 3:

0 = ( R2+ jw L2) I2- I1 +jw M I1- Icc + I2 ZL



0 = ( jw M- R2- jw L2) I1 + ZL+ R2+ jw L2I2- jw M Icc ............... (7.2-13)

7.3. En el circuito de la figura 7.8, Determinar:

1. La ecuación de malla para la corriente I1.2. La ecuación de malla para la corriente I2, cuando existe un cortocircuito entre ‘x - y’.3. La Impedancia equivalente y el equivalente de Norton en terminales ‘x – y’.

1)

Figura 7.8

R1+R2+j wL1+ wL2-1 wC1 + 2 wM I1+ a Vg+ a I2 R3- j 1w C2 =0 ......... (7.3.1)

I2 = a I1 ...... (7.3.2)

Reemplazando ecuación (7.3.2) en (7.3.1):

R1+R2+j wL1+ wL2-1 wC1 + 2 wM I1+ a Vg+ a a I1 R3- j 1w C2 = 0

I1 = a VgR1+R2+j wL1+ wL2-1 wC1 + 2 wM+ a2 R3- j 1w C2



I1 = a VgR1+R2+a2 R3+ j wL1+ wL2+2 wM -1 wC1 - j a2w C2 ...... (7.3.3)

2) El circuito equivalente será el de la Figura 7.9

Figura 7.9

La ecuación de malla I2, será:

- Vg=R3- j 1wC2 I2+ R2a2 I2I2 = - VgR3+R2a2 - j 1wC2 .............. (7.3.4)

3) El equivalente de Norton se la puede deducir:

IN= I2a= - Vg(aR3+R2a - j awC2)

IN= - Vg(aR3+R2a - j awC2) ....................(7.3.5)



7.4. Determine la impedancia de entrada y la relación V2V1 , del circuito de la figura 7.10.

Figura 7.10

La impedancia de entrada:

Según la figura 7.11, la impedancia de entrada será Zi= V1I1 :

Figura 7.11Las ecuaciones de malla serán las siguientes:

Malla 1:

V1 = j w L1 I1-j w L1 I2- j w M12 I2+ j w L3 (I3- I2 )V1 = j w L1 I1-j w ( L1+ M12+ M13) I2+ j w M13 I3 ...............(7.4.1)

Malla 2:

0=j w L1I2- I1+ j w L2 I2+ j w L3 I2- I3+ j w M12 I2+ j w M13 I2- I3+ j w M12 I2- I1+FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 59 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


j w M23 I2- I3+ j w M13 I2- I1+ j w M23 I2 0=- j w L1+M12+ M13 I1+ j w L1+L2+L3+ 2 M12+2 M13+ 2 M23 I2-j w L3+ M13+ M23I3

............. (7.4.2) Malla 3:

0= Rc I3+ j w L3 I3- I2- j w M23 I2+j w M13 (I1- I2)0=j w M13 I1 +j w L3- M13- M23 I2+ Rc+ j w L3 I3 ............ (7.4.3)

La ecuación matricial será la siguiente:

j w L1 I1 - j w ( L1+ M12+ M13) j w M13 I3 - j w L1+M12+ M13 j w L1+L2+L3+ 2 M12+2 M13+ 2 M23 - j w



L3+ M13+ M23I3 j w M13 j w L3- M13- M23 Rc+ j w L3

I1I2I3 = V100La corriente de alimentación:

I1 = V1 ∆1∆ ........... (7.4.4)


Zin= V1I1 = V1V1 ∆1∆ = ∆∆1 .............. (7.4.5)

∆ =j w L1 I1 - j w ( L1+ M12+ M13) j w M13 I3 - j w L1+M12+ M13 j w L1+L2+L3+ 2 M12+2 M13+ 2 M23 - j w L3+ M13+ M23I3 j w M13 j w L3- M13- M23 Rc+ j w L3

(7.4.6)



∆1= V1 - j w ( L1+ M12+ M13) j w M13 I3 0 j w L1+L2+L3+ 2 M12+2 M13+ 2 M23 -j w L3+ M13+ M23I3 0 j w L3- M13- M23 Rc+ j w L3 ..... (7.4.7)

La corriente de malla 3:

I3 = V1 ∆3∆La tensión en la carga:

V2= Rc I3= Rc V1 ∆3∆ La relación V2V1 será:

V2V1 = Rc ∆3∆ ........ (7.4.8)

∆3=j w L1 I1 - j w ( L1+ M12+ M13) V1 - j w L1+M12+ M13 j w L1+L2+L3+ 2 M12+2 M13+ 2 M23 0 j w M13

j w L3- M13- M23 0 (7.4.9)



7.5. Determine la impedancia de entrada Zab , del circuito de la figura 7.12, si la impedancia ZL = 80/60° Ω

Figura 7.12La impedancia:

ZL = V3I3 = 80/60° Ω.............. (7.5.1)

De la relación de transformación:

10 V3= V2............(7.5.2)

10 I2= I3 ; I2= I310 ........... (7.5.3)

8 V2= V1........... (7.5.4)

8 I1= I2 .......... (7.5.5)


V1= 8*10 V3 ............ (7.5.6)




8 I1= I310

I1= I380 ............. (7.5.7)


Zab = V1 I1 = 8*10 V3 I380 = 6400 V3I3 =6400 ZL = 512000 Ω

Zab = 512000 Ω

7.6. Encuentre la impedancia de entrada, Zab, del autotransformador ideal de la figura 7.13 (a), para los

siguientes casos:

a) Polaridad en la bobina N2

b) Polaridad en la bobina N2

(a) (b) Figura 7.13



• Polaridad en la bobina N2

De la relación de Transformación:

N1 I1 = N2 I2I2 = N1N2 I1 .......... (7.6.1)

V1V2 = N1N2V1 = N1N2 V2......... (7.6.2)


Zab= V2I1+I2 ................. (7.6.3)

(7.6.1) en (7.6.3):

Zab= V2 I1+ N1N2 I1 = V2(1+ N1N2 ) I1

Zab= V2(1+ N1N2 ) I1 ............... (7.6.4)

V1 +V2 = ZL I1 ................. (7.6.5)

(7.6.2) en (7.6.5):



N1N2 V2 + V2 = ZL I1( N1N2 +1 ) V2 = ZL I1ZL I1 = ( N1N2 +1 ) V2

V2 = ZL I1 ( N1N2 +1)...........(7.6.6)

Reemplazando ecuación (7.6.6) en ecuación (7.6.4):

Zab= ZL I1 ( N1N2 +1)(1+ N1N2 ) I1

Zab= ZL I1 ( N1N2 +1) (1+ N1N2 ) I1

Zab= ZL ( 1 +N1N2 )2 .............. (7.6.7)

• Polaridad en la bobina N2:

De la relación de Transformación:

N1 I1 = - N2 I2FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 66 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


I2 = - N1N2 I1 .......... (7.6.8)

V1V2 = - N1N2V1 =- N1N2 V2......... (7.6.9)


Zab= V2I1+I2

Zab= V2(1+ N1N2 ) I1 ................. (7.6.10)V1 +V2 = ZL I1............ (7.6.11)

(7.6.9) en (7.6.11):

- N1N2 V2+V2 = ZL I1

ZL I1 =( 1 - N1N2) V2 V2 = ZL I1 (1- N1N2 )............ (7.6.12)




Zab= ZL I1 (1- N1N2 )(1- N1N2 ) I1

Zab= ZL (1- N1N2 )2 ………….. (7.6.13)7.7. Encuentre la potencia disipada por la resistencia de transferencia vista por V1 del circuito de la figura

7.14.

Figura 7.14

La corriente I1 :50=2.5 I1 + V1

I1 = 50- V12.5 ………. (7.7.1)La caída de tensión en la resistencia de 10 Ω:

V3 = 10 I3 ......... (7.7.2)

La relación de transformación:



30 I2 = I3…………(7.7.3)V2 =30 V3…………(7.7.4)

20I2 = I1 I2 =120 I1 ……….. (7.7.5)

V2 =20 V1 ………… (7.7.6)Ecuación (7.7.2) en (7.7.4):

V2 =30 10 I3 = 300 I3V2 = 300 I3………(7.7.7)Ecuación (7.7.6) en (7.7.7):

20 V1 = 300 I3 V1 = 15 I3 ……….7.7.8Ecuación (7.7.5) en (7.7.3):



I3 = 32 I1 ………..(.7.7.9)Ecuación (7.7.9) en (7.7.8):

V1 = 452 I1………(7.7.10)V1 = 22.5 I1………(7.7.10)La resistencia de transferencia:

Rt= V1 I1 = 22.5 ΩEcuación (7.7.10) en (7.7.1):

I1 = 50-452 I1 2.5 2.5 I1 = 50-22.5 I1 I1 = 502.5+22.5 I1 = 2 A ….. (7.7.11)La potencia disipada por la resistencia vista por V1:



P= I12 Rt= 22* 22.5 =90 W……( 7.7.12)Resolviendo sólo reflejando la resistencia en base a la relación de transformación:

La Resistencia en V2, será igual a:

(R)V3 = 302 10 = 9000 Ω

La Resistencia en V1, será igual a:

(R)V1 = (R)V3 1202 = 9000400 =22.5 Ω(R)V1 = 22.5 Ω

La potencia disipada por la resistencia vista por V1:

P= I12 Rt= 22* 22.5 =90 W…… 7.7.137.8. Encuentre las ecuaciones características del circuito con transfromador ideal y lineala en función de las

tres corrientes de malla. Ver Figura 7.14.

Figura 7.14

Escribiendo en función de ecuaciones de malla:

VG=(R + ZT ) I1+b VL …………(7.8.1)La impedancia de transferencia en primario del transformador lineal:



Z'T = w2 M2R+j w L+ 1j w C+ ZL ……….(7.8.2)La impedancia de transferencia en primario del transformador ideal:

ZT = 1a2 R+j w L+ 1j w C+ Z'T

ZT = 1a2 R+j w L+ 1j w C+ w2 M2R+j w L+ 1j w C+ ZL…….. (7.8.3)Reemplazando (7.8.3) en (7.8.1):

VG= R + 1a2 R+j w L+ 1j w C+ w2 M2R+j w L+ 1j w C+ ZL I1 +b VL…..(7.8.4)VL= ZL* I3 ……. (7.8.5)

(7.8.5) en (7.8.4):

VG= R + 1a2 R+j w L+ 1j w C+ w2 M2R+j w L+ 1j w C+ ZL I1 +b ZL I3 ……(7.8.5)De la relación de Transformación del transformador Lineal:

I1=a I2 ………(7.8.6)No se puede reflejar impedancias al primario ó secundario si contienen fuentes, a menos que se trate de fuentes independientes que estén desactivadas.

En el transformador lineal:



R+j w L+ 1j w C I3 +j w M I2 …………(7.8.7)7.9. Hallar el equivalente de Thevenin, entre los terminales c-d, de la Figura 7.15.

Figura 7.15

El circuito a analizar para determinar la tensión de Thevenin, será el de la figura 7.16:

Figura 7.16

V1=b V5 =b IGj w C2………..(7.9.1)V2=a V1………(7.9.2)

V2=R+j w L3 I2+ j w M IG ; I2 =0V2= j w M IG ……(7.9.3)

Del circuito, la tensión de Thevenin pueden ser representados por:



V2=a V1 ; V2=wM IG (7.9.4) El circuito a analizar para determinar la corriente de Norton, será el de la figura 7.17:

Figura 7.17

V1=b V5 =b IGj w C2………..(7.9.5)V2=a V1………(7.9.6)

I2 = V2R = a V1R ………….(7.9.7)

Vcd=0= - I3 j w L3- j w MIG

I3= - MIGL3 ……….. 7.9.8La corriente de Norton será la suma de ecuaciones (7.9.7) y (7.9.8):



Icd = IN= I2+ I3

IN= a V1R - MIGL3 IN= a b IG j w R C2 - MIGL3 ……….(7.9.9) La impedancia equivalente será la razón de ecuaciones (7.9.4) a (7.9.9):

RTh = VThIN = a b IGj w C2a b IG j w R C2 - MIGL3

RTh = a bj w C2a b j w R C2 - ML3 ……..(7.9.107.10. Determine la Impedancia de entrada del circuito de la Figura 7.18.

Figura 7.18

El circuito a analizar será el de la figura 7.19, en el que se puede ver las direcciones de las corrientes:



Figura 7.19

La corriente I3, será:

I3 = V1-V22 ……. (7.10.1)Las tensiones de ambos arrollamiento en el transformador ideal:

V1 =2 V2 ………..(7.10.2)Las corrientes de ambos arrollamientos en el transformador ideal:

I2 =- 2 I1 ………..(7.10.3)En el Nodo B, las corrientes se relacionan como:

I3= I2+ Ix ……… (7.10.4)Ix = V26 ………..(7.10.5)Ecuación (7.10.5) en (7.10.4):



I3= I2+ V26 ……. (7.10.6) Reemplazando ecuación (7.10.2) en (7.10.1):

I3 = V1-V12 2 = V14 ………(7.10.7)Reemplazando ecuaciones (7.10.3), (7.10.7) y (7.10.2) en (7.10.6):

V14 = - 2 I1+ V126 ………(7.10.8)I1 = - V112 ………..(7.10.9)

La corriente de la fuente:

Ia = I1+ I3 = - V112 + V14 Ia = V16

La impedancia de entrada será:

Zin = V1Ia = 6Zin= 6 Ω

8. En el circuito de la Figura 7.20, calcular el circuito equivalente de Thèvenin entre los terminales ‘x’ – ‘y’.



Figura 7.20

ANEXO

ECUACIONES CARACTERÍSTICAS DE CAMPO MAGNÉTICO

I. TEOREMA DE AMPERE.

La ley fundamental que determina el funcionamiento de un circuito magnético viene dada por la ecuación de Maxwell:



rotH= j+ ∂D∂T ……………… (1)Donde:

• H - Intensidad de campo magnético

• j - Densidad de Corriente

• ∂D∂T - Efecto producido por las corrientes de desplazamiento ( alta frecuencia)

•• Si se integra la ecuación (1), sobre una superficie determinada por una curva cerrada: Ver figura (1)

•

• Figura (1)

• rotH ds = sj. dss …….. (2)• H . dl= s j dss …………3 (Teorema de Stokes)• Donde:



• j. dss - Representa a la corriente total que atraviesa a la superficie

•• En las máquinas eléctricas la corrientes circularán por los conductores que forman los bobinados, por

tanto. La integral de superficie se podrá sustituir por una sumatoria:•

• j. dss = jIj ……(4)• La circulación de la intensidad de campo magnético a lo largo de una línea cerrada es igual a la

corriente concatenada por dichas líneas, vale decir:

• H . dl= s jIj …..(5)• En el caso de que la misma corriente concatene ‘n’ veces a la curva, como ocurre en una bobina: Ver

figura (2).

•

• Figura (2)

• H . dl= c N .I ……. 6 Teorema de AmpereII. INDUCCIÓN MAGNÉTICA.

• La inducción magnética, también conocida como ‘densidad de flujo’ de un campo magnético de

intensidad H, se define como el siguiente vector:

•



• B = μo. μr. H = μa . H (T)……….. (6)•• Donde:

• μo - Permeabilidad magnética del vacío

• μr - Permeabilidad relativa del material

• μa - Permeabilidad absoluta

•• Para la permeabilidad relativa, se suele tomar como referencia al aire. En una máquina eléctrica

moderna μr, puede alcanzar valores próximos a 100.000

••• El material magnético, una vez que alcanza la saturación, tiene un comportamiento idéntico al del

aire, no permitiendo que la densidad de flujo siga aumentando a pesar de que la intensidad del campo así lo haga. Ver figura (3).

•

•• Figura (3)

III. FLUJO, RELUCTANCIA Y FUERZA MAGNETOMOTRIZ.

• Sea el siguiente circuito magnético elemental de la Figura (4):



•

• Figura 4

• Se supone la permeabilidad del material magnético infinita.• Como la sección es pequeña en comparación con la longitud, se supone que la intensidad de campo

magnético es constante en toda ella, es decir:

• H=constante• y

• H .l = N . I (A-V)=Fmm → Fuerza Magnetomotríz•• La Fuerza Magnetomotríz, representa a la suma de corrientes que crean el campo magnético, es

decir:

• H=N . I l (A-V)…….. (7)• Como el vector densidad de flujo y el vector de superficie son paralelos, luego:

• φ = B .S (Wb)…….. (8)• Además, como se cumple la siguiente relación:

• B = μo . H (T)……… (9)FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA 82 CARRERA DE ING. ELÉCTRICA E ING. ELECTRÓNICA


• Reemplazando ecuaciones (9) y (8) en (7):

• Bμo=N . I l →B =N . I . μo l = φS

• φ = N . I . S . μo l = N . I lS . μo (Wb)……… (9)• Donde:

• R = lS . μo (A-VWb)……….. (10)• Donde:

• R - Reluctancia del material magnético

• La analogía entre circuitos eléctricos y circuitos magnéticos, viene descrito de la siguiente forma:

• LEY DE HOPKINSON • LEY DE OHM

• F = φ . R (A-V) • V = I .R (V)• F – Fuerza Magnetomotríz (A-V) • V - Diferencia de Potencial• φ-Flujo Magnético (Wb) • I - Corriente Eléctrica (A)• R - Reluctancia del Material (A-VWb) • R - Resistencia (Ω)

•

IV. LEY DE FARADAY.

• Cuando el flujo magnético concatenado por una espira varía, se genera en ella una fuerza electromotriz inducida, la variación del flujo abarcado por la espira puede deberse a tres causas diferentes:



• La variación de la posición relativa de la espira dentro de un campo constante. La variación temporal del campo magnético en el que está inmersa la espira. Una combinación de ambas.•

Ley de Inducción Electromagnética: Faraday 1831:

• → El valor absoluto de la fuerza electromotriz inducida está determinado por la velocidad de

variación del flujo que la genera ←

• Es decir: e= dφdt …………(11) Ley de Lenz:

• → La fuerza electromotriz inducida debe ser tal que tienda a establecer una corriente por el circuito

magnético que se oponga a la variación del flujo que la produce ←

• e=- dφdt

• e=-N dφdt ………. (12) V. UNIDADES DE LAS MAGNITUDES ELECTROMAGNÉTICAS.

•

Intensidad de Campo Magnético, H: Amperios-Vuelta (A-V)



Inducción Magnética, B: Tesla (T)

Flujo Magnético, φ: Weber (Wb), 1Wb = Tesla/m2

Fuerza Magnetomotríz, F: Amperios-Vuelta (A-V)

Fuerza Electromotríz Inducida, e: Voltio (V)

•

VI. CICLO DE HISTÉRESIS.

• En la Figura 5, podemos apreciar la curva característica del Ciclo de Histéresis, en la que se representa la relación de parámetros característicos de Intensidad de Campo e Inducción Magnética en un material magnético:

•

• Figura 5

VII. PÉRDIDAS POR HISTÉRESIS.

• Sea el siguiente circuito de la Figura 6, con excitaciones de corriente alterna y cuyas ecuaciones características serán las siguientes:



•

• Figura 6

• Egt=R it+N dΦ(t)dt• Multiplicando m/m por i(t) dt:

• Egt*it dt=R it*itdt+N dΦ(t)dt*it dt• Integrando m/m de 0 a T:

• 0TEgt*it dt = 0TR i(t)2 dt + 0TN it dΦt ……..(13)• Considerando las siguientes relaciones:

• N*it=Ht*I ……..(14)

• dΦt= S*dBt ………(15)



• I*S=V= Volumen Toro…….(16)

• Aplicando ecuación (14):N it dΦt = Ht*I* dΦt …….(17)

• Aplicando ecuación (15):Ht*I* dΦt=Ht*I*S*dBt ………(18)

• Aplicando ecuación (16):Ht*I*S*dBt =V*Ht*dBt

• 0TN it dΦt =0TV*Ht*dBt ……. (19)

• En conclusión podemos puntualizar:0TEgt*it dt = Potencia Consumida

• 0TR i(t)2 dt =Pérdidas en el conductor de la bobina de N espiras

• 0TV*Ht*dBt=Pérdida por Histéresis

• Vale decir:0TEgt*it dt = 0TR i(t)2 dt + 0TV*Ht*dBt ……..(20)



• Donde:0THt*dBt =Área del Ciclo de Histéresis …….(21) •

• Las pérdidas por Histéresis Vatios por unidad de peso podemos describirlo en base al siguiente diagrama de bloques de la Figura 7:

•

• Figura 7

VIII.CORRIENTES PARÁSITAS.

• Las corrientes parásitas son corrientes que circulan por el interior del material magnético como consecuencia del campo, Ver Figura 8:

•

• Figura 8

• Según la Ley de Lenz, reaccionan contra el flujo que los creó, reduciendo la Inducción Magnética, además, ocasionan pérdidas y por tanto, calentamiento.



• Las Pérdidas por Corrientes Parásitas:

•

• Figura 9

• PFe=K*f2*Bm WKg ……. (22)•

• En la Figura 10, comparamos los dos tipos de sección de circuito magnético, el maciso con el apilado, por lo que, podemos concluir:

•

•

• S2< < S1 → R1 < < R2 ……..(23)• Donde:



• R1 - Resistencia eléctrica del circuito magnético al paso de las corrientes parásitas• Es decir:

• R1 = ρ*L1S1 ......... (24)

• R2 - Resistencia eléctrica del circuito magnético al paso de las corrientes parásitas• Es decir:

• R2 = ρ*L2S2 ......... (25)

•

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ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS2010

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FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ING. ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA Página 92

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