laboratorio 1.- operaciones de matrices · 2020-01-29 · laboratorios tópicos de Álgebra...
TRANSCRIPT
Laboratorios Tópicos de Álgebra versión 2 Enero 2020
Página 1 de 12
Laboratorio 1.- OPERACIONES DE MATRICES I. Calcular las operaciones indicadas, utilizando las siguientes matrices
𝐴 = (4 7 30 5 −12 −2 3
) 𝐵 = (13 10 15−5 7 930 8 6
) 𝐶 = (0 24 1
−2 −1)
𝐷 = (3 74 16
) 𝐸 = (1
−17
) 𝐹 = (3 2
−5 1)
A) 2𝐵 + 3𝐴
B) 𝐶𝐷
C) (𝐶𝑡 + 𝐵𝑡)𝐴
D) 3𝐹𝑡 − 𝐵
II. Hallar la matriz X que cumpla las siguientes condiciones:
1) 𝑋 − 4𝐴 = 𝐵 2) 3𝐴 + 5𝑋 = 𝐵
Dado que: 𝐴 = (−2 3 22 −1 1
−1 −1 0), 𝐵 = (
−1 4 00 2 6
−3 0 2)
Laboratorios Tópicos de Álgebra versión 2 Enero 2020
Página 2 de 12
Laboratorio 2.- FORMAS REDUCIDAS I. Obtener forma reducida inferior (1) y forma reducida en escalón (2) de las siguientes matrices
𝐴 = (1 7 −3 0 −65 −2 2 14 106 4 9 −8 1
) 𝐵 = (2 1 −34 −2 53 2 −7
) 𝐶 = (
−2 3 −5 25 −2 7 34 −3 6 5
−3 2 2 4
)
𝐷 = (6 2 1 43 3 1 54 6 3 5
) 𝐸 = (
2 −13 −23 −13 7
) 𝐹 = (
3 24 −11 −2
−1 3
)
II. Encuentre la matriz inversa (Si esta existe) utilizando únicamente operaciones elementales
𝐴 = (2 3 18 4 3
−2 5 −1)
𝐵 = (2 1 −13 2 54 −3 6
)
C=(
2 3 2 33 6 1 57 14 3 56 12 5 4
)
Laboratorios Tópicos de Álgebra versión 2 Enero 2020
Página 3 de 12
Laboratorio 3.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
I. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método indicado
1) −3𝑥 − 𝑦 = 5
Inversa de Matriz de Coeficientes
2𝑥 + 3𝑦 = 6
2) 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 6 Elección Libre de Método
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −2
3) 7𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 1
5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1 Gauss
9𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = −1
4) −7𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0
9𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 0 Gauss-Jordan
2𝑥 + 4𝑦 − 7𝑧 = 0
5) 5𝑤 + 7𝑥 − 𝑦 + 8𝑧 = 1
7𝑤 + 𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 11 Elección Libre de Método
−𝑤 − 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 11
𝑤 + 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −3
Laboratorios Tópicos de Álgebra versión 2 Enero 2020
Página 4 de 12
Laboratorio 4.- DETERMINANTES
1. Considere el siguiente determinante |
−𝟑 −𝟏 𝟒 𝟑𝟒 −𝟐 𝟐 −𝟏𝟐 𝟏 −𝟏 −𝟐𝟏 𝟑 −𝟏 −𝟒
|
a) Calcule los menores 𝑀1,3, 𝑀2,2, 𝑀2,3 𝑦 𝑀4,4
b) Calcule los cofactores 𝐶1,2, 𝐶3,3, 𝐶3,2 𝑦 𝐶2,2
II. Resolver para x
|𝟒𝒙 −𝟐𝒙 𝟑𝒙 −𝟓𝒙 𝟐𝟐 𝟒 𝟐𝒙
| = −𝟏𝟎𝒙;
III. Hallar la inversa de la matriz (si existe), utilizando el determinante
(
𝟑 −𝟏 −𝟒 𝟎𝟐 −𝟐 𝟐 𝟑𝟎 𝟏 𝟏 𝟏
−𝟏 𝟑 𝟐 −𝟑
)
IV. Calcular los siguientes determinantes utilizando propiedades y desarrollo por menores
𝑨 = |
𝟒 𝟐 𝟎 𝟏−𝟏 𝟑 𝟏 𝟐𝟒 𝟑 −𝟏 −𝟐𝟏 −𝟑 −𝟏 𝟐
|
B= |
𝟎 𝟐 −𝟐 𝟑𝟏 𝟏 −𝟏 𝟏𝟑 𝟑 −𝟏 𝟎
−𝟏 𝟎 𝟎 𝟐
|
Laboratorios Tópicos de Álgebra versión 2 Enero 2020
Página 5 de 12
Laboratorio 5.- SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR
DETERMINANTES
I. Resolver por el método indicado; Si utiliza la inversa el procedimiento es inversa con determinantes.
a) 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
2𝑦 − 𝑧 = 1 Cramer
−𝑥 + 𝑦 = 1
b) 𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4 Cramer
3𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 6
c) 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −1 Inversa
𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 2
d) 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 0
−2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 5𝑤 = −5 Elección Libre de Método
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 2
II. Determinar los valores de K, para que el sistema:
a) Tenga Solución Única b) Sin solución c) Soluciones Infinitas
1) 𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 2 2) 𝑘𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 0
3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑘 2𝑥 + 𝑘𝑦 + 4𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1 2𝑥 + 𝑘𝑦 + 6𝑧 = 𝑘 − 2
Laboratorios Tópicos de Álgebra versión 2 Enero 2020
Página 6 de 12
Laboratorio 6.- FRACCIONES PARCIALES I.- En cada uno de los ejercicios descomponer la fracción dada en sus fracciones parciales simples y comprobar el
resultado.
1) 3𝑥+6
(𝑥−2)(𝑥+4) 2)
9𝑥+7
𝑥2+2𝑥−3
3) 3𝑥2−5𝑥−52
(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+5) 4)
𝑥3+2𝑥2−1
𝑥2+𝑥−6
5) 𝑥2+3𝑥−2
𝑥2(2𝑥−1) 6)
9𝑥3+16𝑥2+3𝑥−10
𝑥3(𝑥+5)
7) 3𝑥2−4𝑥+5
(𝑥−1)(𝑥2+1) 8)
2𝑥3−4𝑥2+4𝑥−4
(𝑥2+2)(𝑥2+1)
9) −10𝑥2−24𝑥−48
(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥2+𝑥+2) 10)
2𝑥4+4𝑥3+4𝑥2+𝑥−6
𝑥4+𝑥3+3𝑥2
11) 2𝑥5+4𝑥3−3𝑥2+3𝑥−1
(𝑥2+1)3 12) 2𝑥5+9𝑥3+3𝑥2+5𝑥+4
𝑥6+2𝑥3+1
Laboratorios Tópicos de Álgebra versión 2 Enero 2020
Página 7 de 12
Laboratorio 7.- FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA I. En cada uno de los ejercicios pasar la relación dada a la forma logarítmica
1) (1
8)
2/3
=1
4 2) N = bx 3) xy = z
II. En cada uno de los ejercicios pasar la relación dada a la forma exponencial
4) log10 100 = 2 5) logb a = c 6) log√2 1 = 0
III. En cada uno de los ejercicios hallar el logaritmo que se pide
7) log10 1000 8)Si logb 0.01 = −2, hallar b
9)Si logb 9 = −2, hallar b 10) Si log4 N = 3, hallar N
IV. Trazar la gráfica de las siguientes funciones
11) y = 2x 12) y = (1
2)
x
Laboratorios Tópicos de Álgebra versión 2 Enero 2020
Página 8 de 12
Laboratorio 8.- PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS LOGARITMOS I.- En cada uno de los ejercicios expresar el logaritmo dado en función de logaritmos de expresiones más
sencillas
1) logbx2−1
x2−4 2) logb
x(x+2)2
(x−2)4 3) logb √x(x2−5)
(x2+3)(x2−3)
II.- En cada uno de los ejercicios hallar el valor de x
4) logb x = logb 2 + 3 logb 2 − logb 4
5) logb x =1
2logb 3 + logb 4 −
1
2logb 2
6) log10 x = 2log10 3 + 3 log10 2 − 2
III.- En cada uno de los ejercicios la función inversa de la función dada
7) y = bx+2 8) y = bx−1
x
9) y = logbx
x−1 10) y = logb
1+ √1+x2
x
Laboratorios Tópicos de Álgebra versión 2 Enero 2020
Página 9 de 12
Laboratorio 9.- ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES I. En cada uno de los ejercicios resolver la ecuación dada.
1)3x+1 = 81
2)e2x − 2e−2x − 1 = 0
3) log x − log(x − 2) = log 2
4) log 12 − log(x − 1) = log(x − 2)
5)2 log(x + 3) + log(x + 2) = 2
II. En cada uno de los ejercicios transformar la ecuación dada en otra que no contenga logaritmos.
6) log x + log y = log 4
7) 3log x − 2 log y = 1
8) 2log 2x − log(z + 2y) = log(z − 2y)
9) log(x + y) − log y = log 3 − log(x2 − xy + y2)
Laboratorios Tópicos de Álgebra versión 2 Enero 2020
Página 10 de 12
Laboratorio 10.- PERMUTACIONES Y COMBINACIONES I. Simplificar la expresión dada.
1) 3!6!
8!
2) 3!+4!
7!
II. Hallar “n” si:
3) 𝑐(𝑛 + 1,4) = 6 ∙ 𝑐(𝑛 − 1,2)
4) 𝑝(𝑛, 2) = 72
III. Resuelve los siguientes problemas
5) ¿De cuántas maneras puedes escogerse un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de
un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?
6) ¿Cuántos números mayores de 5000 pero de cuatro dígitos se pueden formar con las cifras
2,3,5 y 7?
a) Si se permite la repetición de dígitos.
b) Sin repetir dígitos. 7) ¿En cuántas formas diferentes pueden acomodarse 7 llaves diferentes en un llavero
circular?
8) De cuántas maneras pueden sentarse 5 estudiantes en una fila de 8 sillas si
(a) dos de los estudiantes insisten en sentarse juntos
(b) dos estudiantes no desean estar juntos.
9) Hay 6 aerolíneas que vuelan entre Los Ángeles y San Francisco y cuatro líneas de camiones
que cubren la ruta San Francisco-Sonora. Hallar el número de maneras en una persona
puede cubrir la ruta Los Ángeles-Sonora de ida y vuelta sin usar la misma compañía dos
veces.
10) De cuántas maneras pueden arreglarse en un estante 4 libros de francés, 2 libros de alemán
y 3 libros de español, de manera que los libros del mismo idioma permanezcan juntos.
Laboratorios Tópicos de Álgebra versión 2 Enero 2020
Página 11 de 12
Laboratorio 11.- SUCESIONES Y SERIES I. Determine si la sucesión dada es monótona creciente o monótona decreciente.
1) 1
3,
2
5,
3
7,
4
9, …
2) {2𝑛 + 4}
3) { (−2)𝑛−13𝑛}
II. Determine si la sucesión dada es convergente o divergente
4) {4𝑛 + 7}
5) {2𝑛+1
𝑛+3}
III. Calcule el limite indicado
6) lim𝑥→∞
𝑥
𝑥2 +1
7) lim𝑥→0
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
8) lim𝑥→∞
ln 3𝑥
3𝑥2
IV. Determinar si la serie dada es convergente o divergente. Justifique su respuesta.
9) ∑𝑛2
2𝑛∞𝑛=0
10) ∑𝑛!
3𝑛∞𝑛=0
11) ∑(−1)𝑛−1𝑛
2𝑛−1∞𝑛=1
12) ∑2𝑛−1
2𝑛∞𝑛=1
13) ∑1
2𝑛−5∞𝑛=0
Laboratorios Tópicos de Álgebra versión 2 Enero 2020
Página 12 de 12
V. Halle la serie de Taylor para la función dada alrededor del punto indicado. Además, halle una
serie de Maclaurin.
14) 𝑓(𝑥) = cos(4𝑥) , 𝑥 = 𝜋
15) 𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥 , 𝑥 = 2
16) 𝑓(𝑥) = sin(3𝑥) , 𝑥 =𝜋
2
VI. Hallar el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias.
17) ∑(−1)𝑛−1𝑛
2𝑛−1(𝑥 − 2)𝑛∞
𝑛=1
18) ∑𝑥𝑛
𝑛!∞𝑛=0