UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONAL

LICENCIATURA EN ELECTRONICA

SISTEMAS DE CONTROL 1

SISTEMAS DE CONTROL 2012-2

PARTE I

MODELO DEL MOTOR DC

= + + ; = =

= = + + = + +

Donde:

→ ó ! !

→ " ! ! ; =

!!! # = $ = 1& (&)

→ !! !)! *)+!

→ !# ! +! )! (, − )!)

→ !# ! ( − )!)

→ . "

→ . !#

→ /! 0 )!

→ !ó " 0 )!

→ / !)!

→ !)!

→ " 0 !)!

Se definen como variables de estado la velocidad angular () y la corriente de armadura () , lo

cual nos permite describir el sistema en forma de ecuación de estado:

= − −

= − −

Reescribiendo en forma matricial:12 = *1 + 3

45556 78

889

=45556− −

− 78889

: ; +

45556 1 0

0 − 178889

:

;

"!= : 1? = , 1 =

!: ? = , =

La salida del sistema depende de las variables de estado que se lean por medio de los sensores. Si

se lee solamente la velocidad, la salida del sistema es A = = 1; escribiendo en forma matricial:

A = B0 1C DE = B0 1C D1?1E

Diagrama de representación en ecuación de estado

Haciendo la transformada de Laplace de las ecuaciones de estado:

&. /(&) = (&) − . /(&) − . G(&)

/(&)(& + ) = (&) − . G(&)

De la segunda ecuación de estado:

&. G() = . /(&) − . G(&) − (&)

G(&)(& + ) = . /(&) − (&)

Datos Técnicos del Motor: (Es importante conocer la mayor cantidad de datos, es posible no

encuentre todos los datos, por lo tanto una simulación del motor será complicada de realizar)

Fabricado por la compañía Maxon Motor.

Motor A-max 32

Voltaje Nominal = 12V

Potencia Nominal = 15W

Velocidad Nominal = 4590 rpm

Torque máximo continuo = 38.2 mNm

Máxima corriente continua = 1.58A

Corriente de Arranque = 4.01A

Ra = 2.99Ω (Resistencia de armadura)

J = 41.4gr.cm2 = 4.14*10

-6Kg.m

2 (Inercia del rotor)

La = 420µH (inductancia de armadura)

f = 1*10-8

(fricción viscosa)

Kb = 24.1 mNm/A = 41.47 rad/s/V = 24.96*10-3

V/rd/s (constante de velocidad)

Kt = 24.1*10-3

Nm/A (constante de torque)

Se escribe el siguiente código en matlab, para ver la respuesta transitoria del motor ante entrada

escalón de 12 voltios, puesto que es el voltaje nominal, y determinar cuál es la velocidad ante

voltaje nominal.

%% MOTOR DC

Ra=2.99; %resistencia de armadura(ohms)

La=420e-6; %inductancia de armadura(H)

F=1e-8; %

J=4.14e-6; % inercia del rotor(Kg*m^2)

Kb=24.96e-3; % constante de velocidad (V/(rad/seg))

Kt=24.1e-3; %constante de torque (N*m/amp)

% variables de estado:

% X1=Ia

% X2=W

% Entradas

% U1=Va voltaje de armadura

% U2=Tl Torque de carga

Am=[-Ra/La -Kb/La

Kt/J -F/J ];

Bm=[1/La 0;

0 -1/J ];

Cm=[0 1];

Dm=[0 0];

Gss=ss(Am,Bm,Cm,Dm) % ecuacion de estado

eig(Am) % Valores propios(polos)

Gtf=tf(Gss) %funcion de transferencia

%%

G11=Gtf(1,1); %W/Ea

G12=Gtf(1,2); %W/Tl

G11=zpk(G11) % ver en forma ceros, polos , ganancia

La función de transferencia de velocidad contra voltaje de armadura es:

G(&)(&) = 13860133.4254(& + 7070)(& + 48.93)

Se puede ver que el polo es -7070 es despreciable puesto que está muy lejos en comparación con

el polo en -48.93, entonces se puede hacer la aproximación a un sistema de primer orden,

entonces se quita el polo y se divide la ganancia entre el valor del polo:

G(&)(&) = 1960.4149(& + 48.93) ; P = 148.93 = 20.4 )

Luego, la respuesta ante escalón de 12 voltios es:

% quitando polos lejanos

%aproximando G11--> W/Ea

G11=zpk([],[-48.93],13860133.4254/7070) %zero, pole,gain

step(12*G11)

La velocidad en estado estacionario es de480.66 QRSTU , para convertir a rpm:

" !+) = 480.66 30V = 4590 !+)

Para sensar la velocidad del motor se usa un convertidor frecuencia a voltaje, el cual recibe la

señal del encoder incremental incorporado al motor.

Digital Encoder. Se utilizó un encoder digital fabricado por la compañía Maxon Motor cuya

referencia es HEDL 5540 con manejador de línea. (Es importante que usted identifique el tipo de

encoder con el que trabaja su motor)

Figura 29. Encoger digital

Datos técnicos:

Vcc = 5V

Señal de salida: EIA estándar RS422

Número de canales: 2 + pulso índice.

Corriente de fase: 90°

Pulsos por revolución: 500

Corriente de salida/canal: -1 a 20mA

Máxima frecuencia de operación: 100KHz.

De acuerdo a la velocidad máxima del motor, Obtenemos la máxima frecuencia de operación:

5.7660

4590

4590

==

=

seg

rpmrps

rpmWn

Donde Wn representa las revoluciones del motor por minuto a su voltaje nominal.

Como el encoder proporciona 500 pulsos/revolución entonces:

segPseg

rev

rev

P/38250

5.76*

500= Entonces fmáx = 38.25KHz

Tacómetro. Es el convertidor Frecuencia-Voltaje fabricado por la National Semiconductor. Su

referencia es LM2907. (Recuerden que solo es un ejemplo, pueden usar otro)

Figura 30. Convertidor Frecuencia/Voltaje

Vout = Vcc*fin*C1*R1

fmax = VccC

I

*1

2 ;

I2 = 180uA para Vcc = 12 Vol (Se obtiene de las curvas de operación del PDF)

Si se toma fmax = 40KHz (un poco por arriba sólo para el diseño del sensor)

Entonces C1 = pFpFpFVKHz

uA33330375

12*40

180+==

Se necesita que la característica del sensor sea:

R1 = Ω== KpFKHzV

V

CVcc

Vout

IN

30363*25.38*12

5

1*f*

NOTA: la dinámica de un sensor siempre debe ser mucho más rápida que la dinámica de la

planta que va a medir con el fin de que la dinámica del sensor sea despreciable; en la práctica se

busca que la dinámica del sensor sea por lo menos 10 veces más rápida.

?. ≤ X?Y; El mstegeneralmenesmotor 20≈τ

Luego, para que la dinámica del convertidor F/V sea despreciable se hace que:

R1*C2 ≈ 2ms

C2 = nFnFK

ms6866

30

2≈=

Ω

Circuito para detectar el sentido de giro del motor: (no es necesario para esta práctica, sin

embargo se plantea para trabajos posteriores)

Se diseñó con el flip-flop D 74LS74.

Velocidad positiva: Velocidad negativa:

Los filtros de entrada son para filtrar el ruido, sólo dejan pasar la onda cuadrada pura que genera

el encoder.

Como se observa en los diagramas de tiempo, Q = 0 para velocidad negativa; Q = 1para

velocidad positiva.

Actuador (Puente H)

Figura 25. Puente H. LM18200

Se emplea el CI LMD18200 fabricado por National Semiconductor. Este integrado contiene un

puente H interno a base de Power Mosfet, lo cual permite que el motor gire en dos direcciones.

Tiene una entrada de señal PWM, una entrada de dirección y una entrada de Brake.

• Dirección: Es una entrada que controla la dirección del flujo de corriente entre out1 y out2 y

por lo tanto la dirección de rotación del motor.

• La señal de entrada PWM es suministrada por el microcontrolador y con ella logramos variar

el ciclo útil de la señal de salida desde 0% a 100% lo que equivale a variar el voltaje promedio

aplicado al motor en un rango entre 0 Voltios y 12 Voltios. Si el controlador es analógico es

necesario un circuito integrado que convierta la señal analógica de control a PWM como el

UC2637. Al final de la parte I se muestra el diseño con el UC2637.

• BRAKE: Es una entrada del LM18200 utilizada para impedir la destrucción del puente H por

sobrecorriente y se activa con nivel lógico alto. La salida que sensa la corriente tiene una

sensibilidad de 377µA/A; tomando como referencia esa sensibilidad se diseñó el circuito de

protección de tal manera que cuando la corriente de salida sea mayor a 4 Amperios se active

un comparador que envía un nivel lógico alto a la entrada Brake del LM18200 protegiendo al

motor de sobrecorriente.

Figura 26. Protección de sobrecorriente

MODELO DE LA PLANTA

La planta en el sistema de control es el conjunto actuador-motor-sensor

El sensor utilizado tiene la siguiente característica lineal:

sradVm //10*04.1663.480

5 2−==

El actuador utilizado es un puente H con una ganancia de 2.4 (Av=12/5=2.4).

Conjunto Actuador-Motor-Sensor:

Es decir que el modelo de nuestra planta para hacer el sistema de control es:

Z(&)[(&) = 48.93& + 48.93 = \(&)

Nota: hay que tener en cuenta que la máxima señal de control es ] = ±_ `abcdae para evitar la

saturación del actuador, y que cuando la señal de salida"g" es igual a 5 voltios se tiene la

máxima velocidad del motor (480.66 rad/seg).

Modulador PWM. Es implementado con el UC2637 fabricado por la Texas Instruments y la

configuración y explicación están dados a continuación.

Figura 22. Modulador PWM.

La necesidad del restador antes del UC2637 es que debido a que el UC2637 está alimentado con

fuente simple, necesita tener como Vref = Vcc/2, para poder realizar la modulación

correctamente.

Así, cuando la señal análoga es cero, la salida del restador es Vcc/2; y al aumentar y llegar a un

máximo de 5V, la salida del restador es 1 voltio.

Figura 23. Rango de trabajo del modulador PWM

Circuito restador.

Figura 24. Circuito restador

Diseño del UC2637

Atendiendo a la guía de diseño del fabricante, debemos calcular los valores resistivos adecuados

para la modulación de la siguiente manera:

Condiciones de trabajo: Voltaje alimentación = +12V (Fuente simple) ≈ ±6V.

Entrada: ±5V máx.

Rin = 10KΩ

FT = 2KHz.

a = 1

Ω==+

=+

= KVV

VRR

CCIN

CCIN117.14

17

10*240

6*25

6*2*10*10*2

2

2*233

3 = 240KΩ//15KΩ

Ω=−=−= KRRR IN 88.510*117.1410*10*20233

34

VR

RVV

IN

CC

R 764.110*20

10*289.35

10*20

10*88.5*6

2

*

3

3

3

3

4====

Ω=

−=

−= K

VVcc

VRR

TH

TH757.11

764.16

764.110*117.14*22

3

32

Ω== KRR 117.1431

Ω=+

=+

= KmAmA

VVccR TH

T 528.155.0

764.16

5.0

nFnFKHz

mA

VRf

mAC

T

T 334.3510*035.0764.1*2*4

5.0

*4

5.0 6≈====

−

ANEXO A

Determinación de la Frecuencia de Muestreo, Periodo de la Señal de Entrada y Tiempo de

Simulación.

Los sistemas de control computarizados por naturaleza son sistemas discretos en los que las

señales se las trabaja por muestras tomadas a una determinada frecuencia, la misma que debe

seleccionarse de tal manera de poder reconstruir la naturaleza continua del proceso.

VVV RTH 764.1==

Según el teorema de Nyquist, la frecuencia de muestreo “fs” debe ser por lo menos el doble de la

frecuencia de la onda a muestrear “fo”, donde fo es la componente de más alta frecuencia en la

señal de tiempo continuo.

Por ejemplo, si se muestrea una señal de entrada al menos dos veces más rápido que la

componente de más alta frecuencia de esta, entonces teóricamente la señal original podría ser

caracterizada de forma única según el Teorema de Nyquist. Ver gráfico superior de la figura 1

(frecuencia de muestreo igual a 4). Pero con esta frecuencia no se podría imitar la forma de onda

de la señal de entrada en forma única. Para lograr una imagen lo más cercana a la señal de

entrada, será necesario muestrearla a una frecuencia de alrededor de 10 a 20 veces más alta que

la frecuencia más alta de la señal de entrada. Ver gráfico inferior de la figura 1 (frecuencia de

muestreo 20 veces).

*Referencia: Ingeniería de Control Moderna por Katsuhiko Ogata.

La componente de frecuencia más alta de un sistema está relacionada con la constante de tiempo

dominante de la respuesta del sistema a una señal de entrada tipo escalón.

Por otro lado, las constantes de tiempo de la respuesta dinámica del sistema están relacionadas

con la ubicación de los polos de su función de transferencia en el plano complejo “s”.

Generalmente, los sistemas de plantas industriales reales presentan una marcada dominancia que

puede ser de primer o segundo orden. Esto quiere decir que existe un polo simple (dominancia de

primer orden) o un par de polos complejos conjugados (dominancia de segundo orden) más

cercanos al eje imaginario del plano complejo “s” y que los otros polos están alejados una

distancia medida sobre el eje real de por menos cinco veces.

Bajo este fundamento podemos determinar que la frecuencia de muestreo óptima es determinada

de la siguiente manera:

Sistemas con dominancia de Primer Orden:

Considerando un sistema tiene dominancia de primer orden, su función de transferencia puede

ser representada por:

Ecuación 1

Entendemos por dominancia de un polo el hecho que la posición de dicho polo con relación al

origen del Plano Complejo “s” es el más cercano. Este hecho referido al Dominio de Tiempo

equivale a la componente de la respuesta en el tiempo más lenta. En la función de transferencia

del sistema, los otros polos deberían estar por lo menos ubicadas cinco veces la distancia del polo

dominante con relación al origen del Plano Complejo.

En este caso, el polo dominante “p” en el dominio del Plano Complejo equivale a la constante de

tiempo dominante en el Dominio de Tiempo; esto es:

Ecuación 2

Para el sistema con dominancia de primer orden, resulta que la respuesta a la frecuencia de dicho

sistema (gráfico de Bode) el valor del polo dominante define la ubicación de su frecuencia de

esquina. En dicho punto, el valor de su magnitud es de -3 dB con relación a la magnitud de

respuesta a bajas frecuencias. En nuestro caso, esta situación coincide con la definición del Ancho

de Banda, en lo relativo a la Frecuencia de Corte Superior; es decir que p = wB = wH; donde esta es

la frecuencia de corte, y la frecuencia con la que se va a trabajar.

Según el teorema de Nyquist, la frecuencia de muestreo debería ser por lo menos el doble de la

Frecuencia de Corte Superior wH, sin embargo, tomando en consideración aspectos prácticos se

recomienda:

Ecuación 3

Para esta pre-práctica vamos a considerar n=20.

El valor del tiempo de muestreo (Tm) es el que se usará como “Fixed Step Size” en “Configuration

Parameters”, “Sample Time” en los parámetros del “To workspace” y “Sample Interval” usado en

“Import Data”.

Cálculo del período de la señal de prueba tipo tren de pulsos centrados con 50% de Ciclo de

Trabajo (Duty Cycle)

Una manera posible para la identificación experimental en un sistema, es someterlo a una prueba

dinámica utilizando una señal de prueba del tipo tren de pulsos centrados con un ciclo de trabajo

(duty cycle) del 50%. En este caso es necesario ajustar el periodo de la señal de prueba de tal

manera que el sistema tenga tiempo de estabilizarse antes que el siguiente pulso se aplique. Ver

figura 2:

Figura 2

Por esta razón, es necesario establecer el Tiempo de Estabilización del sistema a ser probado por

una señal de entrada tipo escalón. Este tiempo se lo define como el tiempo necesario para que la

magnitud de la señal de respuesta a la prueba de escalón sea del 98%. Ver figura 3.

De acuerdo al gráfico, el Tiempo de Estabilización “Ts” se lo logra en cuatro Constantes de Tiempo

“T”.

El periodo de la señal de prueba de se lo fijaría de acuerdo a la siguiente relación:

Para fines prácticos, es recomendable que el periodo del tren de pulsos sea al menos 4 veces el

tiempo de estabilización (Ts).

Nota: Considerar que el período del tren de pulsos debe ser mayor a 2 veces el tiempo de

estabilización y recordar que debe ser múltiplo del sample time. Ej: Si el tiempo de muestreo

hallado con lo especificado anteriormente es 0.03 y T(constante de tiempo) es 0.5 entonces 2 x

Ts es 4, por lo que el periodo del tren de pulso debería ser mayor a 4 y múltiplo de 0.03 por lo

que se pudiera poner un período de 6, con esto nos aseguramos que la señal llegue a su

saturación.

Sistemas con Dominancia de Segundo Orden:

Un sistema con dominancia de segundo orden se lo puede aproximar a:

Donde ωn es la frecuencia natural de oscilación y es el coeficiente de amortiguamiento.

De la misma manera que en el sistema con dominancia de primer orden, la constante de tiempo se

la ajusta en función del par de polos complejos conjugados dominantes; esto es, de acuerdo a su

parte real:

El valor del tiempo de muestreo entonces se la puede fijar utilizando:

Ya que la frecuencia de esquina en un diagrama de bode de segundo orden estará dada por h.

El cálculo del periodo de la señal de prueba tipo tren de pulsos centrados con 50% de Ciclo de

Trabajo (Duty Cycle), también se lo hace utilizando el mismo criterio utilizado en los sistemas con

dominancia de primer orden; esto es; en base del Tiempo de Estabilización “Ts”. En un sistema de

segundo orden el Tiempo de Estabilización se lo calcula:

El Periodo de la señal de prueba se lo obtiene utilizando

Tiempo de Simulación.

El tiempo de simulación se lo fijara de acuerdo a la siguiente igualdad:

) = 4∗!

De esta manera se apreciaran 4 periodos completos de la señal de prueba.

*Referencia: Sistemas De Comunicación Digitales Y Analógicos por Leon W. Couch II