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Experiencia 5

Anlisis en el Lugar Geomtrico de las Races

5.1. Objetivos.-

Analizar la respuesta transitoria de sistemas de control mediante el mtodo del LGR.

Analizar la relacin entre la ubicacin de polos, ceros y ganancias con la respuesta transitoria de sistemas de control.

Familiarizarse con la herramienta SISOTOOL del Matlab.

5.2. Marco Terico.- Las propiedades transitorias de un sistema dependen de los polos de la funcin de transferencia en lazo cerrado. Es por ello que el estudio de las trayectorias que siguen las races de la ecuacin caracterstica es importante en sistemas de control lineales, emplendose para ello el mtodo del lugar geomtrico de las races LGR. El anlisis de un sistema empleando el LGR se traduce en ubicar los polos y ceros de la funcin de transferencia en lazo abierto sobre el plano s y a partir de estos determinar la trayectoria que seguiran los polos en lazo cerrado cuando uno o mas parmetros Ki varan, siendo generalmente la ganancia K del sistema la que varia. Las especificaciones del sistema en este caso estn dadas mediante la ubicacin de polos deseados en lazo cerrado en el LGR, obtenidos a partir de las condiciones de mximo sobreimpulso y tiempo de establecimiento. Los diagramas del lugar geomtrico de las races permiten determinar el rango de valores del parmetro variable para los cuales el sistema es estaba. Sin embargo, se debe tener en cuenta que las races de la ecuacin caracterstica dan una indicacin exacta de la estabilidad absoluta de sistemas lineales, pero dan solo informacin cualitativa sobre la estabilidad relativa, ya que los ceros de la funcin de transferencia en lazo cerrado, si existen, tambin juegan un papel importante en el desempeo dinmico del sistema.

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Al analizar un sistema mediante el LGR se debe tener en cuenta las siguientes caractersticas:

- Condicin de ngulo.- se emplea para determinar las trayectorias del lugar geomtrico de las races en el plano s.

)12()().( isHsG 0K

- Condicin de magnitud.- empleada para determinar los valores del

parmetro variable K una vez que se ha dibujado el lugar geomtrico de las races.

1)().( sds

sHsG K

- La porcin del LGR ubicado en el semiplano derecho de s corresponde a

los valores de K, para los cuales el sistema es inestable. - Los puntos sobre el lugar geomtrico de las races donde K son los

ceros de G(s).H(s); y, donde K=0 son los polos de G(s)H(s). MATLAB posee una variedad de funciones que permiten hacer el anlisis de sistemas de control. Las principales funciones que se emplean para el anlisis en LGR son: rlocus dibuja el LGR sgrid grilla sobre el LGR rlocfind determina los polos y la ganancia de un punto en el LGR sisotool permite usar una interfaz grafica para el anlisis y diseo de

sistemas y compensadores.

5.3. Trabajo Preparatorio.- 5.3.1. Determinar la estabilidad del siguiente sistema utilizando el criterio de

Routh-Hurwitz.

1 s(s4+3s3+4s2+12s+7) 5.3.2. Trazar el lugar de races a escala del siguiente sistema:

)5)(1()(

sss

KsG 1H

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Calcular a mano: a) Singularidades a lazo abierto b) Lugar de races sobre el eje real c) Asuntotas: cantidad, ngulos y punto de cruce de las asuntotas sobre el

eje real (centroide). d) Puntos de ruptura. e) Angulo de partida y de llegada de las singularidades complejas de bucle

abierto (si existen). f) Lugar de cruce sobre el eje imaginario. g) K critico. h) Encontrar K para 5.0 .

5.4. Trabajo Practico.- 5.4.1. Utilizando el SISOTOOL, encontrar el LGR del siguiente sistema y

llenar la siguiente tabla.

)5)(1()(

ss

KsG , 1H

K S1 S2 S2/S1 n aprox. MP

(%)

ts Ess(%)

0.5

1.7

4.85

15

100

5.4.2. Utilizando el SISOTOOL, encontrar el LGR del sistema del literal 5.3.2 y

llenar la siguiente tabla.

K S1 S2 S3/S1 n aprox. MP (%)

ts Ess(%)

0.5

1

4.5

15

Kc

5.4.3. Utilizando el SISOTOOL y el sistema del literal 5.3.2 encontrar el valor

de K para que 707.0 y 5.0 .

5.4.4. Agregar al sistema del literal 5.3.2 un polo en s=-6, como cambia el

LGR?

4

5.4.5. Halle el LGR del siguiente sistema:

)53()(

2

sss

KsG , 1H

Llene la siguiente tabla:

K S1 S2 S3/S1 n aprox. MP (%)

ts Ess(%)

0.5

3.2

7.5

8.5

Kc

5.4.6. Utilizando el SISOTOOL y el sistema del literal 5.4.5 encontrar el valor de K para que 65.0 y 5.0 . Donde se ubican los polos dominantes

del sistema?

5.5. Informe.-

5.5.1. Presentar los resultados obtenidos durante la prctica. 5.5.2. Realizar un archivo .m que permita crear una matriz de Routh-Hurwitz y

determine la estabilidad del sistema, el usuario solo debe ingresar el polinomio caracterstico.

5.5.3. Conclusiones y recomendaciones.