•

La Teoria m de las energias en reposo de cualquier particula.

por

M. W. Evans y H. Eckardt,

Civil List YAlAS / UPITEC

(www.aias.us, www.upitec.org, www.et3m, www.archive.org, www.webarchive.org.uk)

Traducci6n: Alex Hill (www.et3m.net)

Resumen.

Se demuestra que las energias en reposo observadas experimentalmente en particulasque median en interacciones de nucleones pueden describirse directamente mediante unamodificaci6n de la conocida ecuaci6n de masa en reposo de de Broglie. Esta ultima semodifica con el valor esperado de 1 / mer), donde mer) es la funci6n que defme el espacio consimetria esferica mas general. De manera que las masas de las particulas se determinan por lanaturaleza del espacio mismo.

Palabras clave: Teoria ECE2, teoria m de la masa en reposo de particulas.

3. Análisis numérico y gráficas.

3.1 Algunos ejemplos con funciones de Bessel.

En esta sección inspeccionamos aún más algunos detalles de la teoría m aplicada a partículas

elementales. En el documento UFT 431 identificamos las funciones de Bessel como posibles

soluciones para la ecuación de onda. Antes de comentar la ecuación de onda de la teoría m

con más detalle en la siguiente sección, consideramos la adecuación de las funciones de

Bessel en el contexto de la ecuación de onda.

En la Fig. 1, la función de Bessel j1(x) se representa gráficamente como un ejemplo, junto

con su derivada dj1(x)/dx y su integral � ��(x)dx. La diferenciación da una suma de otras

funciones de Bessel, la integración conduce a una expresión con una serie hipergeométrica.

Se observa que las tres expresiones dan origen a funciones que oscilan en forma similar con

cierto corrimiento en las fases.

Alternativamente, podemos considerar el primer parámetro a de la función de Bessel como

variable, evaluando ja(x0), dja(x0)/da y � ��(x0)da para un valor fijo de x0 = 1. Los resultados

correspondientes se representan gráficamente en la Fig. 2, indicando que un valor creciente

de a conduce a funciones que caen asintóticamente a cero.

Una función de onda debe de ser normalizable:

� �∗(r) ψ (r) �� dr = N (12)

para la coordenada radial r con N < ∞. Este no es el caso para funciones de Bessel y para

funciones de Bessel al cuadrado. Por lo tanto, debemos aumentarlas mediante una función

que cae a cero con suficiente rapidez. Definimos

ψ(r) : = ��(r) exp (−

� ) (13)

que da N = 0.930 para r0 = 2. La función de onda debe de normalizarse con este factor:

ψ(r) �

√��(�) . (14)

Con esta función de onda normalizada podemos computar el valor esperado de la función m.

Definimos m(r) como en documentos previos mediante

m(r) = 2 – exp (log (2) exp (−

� ) ). (15)

Entonces, el valor esperado es

� �∗(r) m(r) ψ (r) �� dr = 0.945. (16)

Como demostración, hemos representado gráficamente en la Fig. 3 la función de Bessel

original para r0 = 2, la función de onda modificada (13) y el integrando de la integral esperada

(16). Se observa claramente que las funciones modificadas caen a cero. El cálculo del valor

esperado puede formularse en forma invariable a nivel escalar, es decir que utilizando el

verdadero radio de la partícula en unidades de fm no genera modificaciones en el resultado.

Las masas de partículas elementales se calcularán en un documento posterior.

3.2 Algunos detalles de la ecuación de onda.

La ecuación de onda se dedujo a partir de parámetros fundamentales de la teoría ECE en el

documento UFT 51. El Lema de la teoría ECE, la Ec. (7.24) de UFT 51, se lee:

��� = R ��

� (17)

con la tétrada ��� y la curvatura escalar R. El Ansatz de Einstein (7.38/39) es

R = − k T (18)

donde k es la constante de Einstein y T es el escalar de energía-momento. En física cuántica,

debemos de sustituir esto por ��

ħ

k T (��

ħ)� , (19)

lo cual conduce a la ecuación de Proca (7.18) para la masa del fotón mp:

donde Aν son las componentes del potencial electromagnético. Alternativamente a la

ecuación de Proca sigue la ecuación de Dirac (7.48) con espino-tensores ϕ:

para la masa del electrón me. Utilizando sólo la parte espacial del operador de d’Alembert

obtenemos

para la función de onda ψ de una partícula con masa m. Los signos en la ecuación de onda –

aunque constituyen en apariencia una diferencia menor – son muy importantes. Las

soluciones de la ecuación diferencial (en una dimensión)

son oscilatorias:

mientras que las soluciones de

son exponenciales:

Obviamente, la Ec. (23) es del tipo (26) y posee soluciones exponenciales. Fijando la

constante k2 = 0 da lugar a una función de onda y una densidad de carga exponencialmente

decrecientes, lo cual resulta físicamente significativo. Para problemas esféricos, la ecuación

diferencial radial correspondiente (con ∇2 esférica) no puede resolverse en forma analítica.

Las soluciones son exponenciales, como arriba en el límite del campo lejano. Cuando la

ecuación diferencial contiene un valor de κ dependiente del radio, como es el caso en la teoría

m, ver la Ec. (6):

Entonces la solución exponencial se ve aumentada por oscilaciones como en la Fig. 3. 3.

3. Hacia una función radial para partículas elementales.

La Ec. (28) es similar a la ecuación radial de Schrödinger con momento angular igual a cero.

Es una ecuación de autovalor para la masa m con eigenfunciones ψ. Debiera de aplicarse el

mismo método de solución que para la ecuación radial de Schrödinger. Resolvimos un

problema similar en el documento UFT 260 para los así-llamados partones. En la ecuación

de Schrödinger, el operador esférico ∇2 se simplifica mediante la sustitución de función

La ecuación de Schrödinger se lee entonces como

con el factor no-diferencial

Podemos utilizar la misma sustitución (29) para la Ec. (28). Tenemos entonces

con

Notar que k2 (r) es negativa. Resolviendo la ecuación radial de Schrödinger tiene su truco,

porque las condiciones de contorno no pueden establecerse definiendo ϕ y dϕ/dr en un punto.

En vez, deben de darse dos valores de función de ϕ en dos puntos, de manera que la solución

no diverja para mayores valores de r. La no-divergencia sólo aparece para valores discretos

de E, los eigenvalores. Se utiliza comúnmente un esquema numérico especial para el

procedimiento de solución, denominado como el método de Fox-Goodwin o de Numerov.

Este método se ha aplicado en el documento UFT 260 para la resolución la ecuación radial

para partones. El método aún debe de desarrollarse para las Ecs. (32/33). Presentamos sólo

un ejemplo en donde se han dado los valores de ϕ y dϕ/dr en r = 0, de manera que pueda

emplearse el método establecido de resolución de Runge-Kutta del paquete Maxima. En la

Fig. 4, se representan gráficamente las funciones ϕ(r) y ψ(r) para ciertos parámetros. Se

observa que la solución ψ se parece a una hipérbola, mientras que ϕ es casi lineal. No resulta

claro si la aplicación del método de Numerov dará soluciones con sentido físico, porque el

factor k2 (r) es puramente negativo. Estos complicados problemas numéricos deberán de

resolverse en el futuro.

Figura 1: Ejemplo de la función de Bessel j1(x), su derivada e integral.

Figura 2: Ejemplo de función de Bessel ja(x0) para un valor fijo de x0, su derivada e

integral.

Figura 3: Función de Bessel, función de Bessel modificada e integrando esférico de la Ec.

(16).

Figura 4: Solución preliminar de las Ecs. (32/33), y de la función m(r).

Agradecimientos.

Se agradece al Gobierno Británico por la Pensión Civil Vitalicia y al equipo técnico de

AIAS y otros por muchas discusiones interesantes. Se agradece a Dave Burleigh, CEO de Annexa Inc.,

por la publicación voluntaria, mantenimiento del portal y del programa de retroalimentación de visitas

al mismo. Se agradece a Alex Hill por muchas traducciones y lecturas en idioma castellano, y a Robert

Cheshire y Michael Jackson por lecturas y preparación de videos en idioma inglés.

Referencias bibliográficas.

[1] M. W. Evans, H. Eckardt, D. W. Lindstrom, D. J. Crothers y U. E. Bruchholtz, “Principios de la

Teoría ECE, Volumen Dos” (ePubli, Berlín 2017).

[2] M. W. Evans, H. Eckardt, D. W. Lindstrom y S. J. Crothers, “Principios de la Teoría ECE,

Volumen Uno” (New Generation, Londres 2016, ePubli Berlín 2017).

[3] M. W. Evans, S. J. Crothers, H. Eckardt y K. Pendergast, “Criticisms of the Einstein Field

Equation” (UFT301 en www.aias.us y Cambridge International 2010).

[4] M. W. Evans, H. Eckardt y D. W. Lindstrom “Generally Covariant Unified Field Theory”

(Abramis 2005 - 2011, en siete volúmenes con encuadernación blanda, de libre acceso en varios docs.

UFT, portales combinados www.aias.us y www.upitec.org).

[5] L. Felker, “Las Ecuaciones de Evans de la Teoría del Campo Unificado” (Abramis 2007, de libre

acceso como UFT302, traducción castellana por Alex Hill).

[6] H. Eckardt, “El Modelo de Ingeniería ECE” (de libre acceso como UFT203, ecuaciones reunidas).

[7] M. W. Evans, “Collected Scientometrics” (de libre acceso como UFT307, New Generation,

Londres, 2015).

[8] M .W. Evans y L. B. Crowell, “Classical and Quantum Electrodynamics and the B(3) Field”

(World Scientific 2001, de libre acceso en la sección Omnia Opera del portal www.aias.us).

[9] M . W. Evans y S. Kielich, Eds., “Modern Nonlinear Optics” (Wiley Interscience, Nueva York,

1992, 1993, 1997 y 2001) en dos secciones y seis volúmenes, enc. dura y blanda y como libro

electrónico.

[10] M. W. Evans y J. - P. Vigier, “The Enigmatic Photon” (Kluwer, Dordrecht, 1994 a 1999) en

cinco volúmenes, enc. dura y blanda, de libre acceso en la sección Omnia Opera del portal

www.aias.us).

[11] M. W. Evans, Ed. “Definitive Refutations of the Einsteinian General Relativity” (Cambridge

International Science Publishing, 2012, de libre acceso en los portales).

[12] M. W. Evans, Ed., J. Foundations of Physics and Chemistry (Cambridge International Science

Publishing).

[13] M. W. Evans y A. A. Hasanein, “The Photomagneton in Quantum Field Theory (World

Scientific 1974).

[14] G. W. Robinson, S. Singh, S. B. Zhu y M. W. Evans, “Water in Biology, Chemistry and Physics”

(World Scientific 1996).

[15] W. T. Coffey, M. W. Evans, y P. Grigolini, “Molecular Diffusion and Spectra” (Wiley

Interscience 1984).

[16] M. W. Evans, G. J. Evans, W. T. Coffey y P. Grigolini”, “Molecular Dynamics and the Theory of

Broad Band Spectroscopy (Wiley Interscience 1982).

[17] M. W. Evans, “The Elementary Static Magnetic Field of the Photon”, Physica B, 182(3), 227-236

(1992).

[18] M. W. Evans, “The Photon’s Magnetic Field: Optical NMR Spectroscopy” (World Scientific

1993).

[19] M. W. Evans, “On the Experimental Measurement of the Photon’s Fundamental Static Magnetic

Field Operator, B(3): the Optical Zeeman Effect in Atoms”, Physica B, 182(3), 237 - 143 (1982).

[20] M. W. Evans, “Molecular Dynamics Simulation of Induced Anisotropy: I Equilibrium

Properties” , J. Chem. Phys., 76, 5473 - 5479 (1982).

[21] M. W. Evans, “A Generally Covariant Wave Equation for Grand Unified Theory” Found. Phys.

Lett., 16, 513 - 547 (2003).

[22] M. W. Evans, P. Grigolini y P. Pastori-Parravicini, Eds., “Memory Function Approaches to

Stochastic Problems in Condensed Matter” (Wiley Interscience, reimpreso 2009).

[23] M. W. Evans, “New Phenomenon of the Molecular Liquid State: Interaction of Rotation and

Translation”, Phys. Rev. Lett., 50, 371, (1983).

[24] M .W. Evans, “Optical Phase Conjugation in Nuclear Magnetic Resonance: Laser NMR

Spectroscopy”, J. Phys. Chem., 95, 2256-2260 (1991).

[25] M. W. Evans, “New Field induced Axial and Circular Birefringence Effects” Phys. Rev. Lett., 64,

2909 (1990).

[26] M. W. Evans, J. - P. Vigier, S. Roy y S. Jeffers, “Non Abelian Electrodynamics”, “Enigmatic

Photon Volume 5" (Kluwer, 1999)

[27] M. W. Evans, replica a L. D. Barron “Charge Conjugation and the Non Existence of the Photon’s

Static Magnetic Field” , Physica B, 190, 310-313 (1993).

[28] M. W. Evans, “A Generally Covariant Field Equation for Gravitation and Electromagnetism”

Found. Phys. Lett., 16, 369 - 378 (2003).

[29] M. W. Evans y D. M. Heyes, “Combined Shear and Elongational Flow by Non Equilibrium

Electrodynamics”, Mol. Phys., 69, 241 - 263 (1988).

[30] Ref. (22), impression de 1985.

[31] M. W. Evans y D. M. Heyes, “Correlation Functions in Couette Flow from Group Theory and

Molecular Dynamics”, Mol. Phys., 65, 1441 - 1453 (1988).

[32] M. W. Evans, M. Davies y I. Larkin, Molecular Motion and Molecular Interaction in the Nematic

and Isotropic Phases of a Liquid Crystal Compound”, J. Chem. Soc. Faraday II, 69, 1011-1022

(1973).

[33] M. W. Evans y H. Eckardt, “Spin Connection Resonance in Magnetic Motors”, Physica B., 400,

175 - 179 (2007).

[34] M. W. Evans, “Three Principles of Group Theoretical Statistical Mechanics”, Phys. Lett. A, 134,

409 - 412 (1989).

[35] M. W. Evans, “On the Symmetry and Molecular Dynamical Origin of Magneto Chiral

Dichroism: “Spin Chiral Dichroism in Absolute Asymmetric Synthesis” Chem. Phys. Lett., 152, 33 -

38 (1988).

[36] M. W. Evans, “Spin Connection Resonance in Gravitational General Relativity”, Acta Physica

Polonica, 38, 2211 (2007).

[37] M. W. Evans, “Computer Simulation of Liquid Anisotropy, III. Dispersion of the Induced

Birefringence with a Strong Alternating Field”, J. Chem. Phys., 77, 4632-4635 (1982).

[38] M. W. Evans, “The Objective Laws of Classical Electrodynamics, the Effect of Gravitation on

Electromagnetism” J. New Energy Special Issue (2006).

[39] M. W. Evans, G. C. Lie y E. Clementi, “Molecular Dynamics Simulation of Water from 10 K to

1273 K”, J. Chem. Phys., 88, 5157 (1988).

[40] M. W. Evans, “The Interaction of Three Fields in ECE Theory: the Inverse Faraday Effect”

Physica B, 403, 517 (2008).

[41] M. W. Evans, “Principles of Group Theoretical Statistical Mechanics”, Phys. Rev., 39, 6041

(1989).