Ejercicios resueltos. Tema 6.

1. Un arquitecto ha hecho una maqueta a escala 1:100 de un edificio destinado a oficinas, con forma de cubo cuya arista mide 70 m. Calcula la superficie de la planta y el volumen que el edificio tendrá en la maqueta.

Calculamos la longitud, L; de la arista en la maqueta:

Luego:

Área de la planta 70 · 70 4 900 cm2 0,49 m

2

2. Entre Sergio, de 152 cm de altura, y un árbol, hay un pequeño charco en el que se refleja su copa. Calcula la altura de dicho árbol sabiendo que las distancias que separan a Sergio del lugar de reflejo en el charco y del árbol son de 3,2 m y 10,7 m, respectivamente.

Hacemos una representación del problema llamando x a la altura del árbol:

Los dos triángulos rectángulos que se obtienen son semejantes (sus ángulos son iguales), Luego:

Por tanto, la altura del árbol es de 3,56 m.

3. Un barco se halla entre dos muelles separados (en línea recta) 6,1 km. Entre ambos se encuentra una playa situada a 3,6 km de uno de los muelles. Calcula la distancia entre el barco y los muelles sabiendo que si el barco se dirigiera hacia la playa, lo haría perpendicularmente a ella. ¿Qué distancia hay entre el barco y la playa?

(NOTA: El ángulo que forma el barco con los dos muelles es de 90). Hacemos una representación del problema:

700070 m 7000 cm longitud Longitud real escala 70 cm

100L

7,53,56

1,52 3,2

xx

Aplicando el teorema del cateto, calculamos x e y:

El barco se encuentra a 3,91 km de un muelle y a 4,69 km del otro.

Calculamos la distancia del barco a la playa, aplicando el teorema de la altura:

h2 2,5 · 3,6 h

2 9 h 3 km

La distancia del barco a al playa es de 3 km

4. Indica, explicando el motivo, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o

falsas.

a El triángulo de lados 3, 5 y 7 cm es semejante a otro de lados 7,5; 12,5 y 16,8 cm.

c Dos antenas verticales y paralelas forman con sus sombras dos triángulos que están

en posición de Tales se suponen antenas de distintas alturas. Solución:

a FALSO. Los lados no son proporcionales:

b VERDADERO. Colocamos los dos triángulos rectángulos por separado:

2 2

2 2

6,1 2,5 15,25 3,91km

6,1 3,6 21,96 4,69 km

x x x

y y y

b El triángulo ABD es semejante al triángulo ABC.

7,5 12,5 16,8

3 5 7

Son semejantes porque tienen un ángulo igual el de 90 y los lados de ese ángulo son proporcionales.

c VERDADERO. Hagamos un dibujo que represente la situación:

Se forman dos triángulos rectángulos, con un ángulo común y los lados opuestos a éste ángulo son paralelos. Por tanto, están en posición de Tales.

5. En una esfera se inscribe un cono de altura 6 cm y volumen 157 cm

3. Calcula el

volumen de la esfera.

El triángulo ABC es rectángulo por estar inscrito en una semicircunferencia.

Aplicando el teorema de la altura obtenemos R radio de la esfera:

34,56 14,42,4

14,4 6

2 2 2 2

CONO

1 1 157157 6 157 2 5 cm

3 3 2V r h r r r r

2 2 25 6 2 6 25 12 36 61 12

615,1 cm

12

r h R h R R R

R

3 3 34 4Volumen de la esfera: 5,1 555,6 cm

3 3V R

6. Una constructora está vendiendo un bloque de pisos usando una maqueta hecha a escala 1:150.

a Se deja una parcela rectangular para actividades deportivas, cuyas dimensiones en la

maqueta son 25 cm 52 cm. ¿Qué dimensiones tendrá en la realidad?

b La piscina contendrá 405 m3 de agua. ¿Qué volumen tiene en la maqueta?

a Dimensiones de la parcela rectangular en la realidad:

25 cm · 150 3 750 cm 37,5 m

52 cm · 150 7 800 cm 78 m

b VPISCINA REAL VPISCINA MAQUETA · 1503 405 m

3 VPISCINA MAQUETA · 150

3

7. Un molde para cocinar tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular en

el que los lados de las bases miden 16 cm y 12 cm y su altura es de 6 cm. Halla el volumen del molde.

Ampliamos el tronco hasta completar una pirámide.

Aplicamos la semejanza a los dos triángulos: el pequeño de catetos x y 6 y el grande de

catetos x 6 y 8.

El volumen del tronco de pirámide es la diferencia de volúmenes de las dos pirámides

8. Antonio y Víctor tienen sus casas en la misma acera de una calle recta. Todos los

días van a un polideportivo que forma triángulo rectángulo con sus casas. Observa la figura y responde:

33

3PISCINA MAQUETA 405000000 cm

120 cm 150

V

68 6 36 2 36 18 cm

6 8

x xx x x x

2 2 31 116 6 18 12 18 2048 864 1184 cm

3 3TRONCOV

a ¿A qué distancia está la casa de Víctor del polideportivo?

b ¿Qué distancia separa ambas casas?

Necesitamos calcular x e y:

Para calcular x lo más rápido es calcular el valor de la hipotenusa, que llamaremos z, aplicando el teorema del cateto:

7,52 4,5 · z 56,25 4,5 · z z 12,5 km

Así, la distancia entre ambas casas es de 12,5 km.

Calculamos y aplicando, de nuevo, el teorema del cateto:

Entre la casa de Víctor y el polideportivo hay 10 km.

9. Razona las siguientes afirmaciones, indicando si son ciertas o no.

a Dos triángulos rectángulos son siempre semejantes.

a FALSO. Tendrían el ángulo recto igual, pero necesitaríamos que los catetos fueran

proporcionales entre ambos triángulos, o bien que uno de los ángulos agudos coincidiera en los dos triángulos.

b FALSO. Tienen un ángulo en común, pero los lados opuestos a este ángulo no son paralelos.

2 2 2 212,5 4,5 12,5 8 12,5 100 10 kmy x z y y y y

b Los triángulos ABC y ABD están en posición de Tales.

c Los triángulos ABC y A’B’D’ con C = C’, AC = 6 cm, BC = 8 cm, A’B’ = 9 cm y

B’C’ = 12 cm son semejantes.

c

VERDADERO. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman esos lados es igual.

10. a Calcula la superficie terrestre que se verá desde 750 km de altura.

Recuerda que el radio de la tierra es R 6 366 km.

b ¿A qué altura se ha de ascender para ver exactamente el 15% de su superficie?

a

R 6 366 km

d 750 km

Llamamos h a la altura del casquete esférico cuya área queremos calcular. El triángulo rectángulo sombreado es semejante al grande:

ACASQUETE 2Rh 2 · 6 366 · 670,95 26 837 166,46 km2

b En este caso tenemos que calcular d :

AESFERA 4R2 4 · 6 366

2 509 264 182,6 km

2

15% AESFERA ACASQUETE 15% de 509 264 182,6 76 389 627,39 km2

Calculamos h :

9 121,5

6 8

2

6366 6366

7116 6366

6366 7116 6366 7116 4774500 670,95 km

R R h h

R d R

h h h

ACASQUETE 2Rh 76 389 627,39 2 · 6 366 · h h 1 909,8 km

Aplicamos nuevamente la semejanza de triángulos:

Se ha de ascender 2 728, 3 km para ver exactamente el 15% de la superficie terrestre.

11. En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cuál será la escala

de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cuál sería la distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm?

En este mapa, 7,5 cm representan 153 km reales.

7,5 cm 153 km 15 300 000 cm

La escala es 1:2 040 000. Si en el mapa hay dos poblaciones que distan 12,25 cm, la distancia real será:

12,25 · 2 040 000 24 990 000 cm 249,9 km

12. Para medir la altura de una montaña, Pedro, de 182 cm de altura, se sitúa a 2,3 m de un árbol de 3,32 m situado entre él y la montaña de forma que su copa, la cima de dicha montaña y los ojos de Pedro se encuentran en línea. Sabiendo que Pedro se encuentra a 138 m del pie de la montaña, calcula la altura de la montaña.

Hacemos una representación del problema:

En la figura tenemos dos triángulos semejantes.

2

6366 6366 1909,8

6366 6366

6366 4456,26366 4456,2 6366 2728,3 km

6366 6366

R R h

R d R d

d dd

Distancia mapa 7,5 1Escala

Distancia real 15300000 2040000

La altura de la montaña será:

x 1,82 90 1,82 91,82 m

13. El siguiente dibujo nos muestra el circuito que hace un excursionista que parte de A.

es de 2,4 km.

Empezamos por calcular x aplicando el teorema de la altura:

2,42 x · 5 x 5,76 5x x

2 x

2 5x 5,76 0

Tenemos pues, según el dibujo, que x 1,8 km y 5 x 3,2 km.

Calculamos y y z aplicando el teorema del cateto:

La longitud del circuito será 3 4 5 12 km.

138 1,5 138Luego: 90

1,5 2,3 2,3

xx

.Calcula la longitud del circuito sabiendo que 5 km y la distancia de al albergueAC B

El objetivo es calcular y .AB BC

3,25 25 23,04 5 1,96 5 1,4

2 2 21,8

x

Si 3,2 5 5 3,2 1,8

Si 1,8 5 5 1,8 3,2

x x

x x

2 2

2 2

1,8 5 9 3km

3,2 5 16 4km

y y y

z z z

14. Razona si son ciertas o no las siguientes afirmaciones:

a En dos triángulos semejantes, la razón de dos alturas correspondientes es igual a la razón de semejanza.

c En dos triángulos isósceles, el ángulo que forman sus dos lados iguales coincide

(70), pero los triángulos no son semejantes.

a VERDADERO. Dibujamos dos triángulos y trazamos la misma altura en ambos:

Luego la razón entre dos alturas correspondientes será igual a la razón de semejanza.

b FALSO. Sus lados no son proporcionales.

b ABC es semejante a CDE.

ABC y ABC son semejantes A A.

ABD y ABD serán semejantes por tener dos ángulos iguales, que son A y D 90.

Luego, sus lados han de ser proporcionales. Así: razón de semejanzaBD AB

B D A B

A simple vista se ve que uno es isósceles y otro no.

c FALSO. En ambos triángulos los ángulos van a coincidir.

En ambos triángulos, los ángulos son de 70, 55 y 55.

15. El lado de un rombo mide 29 cm y una de las diagonales 40 cm. Por un punto P de la otra diagonal se traza una paralela a BD que corta en M y N a los lados AD y

Calculamos el área del rombo; se necesita, por tanto, conocer la longitud de la otra diagonal AC.

15 10 9

3 2 2

180 70

110 11055

2

BD

. Calcula el área y el perímetro del pentágono sabiendo que 4 cm.AB MDCBN PM

El área del pentágono MDCBN es:

AP AR A 840 16,8 823,2 cm2

Para calcular el perímetro del pentágono necesitamos hallar la longitud de NB MD :

16. Calcula el área que ocupará un hexágono regular de 80 cm de lado, en un plano

de escala 1:50. Calculamos el área del hexágono regular de 80 cm de lado:

Área del hexágono de 80 cm de lado Área del hexágono en el plano · 502

16 627,2 cm2 Área del hexágono en el plano · 50

2

2 22 2 2 229 20 29 20 441 21 cm 42 cmOA OA OA AC

240 42El área del rombo es: 840 cm

2 2R

BD ACA

Calculamos el área del triángulo MNA :

Por la semejanza de los triángulos APN y AOB se obtiene AP :

21 21 44,2 cm

20 4 20

OA PA PAPA

OB PN

El área del triángulo MNA es :

28 4,216,8 cm

2 2

MN PAA

29 29 4,25,8 cm

21 4,2 21

Luego 29 5,8 23,2 cm

AB AN ANAN

OA PA

NB AB AN

Perímetro del pentágono:

8 23,2 29 29 23,2 112,4 cmP MN NB BC CD DM

2 2

apotema

80 40 4800 69,28 cm

x

x

2Perímetro apotema 80 6 69,28Área 16627,2 cm

2 2

2216627,2 cm

Área del hexágono en el plano 6,65 cm2500

17. Se quiere enterrar un cable por el exterior de un terreno triangular de vértices A, B, C,

Calcula la cantidad de cable que se necesita y cuánto costará, sabiendo que el precio es de 0,3 €/m.

El objetivo es calcular x e y; calculamos previamente a y b, usando el teorema de la altura:

Observando el dibujo, tomamos a 9,36 m y b 26 m. Calculamos x e y aplicando el teorema del cateto:

Luego, x 18,19 m e y 30,32 m. La cantidad de cable que se necesita coincidirá con el perímetro del triángulo:

18,19 30,32 35,36 83,87 m

Y su coste será 83,87 · 0,3 25,16 €

18. Halla el área y el perímetro del triángulo.

. .rectángulo en Se sabe que 35,36 m y la altura sobre es 15,6 cm.B AC AC

2

2 2 215,615,6 35,36 243,36 35,36 35,36 243,36 0

35,36

a ba a a a a a

b a

26 9,3635,36 276,8896 35,36 16,64

2 29,36 26

b

a

b

2 2 2

2 2 2

35,36 9,36 35,36 330,9696

35,36 26 35,36 919,36

x a x x

y b y y

En el triángulo rectángulo ABC conocemos 24 cm y 1,96 cm.BC AH

Por tanto:

19. Un rectángulo tiene dimensiones 3 cm 6 cm. Calcula el área y las dimensiones de otro

La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza. Por tanto:

Luego las dimensiones del rectángulo que nos piden son:

Aplicamos el teorema del cateto para calcular :HC

2

2 2

2

24 1,96 1,96 576 0

23,041,96 1,96 4 576 1,96 48,04

2 225 NO VALE

BC AC HC x x x x

x

2 2 2

Aplicamos el teorema de la altura para calcular :

1,96 1,96 23,04 45,1584

45,1584 6,72 cm

BH

BH x BH BH

BH

Nuevamente, aplicando el teorema del cateto obtenemos :AB

2 2

1,96 23,04 1,96 25 1,96 49 49 7 cmAB AC AH AB AB

Área ABC 225 6,7284 cm

2 2

AC BH

Perímetro ABC 7 24 25 56 cmAB BC CA

9

rectángulo semejante a él, sabiendo que la razón entre sus áreas es de .4

2

2Área del rectángulo conocido 3 6 18 cm 9 18 940,5 cm

18 4 4Área del rectángulo que nos piden

xx

x

9 3Razón de semejanza

4 2

20. Halla el volumen de un tronco de cono sabiendo que su altura es de 10 cm y los radios de sus bases miden 6 cm y 21 cm.

Ampliamos el tronco hasta completar un cono.

Aplicamos la semejanza a los dos triángulos uno de catetos x y 6 y otro de catetos x 10 y 21.

El volumen del tronco de cono es la diferencia de volúmenes de los dos conos

21. Calcula el perímetro y el área de un triángulo rectángulo sabiendo que la altura y

la proyección de un cateto sobre la hipotenusa son de 2 cm y 2,5 cm, respectivamente.

Necesitamos calcular el valor de x, y, z.

Calculamos x aplicando el teorema de la altura:

22 x · 2,5 4 x · 2,5 x 1,6 cm

Calculamos y y z aplicando el teorema del cateto:

Luego, y 2,56 cm y z 3,2 cm. Por tanto:

Perímetro 2,56 3,2 4,1 9,86 cm

3 9 3 183 4,5 cm 6 9 cm

2 2 2 2

1021 6 60 15 60 4 cm

6 21

x xx x x x

2 2 31 1 121 10 4 6 4 6174 144 6314,60 cm

3 3 3TRONCOV

2 2 2

2 2 2

1,6 1,6 2,5 1,6 4,1 6,56

2,5 1,6 2,5 2,5 4,1 10,25

y y y

z z z

22.

Por tanto:

23. Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.

24,1 2Área 4,1 cm

2

Calcula el área y el perímetro del triángulo rectángulo ABC sabiendo que

12 cm y 12,8 cm.AB HC

2

2 2

Aplicamos el teorema del cateto para calcular :

12 12,8 12,8 144 0

7,212,8 163,84 576 12,8 27,2

2 220 NO VALE

AH

AB AC AH x x x x

x

Luego 7,2 cm.AH

2

De nuevo, aplicando el teorema del cateto, obtenemos :

7,2 12,8 12,8 20 12,8 256 16 cm

BC

BC AC HC BC

2

Aplicamos el teorema de la altura para calcular :

7,2 12,8 92,16 9,6 cm

BH

BH AH HC BH

Área ABC 220 9,696 cm

2 2

AC BH

Perímetro ABC 12 16 20 48 cmAB BC CA

La longitud de un puente será x 10,2; la del otro, y 6,5; por tanto, el objetivo está en calcular el valor de x e y. Los triángulos que se forman son semejantes (sus tres ángulos son iguales) y son:

Se cumple, pues, la proporcionalidad entre lados respectivos:

Las longitudes de los puentes son: 6,8 10,2 17 m y 9,75 6,5 16,25 m.

15,9 10,2 10,6 10,26,8 m

10,6 15,9

15,9 15,9 6,59,75 m

10,6 6,5 10,6

xx

yy