Facultad de Ingeniera

LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Curso Ingreso 2013

INTRODUCCIN Al momento de definir qu es un problema y cmo podemos solucionarlo, encontramos diferentes posiciones tericas al respecto. Lo cierto es que si bien definiciones hay muchas, a los problemas debemos resolverlos, s o s.

Problemas existen de infinidad de formas y modos: desde tratar de realizar un complicado clculo hasta reparar algn electrodomstico, pasando por tratar de conseguir nuevamente ese nmero de telfono que perdimos o cocinar un nuevo plato extico.

En este breve curso te presentaremos una definicin de problema, y algunas herramientas muy simples para que puedas resolverlos. Esperamos te sea de alguna ayuda, bienvenidas son todas las sugerencias, correcciones y colaboraciones que quieras aportar.

Sergio y Juan Pablo

DEFINICIN La definicin clsica de problema se la debemos a G. Polya, matemtico estadounidense, que clasifica a los problemas segn sea el tipo de resolucin que requiere:

1) Mediante un algoritmo, es decir un nmero fijo de pasos que garantizan el alcance de una solucin;

2) Escoger un algoritmo entre varios;

3) Modificar uno de ellos,

4) Crear uno nuevo.

Identifica tambin cuatro etapas que deben transitarse para la resolucin de cualquier enigma:

1) Comprender el problema,

2) Concebir un Plan

3) Llevarlo adelante y, finalmente,

4) Comprobar la solucin obtenida.

Como podemos ver, Polya define lo que es un problema en funcin de las estrategias que deben ser puestas en accin para su resolucin y de la nocin de algoritmo. Sabras decirme qu es un algoritmo?

Si bien es una postura interesante, entendemos que no basta para abarcar al concepto y utilizaremos la definicin proporcionada por Corso y La Menza (1999) para ampliarlo. Segn estas autoras, un problema se define como:

Un reto adecuado a las capacidades del sujeto que debe resolverlo.

Interesante en s mismo.

Algo que despierta el deseo de compartirlo con otras personas.

Algo que permite utilizar conocimientos anteriores, no quedar desarmado ante l, pero ofrece una resistencia suficiente como para que el alumno evolucione a partir de sus conocimientos anteriores, los cuestione y elabore otros nuevos.

Encontramos en esta definicin que un problema adems de aportarle algo nuevo a quien se enfrenta a l debe permitirle utilizar nuevos caminos y estrategias para su resolucin. Un problema debe estar adecuado al grupo a quien va destinado debiendo ser presentado de manera de tener en cuenta el lenguaje que ms representativo les resulte, siendo adecuado al nivel cognitivo en el que se encuentran y permitiendo el uso de herramientas metodolgicas y conceptuales de que disponen para, as, generar nuevos conocimientos tericos.

Para finalizar, a continuacin presentaremos algunas estrategias matemticas necesarias para resolver problemas, las mismas fueron extradas de la obra Clculo. Conceptos y Contextos de James Stewart, 1998, International Thompson Editores.

PROBLEMAS A continuacin te presentamos una coleccin de problemas destinados a trabajar los conceptos anteriores. Esperamos te diviertas tratando de solucionarlos.

1. Al levantarte cada maana realizs una coleccin de tareas destinadas a prepararte para tu da. En general, casi nunca prests demasiada atencin a esto ya que de tan rutinario ni te fijs. Te proponemos que realices un listado de las actividades que llevs adelante cada maana antes de salir de tu casa, ordenndolas temporalmente.

2. En cada acto, por mnimo que sea es necesario ordenar el modo en que se realiza, describ los pasos para realizar las siguientes actividades:

Llamar por telfono.

Escribir un mensaje de texto por celular.

Cul es la importancia, cul es el problema a resolver, en estas actividades?

3. Un hombre regresa a su casa luego de haber pasado la noche de copas. Camina por el medio de una calle desierta. No hay farolas encendidas ni brilla la luna. El caminante viste totalmente de negro. De improviso, un auto con los faros delanteros apagados, saliendo de una curva, se aproxima a toda velocidad. En el ltimo instante, el conductor lo ve al hombre y lo esquiva para no arrollarlo. Cmo pudo verlo?

4. Una seora vive en un dcimo piso y todas las maanas desciende a planta baja en ascensor. Sin embargo, a su regreso al hogar, sube con el ascensor hasta el sptimo piso y luego camina por las escaleras. Por qu hace esto, todos los das?

5. Un perro est atado a una soga de tres metros de largo, sin embargo consigue llegar hasta un hueso que se encuentra a cinco metros de l, cmo puede ser esto posible?

6. Qu tienen en comn las siguientes cinco figuras?

7. En esta figura hay nueve fsforos que fueron situados de modo de parecer un cubo. Es posible que extrayendo dos fsforos y reordenando los que quedan consigas formar nuevamente un cubo? (demostrar)

8. En este problema que vamos a presentarte, no es importante que des una respuesta con exactitud, slo te pedimos que intentes dar una cifra estimada basndote en tus conocimientos y en tu sentido comn. Realmente el resultado real es poco importante, sin embargo la estimacin que de l pods hacer, s lo es.

Supongamos que se va a jugar un partido de ftbol en la cancha de River. Supongamos que el estadio est repleto de gente (es decir 70 000 personas, ms o menos). Si uno trajera pelotas de ftbol infladas y las colocara, sin encimar, una al lado de la otra hasta cubrir todo el campo de juego, alcanzarn los balones para que cada persona del estadio se lleve uno de ellos? Como ves, el enunciado del problema es muy sencillo, espero tu respuesta.

9. Otro problema de estimacin. Si ahora metemos cada una de las pelotas del problema anterior dentro de una caja cbica (del menor tamao posible y que cubra totalmente al baln), y luego ubicamos las cajas dentro de un camin que puede almacenar veinte contenedores de un metro cbico cada uno. Cuntos camiones debemos usar para transportar el total de cajas? Nuevamente, el resultado exacto del problema no es importante.

10. Si pusieras, en una sola columna, billetes de cinco pesos hasta alcanzar el valor de la deuda externa argentina, cul sera su altura? cunto pesaran todos los billetes juntos? qu presin ejerceran contra el suelo?

11. Cunta sangre hay en el mundo? Cortopero impactante.

12. Entrar toda la sangre del mundo en el banco de sangre de Trelew? Es un saln de 15m de largo, 10m de ancho y 3m de alto.

13. Un grupo de policas vigilan la guarida de unos malvivientes. Su intencin es infiltrar algunos miembros de su equipo pero no conocen la contrasea para ingresar al lugar, es por ello que, apostados cerca de la puerta, vigilan la misma. En ese momento llega un cliente y golpea la puerta. Desde adentro una voz anuncia dieciocho y el hombre afuera contesta nueve, la puerta se abre dejando ingresar al hombre. Llega un segundo tipo, golpea la puerta y escucha desde el interior: ocho, cuatro contesta y pasa al interior. Los policas que miran la escena sonren entre ellos y confiados en tener la clave de acceso deciden esperar un ltimo cliente para asegurarse. El tercer hombre llega, al golpear la puerta escucha catorce, contesta siete y franquea la entrada. Ahora s, dice el polica Archentti, tenemos la clave y yo voy a ingresar primero. Se acerca a la puerta, golpea y desde el interior le gritan veinte. Archentti, ni lerdo ni perezoso, grita a viva voz: diez! No terminan de sonar las palabras en el aire que se abre la puerta y le pegan un tiro al agente matndolo. El agente Pertiancci, horrorizado y con nimo de venganza se acerca a la puerta, golpea y desde dentro se anuncia cero Pertiancci, con el arma levantada y listo a disparar, duda pero contesta cero. Al instante cae muerto de un tiro por detrs del portal de acceso Qu ha fallado en la teora de la polica acerca de la construccin de la clave de acceso?

14. Los fabricantes de una marca de mechas garantizan que sus mechas estndar demoran una hora exacta en quemarse. Sin embargo, si una mecha es partida en dos partes iguales, la empresa ya no puede garantizar el tiempo de quemado de cada una de las partes. Por ejemplo, una parte podra tardar cuarenta minutos en quemarse y la otra veinte, o cualquier otra combinacin, pero vos no vas a poder conocer esto anticipadamente. Cmo se pueden conseguir dos trozos de mecha que tarden exactamente treinta minutos cada una de ellas? Tens a tu disposicin toda la mecha que requieras, fsforos y tijeras.

15. Queremos pesar exactamente diez quilos de azcar con una balanza de platillos desbalanceada. Es decir que uno de los platillos est levantada an cuando nada se est pesando. Poseemos dos pesas de cinco kilos cada una y el azcar. Podemos hacerlo?

16. Supongamos que tenemos tres frascos totalmente pintados de modo que no puede verse su interior. Uno de ellos solo posee monedas de cinco centavos, el segundo solo de diez centavos y el tercero posee una mezcla de ambos tipos de monedas. Los tres frascos estn tapadas. Un gracioso de esos que nunca faltan, le cambi el cartel que cada frasco posea de modo que nadie sabe que tiene cada frasco en realidad Pods volver a colocar correctamente los carteles de cada frasco extrayendo sin mirar, una sola moneda, de un solo frasco?

17. Uno de los catetos de un tringulo rectngulo tiene una longitud de 4cm. Expresar la longitud de la altura perpendicular a la hipotenusa como funcin de la longitud de esta ltima.

18. La altura perpendicular a la hipotenusa de un tringulo es de 12cm. Exprese la longitud de la hipotenusa como funcin del permetro.

19. Resolver la ecuacin .

20. Resolver la inecuacin .

21. Resolver .

22. Calcular . Generalizar el resultado, calcular para .

23. Aplique un razonamiento indirecto para probar que es irracional

24. Probar que si es un entero positivo, entonces es divisible por 6.

25. Demostrar que la suma de los cuadrados de dos nmeros cuya suma es constante es mnima cuando es

26. Es el nmero real un nmero entero?

8

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