la parbola
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La parbola es el lugar geomtrico de todos los puntos que
equidistan de un punto fijo llamado focoy de una recta fija
llamada directriz.
Punto Foco = Punto Directriz
PF = PD
La parbola tiene un eje de
simetra, cuya interseccin en
La parbola es el vrtice.
|p|
La distancia del vrtice
al foco, tiene como valor |p|.
La distancia de la directriz
a el vrtice is igual a |p|.
LA PARABOLA
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I. Ecuacin Cannica de la Parbola - Vrtice (0, 0)
La ecuacin de la prabola con
vrtice (0, 0)y foco en el eje - x
esy2= 4px.
Las coordenadas del focoes (p, 0).
La ecuacin de la directrizisx= -p.
Sip> 0, la parbola se abre hacia la derecha.Sip< 0, la parbola se abre hacia la izquierda.
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La ecuacin de la parbola con
vrtice (0, 0)y foco en el eje-y
esx2= 4py.
Las coordenadas del foco son (0,p).
La ecuacin de la directrizisy= -p.
Sip> 0, la parbola se abre hacia arriba.
Sip< 0, la parbola se abre hacia abajo.
II. Ecuacin Cannica de la Parbola con Vrtice (0, 0)
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Una parbola tiene como ecuaciny2 = -8x. Hallar las
coordenadas del foco, la ecuacin de la directriz y
grfica de la prabola.
Si tenemos en cuenta la ecuacin cannica, entonces
esta esy2= 4px. El vrticede la parbola es (0, 0).
El focoesten el eje-x.
Por lo tanto, comparamosy2
= 4px cony2
= -8xEntonces, 4p= -8
p= -2.Como p < 0, se abre
Hacia la izquierda, siendo
coordenadas del foco(-2, 0).
La ecuacin de la directriz
esx= -p, si reemplazamos
entonces x = -(-2), por lo
tanto
x= 2.
F(-2, 0)
x= 2
Ejemplo
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Una parbola con vrtice (0, 0) y cuyo focoesten los ejes.
Escribe la ecuacin de dicha parbola.
Si el foco es (-6, 0), la ecuacin de la parbola esy2= 4px.
Pes igual a la distancia del vrtice a el foco, entoncesp= -6.
La ecuacin de la parbola esy2= -24x.
b) La directriz estdefinida porx= 5.
La ecuacin de la directriz esx= -p, reemplazando -p = 5op = -5.
La ecuaci
n de la par
bola esy2
= -20x.
Ejemplos de Ecuaciones de la Parbola con Vrtice (0, 0)
Entonces el foco esten el eje-x, la ecuacin de la parbola esy2= 4px.
c) El foco is (0, 3).
a) El foco es (-6, 0).
Si el foco es (0, 3), la ecuacin de la parbola esx2= 4py.
pes igual a la distancia del vrtice a el foco, entoncesp= 3.
La ecuacin de la parbola esx2
= 12y.
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Sipes positiva, la parbola se abre hacia arriba.
Sipes negativa, la parbola se abre hacia abajo.
Las ecuaciones ordinariaspara las parbolasparalelas al eje-y son:
(x-h)2= 4p(y-k)
Ecuacin Ordinaria de la Parbola con Vrtice (h, k)
(x-h)2= - 4p(y-k) El grfico de la parbola es hacia
abajo.
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Sipes positiva, la parbola se abre hacia la derecha.
Sipes negativa, la parbola se abre hacia la izquierda.
Las ecuaciones ordinariaspara las parbolasparalelas al eje-x son:
(y - k)2= 4p(x - h)
(y -k)2= - 4p(x - h) El grfico de la parbola es hacia
la izquierda.
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EJEMPLO DE ECUACION DE PARBOLA Vrtice (h;k)
Escribe la ecuacin de la parbola con un foco de (3, 5)y
la directrizx= 9, (ecuacin ordinaria y general)
La distancia del foco a la directriz es 6 unidades, entonces por el grficorecordamos que el vrtice se encuentra en la mitad de esta distancia, es
decir a tres unidades, por lo que el vrtice es (6, 5).
(6, 5)
El eje de simetra es paralela al eje-x, y la
Parbola se abre a la izquierda, siendo la
ecuacin: (y-k)2= -4p(x-h) h= 6 yk= 5
Ecuacin ordinaria
y2- 10y+ 25 = -12x+ 72
y2+ 12x- 10y- 47 = 0 Ecuacin general
(y- 5)2= -4(3)(x- 6)
(y- 5)2= -12(x- 6)
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Hallar la ecuacin de la parbola, siendo su vrtice
(-2, 6) y un punto de la prabola P(2, 8).
Luego de ubicar el vrtice y el punto, nos damos cuenta que el eje desimetra es paralelo al eje-y.
El vrtice es (-2, 6),siendo,h= -2 yk= 6.
Sustitumos en la ecuacin respectiva
Para hallarpy Obtenemos lo siguiente:
(x-h)2= 4p(y-k)(2 - (-2))2= 4p(8 - 6)
16 = 8p
2 =p
x= 2 ;y= 8
(x-h)2= 4p(y-k)(x- (-2))2= 4(2)(y- 6)
(x+ 2)2= 8(y- 6) Ecuacin ordinaria x2+ 4x+ 4 = 8y- 48
x2+ 4x+ 8y+ 52 = 0 Ecuacin General de la Parbola
Ejemplo de Ecuacin de una Parbola Vrtice (h; k)
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Hallar las coordenadas del vrtice y el foco de la parbola,
la ecuacin de la directriz, y su grfico respectivo; siendo
Su ecuacin generaly
2
- 8x- 2y- 15 = 0.
y2- 8x- 2y- 15 = 0
y2- 2y+ _____ = 8x+ 15 + _____1 1
(y- 1)2
= 8x+ 16(y- 1)2= 8(x+ 2)
El vrtice es (-2, 1).
El foco es (0, 1).
La ecuacin de la directriz esx= -4.
La parbola se abre hacia la derecha.
4p= 8
p= 2
Ecuacin
Ordinaria
Analizando una Parbola
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Hallar los elementos de la parbola
y2- 10x+ 6y- 11 = 0
9 9y2
+ 6y+ _____ = 10x+ 11 + _____(y+ 3)2= 10x+ 20
(y+ 3)2= 10(x+ 2)
3.6.12
V(-2; -3) 4p = 10
p =2,5
F(0,5 ; -3 )
Directriz x = - 4,5
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Preguntas Sugeridas:
Resolver en la presente clase los
ejercicios de la hoja de aplicacin,
con sus grficos respectivos.
SUERTE.