la «paradoja de zenÓn»...como la tortuga ya no está allí, aquiles ha de volver a correr, para...
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LA «PARADOJALA «PARADOJADE ZENÓN»
T ll d P bl d A áli iTaller de Problemas de Análisis(Màster de Formació del Professorat)
Pepe Ródenas Borja
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1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga(p.1)
La Tortuga le dijo a Aquiles:
T t«Te reto a una carrera».
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1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga(p.2)
La Tortuga le dijo a Aquiles:
T t«Te reto a una carrera».
Aquiles le contestó:
«De acuerdo. Pero como yo corro el doble de rápido que
tú, te daré un kilómetro de ventaja».
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1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga(p.3)
La Tortuga le dijo a Aquiles:
T t«Te reto a una carrera».
Aquiles le contestó:
«De acuerdo. Pero como yo corro el doble de rápido que
tú, te daré un kilómetro de ventaja».
La Tortuga sonrió y dijo:La Tortuga sonrió y dijo:
«Como quieras. Pero te advierto que nunca me
alcanzarás».
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1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga(p.4)
Aquiles pensó que la Tortuga se había vuelto loca, y le pidió
l li é h b í d d l lque le explicara por qué no habría de poder alcanzarla.
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1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga(p.5)
Aquiles pensó que la Tortuga se había vuelto loca, y le pidió
l li é h b í d d l lque le explicara por qué no habría de poder alcanzarla.
«Es verdad que tú eres más rápido», dijo ella.
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1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga(p.6)
Aquiles pensó que la Tortuga se había vuelto loca, y le pidió
l li é h b í d d l lque le explicara por qué no habría de poder alcanzarla.
«Es verdad que tú eres más rápido», dijo ella.
«Pero en el tiempo que a ti te cuesta recorrer el kilómetro
que me das de ventaja, yo también habré corrido, y estaré enq j , y , y
otro punto del camino».
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1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga(p.7)
La Tortuga continuó:
«De nuevo, en el tiempo que tú tardes en llegar a ese«De nuevo, en el tiempo que tú tardes en llegar a ese
sitio, yo me habré vuelto a escapar. Y así sucesivamente. O».
sea, que yo siempre te llevaré un trozo de ventaja, y por eso
nunca me alcanzarás».
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1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga(p.8)
La Tortuga continuó:
«De nuevo, en el tiempo que tú tardes en llegar a ese«De nuevo, en el tiempo que tú tardes en llegar a ese
sitio, yo me habré vuelto a escapar. Y así sucesivamente. O».
sea, que yo siempre te llevaré un trozo de ventaja, y por eso
nunca me alcanzarás».
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1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga(p.9)
La Tortuga continuó:
«De nuevo, en el tiempo que tú tardes en llegar a ese«De nuevo, en el tiempo que tú tardes en llegar a ese
sitio, yo me habré vuelto a escapar. Y así sucesivamente. O
sea, que yo siempre te llevaré un trozo de ventaja, y por eso
nunca me alcanzarás».
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1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga(p.10)
La Tortuga continuó:
«De nuevo, en el tiempo que tú tardes en llegar a ese«De nuevo, en el tiempo que tú tardes en llegar a ese
sitio, yo me habré vuelto a escapar. Y así sucesivamente. O
sea, que yo siempre te llevaré un trozo de ventaja, y por eso
nunca me alcanzarás».
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1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga(p.11)
A lo cual Aquiles, confundido, repuso:
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1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga(p.12)
A lo cual Aquiles, confundido, repuso:
«Pero eso es absurdo ¡si yo corro el doble de rápido«Pero eso es absurdo… ¡si yo corro el doble de rápido
que tú, te tengo que poder alcanzar!».
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1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga(p.13)
A lo cual Aquiles, confundido, repuso:
«Pero eso es absurdo ¡si yo corro el doble de rápido«Pero eso es absurdo… ¡si yo corro el doble de rápido
que tú, te tengo que poder alcanzar!».
Pero la Tortuga ya no le escuchaba, y había ido a colocarse en
su puesto para empezar la carrerasu puesto para empezar la carrera.
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1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga1. INTRODUCCIÓN: Aquiles y la tortuga(p.14)
A lo cual Aquiles, confundido, repuso:
«Pero eso es absurdo ¡si yo corro el doble de rápido«Pero eso es absurdo… ¡si yo corro el doble de rápido
que tú, te tengo que poder alcanzar!».
Pero la Tortuga ya no le escuchaba, y había ido a colocarse en
su puesto para empezar la carrerasu puesto para empezar la carrera.
Q ié d l d i ó ?¿Quién de los dos crees que tiene razón?
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2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.15)
Vamos a intentar entender por qué parece que la Tortuga
pueda tener razónpueda tener razón.
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2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.16)
Vamos a intentar entender por qué parece que la Tortuga
pueda tener razónpueda tener razón.
Cada vez que Aquiles llega a donde la Tortuga acaba de
estar, ha tenido que recorrer una cierta distancia (lo cual le ha
llevado cierto tiempo)llevado cierto tiempo).
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2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.17)
Vamos a intentar entender por qué parece que la Tortuga
pueda tener razónpueda tener razón.
Cada vez que Aquiles llega a donde la Tortuga acaba de
estar, ha tenido que recorrer una cierta distancia (lo cual le ha
llevado cierto tiempo)llevado cierto tiempo).
Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a
correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de
la Tortugala Tortuga
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2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.18)
Vamos a intentar entender por qué parece que la Tortuga
pueda tener razónpueda tener razón.
Cada vez que Aquiles llega a donde la Tortuga acaba de
estar, ha tenido que recorrer una cierta distancia (lo cual le ha
llevado cierto tiempo)llevado cierto tiempo).
Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a
correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de
la Tortuga (y para ello tiene que invertir más tiempo!)la Tortuga (y para ello tiene que invertir más tiempo!).
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2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.19)
La clave está en que podemos repetir este razonamiento
tantas veces como queramos y Aquiles irá sumando más ytantas veces como queramos, y Aquiles irá sumando más y
más tiempo invertido en la carrera.
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2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.20)
La clave está en que podemos repetir este razonamiento
tantas veces como queramos y Aquiles irá sumando más ytantas veces como queramos, y Aquiles irá sumando más y
más tiempo invertido en la carrera.
![Page 22: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/22.jpg)
2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.21)
La clave está en que podemos repetir este razonamiento
tantas veces como queramos y Aquiles irá sumando más ytantas veces como queramos, y Aquiles irá sumando más y
más tiempo invertido en la carrera.
![Page 23: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/23.jpg)
2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.22)
La clave está en que podemos repetir este razonamiento
tantas veces como queramos y Aquiles irá sumando más ytantas veces como queramos, y Aquiles irá sumando más y
más tiempo invertido en la carrera.
![Page 24: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/24.jpg)
2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.23)
La clave está en que podemos repetir este razonamiento
tantas veces como queramos y Aquiles irá sumando más ytantas veces como queramos, y Aquiles irá sumando más y
más tiempo invertido en la carrera.
![Page 25: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/25.jpg)
2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.24)
La clave está en que podemos repetir este razonamiento
tantas veces como queramos y Aquiles irá sumando más ytantas veces como queramos, y Aquiles irá sumando más y
más tiempo invertido en la carrera.
Parece que esto nunca vaya a acabarse: después de cada
paso del proceso, Aquiles todavía no ha alcanzado a la
Tortuga y siempre ha de volver a correr y sumar más tiempoTortuga, y siempre ha de volver a correr y sumar más tiempo.
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2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.25)
Dicho de otra manera:
![Page 27: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/27.jpg)
2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.26)
Dicho de otra manera:
Parece que, si sumamos infinitas cantidades de tiempo...
![Page 28: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/28.jpg)
2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.27)
Dicho de otra manera:
Parece que, si sumamos infinitas cantidades de tiempo...
![Page 29: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/29.jpg)
2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.28)
Dicho de otra manera:
Parece que, si sumamos infinitas cantidades de tiempo...
![Page 30: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/30.jpg)
2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.29)
Dicho de otra manera:
Parece que, si sumamos infinitas cantidades de tiempo...
![Page 31: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/31.jpg)
2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.30)
Dicho de otra manera:
Parece que, si sumamos infinitas cantidades de tiempo...
![Page 32: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/32.jpg)
2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.31)
Dicho de otra manera:
Parece que, si sumamos infinitas cantidades de tiempo...
...el resultado sea un tiempo infinito!
![Page 33: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/33.jpg)
2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.32)
Dicho de otra manera:
Parece que, si sumamos infinitas cantidades de tiempo...
...el resultado sea un tiempo infinito!
![Page 34: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/34.jpg)
2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.33)
Dicho de otra manera:
Parece que, si sumamos infinitas cantidades de tiempo...
...el resultado sea un tiempo infinito!
¿SERÁ CORRECTO ESTE RAZONAMIENTO?
![Page 35: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/35.jpg)
2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.34)
Dicho de otra manera:
Parece que, si sumamos infinitas cantidades de tiempo...
...el resultado sea un tiempo infinito!
¿SERÁ CORRECTO ESTE RAZONAMIENTO?
![Page 36: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/36.jpg)
2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.35)
Dicho de otra manera:
Parece que, si sumamos infinitas cantidades de tiempo...
...el resultado sea un tiempo infinito!
¿SERÁ CORRECTO ESTE RAZONAMIENTO?
![Page 37: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/37.jpg)
2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.36)
Dicho de otra manera:
Parece que, si sumamos infinitas cantidades de tiempo...
...el resultado sea un tiempo infinito!
¿SERÁ CORRECTO ESTE RAZONAMIENTO?
![Page 38: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/38.jpg)
2. Una suma de infinitas cosas2. Una suma de infinitas cosas(p.37)
Dicho de otra manera:
Parece que, si sumamos infinitas cantidades de tiempo...
...el resultado sea un tiempo infinito!
¿SERÁ CORRECTO ESTE RAZONAMIENTO?
![Page 39: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/39.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.38)
Vamos a hacer un experimento para comprobar si el anterior
razonamiento es correcto o norazonamiento es correcto o no.
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3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.39)
Vamos a hacer un experimento para comprobar si el anterior
razonamiento es correcto o norazonamiento es correcto o no.
Cojamos un folio y cortémoslo en dos partes iguales (dos
“cuartillas”):
![Page 41: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/41.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.40)
Vamos a hacer un experimento para comprobar si el anterior
razonamiento es correcto o norazonamiento es correcto o no.
Cojamos un folio y cortémoslo en dos partes iguales (dos
“cuartillas”):
![Page 42: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/42.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.41)
Vamos a hacer un experimento para comprobar si el anterior
razonamiento es correcto o norazonamiento es correcto o no.
Cojamos un folio y cortémoslo en dos partes iguales (dos
“cuartillas”):
![Page 43: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/43.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.42)
Vamos a hacer un experimento para comprobar si el anterior
razonamiento es correcto o norazonamiento es correcto o no.
Cojamos un folio y cortémoslo en dos partes iguales (dos
“cuartillas”):
![Page 44: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/44.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.43)
Ahora recordemos que Aquiles le había dado 1 km de ventaja
a la Tortuga Supongamos que el tiempo que le cuesta cubrir estaa la Tortuga. Supongamos que el tiempo que le cuesta cubrir esta
distancia es un cuarto de hora.
![Page 45: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/45.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.44)
Ahora recordemos que Aquiles le había dado 1 km de ventaja
a la Tortuga Supongamos que el tiempo que le cuesta cubrir estaa la Tortuga. Supongamos que el tiempo que le cuesta cubrir esta
distancia es un cuarto de hora.
Vamos a imaginar que el área de una cuartilla representa ese
cuarto de hora:
![Page 46: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/46.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.45)
Ahora recordemos que Aquiles le había dado 1 km de ventaja
a la Tortuga Supongamos que el tiempo que le cuesta cubrir estaa la Tortuga. Supongamos que el tiempo que le cuesta cubrir esta
distancia es un cuarto de hora.
Vamos a imaginar que el área de una cuartilla representa ese
cuarto de hora:
![Page 47: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/47.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.46)
Por lo tanto, las dos cuartillas que antes hemos fabricado
representan dos cuartos de horarepresentan dos cuartos de hora.
![Page 48: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/48.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.47)
Por lo tanto, las dos cuartillas que antes hemos fabricado
representan dos cuartos de horarepresentan dos cuartos de hora.
Para empezar el experimento, lo
primero que hacemos es ponernos esasprimero que hacemos es ponernos esas
dos cuartillas en la mano derecha.
![Page 49: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/49.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.48)
Por lo tanto, las dos cuartillas que antes hemos fabricado
representan dos cuartos de horarepresentan dos cuartos de hora.
Para empezar el experimento, lo
primero que hacemos es ponernos esasprimero que hacemos es ponernos esas
dos cuartillas en la mano derecha.
Luego abrimos la izquierdaLuego abrimos la izquierda
![Page 50: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/50.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.49)
...y pasamos a ella una de las dos cuartillas que hay en la
derecha:derecha:
![Page 51: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/51.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.50)
...y pasamos a ella una de las dos cuartillas que hay en la
derecha:derecha:
![Page 52: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/52.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.51)
...y pasamos a ella una de las dos cuartillas que hay en la
derecha:derecha:
![Page 53: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/53.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.52)
...y pasamos a ella una de las dos cuartillas que hay en la
derecha:derecha:
![Page 54: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/54.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.53)
...y pasamos a ella una de las dos cuartillas que hay en la
derecha:derecha:
Esa cuartilla representa el tiempo que le cuesta a Aquiles
recorrer el primer kilómetro que lo separaba de la Tortuga.eco e e p e ó e o que o sep b de o ug .
![Page 55: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/55.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.54)
Para contar el resto de intervalos de tiempo que Aquiles va
acumulando seguiremos la misma técnica de ir pasando papelacumulando, seguiremos la misma técnica de ir pasando papel
de la mano derecha a la izquierda.
![Page 56: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/56.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.55)
Para contar el resto de intervalos de tiempo que Aquiles va
acumulando seguiremos la misma técnica de ir pasando papelacumulando, seguiremos la misma técnica de ir pasando papel
de la mano derecha a la izquierda.
Así, como Aquiles corre el doble de rápido que la Tortuga,
mientras él ha avanzado un kilómetro, ella habrá recorrido
mediomedio.
![Page 57: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/57.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.56)
Para contar el resto de intervalos de tiempo que Aquiles va
acumulando seguiremos la misma técnica de ir pasando papelacumulando, seguiremos la misma técnica de ir pasando papel
de la mano derecha a la izquierda.
Así, como Aquiles corre el doble de rápido que la Tortuga,
mientras él ha avanzado un kilómetro, ella habrá recorrido
mediomedio.
![Page 58: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/58.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.57)
Eso significa que, en la segunda etapa, Aquiles invertirá
medio cuarto de horamedio cuarto de hora.
![Page 59: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/59.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.58)
Eso significa que, en la segunda etapa, Aquiles invertirá
medio cuarto de horamedio cuarto de hora.
Por lo tanto, hemos de pasar media cuartilla de la mano
derecha a la izquierda:
![Page 60: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/60.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.59)
Eso significa que, en la segunda etapa, Aquiles invertirá
medio cuarto de horamedio cuarto de hora.
Por lo tanto, hemos de pasar media cuartilla de la mano
derecha a la izquierda:
![Page 61: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/61.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.60)
Eso significa que, en la segunda etapa, Aquiles invertirá
medio cuarto de horamedio cuarto de hora.
Por lo tanto, hemos de pasar media cuartilla de la mano
derecha a la izquierda:
![Page 62: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/62.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.61)
Eso significa que, en la segunda etapa, Aquiles invertirá
medio cuarto de horamedio cuarto de hora.
Por lo tanto, hemos de pasar media cuartilla de la mano
derecha a la izquierda:
![Page 63: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/63.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.62)
Eso significa que, en la segunda etapa, Aquiles invertirá
medio cuarto de horamedio cuarto de hora.
Por lo tanto, hemos de pasar media cuartilla de la mano
derecha a la izquierda:
![Page 64: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/64.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.63)
Eso significa que, en la segunda etapa, Aquiles invertirá
medio cuarto de horamedio cuarto de hora.
Por lo tanto, hemos de pasar media cuartilla de la mano
derecha a la izquierda:
![Page 65: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/65.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.64)
Eso significa que, en la segunda etapa, Aquiles invertirá
medio cuarto de horamedio cuarto de hora.
Por lo tanto, hemos de pasar media cuartilla de la mano
derecha a la izquierda:
Tiempo acumulado: acumulado:
![Page 66: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/66.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.65)
Eso significa que, en la segunda etapa, Aquiles invertirá
medio cuarto de horamedio cuarto de hora.
Por lo tanto, hemos de pasar media cuartilla de la mano
derecha a la izquierda:
Tiempo acumulado:
« 1 cuarto de h.más ½ cuarto de h. »
acumulado:
más ½ cuarto de h.
![Page 67: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/67.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.66)
Ahora tenemos que añadir el tiempo correspondiente a la
tercera etapatercera etapa
![Page 68: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/68.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.67)
Ahora tenemos que añadir el tiempo correspondiente a la
tercera etapa pero enseguida nos damos cuenta de quetercera etapa ...pero enseguida nos damos cuenta de que,
aplicando un razonamiento idéntico al que acabamos de usar para
la segunda,
![Page 69: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/69.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.68)
Ahora tenemos que añadir el tiempo correspondiente a la
tercera etapa pero enseguida nos damos cuenta de quetercera etapa ...pero enseguida nos damos cuenta de que,
aplicando un razonamiento idéntico al que acabamos de usar para
la segunda, lo único que hace falta es partir por la mitad el
papel que hay en la mano derecha y pasarlo a la izquierda:
![Page 70: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/70.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.69)
Ahora tenemos que añadir el tiempo correspondiente a la
tercera etapa pero enseguida nos damos cuenta de quetercera etapa ...pero enseguida nos damos cuenta de que,
aplicando un razonamiento idéntico al que acabamos de usar para
la segunda, lo único que hace falta es partir por la mitad el
papel que hay en la mano derecha y pasarlo a la izquierda:
![Page 71: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/71.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.70)
Ahora tenemos que añadir el tiempo correspondiente a la
tercera etapa pero enseguida nos damos cuenta de quetercera etapa ...pero enseguida nos damos cuenta de que,
aplicando un razonamiento idéntico al que acabamos de usar para
la segunda, lo único que hace falta es partir por la mitad el
papel que hay en la mano derecha y pasarlo a la izquierda:
![Page 72: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/72.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.71)
Ahora tenemos que añadir el tiempo correspondiente a la
tercera etapa pero enseguida nos damos cuenta de quetercera etapa ...pero enseguida nos damos cuenta de que,
aplicando un razonamiento idéntico al que acabamos de usar para
la segunda, lo único que hace falta es partir por la mitad el
papel que hay en la mano derecha y pasarlo a la izquierda:
![Page 73: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/73.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.72)
Ahora tenemos que añadir el tiempo correspondiente a la
tercera etapa pero enseguida nos damos cuenta de quetercera etapa ...pero enseguida nos damos cuenta de que,
aplicando un razonamiento idéntico al que acabamos de usar para
la segunda, lo único que hace falta es partir por la mitad el
papel que hay en la mano derecha y pasarlo a la izquierda:
![Page 74: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/74.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.73)
Ahora tenemos que añadir el tiempo correspondiente a la
tercera etapa pero enseguida nos damos cuenta de quetercera etapa ...pero enseguida nos damos cuenta de que,
aplicando un razonamiento idéntico al que acabamos de usar para
la segunda, lo único que hace falta es partir por la mitad el
papel que hay en la mano derecha y pasarlo a la izquierda:
![Page 75: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/75.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.74)
Ya hemos comprendido cómo representar la suma de los
tiempos de cada etapa con el método de los papelitostiempos de cada etapa con el método de los papelitos.
![Page 76: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/76.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.75)
Ya hemos comprendido cómo representar la suma de los
tiempos de cada etapa con el método de los papelitostiempos de cada etapa con el método de los papelitos.
Pero recordemos nuestro objetivo:j
![Page 77: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/77.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.76)
Ya hemos comprendido cómo representar la suma de los
tiempos de cada etapa con el método de los papelitostiempos de cada etapa con el método de los papelitos.
Pero recordemos nuestro objetivo:j
Queríamos saber qué pasa si pretendemos sumar los tiempos
de todas las etapas...
![Page 78: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/78.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.77)
Ya hemos comprendido cómo representar la suma de los
tiempos de cada etapa con el método de los papelitostiempos de cada etapa con el método de los papelitos.
Pero recordemos nuestro objetivo:j
Queríamos saber qué pasa si pretendemos sumar los tiempos
de todas las etapas... ¡y hay infinitas etapas!
![Page 79: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/79.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.78)
Ya hemos comprendido cómo representar la suma de los
tiempos de cada etapa con el método de los papelitostiempos de cada etapa con el método de los papelitos.
Pero recordemos nuestro objetivo:j
Queríamos saber qué pasa si pretendemos sumar los tiempos
de todas las etapas... ¡y hay infinitas etapas!
![Page 80: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/80.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.79)
¿Cómo vamos a hacer una suma
con infinitos sumandos?
![Page 81: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/81.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.80)
¿Cómo vamos a hacer una suma
con infinitos sumandos?
![Page 82: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/82.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.81)
Ya que tenemos el método de los papelitos, vamos a utilizarlo
para examinar qué ocurre cuando intentamos sumar muchaspara examinar qué ocurre cuando intentamos sumar muchas
etapas de la carrera...
![Page 83: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/83.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.82)
Ya que tenemos el método de los papelitos, vamos a utilizarlo
para examinar qué ocurre cuando intentamos sumar muchaspara examinar qué ocurre cuando intentamos sumar muchas
etapas de la carrera... Quizá logremos encontrar alguna pista!
![Page 84: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/84.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.83)
Ya que tenemos el método de los papelitos, vamos a utilizarlo
para examinar qué ocurre cuando intentamos sumar muchaspara examinar qué ocurre cuando intentamos sumar muchas
etapas de la carrera... Quizá logremos encontrar alguna pista!
3ª etapa
![Page 85: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/85.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.84)
Ya que tenemos el método de los papelitos, vamos a utilizarlo
para examinar qué ocurre cuando intentamos sumar muchaspara examinar qué ocurre cuando intentamos sumar muchas
etapas de la carrera... Quizá logremos encontrar alguna pista!
4ª etapa
![Page 86: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/86.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.85)
Ya que tenemos el método de los papelitos, vamos a utilizarlo
para examinar qué ocurre cuando intentamos sumar muchaspara examinar qué ocurre cuando intentamos sumar muchas
etapas de la carrera... Quizá logremos encontrar alguna pista!
5ª etapa
![Page 87: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/87.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.86)
Ya que tenemos el método de los papelitos, vamos a utilizarlo
para examinar qué ocurre cuando intentamos sumar muchaspara examinar qué ocurre cuando intentamos sumar muchas
etapas de la carrera... Quizá logremos encontrar alguna pista!
6ª etapa
![Page 88: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/88.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.87)
Ya que tenemos el método de los papelitos, vamos a utilizarlo
para examinar qué ocurre cuando intentamos sumar muchaspara examinar qué ocurre cuando intentamos sumar muchas
etapas de la carrera... Quizá logremos encontrar alguna pista!
7ª etapa
![Page 89: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/89.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.88)
Ya que tenemos el método de los papelitos, vamos a utilizarlo
para examinar qué ocurre cuando intentamos sumar muchaspara examinar qué ocurre cuando intentamos sumar muchas
etapas de la carrera... Quizá logremos encontrar alguna pista!
8ª etapa
![Page 90: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/90.jpg)
3. Partiendo papeles por la mitad3. Partiendo papeles por la mitad(p.89)
¡Ya está claro!¡Ya está claro!
![Page 91: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/91.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.90)
La solución del problema consiste en darse cuenta de que,
por más etapas que contemos, la cantidad total de papel quep p q , p p q
tenemos siempre es la misma: ¡Las dos cuartillas con las que
hemos empe ado!hemos empezado!
![Page 92: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/92.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.91)
La solución del problema consiste en darse cuenta de que,
por más etapas que contemos, la cantidad total de papel quep p q , p p q
tenemos siempre es la misma: ¡Las dos cuartillas con las que
hemos empe ado!hemos empezado!
![Page 93: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/93.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.92)
Por lo tanto, la cantidad de papel sobre la mano izquierda
tendrá que ser SIEMPRE menor que “dos cuartillas”.q q
![Page 94: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/94.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.93)
Por lo tanto, la cantidad de papel sobre la mano izquierda
tendrá que ser SIEMPRE menor que “dos cuartillas”.q q
Cantidad de papel Dos cuartillasp pen la izquierda
Dos cuartillas
menor quemenor que
![Page 95: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/95.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.94)
Por lo tanto, la cantidad de papel sobre la mano izquierda
tendrá que ser SIEMPRE menor que “dos cuartillas”.q q
Cantidad de papel Dos cuartillasp pen la izquierda
Dos cuartillas
menor quemenor que
![Page 96: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/96.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.95)
Por lo tanto, la cantidad de papel sobre la mano izquierda
tendrá que ser SIEMPRE menor que “dos cuartillas”.q q
Cantidad de papel Dos cuartillasp pen la izquierda
Dos cuartillas
menor quemenor que
![Page 97: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/97.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.96)
Por lo tanto, la cantidad de papel sobre la mano izquierda
tendrá que ser SIEMPRE menor que “dos cuartillas”.q q
Cantidad de papel Dos cuartillasp pen la izquierda
Dos cuartillas
menor quemenor que
![Page 98: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/98.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.97)
Por lo tanto, la cantidad de papel sobre la mano izquierda
tendrá que ser SIEMPRE menor que “dos cuartillas”.q q
Cantidad de papel Dos cuartillasp pen la izquierda
Dos cuartillas
(menor que)(menor que)
![Page 99: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/99.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.98)
Pero no olvidemos que estamos usando el papel para
representar el tiempo: el de la izquierda significa el tiempo quep p q g p q
Aquiles lleva corriendo tras la Tortuga,
y cada cuartilla equivalía a un cuarto de hora.
Por lo tanto...Por lo tanto...
![Page 100: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/100.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.99)
Pero no olvidemos que estamos usando el papel para
representar el tiempo: el de la izquierda significa el tiempo quep p q g p q
Aquiles lleva corriendo tras la Tortuga,
y cada cuartilla equivalía a un cuarto de hora.
Por lo tanto...Por lo tanto...
![Page 101: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/101.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.100)
Pero no olvidemos que estamos usando el papel para
representar el tiempo: el de la izquierda significa el tiempo quep p q g p q
Aquiles lleva corriendo tras la Tortuga,
y cada cuartilla equivalía a un cuarto de hora.
Por lo tanto...Por lo tanto...
![Page 102: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/102.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.101)
Pero no olvidemos que estamos usando el papel para
representar el tiempo: el de la izquierda significa el tiempo quep p q g p q
Aquiles lleva corriendo tras la Tortuga,
y cada cuartilla equivalía a un cuarto de hora.
Por lo tanto...Por lo tanto...
![Page 103: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/103.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.102)
Pero no olvidemos que estamos usando el papel para
representar el tiempo: el de la izquierda significa el tiempo quep p q g p q
Aquiles lleva corriendo tras la Tortuga,
y cada cuartilla equivalía a un cuarto de hora.
Por lo tanto...Por lo tanto...
![Page 104: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/104.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.103)
Pero no olvidemos que estamos usando el papel para
representar el tiempo: el de la izquierda significa el tiempo quep p q g p q
Aquiles lleva corriendo tras la Tortuga,
y cada cuartilla equivalía a un cuarto de hora.
![Page 105: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/105.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.104)
Pero no olvidemos que estamos usando el papel para
representar el tiempo: el de la izquierda significa el tiempo quep p q g p q
Aquiles lleva corriendo tras la Tortuga,
y cada cuartilla equivalía a un cuarto de hora.
Por lo tanto...Por lo tanto...
![Page 106: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/106.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.105)
...lo que hemos demostrado es que la suma de las
duraciones de todas las etapas que ha de superar Aquiles parap q p q p
alcanzar a la Tortuga ha de ser, necesariamente, menor que
“dos c artillas” o sea: 15 min + 15 min 30 min tos“dos cuartillas”, o sea: 15 min. + 15. min. = 30 minutos.
( ) ( )( ) ( )
![Page 107: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/107.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.106)
...lo que hemos demostrado es que la suma de las
duraciones de todas las etapas que ha de superar Aquiles parap q p q p
alcanzar a la Tortuga ha de ser, necesariamente, menor que
“dos c artillas” o sea: 15 min + 15 min 30 min tos“dos cuartillas”, o sea: 15 min. + 15. min. = 30 minutos.
![Page 108: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/108.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.107)
...lo que hemos demostrado es que la suma de las
duraciones de todas las etapas que ha de superar Aquiles parap q p q p
alcanzar a la Tortuga ha de ser, necesariamente, menor que
“dos c artillas” o sea: 15 min + 15 min 30 min tos“dos cuartillas”, o sea: 15 min. + 15. min. = 30 minutos.
Equivale a:( ) ( )( ) ( )
![Page 109: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/109.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.108)
...lo que hemos demostrado es que la suma de las
duraciones de todas las etapas que ha de superar Aquiles parap q p q p
alcanzar a la Tortuga ha de ser, necesariamente, menor que
“dos c artillas” o sea: 15 min + 15 min 30 min tos“dos cuartillas”, o sea: 15 min. + 15. min. = 30 minutos.
![Page 110: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/110.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.109)
...lo que hemos demostrado es que la suma de las
duraciones de todas las etapas que ha de superar Aquiles parap q p q p
alcanzar a la Tortuga ha de ser, necesariamente, menor que
“dos c artillas” o sea: 15 min + 15 min 30 min tos“dos cuartillas”, o sea: 15 min. + 15. min. = 30 minutos.
![Page 111: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/111.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.110)
...lo que hemos demostrado es que la suma de las
duraciones de todas las etapas que ha de superar Aquiles parap q p q p
alcanzar a la Tortuga ha de ser, necesariamente, menor que
“dos c artillas” o sea: 15 min + 15 min 30 min tos“dos cuartillas”, o sea: 15 min. + 15. min. = 30 minutos.
3030 minutos.
![Page 112: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/112.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.111)
...lo que hemos demostrado es que la suma de las
duraciones de todas las etapas que ha de superar Aquiles parap q p q p
alcanzar a la Tortuga ha de ser, necesariamente, menor que
“dos c artillas” o sea: 15 min + 15 min 30 min tos“dos cuartillas”, o sea: 15 min. + 15. min. = 30 minutos.
3030 minutos.
Equivale a:( )( )
![Page 113: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/113.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.112)
...lo que hemos demostrado es que la suma de las
duraciones de todas las etapas que ha de superar Aquiles parap q p q p
alcanzar a la Tortuga ha de ser, necesariamente, menor que
“dos c artillas” o sea: 15 min + 15 min 30 min tos“dos cuartillas”, o sea: 15 min. + 15. min. = 30 minutos.
3030 minutos.
![Page 114: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/114.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.113)
...lo que hemos demostrado es que la suma de las
duraciones de todas las etapas que ha de superar Aquiles parap q p q p
alcanzar a la Tortuga ha de ser, necesariamente, menor que
“dos c artillas” o sea: 15 min + 15 min 30 min tos“dos cuartillas”, o sea: 15 min. + 15. min. = 30 minutos.
3030 minutos.
L l i d i h di hLo cual quiere decir que, como mucho en media hora,
Aquiles sí alcanzará a la Tortuga.
![Page 115: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/115.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.114)
...lo que hemos demostrado es que la suma de las
duraciones de todas las etapas que ha de superar Aquiles parap q p q p
alcanzar a la Tortuga ha de ser, necesariamente, menor que
“dos c artillas” o sea: 15 min + 15 min 30 min tos“dos cuartillas”, o sea: 15 min. + 15. min. = 30 minutos.
3030 minutos.
L l i d i h di hLo cual quiere decir que, como mucho en media hora,
Aquiles sí alcanzará a la Tortuga.
![Page 116: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/116.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.115)
Para acabar, una reflexión:
Hemos sido capaces de demostrar que Aquiles gana laHemos sido capaces de demostrar que Aquiles gana la
carrera porque hemos demostrado, mediante el método de los
papelitos, que la suma de una cantidad infinita de números
positivos no siempre da como resultado infinitopositivos no siempre da como resultado infinito.
Este hecho, importantísimo en el mundo de las
matemáticas así como en sus aplicaciones, se basa en un matiz
muy sutil:muy sutil:
![Page 117: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/117.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.116)
Para acabar, una reflexión:
Hemos sido capaces de demostrar que Aquiles gana laHemos sido capaces de demostrar que Aquiles gana la
carrera porque hemos demostrado, mediante el método de los
papelitos, que la suma de una cantidad infinita de números
positivos no siempre da como resultado infinitopositivos no siempre da como resultado infinito.
Este hecho, importantísimo en el mundo de las
matemáticas así como en sus aplicaciones, se basa en un matiz
muy sutil:muy sutil:
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4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.117)
Para acabar, una reflexión:
Hemos sido capaces de demostrar que Aquiles gana laHemos sido capaces de demostrar que Aquiles gana la
carrera porque hemos demostrado, mediante el método de los
papelitos, que la suma de una cantidad infinita de números
positivos no siempre da como resultado infinitopositivos no siempre da como resultado infinito.
Este hecho, importantísimo en el mundo de las
matemáticas (así como en el de sus aplicaciones), se basa en
algo muy sutil:algo muy sutil:
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4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.118)
Si añadimos incesantemente nuevos términos a una suma,
pero éstos son cada vez más pequeños pasa muy a menudopero éstos son cada vez más pequeños, pasa muy a menudo
que la suma “se estabiliza”, y llega un punto en el que, por más
que sigamos eternamente sumando, lo que añadimos es tan
pequeño que resulta inapreciable.p q q p
Este proceso se llama “convergencia”, y es lo que ha
permitido a Aquiles, en nuestro problema, alcanzar a la
T tTortuga.
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4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.119)
Si añadimos incesantemente nuevos términos a una suma,
pero éstos son cada vez más pequeños pasa muy a menudopero éstos son cada vez más pequeños, pasa muy a menudo
que la suma “se estabiliza”, y llega un punto en el que, por más
que sigamos eternamente sumando, lo que añadimos es tan
pequeño que resulta inapreciable.p q q p
Este proceso se llama “convergencia”, y es lo que ha
permitido a Aquiles, en nuestro problema, alcanzar a la
T tTortuga.
![Page 121: LA «PARADOJA DE ZENÓN»...Como la Tortuga ya no está allí, Aquiles ha de volver a correr, para así cubrir la nueva distancia que ahora lo separa de la Tortuga 2. Una suma de infinitas](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022071415/6110a4153e9d161abe02379a/html5/thumbnails/121.jpg)
4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.120)
Si añadimos incesantemente nuevos términos a una suma,
pero éstos son cada vez más pequeños pasa muy a menudopero éstos son cada vez más pequeños, pasa muy a menudo
que la suma “se estabiliza”, y llega un punto en el que, por más
que sigamos eternamente sumando, lo que añadimos es tan
pequeño que resulta inapreciable.p q q p
Este proceso se llama “convergencia”, y es lo que ha
permitido a Aquiles, en nuestro problema, alcanzar a la
T tTortuga.
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4. SOLUCIÓN: Aquiles gana4. SOLUCIÓN: Aquiles gana(p.121)
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5. Ampliación: la serie geométrica5. Ampliación: la serie geométrica(p.122)
La suma de infinitos términos que hemos analizado altratar el problema de Aquiles no es más que un casop q qparticular de lo que se conoce en matemáticas como la “seriegeométrica”geométrica .
Esta serie se construye a partir de un “término inicial”,y pal que designaremos con la letra a, al cual se van sumando losresultados de multiplicarlo sucesivamente por un segundoresultados de multiplicarlo sucesivamente por un segundonúmero, al que designaremos como r, y que suele recibir el
b d “ ó ”nombre de “razón”.
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5. Ampliación: la serie geométrica5. Ampliación: la serie geométrica(p.123)
Por lo tanto, podemos escribir la serie geométricamediante la siguiente expresión:g p
En el problema de Aquiles y la Tortuga, es muy fácil verque los valores del primer término (si medimos el tiempo en“cuartos de hora”) y de la razón eran) y
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5. Ampliación: la serie geométrica5. Ampliación: la serie geométrica(p.124)
y por eso podríamos escribir la serie correspondiente como lasiguiente suma infinita:g
o lo que es lo mismo
Cuando el valor absoluto de r es menor que uno, la seriegeométrica siempre es convergente, o sea: se puede sumar.
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5. Ampliación: la serie geométrica5. Ampliación: la serie geométrica(p.125)
(Estrictamente, lo correcto sería decir que “existe su límite yéste es un número”; pero nosotros llamaremos al cálculo delplímite “sumar la serie”, sencillamente).
Para otros r, la suma de la serie en ocasiones vale infinitoy otras veces no está definida.
Ésta es la fórmula que permite sumar la serie cuando esconvergente:
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5. Ampliación: la serie geométrica5. Ampliación: la serie geométrica(p.126)
Propuestas de trabajo:
1 Suma la serie del problema de Aquiles con la1. Suma la serie del problema de Aquiles con lafórmula de la diapositiva anterior. ¿Por qué sabemosque la serie es convergente? Recuerda que tienes queque la serie es convergente? Recuerda que tienes queinterpretar el resultado en términos de “cuartos dehora” no de minutoshora , no de minutos.
2. Suma la serie para a = 2, r = 1/3. Usa la fórmula.Intenta, luego, sumar los primeros 8 ó 9 términos dela serie con la calculadora. ¿Qué observas?
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5. Ampliación: la serie geométrica5. Ampliación: la serie geométrica(p.127)
3. ¿Converge la serie para los valores a = 1, r = 3/2?S l i é i d l i lSuma los primeros términos de la serie con lacalculadora. ¿Qué observas?
4. ¿Converge la serie para los valores a = 1, r = -3/2?S l i é i d l i lSuma los primeros términos de la serie con lacalculadora. Compara con lo que has hecho en elj i i i H l ll l ió ?ejercicio anterior. ¿Hay algo que te llame la atención?