PARABOLA.

Una parbola es la seccin cnica resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ngulo de inclinacin respecto al eje de revolucin del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultar por lo tanto paralelo a dicha recta. Se define tambin como el lugar geomtrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco.

PROPIEDADES GEOMETRICAS.

Aunque la identificacin de parbola con la interseccin entre un cono recto y un plano que forme un ngulo con el eje de revolucin del cono igual al que presenta su generatriz, es exacta, es comn definirla tambin como un lugar geomtrico:

Se denomina parbola al lugar geomtrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta dada, llamada directriz, y de un punto exterior a ella, llamado foco.

De esta forma, una vez fija una recta y un punto se puede construir una parbola que los tenga por foco y directriz de acuerdo a la siguiente construccin. Sea T un punto cualquiera de la recta directriz. Se une con el foco dado F y a continuacin se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento TF. La interseccin de la mediatriz con la perpendicular por T a la directriz da como resultado un punto P que pertenece a la parbola. Repitiendo el proceso para diferentes puntos T se puede aproximar tantos puntos de la parbola como sea necesario.

LADO RECTO.

Al segmento de recta comprendido por la parbola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto.La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.

Siendo D, E los extremos del lado recto y T, U las respectivas proyecciones sobre la directriz, denotando por W la proyeccin del foco F sobre la directriz, se observa que FEUW y DFWT son cuadrados, y sus lados miden FW=2FV. Por tanto el segmento DE es igual a 4 veces el segmento FV (la distancia focal).

Las tangentes a la parbola que pasan por los extremos del lado recto forman ngulos de 45 con el mismo, consecuencia de que FEUW y DFWT sean cuadrados, junto con la construccin mencionada en la seccin anterior. Adems, tales tangentes se cortan en la directriz de forma perpendicular, precisamente en el punto de proyeccin W del foco, propiedades que pueden ser aprovechadas para construir una aproximacin geomtrica del foco y la directriz cuando stos son desconocidos.

SEMEJANZA DE LAS PARABOLAS.

Dado que la parbola es una seccin cnica, tambin puede describirse como la nica seccin cnica que tiene excentricidad e=1. La unicidad se refiere a que todas las parbolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.

Desafortunadamente, al estudiar analticamente las parbolas (basndose en ecuaciones), se suele afirmar errneamente que los parmetros de la ecuacin cambian la forma de la parbola, hacindola ms ancha o estrecha. La verdad es que todas las parbolas tienen la misma forma, pero la escala (zoom) crea la ilusin de que hay parbolas de formas diferentes.

Un argumento geomtrico informal es que al ser la directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar la construccin descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva, salvo su escala, que depende de la distancia del punto a la directriz.

Ilustracin 1 Todas las parbolas son semejantes, es nicamente la escala la que crea la apariencia de que tienen formas diferentes.

APLICACIONES PRACTICAS.Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parbola en direccin al foco. Las aplicaciones prcticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando seales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posicin del foco.

La concentracin de la radiacin solar en un punto, mediante un reflector parablico tiene su aplicacin en pequeas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energa solar.

Anlogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviar un haz de rayos paralelos al eje: diversas lmparas y faros tienen espejos con superficies parablicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posicin focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se desplaza de la posicin focal.

ECUACIONES DE LA PARABOLA.Con el advenimiento de la geometra analtica se inici un estudio de las formas geomtricas basado en ecuaciones y coordenadas.

Una parbola cuyo vrtice est en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuacin de la forma y = ax2 donde el parmetro a especifica la escala de la parbola, incorrectamente descrita como la forma de la parbola, ya que como se dijo antes, todas las parbolas tienen la misma forma. Cuando el parmetro es positivo, la parbola se abre hacia arriba y cuando es negativo se abre hacia abajo.

Si bien, la expresin en forma de ecuacin no fue posible hasta el desarrollo de la geometra analtica, la relacin geomtrica expresada en la ecuacin anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio,1 y se bosquejar a continuacin usando notacin moderna.

Tomando nuevamente la definicin de parbola como seccin de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versin analtica y PV al valor y). Considerando la seccin circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.

Ecuacin involucrando la distancia focal[editar]

ECUACIN DE UNA PARBOLA VERTICAL.

Pueden haber muchas parbolas que tengan un mismo vrtice (variando el parmetroa) en la primera ecuacin. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe slo una parbola que los tiene por vrtice y foco ya que la directriz queda automticamente fija como la perpendicular a la lnea que une el foco con el vrtice y a esa misma distancia del ltimo.Consideremos el caso especial en que el vrtice es (0,0) y el foco es (0,p). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por (0,-p). A la distancia entre el vrtice y el foco se le llamadistancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual ap. Con esta configuracin se tiene:La ecuacin de una parbola con vrtice en (0,0) y foco en (0,p) es.

De forma alterna:La ecuacin de una parbola con vrtice en (0,0) y foco en (0,p) es.

Es de notar que el coeficiente 4pes precisamente la longitud del lado recto de la parbola.Ambas ecuaciones se refieren a parbolas verticales que se abren hacia arriba. La ecuacin de una parbola que se abre hacia abajo es similar excepto que vara un signo. En este caso, el foco sera (0,-p) y de esta forma:La ecuacin de una parbola con vrtice en (0,0) y foco en (0,-p) es.

Cuando la parbola es horizontal hacia la derecha, se obtiene una ecuacin similar intercambiando los roles dex, y:La ecuacin de una parbola con vrtice en (0,0) y foco en (p,0) es,

obteniendo mediante un cambio de signo la ecuacin de las parbolas hacia la izquierda.Finalmente, las ecuaciones cuando el vrtice no est en el centro se obtienen mediante una traslacin. En el caso comn de la parbola vertical hacia arriba se tieneLa ecuacin de una parbola con vrtice en (h,k) y foco en (h,k+p) es,

mientras que para la parbola horizontal se intercambiaxcony:.La ecuacin de una parbola con vrtice en (h,k) y foco en (h+p,k) es.