la parabola
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LA PARÁBOLA
TEMAS :
La parábola como lugar geométrico.
Ecuaciones ordinarias de la parábola.
Ecuación general de la parábola.
Ejemplo de la parábola con la abertura hacia la derecha.
Ejemplo de la parábola con la abertura hacia abajo.
LA PARÁBOLA
Consideramos como Parábola a la sección cónica resultante de
cortar un cono con un plano, de acuerdo a un cierto grado de
inclinación.
La representación analítica en carácter ya Matemático se debe
principalmente a lo que conocemos como Ecuaciones
cuadráticas. Ya que las mismas son colocadas como función y se
representan gráficamente como parábolas.
Ejemplo de representación
bidimensional
CARACTERIZACION
GEOMETRICA
Consideramos a la Parábola como lugar geométrico una manera
más abstracta de declarar lo que significa una parábola en
general como un Objeto-matemático.
Cuya definición contempla que la Parábola es el lugar
geométrico de un conjunto de puntos equidistantes a una recta
trazada, llamada Directriz y a un punto fijo llamado Foco.
Para lo cual, estos dos elementos Directriz y foco se inducen
como elementos de la parábola junto con otros para el proceso
de determinación del lugar en general.
DIRECTRIZ Y FOCO
ELEMENTOS ASOCIADOS CON
UNA PARABOLA
Consideramos como elementos asociados con una parábola
aquellos elementos producto de la construcción en base a
abstracciones lógicas, que nos ayudan a definir el lugar
geométrico de una parábola.
Lado recto, Foco, Vértice,
Directriz, Eje, Parámetro.
DEFINIMOS COMO:
Lado recto: Como la distancia del Eje a un punto de la parábola, perpendicular al mismo.
Foco: Como aquel punto en el cual permanecen constantes una determinadas distancias en relación con los puntos de la misma parábola (Lugar geométrico).
Directriz: Como aquella recta sobre la cual, si medimos la distancia de la misma hacia un punto de
la parábola, debe tener el mismo valor que la distancia comprendida de ese mismo punto al foco.
Vértice: Como el punto medio entre el foco y la directriz.
Eje: Aquella recta que pasa por el foco y el vértice.
Parámetro: Como el indicador que la distancia entre el vértice y la directriz debe ser la misma que la distancia entre el foco y el vértice.
FORMAS DE TRAZO A PARTIR DE
LA DEFINICION PARABOLA
Para disponer a lograr el trazado de una parábola con los
instrumentos correspondientes como lo es el compás y la
regla más formalmente, existen varios métodos conocidos a
emplear.
PASOS PARA EL TRAZADO
En primer instancia debemos idenficar donde estará localizado el
foco de la parábola Punto base, y la directriz. Ambos
conformarán nuestra base para el trazado.
Cabe destacar que el foco no debe estar sobre la directriz. Ya
que de ser así es imposible trazar la parábola.
Es recomendable trazar un eje perpendicular a la parábola que
intercepte al foco, con el fin de otorgar un marco de referencia
más amigable, esto no es del todo obligatorio en el trazado.
Colocamos una esquina de la escuadra sobre la directriz y
posicionamos un extremo de la cuerda en el foco.
Medimos la distancia ya sea con una regla u otro instrumento
desde el foco hasta la directriz o bien usando la misma cuerda..
Cabe destacar que esto debe ser perpendicular ortogonal con
respecto a la directriz.
Posicionamos al otro extremo de la cuerda un punto sobre la
escuadra.
Conforme vayamos deslizando la escuadra, el lápiz tensara la
cuerda, la cual de acuerdo a las propiedades de las parábolas
deberá estar a una distancia del foco igual con respecto a la
directriz.. De tal manera que se ira trazando la parábola..
EJEMPLIFICACION
ECUACIONES ORDINARIAS DE LA
PARÁBOLA.
Consideramos como (Ecuaciones ordinarias de la parábola)
aquellas ecuaciones cuyo entorno puede contemplar una
parábola con (vértice en el origen o con vértice fuera del
origen) de un sistema de coordenadas.
PARÁBOLAS HORIZONTALES
CON VERTICE EN EL ORIGEN.
OBTENCIÓN DE LOS
ELEMENTOS A PARTIR DE LA
ECUACIÓN CENTRO Y ORIGEN.El eje focal horizontal se encuentra sobre el eje ―X‖ como (p >
0) la parábola esta hacia un sentido derecho.. Como se
observa:
OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN A
PARTIR DE LOS ELEMENTOS
CENTRO Y ORIGEN.
Consideremos ahora una parábola de vértice en el punto (h, k)
de eje paralelo al eje x y cuyo foco está a una distancia p del
vértice y a la derecha de él. La directriz paralela al eje y a una
distancia 2p a la izquierda del foco, la ecuación será:
(y - k)2 = 4p(x – h) F (h + p, k) Ec. Dir. x = h – p.
PARÁBOLAS HORIZONTALES Y
VERTICALES CON CENTRO
FUERA DEL ORIGEN.
OBTENCIÓN DE LOS ELEMENTOS A
PARTIR DE LA ECUACIÓN CENTRO
FUERA ORIGEN.
Para deducir la ecuación de la parábola, hacemos coincidir la
figura con los ejes coordenados, el vértice V con el origen O
y el eje focal sobre el eje X.
P(x, y) es un punto cualquiera de la parábola.
PF = PQ (1) por definición de parábola. PF = (x – p)2 + (y
– 0)2 aplicando la relación
OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN A
PARTIR DE LA ECUACIÓN
CENTRO FUERA ORIGEN.La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por
directriz la recta x = -p/2
viene dada por : y2=2px(3). Recíprocamente si un punto P del
plano, satisface (3) entonces P x PDD-F
ECUACIÓN GENERAL DE LA
PARABOLA
Denominamos (Ecuación general de la parábola) a laestructura algebraica:
Ax² + By²+Dx+Dy+F=0
Donde A=0 B=0 para las parábolas horizontales y B=0 A=0 paralas parábolas verticales.
En la actualidad tenemos un formato establecido como(Estándar) al que comúnmente llamamos (Ecuación general de laparábola), dicho es deducido…
Del hecho de la idea de la (ecuación canónica trasladada) de la
parábola en el eje ―X‖:
(y-k)²=4p(x-h)
Si desarrollamos la ecuación anterior de acuerdo a las
propiedades de las operaciones, tenemos:
y²-2yk+k²=4p(x-h)
Agrupando términos, obtenemos:
y²-4px-2yk+k² +4ph=0
ECUACIÓN GENERAL DE LA
PARABOLA
Acordando un criterio, tenemos que:
D=-4p, E=-2k, F=-K²`+4PH
Por tanto la ecuación queda como:
Y² + Dx +Ey +F=0
Que es la ecuación general de la parábola con eje (X).
De igual forma podemos deducir la ecuación en términos del eje ―Y‖
tomando el desarrollo anterior solo que basándonos en la ecuación
canónica trasladada) de la parábola en el eje ―Y‖:
(X—h)² =4p(y—k)
Obteniendo:
(x)ah +Dx+ Ey+F=0
Que es la ecuación general de la parábola con eje (Y).
ECUACIÓN GENERAL DE LA
PARABOLA
Como en artículos previos habíamos comentado, consideramosa la ecuación (Forma general) de la parábola el producto deldesarrollo de la ecuaciones de la (Forma ordinaria) tanto en eleje (X o Y), comúnmente llamamos a las mismas también(Ecuaciones en forma canónica).
Partimos de la idea de una (Ecuación en forma canónica):
(x-h)²=4p(y—k)
Desarrollamos e igualamos con respecto a cero y obtenemos:
(x—h)² =4p(y—k)
X²+h-2xh+h²=py—4pk desarrollamos binomios y productos.
CONVERSIÓN DE LA FORMA
GENERAL A LA FORMA
ORDIDARIA
CONVERSIÓN DE LA FORMA
ORDINARIA A LA FORMA
GENERAL
x²-2xh+h²=py—4pk=0 Igualamos con respecto a 0.
Ahora en base a que sentido la parábola se encuentre (Vertical
o horizontal) es aquella estructura que tomaremos de la
(Forma general) tanto para los dos ejes.
Por ejemplo:
Supongamos que deseamos de la conversión previa, la
ecuación de la parábola en su forma vertical para esto
nosotros conocemos ya que la dicha ecuación tiene la
estructura:
Ax²+Dx+Ey+F=0
ECUACIÓN GENERAL DE LA
PARABOLA
Como en artículos previos habíamos comentado, consideramos a la
ecuación (Forma general) de la parábola el producto del desarrollo de
la ecuaciones de la (Forma ordinaria) tanto en el eje (X o Y),
comúnmente llamamos a las mismas también (Ecuaciones en forma
canónica).
Partimos de la idea de una (Ecuación en forma canónica):
Desarrollamos e igualamos con respecto a cero y obtenemos:
(X-h)²=4p(y-k)
X²-2xh+h²-4py+4pk Desarrollamos binomio y productos.
X²-2xh+h²-4py+4pk=0 Igualamos con respecto a 0.
CONVERSION DE LA FORMA
GENERAL A LA FORMAN
ORDINARIA
Ahora en base a que sentido la parábola se encuentre (Vertical
o horizontal) es aquella estructura que tomaremos de la
(Forma general) tanto para los dos ejes.
Por ejemplo:
Supongamos que deseamos de la conversión previa, la
ecuación de la parábola en su forma vertical para esto
nosotros conocemos ya que la dicha ecuación tiene la
estructura:
Ax²+Dy+Ey+F=0
CONVERSIÓN DE LA FORMA
GENERAL A LA FORMA ORDINARIA
A=1
D=-2h
E=-4p
F=h²+4pk
Donde:
De igual manera la ecuación de la parábola en su forma
horizontal:
(y-k)²=4p(x-h).
Si desarrollamos la ecuación anterior de acuerdo a las
propiedades de las operaciones, tenemos
Y-k²4p(x-h)
Agrupando términos, obtenemos:
Y²4px-2yk+k²+4ph=0
Acordando un criterio, tenemos que:
D=-4p, E=-2K F=K²+4ph
CONVERSIÓN DE LA FORMA
GENERAL A LA FORMAN
ORDINARIA