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[1] FÍSICA 2º BACHILLERATO BLOQUE TEMÁTICO: OPTICA. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA LA LUZ. ELEMENTOS DE FÍSICA CUÁNTICA 1.- Naturaleza de la luz (hasta finales siglo XIX). 2.- Ondas electromagnéticas. 3.- Espectro electromagnético. 4.- Propiedades de las ondas electromagnéticas 5.- Hipótesis de Planck. 6.- Efecto fotoeléctrico. 7.- Cuantización de la energía en los átomos. Espectros atómicos. 8.- Hipótesis de De Broglie. Dualidad partícula-onda. 9.- Principio de incertidumbre de Heisenberg. “Los físicos emplean la teoría ondulatoria los lunes, miércoles y viernes, y la corpuscular, los martes, jueves y sábados” Sir. William Henry Bragg (1862-1942) 1.- Naturaleza de la luz (hasta finales siglo XIX) Ch. Huygens, en 1690 propuso en su obra Tratado de la luz: La luz consiste en la propagación de una perturbación ondulatoria del medio Para Huygens se trataba de ondas longitudinales similares a las ondas sonoras. Mediante esta hipótesis se explica fácilmente fenómenos como la reflexión, la refracción de la luz y la doble refracción (que se verá más adelante). Las dificultades de la teoría ondulatoria residían en que no se habían observado por entonces en la luz otros fenómenos típicamente ondulatorios como la difracción. Hoy día sí se han observado dichos fenómenos de difracción cuya dificultad de observación reside en la pequeña longitud de onda de las ondas luminosas. En su obra Óptica, publicada en 1704, Newton propuso que: La luz tiene naturaleza corpuscular: los focos luminosos emiten partículas que se propagan en línea recta en todas las direcciones y, al chocar con nuestros ojos, producen la sensación luminosa Los corpúsculos son distintos según el color de la luz. Son capaces de atravesar los medios trasparentes y son reflejados por los cuerpos opacos. Mediante esta hipótesis se explica fácilmente la propagación rectilínea de la luz y la reflexión, pero encuentra dificultades en otros fenómenos como la refracción y, sobre todo, en explicar porqué una misma superficie de separación de dos medios es capaz tanto de reflejar como de refractar.

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[1]

FÍSICA 2º BACHILLERATO

BLOQUE TEMÁTICO: OPTICA. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA

LA LUZ. ELEMENTOS DE FÍSICA CUÁNTICA

1.- Naturaleza de la luz (hasta finales siglo XIX).

2.- Ondas electromagnéticas.

3.- Espectro electromagnético.

4.- Propiedades de las ondas electromagnéticas

5.- Hipótesis de Planck.

6.- Efecto fotoeléctrico.

7.- Cuantización de la energía en los átomos. Espectros atómicos.

8.- Hipótesis de De Broglie. Dualidad partícula-onda.

9.- Principio de incertidumbre de Heisenberg.

“Los físicos emplean la teoría ondulatoria los lunes, miércoles y viernes,

y la corpuscular, los martes, jueves y sábados”

Sir. William Henry Bragg (1862-1942)

1.- Naturaleza de la luz (hasta finales siglo XIX)

Ch. Huygens, en 1690 propuso en su obra Tratado de la luz:

La luz consiste en la propagación de una perturbación ondulatoria del medio

Para Huygens se trataba de ondas longitudinales similares a las ondas sonoras.

Mediante esta hipótesis se explica fácilmente fenómenos como la reflexión, la refracción de

la luz y la doble refracción (que se verá más adelante). Las dificultades de la teoría

ondulatoria residían en que no se habían observado por entonces en la luz otros fenómenos

típicamente ondulatorios como la difracción. Hoy día sí se han observado dichos fenómenos

de difracción cuya dificultad de observación reside en la pequeña longitud de onda de las

ondas luminosas.

En su obra Óptica, publicada en 1704, Newton propuso que:

La luz tiene naturaleza corpuscular: los focos luminosos emiten partículas

que se propagan en línea recta en todas las direcciones y, al chocar con

nuestros ojos, producen la sensación luminosa

Los corpúsculos son distintos según el color de la luz. Son capaces de atravesar los

medios trasparentes y son reflejados por los cuerpos opacos. Mediante esta hipótesis se

explica fácilmente la propagación rectilínea de la luz y la reflexión, pero encuentra

dificultades en otros fenómenos como la refracción y, sobre todo, en explicar porqué una

misma superficie de separación de dos medios es capaz tanto de reflejar como de refractar.

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[2]

A principios de siglo XIX las experiencias de T. Young sobre interferencias luminosas,

el descubrimiento de la polarización de la luz o las experiencias de A. J. Fresnel sobre la

difracción, revalorizaron la hipótesis ondulatoria ya que todos estos fenómenos son típicos

de ondas. No obstante las ondas luminosas pasaron a ser transversales para poder explicar

la polarización.

En 1864 J. C. Maxwell estableció la teoría electromagnética de la luz, adelantándose a

la comprobación experimental de la existencia de las ondas electromagnéticas efectuada en

1887 por el físico alemán H. Hertz. Maxwel propuso que:

La luz no es una onda mecánica sino una forma de onda electromagnética de

alta frecuencia. Las ondas luminosas consisten en la propagación, sin

necesidad de soporte material alguno, de un campo eléctrico y de un campo

magnético. Dichos campos son perpendiculares entre sí y a la dirección de

propagación

La teoría electromagnética fue comúnmente aceptada a finales de siglo XIX.

2.- Ondas electromagnéticas.

J. C. Maxwell desarrolló su teoría del campo electromagnético entre 1861 y 1864, y

predijo la existencia y características de las ondas electromagnéticas.

Tal como se ha dicho en el apartado anterior la luz es una onda electromagnética.

Podemos decir que son dos ondas en una, transversales las dos respecto de la dirección de

propagación. Una de las dos ondas consiste en la propagación de un campo eléctrico

variable que genera, por tanto, un campo magnético también variable que se propaga

perpendicularmente al campo eléctrico. A su vez, un campo magnético variable genera un

campo eléctrico variable perpendicular.

Se puede decir que una onda electromagnética es auto-sostenida, que no precisa de

un medio material de propagación y, por tanto, se puede propagar por el vacío.

Los dos campos son funciones periódicas (función de onda) tanto de la coordenada en

la dirección de propagación como del tiempo. Concretamente, se puede considerar que

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varían sinusoidalmente con el tiempo y la posición, por lo que les son aplicables las

ecuaciones dadas para las ondas armónicas:

k x) - t sen( E x

- T

t2sen E t)E(x, o o

k x) - t sen( B x

- T

t2sen B t)B(x, o o

Donde

E Módulo del campo eléctrico (N/C) en el instante t y a una distancia x del foco

emisor. La variación de E se puede dar, por ejemplo, en el eje Y.

Eo Campo eléctrico máximo o amplitud máxima del campo eléctrico (N/C).

B Módulo del campo magnético (T) en el instante t y a una distancia x del foco

emisor. La variación de B se puede da en el eje Z si la de E se da en el eje Y.

Bo Campo magnético máximo o amplitud máxima del campo magnético (T),

T Periodo (s) de variación del campo eléctrico y del campo magnético.

λ Longitud de onda (m).

ω = 2π/T Pulsación (rad/s), también frecuencia angular.

k = 2π/λ Número de onda (m-1)

ω t – k x Fase de la onda (rad). En este caso se desplaza en el sentido positivo del eje x.

f = 1/T Frecuencia de la onda (Hz)

φ Fase inicial, en radianes.

Además, las ondas electromagnéticas también cumplen las relaciones entre

velocidad, longitud de onda y frecuencia. La velocidad de una onda electromagnética se

suele representar con la letra “c” si se refiere al vacío (o al aire donde prácticamente tiene

el mismo valor).

λ = c·T λ·f = c

La velocidad de las ondas electromagnéticas depende del medio de propagación. Su

valor en el vacío es una constante que vale c = 3 x 108 m · s-1.

Por último, los módulos de los vectores campo eléctrico y campo magnético, en una

posición y en un tiempo determinado cumplen

B

Ec

Problema 1

Una onda electromagnética armónica de 20 MHz se propaga en el vacío, en el sentido positivo del eje

OX. El campo eléctrico de dicha onda tiene la dirección del eje OY y su amplitud es de 3 · 10

- 3 N C

- 1

a) Escriba la expresión del campo eléctrico E(x, t), sabiendo que en x = 0 su módulo es máximo

cuando t = 0.

b) Represente en una gráfica los campos E(t) y B(t) y la dirección de propagación de la onda.

Dato: c = 3 · 10

8 m s

– 1

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[4]

a) Empezaremos por determinar las características de la onda electromagnética a partir de los

datos del problema.

La frecuencia es de 20·106 Hz, por tanto, el periodo y la pulsación son:

f 2 d

La velocidad de la onda y la frecuencia permiten conocer la longitud de onda y, entonces, el número

de onda:

=

=

2 =

La expresión del campo eléctrico será:

2 2

Para conocer la fase inicial se nos dice que en el instante inicial el módulo del campo eléctrico es

máximo. Por tanto,

de donde φ = π/2 rad. En definitiva:

2 2

b) La expresión del campo magnético en esta onda es

2 2

donde

=

Por tanto,

2 2

La figura adjunta representa simultáneamente las

variaciones de los campos eléctrico y magnético de

esta onda electromagnética en función del tiempo. La

dirección de propagación es el eje x en sentido

positivo. Si se elije como dirección de vibración del

campo eléctrico, por ejemplo, el eje y, entonces la

dirección de vibración del campo magnético será

perpendicular a dicho eje, es decir, el eje z.

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Problema 2

Obtén la frecuencia y la longitud de onda de la onda electromagnética definida por la expresión de su

campo eléctrico E(x,t) = 10-3

cos(5 · 1010

t – 200 x) (S.I.). ¿Se transmite en el vacío?

De la ecuación de la onda podemos conocer las características de la onda:

= /

= / =

2 =

= 2 =2

=

Toda onda electromagnética que se propaga en el vacío lo hace a una velocidad de 3·108 m/s. La

velocidad de esta onda es:

Por tanto, la onda no se está transmitiendo por el vacío.

3.- Espectro electromagnético.

Hoy día se conocen muchas clases de ondas electromagnéticas. La luz visible no es

más que un tipo de estas ondas. Las longitudes de onda mayores en las ondas

electromagnéticas pueden llegar a ser de kilómetros y las menores longitudes de onda de

10-14 m.

La secuencia ordenada según su longitud de onda o su frecuencia de las ondas

electromagnéticas conocidas recibe el nombre de espectro electromagnético:

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4.- Propiedades de las ondas electromagnéticas.

Las propiedades de las ondas electromagnéticas, como ondas que son, ya fueron

analizadas en el estudio del movimiento ondulatorio: propagación de una onda,

difracción, reflexión, refracción, polarización, interferencias, etc. En este apartado sólo se

analizarán algunas peculiaridades en la reflexión y refracción de la luz.

4.1.- Índice de refracción.

La velocidad de la luz es mayor en el vacío que en los medios materiales. En el vacío

la velocidad de las radiaciones luminosas (de las ondas electromagnéticas) es constante y

se simboliza por la letra “c”; su valor es de 300 millones de metros por segundo. El índice

de refracción absoluto de un medio es la razón entre la velocidad de la luz en el vacío y la

velocidad de la luz en dicho medio:

v

cn

Como c es siempre mayor que v, entonces el índice de refracción absoluto será

siempre mayor que la unidad. El índice de refracción relativo de un medio 2 respecto de

otro medio 1 (n21) será:

2

121

2

1

1

2

1

221 ;

v

vn

v

v

v

c

v

c

n

nn

Dado que la frecuencia de la onda no cambia al cambiar de medio, pues dicha

frecuencia depende de la frecuencia de vibración del foco emisor de ondas, entonces:

oo

f

f

v

cn

Como n > la longitud de onda de una radiación en el medio (λ) es menor que su longitud

de onda en el vacío (λo).

4.2.- Refracción y reflexión. Ley de Snell

Como sabemos la ley de Snell viene dada por la expresión

donde v1 es la velocidad de la luz en el medio 1, î es el

ángulo de incidencia, v2 es la velocidad de la luz en el

medio 2 y r es el ángulo refractado. Si multiplicamos los

dos miembros por la velocidad de la luz en el vacío

obtendremos:

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Consideraciones:

1) Si , es decir, , se está produciendo un paso a un medio menos denso a

otro más denso (por ejemplo de aire a agua). Además, la velocidad de la luz en el medio 1

será mayor que en el medio 2, es decir n2 > n1.

2) Si , es decir, , se está produciendo un paso a un medio más denso a

otro menos denso (por ejemplo de agua a aire). La velocidad de la luz en el medio 1 es

mayor que en el medio 2, es decir, esta circunstancia no ha cambiado respecto del caso

anterior.

3) La reflexión de la luz puede considerarse como un caso particular de refracción en el

que n1 = n2.

4) En la refracción desde un medio más denso a otro menos denso (agua-aire) se pueden

dar varias situaciones según sea el ángulo de incidencia, como se muestra en la siguiente

figura:

Podemos observar que cuando el ángulo de incidencia es inferior o igual a un ángulo,

llamado ángulo límite (θc en la figura) parte del rayo es reflejado y parte es refractado.

Cuando el ángulo de incidencia es igual al ángulo límite, rayo refractado forma un ángulo

de 90 grados con la normal. En este caso podemos escribir

como en el paso del agua al aire n2 < n1, el cociente es menor de 1 y esta situación es

posible. La situación contraria (el paso del aire al agua) no se puede dar pues n2 > n1, el

cociente anterior no puede ser mayor de 1 (hay que recordar que los subíndices indican 1

el medio del rayo incidente y 2 el medio del rayo refractado).

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5) Los ángulos de incidencia superiores al ángulo límite producirán sólo reflexión

(reflexión total), es decir, no sería posible ver el objeto sumergido.

6) Interesante es analizar la doble refracción que ocurre cuando la luz atraviesa una

lámina de caras planas y paralelas (cuando atraviesa el cristal de una ventana, por

ejemplo). La doble refracción viene representada en la siguiente figura:

En la primera refracción

Entonces

En la segunda refracción

Como = podemos poner en la segunda refracción que

Si sustituimos el valor del obtenido de la primera refracción nos queda,

Es decir, el ángulo de incidencia inicial permanece pero se ha desplazado el rayo una

distancia d que, si el espesor del vidrio (L) es conocido, se puede determinar.

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4.3.- Dispersión

Según se ha comentado, el índice de refracción de una sustancia es función de la

longitud de onda incidente. Cada longitud de onda tiene un índice de refracción de manera

que si la longitud de onda disminuye el índice de refracción aumenta. En efecto,

oo

f

f

v

cn

si disminuye, como no cambia, n debe de aumentar. Como consecuencia de esto,

cuando un haz de luz blanca (rayos de luz de distintas longitudes de onda) incide sobre un

material refractante cada radiación de la luz blanca (cada longitud de onda) se desviará un

ángulo diferente. Este fenómeno recibe el nombre de dispersión de la luz.

La dispersión de la luz se pone de

manifiesto cuando la luz blanca incide sobre un

prisma óptico (sistema formado por dos

superficies planas refractantes, las caras del

prisma, que forman un ángulo diedro1 llamado

ángulo refringente del prisma). Las distintas

radiaciones que componen la luz blanca se

refractan (dos veces, una en cada cara del

prisma) con ángulos diferentes pues sus índices

de refracción son diferentes y emergen

separadas. Al salir del prisma forman una

sucesión continua de colores denominada

espectro de la luz blanca. Esta experiencia fue

realizada por Newton en 1666.

Si observamos la figura veremos que la luz roja es la que menos se desvía, seguida

del naranja, amarillo, verde, azul, índigo y violeta. Por tanto, a menor longitud de onda,

mayor desviación. Por tanto el prisma da lugar a un ángulo de desviación característico δ

para cada radiación simple o radiación monocromática, es decir, de una sola longitud de

onda.

1 Un ángulo diedro es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una arista común.

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¿Por qué el cielo es azul?

Las manifestaciones de color del cielo se deben fundamentalmente a la interacción de la

luz del sol con la atmósfera. La luz del sol es blanca y la atmósfera contiene una cierta

cantidad de humedad, normalmente pequeña, así como partículas de polvo y ceniza.

Cuando un rayo de luz atraviesa un material, su dirección de propagación se desvía un

cierto ángulo, que depende del tipo de material atravesado. Así, al atravesar un material,

cada color contenido en un haz de luz blanca se desviará un ángulo diferente, dando lugar

a la conocida separación de la luz en varios colores detrás de un prisma.

Como hemos visto, la desviación de los colores de la luz es máxima para los azules

(con longitud de onda menor), es decir, son los colores que más cambian su dirección con

respecto al rayo blanco inicial, y es mínima para los amarillos y los rojos (con longitud de

onda mayor), que casi no son desviados. Los rayos azules, una vez desviados, vuelven a

chocar con otras partículas del aire, variando de nuevo su trayectoria. Realizan por tanto

un recorrido en zigzag a través de la atmósfera, hasta llegar a nosotros. Es por eso que

cuando llegan a nuestros ojos parece que llegan de todos los lugares del cielo. Los rayos

amarillos no aparecen casi desviados y ésta es la razón de que el sol nos parezca amarillo.

Cuando el sol está muy bajo en el cielo sus rayos pasan a través de un gran espesor

de aire y los rayos de luz interactuarán más veces con las partículas de la atmósfera. Los

azules y los violetas son esparcidos hacia los lados con mayor fuerza que lo son los

amarillos y los rojos, que continúan propagándose en la línea de visión del sol, formando

esas magníficas puestas de sol en la Tierra.

Problema 3.

Un foco luminoso puntual está situado bajo la superficie de un estanque de agua.

a) Un rayo de luz pasa del agua al aire con un ángulo de incidencia de 30 grados. Dibuje en un esquema

los rayos incidente y refractado y calcule el ángulo de refracción.

b) Determine el valor del ángulo límite en este caso.

naire = 1; nagua = 1,33

a) Ley de Snell para la refracción:

sen = 2 sen

donde:

= =

=

2 = =

por tanto,

sen = sen

sen = = arcosen =

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b) El ángulo límite es el ángulo de incidencia tal que el ángulo refractado sea de 90 grados.

Aplicando estas condiciones a la ley de Snell,

sen = 2 sen

donde es el ángulo límite,

sen = 2

sen

arcosen

Problema 4.

El láser de un reproductor de CD genera luz con una longitud de onda de 780 nm medida en el aire.

a) Explique qué características de la luz cambian al penetrar en el plástico del CD y calcule la velocidad

de la luz en él.

b) Si la luz láser incide en el plástico con un ángulo de 30 grados, determine el ángulo de refracción.

c= 3·108 m·s

-1; naire = 1; nplástico = 1,55

a) Las características de la luz que cambian al penetrar desde el aire en el plástico son la dirección

del rayo y la velocidad de la luz. Si el índice de refracción es

=

al cambiar el índice de refracción, cambia la velocidad. Por otra parte, la velocidad de una onda es

=

por tanto, según la expresión, puede cambiar la longitud de onda y/o la frecuencia. Sin embargo, la

frecuencia de la luz no cambia al pasar de un medio a otro ya que esta depende de la frecuencia de

vibración del foco emisor. Por tanto, si la velocidad cambia porque la luz ha pasado de un medio a

otro con índice de refracción diferente, también cambia la longitud de onda de dicha onda luminosa.

Para conocer la velocidad de la luz en el plástico,

b) Para conocer el ángulo de refracción utilizaremos la ley de Snell,

sen = 2 sen

donde:

= =

=

2 = =

por tanto,

n = sen

sen = = arcosen =

como vemos, el rayo refractado disminuye su ángulo respecto a la normal, como corresponde a un

rayo de luz que pasa de un medio menos denso a otro más denso.

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[12]

Problema 5.

Una lámina de vidrio, de índice de refracción 1,5, de caras

paralelas y espesor 10 cm, está colocada en el aire. Sobre una de

sus caras incide un rayo de luz, como se muestra en la figura.

Calcule:

a) la altura y la distancia marcadas en la figura.

b) El tiempo que tarda la luz en atravesar la lámina.

a) Empezaremos por calcular la altura h. El rayo de luz que se refleja forma un ángulo de 60 grados

con la normal.

Según se observa en la figura, el ángulo a es

= =

entonces,

Para calcular la distancia d debemos conocer el ángulo de refracción, que calcularemos de la

aplicación de la ley de Snell:

sen = 2 sen

donde:

= =

=

2 = =

por tanto,

n = sen

sen = = arcosen =

Conocido este ángulo podemos resolver el triángulo,

b) Calcularemos en primer lugar la velocidad de la luz en el vidrio. A partir del dato de índice de

refracción,

En la figura adjunta, como conocemos d, podemos saber la

distancia que recorre el rayo dentro del vidrio, la hipotenusa

del triángulo es

La velocidad de una onda en un medio es constante, el tiempo

que tarda en atravesar la lámina es,

=

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Problema 6.

Un rayo de luz monocromática incide en una de las caras de una lámina de vidrio, de caras planas y

paralelas, con un ángulo de incidencia de 30 grados. La lámina está situada en el aire, su espesor es de 5

cm y su índice de refracción 1,5.

a) Dibuje el camino seguido por el rayo y calcule el ángulo que forma el rayo que emerge de la lámina con la normal. b) Calcule la longitud recorrida por el rayo en el interior de la lámina.

a) La situación viene representada en la figura, teniendo en cuenta que según los datos,

L = 5 cm

î1 = 30º

n1 = 1

n2 = 1,5

Tal como se ha visto en la teoría (pág. 8)

= 2

por tanto, el ángulo que forma el rayo que emerge de la lámina con la normal es 30º.

b) Para conocer la distancia que recorre el rayo dentro de la lámina, es necesario conocer el ángulo

refractado en la primera refracción. Aplicando la ley de Snell a dicha refracción,

sen = 2 sen

donde:

= =

=

2 = =

por tanto,

sen = sen

sen = = arcosen =

Conocido este ángulo podemos resolver el triángulo,

tan =

= tan =

En la figura adjunta, como conocemos d, podemos saber la

distancia que recorre el rayo dentro del vidrio (e), la

hipotenusa del triángulo es

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[14]

5.- Hipótesis de Planck

A finales de siglo XIX la teoría electromagnética de la luz parecía que podía explicar

satisfactoriamente los diferentes fenómenos conocidos en los que participaba ésta. Sin

embargo, a finales de ese siglo se descubrieron otros fenómenos físicos experimentales

que ponían en duda las leyes clásicas aplicadas a la interacción entre la radiación

electromagnética (en general, incluida la parte visible del espectro) y la materia. Tres de

estos fenómenos fueron claves para el desarrollo de la denominada revolución cuántica: la

radiación térmica del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y los espectros atómicos. En

estos apuntes se describirán los dos últimos fenómenos pero previamente es necesario

conocer la hipótesis de Planck.

El 16 de octubre de 1900, Max Planck (1858-1947) anunció que había encontrado la

función matemática que se ajustaba a las curvas de emisión de un cuerpo negro. Para

llegar a este resultado tuvo que dejar de lado una idea básica del electromagnetismo

clásico:

“U p í ul l l i i ió o i u ”

En contraposición, emitió su hipótesis:

“L gí i i po u u po o p o u o o i u i o i o i u

o po u o gí u i i ”

La energía de un cuanto de radiación (comúnmente cuanto de luz) viene dada por la

expresión:

E = hf

Donde f es la frecuencia (en Hz, es decir, s-1) de la radiación y h es la llamada

constante de Planck (en Julios·segundo para que E venga en unidades del S.I.). El valor2 de

h ’ x -34 J·s, se trata de una constante universal (por lo menos del universo que

conocemos).

Planck supuso que cada uno de los átomos del cuerpo emisor de radiación se

comporta como un oscilador que vibra con una frecuencia f determinada que es la que

emite. En definitiva, la energía no se emite (o se absorbe como veremos al analizar los

espectros atómicos) de forma continua sino en forma de cuantos de energía.

La ecuación de Planck nos permite observar ahora que a mayor frecuencia de la

radiación, más energética es ésta (ver el espectro electromagnético). Permite relacionar

energía y frecuencia.

2 En ocasiones la podremos ver en ergios x segundo. Si 1 ergio = 10-7 Julios h = ’ 2 -27 erg · s.

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[15]

Problema 7

Un átomo de masa 1’99 · 10-26

kg oscila linealmente con una frecuencia propia de 4’84 · 1014

Hz.

a) ¿Cuánto es el valor de un cuanto de energía del oscilador, en Julios y en electrón-voltios?

b) ¿Cuál es la amplitud máxima que adquiere con 20 cuantos de energía?

a) La energía de un cuanto del oscilador viene dada por la ecuación de Planck:

E = h·f

Sustituyendo valores:

’ ’ ’

Para pasar a electrón-voltios (eV), debemos saber que 1 eV es la energía que posee un electrón

sometido a una diferencia de potencial de un voltio. Si la carga del electrón es 1,6·10-19 C, entonces,

En definitiva,

b) La energía calculada en el apartado anterior es para un cuanto. Para 20 cuantos la energía sería:

’ -19 ’ -18 J

En cuanto a la frecuencia angular del oscilador,

’ ’

La energía máxima de un oscilador linear (movimiento armónico simple) viene dada por la

expresión:

donde m es la masa de la partícula que vibra (el átomo) y A es la amplitud máxima de vibración. Si

sustituimos y despejamos A obtendremos

A ’ -12 ’ p .

6.- Efecto fotoeléctrico

Este efecto fue observado en 1887 por Hertz:

La descarga entre dos electrodos aumenta si éstos se iluminan con luz ultravioleta

Vamos a hacer un estudio cualitativo de este efecto según las observaciones de 1888

debidas a Hallwachs quien completó la observación de este efecto un año después.

Supongamos un electroscopio con sus láminas de oro juntas tal como el de la figura A.

Cuando se ilumina la plaza metálica con luz ultravioleta (procedente de un arco eléctrico,

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[16]

por ejemplo) se observa que las láminas de oro se repelen consecuencia de que se cargan

eléctricamente (figura B).

Otras observaciones en este experimento:

1.- Si tocamos la placa de zinc con un cuerpo cargado negativamente las láminas se

separan, pero se produce una pérdida rápida de la carga (y de la separación) si, a

continuación, se ilumina la placa con luz ultravioleta.

2.- Si tocamos la placa de zinc con un cuerpo cargado negativamente las láminas se

separan, pero no se produce una pérdida rápida de carga si se interpone una lámina de

vidrio entre la luz ultravioleta y la placa de zinc.

3.- Si tocamos la placa de zinc con un cuerpo cargado positivamente las láminas se

separan. Al iluminar posteriormente con luz ultravioleta, no se observa una descarga

rápida del electroscopio aunque se aumente la intensidad de la luz ultravioleta.

4.- En la experiencia representada en la figura anterior las láminas se separan al

cargarse positivamente éstas por la iluminación de la placa de zinc con luz ultravioleta.

5.- La luz visible (menos energética que la ultravioleta) no produce estos efectos en

cualquier caso.

Un modelo que explica estas observaciones es el siguiente:

El efecto fotoeléctrico consiste en la emisión de electrones por las superficies

metálicas cuando se iluminan con luz (radiación electromagnética) de frecuencia

adecuada. Con frecuencias altas (ultravioleta) el efecto sí se produce; con frecuencias bajas

(luz visible) el efecto a veces no se produce. Si el efecto fotoeléctrico no se produce con

una luz de frecuencia determinada, tampoco se produce al aumentar la intensidad del haz

luminoso de esa frecuencia.

También se observa que cada metal necesita de una frecuencia mínima

característica para producir el efecto. Las frecuencias menores (radiación menos

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[17]

energética) corresponden a los metales alcalinos que presentan este efecto incluso con luz

visible.

6.1.- Dispositivo experimental para el estudio cuantitativo del efecto fotoeléctrico.

El siguiente esquema representa dos placas de metal colocadas en un tubo de cuarzo

estanco en el que se ha hecho un buen vacío. Las dos placas forman parte de un circuito

eléctrico en el que una batería desarrolla una diferencia de potencial variable entre las

placas (medida con el voltímetro V). Las placas son del metal objeto de estudio.

Cuestiones que hay que responder:

1ª) ¿Cuántos electrones (fotoelectrones) son emitidos por el metal?

2ª) ¿Cuál es la energía cinética de los fotoelectrones?

3ª) ¿La energía cinética máxima de los fotoelectrones depende de la frecuencia de

la radiación incidente?

1ª) Número de fotoelectrones por unidad de superficie de la placa o por unidad de

tiempo. El dispositivo de la figura anterior permite contar los electrones emitidos por la

placa negativa pues al saltar hacia la placa positiva cierran el circuito y el amperímetro los

puede “contar”. Se observa que el número de fotoelectrones es proporcional a la

intensidad de corriente eléctrica. Además, se observa que si la intensidad de la luz

incidente aumenta, aumenta también la intensidad de corriente, es decir, aumenta el

número de fotoelectrones arrancados del metal.

2ª) Energía cinética de los fotoelectrones. Al ser arrancados los fotoelectrones

son acelerados hacia la placa positiva, por tanto adquieren velocidad y por ende energía

cinética.

El dispositivo experimental anterior no es el adecuado para determinar la energía

cinética de los fotoelectrones ya que al ser éstos arrancados son acelerados hacia la placa

positiva y, por tanto incrementan aún más su velocidad respecto a la que tendrían si no

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[18]

hubiera una diferencia de potencial entre las placas. El dispositivo anterior se denomina

de potencial acelerador. Para determinar la energía cinética de los fotoelectrones

invertimos la polaridad de la batería, pasándose a un dispositivo de potencial retardador,

como se muestra en la siguiente figura:

Veamos el funcionamiento del dispositivo de potencial retardador. En primer lugar

la luz ultravioleta arranca electrones con una velocidad v. A continuación estos electrones

tienden a ir hacia la placa negativa pero son repelidos por la misma. No obstante algunos

fotoelectrones van tan rápidos que llegan a la placa negativa cerrando el circuito (el

amperímetro registra esta circunstancia). De esta afirmación podemos sacar una

conclusión importante: no tienen la misma velocidad todos los fotoelectrones arrancados,

unos tienen poca velocidad y otros tienen mucha, siendo éstos últimos los que llegan a cerrar

el circuito.

Como el potencial de la batería se puede regular, podemos hacer que la diferencia de

potencial entre las dos placas sea tal que ningún electrón logre llegar a la placa negativa,

será cuando el amperímetro no registre paso alguno de corriente. A este potencial se le

denomina potencial de detención (Vo). En esta situación podemos igualar la energía cinética

de los electrones con velocidad máxima y la energía eléctrica establecida entre las placas,

Se observa una contradicción con la teoría clásica del electromagnetismo: desde un

punto de vista clásico si la intensidad de la luz aumenta entonces la velocidad de los

electrones debería aumentar y, por tanto, su energía cinética ser mayor. Un ejemplo

ilustrativo de esta afirmación podría ser el hecho de que cuando la fuerza de las olas del

mar es mayor, mayor número de piedras se arrastran y a más velocidad. Sin embargo este

fenómeno no se observa, es decir: la energía cinética máxima de los fotoelectrones no es

función de la intensidad de la luz incidente para una determinada frecuencia.

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[19]

3ª) Dependencia de la energía de los fotoelectrones y la frecuencia de la

radiación incidente. Las experiencias demuestran que la energía cinética máxima de los

fotoelectrones aumenta si aumenta la frecuencia de la radiación. No se establece una

simple proporcionalidad. Cada metal tiene una frecuencia, llamada frecuencia umbral, fo,

por debajo de la cual no se arrancan electrones del metal.

Por ejemplo para el zinc la frecuencia umbral está en ’ 14 Hz, frecuencia que se

encuentra en la zona del ultravioleta. Para el sodio la frecuencia umbral está en 5·1014 Hz,

frecuencia que se encuentra en la zona visible del espectro.

Esta dependencia de la energía cinética con la frecuencia de la radiación incidente

tampoco es explicada satisfactoriamente por la teoría electromagnética clásica.

6.2.- Teoría de Einstein para el efecto fotoeléctrico.

Recapitulando algunas contradicciones entre las observaciones experimentales y las

predicciones de la teoría electromagnética clásica (mencionadas unas anteriormente,

otras no):

- La energía cinética de los fotoelectrones debe crecer con la intensidad de las ondas.

Este fenómeno no se observa.

- A cada electrón le corresponde, por unidad de tiempo, una cantidad de energía tal

que deberá transcurrir un tiempo grande para que se inicie la emisión electrones. Sin

embargo, se observa que el efecto fotoeléctrico es instantáneo.

- No debería existir una frecuencia umbral sino que, aunque fuese poca, el cuerpo va

absorbiendo la energía de la radiación hasta que la acumulación de ésta sea tal que se

produzca el efecto fotoeléctrico. Este hecho tampoco se observa sino que, de hecho, existe

la frecuencia umbral para cada metal.

En 1905 Albert Einstein explicó el efecto fotoeléctrico (trabajo por el que recibió el

premio Nobel) tomando las ideas de Planck afirmando que:

La luz se propaga en forma de cuantos de energía, llamados fotones, cuya

energía viene dada por la expresión de Planck, E = h·f

Partiendo de esta idea, la explicación del efecto fotoeléctrico sería (véase la figura de

la página siguiente):

I) En un átomo los electrones se encuentran distribuidos en diferentes niveles definidos.

Hace falta una energía determinada para arrancar un electrón del átomo, se llama en

general potencial de ionización, aunque en el efecto fotoeléctrico se le llama

preferentemente trabajo de extracción (We).

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[20]

II) En la figura adjunta se han

representado diferentes situaciones en

las que un fotón de energía h·f incide

(y es absorbido) sobre un electrón de

un átomo.

III) Los efectos de estos fotones

dependen del electrón sobre el que

incidan. Algunos electrones adquieren

la energía necesaria sólo para subir a

niveles superiores (caso 5) y otros

adquieren la energía necesaria como

para ser arrancados del átomo (resto

de los casos representados). Los

electrones representados en los casos 2

y 3 son más fáciles de arrancar que los

electrones de los casos 1 y 4, por tanto,

los electrones 2 y 3 salen más veloces

que los electrones 1 y 4.

IV) La energía adquirida por cada

electrón es la que le aporta el fotón incidente, que a su vez depende de la frecuencia de la

radiación incidente, su valor es

E = h f.

Se denomina el trabajo de extracción, We, (también función del trabajo) de un electrón a la

mínima energía que debe tener un fotón para poder arrancar el electrón del metal,

donde fo es la frecuencia umbral, es decir, la frecuencia mínima para que se produzca el

efecto fotoeléctrico.

Si llamamos Ec a la energía cinética de un fotoelectrón, es evidente que

La frecuencia umbral es distinta para cada metal pues en cada sustancia los

diferentes electrones son retenidos al átomo de diferente manera.

Por otra parte, al aumentar la intensidad de la radiación lo que se aumenta es la

cantidad de fotones que absorbe el metal. Como consecuencia de esto aumenta el número

de fotoelectrones arrancados pero no la rapidez de estos ya que aunque aumente el

número de fotones incidentes, no aumenta la energía de éstos que sólo depende de la

frecuencia de la radiación.

En definitiva, si unimos las dos ecuaciones deducidas a lo largo de esta explicación,

tendremos las ecuaciones del efecto fotoeléctrico:

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[21]

En estas ecuaciones, según hemos ido viendo,

Carga del electrón, en culombios (1,6·10-19C)

Potencial de detención, en voltios. También se puede denominar

simplemente diferencia de potencial entre las placas.

Energía cinética máxima de los fotoelectrones, en julios.

Masa del electrón, en kilogramos (9,11·10-31 kg en reposo).

Velocidad máxima que alcanzan los fotoelectrones, en metros/segundo.

Energía de la radiación que incide sobre el metal, en julios. También se

puede denominar energía del fotón absorbido. =

Constante de Planck,

Frecuencia de la radiación que incide sobre el metal, en hertzios. También

se puede denominar frecuencia del fotón absorbido.

Trabajo de extracción del metal, en julios. También se puede denominar

energía de extracción o función de trabajo del metal.

Frecuencia umbral del metal, en hertzios. También se puede denominar

frecuencia de extracción o frecuencia de corte.

La explicación de A. Einstein del efecto

fotoeléctrico vuelve a considerar la luz de naturaleza

corpuscular: la luz está formada por partículas llamadas

fotones, de masa despreciable y que tienen frecuencia

(¿?). La aplicación más conocida del efecto fotoeléctrico

son las células fotoeléctricas. En la figura adjunta se

muestra un esquema simple de una célula fotoeléctrica.

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[22]

Problema 8 (Selectividad, junio 2010).

Al iluminar potasio con luz amarilla de sodio de λ=5890·10-10

m se liberan electrones con una energía

cinética máxima de 0,577·10-19

J y al iluminarlo con luz ultravioleta de una lámpara de mercurio de

λ=2537·10-10

m, la energía cinética máxima de los electrones emitidos es 5,036·10-19

J.

a) Explique el fenómeno descrito en términos energéticos y determine el valor de la constante de

Planck.

b) Calcule el valor del trabajo de extracción del potasio.

a) Mientras se procede a calcular la constante de Planck se va explicando el fenómeno en términos

energéticos. En primer lugar determinaremos las frecuencias de los fotones de la luz amarilla y luz

ultravioleta:

=

=

2 = 2

=

=

=

Las energías de los fotones de luz amarilla y ultravioleta que inciden sobre el metal (potasio),

vienen dadas por la ecuación de Planck,

=

=

donde h es la constante de Planck que debemos determinar. Como

>

, los fotones de luz

ultravioleta tienen mayor energía que los fotones de luz amarilla ( > ).

Cada uno de estos fotones puede ser absorbido por alguno de los electrones de los átomos

de potasio. Como consecuencia de ello algunos electrones pueden subir a niveles energéticos

superiores a los que se encuentran si la diferencia de energía entre dichos niveles corresponde

precisamente a las energías de los fotones absorbidos. Pero también ocurre que la energía

absorbida por algunos electrones es suficiente para arrancarlos de sus átomos. Estos electrones

arrancados, llamados fotoelectrones, tienen una energía cinética (correspondiente a la velocidad

que lleven) cuyo valor máximo es la diferencia siguiente:

= =

= =

donde We es el trabajo de extracción del potasio, es decir, mínima energía necesaria para arrancar

un electrón al potasio. Se puede observar que los fotoelectrones arrancados por la luz ultravioleta

tienen mayor energía cinética máxima que los fotoelectrones arrancados por la luz amarilla. Esto es

debido a que, como se ha dicho, a que > .

Sustituyendo las energía de los fotones en las ecuaciones anteriores,

= =

= =

Si restamos las dos ecuaciones eliminamos el trabajo de extracción,

= ( )

La constante de Planck será:

=

=

2 = 2

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[23]

b) Una vez conocida la constante de Planck, el trabajo de extracción se puede determinar sin más

que sustituir su valor en una de las ecuaciones que establecen la energía cinética máxima de los

fotoelectrones, establecidas en el apartado anterior. Por ejemplo,

= =

2 2

de donde

2 2

Problema 9 (Selectividad, septiembre 2009)

Sobre un metal, cuyo trabajo de extracción es 3 eV, se hace incidir radiación de longitud de onda

2·10-7

m.

a) Calcule la velocidad máxima de los electrones emitidos, analizando los cambios energéticos que

tienen lugar.

b) Determine la frecuencia umbral de fotoemisión del metal.

a) Para el análisis de los cambios energéticos que tienen lugar véase el problema anterior o los

apuntes de teoría.

Determinaremos el trabajo de extracción (We) en unidades del S.I. Un electronvoltio (eV) es

la energía que posee un electrón cuando está sometido a una diferencia de potencial de un voltio, en

consecuencia,

Determinaremos ahora la frecuencia de los fotones que inciden sobre el metal:

Estos fotones tienen una energía, cada uno, que viene dada por la ecuación de Planck:

Como vemos, la energía de los fotones es superior al trabajo de extracción del metal. Por

tanto, es posible el efecto fotoeléctrico pues la radiación tiene suficiente energía como para

arrancar electrones del metal. Los fotoelectrones emitidos tendrán una energía cinética máxima

cuyo valor es,

La velocidad máxima de estos fotoelectrones es,

b) La frecuencia umbral se puede determinar a partir del valor del trabajo de extracción del metal,

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[24]

Problema 10

Al estudiar experimentalmente el efecto fotoeléctrico en un metal se observa quela mínima frecuencia a

la que se produce dicho efecto es de 1,03·1015

Hz.

a) Calcule el trabajo de extracción del metal y el potencial de frenado de los electrones emitidos si índice

en la superficie del metal una radiación de frecuencia 1,8·1015

Hz.

b) ¿Se producirá efecto fotoeléctrico si la intensidad de la radiación incidente fuera el doble y su

frecuencia la mitad que en el apartado anterior. Razone la respuesta.

a) La frecuencia mínima a que se produce el efecto fotoeléctrico también recibe el nombre de

frecuencia umbral. Su valor es

El trabajo de extracción (We) del metal es la mínima energía que debe tener un fotón de la radiación

incidente para poder producir efecto fotoeléctrico en dicho metal. Este trabajo está relacionado con

la frecuencia umbral a través de la ecuación de Planck

donde h es la constante de Planck. Por tanto, el trabajo de extracción será:

En cuanto al potencial de frenado, es la diferencia de potencial que debe existir entre los

electrodos para que incluso los fotoelectrones emitidos con velocidad máxima no cierren el circuito.

Por tanto,

donde e es la carga del electrón, Vo es el potencial de frenado y Ecmáx es la energía cinética máxima

de un fotoelectrón emitido. Por otra parte, la energía cinética máxima de un fotoelectrón es la

diferencia entre la energía del fotón que absorbe y el trabajo de extracción de dicho fotoelectrón,

donde f es la frecuencia de la radiación que índice en el metal. Como todos los parámetros son

conocidos, podemos determinar el potencial de frenado,

=

=

=

=

b) El hecho de que la intensidad de la radiación incidente aumente al doble no afecta al hecho de

que se produzca efecto fotoeléctrico. En efecto, si se produjera efecto fotoeléctrico, el aumento de la

intensidad implicaría un aumento en el número de fotones que inciden sobre la superficie del metal

y, por tanto, conllevaría un aumento del número de fotoelectrones emitidos.

El parámetro que sí que afecta a que se produzca o no efecto fotoeléctrico es la frecuencia

de la radiación incidente. En este caso, si la frecuencia disminuye a la mitad,

es un valor que es inferior al de la frecuencia umbral del metal (fo = 1,03·1015 Hz) y, por tanto, los

fotones de la radiación incidente no tendrían la energía necesaria (trabajo de extracción) para

producir efecto fotoeléctrico.

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[25]

7.- Cuantización de la energía en los átomos. Espectros atómicos.

Desde el punto de vista de la interacción de la radiación con la materia, un espectro

es una representación gráfica o fotográfica de la distribución de la intensidad de la

radiación electromagnética, emitida o absorbida, por una muestra de una sustancia en

función de la longitud de onda (o de la frecuencia de la radiación).

En el caso de que la muestra de la sustancia esté en forma atómica, el espectro

obtenido se llama atómico. El instrumento que permite estudiar los espectros se denomina

espectroscopio o espectrómetro si simplemente dispersa mediante un prisma las distintas

radiaciones. Si además el instrumento es capaz de registrar el espectro obtenido

(mediante una fotografía, por ejemplo) se denomina espectrógrafo. La estructura básica de

un espectrógrafo difiere si éste es de emisión o de absorción.

7.1.- Estructura básica de un espectrógrafo de emisión.

En el tubo de descarga se encuentra, a

baja presión, el gas del que se desea obtener

el espectro de emisión. Al crear una

diferencia de potencial entre los dos

electrodos se produce la descarga del gas en

forma de luz que posteriormente es

dispersada por el prisma en su espectro

característico.

7.2.- Estructura básica de un espectrógrafo de absorción.

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[26]

La fuente luminosa genera un haz de luz blanca policromática (todas las longitudes

de onda posibles). Este haz se hace pasar a través de la muestra de la que se quiere

obtener su espectro de absorción. La muestra está encerada en estado gaseoso dentro de

un recipiente adecuado. Al pasar la luz policromática a través de la muestra ésta absorbe

parte de la luz y la no absorbida es posteriormente dispersada por el prisma en su

espectro característico.

7.3.- Tipos de espectros.

Los espectros pueden ser continuos o discontinuos. Los primeros se obtienen

cuando se dispersa la luz de un foco luminoso formado por un sólido incandescente. Estos

espectros comprenden todos los colores (si hablamos del visible) desde el rojo al azul.

Los espectros discontinuos se obtienen de gases o vapores a baja presión (tal como

se ha descrito en los apartados anteriores). Podremos distinguir espectros discontinuos de

emisión y de absorción.

En el espectrógrafo de emisión los elementos encerrados en el tubo de descarga

emiten energía en forma de radiación electromagnética pero únicamente de algunas

frecuencias determinadas. El espectro obtenido es una serie de líneas de colores (si

hablamos del visible) sobre un fondo oscuro.

Espectro de emisión del hidrógeno

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[27]

En el espectrógrafo de absorción los elementos encerrados a baja presión en la

“botella” absorben algunas frecuencias específicas. Las radiaciones no absorbidas son

dispersadas por el prisma y la forma del espectro obtenido estará formado por todos los

colores (si hablamos del visible) excepto aquellas frecuencias absorbidas que aparecerán

como líneas negras.

Los espectros no sólo aparecen en la región del visible sino también en infrarrojo,

microondas, ultravioleta, etc. El ojo no es sensible a estas zonas y se utilizan placas

fotográficas especiales sensibles a esas frecuencias del espectro.

Los espectros de emisión y de absorción de una misma sustancia son

complementarios, es decir, las líneas de emisión o de absorción aparecen a la misma

longitud de onda.

7.4.- Estudio experimental del espectro del átomo de hidrógeno.

Los espectros discontinuos de un elemento son como la “huella dactilar” de ese

elemento ya que siempre se emiten o absorben las misma longitudes de onda. Por

ejemplo: del estudio detenido del espectro de absorción del Sol se pudieron identificar la

mayor parte de las líneas oscuras como frecuencias de absorción de los diferentes

elementos que en estado gaseoso se encuentran en el Sol; sin embargo una serie de líneas

de absorción no se pudieron identificar en su momento y se pronosticó como un elemento

nuevo que no se había encontrado aún en la Tierra: el helio3.

Los espectros atómicos con muy complejos ya que contienen un número muy

elevado de líneas. En el caso del espectro del hidrógeno está formado por 5 series de líneas

que reciben el nombre de sus descubridores (Lyman, Balmer, Parchen, Brackett y Pfund).

La serie de Balmer es la que corresponde al visible.

3 El helio fue descubierto de forma independiente por el francés Pierre Janssen y el inglés Norman Lockyer, en 1868 al analizar el espectro de la luz solar durante un eclipse solar ocurrido aquel año, y encontrar una línea de emisión de un elemento desconocido. Eduard Frankland confirmó los resultados de Janssen y propuso el nombre helium para el nuevo elemento, en honor al dios griego del sol (Helios).

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[28]

De una forma experimental se conocía o se podía predecir la posición (λ) de cada

una de las líneas de cada serie a través de la siguiente expresión (fórmula de Rydberg4)

2

2

2

1

111

nnR

donde n1 y n2 son dos números enteros y R es la constante de Rydberg cuyo valor es

’ 7 m-1.

La serie de Lyman corresponde a n1 = 1 y n2 = 2 …

La serie de Balmer corresponde a n1 = 2 y n2 = …

La serie de Parchen corresponde a n1 = 3 y n2 = …

La serie de Brackett corresponde a n1 = 4 y n2 = …

La serie de Pfund corresponde a n1 = 5 y n2 = …

7.5.- Modelo atómico de Bohr.

Las ideas clásicas eran incapaces de explicar los espectros atómicos discontinuos. En

1913 Niels Bohr propuso un modelo del átomo de hidrógeno que fue capaz de predecir la

posición de cada una de las líneas del espectro, es decir, fue capaz de deducir la fórmula

experimental anterior.

Para establecer su modelo atómico Bohr aplicó las ideas cuánticas al átomo. El

modelo se basa en:

- El electrón del átomo de hidrógeno gira alrededor del núcleo (protón) en una

órbita circular.

- De todas las órbitas posibles sólo son válidas aquellas en las que el momento

cinético del electrón es múltiplo entero de h/2π es decir:

principal) cuántico número (n .....5,4,3,2,1 2

nh

nmvr

r es el radio de la órbita. Cuando n = 1 tenemos la primera órbita o estado

fundamental.

4 Debida al físico sueco Johannes R. Rydberg (1854-1919).

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[29]

- Cuando un electrón gira en una de estas órbitas no radia energía5, sólo lo hace

cuando cambia de órbita de forma que si

o Sube a una órbita superior absorbe una energía equivalente a la

diferencia entre las energías de dichas órbitas.

Este ejemplo permite explicar los espectros de absorción. Al absorber el

átomo la radiación de frecuencia ν el electrón ha subido desde el nivel 1 al 2

(excitación) ya que la diferencia entre las energías de los dos niveles es hv.

Por tanto, esa frecuencia no aparece en el espectro de absorción, aparecerá

una línea negra en su posición.

o Si baja a una órbita inferior emite una energía equivalente a la diferencia

entre las energías de dichas órbitas (ver figura en página siguiente).

Este ejemplo permite explicar los espectros de emisión. Cuando un electrón

en un estado superior (excitado) baja a una órbita inferior (decaimiento) se

emite un fotón de frecuencia ν y cuya energía es hν correspondiente a la

diferencia entre las energías de las dos órbitas. En el espectro de emisión

aparecerá una línea a esa frecuencia.

El modelo atómico de Bohr permitió deducir la expresión experimental de Rydberg

significando un éxito para el mismo. Además permitió explicar el porqué de cada una de

las series de líneas del espectro del hidrógeno.

5 Según la física clásica, toda partícula cargada y acelerada (el electrón en su órbita) pierde energía que emite en forma de energía radiante.

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[30]

8.- Hipótesis de De Broglie. Dualidad partícula-onda.

A lo largo de este tema se ha visto que la luz tiene naturaleza ondulatoria (permite

explicar la reflexión, refracción, dispersión, superposición, difracción, etc.) y naturaleza

corpuscular (como fotón se pueden explicar propiedades como el efecto fotoeléctrico y los

espectros discontinuos vistos aquí, además de la emisión de radiación de un cuerpo negro

y el efecto Compton).

Podemos hacer frente al problema desde el siguiente punto de vista: ¿es posible que

otras partículas como los protones, los electrones, etc, tengan también naturaleza

ondulatoria?

En 1924 Luis De Broglie basándose en consideraciones relativistas y en la teoría

cuántica pensó que si la luz (la radiación) se comportaba como onda y como partícula,

también la materia debería tener ese carácter dual (los protones, los electrones, los

neutrones, los átomos, las moléculas, etc.).

Según De Broglie, para la luz la energía de un cuanto (fotón) sería:

=

En esta expresión va implícito el carácter ondulatorio de la luz pues la frecuencia es una

magnitud característica de las ondas. Por otra parte, si la luz está formada por partículas la

energía asociada a estas según la teoría de la relatividad de Einstein es

=

Ambas expresiones representan la misma energía, podemos igualar

=

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[31]

La expresión anterior nos da la longitud asociada al fotón pues en el denominador

aparece la velocidad de la luz. Para una partícula diferente debemos poner la velocidad, v,

a la que se mueva:

Esta expresión nos da la longitud de onda asociada a una partícula de masa m que

se mueve con una velocidad v. El momento lineal (cantidad de movimiento) de la partícula

es, en módulo,

=

La hipótesis de De Broglie se puede redactar de la siguiente manera:

Toda la materia presenta características tanto ondulatorias como

corpusculares comportándose de uno u otro modo dependiendo del

experimento específico

Esta propuesta fue considerada inicialmente como

carente de realidad física por su falta de evidencias

experimentales. Sin embargo, en 1927, los físicos

norteamericanos C. Davisson (1881-1958) y L. A. Germer

(1896-1971) la comprobaron experimentalmente

después de haber observado la difracción de electrones

de forma casual. Ese mismo año, el físico inglés G. P.

Thomson (1892-1975) confirmó la relación obtenida

teóricamente por De Broglie mediante la difracción de

haces de electrones a través de hojas metálicas delgadas.

En la expresión de la longitud de onda asociada a

una partícula observamos que ésta depende de la masa

de la partícula y de la velocidad de ésta. Si la velocidad

aumenta la longitud de onda disminuye. En cuanto a la

masa podríamos pensar que para una partícula

determinada ésta no cambia (es una idea clásica), sin

embargo, según la teoría de la relatividad masa de una

partícula cambia según la expresión:

=

Donde mo es la masa de la partícula en reposo y m es la masa de la partícula a la

velocidad v. Esta expresión se deberá utilizar cuando la velocidad de la partícula sea

próxima a la velocidad de la luz.

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[32]

Según la hipótesis de De Broglie, una partícula como el electrón se puede comportar

como una onda. Este fenómeno no se observa en el mundo macroscópico debido a las

pequeñas velocidades que se desarrollan y, sobre todo, al pequeñísimo valor de la

constante de Planck en nuestro universo. Como ejemplo se puede comprobar que la onda

asociada a una bola de billar de 600 g que se mueve a una velocidad de 1 m/s tiene una

longitud de onda asociada de ’ -33 m (dos cuatrillones de veces más pequeña que la

asociada al electrón del problema anterior). Este valor es casi un trillón de veces más

pequeño que un núcleo atómico (10-15 m), imposible de medir. Los efectos cuánticos no

son observables en objetos macroscópicos.

Problema 11

Un haz de electrones se acelera bajo la acción de un campo eléctrico hasta una velocidad de 6·105 m·s

-1.

Haciendo uso de la hipótesis de De Broglie calcule la longitud de onda asociada a los electrones. Dato:

masa del electrón = 9,1·10-31

kg.

La hipótesis de De Broglie dice: “toda la materia presenta características tanto ondulatorias como

corpusculares comportándose de uno u otro modo dependiendo del experimento específico”.

La longitud de onda asociada a una partícula viene dada por la expresión,

donde m es, en este caso, la masa del electrón y v es su velocidad. Por tanto, la longitud de onda

asociada a este electrón es:

Problema 12

La masa del protón es aproximadamente 1800 veces la del electrón. Calcule la relación entre las

longitudes de onda de De Broglie de protones y electrones suponiendo que se mueven con la misma

energía cinética.

La longitud de onda asociada a una partícula viene dada por la expresión

donde m es la masa de la partícula y v es su velocidad. En el caso del electrón

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[33]

En el caso del protón

La relación entre ambas longitudes de onda es

=

=

El problema nos indica que:

- La masa del protón es 1800 veces la masa del electrón:

- La energía cinética del protón y del electrón es la misma:

Teniendo en cuenta estas expresiones que relacionan la masa del protón y del electrón y la

velocidad de dichas partículas (al tener la misma energía cinética), la relación entre las longitudes

de onda asociadas al protón y al electrón queda,

=

( )2

( )2=

2

=

=

= 2

Problema 13

Un haz de electrones se acelera desde el reposo mediante una diferencia de potencial. Tras ese proceso,

la longitud de onda asociada a los electrones es 8·10-11

m. Determine la diferencia de potencial aplicada.

Son datos para este problema la constante de Planck, la velocidad de la luz en el vacío, la carga del

electrón y la masa del electrón.

Si los electrones parten del reposo es claro que la diferencia de potencial a la que son sometidos se

traduce en un aumento de la energía cinética de los mismos desde cero hasta el valor

correspondiente a la velocidad que adquieran. Por tanto, la energía eléctrica se está transformando

en energía cinética:

=

2

2

donde e es la carga del electrón que adquiere una velocidad v entre dos puntos donde la diferencia

de potencial es . De esta ecuación necesitamos conocer la velocidad del electrón. Para ello

sabemos que su longitud de onda asociada obedece la expresión,

=

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[34]

por tanto,

así,

Problema 14

¿Cuál es la longitud de onda asociada a un electrón que se mueve a un 10 % de la velocidad de la luz?

El 10% de la velocidad de la luz son 30.000.000 m/s.

En primer lugar veremos cómo cambia la masa del electrón respecto al reposo ( ’ -31 kg)

por ir a dicha velocidad. Sustituyendo en la expresión que encabeza esta página vemos que

omm 005'1

Por tanto, podemos considerar que a esa velocidad la masa del electrón no ha cambiado. Si

sustituimos ahora en la expresión que nos da la longitud de onda asociada al electrón obtendremos

mm

h 9

731

34

10·4'210·3·10·1'9

10·6'6

v

A esta longitud de onda le corresponde una frecuencia de ’2 17 Hz. En el caso de la

radiación correspondería a la zona de los rayos X.

9.- Principio de incertidumbre de Heisenberg.

Para medir una magnitud en un cuerpo hay que “verla” para verla hay que

iluminarla y al iluminarla los fotones chocan contra ese cuerpo. Si el cuerpo sobre el que

medimos es grande (mundo macroscópico), el choque de esos fotones no le afecta en

demasía, pero si el cuerpo en el que medimos es pequeño, como un electrón, el choque de

los fotones sí que le afecta de tal manera que realmente no sabemos dónde está (lo que sí

que podemos saber es una zona de máxima probabilidad de encontrarlo). Esta limitación,

explicada aquí toscamente se conoce como principio de incertidumbre de Heisenberg,

también principio de indeterminación de Heisenberg y dice:

“No e po ible dete min , de un modo p eci o, l po ición y l c ntid d de movimiento de

una partícul ”

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[35]

Los valores de las indeterminaciones en la posición y en la cantidad de movimiento

cumplen

Donde Δx es la indeterminación o incertidumbre en la posición espacial (en metros)

y Δp es la indeterminación o incertidumbre en el momento lineal (p = m·v, en kg · m · s-1).

Según esta expresión, si podemos determinar con gran precisión la posición entonces la

incertidumbre en la cantidad de movimiento (y por tanto en su velocidad) será grande y

viceversa.

El principio de incertidumbre es un principio fundamental de la naturaleza, es decir,

todos los cuerpos están afectados por este principio, pero el pequeño valor de h en

nuestro universo hace que sólo se note su influencia en el mundo atómico.

El principio de incertidumbre se aplica de forma más general a dos magnitudes

complementarias y debería decir en realidad:

“Re ult impo ible dete min imultáne mente, de un modo p eci o, do m gnitude

complement i del e t do de un i tem ”

Dos magnitudes complementarias son aquellas cuyo producto tiene dimensiones de

una acción, es decir, las dimensiones de h:

ms

mkgsm

s

mkgsmNsJ ·.······

2

El resultado como vemos son las unidades del momento lineal por las unidades de la

posición y, por tanto, podremos escribir el principio de incertidumbre como lo hemos

hecho:

Pero Julios por segundo (J·s) son también las unidades de la energía y del tiempo,

por tanto estas dos magnitudes son complementarias del estado de un sistema y podemos

decir que no es posible determinar simultáneamente el valor medio de la energía E de un

objeto y el intervalo de tiempo necesario para efectuar la medida, es decir:

Donde ΔE es la indeterminación en la energía y Δt es la indeterminación en el

tiempo6.

6 El momento cinético ( rxpL

) y el ángulo de giro (α) también son dos magnitudes que

cumplen el principio de incertidumbre.

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[36]

Problema 15

Un electrón se mueve con una velocidad de 4000 km/s. Si la incertidumbre en el conocimiento de su

velocidad es del 3%, ¿Cuál es la incertidumbre en la posición del electrón?

La incertidumbre en la velocidad es del 3%, es decir,

= = 2 /

Según el principio de incertidumbre

2

como =

2

Sustituyendo

2

2

de donde

Problema 16

Un grano de arena de 1 mg de masa se mueve con una velocidad de 20 m/s. Si la incertidumbre en su

posición es de 10-3

m, ¿cuál es la incertidumbre en su velocidad?

Este problema es idéntico al anterior, por tanto, si cambiamos las cantidades correspondientes

(unidades en el S.I.), la incertidumbre en la velocidad es,

2

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[37]

Estos apuntes se finalizaron el 10 de mayo de 2011

en Villanueva del Arzobispo, Jaén (España).

Realizados por: Felipe Moreno Romero

[email protected]

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