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LÓGICA DIFUSA

Lofti Zadeh(1965)

La lógica difusa es una extensión de la lógica convencional (Booleana), para manejar el

concepto de verdad parcial de los predicados y sentencias ambiguos o vagos y que va ha

permitir el tratamiento de la imprecisión y el razonamiento aproximado.

Ejemplos:

Determine el valor de verdad de los siguientes predicados y/o sentencias:

• La temperatura corporal es alta.

• Conducía muy rápido.

• Cerca de 50 años.

• Números menores que 3.

• Gente joven.

Conjunto(Clásico).- Colección de objetos con alguna propiedad en común.

Ejemplo. A: alumnos altos

Definimos su función de pertenencia como: : 0,1A U

1 , 170( )

0 , 170A

si xx

si x

( )A x es el grado de pertenencia de x al conjunto A.

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Gráficamente:

A = [170 , 200]

Extensión a conjuntos difusos

Conjunto Difuso.- Llamamos conjunto difuso A en U a una función : [0,1]A U , que

operacionaliza un predicado o sentencia ambiguo, asignando a cada elemento x del

conjunto U su grado de pertenencia al conjunto A.

Simbolización:

( , ( )) /AA x x x U

Donde: U es llamado universo de discurso.

A es llamada función de pertenencia.

( )A x es el grado de pertenencia de x al conjunto difuso A .

Ejemplo. A: alumnos altos

Definimos su función de pertenencia como: : 0,1A U

1 , 170

( ) ( 140) / 30 , 140 170

0 , 140

A

si x

x x si x

si x

3

Nota.- la transición de la pertenencia o no-pertenencia de un elemento, es gradual, y esta

transición está caracterizada por las funciones de pertenencia.

Ejemplo. A: Números cercanos a 4.

Gráficamente se puede expresar como:

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Clases de Funciones de Pertenencia

Función Triangular:

0 , 1

1,1 5

5 1(15 9)

9,5 9

9 5

0 , 9

x

xx

trimfx

x

x

Función Trapezoidal:

0 , 1

1,1 5

5 1

(15 7 8) 1 ,5 7

8,7 8

8 7

0 , 8

x

xx

trapmf x

xx

x

Función Sigmoidal: 2( 4)

1(2,4)

1 xsigmf

e

5

Función Gausssiana: 25

( )2(2,5)

x

gaussmf e

• En una función gaussiana el parámetro 2 expresa el ancho y 5 el centro.

Ejemplos:

1.- Grafique el conjunto difuso A: Cerca de 50 años.

0 , 30

30,30 50

50 30(30 50 70)

70,50 70

70 50

0 , 70

x

xx

trimfx

x

x

0 , 30

30,30 40

40 30

(30 40 60 70) 1 ,40 60

70,60 70

70 60

0 , 70

x

xx

trapmf x

xx

x

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2.- Grafique el conjunto difuso A: La temperatura corporal es alta.

2( 39)

1(2,39)

1 xsigmf

e

Definiciones básicas sobre conjuntos difusos

A continuación se presentan una serie de definiciones básicas de utilidad en el manejo

de los conjuntos difusos

Conjunto vacío.- Se dice que un conjunto difuso A es vacío, y se escribe A = Ø, si y sólo

si ( ) 0,A x x U

Igualdad de conjuntos.- Se dice que dos conjuntos difusos A y B definidos sobre el

mismo universo de discurso U son iguales, y se escribe A = B si y sólo si

( ) ( ),A Bx x x U

Inclusión de conjuntos.- Se dice que un conjunto difuso A definido en U está incluido en

B, si y sólo si ( ) ( ),A Bx x x U

Conjunto Normal.- Se dice que un conjunto difuso A definido en U es normal si y sólo si

max ( ) 1,Ax U

x x U

Soporte de Conjunto difuso.- Se define como: / ( ) 0ASuppA x U x

Nota.-

• La representación de un conjunto difuso depende del predicado o sentencia a

representar y del contexto en el que se va ha utilizar.

• Se pueden utilizar distintas funciones de pertenencia para caracterizar la misma una

misma proposición.

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Operaciones con Conjuntos Difusos

• Dados dos conjuntos difusos A y B de U, la función de pertenencia de la unión de

los conjuntos A y B se define como:

( ) max ( ), ( )A B A Bx x x

• Dados dos conjuntos difusos A y B de U, la función de pertenencia de la

intersección de los conjuntos A y B se define como:

( ) min ( ), ( )A B A Bx x x

• Dado el conjunto difuso A de U, la función de pertenencia del complemento de A se

define como:

( ) 1 ( )A Ax x

Nota.- Estas 3 operaciones en forma general son definidas por las T-normas , S-normas y

Complemento difuso.

Ejemplo: Dados los conjuntos difusos A y B en la figura siguiente:

Hallar ; ; '.A B A B A

Solución: A B

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A B

'A

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Variables lingüísticas

Es una variable cuyos valores son palabras o sentencias que se enmarcan en un lenguaje

predeterminado. Cada una de estas palabras o términos es llamado etiqueta lingüística y se

representa por medio de un conjunto difuso definido sobre el universo de discurso de la

variable.

Ejemplo. Variable: Temperatura del cuerpo humano.

Valores : Baja, Normal, Alta.

Proposiciones difusas

Son de la forma: :p X A , :q Y B

Donde X e Y son variables lingüísticas, A y B son conjuntos difusos.

Operadores lógicos

Dadas las proposiciones lógicas :p X A y :q Y B , se definen los operadores lógicos

de la siguiente forma:

AND(Y): min( ( ), ( ))A Bp q x y

OR(O): max( ( ), ( ))A Bp q x y

NOT(No): 1 ( )Ap x

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THEN(Entonces):

min( ( ), ( )) ...

( ). ( ) ...

min(1 ( ) ( ),1) ...

1 ( ) ( ) ( ) ...

A B

A B

A B

A A B

p q x y Mandani

p q x y Larsen

p q x y Lucasiewick

p q x x y Reichenbach

Nota.- La implicaciones de Lucasiewick y Reichenbach son compatibles con la lógica

clásica.

Inferencia Difusa

La operación de implicación se puede expresar en la forma:

p q : si (X es A) entonces (Y es B)

donde X e Y son variables lingüísticas, A y B conjuntos difusos.

Ejemplos:

• Si la presión es baja entonces el volumen es grande.

• Si el tomate es rojo entonces está maduro.

• Si la velocidad es alta entonces frenar ligeramente.

Modus Ponens Generalizado

'

........................................

'

Si X es A entonces Y es B

X es A

Y es B

donde A, B, A’ , B’ son conjuntos difusos.

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Modus Tollens Generalizado

'

........................................

'

Si X es A entonces Y es B

Y es B

X es A

donde A, B, A’ , B’ son conjuntos difusos.

SISTEMAS DIFUSOS

Es la aplicación de la inferencia difusa a la automatización de procesos.

Modelo:

Elementos:

Fuzzificador. Asigna un grado de pertenencia en cada uno de los conjuntos difusos

considerados para cada variable de entrada numérica.

Defuzzificador. Asigna un valor numérico a la variable de salida, a partir del conjunto

difuso obtenido en el mecanismo de inferencia, existen varias opciones tales como:

El Centroide.- Retorna el centro de gravedad de la región.

El Bisector.- Retorna el valor que divide en dos partes iguales el área de la región.

Base de conocimiento

Inferencia

Difusa

Fuzzificador Defuzzificador

Entrada Salida

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En Matlab tenemos además:

som.- Retorna el valor mínimo donde el conjunto difuso alcanzó su máximo valor.

mom.- Retorna el valor medio donde el conjunto difuso alcanzó su máximo valor.

lom.- Retorna el valor máximo donde el conjunto difuso alcanzó su máximo valor.

Base de Conocimiento. Es la experiencia del ser humano recogida y almacenada en

conjuntos difusos y en un conjunto de n reglas del tipo si,… entonces.

Tipos de Sistemas

Sistemas Puros. Poseen como entrada y salida conjuntos difusos, esto es no poseen

fuzzificador y defuzzificador.

Las reglas usadas son de la forma:

Si X1 es A1 y … Xn es An entonces Y es B

donde X1 ,… Xn , Y son variables lingüísticas y A1 ,… An , B son conjuntos difusos.

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Sistemas Mamdani. Está compuesto por un fuzzificador, un defuzzificador en su base de

conocimiento.

Características.

Pueden ser usadas en aplicaciones del mundo real, dado que usan entradas y salidas

reales.

Proporcionan un marco natural para la inclusión de conocimiento experto en forma

de reglas lingüísticas.

Poseen libertad para elegir las interfaces de fuzzificación y defuzzificación.

Las reglas usadas son de la forma:

Si X1 es A1 y … Xn es An entonces Y es B

donde X1 ,… Xn , Y son variables lingüísticas y A1 ,… An , B son conjuntos difusos.

Sistemas Takagi - Sugeno. Sus entradas son variables lingüísticas y su salida una función

de las variables de entradas.

Las reglas usadas son de la forma:

Si X1 es A1 y … Xn es An entonces Y=p1X1 + …+ pnXn

donde X1 ,… Xn , Y son variables lingüísticas y p1 ,… pn parámetros reales.

Procedimiento para la creación de un sistema difuso

1. Identificación de variables de entrada y salida.

2. Determinación de conjuntos difusos.

3. Selección del método de defuzzificación.

4. Creación de las reglas.

5. Diseño del mecanismo de inferencia.

6. Evaluación y uso del sistema.

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Ejemplo

Sean las variables de entrada X: Tiempo con valor lluvioso, Y: Vía con valor libre y la

variable de salida Z: Velocidad con valor moderada

Consideremos los conjuntos difusos A: lluvioso , B: libre y C: moderada.

La proposición lógica:

Si el tiempo es lluvioso y la vía es libre, entonces la velocidad es moderada.

El grado de pertenencia para valores de t = 12 y v = 5 en los respectivos conjuntos difusos

son: (12) 0.8A , (5) 0.5B

La operación lógica AND sería (12) (12) 0.5A BAND

(12) (12)

0.5

(0.5 , )

A BAND ENTONCES Velocidad es moderada

Velocidad es moderada

min Velocidad es moderada

Defuzzificando con el centroide la región obtenida tenemos el valor de 60.

trimf(20 60 100) tramf(-6 0 2 8)

tramf(-10 0 10 20)

AND ENTONCES

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Modelo:

Variables de entrada: Tiempo y Vía.

Variables de salida: Velocidad.

Conjuntos difusos:

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Método de defuzzificación: Centroide.

Reglas de inferencia:

Diseño del mecanismo de inferencia:

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Evaluación y uso del sistema

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Práctica.

1.- Construya un conjunto difuso para cada una de los siguientes predicados.

Es un buen alumno.

Hombre alto.

Río largo.

2.- Dados los conjuntos difusos

A: La velocidad es lenta.

B: La velocidad es normal.

C: La velocidad es alta.

Hallar: ; ( ) ' ; '; ( ) .A B A B C C A A B C

3.- Formule predicados y/ o sentencias, y construya su conjunto difuso para cada ejemplo

dado.

Aplicaciones de lógica difusa.

Nivel uno - control mediante lógica difusa.

Reemplazar un operador humano por un sistema de difuso basado en reglas.

Metro Sendai (Hitachi)

Cemento Kiln (F.L. Smidth)

Control de elevador (Fujitec, Hitachi, Toshiba)

Carro de Sugeno

Robot de Hirota

Péndulo invertido de Yamakawua.

Reactor nuclear (Hitachi, Bernard)

Transmisión automática (Nissan, Subaru)

Control Bulldozer (Terano)

Producción de ethanol (Filev)

Nivel dos: Análisis de decisión basado en lógica difusa

Reemplazo de un operador humano por un sistema experto basado en lógica difusa

Medicina ((CADAG, Adlssnig), Arita, OMRON)

Seguridad (Yamaichi, Hitachi)

Comprobante de crédito (Zimmermann)

Asignación de daños (Yao, Hadipriono)

Diagnostico de fallas (Guangzhou)

Planeación de producción (Turksen)

Productos al consumidor

• Lavadoras

• Hornos de microondas

• Procesadores de arroz

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• Limpiadores al vacío

• Cámaras de video

• Televisores

• Sistemas térmicos

• Traductores

Sistemas

• Elevadores

• Trenes

• Automóviles

(máquinas, transmisiones, frenos)

• controles de tráfico

Sotfware

• Diagnóstico Médico

• Seguridad

• Compresión de datos.