La investigación en didáctica de la matemática

Discusiones metodológicas a propósito de una exploración sobre condiciones de articulación entre prácticas aritméticas y prácticas algebraicas.

Relaciones de ida y vuelta entre el marco teórico y el trabajo experimental

Explorar las posibilidades de un trabajo didáctico en el campo de la aritmética que, por el tipo de problemas a considerar pudiera concebirse como un espacio de articulación entre prácticas aritméticas y prácticas algebraicas.

Marisa tiene 20 pesos en monedas de 10 centavos y de 50 centavos. Si tiene 15 monedas de 10 centavos, ¿cuántas monedas de 50 centavos tiene?

Marisa tiene 20 pesos en monedas de 10 centavos y de 50 centavos. ¿Cuántas monedas de cada clase puede ser que tenga?

Nuestras preguntas abarcan

cuestiones vinculadas a la relación entre viejos y nuevos conocimientos a propósito del trabajo aritmético

cuestiones vinculadas a la emergencia de las escrituras en el contexto didáctico propuesto

cuestiones vinculadas a la racionalidad matemática de los alumnos al entrar en contacto con los problemas que les planteamos.

Con respecto a la relación entre viejos y nuevos conocimientos ¿Cómo utilizan los alumnos los conocimientos

aritméticos que tienen hasta el momento para enfrentar los nuevos problemas que les proponemos? ¿Qué rupturas supone la resolución de estos problemas? ¿Qué aspectos de la antigua relación con las operaciones, se revelan ahora frente a las rupturas que los nuevos problemas conllevan? ¿Qué nuevas cuestiones se elaboran? ¿Qué papel juega la introducción de la noción de variable en estas elaboraciones?

Con relación a la producción de escrituras La necesidad de representar varias o infinitas

soluciones, ¿plantea exigencias con respecto a la producción de nuevas formas de representación? ¿Proponen los alumnos el uso de letras para representar variables? ¿Qué función cumplen las escrituras que producen? ¿Cómo se validan?

Con relación a la racionalidad matemática de los alumnos ¿Cómo se posicionan los alumnos frente a la

existencia de variables que son independientes de los datos del problema? ¿Qué criterios elaboran para “contar” la cantidad de soluciones de un problema? ¿Qué tipo de justificaciones proponen los niños? ¿Qué tipo de argumentos necesitan para considerar que algo es verdadero? ¿Qué papel juegan los ensayos en la producción de un procedimiento general?

Alumno

Problemática

Docente

Condiciones para la interacción: posibilidades de elegir, lectura de retroacciones

Posición de autonomía Validación

Análisis a priori

Análisis de las interacciones potenciales del alumno con el problema:

¿cuáles son las posibles maneras de abordar el problema en función de los conocimientos (del alumno) que interactúa con él?; ¿cuáles son las insuficiencias para resolver completamente el problema?; ¿cómo se superan esas insuficiencias?

Definida una cierta estrategia: ¿cómo la valida el alumno? ¿qué nuevos

posibles abre cada estrategia posible? ¿por qué la realización de una cierta acción del alumno puede interpretarse en términos de un cierto conocimiento? ¿qué razones tendría el alumno para cambiar una estrategia por otra?

Producción-transformación-evolución-validación

El análisis a priori:

Fundamentar el proyecto de enseñanza

Construir un marco para el análisis de las clases

Marisa tiene 20 pesos en monedas de 10 centavos y de 50 centavos. ¿Cuántas monedas de cada clase puede ser que tenga?

Tareas: * producir soluciones

* establecer cantidad de soluciones

* producir un procedimiento general para

generar todas las soluciones

50 C 10 C

40 0

39 5

38 10

37 15

36 20

35 25

34 30

33 35

Observables con relación a la problemática aritmética-álgebra El tipo de procedimiento que utiliza (covariación,

dependencia) La posibilidad de concebir las soluciones como

pares Las escrituras que utiliza para generar las

soluciones Las escrituras que utiliza para representar las

soluciones La función que le otorga a la(s) fórmula(s) Las relaciones que representa en la fórmula El nivel de objetivación del conjunto solución El estatuto que adquieren las letras

Observables con relación a la racionalidad matemática puesta en juego el nivel de generalidad puesto en juego el tipo de justificación para resolver sobre la

cantidad de soluciones los elementos que tiene en cuenta para

decidir si dos procedimientos son o no igualmente correctos

los criterios de exhaustividad

Cuatro etapas:

Los alumnos trabajan individualmente Trabajo en pequeños grupos para optar por

un procedimiento Transcripción en el pizrrón de los

procedimientos propuestos por cada grupo y análisis de los mismos

Debate colectivo

Procedimiento 2 (Guido, Juan Alejo, Manuel y Juan Manuel)Me dan cualquier número entre 0 y 200, por ejemplo 34.34 x 10 - cantidad de centavos en monedas de 10 C

2000 – 340 = 1660 1660 : 50 = 33,2 33 de 50 y 35 de 10

Procedimiento 3 (Gastón, Alejo, Martín, Ilan)

( 50 C x n menor que 40 – 2000 C) : 10 = cuántas monedas de 10 = A

(20 – A . 0,10) : 0,5= cantidad de monedas de 50 = B.

Procedimiento 5 (Silvina, Pilar, Sebastián)Cantidad de monedas de 10 C

Cantidad de monedas de 50 C

0 40

5 = 50 39 = 19,5

10 = 50 38

15 37

20 36

200 0

Explicación: para encontrar todas las soluciones partiendo de 0 monedas de 10 C y 40 monedas de 50 C, le vas sumando 5 monedas de 10 centavos y restando 1 moneda de 50 C, hasta llegar a 200 monedas de 10 C y 0 monedas de 50 C.

Gastón: El quinto, ese sí te puedo decir que está bien explicado, lo entendí bastante bien, que se empieza desde un extremo hasta llegar al otro, o sea de 0 monedas de 10 y 40 de 50, hasta llegar a 200 monedas de 10 y nada de 50 centavos.

Profesora: ¿Y hay alguna razón por la que preferirían el quinto con relación al de ustedes?

Gastón: No, no prefiero el quinto, el nuestro está mejor. (Muy seguro)

Profesora: ¿Por qué? Gastón Porque lo pensamos nosotros Martín: Pero yo creo que está mejor explicado el quinto que

el de nosotros, me parece. Profesora: ¿Por qué te parece que está mejor explicado,

Martín? Martín: Claro, si vos lees el nuestro y lees el quinto, me

parece que entendés más el quinto.

Profesora: O sea, que en realidad es 2000 – 50 x un número menor que 40 dividido 10. Esa es la idea que tuvieron.

Gastón: Pero, después hay que seguirlo, el resultado que sea hay que hacer 20 – A x 0,10 dividido 0,50. Todo lo demás está bien, hay que alterar el orden.

Matías: Esa cuenta que está abajo está demás. Profesora: ¿Por qué? Matías: Porque vos cuando multiplicás 50 por un

número menor que 40 ahí ya tenés las monedas de 50. Gastón: Claro...pero.... Matías: Y ahí ya estás sacando las monedas de

50, ahí abajo. Profesora: A ver, Gastón, ¿qué tenés para decir?

Gastón : Que ahí estás poniendo una fórmula, no estás dando un ejemplo. Si es un ejemplo directamente hacés 2000 – 50 por el número.

Profesora : Claro, pero él lo que está diciendo es esto, para qué hago la segunda cuenta si la segunda cuenta sé que me va a dar el número de las monedas de 50 que yo puse al principio.

Gastón : Sí, ya se, al principio vos lo ponés 2000 – 50 x 37, porque ya lo tenés...

Profesora: O sea ellos dicen, vos ponés el número menor que 40, 15.

Gastón: Pero ahí sí, porque estás dando un ejemplo de cómo sacar la cantidad de monedas de 50.

Profesora : A ver, Gastón , explicá bien, por qué hay que poner las dos fórmulas.

Gastón: Porque con la fórmula de abajo hacés esa cuenta para sacar cuántas monedas de 50 centavos tenés que..

Matías : Pero, si vos ya sabés cuantas monedas de 50 hay.

Profesora : Todos entienden lo que están discutiendo Matías y Gastón?

(….) Profesora – Gastón, ¿por qué decís que hace falta la

segunda fórmula cuando es un procedimiento general? Gastón- Porque si no tenés que decir que agarraste un

número al azar. Profesora ¿ No estaría bien decir que agarraste un número

al azar? Gastón Yo hago eso casi siempre, pero, cuando te piden

así, que cómo hiciste , sería esa la fórmula. Profesora Qué está mal de tomar un número al azar? Gastón - No sé, en todos los problemas dicen justificá ,

qué hiciste acá, ba ba ba....... Profesora - Y decir que uno tomó un número al azar, no es

justificar? Gastón- Lo sacás de una manera....(pone cara fea)

Profesora - Entonces, si yo empiezo eligiendo este número al azar, hago esta cuentita, me da las monedas de 50, este procedimiento que está acá, para qué lo hago?

Gastón - Para ocupar lugar. Otro alumno (encimado a Gastón) Para justificar Llegado a este punto la profesora clausura el

debate. Profesora. Pero sí, se puede inventar. Si no,

estamos en un círculo, si yo este número no lo puedo inventar y lo tengo que sacar de acá, pero esta cuenta no la puedo hacer, al final no puedo hacer ninguna cuenta, en algún lado hay un número que tengo que inventar. Lo pongo al azar, pero no de cualquier manera. Vos acabás de hacer una aclaración, ese número tiene que ser menor que 40.

Guido : Porque es la manera de encontrar completamente todos los números, en los otros, en el 1, en el 3 y en el 4, hablan de 41 soluciones siempre.

Profesora : ¿Y acá? Guido: De 201, igual que en el dos. Profesora : Dónde están las 201 soluciones en

este procedimiento? Sabrina : Leamos el procedimiento: “para

encontrar todas las soluciones tenés que partir de 0 monedas de 10 y 40 de 50 centavos, luego le vas sumando 5 monedas de 10 y le vas restando 1 moneda de 50 centavos”.

Profesora: ¿Cuántas monedas de 50 centavos tengo?

Varios: 40.

Profesora: Y vas sacando de a 1. Varios : Y sumando de a 5 .Profesora : ¿Entonces, dónde están las 201

soluciones? Sabrina : Vas bajando cada vez que subís. Profesora: si vos vas bajando de 40 en 1,

¿cuántas soluciones tenés? Sabrina : Las 201 están, si vas recorriendo las

monedas de 10, en lugar de las de 50. Profesora: O sea, que el que empieza con las de

10 tiene 201 soluciones y, el que empieza con las de 50 tiene 41, o sea que conviene empezar con el que me da más soluciones, bien lo dejemos acá

“La clase pasada se había llegado a la conclusión de que a través del procedimiento 2 hay 201 soluciones y, a través de los procedimientos 1, 3 y 4 hay 41 soluciones. Si estás de acuerdo con esta afirmación, proponé una solución que pueda obtenerse por el procedimiento 2 y no pueda obtenerse por el procedimiento 3. Si no estás de acuerdo con la afirmación, explicá por qué.

152 x 10 = 1520 2000 – 1520 = 480:50= 9,6Monedas de 10: 155

Monedas de 50: 9Hay 41 soluciones porque

Ejemplo: 11 monedas de 50- 145 de 1010 monedas de 50- 150 de 10

Si yo agarro un número entre estas, Ej. 147, me va a llevar a 150 porque cada 0,2 de 50 agrego 1 moneda de 10, porque me va a

dar con coma.147 x 10 = 1470 2000 – 1470 = 530 : 50 = 10,6

150 monedas de 10 y 10 de 50

Luana: Lo que yo no entiendo acá es que te dan un procedimiento y abajo te dicen que hay 201 soluciones

Profesora: Eso dijeron los chicos ayer Luana: Pero, ¿cómo saben los chicos que

hay 201 soluciones? Profesora: Yo te digo lo que ellos dicen, no digo

que es así. Porque como x puede tener cualquier valor entre 0 y 200, si yo se le da el valor 0, sale una solución, si se le da el valor 1, hay otra, y así siguiendo, entonces, como se pueden dar 201 valores posibles, ellos dicen que hay 201 soluciones.

Luana: Ahhhhh (con tono de clic)

Laura: Antes de hacer la tabla hicimos 0,10X + 0,5Y = 20

Profesora: A ver me lo explican. Laura: Que tantas monedas de 10 centavos.... Profesora: ¿Cuál es tantas? Laura: x , más otras tantas monedas de 50

centavos... Dana:Igual 20 pesos, tendría que dar 20 pesos. Laura: Por eso en la tabla agarramos

cualquiera y tenía que cumplir con esto. Agarramos x y lo reemplazamos por los números de la tabla...

Profesora: Andrés, ¿que querés decir? Andrés: Que para mí a eso le falta 0,10 x 5 x X, ellas

dijeron que tenía que ser múltiplo de 5. Laura: No, porque el múltiplo de 5 tiene que ser la X. Andrés: El múltiplo de 5 tiene que ser la cantidad de

números de.... Laura: Por eso x. El x y el y son los números que van en la

tabla. Andrés: Como tiene que ser múltiplo de 5 tiene que ser

por 5. Profesora: Lo que ustedes dicen, vamos a ver si son cosas

distintas. Dana: ¿Le puedo decir algo a Andrés? Profesora: Sí, pero antes yo quiero estar segura de que todo

el mundo entendió como ellas hacen funcionar esto (por la fórmula para verificar), ¿todo el mundo lo entiende?

Varios: Sí Profesora: Bien, ahora vamos a plantear lo que

ellos están discutiendo para que todos lo entiendan porque me parece que se les perdió un poco. Digo tu planteo y después discuten. Lo que Laura, Dana y Melani dicen es que acá la x siempre va a ser un múltiplo de 5, ellas dicen verifico y va a ser un múltiplo de 5. Lo que Andrés dice es que si tiene que ser un múltiplo de 5 acá no puedo poner x, tengo que poner 5x.

Andrés: Conviene poner 5X. Laura: No , es lo mismo. Melani: No hace falta. Andrés: Pero tendría que saber que tiene que

ser múltiplo de 5.