la integral un enfoque computacional 2da edicion

LA INTEGRAL: Un Enfoque Computacional / Ing. Luis Aldana

2


Contenido

1. INTRODUCCIÓN. ....................................................... 5

2. PERSPECTIVA GENERAL DE LA INTEGRACIÓN ... 6

2.1. Propiedades de la integral: ................................... 8

2.2. Método de integración por sustitución simple: ... 10

2.3. Método de integración por partes: ...................... 12

2.4. Integración trigonométrica: ................................. 13

2.5. Método de sustitución trigonométrica: ................ 15

2.6. Fracciones parciales: ......................................... 16

3. CÁLCULO DE ÁREA DE REGIONES PLANAS

MEDIANTE INTEGRALES. ........................................... 18

3.1. Una región entre dos curvas: ............................. 20

4. VOLÚMENES DE SÓLIDOS. ................................... 21

5. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIAL: 23

6. SUCESIONES. ......................................................... 25

7. LÍMITE DE SUCESIÓN. ............................................ 27

8. SERIES INFINITAS. ................................................. 29

8.1. Convergencia: .................................................... 30

8.1.1. Convergencia Absoluta: ............................... 31

8.2. Linealidad de las series convergentes: .............. 32

9. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN

COMPUTACIÓN MATEMÁTICA. ................................. 33

9.1. NEGOCIOS. ....................................................... 36

9.2. VOLUMEN: ........................................................ 37

9.3. ECONOMÍA: ....................................................... 38

9.4. CIENCIAS SOCIALES: ...................................... 39

10. MÉTODO DE LAS ARANDELAS ............................ 40

11. MÉTODO DE LOS CASCARONES. ....................... 43

12. TEMA DE APLICACIÓN ......................................... 46

13. BIBLIOGRAFÍA ....................................................... 49

ACERCA DEL AUTOR. ................................................ 50

3


4


1. INTRODUCCIÓN.

En el siguiente trabajo se presenta una perspectiva

acerca de lo que es el Cálculo Integral así como diversos

procedimientos

involucrados

para

lograr

resolver

problemas dentro de ésta área, además, se dan algunos

aspectos sobre el uso de esta disciplina en las ciencias

de la computación y su relación con ella.

Esperamos que este trabajo sirva de ayuda o apoyo para

estudiantes que están próximos a ingresar en una

carrera de este tipo o que ya estén en una de ellas.

5


2. PERSPECTIVA GENERAL DE LA

INTEGRACIÓN

La integración es el procedimiento por el cual se puede

determinar el área limitada por la curva de ecuación y =

f(x) el eje X y las rectas x = a y x = b.

Y

y = f(x)

X

x = a

x = b

Para encontrar dicha área inscribimos bajo la curva dada

un número determinado de rectángulos, la suma del área

de cada rectángulo es una aproximación del área bajo la

curva, y conforme el número de rectángulos tiende a

infinito nos aproximamos más al área exacta de la

región. Se volvería muy complicado inscribir demasiados

rectángulos y calcular el área de cada uno y después

sumarla, por ello surge el procedimiento de la integral

conforme al siguiente límite:

6


Área =

L í

m f(x) x

n

n

Lo cual podemos expresar de la forma:

b

f(x)

a

a la cual llamamos integral de f de a a b , ésta representa un número y ése número es el área de la región acotada

entre la curva y las rectas mencionadas con anterioridad.

Los métodos de integración son procedimientos que nos

permiten calcular este valor de manera más sencilla.

Cuando este valor existe para la función, se dice que la

función es integrable, de lo contrario es una función no

integrable.

Teorema: Si f es una función continua en el intervalo

cerrado [ a, b], entonces es integrable de a a b.

7


2.1. Propiedades de la integral:

Si f y g son funciones integrables en el intervalo [ a, b] y k una constante, entonces f + g y kf son integrables en el mismo intervalo, y además se cumple:

b

b

b

a)

(f + g) = f

+ g

a

a

a

b

b

b)

kf = k f

a

a

b

b

n

n+1

c)

x dx = x /n+1 + C

a

a

Una integral que tiene límites de integración (a, b) se

llama integral definida, de lo contrario se nombra

indefinida.

Algunas de las integrales trigonométricas más conocidas

son:

8


9


2.2. Método de integración por sustitución simple:

Sea f(x) diferenciable, entonces la diferencial de f(x) =

f’(x)dx. Éste método se basa en realizar cambios de

variable en el integrando, de tal forma que transforme la

integral original en otra equivalente y más simple de

integrar, ya sea por la tabla de integral anterior o por

algún otro método.

Por otra parte, sabemos que para una función f

integrable en el intervalo [a, b] su integral:

b

f(x)

a

es un número y es posible definir una función mediante

una integral definida, para esto hacemos lo siguiente:

Definimos:

x

F (x) =

f

a

de lo cual se desprende:

10


PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO:

Sea f una función continua en el intervalo [ a, b] y sea x un punto variable en ( a, b), entonces:

x

d

f (t) dt = f(x)

dx

a

SEGUNDO

TEOREMA

FUNDAMENTAL

DEL

CÁLCULO:

Sea f un función continua (y de aquí integrable) en [a, b], y sea F

cualquier antiderivada de f en [a, b]. Entonces:

b

f (x) dx = F(b) - F(a)

a

11


2.3. Método de integración por partes:

Si la integración por sustitución simple falla o se

complica, es posible utilizar una doble sustitución

conocida como integración por partes. Éste método tiene

como base la integración de la igualdad de la derivada

del producto de dos funciones:

Sean U = U(x) y V = V(x), entonces:

Dx [U(x)·V(x)] = U(x)·V’(x) + U’(x)·V(x), es decir

U(x)·V’(x) = Dx [U(x)·V(x)] - U’(x)·V(x), es decir

U(x)·V’(x)dx = U(x)·V(x) - U’(x)·V(x)dx

Como d

U = U’(x)dx, dV = V’(x)dx, se tiene:

UdV = U·V - VdU

La integral de VdU debe ser sencilla, y algunas veces

puede repetirse el método de integración por partes

varias veces hasta conseguir el resultado final.

12


2.4. Integración trigonométrica:

Para resolver integrales que involucran a funciones

trigonométricas debemos hacer un uso adecuado de

otros métodos, ya sea utilizando la tabla de integrales

básicas o integración por partes y al mismo tiempo nos

será

muy

útil

conocer

algunas

identidades

trigonométricas que pueden sustituirse en la función

original para hacer la integración más fácil:

I)

IDENTIDADES DE RECÍPROCOS:

a. Sen α • Cosec α = 1

b. Cos α • Sec α = 1

c. Tg α • Cotg α = 1

II)

DE COCIENTES O DIVISIÓN

a. Tg α = Sen a / Cos α

b. Ctg α = Cos a / Sen α

III)

DE CUADRADOS (PITAGÓRICAS)

a. Sen2 α + Cos2 α = 1

b. Sec2 α = 1 + Tg2 α

c. Cosec2 α = 1 + Ctg2 α

IV)

DE ÁNGULO MEDIO

a. Sen2 α = 1 – Cos(2α) / 2

b. Cos2 α = 1 + Cos (2α) / 2

Con estas identidades podemos transformas integrales

trigonométricas complejas a algunas más sencillas.

13


14


2.5. Método de sustitución trigonométrica:

Cuando

aparecen

radicales

en

un

integrando

generalmente son problemáticos y por lo común

tratamos de librarnos de ellos. Así, con una sustitución

apropiada que racionalice la expresión nos permitirá

simplificar.

Consideramos integrandos de la siguiente forma:

I)

a2x

2 + b2

II)

a2x

2 - b2

III)

b

2 - a2x2

En donde para cada uno de ellos se sugieren las

siguientes sustituciones:

I)

x = b/a • Tg(α)

II)

x = b/a • Sec(α)

III)

x= b/a • Sen(α)

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2.6. Fracciones parciales:

Éste método de integración comprende la integración de

fracciones

racionales,

es

decir,

funciones

cuyo

numerador y denominador son funciones polinomiales:

P(x) / Q(x). Se estudian aquellos casos en los cuales el

grado del numerador es menor que el de el

denominador. La idea es tratar de descomponer esta

fracción en la suma de fracciones más simples

denominada fracciones parciales.

Nos interesan también en nuestro estudio fracciones que

al ser factorizadas, los factores que aparecen sean

lineales o cuadráticos los cuales pueden o no repetirse.

De ésta forma el método de integración por

descomposición de fracciones parciales lo estudiamos

en dos apartados: Factores lineales y factores

cuadráticos.

Procedimiento:

Para descomponer una función racional en fracciones

parciales procedemos como sigue:

1) Si la función es impropia, esto es, si el grado de

P(x) es mayor o igual al de Q(x) se realiza primero

la división para expresarla en términos de

fracciones propias.

16


2) Se factoriza Q(x) en producto de factores

cuadráticos irreducibles con coeficientes reales.

Factores esperados: ax + b y ax2 + bx + c

3) Por cada factor de la forma (ax + b)k se espera

que la descomposición tenga la forma: A1/(ax + b)

+ A2/(ax + b)2 + ... + Ak/(ax + b)k.

4) Por cada factor de la forma (ax + bx + c)m se

espera que la descomposición tenga la forma en

términos de: B1x + C1 / (ax2 + bx + c) + B2x + C2 /

(ax2 + bx + c)2 + ... + Bmx + Cm / (ax2 + bx + c)m.

5) Sustituya una función racional por la suma de las

fracciones parciales.

6) Encuentra el valor de los coeficientes.

7) Calcule las integrales.

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3. CÁLCULO DE ÁREA DE REGIONES

PLANAS MEDIANTE INTEGRALES.

Para Calcular el área de una región R acotada por las

gráficas y = f(x), x = a, x = b y y = 0 donde R esta por debajo de y = f(x) entre x = a y x = b su área esta dada por:

b

Área de R =

f(x) dx

a

es decir, esto es para regiones por arriba del eje X,

ahora, para regiones debajo del eje X, tenemos lo

siguiente: El área es un número no negativo, si la gráfica

y = f(x) esta por debajo del eje X, entonces:

b

f(x) dx

a

es negativo y por tanto no puede ser un área, sin

embargo, sólo es el negativo del área de la región R,

entonces el área queda de la siguiente forma:

b

Área de R = -

f(x) dx

a

Para una región que contempla un área por debajo del

eje X y al mismo tiempo por arriba, tenemos:

b

c

f(x) dx

f(x) dx

Área de R = Área de R + Área de R = -

1

2

a

a

18


Una manera útil de pensar:

Cuando se consideran integrales muy complicadas, hay

una manera muy útil para pensar siguiendo éstos pasos:

1) Bosqueje la gráfica.

2) Córtela en pedazos delgados (Tiras) y marque

una pieza representativa.

3) Aproxime el área de esa pieza como si fuera un

rectángulo.

4) Sume las aproximaciones a las áreas de las

piezas.

5) Tome el límite cuando el ancho de las piezas se

aproxima a cero, obteniendo así una integral

definida.

19


3.1. Una región entre dos curvas:

Primero consideremos lo siguiente:

Curvas: y = f(x) y y = g(x).

g(x) < f(x) en a < x < b.

En la figura notamos que f(x) – g(x) da la altura perfecta

de un rectángulo representativo, aunque g(x) esta debajo

de X.

Y

y = f(x)

x

x = [f(x) - g(x)] x

a

f(x) - g(x) Área = [f(x) - g(x)] dx

b

X

x = a

x = b

y = g(x)

20


4. VOLÚMENES DE SÓLIDOS.

Podemos usar la integral definida entre otras cosas para

el cálculo de volúmenes de sólidos al seccionar éstos y

siempre y cuando el volumen de cada pedazo sea fácil

de obtener.

Ya que una figura de alguno de estos tipos:

Tipo 1

Tipo 2

Se calcula como: V = Área de la base • altura, entonces

el volumen de un fragmento de cilindro o de cualquier

figura regular se obtiene como:

∆A • ∆

i

xi

Por lo tanto, cualquier figura al ser seccionada se

determina mediante:

n

A(x ) x donde a

< x

< b

i

i

i

i =1

21


Tomando el límite se tiene que:

b

Volúmen =

A(x) dx

a

22


5. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO

EXPONENCIAL:

Una de las aplicaciones de la integral se refiere al

crecimiento y decaimiento exponencial. El crecimiento o

disminución de algún dato se puede expresar de forma

matemática con las funciones ln(x) y ex y usar la

integración y derivación para encontrar una fórmula que

nos permita hacer el cálculo de alguna cantidad que

crece en un tiempo determinado, encontrar ese tiempo o

bien , la contante de crecimiento o decaimiento a la cual

está sujeta cierta cantidad inicial. Sabemos que si

tenemos una función y = f(t) puede haber un

desplazamiento ∆y respecto a un cambio de tiempo ∆t,

por tanto:

∆ y = ky∆ t

Si despejamos obtenemos ∆ y / ∆ t = ky y en su forma de

límite, esto representa la ecuación diferencial:

dy / dt = ky,

Aquí, k representa una constante de crecimiento o

decaimiento:

Si k > 0, entonces se denomina crecimiento

exponencial.

23


Si k < 0, entonces se denomina decaimiento

exponencial.

Para resolver la última ecuación dada, despejamos t y

“y” tenemos: dy / y = kdt, integrando de ambos lados

tenemos:

Dy / y = kdt

ln(y) = kt + C

La condición y = y

0 para un t=0 da C = ln(y0), así

ln(y) - ln(y ) = kt o bien,

0

ln(y/y )

0

= kt, al cambiar ala forma exponencial se tiene:

y = y ekt

0

24


6. SUCESIONES.

En lenguaje llano podemos decir que una sucesión es un

arreglo ordenado de números reales, uno para cada

natural existente y formalmente hablando es una función

definida de la siguiente forma:

f: IN

IR

Las sucesiones las denotamos de la siguiente forma: f(n)

= an, o bien de la forma: {an} nεIN.

Siendo funciones, entonces podemos hablar de las

siguientes operaciones:

{an} + {bn} = {an + bn};

{an} • {bn} = {an • bn}:

{an} / {bn} = {an / bn} con bn !=0.

Las formas para representar sucesiones son: explícita y

recursiva. Por ejemplo, una forma explícita es: {2/n}nεIN

an=2/n. Una forma recursiva es: a1 = 3, a2 = 5 ... an =

2an-1+1.

Se dice que una sucesión es creciente si an+1 > an

" neIN.

Se dice que una sucesión es decreciente si an+1 <

an " neIN.

25


Cuando hay la posibilidad de igualdad se agrega el

prefijo “monótono”.

Se dice que una sucesión está acotada si: ∃ keIR | an < k

" neIN.

k es una cota superior, o bien, si: ∃ keIR | an >

k " neIN

k es cota inferior.

26


7. LÍMITE DE SUCESIÓN.

Definición: La sucesión {an} converge a L y escribimos:

L í

m a = L

n

n

si para cada número positivo e hay un número positivo

correspondiente N talque:

n > N

| an – L | < e

Si no hay un número finito L al que converja una

sucesión, se dice que esta diverge o que es divergente.

Los límites de sucesión válidos son:

1

)

L í

m k = k

n

2

)

L í

m ka = k

L í

m a

n

n

n

n

3

)

L í

m (a

+ b ) =

L í

m a

+

L í

m b

n

n

n

n

n

n

n

4

)

L í

m (a · b ) =

L í

m a ·

L í

m b

n

n

n

n

n

n

n

5

)

L í

m (a / b ) =

L í

m a /

L í

m b siempre qu

e

L í

m b != 0

n

n

n

n

n

n

n

n

n

6

)

L í

m | a | = 0

L í

m a = 0

n

n

n

n

Sean {an} y {bn} sucesiones convergentes y k una

constante, entonces:

Teorema: Si {an} es no decreciente y acotada

superiormente, entonces an converge. Un enunciado

27


análogo es: Si {an} es no creciente y acotada

inferiormente, entonces an converge.

Subsucesión: Es una sucesión que se forma con

algunos de los términos de una sucesión dada, por

ejemplo: Sea una sucesión {n}, entonces con ella

podemos formar las subsucesiones {2n} o bien {2n-1},

etcétera.

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8. SERIES INFINITAS.

Sea {an} nεIN y {Sn} nεIN talque:

S1 = a1;

S2 = a1 + a2;

S3 = a1 + a2 + a3;

.

.

.

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

an

n =1

Entonces a {Sn} se le llama serie infinita y la denotamos

por:

Además, se dice que {an} es sumable si la sucesión {Sn}

converge y el límite de {Sn} es la sumatoria.

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8.1. Convergencia:

Convergencia de:

an

n =1

Para determinare la convergencia de una serie infinita

utilizamos los siguientes criterios:

1) Criterio de Cauchy: La sucesión {an} es sumable

L í

m a + … + a =0

n+1

m

m,n

si y sólo si:

2) Criterio del resto:

Si a

L í

m a =0, o bien

n converge, entonces

n

n =1

n

Si

L í

m a !=0, entonces

a no converge

n

n

n

n =1

3) Criterio de acotación: Una serie no negativa es

no convergente si y sólo si el conjunto de sumas

parciales es acotado.

4) Criterio de comparación: Supóngase que 0 < an

Si bn converge, entonces an converge

n =1

n =1

< bn " neIN, entonces:

30


5) Prueba o criterio del cociente: Supóngase que

Lím a / a = r entonces,

n+1

n

n

Si r < 1

a Converge

n

n =1

Si r > 1

a Diverge

n

n =1

Si r = 1 no podemos decir nada.

an " neIN y que

6) Criterio de la Integral: Supongamos que f es

positiva y decreciente en [1,

) y que f(n) = an,

entonces:

8.1.1. Convergencia Absoluta:

La serie:

an

n =1

se dice absolutamente convergente si la serie:

| a | es convergente

n

n =1

Teorema: Toda serie absolutamente convergente es

convergente. Además, una serie es absolutamente

convergente si y solo si, la serie formada con sus

31


términos negativos y la serie formada con sus términos

positivos son ambas convergentes.

8.2. Linealidad de las series convergentes:

Si

a y

b convergen y k es una constante, entonces:

n

n

n =1

n =1

K·a y

(a + b ) también convegen y además:

n

n

n

n =1

n =1

1)

K·a

K a

n =

n

n =1

n =1

2)

(a + b ) =

a + b

n

n

n

n

n =1

n =1

n =1

32


9. APLICACIONES DEL CÁLCULO

INTEGRAL EN COMPUTACIÓN

MATEMÁTICA.

Sabemos ahora que el cálculo integral tiene diversas

aplicaciones no solo en el campo de las matemáticas,

sino además en otras ciencias que no precisamente son

ciencias exactas.

Entre las aplicaciones más conocidas tenemos la

obtención de áreas delimitadas por curvas de cualquier

forma, así mismo la obtención del volumen de sólidos de

revolución.

El trabajo de los computólogos en el área de las

matemáticas se ha extendido hacia casi cualquier área

de conocimiento, actualmente la mayoría de las micro,

pequeñas y medianas empresas basan todos sus

movimientos con la ayuda de computadoras, y ahí se

centra la actividad principal de los Ingenieros y

Licenciados en Ciencias de la Computación.

Éstas actividades de las cuales hablamos que debe

desarrollar un computólogo son entre otras las que se

refieren a los siguientes puntos:

1) Generación de Software.

33


2) Creación

de

sistemas

que

coadyuven

al

mejoramiento de la comunicación entre empresas

e instituciones.

3) Comunicación y transmisión de información.

4) Generación de Hardware que haga cada vez más

eficiente

5) Investigación y desarrollo de los mecanismos

computacionales que existen actualmente.

Estamos de acuerdo en que el mundo actual sería un

caos sin la ayuda de las computadoras, artilugios que

hacen que la información requerida por una empresa

llegue en cuestión de segundos a su destinatario, pero

todo esto tampoco se podría llevar a cabo sin la ayuda

de lo que son precisamente las Ciencias de la

Computación, entre ellas, el Cálculo, y en esta ocasión

nos referimos especialmente al Cálculo Integral.

Una de las aplicaciones menos conocidas del entorno de

la Computación es la creación de software para la

generación de otros aparatos que facilitan la tarea de

otras personas no dedicadas al área de las matemáticas;

por ejemplo, que haría un físico-matemático si no

contara con un software que tenga como tarea primordial

el cálculo de funciones matemáticas, o la graficación de

éstas mismas, la labor de este tipo de científicos se

volvería muy tediosa, es por ello que en la actualidad se

genera software como el de Mathemática, Derive, Maple

y Theorist, los cuales pueden crear hermosas figuras de

objetos matemáticos, y además realizar muchos tipos de

cálculos incluyendo integración simbólica.

34


Entre otras aplicaciones del Cálculo se encuentras las

presentadas a continuación, que se refieren no

solamente a la Computación matemática:

35


9.1. NEGOCIOS.

Costos de transporte:

Una compañía de autobuses está dispuesta a alquilar

sus vehículos solo ha grupos de 35 o más personas. Si

un grupo consta de 35 personas, cada una paga US$60.

En grupos mayores, la tarifa de todas las personas se

reduce en 50 centavos por cada persona adicional.

Exprese los ingresos de la compañía de autobuses como

una función del tamaño del grupo, elabore la gráfica y

estime que tamaño del grupo maximizará los ingresos.

Costos de construcción:

Una caja cerrada, de base cuadrada, tiene un volumen

de 250 m³. El material de las partes superior e inferior de

la caja cuesta US $2 por m² y el de los lados, US $1 por

m². Exprese el volumen de la caja como una función de

la longitud de su base.

36


9.2. VOLUMEN:

A partir de una pieza cuadrada de cartón de 18 por 18

pulg ², quitando un pequeño cuadrado de cada esquina y

plegando las alas para formar los lados, construirá una

caja abierta. Exprese el volumen de la caja resultante

como una función de longitud x de un lado de los lados

eliminados. Elabore la gráfica y calcule el valor de x para

el cual el volumen de la caja resultante es el máximo.

37


9.3. ECONOMÍA:

Distribución de fondos:

Un fabricante planea vender un nuevo producto al precio

de US $150 por unidad y estima que si gastan x miles de

dólares en desarrollo e y miles de dólares en promoción,

los consumidores compraran aproximadamente (320y / y

+ 2)+(160x / x + 4) unidades del producto. Si los costos

de fabricación de este producto son US $50 por unidad,

¿cuánto debería gastar el fabricante en desarrollo y

cuanto en promoción para generar la mayor utilidad

posible en la venta de este producto? [nota: Utilidad =(N

º de unidades) (precio por unidad - costo por unidad) -

cantidad total gastada en desarrollo y promoción]

Ventas al por menor:

Una lechería produce leche entera y leche descremada

en cantidades x e y galones, respectivamente. Suponga

que el precio de la leche entera es p(x)=000-x, y el de la

leche descremada es q(y)=100-y. Suponga que C(x, y) =

x² + xy + y² es la función de costos conjuntos de los

productos. ¿Cuales deberían ser x e y para maximizar

las utilidades?

38


9.4. CIENCIAS SOCIALES:

Agotamiento de reservas:

Cierto gas raro usado en procesos industriales tenía

reservas conocidas de 3 exp 11 m³ en 1990. En 1991, se

consumía 1.7 exp 9 m³ del gas con un incremento anual

del 7.3% ¿cuando se agotarán las reservas conocidas

del gas?

Valor presente:

Una inversión garantiza pagos anuales de US $1.000 a

perpetuidad; empezando de inmediato con los pagos.

Halle el valor presente de esta inversión si la taza de

interés anual predominante permanece fija al 12%

capitalizado continuamente. (sugerencias: El valor

presente de la inversión es la suma de los valores

presentes de los pagos individuales.)

Control de calidad:

Tres inspectores se turnan para revisar componentes

electrónicos a medida que salen de una línea de

ensamblaje. Si el 10% de todos los componentes

producidos en la línea de ensamblaje son defectuosos,

halle la probabilidad de que el inspector que prueba el

primer componente sea el mismo que encuentra el

primer componente defectuoso.

39


10. MÉTODO DE LAS ARANDELAS

Cuando tenemos dos curvas, y la región que se forma

entre ellas se hace girar, formando un sólido de

revolución, es posible que se genere un agujero en el

centro, éstos discos se conocen con el nombre de

arandelas, en este caso para calcular el volumen de

dicho sólido se calcula el radio del círculo que se

engendra en el centro y además el del disco total, esta

será la base de nuestro cilindro, por lo cual para poder

calcular su área, necesitaremos el área de la base, que

se obtiene restándole al radio mayor el radio menor, el

resultado lo multiplicamos por ¶ y después por la altura,

observe la figura que viene a continuación:

r1

r1

h

V = A · h

V = ¶ ( r 2

2

2 - r1 ) · h

Figura 1

40


EJEMPLO 1: Encontrar el volumen del sólido generado

al hacer girar la región acotada por las parábolas y=x2 y

y2=8x en torno al eje X.

SOLUCIÓN: Para Dar solución al problema presente

veamos la siguiente gráfica, en ella observamos que

r1=x2 y r2= 8x y que los interceptos entre las curvas son el origen (0,0) y (2,4), por tanto el volumen del

sólidos que buscamos se encuentra entre la región [0,2],

sustituyendo en la fórmula dada en la Figura 1 tenemos

lo siguiente:

2

2

V = ¶ (8x - x4) dx = 8x2 - x5 = 45¶ = 30.16

0 2 5 0 5

y = x2

y = 8x

y

4

3

x

V = ¶ [ (

8

x )2 - ( x 2)2 ]

x

2

2

V = ¶( 8 x - x 4 ) dx

0

8x

1

x2

0

x

2

x

Figura 2

EJEMPLO 2: La región semicircular acotada por la curva

x = (4 – y 2 )1/2 y el eje y se hace girar alrededor de la recta x = -1, formular la integral que representa su volumen.

41


SOLUCIÓN: El radio exterior de la arandela es 1 + (4 –

y2)1/2 y el radio interior es 1, haciendo las sustituciones

requeridas tenemos lo siguiente:

y

x=-1

4

x=-1

2

2

3

V = ¶ [ (

1

+ ) -1 ]

y

1+

2

V = ¶ [ (

1

+ )2

2

-1 ] dy

-2

2

1

x

y

0

x

-1

-2

-3

Figura 3

42


11. MÉTODO DE LOS CASCARONES.

Considere una región del tipo que se muestra en la Figura 4. Si la rebanamos de manera vertical y la hacemos girar en torno al eje y,

generará un sólido de revolución , y cada rebanada generará una

pieza que es aproximadamente un cascarón cilíndrico. Para obtener

el volumen de este sólido, calculamos el volumen ∆ V de un

cascarón representativo, sumamos y tomamos el límite cuando el

grosor de los cascarones tiende a cero y de ahí obtenemos una

integral:

y

y

y = f(x)

x

f(x)

x

a

x

b

∆ V = 2π x f(x) ∆ x

a

V = 2π b x f(x) dx

Figura 4.

43


EJEMPLO 1: La región acotada por y = 1 / x1/2 , el eje x,

x = 1 y x = 4se hace girar entorno al eje y. Encontrar el

volumen del sólido resultante.

Solución: Con base en la Figura 4 vemos que el

volumen del cascarón que se genera es:

∆ V = 2π x f(x) ∆ x

esto para f(x) = 1 / x1/2, tenemos: ∆ V = 2π 1 / x1/2 x ∆ x, entonces el volumen se encuentra por medio de

integración:

V = 2¶ 4 x·1/ x1/2 dx = 2¶ 4 x1/ d

2

x

1

1

4

= 2¶[ (2/3)x3/2] = 2¶(2/3·8-2/3·1) = 28¶/3 = 29.32

1

EJEMPLO 2: La región acotada por la recta y = (r / h)x,

el eje x y x = h se hace girar en torno al eje x, y por ello se genera un cono (suponer que r>0, h>0 ), encontrar su

volumen por medio del método de los cascarones.

Solución: Siguiendo los pasos sugeridos por la Figura 5

tenemos que el volumen es:

44


V = r 2¶y (h-h/r · y)dy =

r

2¶ (y-1/r · y2) dy

0

0

r

= 2¶h[ y2/2-y3/3r] = 2¶h[r /

2 2-r /

2 3] = 1/3 ¶r h

2

0

y

V = 2¶y (h-h/r ·y) y

r

V = ¶ (h-h/r ·y) dy

0

x = h/r y

r

y

y

h- h/r y

h

x

Figura 5.

45


12. TEMA DE APLICACIÓN

Aplicación a resortes (Trabajo): De acuerdo con la ley

de Hooke en física la fuerza F(x) necesaria para

mantener un resorte estirado (o comprimido) x unidades

alargado (o acortado) de su longitud natural está dada

por F(x) = kx.

Aquí la contante k, es la constante del resorte y es

positiva

y

depende

del

resorte

particular

bajo

consideración, entre más rígido sea el resorte mayor

será el valor de k.

EJEMPLO 1: Si la longitud natural de un resorte es 0.2

metros y si es necesaria una fuerza de 12 newtons para

mantenerlo estirado 0.04 metros, encuentre el trabajo

hecho al estirar el resorte de su longitud natural a una

longitud de 0.3 metros.

Solución: Por la ley de Hook antes mencionada, la

fuerza requerida para mantener el resorte estirado x

pulgadas está dada por F(x)= kx. Para evaluar la

constante del resorte, k, para este resorte en particular,

observamos que F(0.04) = 12, por lo que k · 0.04 = 12 o

bien, k = 300, de modo que: F(x) = 300x.

Note que cuando el resorte tiene su longitud natural de

0.2 metros, x = 0, cuando tiene una longitud de 0.3

metros, x = 0.1, por tanto, el trabajo hecho al estirar el

resorte esta dado por:

46


0.1

300x dx = [15 x

0 2 0.1

Trabajo =

] = 1.5 Joules

0

0

Aplicación a bombeo de un líquido: Para bombear

agua de un tanque se requiere trabajo, para conocer esa

cantidad de trabajo debemos tomar en cuenta los

mismos principios básicos que tomamos con integración.

EJEMPLO 2: Encontrar el trabajo realizado al bombear

agua hasta el borde superior de u depósito, que es de 50

pies de largo y tiene extremos semicirculares de radio =

10 pies, si el depósito está lleno hasta una profundidad

de 7 pies (vea la figura).

50

10

7

Solución: Colocamos un extremo del tanque en un

sistema de coordenadas, como se muestra en la última

figura. Una rebanada horizontal representativa se

muestra en ambas figuras de éste ejemplo; esta

rebanada es aproximadamente una caja delgada , de

modo que calculamos su volumen multiplicando su largo,

ancho y grosor, su peso es su densidad, P = 62.4, por su

47


volumen. Finalmente, notamos que la rebanada debe

elevarse una distancia de –y (el signo menos es porque

en la figura y es negativa).

(100 - y2)1/2

Trabajo = P · 50[ 2(100-y2)1/

2 ] ( y)(-y)

-3

5

10

Trabajo = P 100 (100-y )

2 1/2 (-y) dy

10

-y

-3

-3

Trabajo = P 100 (10-y )

2 1/2 (-y) dx

y

10

-3

<--X

2 + y

2 = 100

Trabajo = 50P (10-y2)1/

2 (-2y) dy

10

-10

-3

Trabajo = [(50P)(2/3)(100-y )

2 3/2]

10

Trabajo = 100/3(91)3/ P

2

= 1 805 616 libras pies

48


13. BIBLIOGRAFÍA

1) Purcell Edwin J., Varberg Dale, Rigdon Steven E.,

(2001) Cálculo, Prentice Hall.

2) Microsoft Encarta Edición 2001.

3) (2002) Matemáticas VI, Benemérita Universidad

Autónoma de Puebla.

49


ACERCA DEL AUTOR.

Nace en la Ciudad de Puebla, México,

el 10 de Abril de 1984. Titulado como

Ingeniero en Ciencias de la

Computación por parte de la

Benemérita Universidad Autónoma de

Puebla. Sus trabajos más importantes

en los últimos años son los siguientes:

• Principios de Data Mining (2005).

• Principios de Geometría Analítica y Álgebra Lineal

(2004).

• La Integral: Un enfoque computacional (2004).

• Transmisión y Comunicación de Datos (2005).

• La Historia de un Gran Hombre (2008).

• Ventajas y Desventajas del Plan Puebla-Panamá

(2003).

• 10 panistas a los que hay que odiar (2009).

• Paisajes Poblanos, muestra fotográfica (2009).

• Principios de programación en C++ (2009).

Actualmente lleva a cabo el proyecto lafaBOOKS, una

editorial digital.

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la integral un enfoque computacional 2da edicion

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