la instauración histórica de la noción de vector como...
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La instauracin histrica de la nocin de
vector como concepto matemtico
CARLOS ADRIN ZEA SALDARRIAGA
UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE EDUCACIN Y PEDAGOGA
PROGRAMA ACADMICO MAESTRA EN EDUCACIN
CON NFASIS EN EDUCACIN MATEMTICA.
SANTIAGO DE CALI
2012
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La instauracin histrica de la nocin de
vector como concepto matemtico
CARLOS ADRIN ZEA SALDARRIAGA
Trabajo de grado presentado al Programa Acadmico Maestra en
Educacin con nfasis en Educacin Matemtica como requisito
para optar al ttulo de Magster en Educacin Matemtica.
Director
Dr. Luis Cornelio Recalde
UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE EDUCACIN Y PEDAGOGA
PROGRAMA ACADMICO MAESTRA EN EDUCACIN
CON NFASIS EN EDUCACIN MATEMTICA.
SANTIAGO DE CALI
2012
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UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE EDUCACIN Y PEDAGOGA
PROGRAMA ACADMICO MAESTRA EN EDUCACIN
CON NFASIS EN EDUCACIN MATEMTICA.
SANTIAGO DE CALI
2012
CARLOS ADRIN ZEA SALDARRIAGA, 1973
La instauracin histrica de la nocin de
vector como concepto matemtico
Materias o temas: Historia de las Matemticas, Educacin matemtica
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TABLA DE CONTENIDO
TABLA DE CONTENIDO .................................................................................................... 5
AGRADECIMIENTOS ......................................................................................................... 9
RESUMEN ........................................................................................................................... 10
INTRODUCCIN ............................................................................................................... 11
CAPTULO 1 ....................................................................................................................... 16
EL DESARROLLO HISTRICO DE LAS NOCIONES BSICAS DEL ANLISIS
VECTORIAL ....................................................................................................................... 16
1. Dos lneas del desarrollo histrico de la nocin de vector .......................................... 16
1.1 La lnea matemtica en el desarrollo del anlisis vectorial ..................................... 18
1.1.1 Las tres componentes epistemolgicas de la nocin de vector ...................... 18
1.1.2 Relaciones de los elementos de la triada implcitos en la nocin de vector ... 20
1. 1.3 El concepto de una geometra de situacin de Leibniz .............................. 41
1.2 El proceso de la representacin de los vectores ...................................................... 42
1.2.1 La representacin de los nmeros complejos y las magnitudes vectoriales 43
1.2.2 La propuesta de representacin de complejos de Wallis y Wessel ............. 44
1.2.3 La representacin de los complejos a finales del siglo XVII y principios del
XIX ............................................................................................................................... 48
1.2.4 La representacin de los complejos de Jean Robert Argand ........................ 50
1.3 La lnea fsica en el desarrollo del anlisis vectorial ............................... 52
1.3.1 Galileo y el movimiento compuesto ............................................................... 53
1.3.2 Newton y la matematizacin del movimiento ............................................... 57
1.3.3 Fourier y la matematizacin del calor ............................................................ 59
CAPTULO 2 ....................................................................................................................... 63
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LOS PROGRAMAS MATEMTICOS DE HAMILTON Y GRASSMANN ................... 63
2.1 William Hamilton y el surgimiento del anlisis vectorial ......................................... 64
2.2 Hermann Gunther Grassmann y el surgimiento del anlisis vectorial ..................... 65
2.2.1 Theorie der ebbe und flut de Grassmann ....................................................... 66
2.2.2 El sistema vectorial de Grassmann ................................................................. 68
2.2.3 Las bases filosficas del sistema de Grassmann ............................................ 69
2.2.4 La teora de las formas aplicada a los vectores .............................................. 70
2.2.5 Multiplicacin exterior de Grassmann ........................................................... 71
2.3 Difusin de los sistemas de Hamilton y Grassmann e incidencia en otras
investigaciones ..................................................................................................................... 73
2.3.1 Fundamentos del anlisis vectorial de Saint-Venant ...................................... 73
2.3.2 La translacin de una magnitud dirigida por Matthew Obrien ..................... 75
CAPTULO 3 ....................................................................................................................... 77
LA TRANSICIN DE LOS CUATERNIONES A LOS VECTORES .............................. 77
3.1 Los cuaterniones de Hamilton ........................................................................... 78
3.2 Caractersticas de los cuaterniones .................................................................. 81
3.3 Cantidades extensivas de Grassmann ................................................................ 83
3.4 Elementos del anlisis vectorial de Gibbs ....................................................... 85
3.5 Aportes de Oliver Heaviside al anlisis vectorial ............................................. 87
3.6 Aportes de William Kingdon Clifford al anlisis vectorial ............................... 89
3.7 La importancia de la creacin de los cuaterniones ........................................... 91
3.8 Los problemas de recepcin y difusin de los tratados de anlisis vectorial .... 91
CAPTULO 4 ....................................................................................................................... 95
TRATADO DE PETER TAIT ............................................................................................. 95
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4.1 Revisin del captulo I del tratado de Tait: de los vectores y su composicin ........ 96
4.1.1 Las cantidades imaginarias como rotaciones ................................................ 97
4.1.2 La definicin formal del vector como objeto matemtico............................ 100
4.1.3 La adicin de vectores .................................................................................. 101
4.1.4 Mltiplo escalar de un vector ....................................................................... 103
4.1.5 Componentes de un vector ........................................................................... 104
4.1.6 Interpretaciones fsicas ................................................................................. 105
Las curvas en el espacio ........................................................................................ 106
La matematizacin del movimiento. ..................................................................... 106
Descripcin de la velocidad instantnea ............................................................... 108
4.2 Revisin del captulo II del tratado de Tait ............................................................. 109
4.2.1 Razones vectoriales ...................................................................................... 110
4.2.2 Primera forma de representacin de un cuaternin ...................................... 112
4.2.3 Estructura algebraica de los cuaterniones .................................................... 113
La ley anticonmutativa para la multiplicacin de cuaterniones ............................ 113
4.2.4 Los , , en el sistema de Tait .................................................................... 115
4.2.5 Segunda forma de representacin de un cuaternin ..................................... 117
4.2.6 Tercera representacin de un cuaternin en forma general .......................... 119
Producto de vectores utilizando componentes ...................................................... 119
CAPTULO 5 ..................................................................................................................... 121
CONCLUSIONES ............................................................................................................. 121
5.1 Obstculo epistemolgico en la construccin histrica de la nocin de vector
.................................................................................................................................... 121
5.2 Nocin de vector desde diferentes contextos .................................................. 123
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5.3 Problemtica histrica presente en la formacin los conceptos matemticos . 128
5.4 Obstculo epistemolgico presente en la nocin de vector, desde una
concepcin geomtrica ............................................................................................... 131
5.5 El principio de permanencia como obstculo .................................................. 132
5.6 Obstculo epistemolgico en la ontologa de los nmeros negativos ............. 133
5.7 Importancia de Tait en la historia del anlisis vectorial .................................. 135
5.8 La presentacin axiomtica: el obstculo del formalismo .............................. 136
BIBLIOGRAFA ............................................................................................................... 139
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AGRADECIMIENTOS
Ante todo quiero darle gracias a Dios, a mi esposa y mi hijo Joseph Adrin Zea, por darme
cada da fuerzas para seguir luchando y alcanzar las metas que me propongo. Por brindarme
su confianza y sus consejos, que sirvieron de ayuda para comprender y entender mejor las
cosas. Por darme la fortaleza y el estimulo necesario, para la elaboracin de mi tesis. Le
pido a Dios que me los proteja, me los bendiga y me los guarde.
Doy gracias a Dios por darme la oportunidad de ser padre de un nio tan inteligente y
carioso como Joseph Adrin Zea, que es la razn de mi vida y no se alcanza a imaginar
cuanto lo quiero.
Gracias a mi madre y a mis hermanas por su apoyo incondicional y sus buenas energas
en todo momento de mi vida, que Dios las bendiga y las proteja. Nunca olviden, que las
quiero muchsimo.
Muchsimas gracias a mi director de tesis Luis Recalde, por su paciencia e insistencia
para iniciar y lo ms importante culminar mis estudios. Por ayudar a visualizar las ideas,
por ensearme a tener espritu de lucha, por sus consejos, colaboracin en cada momento
de mi vida, por su entrega y compromiso, sobre todo por la calidad de ser humano que lo
caracteriza.
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RESUMEN
En este trabajo de tesis se presentan algunos aspectos de la evolucin conceptual de la
nocin de vector. Los resultados se obtuvieron a partir de revisiones con trasfondo
histrico-epistemolgico. Se establecieron dos lneas de desarrollo histrico: la lnea
matemtica y la lnea fsica. Aunque se analizan algunos aspectos de la lnea fsica, en
especial en lo concerniente a la modelacin de algunos fenmenos naturales, nos centramos
en la lnea matemtica. Mostramos que la evolucin del lgebra genera el ambiente
propicio para acoger estructuralmente a estos nuevos objetos de naturaleza no
necesariamente numrica. La construccin histrica de la nocin de vector se fue
manifestando en la medida que se iban identificando elementos de causalidad de la triada:
magnitud, direccin y nmero. En este proceso contribuyeron matemticos de diferentes
entornos geogrficos, entre los que sobresalen Euclides, Descartes, Galileo, Newton,
Hamilton, Grassmann y Maxwell, entre otros. Dedicamos una parte de la tesis al libro
Elementary Treatise on Quaternions del matemtico y fsico escocs Peter Tait porque es
un texto clave para entender la instauracin del moderno anlisis vectorial.
Por ltimo planteamos algunas reflexiones en torno a nuestro anlisis histrico-
epistemolgico, con la finalidad que esta investigacin sirva de fuente de consulta, para
estudiantes y profesores, como para didactas e historiadores de las matemticas. Desde esta
perspectiva, pudimos identificar la presencia de algunos obstculos epistemolgicos que
podran ser utilizados como referencia en los procesos de enseanza y aprendizaje de los
cursos de lgebra lineal o anlisis vectorial.
Palabras Claves: anlisis histrico-epistemolgico, vector, cuaternin, obstculos
epistemolgicos.
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INTRODUCCIN
El lgebra lineal, clculo avanzado, teora electromagntica, anlisis vectorial, entre otros,
son cursos primordiales a la hora de entender el proceso de la matematizacin de algunos
fenmenos de la naturaleza. Estos cursos presentan un alto nivel de dificultad para los
estudiantes. Una de las razones de esto se debe a la introduccin de la nocin de vector, el
cual involucra un tratamiento operativo y conceptual diferente al que hasta ese momento
estaban acostumbrados los estudiantes.
Sabemos que el anlisis vectorial es una de las disciplinas ms importantes en la
matematizacin de la fsica. Histricamente, es una rama de las matemticas poco
estudiada. Generalmente, se desconocen los debates y discusiones que se dieron durante
muchos siglos para la adopcin de la nocin vector.
Es poca la bibliografa especializada sobre la evolucin histrica del anlisis vectorial
que circula en nuestro medio. En los libros de historia de las matemticas tpicos como El
pensamiento matemtico de la antigedad a nuestros das de Morris Kline (Klein, 1992),
Historia de las Matemticas de Carl Boyer (Boyer, 1987), Historia de las Matemticas de
Bourbaki N. (Bourbaki, 1972) y A History of vector analysis. The evolution of the ideas of
a vectorial system de Michael Crowe (Crowe, 1985), entre otros, encontramos fragmentos
dispersos con escaso anlisis epistemolgico. Estos libros no tienen una presentacin
secuencial o sistemtica del desarrollo de las nociones ligadas al anlisis vectorial.
Aportar en este sentido, es el objetivo principal de este trabajo de tesis. Desde esta
perspectiva, se intenta describir epistemolgicamente el desarrollo histrico de la nocin
vector de manera sistemtica, de tal suerte que los interesados puedan identificar algunos
elementos explicativos, que ayuden en los procesos de aprendizaje y enseanza del lgebra
lineal y del clculo vectorial. En otras palabras, se pretende exponer los elementos de
causalidad que permitieron la evolucin histrica de la nocin de vector.
La investigacin se realiz a la luz de tres conceptos fundamentales, presentes
implcitamente en la nocin de vector, que corresponden a la triada: nmero, magnitud y
direccin. Se analizan las relaciones condicionales presentes entre los elementos de la
triada y las controversias que se dieron para su conceptualizacin. La tesis se desarrolla en
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dos etapas: primero se hace un anlisis historiogrfico donde se muestra cmo fue
surgiendo la evolucin de la nocin de vector a travs de dos lneas como son la
matemtica y la fsica; segundo, se hace un anlisis epistemolgico de la instauracin de la
nocin de vector, mediante el uso de la triada: nmero, magnitud y direccin, la cual
muestra cmo mediante la relacin de estos tres aspectos dieron lugar a esta nocin. Para el
alcanzar el objetivo propuesto se han desarrollado cinco captulos.
En el primer captulo: El Desarrollo Histrico de las Nociones Bsicas del Anlisis
Vectorial, se describen las primeras huellas de un tratamiento vectorial. Para ello, se
identifican dos lneas diferentes pero interrelacionadas, una de ellas proviene
principalmente de las matemticas y la otra de la fsica.
En la lnea matemtica, se investiga la relacin intrnseca entre magnitud, direccin
y nmero. En este sentido se muestra que la construccin histrica de la nocin de vector
se encuentra fuertemente interrelacionada con tres aspectos fundamentales. Para ello se
inicia con un seguimiento evolutivo del concepto de nmero y su representacin. Desde
esta perspectiva, se toma como referencia la dicotoma entre nmero y magnitud, seguida
por Euclides, el problema de la solucin de ecuaciones y la primera representacin de las
cantidades negativas por parte de Descartes. De igual manera, se analiza la ampliacin de
los sistemas numricos, y el nacimiento de una nueva rama de las matemticas, en el
siglo XVII, como lo es el lgebra. En este sentido, se empiezan a construir expresiones
que permitan describir la modelacin de figuras y movimientos, tal como lo propone
Leibniz en su geometra de situacin.
Posteriormente, se aborda la problemtica de los diferentes intentos de representacin
de los nmeros complejos propuestas por John Wallis, Caspar Wessel, Gauss y Argand,
entre otros.
En la lnea fsica, presentaremos el desarrollo de una nueva teora matemtica
iniciada por Galileo, Newton y Fourier, entre otros, a la hora de intentar matematizar
algunos fenmenos de la naturaleza, lo cual dio lugar a la creacin de mtodos
vectoriales tales como el concepto de paralelogramo de fuerzas y velocidades.
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En el segundo captulo: Los Programas Matemticos de Hamilton y Grassmann, se
describen las dos ms fuertes tradiciones que ejercieron una gran influencia en el
surgimiento del anlisis vectorial moderno.
En el apartado 2.1, se exponen las ideas previas de Hamilton, relativas al descubrimiento
del lgebra del cuaternin. Precisamente, el descubrimiento de los cuaterniones acab con
la vieja tradicin del lgebra, instaurando el nacimiento de un lgebra moderna que
trascenda las viejas leyes operativas.
En el apartado 2.2, se describen las nociones bsicas que guiaron a Grassmann en la
construccin de su sistema matemtico muy similar al de Hamilton, pero un poco ms
complejo. Los trabajos de Grassmann son de una gran originalidad y su tratamiento
vectorial se acerca bastante a los tratamientos modernos.
En el apartado 2.3, se hace la presentacin de las ideas primordiales de otros sistemas
matemticos similares al anlisis vectorial moderno que fueron fuertemente influenciados
en su construccin por los sistemas de Hamilton y Grassmann.
En el tercer captulo: La Transicin de los Cuaterniones a los Vectores, se muestran los
diferentes aportes proporcionados por los matemticos a la hora de la formacin de la
nocin de vector que toman como referencia los cuaterniones de Hamilton.
El cuarto captulo: Revisin del Tratado de Peter Tait, est dedicado al anlisis de los
dos primeros captulos del libro de Tait, Elementary Treatise on Quaternions, el cual es
considerado como el texto clave para entender la instauracin del moderno anlisis
vectorial, ya implcito en Lectures on Quaternions de Hamilton.
Cabe destacar que Tait fue un seguidor de la produccin intelectual de Hamilton, y
dedic muchos aos de su vida a difundir las nociones que aparecan oscuras en las
publicaciones de Hamilton.
Aqu se ha utilizado la versin francesa del tratado de Tait, la cual fue traducida entre
1882 y 1884 de la segunda edicin inglesa de 1873. sta presenta varios artculos nuevos,
algunas demostraciones de geometra superior, teoremas importantes que no fueron
presentados en la primera edicin inglesa de 1867.
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En el quinto captulo presentamos algunas conclusiones generales relativas al estudio
realizado. Se trata de sintetizar los aspectos ms relevantes de la indagacin y aventurar
algunas hiptesis de ndole histrico-epistemolgico sobre la nocin vector.
Para la realizacin de este trabajo nos hemos centrado en muchos documentos de tipo
historiogrfico y principalmente nos hemos detenido en tres obras:
1. A History of Vector Analysis de Crowe (Crowe, 1985).
2. Le Nombre Une Hidra n Visages de Dominique Flament (Flament, 1997).
3. ElementaryTreatise on Quaternions de Tait (Tait, 1873).
Del libro de Crowe hemos utilizado la tercera edicin inglesa de 1994. Este texto es
considerado de referencia obligada para quien quiera tener un panorama genrico del
desarrollo del anlisis vectorial. Este trabajo sirvi de base para desarrollar muchos de los
aspectos historiogrficos plasmados en los primeros cuatro captulos.
Del libro de Dominique Flament se ha utilizado algunos artculos que tienen relacin
directa con el objetivo central de este trabajo. Vale la pena destacar, que son artculos de
buena profundidad conceptual. Principalmente, se ha tomado como referencia los siguientes
artculos:
1. Maxwell et la traduction intuitive du calcul vectoriel de Manuel G. Doncel.
2. Around and around: quaternions, rotations and Olinde Rodrigues de Jeremy Gray.
3. Vecteurs ? 151 ans de dloyaux services de Jacques Lavau.
4. Linteraction entre les dbats sur le statut des nombres ngatifs et imaginaires et
lmergence de la notion de segment orient de G. Schubring.
Una de las fuentes principales de esta investigacin es el libro de Peter Gthrie Tait
(1876) titulado Elementary Treatise on Quaternions, 1873. En este libro se vislumbra un
primer acercamiento de la construccin formal de la nocin de vector, a su vez presenta un
captulo en donde se expone las primeras ideas del moderno anlisis vectorial.
Es necesario reiterar que la importancia histrica del tratado de Tait no slo se debe al
hecho que contiene muchos conceptos fundamentales del moderno anlisis vectorial, sino
porque es un libro bsico en la socializacin del anlisis vectorial.
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Tait dividi su libro en dos tratados, de los cuales aqu hemos analizado los dos primeros
captulos del primer tratado. De estos captulos hicimos un estudio epistemolgico que nos
permiti analizar la primera nocin de la nocin de vector como clase de equivalencia.
Esperamos que de alguna manera, esta investigacin permita a los estudiantes y docentes
en ejercicio, tener una mejor aprehensin de la nocin de vector. Ms all de un caso
particular, se trata de que tomen conciencia de la importancia de los estudios histricos,
pues el conocimiento de la evolucin histrica de los conceptos nos muestra las razones
epistemolgicas que han dado lugar a las teoras modernas, lo cual tiene un alto valor en los
procesos de enseanza y aprendizaje de las matemticas.
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CAPTULO 1
EL DESARROLLO HISTRICO DE LAS NOCIONES BSICAS DEL
ANLISIS VECTORIAL
1. Dos lneas del desarrollo histrico de la nocin de vector
Histricamente, podemos reconocer dos afluentes importantes en el surgimiento de la
nocin de vector:
(i) El desarrollo del lgebra como disciplina abstracta que va acogiendo objetos no
necesariamente con caractersticas numricas.
(ii) La matematizacin de algunos fenmenos fsicos.
En este orden de ideas, la ampliacin de los sistemas numricos y la fundamentacin de
su campo terico permitieron el surgimiento de una nueva concepcin de lgebra. A inicios
del siglo XIX, el lgebra abstracta cumplan las operaciones de la aritmtica bsica. Con el
objetivo de justificar estas operaciones con expresiones literales que se conservaban en los
nmeros irracionales, negativos y complejos, George Peacock (1791-1858) concibi una
distincin entre lgebra aritmtica y lgebra simblica. Como primera medida lgebra
aritmtica trabajaba con smbolos representando los enteros positivos, es decir se permitan
operaciones que cumplieran la propiedad de cerradura. Mientras que el lgebra simblica
era un poco ms amplia, porque no tena restricciones a los enteros positivos. En otras
palabras, cualquier conjunto numrico deba de seguir cumpliendo este principio, como lo
manifest George Peacock.
Histricamente, el primero que hizo una separacin con el principio de permanencia de
forma establecido por el lgebra ordinaria de Peacock fue William Hamilton (1805-1865)
con la creacin de sus cuaterniones al abandonar la ley conmutativa de la multiplicacin. A
partir de este momento se comienza ampliar la concepcin de lgebra existente,
propiciando el nacimiento de otras nuevas lgebras las cuales no cumpliran el principio de
permanencia de forma.
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Aunque, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) sinti la necesidad de implementar la
concepcin de lgebra de una forma ms general, que le permitiera describir las entidades
geomtricas simblicamente. Es decir, el lgebra como estaba constituida no deca nada de
las construcciones geomtricas de una figura, en sntesis buscaba un sistema que sirviera
como un mtodo practico a la hora de analizar, interpretar y modelar la naturaleza, el cual
permitiera expresar una situacin, ngulos y movimientos.
Por otro lado, las primeras huellas de un tratamiento vectorial lo encontramos a
principios del siglo XVII, cuando la fsica exigi a la matemtica la descripcin cuantitativa
del movimiento. En ese momento primaba la tradicin explicativa aristotlica, y no se
contaba con un aparato analtico para describir un fenmeno tan sencillo como la velocidad.
Uno de los primeros pensadores que se propone este cometido es Galileo, quien establece
un tratamiento que se aleja de la tradicin aristotlica. En su famoso libro, Consideraciones
y Demostraciones Matemticas Sobre Dos Nuevas Ciencias (Galilei, 1978), Galileo utiliza
repetidamente unos diagramas de velocidades, similares a la representacin triangular
usada por el matemtico, italiano, Nicols Oresme en el siglo XIV. Adems, de esta
misma poca datan los trabajos del matemtico holands Simn Stevin (1548-1620), quien
formul explcitamente el principio del paralelogramo de fuerzas.
En la descripcin de la trayectoria del movimiento parablico, Galileo se dio cuenta que
se compona de un movimiento horizontal y otro vertical; para describirlo era necesario
combinar estos dos movimientos mediante una nueva operacin suma, la cual no se poda
realizar por los medios convencionales; haba necesidad de incorporar un nuevo mtodo. A
partir de aqu, se evidencia un momento histrico donde los matemticos sienten la
necesidad, por un lado de constituir un nuevo campo terico con sus nuevos entes
denominados vectores, los cuales son elementos terico-prcticos que se mostraron
fundamentales en la modelizacin de fenmenos fsicos.
Durante el siglo XVIII, diferentes entidades fsicas exigan un cambio de representacin
debido al surgimiento de cantidades con un nuevo estatus, las cuales no eran representables
en el marco estructural existente. En esencia, lo que se buscaba era un lenguaje matemtico
que describiera algunos fenmenos fsicos. En este orden de ideas, Newton se da a la tarea
de matematizar la fuerza resultante que es causada por la suma de dos fuerzas individuales
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aplicables a un cuerpo, este problema lo soluciona mediante la representacin del
paralelogramo de fuerzas o velocidades. Otros de los aportes importantes de
matematizacin de la naturaleza, en la lnea que nos interesa, lo encontramos en la teora
analtica del calor, incorporada por el matemtico francs Joseph Fourier. En este tratado,
Fourier establece relaciones fsico-matemtica, con un mtodo, en el cual incorpora objetos
cuantificadores, pero que no corresponden a nmeros propiamente dichos.
1.1 La lnea matemtica en el desarrollo del anlisis vectorial
Matemticamente hablando, el desarrollo del anlisis vectorial se enmarca en una
problemtica conceptual de ms de veinte siglos que gir en torno a la ontologa de los
nmeros. El marco del universo numrico se fue ampliando por las exigencias en la
bsqueda de soluciones a las ecuaciones. La teora de ecuaciones evolucion en la medida
que el lgebra se constitua como nueva disciplina matemtica, y con la emergencia de la
geometra analtica.
Algunas de las nuevas disciplinas matemticas fueron manifestndose como resultado
directo o indirecto de la ampliacin de los sistemas numricos. Para entender un poco este
proceso es indispensable que tengamos en cuenta el marco conceptual, que influy en el
desarrollo de las nociones matemticas. Los aspectos fundamentales de esta discusin se
pueden localizar en la antigedad griega. En este orden de ideas, es importante conocer el
desarrollo evolutivo del concepto de nmero y su representacin, como la relacin
intrnseca entre nmero, magnitud y direccin, que permitieron el nacimiento de la nocin
de vector.
1.1.1 Las tres componentes epistemolgicas de la nocin de vector
Las diversas investigaciones como: Maxwell et la traduction intuitive du calcul vectoriel de
Manuel G.Doncel (Doncel, 1997), Around and around: quaternions, rotations and Olinde
Rodrigues de Jeremy Gray (Gray, 1997), Vecteurs ? 151 ans de dloyaux services de
Jacques Lavau (Lavau, 1997) y Linteraction entre les dbats sur le statut des nombres
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ngatifs et imaginaires et lmergence de la notion de segment orient de G. Schubring
(Schubring, 1997) realizadas en torno a la nocin vector, muestran que su construccin
histrica se encuentra fuertemente ligada a tres aspectos fundamentales: Nmero, Magnitud
y Direccin. En si cada uno de estos aspectos, a su vez, presentan dificultades en su
aprehensin, en la comunicacin de saberes y en su enseanza-aprendizaje causando mayor
desconcierto en el momento de entender la construccin formal de la nocin de vector.
Precisamente, el problema central que abordamos en esta tesis fue el de realizar un
anlisis histrico-epistemolgico de la evolucin de la nocin de vector, estableciendo una
red de causalidades en torno a las nociones de nmero, magnitud y direccin. Esto lo
haremos mediante el uso de la triada, la cual nos mostrar que la nocin de vector se
estableci histricamente a partir de las diversas tensiones entre estos tres aspectos, como
se muestra en la figura 1.
Estas posibles interrelaciones de la triada nos permitirn acceder un poco a la
construccin formal de la nocin de vector. En este sentido, pretendemos encontrar otras
clases de relaciones entre las componentes de la triada. A su ves, instaurar los elementos de
causalidad que propicien una mejor comprensin de la nocin vector.
Figura 1. Muestra los elementos de la triada implcitos en la definicin formal de
vector y las posibles interrelaciones entre dichos elementos.
VECTOR
DIRECCIN (Sentido)
NMERO MAGNITUD
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Con el objetivo de tener un panorama genrico de la secuencia de esta investigacin,
podemos ubicar unos grandes momentos en la instauracin de la nocin de vector en el
siguiente esquema.
Vale la pena resaltar que al final profundizaremos en cada uno de estos aspectos.
1.1.2 Relaciones de los elementos de la triada implcitos en la nocin de vector
Paralelogramo
de
representacin
de fuerzas
La instauracin
histrica de la
nocin de vector
como concepto matemtico
Matemtica
Teora
Primaria de
nmeros y
magnitudes
Teora de
ecuaciones
Representacin
de las
cantidades
numricas
lgebra
lineal
Fsica
Movimiento
Cuaterniones
de Hamilton
Formalizacin
de la nocin
de vector
Axioma
del espacio
vectorial
Matematizacin
del calor
Matematizacin
del
electromagnetismo
VECTOR
MAGNITUD
DIRECCIN
(Sentido) NMERO
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Relacin nmeromagnitud
Antes de abordar esta relacin, es necesario analizar de alguna manera la naturaleza
ontolgica de los objetos matemticos y el tipo de existencia que ellos poseen.
Filosficamente hablando, se pueden distinguir dos puntos de vista bsicos:
i. El realismo platnico (Platn 427-347 a. C.).
ii. El constructivismo nominal aristotlico (Aristteles 384-322 a. C.).
Desde una visin del realismo platnico, las matemticas estn formadas por un
universo de objetos que existen independientemente del mundo fenomenolgico y de
nosotros. Los objetos matemticos no necesitan de ningn soporte material y especulativo,
para tener vida propia, como lo hace notar Descartes:
Cuando imagino un tringulo, encuentro que no ha podido estar en ningn lugar del mundo o
de mi pensamiento una tal figura, sin embargo, hay una cierta naturaleza de forma, una esencia
determinada de esta figura, la cual es inmutable y eterna, que no he podido inventar y que no
depende, de ninguna manera, de mi espritu (Descartes, 1947).
Por otro lado, tenemos el punto de Aristteles (384-322 a. C.), quien instaura una
ontologa de los objetos matemticos en su obra: Metafsica. Para Aristteles, existen tres
doctrinas que tienen como finalidad el ser en sus diversas designaciones:
i. La fsica: se encarga del estudio de los seres de acuerdo a su movimiento, sin
importar su esencia ni sus accidentes. Aristteles era reacio a investigaciones de tipo
cuantitativas, su principal inters era el estudio de cualidades sensibles. Es por esta
razn que la categora de la cantidad aparece en un plano secundario.
ii. La teologa: estudia el ser en cuanto al ser.
iii. La matemtica: estudia los seres pero no en cuanto a su movimiento, sino
simplemente en cuanto son cuerpos ya sea sin ninguna dimensin, de una dimensin,
de dos dimensiones o de tres dimensiones.
Para Aristteles los objetos matemticos son seres abstractos, desposedos de
materialidad, accidentales e inmviles. Accidentales porque provienen del mundo fsico.
Los objetos matemticos son construidos por medio de un ejercicio mental de abstraccin y
generalizacin llamada aphairesis, en el cual el matemtico elimina las propiedades
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sensibles, quedndose nicamente con aquellas que tienen que ver con la cantidad y la
forma.
Basado en el enfoque del constructivismo nominal aristotlico, Euclides desarroll su
programa matemtico; es necesario tener en cuenta esto para entender el manejo que le dio
Euclides a la teora de nmeros y magnitudes. Euclides las presenta bien diferenciadas en
dos lneas tericas. No obstante, intent construir vas de contacto entre ellas;
concretamente, entre las magnitudes conmensurables y los nmeros.
A finales del siglo IV los pitagricos, consideraban los nmeros como la naturaleza
sustancial de las cosas o como su origen, como lo afirma Aristteles en esta cita:
En tiempo de estos filsofos y antes que ellos, los llamados pitagricos fueron los primeros que,
dedicados a las matemticas, impulsaron esta ciencia. Absorbidos por los estudios de la
matemtica, llegaron a creer que los principios de los nmeros eran los principios de todos los
seres. (Aristteles, 1999)
Desde este enfoque, la tesis pitagrica planteaba que el nmero es una estructura
determinada, descriptible aritmticamente, que est inmersa en las cosas y constituye su
naturaleza propia. En esencia, el pensamiento pitagrico planteaba que la naturaleza de las
cosas hay que reducirla al nmero a las leyes determinables numricamente. Es decir, en
las cosas hay una estructura determinada por nmeros a manera de una construccin
aritmtica, que permite reconocer cualidades inherentes a las cosas. Desde este punto de
vista, los nmeros constituyen la base de la medida de todas las cosas.
La propuesta de Euclides era sistematizar todos los conceptos matemticos existentes; su
libro, Elementos, responde a una necesidad terica de la cual l es el intrprete.
Precisamente, lo axiomtico constituye la base primordial del modelo euclidiano, el cual
sirve para dar respuesta a la problemtica surgida, por un lado, con la aparicin de las
magnitudes inconmensurables y, por otro, con la emergencia de las paradojas de Zenn de
Elea (489?-430 a. C.). Estas paradojas, evidenciaron el problema que conlleva a la
descomposicin de un segmento finito en un nmero ilimitadamente creciente de partes.
-
23
Sea un segmento finito de 0 a 1 y su punto medio; ahora procedemos a sealar el
nuevo punto medio del segmento de
a 1, y as ilimitadamente, como lo muestra la
figura 2:
De la figura 4, tenemos que
, es una suma infinita de
trminos. Aqu evidenciamos, de acuerdo a las concepciones aristotlicas, que la primera
experiencia de adicin y divisibilidad infinita en la matemtica y en la fsica nos conduce a
paradojas.
Con la aparicin de las magnitudes inconmensurables en los procesos de medicin, la
concepcin de nmero se complica. Por esta razn, se ve necesario hacer un estudio de su
naturaleza ontolgica.
El problema de lo inconmensurable tiene sus antecedentes en la escuela pitagrica. Una
de las primeras evidencias de las magnitudes inconmensurables corresponde a la medida de
la diagonal D, del cuadrado con uno de sus lados L. Utilizando reduccin al absurdo, se
demuestra que no se pueden encontrar dos nmeros, y tales que . Otro
ejemplo, aparece cuando se requiere medir de la diagonal de un pentgono regular con uno
de sus lados, que da lugar a la razn continua, llamada razn urea. Esta demostracin
utiliza un procedimiento denominado Antiphaeresis1, el cual es el proceso de encontrar la
mayor magnitud que mida a otras dos magnitudes dadas. Este proceso, aplicado a los
nmeros se utiliza para encontrar el mximo comn divisor entre dos nmeros aplicando el
algoritmo de Euclides para la divisin, como se muestra a continuacin:
Sean , nmeros y , debemos de encontrar el mximo comn divisor entre ellos,
procedemos de la siguiente manera:
1 De una manera formal se encuentra en el libro VII de los Elementos de Euclides para los nmeros y en el
libro X para las magnitudes.
1
Figura 2: Muestra la descomposicin de un segmento finito de 0 a 1 en un
nmero indefinido de partes.
-
24
Figura 3 Muestra como Euclides media el segmento mediante una comparacin sucesiva con el
Si dividimos entre , por el algoritmo de la divisin, tenemos que ,
donde es el primer cociente y el primer residuo. Despejando , tenemos que:
. Ahora si dividimos entre y por el mtodo de recurrencia, tendremos
lo siguiente:
.
.
.
De lo anterior podemos concluir:
i. Si , entonces el MCD de los nmeros dados y es .
ii. , donde , entonces el MCD de los nmeros y es .
Este mismo proceso se puede aplicar a las magnitudes, cuando necesitamos hallar la
mayor magnitud que divida a otras dos magnitudes dadas, as:
Sean y segmentos y , debemos de encontrar el mximo comn
divisor entre ellos, procedemos as:
Al segmento le restamos el segmento nos queda el segmento , como lo
muestra la figura 3:
Ahora si , le restamos el segmento al segmento , si sobra continuamos
este proceso, as sucesivamente. Despus de todo este proceso anterior, si llegamos a un
segmento , por el algoritmo de la divisin, podemos decir que existe un nmero
talque . De aqu concluimos que:
-
25
(i) Si , se puede decir que mide a un nmero exacto de veces.
(ii) Si , entonces no mide a un nmero exacto de veces.
En esencia, el proceso mediante el cual se miden dos magnitudes se llama Antanairesis;
consiste en comparar dos segmentos, y , y determinar las veces que uno de los
segmentos est contenido en el otro. Si sobra un pedazo de segmento se sigue comparando;
en caso de que este proceso finalice en un nmero finito de pasos, se denominan
magnitudes conmensurables; pero en caso contrario, se denominan magnitudes
inconmensurables.
Modernamente, los segmentos y son conmensurables si existe y tales que:
.
En caso contrario, son inconmensurables si para todo , cumple que:
.
En estas consideraciones aparece un tratamiento opuesto entre los nmeros (arithmos) y
las magnitudes continuas (megethos); entre lo aritmtico y lo geomtrico. Esto es debido a
la concepcin filosfica de la naturaleza ontolgica del nmero que enmarca unos
lineamientos a seguir. El nmero es finitamente divisible y la magnitud lo es de manera
infinita. En este sentido, para Aristteles, la matemtica constituye una doctrina terica que
da cuenta de la cantidad. Concibiendo por cantidad, aquello que es divisible en elementos
constitutivos. Desde esta perspectiva, Aristteles reconoce dos tipos de cantidades:
i. Los nmeros que son divisibles en partes no continuas.
ii. Las magnitudes que pueden dividirse en partes continuas.
En este orden de ideas, la filosofa aristotlica est marcada por un precipicio conceptual
entre lo geomtrico y lo aritmtico. De esta filosofa se nutri Euclides para constituir sus
postulados, definiciones y axiomas. Es por esta razn, que Euclides sigue la misma
disparidad entre estos dos conceptos, tanto as que desarroll una teora para cada uno. Por
ejemplo, en el libro V desarroll la teora para magnitudes, mientras que el libro VII la hace
para nmeros2. Sin embargo, es de singular importancia, en la lnea de indagacin que nos
2 Vale la pena resaltar que en los libros VII, VIII y IX, Euclides trabaja la aritmtica, estableciendo de alguna
forma en trminos modernos las operaciones y razones entre nmeros naturales y sus propiedades, como lo
plantea Luis Recalde en su libro Lecciones de Historia de las Matemticas, 2001.
-
26
convoca, constatar un tratamiento operacional entre los nmeros y las magnitudes, muy
semejante al producto entre vectores y escalares. Este tratamiento se percibe
fundamentalmente en el libro V, que lo dedica al estudio de las magnitudes. Los conceptos
base de este captulo son los de razn y proporcin.
Definicin V.3: Razn es una relacin cualquiera entre dos magnitudes homogneas respecto de su
cantidad. (Euclides, 1999, pg. 787).
En esta definicin se evidencia que la razn entre dos magnitudes establece una relacin
cuantitativa entre ellas.
Definicin V . 4: Se dice que dos magnitudes tienen razn cuando se puede multiplicar una de
ellas de modo que supere la otra (Euclides, 1999, pg. 787).
En esta definicin, la operacin de multiplicar una magnitud se refiere a tomar un
nmero determinado de copias de ella: S i representa un segmento, significar:
En este sentido, la definicin 4 expresa que dos magnitudes y tienen razn si existe
un nmero , tal que . Adems, modernamente podemos ver que esta
multiplicacin esboza, de alguna manera, la operatividad entre entidades diferentes: los
nmeros y las magnitudes. Aunque Euclides no utiliza la simbologa moderna ni la
conceptualizacin moderna, podemos vislumbrar una prefiguracin de la multiplicacin de
un vector por un escalar. Este aspecto va a tomar fuerza en la definicin de proporcin:
Definicin V. 5: Se dice que la razn de una primera magnitud con una segunda, es la misma que
la de una tercera con una cuarta cuando, tomando cualquier mltiplo de la primera y de la tercera y
de la segunda y cuarta, el mltiplo de la primera es mayor, igual o menor que el de la segunda,
segn que el de la tercera sea mayor, igual o menor que el de la cuarta (Euclides, 1999, pg. 787).
veces
-
27
Esta definicin manifiesta que si tenemos cuatro magnitudes , , y , entonces y
estn en la misma razn que y , cuando para todo y se establece lo siguiente:
i. Si entonces, .
ii. Si entonces, .
iii. Si entonces, .
En el mismo sentido anterior, si pensamos en el universo de los segmentos euclidianos y
su respectivo universo numrico, podemos vislumbra, en las primeras cuatro proposiciones
del libro V, propiedades de los espacios vectoriales:
Proposicin V.1: Dado cualquier nmero de magnitudes, sean cuales fueran. Equimltiplos de
otras magnitudes en igual nmero, cualesquier que fueren las veces que de una de ellas sea
mltiplo de alguna, ese mltiplo ser de todas las dems (Euclides, 1999, pg. 790).
El enunciado de la proposicin V.1 puede ser traducido, como la ley distributiva de la
multiplicacin de un escalar sobre la suma de vectores:
Proposicin V.2: Si una primera magnitud es el mismo mltiplo de una segunda, que una tercera
lo es de una cuarta y una quinta es el mismo mltiplo de la segunda, que una sexta lo es de una
cuarta, la primera y la quinta juntas sern el mismo mltiplo de la segunda que la tercera y la sexta
lo son de la cuarta (Euclides, 1999, pg. 790).
Esta proposicin muestra en forma moderna la propiedad distributiva de la suma de
escalares con respecto a la multiplicacin por un vector.
Proposicin V.3: Si una primera magnitud es el mismo mltiplo de una segunda que una tercera lo
es de una cuarta, y se toman equimltiplos de la primera y la tercera, tambin por igualdad cada
una de las dos magnitudes tomadas sern equimltiplos, respectivamente, una de la segunda y la
otra de la cuarta (Euclides, 1999, pg. 790).
Este enunciado puede ser traducido, como la ley asociativa de la multiplicacin de
escalares:
-
28
Proposicin V.4: Si una primera magnitud tiene con una segunda, la misma razn que una tercera
con una cuarta, los equimltiplos de la primera y la tercera tendrn la misma razn que los de la
segunda y la cuarta tomados en su orden (Euclides, 1999, pg. 790).
Modernamente, proposicin V.4 es :
Si , entonces .
Proposicin V.5: Si una magnitud es el mismo mltiplo de otra, que una magnitud restada a la
primera lo es de otra restada a la segunda; la magnitud que queda de la primera ser tambin el
mismo mltiplo de la magnitud que queda de la segunda que la magnitud entera de la magnitud
entera (Euclides, 1999, pg. 790).
En trminos modernos el enunciado de la proposicin V.5 puede ser visto, como:
Si , entonces
De las proposiciones anteriores del libro Elementos de Euclides, podemos concluir que
si se interpreta de manera conveniente, constituye una de las propiedades del producto entre
escalares y vectores.
Esa forma de combinar nmeros y magnitudes es utilizada por Euclides para desarrollar
su teora de magnitudes. Incluso en el libro X, proposicin 5, establece una correspondencia
explcita entre lo aritmtico y lo geomtrico, como se nota en la siguiente proposicin:
Proposicin X.5: Las magnitudes conmensurables guardan entre s la misma razn que un nmero
guarda con un nmero (Euclides, 1999, pg. 791).
Fue a principios del siglo XIX que Ren Descartes (1596-1650), en su libro La
Geometra3 concibe una relacin intrnseca entre nmero y magnitud. Descartes, estableci
que las magnitudes lineales, al igual que los nmeros, no slo se pueden sumar y restar,
sino adems multiplicar, dividir y extraerle la raz cuadrada. Para ello introduce un
segmento unidad, con el fin de dotar a los segmentos de una operatividad aritmtica, como
a los nmeros y es aqu donde empieza a operar las magnitudes al igual que a los nmeros.
Esto lo hace aplicando la Teora de Proporciones de Euclides.
3 (Descartes, 1947).
-
29
Figura 4: Muestra como Descartes realizaba la multiplicacin de dos segmentos y ,
mediante la utilizacin del segmento unidad y la Teora de Proporciones.
Ren Descartes y la representacin geomtrica de cantidades negativas
Esta relacin se dio gracias a la necesidad de representar las cantidades negativas en un
sentido opuesto al positivo. La representacin de las cantidades negativas fue incorporada
por Descartes en la solucin de las ecuaciones de tercer grado; esto lo hace en el libro III,
cuando se propone solucionar el problema de la triseccin del ngulo a partir de parbolas,
crculos y slidos. Es aqu donde se vislumbra una clara evidencia de la adopcin de las
races negativas como solucin de ecuaciones. Desde esta perspectiva, estas races son
aceptadas de un modo operativo, simplemente como cantidades, sin el estatuto de nmero.
Con Descartes se ampla el campo numrico en cuanto a su representacin y
operatividad, porque empieza a vislumbrar la posibilidad de la existencia de otros tipos de
nmeros, a parte de los positivos con una ontologa propia.
Descartes inicia su proyecto geomtrico definiendo una operatividad para las
magnitudes semejante a la de los nmeros. Para ello ve la necesidad de introducir una
nueva magnitud, la cual llam unidad. sta le permiti trasladar las operaciones de los
nmeros al campo de las magnitudes, como se evidencia a continuacin.
Para el producto de dos segmentos y , se define con base a la cuarta
proporcional. Es decir, con respecto a los segmentos dados, se traza el segmento
paralelo al segmento y se define el segmento como la unidad. De acuerdo a
la figura 4, por teora de proporciones, se tienen que:
-
30
Luego por ley fundamental de las proporciones tenemos que:
Como = 1, sustituyndolo en la ecuacin anterior, entonces se tiene que
Posteriormente, para la divisin de dos segmentos Descartes busca encontrar la cuarta
proporcional de acuerdo a la figura 5:
Por teora de proporciones aplicado a la figura 5, se tiene que:
, sustituyendo
= 1, se tiene:
Adicionalmente, utiliz su mtodo para extraer la raz cuadrada a un segmento .
Tomando como segmento unidad = 1, se traza el segmento , tal que
. A continuacin, se dibuja una semicircunferencia cuyo dimetro es ,
como muestra la figura 6, as:
Figura 5: Muestra como Descartes realizaba la divisin de dos segmentos y , mediante la
utilizacin del segmento unidad y la Teora de Proporciones.
Figura 6: Muestra como Descartes extrae la raz cuadrada a un segmento , mediante
la utilizacin del segmento unidad y la Teora de Proporciones.
-
31
Por Teora de Proporciones tenemos que:
, aplicando la ley fundamental de las
proporciones, tenemos que: 4, o lo que es lo mismo
, dado que = 1.
Descartes utiliza esta maquinaria de la teora de las proporciones y el lgebra de
representacin de segmentos para la solucin de ecuaciones algebraicas. En otras palabras,
por medio de la geometra analtica, se instaura un poderoso mtodo de solucin de
ecuaciones.
La bsqueda de procesos algortmicos mediante los cuales resolver ecuaciones
cbicas, y de mayor grado, abri el camino para el fortalecimiento del lgebra, como una
nueva rama de las matemticas. A travs de esta disciplina, se ampla el marco de las
operaciones de la aritmtica bsica, y a su vez propicia el desarrollo de una nueva
simbologa a la hora de representar los nuevos nmeros. Aunque estos son aceptados de
un modo operativo, colocando en cuestin su naturaleza ontolgica.
En el siglo XVI, proliferan las investigaciones y los debates en torno a la solucin de
ecuaciones polinmicas de grado , de la forma . Esto dio lugar a debates y
discusiones de varios matemticos italianos de la talla de Nicolo Fontana (1500-1557),
Girolamo Cardano (1501-1576)5 y Rafael Bombelli (1526-1573), centrando sus esfuerzos
en encontrar algoritmos que resolvieran ecuaciones cbicas.6 Precisamente Cardano,
encontr soluciones complejas, pero las rechaz por no encontrarles ninguna aplicabilidad
ni ninguna representatividad geomtrica. Por su parte Nicolo Fontana, conocido como
Tartaglia, ha pasado a la posteridad como uno de los ms grandes algebristas, pues fue el
primero en conseguir un algoritmo para la solucin de las ecuaciones cbicas. Sin embargo,
no tuvo claridad respecto a las soluciones negativas y complejas. En este sentido, los
aportes de Descartes fueron decisivos.
4 Algunos historiadores interpretan la definicin V.9 de los Elementos de Euclides: si tres magnitudes estn
en proporcin, se dice que la primera tiene una razn duplicada de la que tiene la segunda, como una
definicin del producto entre magnitudes. 5 Estos mtodos de solucin de ecuaciones de Cardano (1501-1576) aparecieron sistematizados en su
libro Ars Magna. 6 Niccolo Tartaglia (1500-1557) las resuelve llevndolas a una simbologa algebraica particular
(Recalde, 2001, pg. 104).
-
32
2
En primer lugar, Descartes resuelve ecuaciones de segundo grado, ,
donde , son cantidades lineales. Para ello, construye un tringulo rectngulo de
lados
y ; luego traza una circunferencia con centro en O y radio
, donde la
lnea es la tangente a ella, como muestra la figura 7:
Entonces, el segmento corresponder a la solucin , pues dado que el segmento
, se tendr por medio de segmentos formados por tangentes y secantes que
( ) 7. Este es un proceso que permite obtener, de una forma geomtrica, las
soluciones positivas de una ecuacin.
Posteriormente, Descartes resuelve la ecuacin de la forma ( ) ,
para ello traza una circunferencia de radio
, como muestra la figura 8:
7 Para llegar a esta ecuacin algebraica Descartes utiliza la proposicin 36 del libro III de los Elementos: Si
desde un punto exterior a un crculo le trazan dos rectas, una de las cuales lo corta y la otra solo lo toca, el
rectngulo comprendido por toda la recta secante y su parte exterior entre el punto y la periferia convexa del
crculo equivale al cuadrado de la tangente. En otras palabras, si se trazan un segmento tangente y un
segmento secante desde un punto exterior a un circulo, entonces, el cuadrado de la longitud del segmento
tangente es igual al producto de las longitudes del segmento secante por su segmento secante externo.
Figura 7: Muestra como Descartes resuelve ecuaciones cuadrticas de la forma
, donde , son cantidades lineales, mediante la utilizacin de
segmentos formados por tangentes y secantes.
-
33
2
2
2
Desde el punto de la circunferencia, se traza el segmento tangente .
Supongamos ahora el segmento , entonces
, y dado que el
tringulo es rectngulo, adems , tenemos que:
(
)
(
)
Resolviendo la ecuacin anterior, tenemos que:
Ahora de acuerdo a la figura 10, tomamos , entonces
,
y dado que el tringulo es rectngulo, tenemos que:
(
)
(
)
Para que los casos anteriores tengan sentido deber cumplirse que ; en caso
contrario, las soluciones de las ecuaciones seran races imaginarias, las cuales careceran
de representacin geomtrica. Descartes tomaba las races imaginarias como cantidades
necesarias para la solucin de ecuaciones.8 Vale la pena recordar que Girolamo Cardano
8 Descartes dice: si el crculo que tiene su centro en y pasa por el punto no toca ni corta la lnea , no hay ninguna raz de la ecuacin, de manera que pueda asegurarse que la construccin del problema propuesto es imposible. Luis Recalde, Lecciones de Historia de las Matemticas, Pg.133.
Figura 8: Muestra como Descartes resuelve ecuaciones cuadrticas de la forma ( )
, donde , son cantidades lineales, mediante la utilizacin de segmentos
formados por tangentes y secantes.
-
34
(1501-1576) en 1845, solucion un problema algebraico que consista en encontrar dos
nmeros cuya suma era 10 y cuyo producto fuera 40. Cardano plante una solucin formal
del problema, que suministraba la raz cuadrada de un nmero negativo denominados
nmeros ficticios y comprob efectivamente que cumplieran las propiedades requeridas.
Aunque los nmeros imaginarios aparecieron en el lgebra en la solucin de ecuaciones, los
progresos en su tratamiento no se dieron en el lgebra, sino bajo la influencia de las
necesidades imperiosas del anlisis matemtico. Precisamente, en los marcos del anlisis
gradualmente se buscaban e introducan las reglas de las operaciones formales con los
nmeros imaginarios y complejos.
La representacin de cantidades negativas fueron incorporadas por Descartes en la
solucin de las ecuaciones de tercer grado; esto lo hace en el libro III, cuando se propone
solucionar el problema de la triseccin del ngulo, como lo detallamos a continuacin.
Se desea trisecar el ngulo ; entonces tracemos el arco de la circunferencia
unitaria. Aplicando el Mtodo Analtico de Descarte, suponemos el problema resuelto y
luego procede a definir:
Sea la cuerda conocida y l a cuerda desconocida, como se
muestra en la figura 9:
Figura 9: Muestra como Descartes resuelve ecuaciones de tercer grado, cuando se
propone solucionar la triseccin del ngulo .
-
35
2
De acuerdo a la construccin se tiene, , por semejanza de
tringulos, resulta:
Como y , entonces por ley fundamental de las proporciones, tenemos
que: .
Similarmente se tiene que , por semejanza de tringulos, nos da:
Luego por sustitucin
. y reemplazando el segmento , ahora por
ley fundamental de las proporciones, se obtiene la siguiente ecuacin:
9
Descartes not que esta ecuacin no satisfaca la solucin a lo Tartaglia, entonces,
procedi a solucionarlo por medio de parbolas, crculos y slidos10
, de la siguiente
manera:
Sea la trayectoria la parbola, descrita por la ecuacin , donde es el eje
de la parbola. Supongamos los segmentos
,
,
. Tracemos el
segmento por el punto D, perpendicular al eje de la parbola e igual a
. Ahora con
radio y centro en E se traza la circunferencia AFG, como se muestra en la figura 10:
9 Descartes aplic el mtodo de Tartaglia para solucionarlo.
10 La eleccin de curvas para la resolucin geomtricas de las ecuaciones fueron tomados de la geometra
analtica. Esto se debi porque permitan con mayor facilidad resolver ecuaciones algebraicas a partir de la
construccin de curvas. Por ejemplo, LHopital, Sterling, Bernoulli, Newton, Cramer y Fourier, entre otros,
llegaron a la idea de construir las races de la ecuacin,
. Como los puntos de interseccin de la curva
, y la recta .
Posteriormente, estas construcciones se basaron en la suma de las curvas: ,
,,
.
-
36
Las races de la ecuacin estn dadas por las lneas perpendiculares al eje de la parbola
trazadas desde los puntos de interseccin entre la parbola y la circunferencia, tal es el caso
de los puntos y .
Observando la grfica podemos dar cuenta de los sentidos de ubicacin de estos puntos,
los cuales son opuestos; aqu se vislumbra una clara evidencia de la adopcin de las races
negativas como solucin de ecuaciones. Desde esta perspectiva, estas races son aceptadas
de modo operativo, simplemente como cantidades, sin estatuto de numrico.
Vale la pena resaltar que Girolamo Cardano (1501-1576), no slo admite en su libro Ars
Magna, el concepto de los nmeros negativos, sino que formula las leyes que los
gobiernan. Adems, predice otro tipo de nmero que denomin ficticio o sofisticado,
correspondiente a la raz cuadrada de un nmero negativo.
Figura 10: Muestra como mediante la utilizacin de parbolas, crculos y
slidos, Descarte dio solucin a la ecuacin - .
-
37
Posteriormente, el matemtico francs Girard Desargues (1591-1661) en 1629, propuso
que las soluciones absurdas de una ecuacin algebraica deberan ser aceptadas por las
siguientes razones:
i. Ellas substituyen la falta de otro tipo de soluciones.
ii. Podran dar una regla general que permitiera determinar las races de ciertas
ecuaciones.
iii. Todo esto nos muestra los cambios sustanciales en la solucin de problemas
geomtricos, como la triseccin del ngulo, los cuales no se pueden resolver en la
tradicin geomtrica euclidiana.
iv. A su vez tienen en todo caso su propia utilidad.
Con Descartes, el mtodo algebraico empieza a mostrar toda su potencia. Sin embargo,
en los trabajos de Vieta ya se alcanza a vislumbrar el mtodo analtico cartesiano11
. Vieta
introduce su lgebra speciosa, que alcanza una completa simbolizacin con Descartes,
cuya notacin no difiere en lo esencial de la actualmente empleada. Los smbolos literales
del lgebra speciosa tienen una significacin general. Es decir, que pueden indicar
nmeros, superficies, cuerpos, tiempos, pesos, etc. De igual forma, para Descartes el
anlisis era un mtodo poderoso que serva de gua para solucionar problemas de toda
ndole; los problemas geomtricos constituan uno de los tantos campos de aplicacin.
Relacin magnituddireccin
Este tipo de relacin se puede vislumbrar en los trabajos de Grassmann, donde empieza a
combinar los conceptos de longitud y direccin, cuando introduce las magnitudes
extensivas, las cuales son hipernmeros con componentes. Esta relacin presenta
problemas, puesto como todos sabemos la direccin viene dada por la medida de ngulos y
la definicin misma de ngulos presenta problemas porque, a su vez, es una magnitud, pero
11 En esencia, los fundamentos de toda la Geometra de Descartes se sitan dos ideas:
i. La introduccin de una magnitud variable. ii. La utilizacin de las coordenadas rectangulares (cartesianas)
-
38
se mide de manera diferente a las de longitudes, entonces, la pregunta sera qu tipo de
magnitud es?
1.1.2.1 La representacin de las cantidades negativas y el concepto de
segmento dirigido
Jean Robert Argand (1768-1822) interpret los nmeros negativos como una extensin de
los nmeros positivos. Para Argand, la fundamentacin de los nmeros negativos se daba
como consecuencia de la fusin entre direccin y magnitud. La representacin de las
cantidades numricas a travs de magnitudes, permiti representar las cantidades negativas
en un segmento orientado, de acuerdo a un proceso que se detalla a continuacin.
Sea el segmento de lnea con centro en . Ahora si lo hacemos rotar 180 en
sentido contrario a las manecillas del reloj, obtenemos el segmento de lnea , pero con
direccin opuesta a , como muestra la figura 11:
Podemos observar aqu, esta idea de direccin corresponde a un antecedente importante
en la bsqueda de una representacin geomtrica para los vectores. De antemano esto nos
ndica que, histricamente, el concepto de vector no slo est ligado al concepto de
segmento dirigido, sino a la evolucin de los nmeros negativos12 .
La historia de los nmeros negativos es un captulo aparte con sus discusiones, ajustes,
problemticas en las cuales tuvieron mucho peso los valores culturales y sociales, como lo
12 Aunque ya DAlambert haba dado algunas puntadas en su clebre artculo de la Enciclopedia.
Figura 11: Muestra la clara evidencia de la existencia de los nmeros negativos, cuando hacemos
rotar 180 en sentido contrario de las manecillas del reloj un pedazo de segmento
con centro en , generando el mismo segmento pero en direccin contraria.
Algebraicamente es: - .
-
39
ha hecho notar Schubring en su artculo L interaction entre les dbats sur le statut des
nombres ngatifs et imaginaires et l mergence de la notion de segment orient,
(Schubring, 1997).
En el siglo XV, aparecieron los primeros textos matemticos con tratamiento de
nmeros negativos. En esa misma poca los negativos no slo representaban cantidades,
sino que tambin se operaba con ellos. Precisamente en esta poca se introduce la tradicin,
que durar varios siglos, de aceptar el funcionamiento operatorio de lo negativo como
races de ecuaciones algebraicas, aunque se pona en tela de juicio su naturaleza ontolgica.
A principios del siglo XVIII, el matemtico francs Pre Charles Ren Reyneau (1656-
1728), en su tratado La Science du Calcul des Grandeurs en Gnral (1728), clarifica la
naturaleza de las cantidades. Para ello, realiza la introduccin de cantidades negativas
atendiendo a la direccin y dice que las magnitudes negativas son tan reales como las
positivas. De igual forma Grassmann no le vea ningn problema en aceptar lo negativo
como geomtricamente idneo. Mientras que el matemtico Bernard Fontenelle (1657-
1757), en su libro lments de la Gomtrie de linfini (1727), hace una reflexin sobre
las cantidades negativas, la cual extiende a las cantidades imaginarias. Posteriormente,
incorpora la idea de magnitudes positivas o negativas como objetos numricos (nmero o
cantidad) y especficos (opuesta a otra), porque respectivamente dan cuenta de una
longitud y una direccin.
El matemtico francs, Caspar Wessel (1745-1818), en su ensayo La Represntation
Analytique de la Directin (1798) contribuy al esclarecimiento sobre la naturaleza de las
cantidades negativas e imaginarias; adems, extendi los conceptos de segmento y
direccin, al igual que sus operaciones; esto le permiti introducir la nocin de distancia
como segmento absoluto.
Por su parte, Lazare Nicolas Margurite Carnot (1753-1823), en su libro De La
Corrlation des Figures de Gomtrie (1801), retoma las concesiones de DAlembert y de
Bernard Fontenelle (1657-1757). Establece dos tipos de relacin para todas las partes de
una figura geomtrica, las cuales son:
i. Relacin de Magnitud: tiene que ver con los valores absolutos de las cantidades
la medida.
-
40
ii. Relacin de Posicin: describe una situacin, es decir, si un punto est a la derecha
o izquierda de un plano, arriba o abajo, etc.
Las concesiones sobre las cantidades opuestas de DAlembert y Lazare de Carnot estn
consignadas en la Mmoire sur les Quantits Imaginaires (1806) de Adrien-Quentin Bue
(1748-1826), donde hace una reflexin sobre la naturaleza de las cantidades negativas,
estableciendo dos tipos de signos, as:
i. Operacin Aritmtica: + para la adiccin y - para la sustraccin.
ii. Operacin Geomtrica: indica direcciones opuestas.
En su ensayo Une Manire de Reprsenter les Quantits Imaginaires dans les
Constructions Gometriques (1806), Argand parte del anlisis de la naturaleza de las
cantidades negativas, interpretndolas como una extensin de las positivas, pero en un
sentido opuesto. Adicionalmente, Argand manifest que aquellas magnitudes que no
resistan tal interpretacin las llam imaginarias. Precisamente en los trabajos de
Grassmann se da una fuerte discusin sobre el estatuto de los nmeros negativo e
imaginarios y la nocin de segmento dirigido.
Uno de los ms importantes matemticos, en la evolucin de la nocin de vector, fue C.
V. Mourey (1817-1878). En su libro La Vraie Thorie des Quantits Ngatives et des
Quantits Prtendues Imaginaires (1828), rechaza el lgebra para operaciones negativas y
propone remplazarla por una nueva rama de la geometra mediante un clculo de segmentos
orientados, de la siguiente manera:
Dos caminos son seguidos, si el trmino de uno origina el del otro, algebraicamente
sera:
La suma de dos caminos inversos es cero, algebraicamente se expresara, as:
La igualdad de dos caminos como independientes de un origen comn.
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1. 1.3 El concepto de una geometra de situacin de Leibniz
Entre la variada gama de contribuciones matemticas hechas por Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646-1716), podemos resaltar su nocin de geometra de situacin, en la cual
vislumbra la salida conceptual que le permite constituir un mtodo para el estudio del
anlisis del espacio.
Leibniz no estaba conforme con los mtodos de representacin de la matemtica porque
se mostraban incapaces de describir situaciones arbitrarias de manera sencilla, as como el
lgebra describa las magnitudes. Incluso el lgebra, tal como estaba constituida, no daba
cuenta de todas las propiedades y caractersticas de una figura ni de sus construcciones
geomtricas (por ejemplo, era incapaz de describir una posicin, un movimiento o una
rotacin, un ngulo, etc.). Es por esta razn, que Leibniz sugiere otro tipo de lgebra para
representar las entidades geomtricas. Un lgebra en la cual los smbolos fueran operados
directamente, y a partir de esas operaciones se pudieran deducir ciertas conclusiones. Sin
embargo, Leibniz no tuvo xito en tal empresa, pues nunca pudo resolver los problemas de
operatividad con las nuevas entidades.
Desde la perspectiva de Leibniz, la matemtica deba tener un carcter rigurosamente
deductivo, y expresarse en una notacin precisa: la characteristica universalis. As habra
de surgir la denominada lgebra universalis, con dos campos primordiales: la logstica y
la caracterstica combinatoria, es decir, una matemtica simblica de la cantidad y de
la cualidad. Desde esta visin de lgebra, Leibniz buscaba constituir un cuerpo terico
anlogo a lo que posteriormente se convertira en nuestro anlisis vectorial. En sntesis,
Leibniz sembraba as el germen de lo que sera esta nueva rama de las matemticas
denominada lgebra. Por consiguiente, con la ayuda de esta nueva lgebra buscaba modelar
figuras y movimientos apoyndose en la idea de congruencia de conjuntos de puntos. En
otras palabras, el objetivo principal de Leibniz era construir un sistema el cual permitiera el
uso de coordenadas geomtricas, a la hora de representar figuras, es decir, una geometra de
posicin. Sin embargo, l fall a la hora de desarrollar estos mtodos prcticos.
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1.2 El proceso de la representacin de los vectores
El desarrollo evolutivo de la nocin de vector fue fuertemente influenciado por el proceso
de incorporar el concepto de segmento dirigido y la representacin geomtrica de los
nmeros complejos. En este sentido, no es posible comprender a cabalidad la historia de la
representacin de los vectores si antes no realiza un estudio del proceso de ampliacin del
universo de los sistemas numricos. Como se ha dicho antes, este aspecto tena relacin con
las concepciones que se tena sobre el lgebra. Por ejemplo, matemticamente, las
cantidades negativas no se consideraban numricas, sino como elementos conceptuales que
aparecieron en la solucin de ecuaciones algebraicas.
Histricamente es necesario que tengamos en cuenta las concepciones que se tenan del
lgebra a principios del siglo XIX. Para algunos, como George Peacock (1791-1858), D. F.
Gregory, Augustus De Morgan (1806-1871) entre otros, se tenan dos tipos de lgebra:
i. lgebra Aritmtica: la cual trabajaba con smbolos para representar los enteros
positivos y sus operaciones cumplan la propiedad de cerradura.
ii. lgebra Simblica: adoptaba las reglas del lgebra aritmtica, pero sin ninguna
restriccin.
De lo anterior, los matemticos de la poca esperaban que cualquier otro tipo de lgebra
debiera de cumplir las reglas bsicas que dictaba el lgebra simblica.
Por otro lado, la aceptacin de representar las cantidades numricas como magnitudes,
permiti caracterizar las cantidades negativas en un segmento orientado opuesto al positivo.
Es de recordar que desde Euclides se fund la tradicin aristotlica, manteniendo una
disolucin entre los nmeros y las magnitudes. No obstante, Euclides intent un
acercamiento cuando trata de establecer una relacin entre las magnitudes conmensurables
y los nmeros, pero esto es solo de referencia. Fue Descartes, quien en su libro La
Geometra, realiz una correspondencia entre los nmeros y las magnitudes con la
introduccin de su segmento unidad, permitindole as operar las magnitudes igual como
lo hace con los nmeros.
Descartes, en la solucin de ecuaciones algebraicas como con la
condicin de que , encuentra races imaginarias, las cuales no tenan una
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representacin geomtrica, slo eran utilizadas operativamente. Posteriormente, vislumbra
la existencia de otros tipos de nmeros como son los negativos cuando resuelve el problema
de la triseccin del ngulo, como lo vimos anteriormente. Estas cantidades fueron
prximamente representadas en la misma recta numrica de los positivos, pero en un
sentido opuesto. Esto propici la necesidad de resaltar que los nmeros complejos aparte
ampliar el sistema numrico, son elementos fundamentales en las ciencias fsicas a la hora
de la formulacin de sus teoras, como por ejemplo en la mecnica cuntica.
1.2.1 La representacin de los nmeros complejos y las magnitudes
vectoriales
A principios del siglo XIX, los matemticos utilizaban con libertad los nmeros reales y
complejos, pero sin una definicin rigurosa. Simplemente, se consideraban como cuerpos
tericos que cumplan las leyes bsicas que dictaban el lgebra simblica. No se conocan
las propiedades particulares de cada campo, pues se careca de un estudio de la estructura y
la lgica de los diversos tipos de nmeros. Fue slo hasta finales del siglo XIX, con
Richard Dedekind (1831-1916) y Georg Cantor (1845-1918), que se logr caracterizar
rigurosamente el conjunto de los nmeros reales. Durante muchos aos predomin el
lgebra simblica: una estructura en la cual las operaciones entre smbolos cumplan la
clausuratividad y la conmutatividad, como propiedades bsicas.
En 1843, Hamilton acab con este esquema fundamentando la definicin de los
nmeros complejos y sus operaciones; para ello adopt la representacin geomtrica como
puntos o segmentos de rectas dirigidos en el plano.
La revelacin de los nmeros complejos hizo viable transitar del lgebra bsica de los
nmeros reales a un lgebra doble de los nmeros complejos. Muchos matemticos
pensaban que estos dos tipos de lgebra eran las nicas posibles, y que, por lo tanto no se
poda llegar a un lgebra triple o cudruple.
A comienzos del siglo XIX, matemticos de la talla de Caspar Wessel (1745-1818), Carl
Friedrich Gauss (1777-1855), Robert Argand (1768-1822), Abb Bue (1748-1826), C. V.
Mourey (1817-1878) y John Warren (1811-1874), entre otros, implementaron la estructura
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algebraica de los nmeros complejos13
a los vectores, es decir la representacin de los
nmeros complejos como parejas ordenadas les permiti trabajar con los vectores como
puntos en el plano cartesiano. De esta forma se volvi normal servirse de la estructura
algebraica de los nmeros complejos para representar las fuerzas en dos dimensiones
cuando se aplicaba a un objeto. En este momento, la representacin del nmero complejo
como pareja ordenada, empezaba a mostrar su potencia. Es por esta razn, que el sistema
vectorial bidimensional est basado sobre la representacin geomtrica de los nmeros
complejos, pero no es tan til como el sistema vectorial tridimensional que se refiere a un
sistema matemtico aplicado al espacio tridimensional.
1.2.2 La propuesta de representacin de complejos de Wallis y Wessel
El primer intento (fallido) de una representacin geomtrica de un nmero complejo fue
hecho por John Wallis (1616-1703) en el siglo XVII. En su lgebra de 1685, mostr como
representar geomtricamente las races complejas de una ecuacin cuadrtica con
coeficiente real, a pesar de que eran tan absurdas como las races negativas. Para Wallis, era
claro que si se poda representar los nmeros negativos en una lnea recta, tambin podra
representar los nmeros complejos en un plano. Desde este enfoque, fue el primero en
sugerir que los nmeros imaginarios podran representarse en una recta perpendicular al eje
de los nmeros reales. Esto le permiti representar geomtricamente un nmero complejo
de la siguiente manera:
Trazamos una lnea recta horizontal en la cual la parte real de la raz era simbolizada, a
partir de un cierto origen: hacia la derecha si el nmero era positivo o hacia la izquierda si
el nmero era negativo. Despus de ser ubicado el nmero sobre la recta, se dibujaba una
13 En una publicacin titulada Ars Magna de 1545 encontramos la primera evidencia escrita de los nmeros
complejos por parte de Girolamo Cardano (1501-1576) e igualmente aqu introduce los mtodos seguidos
para la resolucin de la ecuacin cbica.
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lnea perpendicular cuya prolongacin simbolizaba el nmero multiplicado por - 14,
que nos daba la parte imaginaria de la raz, como muestra la figura 12:
Su sucesor noruego Caspar Wessel (1745-1818) en un ensayo Sobre La Representacin
Analtica de la Direccin, en 1799, elabor un procedimiento de interpretacin de los
nmeros complejos. En la introduccin de este ensayo manifiesta su objetivo, como lo
podemos notar en esta cita:
El presente artculo trata la cuestin de cmo podemos representar una direccin de forma
analtica; esto es, cmo expresaremos rectas (segmentos rectos) de tal manera que en una ecuacin
que arroje como resultado una recta desconocida y otras conocidas, la longitud y la direccin de la
recta desconocida puedan ser expresadas.
De acuerdo a la anterior cita, podemos notar que su objetivo no era justificar el nmero
complejo, sino determinar la forma de representar su direccin analticamente; sin
embargo, su trabajo paso desapercibido. Posteriormente, public los nmeros complejos
como entidades que pueden ser adicionadas, sustradas, multiplicadas, y divididas.
14 Nuestro sistema notacional se debe ms en gran medida a Leonhard Euler (17071783), que a cualquier
otro matemtico. l introduce el smbolo para denotar la unidad imaginaria - , en una memoria titulada
De Formulis Differentialibus Angularibus de 1777. Adicionalmente, propuso el uso de la letra griega en el
clculo, como smbolo para la suma de un nmero infinito de rectngulos, como aproximacin al rea
limitada por una curva.
Figura 12: Muestra la forma como John Wallis representaba el nmero
complejo
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Wessel, a la hora de dibujar el vector en trminos de nmeros complejos, utilizo un
sistema de ejes coordenados perpendiculares, considerando +115
: unidad rectilnea positiva
y - : unidad perpendicular con origen comn +1. Entonces, un vector puede ser
expresado por el nmero complejo , representando un segmento de lnea
desde el origen en su plano de unidades +1 y , como lo muestra la figura 13.
Desde esta perspectiva, cualquier lnea en un plano puede ser representada
analticamente de la siguiente forma:
,
donde , es la longitud del segmento .
Esto le permiti expresar la adicin de dos segmentos de una forma algebraica, as:
.
Esta expresin, geomtricamente representa la diagonal del paralelogramo generado por
las dos lneas tomadas como vectores. Cuando Wessel introduce algebraicamente el
concepto producto de lneas prefigura la definicin instaurada por Hamilton de producto de
nmeros complejos:
.
15 Wessel estableci la regla del producto de ngulos: +1 con ngulo 0, 1 con ngulo a 180
y + =
90. Luego defini ciertos productos entre ellos: (+1)(+1) = +1, (+)(+1) = +, (1)() = +, ()()
= + 1, (+1)(1) = 1, ( +1)() = y (+)(+) = 1.
Figura 13: Muestra como Caspar Wessel en su plano de unidades +1 y ,
representaba el nmero complejo , por medio del segmento
orientado .
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Posteriormente, Wessel inicia la construccin de tres lneas perpendiculares a partir del
centro de una esfera, las cuales eran colineales a los radios designados por , , , donde
es el radio de la esfera. En este sentido, manifestaba que cualquier punto en el espacio
podra ser representado por el vector,
Luego Wessel defini , al igual que Hamilton por analoga a los
nmeros complejos ordinarios. En cuanto a la multiplicacin de vectores la interpret como
una rotacin y extensin de un vector sobre otro, as:
( ) ( )
El objetivo de Wessel era utilizar rotaciones, de tal suerte que se comporta de la
siguiente forma:
: representa una rotacin de 90 en contra de las manecillas del reloj.
- : representa una rotacin de 90, es decir, en el sentido contrario de las
manecillas del reloj.
Otra manera de visualizarlo sera:
donde ,, es el smbolo de multiplicacin y es el ngulo de rotacin en grados.
La ecuacin anterior representa la rotacin del vector , un ngulo
alrededor del eje o , muy similar a la interpretacin de los cuaterniones de Hamiltn.
Ahora,
representa la rotacin del mismo vector, pero con un ngulo alrededor del eje o .
Wessel no discuti la rotacin alrededor del eje , por ser de difcil representacin, tales
como:
y .
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En este orden de ideas, buscaba desarrollar un mtodo de anlisis aplicable al espacio
tridimensional, pero no pudo lograrlo.
Aunque debemos reconocer que de acuerdo a lo anterior, Wessel tuvo la nocin de
espacio vectorial.
1.2.3 La representacin de los complejos a finales del siglo XVII y principios del
XIX
A principios del siglo XVIII, Jean Le Rond DAlembert (1717-1783) y Leonhard Euler
(1707-1783) demostraron que cada expresin, que contiene magnitudes imaginarias, se
puede escribir de la forma:
donde y son nmeros reales.
En el siglo XIX Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y Augustn Louis Cauchy
(81789-1857), introdujeron y fundamentaron las operaciones con los nmeros de la forma:
, implantando el trmino nmero complejo.
En el ao de 1799, Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), resalta la importancia
matemtica de los nmeros complejos al tomarlos como base en la primera demostracin
del Teorema Fundamental del lgebra, la cual vuelve y la retoma en la cuarta
demostracin en 1848. Su objetivo, radicaba en demostrar la existencia de estos nmeros
como una solucin de un polinomio donde sus races
complejas corresponden a puntos del plano.
Por otra parte, en 1821 Cauchy encontr el mdulo de un nmero complejo y Gauss
su norma en 1828 e igualmente definieron el concepto conjugado de un nmero
complejo. No obstante, Agustn Louis Cauchy (1789-1857) en su Cours dAnalyse (1821),
va muchos all cuando estudia el Teorema Fundamental del lgebra sobre un polinomio
, cuyos coeficientes son complejos. De esta manera, rompe con la antigua concepcin,
segn la cual los coeficientes eran reales, sin importar que tuvieran races complejas. El
teorema se expresa mediante una descomposicin de factores lineales, del polinomio
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de la forma ( ( ) )16
Cauchy muestra, que el polinomio satisface la siguiente condicin:
, cuando , donde ,
Al realizar esta prueba no slo tiene en cuenta las nociones bsicas de los nmeros
complejos, sino que examina meticulosamente su campo.
Para Cauchy los nmeros complejos son expresiones simblicas que no tienen ningn
significado en s mismos, pero que histricamente tienen vnculo con los nmeros reales.
Por esta razn, trata de unificar el anlisis real con el anlisis complejo. Para ello intenta
implementar las propiedades de los nmeros reales a los nmeros imaginarios y as
clarificar la naturaleza ontolgica de tales nmeros. No obstante, debe estudiar las
propiedades de los nmeros imaginarios y sus operaciones.
En su ensayo Teora de los Residuos Bicuadrticos del 23 de Abril de 1831, Gauss
plantea una correspondencia biunvoca entre puntos del plano con los nmeros complejos17.
Gauss introduce la representacin , que identifica con la pareja ordenada del
plano cartesiano. Aunque ya Gauss haba introducido este aspecto en Demonstratio Nova
de 1799, fue en esta ocasin que logr popularizarla, pues le permiti describir la adicin y
multiplicacin geomtrica de los nmeros complejos. A partir de aqu, Gauss incorpor el
trmino de nmero complejo y us el smbolo para representar 18
, haciendo la
siguiente observacin:
Este tema (de las magnitudes imaginarias) ha sido tratado hasta ahora desde un punto de vista
errneo, rodeado de una misteriosa oscuridad, y esto es debido a la utilizacin de una