la geometrìa
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La GeometríaPor: Yivelis Samudio
La R
ecta
Ya indicamos que una ecuación de
segundo grado con dos variables es el
del tipo:A+Dx+Ey+F=0Si consideramos únicamente el
polinomioA+C+Dx+Ey+F con A=C=0 queda:
Dx+Ey+F como D, E, F son números
reales cualesquiera, podemos sustituir
estas letras, respectivamente por A,
B, C, y obtener:Ax+By+C Este polinomio es una
función lineal, y al igualarlo a cero
obtenemos la ecuación de la recta en
su forma general
En el cual A, B, C son números reales
con A y B no simultáneamente iguales
a cero.
Ax+By+C=0
Ax+By+C=0
Eje
mplo
s de
ecu
ació
n lin
eal
2x+3y-5=04y-6=03x+5=0
Como el exponente de cada literal es uno, la ecuación es de primer grado y, en
consecuencia, como
ya lo sabemos desde
secundaria, se representa con una recta.
Inclin
ació
n
de u
na re
ctaa
a
Una recta no paralela al eje x que lo interseque, forma un angulo a comprendido entre 0° y 180°, lo cual se expresa así: 0°< a < 180° al ángulo formado a se le llama inclinación de la recta, conocimiento fácil de comprender, pero poco útil en matemáticas.
Eje
mplo
:
Traza una recta que pase por el punto (3,0) y cuya inclinación sea de 35°.
35°
Pendie
nte
de
una re
cta
En lugar de la inclinación,
emplearemos el concepto
que corresponde a la
pendiente de una recta.
Observamos que dicha
función es positiva para
ángulos del primer
cuadrante, que comenzamos
en cero para ángulos a 0°, y
crece en forma continua
hasta que en el angulo de
90° su valor lo expresamos
con +∞ en donde cambia de
signo a -∞ para ser negativa
en el segundo cuadrante,
cuyo valor se obtiene con el
angulo relacionado que se
expresa: Tan(180°- a)= -tan a
Deducción de
la fórmula
para obtener
la pendiente
de una recta.Debemos determinar
la pendiente de la recta que pasa por los
puntos a(x1,y1) y B(x2,y2)
Eje
mplo
s
Para ello, trazamos una paralela al eje x
que pase por A y otra
al eje Y que pase por
B, con lo cual se forma
el triángulo ABC.Los ángulos son
iguales por ser correspondientes entre paralelas .
La función tangente α en
el triangulo ABC es:Tan α = BC = y2-y1 AC x2-x1
A[X,.Y1]
C[X2,Y1]
B[x2,y2]
Recta
s para
lela
s y
perp
endicu
lare
s
Si dos rectas tienen la
misma pendiente, son
paralelas , aun cuando
la tangente del ángulo
sea +∞ ó - ∞, pues
entonces las rectas
perpendiculares al eje
X son paralelas entre
sí.Dos
rectas son
perpendiculares si la
pendiente de una
recta es la recíproca
negativa de la otra.
Com
pro
bació
n
La pendiente de la recta L1 ES m1 y su inclinación α1.La recta L2 es la
perpendicular a la recta L1,
su pendiente es m2 y su inclinación α2.
L1 L2
En consecuencia , el ángulo en que se
intersecta L1 con L2 es una ángulo recto.
Recordamos el teorema que señala que,
en todo triángulo, un ángulo exterior es
igual a la suma de los ángulos interiores
no adyacentes a él. En consecuencia:
α2= 90°+α1Por trigonometría sabemos que :
Tan(90°+α1)=cot α1Sustituyendo el valor de α2 queda:
Tan α2=- cotα= - 1 tan α1
Que, expresado en términos de pendientes,
queda
M2= -1 m1 Condición para que 2 rectas sean perpendiculares
Proble
mas e
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entre
dos
punto
s y la e
cuació
n d
e la
recta.
Calcula la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que siempre equidista
de dos puntos dados A(-1,3) Y B(4,-2).
BOSQUEJA LA GRÁFICA
Ejemplo
OTR
O T
IPO
DE
PR
OB
LEM
AS D
E
REC
TAS PA
RA
LELA
S Y
PER
PEN
DIC
ULA
RES
EJEMPLO Calcula el valor de K para
la recta kx+(k-2)y-16=0
sea paralela a la recta
4x+3y+7=0
Recta determinada por punto-pendiente
Recta determinada por dos puntos
Recta detrminada por pendiente – intersección
Recta determinada por las dos
intersecciones de los ejes coordenados
Formas de la ecuación de una recta
Anteriormente hemos deducido
las condiciones de una recta
determinada por dos
condiciones y que al resumirlas
nos referimos a ellas con el
nombre de formas de ecuación
de una recta
Coeficientes de la ecuación de la recta
Transformación de las
diferentes formas de la
ecuación de una recta a la forma general ax+by+c=0
Transformación de la forma general de la ecuación de la recta a la forma común, a la
forma simétrica y a la representación gráfica.
A) De forma punto-pendiente
B) De forma dos puntos
C) De forma común
D) De forma simétrica
Forma normal de la ecuación de una recta
La recta L queda determinada por la longitud de su perpendicular trazada desde el origen y el ángulo positivo W que la perpendicular forma con el eje de las X.
Conclusiones
En la ecuación de la recta AX+BY+C=0LOS COEFICIETES A Y B no
pueden ser simultáneamente
iguales a cero, porque entonces
no se trataría de la ecuación de una recta.
Las constantes A,B, C
son número reales; las
razones –A/B,-C/B son las
constantes arbitrarias o
parámetros que definen
la posición de la recta;m es
_A/B, y la intersección de la recta
con el eje y es –C/B.
DE LAS DIFERENTES FORMAS DE LA
RECTA PODEMOS
PASAR A LA FORMA GENERAL, Y DE ESTA ,
A CUALQUIERA QUE NOSOTROS QUERAMOS.
Bibliografía Geometría Analítica