1 FUNCIN INVERSA Si una funcin es biyectiva ( es decir el codominio es igual al mbito y la relacin es uno a uno) entonces dicha funcin tiene inversa. Para denotar la inversa de una funcin se utiliza la expresin f 1 ( x ) y esto implica que los elementos de la funcin invierten su posicin, es decir, el dominio de la funcin pasa a ser el mbito o codominio y viceversa, esto significa que los valores del x que son las preimagenes pasan a ser imgenes de la funcin y los valores de y que son las imgenes pasan a ser las preimgenes de la funcin. Veamos el siguiente diagrama

f ( x)a b c d e Dominio Preimgenes Eje x 1 2 3 4 5 mbito Imgenes Eje y 1 2 3 4 5

f 1 ( x )a b c d e mbito Imgenes Eje y

( a,1) ( b, 2 ) ( c,3) ( d ,4 ) ( e,5)

( 1, a ) ( 2, b ) ( 3, c ) ( 4, d ) ( 5, e )f : Do min io mbito f 1 : Z R con f ( 2 ) = 4

Dominio Preimgenes Eje x

Otra forma de establecer esta relacin es mediante las expresiones Sea f : R Z con f ( 4 ) = 2 , la inversa esta dada por

OBTENER LA INVERSA DE UNA FUNCIN I. El criterio de la inversa de una funcin se obtiene despejando la variable x en el criterio de la funcin original EJEMPLOS 1. Si f ( x ) = 4 x 2 , obtenga el criterio de la funcin inversa f1

( x)f 1 ( x ) = x+2 4

Una vez que se a despejado la variable x se escribe nuevamente la funcin sustituyendo la y por x

2 2. Obtenga el criterio de la funcin inversa para a ) f ( x ) =

3x + 4 2

3. Si f ( x ) =

7x + 10 , obtenga el criterio de la funcin inversa f 1 ( x ) 2

4. Si f ( x ) =

4 x + 3 , obtenga el criterio de la funcin inversa f 1 ( x )

II. Obtener la invesa de una funcin a partir de pares ordenados u optras restricciones del contenido 5. Sea f una funcin a la cual pertenecen los puntos ( 3,5 ) y ( 2,9 )

b) f ( x ) =

5 x 2

c) f ( x ) =

7x + 10 2

d ) f ( x) = 4x + 3

e) f ( x ) = x 2 4

f ) f ( x) =

4 x + 1 3

3

x g) f ( x) = +8 9

2 x + 13 h) f ( x ) = 8

3x 2 + 1 i) f ( x ) = 4

Imgenes y Preimgenes en la funcin inversa Calcular una imagen o una preimgen para la inversa de una funcin se hace mediante el mismo procedimineto aplicado en las funciones reales, unicamente se debe considerar que primeramente se obtiene el criterio de la funcin inversa y luego se procede a realizar el clculo respectivo Veamos los siguientes ejemplos1.

Calcule la preimagen de 3 en la funcin inversa de f ( x ) = 9 x 5

2.

Obtenga la imagen de

5 2x 5 en la inversa de f ( x ) = 8 3

3.

Sea f ( x ) =

5x + 4 , obtenga f 1 ( 5 ) ( esto significa la imagen de 5 en la funcin inversa) 7

4.

Si f ( x ) =

x 2 + 10 1 , calcule la preimagen de 8 en f ( x ) 2

4

PRCTICA Resuelva los siguientes ejercicios y obtenga: a) la preimagen de 6 en la inversa de b) la imagen de 0 en la inversa de f ( x) =

f ( x) = 2 x +3

5 8x 2

c) la preimagen de

1 en la inversa de d) f 1

x2 f ( x) = 6

( 2 ) si se tiene f ( x) =

x 1

e) la preimagen de

f ( x) =

7x + 4 13

1 f) la imagen de 3 16 en la inversa de en la inversa de 5 x 4 f ( x) = 9

g) la preimagen

de 0

en la inversa de

f ( x) = x +43

h) f

1

48 para f ( x) = 2 x +3 5

5

13) Si f es una funcin dada por f(x) = 4x 3 entonces la preimagen de a) 4 5 c) 20 3 b) d)4 5 3

5 en f 1 es

3 5 41 x y f 1 es la funcin inversa de f, entonces f 1( 2) 2

14) Si f es una funcin lineal dada por f ( x ) = es a) c)1 2 3 2

b) 5 d) 5

15) Si ( , 2) y (3 , 1) pertenecen al grfico de una funcin lineal f , entonces cul es el criterio de 1 f 1? a) f 1(x) = 4x 1 c) f 1(x) = 1 4x

b) f 1(x) = + 7 4x x + 13 1 d) f (x) = 4

EJERCICIOS ADICIONALES Y EXTRACLASES 1. Construir la grfica y obtener el dominio, mbito, intervalos de monotona y races para cada una de las siguientes funciones a) y = x 2 + 2 x 3 c) y = x 2 + 2 x e) y =1 2 5 x + 2x 2 2

1 2 x 1 2 2 2 d) y = x + 3 3b) y = f) y = x 2 4 h) y = x 2 + 2 x +1 j) y = x 2

g) y = x 2 + 3 x i) y = x 2 + 2 x + 2

6

2. Construya un esbozo para cada una de las siguientes funciones y determine los valores para la variable x de manera que se cumpla la condicin dada en cada caso2 + 1. f ( x) = 3 x 5 x 4 2. f ( x) = 25x-100x+100 3. f ( x ) = x+6x+5 , , , 2 4. f ( x ) = x 7 x ,

f ( x) 0

f ( x ) 0

f ( x) 0

2 5. f ( x ) = x ,

f ( x) 0

2 180 6. f ( x) = 3 x 12 x ,

f ( x ) 0

)

+ 4 x

OBJETIVOS Y CONTENIDOS A EVALUAR EN LAS PRUEBAS PARCIALES

1) Determinar la ecuacin de una recta paralela a otra

1. Rectas paralelas 2. Rectas perpendiculares 3. Valor de k 4. Funcin Cuadrtica: 5. Discriminante, concavidad, intersecciones con los ejes, eje de simetra. 6. Vrtice, intervalos de monotona, y mbito de la funcin cuadrtica 7. Funcin Inversa: Concepto, ecuacin de la recta, 8. Imgenes y preimagenes en la funcin inversa

dada.2) Determinar la ecuacin de una recta perpendicular a

otra dada.3) Graficar dos rectas paralelas o perpendiculares a partir

de sus respectivos criterios4) Encontrar los valores respectivos de una constate k

en rectas paralelas y perpendiculares5) Determinar para una funcin cuadrtica: los puntos de

interseccin con los ejes, el eje de simetra, la concavidad, el punto mximo o mnimo, el vrtice, los intervalos de monotona y el mbito a partir del criterio de dicha funcin.6) Construir la grafica de una funcin cuadrtica 7) Determinar la inversa de una funcin lineal a partir de

dos pares ordenados o del criterio8) Calcular imgenes y preimagenes en la funcin

inversa

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