8/15/2019 La Epidemia

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La epidemia general determinista.

En este caso la población se divide en tres subclases: en susceptibles, X(t);infecciosos, Y(t); y removidos Z(t) = N X(t) Y(t)! El nivel de la población

enferma se alimentar" de los nuevos casos de conta#io pero tambi$n %abr" una

disminución de este nivel al llevar a cuarentena al#unos enfermos de modo &ue

no puedan conta#iar, en ri#or se tienen las ecuaciones din"micas:

Y(t ' ∆t) = Y(t) ' β X(t) Y(t) γ  Y(t) ∆t

X(t ' ∆t) = X(t) β X(t) Y(t) ∆t ()

Z(t ' dt) = Z(t) ' γ  Y(t) ∆t

donde β representa la constante de conta#io y γ  representa la tasa de removidos!

uscando las ecuaciones diferenciales al dividir por ∆t y pasando al l*mite se

obtiene el si#uiente sistema de ecuaciones diferenciales

X+(t) = β X(t) Y(t)

Y+(t) = β X(t) γ  Y(t) ()

Z+(t) = γ  Y(t)

con las condiciones iniciales: Y(-) = Y- = n.mero inicial de infecciosos; Z(-) = -

= n.mero inicial de removidos; X(-) = N Y(-) = n.mero inicial de susceptibles,

y la condición /invariante/: X(t) ' Y(t) ' Z(t) = N!

0e la ecuación () se concluye &ue se desarrollar" la epidemia si Y+(-) 1 -, de lo

contrario solo disminuir" el n.mero de infecciosos al inicio de la epidemia en el

tiempo; lue#o imponiendo esta condición, y reempla2"ndola en la se#unda

ecuación diferencial de () se tiene

(β X-  γ ) Y- 1 -

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y puesto &ue Y- es positivo, se tiene &ue la condición de desarrollo de la

epidemia es e&uivalente a

β X-  γ  1 - X- 1 γ  3 β

4a resolución anal*tica del sistema diferencial () no es soluble por funciones

elementales! 5%ora bien, las ecuaciones din"micas dadas en () se pueden

modelar f"cilmente mediante la t$cnica de 6orrester!