LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

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a discurrir en materias teológicas, y después dejarlediscurrir bajo el control del profesor.

¿Peligros de esta libertad? Los hay en todas lascosas humanas, aun en las mejores. Por esto hemosindicado el control del profesor: muy fácil de ejercerdurante el curso, y aun después, ya que los alumnoslo buscan espontáneamente. Hablamos por experien-cia propia y prescindimos de algún caso, raro, deaversión religiosa irreductible.

Y no temáis de ahondar en las cuestiones impor-tantes. Si el profesor, como se supone, ha pasado suvida estudiando la materia profundamente, y con elloha conseguido aquella simplicidad y claridad deideas propia de las inteligencias elevadas, excitará ensus alumnos un interés y conseguirá unos resultadosque le infundirán nuevos optimismos para éxitos fu-turos en el ejercicio de su profesión. Por lo demás,el profesor, poseído del valor de sus vivencias teoló-gicas y de su actualidad siempre antigua y siemprenueva, está inmunizado de pesimismos enervantes,renueva incansable su optimismo profesional y obtienesiempre éxitos, no pocas veces insospechados.

VII. El estudio de la apologética formal (digo for-mal para atenerme a lo que diremos en seguida yacabamos de insinuar: al espíritu apologético que debeinformar el estudio del dogma y de la ética) per seencaja perfectamente en el interés a), que es el másaprovechable. La discusión religiosa de cara al ateís-mo y materialismo, la discusión cristiana de cara ala incredulidad o indiferencia racionalistas, la discu-sión católica de cara al protestantismo (el tema pro-testante se va poniendo de moda cada día más viva-mente), son materias de interés infalible cuando sonpropuestas por un profesor que sabe llegar fácilmente

al fondo de las cuestiones y habla un lenguaje im-parcial y sincero. El alumno, ejercitado así en la apo-logética, se siente en posesión de la verdad y de lasuperioridad de su ideario religioso, y vibra de entu-siasmo por defenderlo contra los que lo impugnan.

Por esto opinamos que el estudio de la religión enlos centros docentes de la juventud ha de tener siem-pre este carácter apologético, combativo diríamos, paraser interesante. Pero, desde luego, el estudio apolo-gético sería inútil, sería perjudicial, si las razones nofueran contundentes y sinceras, objetivas, imparciales.En el plan antiguo del bachillerato se cometió el errorde asignar la apologética al cuarto curso, cuando losalumnos, niños todavía mentalmente, son incapacesde profundizar sus razones y aun de comprender suinterés. En la reforma actual, el error ha sido agra-vado con la exclusión de la apologética. A no ser quese intente incorporarla al dogma o a la moral, o bienasignarla a los estudios universitarios (invitaríamos adiscutir esta conveniencia), el estudio de la religióncarecerá de interés vivo y operante; se reducirá a unareseña, a una lista de temas teológicos, aburrida, pe-sada, odiosa para los jóvenes alumnos.

Estas insinuaciones no tienen la pretensión de serprogramas o métodos ultimados: son insinuacionesque valdría la pena discutir para fijar o corregir po-siciones en la enseñanza de la religión. Ha sido puestoen manos de la Iglesia española un medio de eficaciainsuperable para la penetración en los medios inte-lectuales. Es lamentable, es tristísimo, es sintomáticode decadencia espiritual, que hayamos de confesar elfracaso; pero la responsabilidad sería mucho mayorsi el fracaso continuase después de la triste experien-cia confesada tan sinceramente.

La enseñanza de la Matemática

RAMON CRESPO PEREIRA

Hablar de enseñanza de la matemática obliga aconsiderar, por lo pronto, tres realidades:

Don RAM6N CRESPO PEREIRA, licenciado en Matemá-ticas, ex becario del Instituto "Jorge Juan", del Con-sejo Superior de Investigaciones Científicas, y subdi-rector de la revista Theoria, colabora en la Gacetamatemática, en la Revista matemática hispanoameri-cana y otras revistas más. Ya ha colaborado en laREVISTA DE EDUCACIAN con varias reseñas de libros yla traducción del trabajo "El proceso educativo", deHelmer Hutchisson (véase núm. 20). Con el presenteinicia una serie de artículos sobre la enseñanza de lamatemática. En este que ahora publicamos estableceuna serie de conceptos generales necesarios para elplanteamiento de la Didáctica matemática.

1.a La matemática en cuestión.2 •a El profesor que tiene que enseñarla.3 •a Los alumnos que la han de aprender.

Pero estas partes de un todo—la enseñanza de lamatemática—no están desintegradas, sino en relaciónfuncional. Cualquier estudio serio del tema debe to-mar en cuenta los elementos del proceso didáctico ensu conexión.

Ahora bien: cada uno de los términos anteriores,considerados aisladamente, debe tomarse de la ma-nera más concreta posible. Decir por ejemplo mate-

mática es algo enormemente vago y abstracto. Cuan-do se habla de la enseñanza de tal ciencia se presu-ponen muchas cosas. No es momento de investigarlasa fondo. Pero podemos indicar que enseñar matemá-tica, sin más, puede ser muchas cosas. Antes de sa-ber qué quiere decirse con ello, conviene partir de

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REVISTA DE EDUCACIÓN

una situación que resulte inmediata e inteligible.Pues siempre partimos de una determinada situaciónvital y, cuando hablamos, cada uno de los interlo-cutores está a un cierto nivel de significatividad, segúnla acertada idea de Luis Rosales. Es decir, cada ha-blante entiende las significaciones de las palabrasdesde su nivel. La evanescente realidad humana quees la matemática cobra contenidos distintos según loscasos, y hablar de ella supone un tiempo concreto,dentro del cual adquiere sentido histórico. Por otraparte, la matemática no está clausa, es decir, es unhacer en marcha, el cual se presenta necesariamentedesde una perspectiva. O sea, ofrece al espectadoruna o varias de sus múltiples caras. Puede verse, pues,que irrumpimos en plena filosofía matemática cuan-do pronunciamos el término "matemática", y parfuerza pensamos en un contenido de tal vocablo.

Pero fijemos ahora la atención brevemente en otrode los términos fundamentales: el profesor que en-seña la matemática. Nos enfrentamos así con unagran cantidad de dificultades, acaso más arduas quelas que hemos visto insinuarse al palpar el cuerpovivo de la matemática. Ahora tenemos que habérnos-las con hombres. Estos se nos aparecen un tanto esti-liza dos—perm ítaseme esta metáfora artística—. Por-que no son los hombres en toda su integridad losque se nos muestran en el papel de profesor, sinoun esquema de hombre. Pues el que enseña mate-máticas no es sólo profesor. Como tal, puede sabermucha matemática, ser investigador insigne o carecerde talento para la creación científica; poseer dotes deexposición didáctica o, cual un mal violinista, pulsarlas cuerdas de la enseñanza de manera repelente yfea; puede saber atraer las vocaciones de los discenteso bien les ahuyenta de toda faena de espontánea de-dicación a la ciencia. Los profesores pueden ser hom-bres que sienten inquietud por los problemas huma-nos o meros especialistas que se desinteresan por loque no sea la especialidad que cultivan; quizá poseenuna visión atinada de lo que representa la enseñanzadentro de un marco más amplio de vida humana o,deformados por su ciencia, su mentalidad es miopepara lo que no tiene relación inmediata con ella.

Por último, el alumno no es un estudiante cual-quiera. Ante todo, es un español, un inglés, un ale-mán o un francés. Es niño, adolescente, joven o yahombre maduro. Tiene talento para la matemática ono !o tiene. Estudia con placer la matemática o laconsidera tediosa, aburrida o incluso insoportable.Tiene tal vez vocación decidida por otro hacer hu-mano—por ejemplo, la pintura o la música—y estudiamatemática porque así lo considera necesario su fa-milia, la cual opina que ser pintor no basta en estavida y quiere hacer del estudiante un arquitecto oun ingeniero. Este alumno puede tener mala salud yfatigarse mucho con los libros, o bien es un tipo atlé-tico y robusto. Puede estar dudando entre estudiaresto o lo otro, y va al Instituto o a la Facultad deCiencias para poder tomar una decisión o para versi encuentra algo atrayente y decisivo que le lleve aadoptarla. Etc.

Creo que basta tocar, aunque sólo sea con la yemadel dedo, cualquiera de estas realidades, acabadas deesquematizar somerísimamente, para reconocer queun estudio a fondo de la cuestión obliga a enfocar

LA MATEMÁTICA

Ignoro si el lector que ahora me lee en este con-cretisimo acto—usted, lector, que posa su mirada in-quisitiva sobre estos párrafos mal hilvanados—estáfamiliarizado con las matemáticas y, caso de estarlo,hasta qué punto le interesan y le gustan. Sería pre-ciso averiguarlo. Pero esto es formalmente imposible.Por ello es inevitable soslayar esta circunstancia.Usaré, por tanto, un lenguaje asequible—hasta don-de sea hacedero—para un lector medio. En este sen-

el tema con aprestos muy cuidadosos. Pero las cosasse complican todavía más si observamos que esos trestérminos del todo ya dicho no están aislados, no for-man islotes que flotan en un piélago fantasmal denaturaleza etérea, sino que están íntimamente ligadospor relaciones funcionales de interdependencia. Elprofesor no lo es sino frente a unos alumnos y ense-ñando una determinada parte de la matemática. Yello acaece dentro de un determinado ámbito cultural,es decir, en un concretísimo momento de la Historia.Cualquier estudio que aspire a profundizar en el pro-ceso didáctico que es la enseñanza de la matemáticadebe fijar la atención en lo que de relacional hay enel mismo.

Ahora bien: lo dicho hasta aquí—preludio obliga-do en el acto de ponerse en comunicación con unpúblico—se presta a múltiples observaciones. En pri-mer lugar, puede decirse que casi todo es válido paracualquier otro proceso educativo. Permútese la pala-bra "matemática" por otra cualquiera correspondien-te a otra rama del saber, y todo lo dicho resultaráigualmente inteligible. Además, la enseñanza de lamatemática encaja dentro de la didáctica general, ypresupone, junto a consideraciones particulares pro-pias de la pedagogía, otras que deben tener a la vistala formación completa del hombre. En estas consi-deraciones mías, sin embargo, no podemos abordarel estudio amplio del papel de la matemática dentrode la cultura actual y de la formación del hombre.Daremos por conocidos los problemas que tal reali-dad supone, y enfocaré exclusivamente el problemaplanteado por la enseñanza de la matemática en lahipótesis, evidentemente injustificada, de que no guar-da relaciones con otras esferas del saber. (Algún díavaldría la pena de plantearse el problema de averi-guar si esta desatención radical es atinada.) Restrin-gido así el tema, todavía debemos delimitar más elobjeto de este artículo. Ni que decir tiene, lo queprocede es tratar de la enseñanza de la matemáticaen España en este período preciso que ahora vivimos:segunda mitad del siglo xx. Aun así, todavía quedanmuchas posibilidades de reticulación: estudiar la en-señanza de la matemática en las distintas etapas desu desarrollo didáctico. A saber: la escuela primaria,el Instituto de Segunda Enseñanza, las Escuelas Es-peciales de Ingenieros y las Facultades de Ciencias.Convendrá, pues, subdividir este estudio en variaspartes. Con todo, antes de acometer el plan del tra-bajo—que se irá escalonando en artículos distintos,pero ensamblados en un conjunto unificado—, serámenester decir algunas cosas previas a todo buen en-tendimiento de lo que va a seguir. Comienzo con unasconsideraciones generales sobre la matemática.

LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

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tido conviene explicitar algunas precisiones sobre laciencia cuya enseñanza nos ocupa. En primer lugar,la idea que la matemática es. En lo que a mí res-pecta, declaro que considero a la matemática, entendi-da en toda su enorme amplitud significativa, como unhacer humano que participa de las propiedades detoda obra de creación y, por tanto, próxima a lacreación artística. Lo de menos es que el matemáticose exprese con unos materiales generalmente abstrusosy de un marcado carácter simbólico. Lo importantees subrayar lo que en la obra matemática hay decreación. El pintor realiza su cuadro con lienzo ycolor; el músico, con sonidos que proceden de ins-trumentos musicales. El novelista, con ese instrumen-to maravilloso que es la palabra humana. El matemá-tico, a su vez, opera con unos objetos de huidiza rea-lidad, cuyo esquemático "cuerpo" se sustrae a la ma-nipulación de los sentidos y que requieren, sin re-medio, unos símbolos. (No importa ahora especularsobre la naturaleza de estos símbolos.)¿Dónde estánlas cosas que inquietan la mente del matemático?¿Cuál es la consistencia de la obra que de ese modose construye? Para posibilitar una respuesta, seríanecesario emprender una investigación sobre el "ser"de la matemática. Es decir, hacer filosofía. Pero nohace falta ir tan lejos. De momento, bástenos tomara nuestro hacer matemático como la obra de unosciertos hombres que, por gusto o por lo que sea, sehan fatigado la mente a lo largo de su vida en buscade objetos matemáticos, a la caza de sus propiedadesy estructuras. Lo que quiero dejar bien consignado—porque ello será de importancia fundamental parael resto del presente trabajo—es que la matemáticaes fruto, agraz o maduro, del trabajo vocacional deciertos hombres. Inclusive puede llevarse la afirmaciónhasta confines más remotos, subrayando enérgicamen-te que la matemática—como el gran arte—es la obrade los grandes matemáticos. Según esta concepción,los demás, los matemáticos de filas secundarias, con-tribuirían desde luego a la gran empresa, pero sóloen cuestiones de detalle. Las grandes rutas, las ideasdecisivas y fecundas, serían cosa de los genios mate-máticos. Sin embargo, este invento conceptual hairrumpido en la corriente histórica y ha llegado a tener, en muchos casos, interés para una determinadacomunidad humana. En nuestra época, la matemáticase ha convertido en un saber de primer rango. Ob-sérvese, empero, que aprender lo hecho por otros esalgo muy distinto que hacer originalmente esa cosa.No se aprende lo mismo cuando necesitamos saber,porque el curso de nuestra vida depende de ello, quecuando el saber nos viene impuesto por otros. En esteúltimo caso, la acción de aprender no brota de nues-tra intimidad y no queremos ganar saberes llenos deférvido entusiasmo. Incluso dentro de la misma ma-temática puede darse el caso de que no nos intereseaveriguar la solución de un determinado problema,que consideramos vano e inútil ejercicio de ingenio.

También puede suceder que no nos importe en ab-soluto saber esas cosas porque a nosotros nos interesafundamentalmente resolver nuestros problemas. Elcaso es análogo al que representa la pintura. El granpintor—El Greco, Velázquez, Goya—pinta de unadeterminada manera; crea su estilo y su mundo pic-tórico. Imaginemos ahora un pintor actual. Deberá

tal pintor ponerse a repetir cuadro por cuadro lasgeniales creaciones de aquellos pintores egregios? Sóloel intento de imaginarlo resulta repelente. Indudable-mente, el pintor actual no deberá dedicarse a la co-pia, por muy genial que sea la obra pretérita. Sinembargo, en el caso de la matemática a veces se pre-tende que el alumno se interese por problemas queinquietaron en su día a los matemáticos, pero quetal vez ya no nos interesan a nosotros. Sobre todo, enel caso de que se quiera hacer del alumno un mate-mático investigador. En el caso de un estudiante quesolamente deba aprender ciertas técnicas y darsecuenta de las estructuras más importantes, resulta to-davía más inadecuado. Ha bastado, como es visible,ahondar en la realidad que es la matemática paraconstatar una polifurcación de los accesos al grantema de su enseñanza. Pero ello nos vuelve a incitara que prestemos nueva atención al discente. Echemosuna ojeada a tan abstracto sujeto, que, no obstante,en cada caso, es de la máxima concreción humana.

EL ALUMNO DE MATEMÁTICAS

No hay alumno sin profesor, y recíprocamente. Porello no debe nunca imaginarse como entidad aisladaal estudiante. El discente cobra pleno valor en el pro-ceso completo de la enseñanza de la matemática. Eneste sentido, el dato que se me aparece como de máspeso es el afán que ponga el alumno en aprender.En nuestro caso concreto, el estímulo que lleve a que-rer aprender matemáticas es muy diferente según laedad del alumno. Un niño no ve la matemática comoun joven o un adulto. Pero, sin embargo, hay unfactum de la máxima trascendencia: la disposiciónprevia del estudiante hacia la matemática dependeestrechamente de la valoración estimativa que se tengapor esta ciencia en el ámbito social y cultural en don-de vive. Por otra parte, y en medida no desdeñable,la visión que el niño vea proyectarse en la escuelaprimaria sobre el asunto influye enormemente en lasideas que, en el decurso de su vida, se forme de lamatemática. Tal vez no haya otro hacer que se prestetanto a la precocidad como la ciencia de que nos ocu-pamos. Los casos de Gauss y de Pascal son en estoparadigmáticos. El hallazgo en matemáticas no exigegran experiencia de la vida. De aquí que sea de vitalimportancia que no se deforme la estimativa de losalumnos. Pero de este tema será preciso tratar porseparado en el apartado que dediquemos a la ense-ñanza de la matemática en la escuela primaria. Loque ahora quiero dejar sentado sólidamente es quesi desde niño el alumno oye hablar de los problemasmatemáticos de manera adecuada, es fácil que seaficione a ellos. Lo demás puede venir como conse-cuencia lógica de las semillas vocacionales plantadasen su alma y en su espíritu. Todavía se agudiza máseste aspecto del proceso en la enseñanza secundaria.Y no digamos en la Universidad. Pero no veo mejormétodo para lograr los objetivos de una buena edu-cación matemática que un conocimiento directo y pre-ciso de la condición de los discípulos. De nada valenplanes magníficos si a la hora de llevarlos a la reali-dad didáctica se tropieza con alumnos que no pue-den comprender vitalmente lo que se quiere de ellos.En este sentido, no tengo más remedio que ejempli-

14 REVISTA DE EDUCACIóN

ficar algunos trabajos aparecidos en la revista Bordón.Puesto a citar, remito al lector con sumo gusto alartículo de Esteban Villarejo "Iniciación al cálculoaritmético", que revela un conocimiento muy atina-do de la realidad discente. ¿Cómo va a enseñar confruto el profesor de Matemáticas—cualquiera que seael estadio de la enseñanza—si ignora qué es lo querealmente puede exigir de sus alumnos? Es cierto quese trabaja activamente en la didáctica correspondientea la escuela primaria. Pero ¿puede decirse otro tantoen lo que respecta al Instituto de Segunda Enseñanzay a las Facultades de Ciencias? Desgraciadamente, a

partir de mis experiencias personales, contesto nega-tivamente. No es frecuente que el profesor, en losgrados superiores de la enseñanza, se ponga a medi-tar sobre los métodos didácticos más adecuados a susalumnos. La relación entre alumnos y profesores sue-le, por otra parte, quedar reducida a la que represen-tan los exámenes. Y el profesor, en estos casos, máses juez que maestro. La cátedra se muestra entoncesa la mayoría de los estudiantes más como tribunalde "justicia" que como ámbito cordial estimulante devocaciones. Pero esto exige un estudio a fondo. Seráel objeto de los próximos artículos.

La educación formal en la Universidad

10SE PERDOMO GARCÍA

LA EDUCACIóN FORMAL

Y LA INFORMACIÓN MATERIAL

La Universidad corre el peligro de "materializar"su estructura impartiendo una serie de ciencias ydescuidando la preparación y capacitación para cadaciencia. En la organización medieval de los estudiosuniversitarios no se había producido aún esta esci-sión entre las disciplinas científicas materiales y for-males que hoy caracteriza la generalidad de los pla-nes de estudios. El estudio conjunto de las ciencias yde las artes permitía una formación armónica delhombre, integrando en su inteligencia diversos sa-beres y al mismo tiempo perfeccionando el mecanis-mo de relaciones en que consiste toda asimilación deconocimientos. Pero ha sido al desintegrarse los pla-nes de estudios de la Universidad moderna, separán-dose las ciencias y las artes en un proceso de desver-tebración que terminó con una contrapartida de cien-cias y artes, cuando se ha puesto de relieve la dife-rencia radical entre una ciencia formal y una cienciamaterial. La distinción es capital para Otto Willmann,que habla de una educación material centrada en lainstrucción de las ciencias, y de una educación formalque comprende el aprendizaje de las artes. La cienciaformal está orientada a lo que Heyne llama "el cul-

"El objetivo central del "Studium Philosophicum"estriba en plasmar el ideal de formación que se con-sidera hoy como necesariamente previo a todo estudiosuperior de enseñanzas especiales." Con estas palabraspuede resumirse el presente trabajo sobre la educaciónformal y la información material en la Universidad.JOSil PERDOMO CARCA, doctor en Filosofía y profesorde la Facultad de Filosofía y Letras de Madrid, escolaborador de la Revista de Filosofía, ex becario delC. S. I. C. y autor de un estudio sobre Pascal, actual-mente en prensa.

tivo general de la inteligencia"; la ciencia material,al conocimiento de las cosas. J. C. Greiling, ya en 1793 ,dentro de una línea kantiana, nos habla en Ueber denEndzwecke der Erziehung de una "educación for-mal", que "consiste en el propio pensar", y de una"educación material", que estriba en una "provisiónde conocimientos". La separación está ya claramentefundamentada en el kantiano Niemeyer en su Grund-sätze der Erziehung und des Unterrichts, en 1796,pasando a la pedagogía idealista poskantiana del si-glo Dux y al "neohumanisino" del xx. La distinción,de un tan reiterado sabor neokantiano, ha sido res-tituída por Otto Willmann a su justo sentido aristo-télico.

La ciencia material, o ciencia in sensu strictus, con-siste en un repertorio de meras representaciones cuyoaprendizaje es obra conjunta de claridad y orden, deretención y comprensión. La ciencia material informaa la inteligencia poniendo a su disposición un con-junto de enunciados con los que aquélla opera. Lasciencias formales, algunas de las cuales aparecen de-signadas por los escolásticos como "artes", consistenen un sistema de conexiones representativas que per-fecciona y actualiza el funcionalismo de la inteligen-cia. Su aprendizaje permite acoplar la función inte-lectual a su acto propio, eliminando actos extraños alde la pura actualización de la inteligencia, y la pre-cisión hace que la función de la inteligencia se ordenedirectamente a su funcionalismo, sin altos ni rodeosinnecesarios. La ciencia sensu stricto aporta los ele-mentos materiales de la formación en un saber; laciencia formal, en cambio, adiestra en el mecanismomental en que consiste el aprendizaje y el ejerciciode cualquier ciencia por la inteligencia.

El fallo educativo de la Universidad actual consisteen la exclusión de una formación formal, eliminadainconscientemente sin caerse en la cuenta que, confor-me sea mayor el grado de complicación y complejidad