la elipse 2015.ppt

Upload: luis-urrutia-valencia

Post on 03-Mar-2016

26 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

  • La ElipseDurante muchos siglos se consider que las orbitas de los planetas eran circunferenciales, con la Tierra como centro. Pero estudiando las observaciones hechas por Tycho Brahe sobre el movimiento del planeta Marte, Kepler descubri en 1610, que los planetas giran alrededor del Sol de modo que sus trayectorias son elpticas y el sol ocupa uno de los focos

  • LA ELIPSELa elipse es el lugar geomtrico de todos los puntos P(x,y) cuya ubicacin en el plano es tal que , la suma de sus distancias a dos puntos fijos de l es constante. Estos dos puntos fijos del plano, se llaman FOCOS y se designan por y P(x,y)X YO

  • Elementos de la elipseLos elementos ms importantes de la elipse son:FOCOS: Los puntos fijos

    RECTA FOCAL: La recta a la que pertenecen los focos

    RECTA SECUNDARIA: La simetral del segmento

    CENTRO: Punto de interseccin de las rectas focal y secundaria y que equidista de los focos .

    VRTICES : Puntos de interseccin de la elipse con la recta focal. Se designan:

  • EJE MAYOR: Segmento que se considera de longitud 2 a: a es el valor del semieje mayor .

    EJE MENOR: Segmento de la recta secundaria interceptada por la elipse . Se considera de longitud 2b : b es el valor del semieje menor.DISTANCIA FOCAL: Medida del segmento Se considera de longitud 2c.

    LADO RECTO : Cuerda focal perpendicular a la recta focal o eje de simetra . Su medida es

  • Elementos de la elipseaaccbEn la siguiente elipse identifique los elementos principales de ella

  • Valor de la constante y excentricidad de la elipseA toda elipse se le asocia un nmero real que llamamos EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE, designado por la letra e, y cuyo valor es :Dado que la excentricidad depende de las medidas de c y a, su valor est asociado con la forma de la respectiva elipse , es as que tenemos elipses ms o menos achatadas.La excentricidad de la elipse es un nmero menor que 1.

    Si c tiende a cero, entonces e tambin tiende a cero, por lo tanto se forma una circunferencia.Valor de la constante = 2a

  • 4-4-33o5-445Elipse de excentricidad e =Elipse de excentricidad e=oEjemplo:

  • Valor de la constantePLuego:

  • ECUACIN CANNICA DE LA ELIPSE

    yX0(a,0)(-a,0)(0,b)(0,-b)P(x,y)La ecuacin cannica de la elipse es :(eje focal en el eje X)

  • Ecuacin cannica de la elipseYX(0,a)(0,-a)(b,0)(-b,0)( Eje focal en el eje Y )

  • Ejemplo 1Determinar la ecuacin de la elipse con focos (0,6) y (0,-6) y semieje menor 8Solucin: eje focal coincide con el eje YLuego

    c = 6 ; b = 8 y a = 10La ecuacin pedida es :

  • Ejemplo 2Encontremos los elementos de elipse de ecuacinTenemos a = 5 y b = 3, adems C = 4, los elementos de la elipse son :FOCOS: EJE MAYOR : 2 a = 25 = 10EJE MENOR : 2b = 23 = 6LADO RECTO :

  • EXCENTRICIDAD:VERTICES: (5,0) y ( -5,0)yX3-35-54-4

  • ECUACIN PRINCIPAL DE LA ELIPSESea el centro de la elipse el punto C(h,k) y el eje focal paralelo al eje XPicasa 3hkOYXLa ecuacin principal de la elipse con centro en C(h,k) es:

  • ECUACIN GENERAL DE LA ELIPSEAl desarrollar los cuadrados de binomio, ordenando la ecuacin principal de la elipse e igualando a cero, encontramos la ecuacin equivalente , llamada ECUACIN GENERAL DE LA ELIPSEA
  • EJEMPLO 1Dada la ecuacin principal de la elipse Determine la ecuacin general de la elipseSolucin :

  • Ejemplo 2Determinemos los elementos de la elipse de ecuacin:

    Ordenamos la ecuacin para completar los cuadrados de binomio

  • Luego: h=8 y k =-3, (8,-3) adems Como esta elipse ha sido trasladada con respecto a su posicin cannica, su eje focal tambin se ha trasladado en h=8 unidades. Por lo tanto, las coordenadas de los focos son:

  • En forma grafica tenemos:8-3412C(8,-3)XY

  • ActividadResuelva en su cuaderno1.Determine la ecuacin de la elipse con centro en (3,1), uno de sus vrtices es el punto (3,2) y tiene excentricidad

    2. Determine la ecuacin principal y los elementos de cada una de las siguientes elipses. a)

  • b)

    c)

    d)

  • 3. Determine la ecuacin del lugar geomtrico de todos los puntos (x,y) del plano, cuya suma de distancias a los puntos fijos (3,1) y (-5,1) es 20.

    4. Determine la ecuacin de la elipse con los elementos dados en cada caso. a) C(2,-3); Eje mayor = 8; L.R.= 9/2, Eje focal paralelo al eje Y.

    b) Focos (4,1) y (-6,1); Eje mayor = 12