La elección del consumidor

27 de octubre de 2011

3.1

Una elección óptima (x1, x2) debe cumplir la condición RMS(x1, x2) =−p1p2 . La RMS es el cociente de las derivadas de la función de utilidad, entoncestenemos que:

−∂u(x1, x2)/∂x1

∂u(x1, x2)/∂x2= −p1

p2⇒ ∂u(x1, x2)/∂x1

∂u(x1, x2)/∂x2=p1

p2

Si la función de utilidad es u(x1, x2) = x1x2 + x1, entonces :

x2 + 1

x1=p1

p2

Sustituyendo la combinación de consumo (6, 2) tenemos:

2 + 1

6=p1

p2⇒ 1

2=p1

p2=⇒ p2 = 2p1

Sustituimos en la restricción presupuestaria que también debe cumplir la elec-ción óptima:

6p1 + 2(2p1) = 100⇒ 10p1 = 100

{p1 = 10

p2 = 20

1

3.2

1.

Conjunto presupuestario: 2x1 + 3x2 5 10

Recta presupuestaria: 2x1 + 3x2 = 10

2.

La utilidad del consumidor es u(x1, x2) = x1 + x2 , �ja-os que leaporta la misma utilidad el bien 1 que el bien 2 es decir quelos dos bienes son sustitutos perfectos (la relación marginal desustitución es −1). No obstante el precio de los bienes 1 y 2 noson los mismos, el bien 1 cuesta 2 unidades monetarias mientrasque el precio del bien 2 es de 3 unidades monetarias. Eso explicaporqué en términos de sus preferencias la elección óptima sea(5, 0).

La cesta(5, 3) no puede ser óptima por qué se encuentra fuera delconjunto presupuestario, el consumidor no tiene su�ciente dineropara acceder a esta cesta de consumo.

La cesta (2, 2) no es óptima ya que la utilidad del consumidor conesta cesta (u(x1, x2) = 2 + 2 = 4) es inferior a la cesta óptima(5, 0) donde la utilidad es de 5.

2

3.

Si los precios fueran (5, 5), la pendiente de la recta presupuestaria yla RMS serian las mismas (−1), entonces cualquier punto de larecta presupuestaria sería un punto óptimo.

3.3

1. Si sólo está disponible el sistema de tarjetas, nuestro conjunto presupues-tario será : 80x1 + x2 ≤ 50000.

3

4

2. Si el único sistema disponible es el de cuotas, nuestro conjunto presupuestarioserá: 40x1 + x2 = 48000.

5

3.

Con la primera opción; 80x1 + x2 ≤ 50000, por cada unidad de x1 sepodría comprar 80 unidades de x2. Entonces:

Si α < 80⇒ x∗1 = 0 y x∗2 = 50000⇒ u(x∗1, x∗2) = 50000

Si α = 80 , el consumo óptimo será cualquier punto de la rectapresupuestaria ⇒ u(x∗1, x

∗2) = 50000

Si α > 80⇒ x∗1 = 625 y x∗2 = 0⇒ u(x∗1, x∗2) = 625α

Con la primera opción; 40x1 + x2 ≤ 48000, por cada unidad de x1 sepodría comprar 40 unidades de x2. Entonces:

Si α < 40⇒ x∗1 = 0 y x∗2 = 48000⇒ u(x∗1, x∗2) = 48000

Si α = 40 , el consumo óptimo será cualquier punto de la rectapresupuestaria ⇒ u(x∗1, x

∗2) = 48000

Si α > 40⇒ x∗1 = 1200 y x∗2 = 0⇒ u(x∗1, x∗2) = 1200α

Entonces:

Si α ≤ 40:

Elige 1º opción: x∗1 = 0, x∗2 = 50000⇒ u(x∗1, x∗2) = 50000

Si 40 < α ≤ 500001200 :

Elige 1º opción: x∗1 = 0, x∗2 = 50000⇒ u(x∗1, x∗2) = 50000

Si α < 500001200 :

Elige 2º opción: x∗1 = 1200, x∗2 = 0⇒ u(x∗1, x∗2) = 1200α

3.4

1.Conjunto presupuestario Plan A:{20x1 + 20x2 ≤ 8000, si x1 ≤ 200

(20 · 200) + 10(x1 − 200) + 20x2 ≤ 8000, si x1 > 200⇒

{20x1 + 20x2 ≤ 8000, si x1 ≤ 200

10x1 + 20x2 ≤ 6000, si x1 > 200

6

Conjunto presupuestario Plan B: 20x2 ≤ 2000.

7

2. Si sus preferencias fuesen del tipo u(x1, x2) = x1x2, el consumidor esco-gería el plan B ya que no tiene ninguna limitación en el consumo del bien 1 ypor lo tanto podría obtener una utilidad in�nita.

3.

u(x1, x2) = min

{x1,

1

2x2

}En el óptimo ya sabemos que:

x1 =1

2x2 ⇒ x∗2 = 2x∗1

Bajo el plan A:

1er tramo: 20x1 + 20x2 = 8000

x∗1 =400

3, x∗2 =

800

3

u(400

3,

800

3) = min

{400

3,

800

3

}=

400

3

2ndotramo: 10x1 + 20x2 = 6000

x1 = 120 x2 = 240⇒ pero 120 < 240!︸ ︷︷ ︸contradiccion!

Bajo el plan B:

6000 + 20x2 = 8000⇒ x∗2 = 100

x2 = 2x1 ⇒ x∗1 = 50

u(50, 100) = min {50, 100} = 50

Entonces:

Como400

3> 50, eligira el planA!

8

3.5

1.Maxx1,x2

x1/41 x

3/42

s.a. 100x1 + 2500x2 ≤ 40000

L(x1, x2, λ) = x1/41 x

3/42 − λ(100x1 + 2500x2 − 40000)

∂L∂x1

= 0⇒ 14x

−3/41 x

3/42 − 100λ = 0

∂L∂x2

= 0⇒ 34x

1/41 x

−1/42 − 2500λ = 0

∂L∂λ = 0⇒ 100x1 + 2500x2 − 40000 = 0

Dividimos la primera ecuación por la segunda:

1/4x−3/41 x

3/42

3/4x1/41 x

−1/42

=100λ

2500λ

x2

3x1=

100

2500

x2

x1=

300

2500

x1 =25

3x2

Sustituimos x1en le restricción presupuestaria y encontramos x2:

100(25

3x2) + 2500x2 − 40000 = 0

100(25

3x2) +

7500

3x2 −

120000

3= 0

2500x2 + 7500x2 = 120000

x2 = 12

9

El consumo óptimo será: {xopt1 = 100

xopt2 = 12

Representación grá�ca:

2.Maxx1,x2

x1/41 x

3/42

s.a. 100x1 + 2250x2 ≤ 39900

L(x1, x2, λ) = x1/41 x

3/42 − λ(100x1 + 2250x2 − 39900)

10

∂L∂x1

= 0⇒ 14x

−3/41 x

3/42 − 100λ = 0

∂L∂x2

= 0⇒ 34x

1/41 x

−1/42 − 2250λ = 0

∂L∂λ = 0⇒ 100x1 + 2250x2 − 39900 = 0

Dividimos la primera ecuación por la segunda:

1/4x−3/41 x

3/42

3/4x1/41 x

−1/42

=100λ

2250λ

x2

3x1=

100

2250

x2

x1=

300

2250=

2

15

x1 =15

2x2

Sustituimos x1 en le restricción presupuestaria y encontramos x2:

100(15

2x2) + 2250x2 − 39900 = 0

750x2 + 2250x2 − 39900 = 0

x2 =39900

3000

x2 = 13,3

El consumo óptimo será: {xopt

′

1 = 99,75

xopt′

2 = 13,3

11

Representación grá�ca:

3.Tenemos que analizar donde el consumo óptimo produce más utilidad.

u(xopt1 , xopt2 ) = 1001/4 · 12

3/4 ' 20,38

u(xopt′

1 , xopt′

2 ) = 99,751/4 · 13,3

3/4 ' 22

u(xopt′

1 , xopt′

2 ) > u(xopt1 , xopt2 )

Sí, se hará socia de la cooperativa.

12

3.6

1. La recta presupuestaria es: 2x1 + 5x2 = 40. En este caso la RMS es− 8

3 mientras que la pendiente de la restricción presupuestaria es − 25 . La cesta

óptima será (20, 0) y está en la recta presupuestaria: 2(20) + 5(0) = 40.

2.RMS(x1, x2) = −p1

p2

−12x1x

−1/22 · x2

12x1x

−1/22 · x1

= −2

5

2x1 = 5x2

x1 =5

2x2

13

Sustituimos en la restricción presupuestaria:

2(5

2x2) + 5x2 = 40

x2 = 4

La cesta óptima es (10, 4) y está en la restricción presupuestaria:

2(10) + 5(4) = 40

3.La condición de óptimo son:{

x1 = 3x2

2x1 + 5x2 = 40{x1 = 3x2

2(3x2) + 5x2 = 40{x1 = 120/11

x2 = 40/11

La cesta óptima es (120/11, 40/11) y está en la restricción presupuestaria:

2(120/11) + 5(40/11) = 40

14

4.

5.

15