La divisiónProf. Andrea Jorgelina Ramirez

¿QUÉ SIGNIFICA APRENDER A DIVIDIR?

¿CÓMO PODEMOS INTRODUCIR LA

DIVISIÓN?

¿¿¿¡¡¡NO ERA QUE TENÍAMOS QUE SER UNIDOS!!!???

¿QUÉ ENTENDEMOS POR DIVISIÓN?

• "...La enseñanza moderna,...pone énfasis en la comprensión de lo que significa cada operación más que en su realización efectiva...", expresa Santaló. Los alumnos en la escuela de hoy no debieran dudar de la operación que resuelve una situación problemática aunque cometan errores en el algoritmo.

• R.Charnay considera que una de las dificultades principales de la enseñanza de la matemática es la significación de lo que se aprende. "...La construcción de la significación de un conocimiento debe ser pensada en dos niveles:– un nivel externo: cuál es el campo de utilización de este

conocimiento, y cuáles son los límites de ese campo... y– un nivel interno: cómo funciona tal recurso y por que

funciona..."

Un punto de partida para la enseñanza de la noción de división

• “La enseñanza de la división como noción puede iniciarse desde primer año de la EGB.”

• “Los problemas de división pueden ser resueltos por una variedad de procedimientos y operaciones.”

• “La división es una operación que permite resolver una gran variedad de problemas.”

• “El dominio del algoritmo no garantiza reconocer sus ocasiones de empleo en distintos tipos de problemas.”

• “El algoritmo es solamente un recurso de cálculo – y no necesariamente el principal – que los niños deben aprender en la EGB.”

• “El estudio de la división es de tal complejidad que exige muchos años de la escolaridad”.

OPERACIÓN

CONCEPTUALIZACIÓN

SITUACIONESS PROBLEMA

FORMALIZACIÓN

ALGORITMO

CÁLCULO MENTAL

VARIADASSECUENCIADAS

CDO SE HA APLICADO EN MÚLTIPLES OCASIONES

DEFINE, ABREVIA, SIMBOLIZA

CÁLCULO PENSADO. CONTROL SOBRE LA SITUACIÓN

ESTRATEGIA ECONÓMICA

PROCESO REPETITIVO

Construcción del sentido de la división

• Se considera que la construcción del sentido de la división se logra cuando los niños y las niñas reconocen cuál es el conjunto de problemas que se resuelven con dicha operación. Progresivamente, deberían poder reconocer y resolver nuevos tipos de problemas, de mayor complejidad, ampliar los recursos de cálculo que utilizan y sistematizar nuevos conocimientos sobre las propiedades de la operación.

• Aun cuando los niños y las niñas de primer año no hayan aprendido “la cuenta de dividir” pueden movilizar recursos para resolver problemas “de división”.

Un Sr. Tiene 8 caramelos y se los da a dos niños. ¿Cuántos les da a cada uno?

• Con relación a la significación de la "división" se podría decir que: el algoritmo por si mismo no sería significativo para niños de primer ciclo. Hablando en términos de "partir" ,"repartir”, "agrupar"...y un contexto problematizador los niños de primer año están en condiciones de resolver problemas vinculados al concepto sin necesidad de pasar por el algoritmo. Es decir, que sería factible su enseñanza antes de tercer año y que si bien en tercero y durante el segundo ciclo se construye “oficialmente” su sentido, no es el único espacio donde se realiza.

Laura quiere repartir 15 figuritas en partes iguales entre sus tres amigas. ¿Cuántas les

dará?

• Los niños y las niñas de primero no reconocen que este problema puede resolverse con la operación 15 ÷ 3. No tienen una estrategia experta.

• Sin embargo, pueden generar una respuesta, pueden resolverlo utilizando otros procedimientos a partir de lo que saben.

Algunas estrategias pueden ser las siguientes:

• Utilizar algún tipo de material (por ejemplo tapitas o palitos) para distribuir y luego contar.

• Representar gráficamente las figuritas y las amigas, y repartir de 1 en 1 las figuritas entre las tres niñas. Luego cuentan las figuritas de cada niña.

• Probar con distintas sumas sucesivas hasta obtener la conveniente: 5 + 5 + 5.

• Restar a 15 un número varias veces hasta determinar que es el 5.

• Presentar una solución incorrecta: 15 + 3.

• El objetivo de plantear estas situaciones a niños y niñas que aún no conocen el algoritmo de la división es realizar un trabajo colectivo de análisis y reflexión.

• Luego de la resolución, tanto individual como grupal, se comparan los resultados y los procedimientos. La comparación de los distintos procedimientos y el análisis de los posibles errores en la resolución de un problema les permitirán avanzar en la comprensión de los enunciados y en las estrategias de resolución. Y progresivamente en la comprensión de la operación.

¿Qué tipos de problemas se trabajarán?

• Problemas de proporcionalidad, son los que habitualmente se trabajan y los que ponen en juego una relación entre cuatro cantidades. Por ejemplo: 1. Mariela compró 5 revistas iguales y todas costaron $35. ¿Cuál es el precio de una revista?2. Mariela compró revistas a $7 cada una. Pagó $35. ¿Cuántas revistas compró?

• Problemas que involucran producto de medidas, que plantean una relación ternaria entre tres cantidades, de las cuales una es el producto de las otras dos, tanto en el plano numérico como en el plano dimensional. 1. En un sector del teatro hay 48 butacas. Si hay 12 butacas por fila, ¿cuántas filas hay?

• Problemas de reparto o partición1. Analía quiere repartir 15 lápices entre sus 3 amigos en partes iguales. ¿Cuántos les dará a cada uno?2. Analía tiene 15 lápices, y quiere poner en cada cartuchera 3. ¿Cuántas cartucheras necesitará?

• Problemas con cantidades continuas o discretas. Por ejemplo, en las situaciones de reparto no es lo mismo repartir 16 alfajores entre 3 niños, que repartir 16 figuritas entre 3 niños. En ambas situaciones el resto que obtenemos, luego de hacer 16 ÷ 3, es el mismo: 1, pero en el primer caso el alfajor que resta también se puede “partir” y de este modo le correspondería 1/3 más de alfajor a cada niño; en el segundo la figurita que sobra no la puedo “partir”.

Algunos ejemplos de problemas para construir el sentido de la división

• Repartos equitativos y no equitativos:1. Marcela tiene 16 chupetines y quiere dárselos a sus 4 hijos. ¿Cuántos le dará a cada uno? 2. Martín tiene 15 figuritas y quiere repartirlas entre sus 5 amigos, dándole la misma cantidad a cada uno. ¿Cuántas figuritas les dará?

• Cantidades continuas y discretas: 3. Lucas tiene 18 lápices y quiere repartirlos entre 4 amigos en partes iguales. ¿Cuál es la mayor cantidad de lápices que puede darle a cada uno?4. Martín tiene 18 alfajores y quiere repartirlos entre sus 4 amigos en partes iguales. ¿Cuál es la mayor cantidad de alfajores que puede darle a cada uno?

• Reparto y partición: 5. Mariana tiene 24 caramelos y quiere darle 4 a cada uno de sus amigos. ¿A cuántos amigos puede darles? 6. María tiene 18 revistas y quiere repartirlas en partes iguales entre sus tres amigos. ¿Cuántas les dará a cada uno?

• Consideración del resto: 7. Se deben transportar 17 personas en autos. En cada uno sólo pueden entrar 4 personas. ¿Cuántos autos serán necesarios?

• Los de proporcionalidad: 8. Mariela compró 4 cuadernos iguales y todas costaron $12. ¿Cuál es el precio de un cuaderno?

• Los de distribuciones rectangulares:9. En un aula hay 24 mesas. Si hay 4 mesas por fila. ¿Cuántas filas hay?

Otros buenos problemas:

10. ¿Cuántas cajas con capacidad para 6 bombones cada una pueden llenarse completamente con 40 bombones?

11. ¿Cuántas cajas de media docena se necesitan para acomodar 55 bombones?

12. ¿Cuántas cajas de una docena se necesitan para acomodar los mismos 55 bombones?

13. En la panadería envasan los panes para panchos de a 6 por bolsita. ¿Cuántas bolsitas se necesitan para envasar 60 panes? ¿Y 120 panes?

14. En la panadería cocinaron 96 facturas repartidas en 6 bandejas iguales. ¿Cuántas facturas acomodaron en cada una de las bandejas?

Diversos recursos de cálculo en 3° añoJoaquín tiene 360 figuritas y quiere repartirlas en partes iguales entre sus 12 amigos.

¿Cuántas le dará a cada uno?

Algunos procedimientos posibles de los niños y las niñas podrían ser :360 ÷ 3 = 120; 120 ÷ 4 = 30

Se obtiene 1/4 de 1/3, es decir 1/12 de 360Considerar el 360 como 36 y dividirlo por 12 (resultado memorizado) y luego multiplicarlo por 10.

36 ÷ 12 = 44 x 10 = 40360 es 300+ 60 entonces primero reparte 300 entre 12 y luego los 60 que quedan.

Por tanteos12 x 5 = 60 12 x 15 = 18012 x 10 = 120 12 x 30 = 360

Realizando sumas sucesivas y multiplicaciones combinadas12 ( 5 veces) 12012 120 (otras 10 veces)12 120 (otras 10 veces)12 3601260

2 x 60 = 120 (2 veces, o sea hasta acá, 10 veces)5 + 5 + 10 + 10 = 30 veces entra el 12 en el 360

• Estos procedimientos de los niños y las niñas no son totalmente espontáneos, porque a partir de la discusión colectiva se provoca la utilización de recursos de cálculo específicos, aquellos que les permitirá avanzar hacia el algoritmo convencional de la división.

• Pero antes de presentar el algoritmo convencional, conviene presentar un algoritmo intermedio, el algoritmo de Brosseau, un algoritmo que presenta más cálculos escritos y le permite a los niños controlar lo que hacen en cada paso. Por ejemplo:

Realmente es importante el dominio del cálculo mental y de las propiedades del

sistema de numeración…

EVOLUCIÓN DE LOS PROCEDIMIENTOS

Debo trabajarlos simultáneamente

Si mis alumnos disponen de ciertos resultados memorizados y de los

recursos para usarlos ayudará a que le den importancia al cálculo mental,

y a la utilidad de seguir incorporando nuevos resultados y

nuevos recursos.

Les presentaron a los niños el siguiente problema: “Estoy en el número 238. Doy saltitos para atrás de 12 en 12. ¿A qué número llego más cercano al 0?” Algunos alumnos realizan restas sucesivas de 12 en 12:

Otros alumnos se dan cuenta de que es más conveniente restar “varios doces juntos” como en este caso:

Analizamos recursos de

cálculos para obtener

resultados de los productos..

Discutimos procedimiento

s..

Mis alumnos utilizan

intuitivamente la propiedad

distributiva de la multiplicación con

respecto a la suma…

Trabajamos la resolución

de problemas…

Multiplican por la unidad

seguida de ceros!!!

Solo lo podrán entender si……

HACIA LA CONSTRUCCIÓN DEL ALGORITMO

Las veces que entra…Escribe por cuánto hay que multiplicar en cada caso:¿Por cuánto hay que multiplicar 4 para obtener 28?¿Por cuánto hay que multiplicar 5 para obtener 45?¿Por cuánto hay que multiplicar 3 para obtener 24?¿Por cuánto hay que multiplicar 6 para obtener 30?

•Escribe cuántas veces entra y cuánto sobra en cada ejercicio:7 entra ….. veces en 15 y sobran ….. 6 entra ….. veces en 45 y sobran ….. 10 entra ….. veces en 32 y sobran …..8 entra ….. veces en 44 y sobran …..

¿Por qué un algoritmo intermedio??

• Para promover recursos de cálculo más “transparentes” .

Requisito: • Que los niños tengan disponibles cálculos

mentales x10, x100, los productos hasta el 9, resta de números redondos,…

•Por cada problema elegir la respuesta que te parece correcta:En un maple se envasan 30 huevos. Se llenaron 40 maples. ¿Cuántos huevos se envasaron?120 huevos.1.200 huevos.12.000 huevos •Encontrar cocientes.Para encontrar el cociente de algunas divisiones, Mariela prueba con multiplicaciones y compara con el número que tenía para dividir:Decidí si ya encontró el resultado o si tiene que seguir probando…Para resolver «150:3=» probó con «50x3» Para resolver «670:6=» probó con «110x6» y luego con «10x6» Para resolver «100:4=» probó con «30x4»

El algoritmo de BrousseauEste algoritmo trabaja con la globalidad de los números (no los separa en unidades, decenas y centenas), lo cual permite tener una idea aproximada del cociente.

• En este algoritmo los niños y las niñas van repartiendo por partes.

Luego se les puede proponer buscar el mayor número posible, tratando de acortar la cuenta:

• En un momento posterior se les enseña a estimar la cantidad de cifras del cociente y a escribir los lugares del mismo

• Finalmente, después de haber trabajado con los diversos procedimientos y el algoritmo de Brousseau, presentamos el algoritmo convencional, usando la escritura de la resta y luego el de la resta por complemento.

• De todas maneras, en función del cálculo que se deba resolver, se utilizará un cálculo mental, el algoritmo de Brousseau, el convencional o cualquier otra estrategia que resulte más conveniente.

Broitman e Itzcovich, proponen la siguiente secuencia de actividades para trabajar la división en 3º grado:

• Resolución de problemas de división y comparación y análisis de las estrategias utilizadas. Difundir la idea de que todos estos problemas se pueden resolver sumando, restando, multiplicando, etc. Análisis de escrituras diversas para registrar los cálculos.

• Dominio de un conjunto de cálculos multiplicativos (todos los relativos a la tabla pitagórica y multiplicaciones por la unidad seguida de ceros: 8x20; 45x1.000; 6x50, etc.)

• Resolución de cálculos mentales “horizontales” de divisiones con y sin resto (1.000 : 4; 3.000 : 6; 4.500 : 9; etc. y 51: 10 = 5 y sobra 1; 43 : 4 =10 y sobra 3).

• Presentación de un algoritmo “desplegado” (con multiplicaciones, restas y tratando globalmente el número, sin descomponerlo).

EN SEGUNDO CICLO…

Problemas de las diferentes etapas Primera etapa: la división como herramienta para resolver problemas de

organización rectangular

1. El piso del aula es rectangular y tiene en total 330 cerámicos. Todos los cerámicos son cuadrados y están enteros. En cada fila hay más de 12 y menos de 18 cerámicos. ¿Cuántos cerámicos hay en cada fila? ¿Cuántos en cada columna? ¿Hay una sola posibilidad? ¿Por qué?

2. Una escuela rural recibió una donación de 176 plantas. Van a colocarlas en un sector rectangular. En cada fila pueden ubicar 11 plantas. ¿Cuántas filas pueden completar?

3. Un tablero de ajedrez está formado por 64 cuadraditos blancos y negros dispuestos en filas iguales. Cada fila está formada por 8 cuadraditos. ¿Cuántas filas tiene el tablero? Escribí el cálculo que realizaste para resolver este problema.

4. Se quieren dibujar en hoja cuadriculada distintos rectángulos formados por 18 cuadraditos. ¿Cuántas posibilidades hay? ¿Cómo hiciste para averiguarlo?

5. Se quieren dibujar en hoja cuadriculada distintos rectángulos formados por 36 cuadraditos. ¿Cuántas posibilidades hay? ¿Cómo hiciste para averiguarlo?

Segunda etapa: cómo averiguar el dividendo y el divisor a partir del cociente y el resto

1. a) Escribí una cuenta de dividir entre números naturales que tenga cociente 25 y resto 12.

b) ¿Se pueden escribir otras cuentas con estas condiciones? ¿Cuáles?

c) ¿Cuántas cuentas se pueden escribir? ¿Por qué? 2. a) Escribí una cuenta de dividir entre números

naturales que tenga cociente 12 y resto 7. b) ¿Se pueden escribir otras cuentas con estas

condiciones? ¿Cuáles? c) ¿Cuántas cuentas se pueden escribir? ¿Por qué?

3. Al dividir un número por 32, se obtuvo 16 y un resto de 4. ¿Qué número se dividió?

4. Completá el dividendo y el divisor de esta cuenta. ¿Hay una única posibilidad?

/_____ 4 6 5. Completá la tabla Dividendo Divisor Cociente Resto Cant.de soluciones 12 13 8

202 22 4

Tercera etapa: cómo varían el resto o el dividendo al modificar los otros números

1. Lisandro hizo la cuenta 103 : 12, obteniendo de cociente 8 y resto 7. Ahora tiene que hacer estas otras cuentas de dividir:

104 : 12 105 : 12 106 : 12 107 : 12 a) ¿Puede Lisandro determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? Si es posible,

explica cómo puede hacerlo. Si no, explica por qué no. b) ¿En cuánto tiene que modificar Lisandro el dividendo de la cuenta que hizo para

obtener de cociente 9 y resto 0 manteniendo el mismo divisor? c) ¿Cuántas cuentas puede escribir Lisandro que tengan como divisor 12, como

cociente 9 y como resto no necesariamente 0? 2. Agustina hizo la cuenta 1029 : 12, obteniendo de cociente 85 y resto 9. Ahora

tiene que hacer estas otras cuentas de dividir: 1030 : 12 1032 : 12 1035 : 12 a) ¿Puede Agustina determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? Si es posible,

explica cómo puede hacerlo. Si no, explica por qué no. b) ¿En cuánto tiene que modificar Agustina el dividendo de la cuenta que hizo para

obtener de cociente 87 y resto 0 manteniendo el mismo divisor? c) ¿Cuántas cuentas puede escribir Agustina que tengan como divisor 12, como

cociente 86 y como resto no necesariamente 0?

3. Fernando hizo la cuenta 153 : 8, obteniendo de cociente 19 y resto 1. Ahora tiene que hacer estas otras cuentas de dividir:

155 : 8 158 : 8 160 : 8 162 : 8

¿Puede Fernando determinar el resto de esas cuentas sin hacerlas? Si es posible, explica cómo puede hacerlo. Si no, explica por qué no.

4. Completá las siguientes cuentas colocando dividendo y resto. / 6______ / 7______ 7 6 5. a) Completá los números que faltan en las cuentas. b) ¿Cuántas soluciones puede tener cada una? / 15 / 8 22 /_____ 6 3 5 4 3

CONCLUSIONES

• Es preciso exponer a nuestros alumnos a variadas y numerosas situaciones en las secuencias didácticas que les permitan apropiarse de los CONCEPTOS.

• El trabajo con los ALGORITMOS debe ser posterior a la adquisición de los conceptos. Ello permitirá a los alumnos apropiarse de ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS y no la mera memorización de una secuencia mecánica de pasos.

• El CAMPO NUMÉRICO de la resolución de problemas debe ser inferior al trabajado en numeración, para que el niño no pierda el control de los números y pueda verificar, a través de la ESTIMACIÓN, la RACIONALIDAD de los resultados.

Conclusiones…

• Debemos colocar el acento en la resolución de problemas que impliquen el uso de la división y no tanto en el algoritmo tradicional.

• Los algoritmos son la herramienta más económica para resolver cálculos, siempre y cuando los alumnos la entiendan como tal. En tanto los niños no los necesiten no lograremos una progresión en sus conocimientos.

• La manera en que los llevaremos a esta progresión es brindándoles situaciones variadas y asiduas de resolución de problemas.

Conclusiones

LOS PROBLEMAS DEL CÁLCULO TRAD.La actual metodología del cálculo matemático no da más de sí. Llega hasta cierta destreza en el cálculo e incapacidad general para la aplicación del mismo.1° Con la actual metodología el niño no calcula, sólo ejercita la memoria de significantes. El niño no calcula, ni estima, ni tantea, ni crea estrategias de acción. Lo que hace el niño es aprenderse de memoria las bases de datos (tablas) y las instrucciones de aplicación. Nada más.2° El acento se pone en aprender operaciones o algoritmos que nunca va a utilizar de adulto. Si nosotros ya no hacemos cuentas en nuestra vida ordinaria, ¿cómo podemos pensar siquiera que dentro de veinte años los actuales alumnos sí las van a emplear?3° La forma actual de trabajar el cálculo impide el desarrollo del cálculo mental, de la estimación. Entre otras cosas porque las propias operaciones tienen una estructura compleja y sin significado, por lo que impiden representarlas mentalmente.Las operaciones TRADICIONALES siguen un mecanismo de acción del pensamiento distinto del cálculo mental, y son tan “prolijas” que a partir de las centenas los alumnos no son capaces de representarlas mentalmente.

4° El enfoque metodológico que se practica todos los días en nuestras escuelas es el principal culpable de que los alumnos no sepan resolver problemas. Sí, por chocante que esto pueda parecer: el instrumento para resolver problemas es lo que impide resolverlos. Esta afirmación produce un fuerte efecto en los docentes, que la ven temeraria y poco ajustada a la realidad. Pero es de las más certeras. Se suelen aducir dos causas para explicar este fenómeno. Una de ellas hace referencia a problemas de comprensión lectora y otra a la escasa capacidad del alumno: éste debería ser más listo. Las dos explicaciones son sorprendentes y apenas si se tienen en pie. La primera se refuta con facilidad, porque cuando al niño se le plantea el problema de modo oral presenta las mismas dificultades que cuando lee el texto escrito. Además, no se explica cómo es capaz de comprender textos narrativos más largos, con mayor complejidad sintáctica y con un vocabulario más elevado, y sin embargo no lo es para entender lo que se le expone y pregunta en un texto de dos o tres renglones. La segunda escapa de toda lógica, porque los niños son como son y no los podemos cambiar. Si la metodología que empleamos no funciona con ellos, lo que hay que cambiar es la metodología. No podemos inventar una técnica de curación para luego defender que el que no sane es que no está a la altura de la técnica.

5°. Las cuentas son el primer peldaño de la escalera que lleva a que la matemática sea una materia aborrecible. Esto es muy peligroso, porque como cae mal no se practica, porque no se practica cada vez se hace peor, y como cada ve z se hacen peor cada vez se le toma más tirria. No se puede poner mejor ejemplo de lo que es u n círculo vicioso.

LOS ALGORITMOS ABIERTOS BASADOS EN NÚMEROS COMO ALTERNATIVA.

• Logros matemáticos de los niños.• Los niños aprenden más rápido y mejor.• Mejora de manera espectacular la capacidad de estimación y el cálculo mental.• Cada niño hace las operaciones según su propia capacidad. Al tratarse de algoritmos

abiertos, cada uno los hace según sus posibilidades. No hay una única forma de resolverlos y se ofrecen muchos caminos para llegar a la solución. Ello hace que muchos de los niños y niñas que se quedarían descolgados con el método tradicional se queden enganchados en los nuevos algoritmos. Si al niño más lento o a la niña menos capaz no le exigimos que haga las cosas como el más veloz o como el más inteligente, les estamos facilitando que hagan bien la tarea.

• Mejora espectacularmente la resolución de problemas. Los algoritmos ABN facilitan esta tarea porque permiten integrar los datos, en su sentido, dentro de los cálculos. Esto, con la metodología tradicional, es sencillamente imposible.

• Hay una mejora efectiva de la motivación y un cambio muy favorable en la actitud de los niños ante la matemática. Si antes hemos hablado de círculo vicioso, ahora hay que mencionar el círculo virtuoso. En efecto: como a los niños les salen bien las tareas, les gustan; como les gustan, las practican más; como las practican más, cada vez las hacen mejor; etc.

BIBLIOGRAFÍA• Todos pueden aprender. Matemática. 3°. Asociación civil Educación para todos.

UNICEF. 2007.• Itzcovich Horacio y otros (2011), “La matemática escolar. Las prácticas de

enseñanza en la escuela”, Ed. Aique, Bs. As. El trabajo con la multiplicación y la división.

• Saiz Irma (1995), “Dividir con dificultad o la dificultad de dividir”, en Didáctica de matemáticas. Ed. PAIDÓS.

• Dirección General de Educación Básica. Pcia. de Bs. As. (2001): “Orientaciones Didácticas para la Enseñanza de la División en los tres ciclos de la EGB”, disponible en: www.abc.gov.ar

• Dirección General de Educación Básica. Pcia. de Bs. As (2007): "División en 5º y 6º año de la escuela primaria. Una propuesta para el estudio de las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto". Disponible www.buenosaires.gov.ar

• Martínez Montero, J. (2000) Una nueva didáctica del cálculo para el siglo XXI. Bilbao,CISS-Praxis.

• Capacitación TPA 2011• APORTES para el seguimiento del aprendizaje en procesos de enseñanza.

Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación. Bs. As. 2007.