la base {sen(klx), cos(klx)}: series de fourier

La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier

Vamos a obtener una base ortogonal en el espacio vectorial de Hilbertde las funciones de cuadrado sumable en el intervalo (a,b) a partir de lassiguientes funciones:

gl(x) =sen(klx) ; l=1,2,3,Lfl (x)=cos(klx) ; l =0,1,2,3,L

donde el índice l toma valores enteros y k debe ser determinado paraque se cumpla la ortogonalidad de las funciones:

(gl(x), f j(x))=0(gl(x),gj (x))=δlj gl (x)

2

( fl (x), fj(x))=δlj fl (x) 2

(gl(x), f j(x))=0

sen(klx)cos(kjx)a

b

∫ dx=0

12 sen[k(l+j)x]+sen[k(l−j]x)[ ]

a

b

∫ dx=0

−12

cos[k(l+j)x]k(l+j) +cos[k(l −j)x]

k(l −j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ a

b

=0

l−j ≠0

(gl(x), f j(x))=0

sen(klx)cos(kjx)a

b

∫ dx=0

12 sen[k(l+j)x]+sen[k(l−j )x[ ]

a

b

∫ dx=0

−12

cos[k(l+j)x]k(l+j) +cos[k(l −j)x]

k(l −j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ a

b

=0

−12

cos[k(l+j)b]−cos[k(l+j)a]k(l+j) +cos[k(l−j )b]−cos[k(l−j)a]

k(l−j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ =0

(gl(x), fl (x))=0

sen(klx)cos(klx)a

b

∫ dx=0

sen(2klx)2a

b

∫ dx=0

−cos(2klx)2kl

⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ a

b

=0

− cos(2klb)−cos(2kla)2kl

⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ =0

(gl(x),gj (x))=0 ; l ≠j

sen(klx)sen(kjx)a

b

∫ dx=0

12 cos[k(l −j)x]−cos[k(l+j)x[ ]

a

b

∫ dx=0

12

sen[k(l−j)x]k(l−j ) −sen[k(l+j)x]

k(l+j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ a

b

=0

12

sen[k(l−j)b]−sen[k(l−j)a]k(l−j) −sen[k(l+j)b]−sen[k(l+j)a]

k(l+j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ =0

( fl (x), fj(x))=0 ; l ≠j

cos(klx)cos(kjx) a

b

∫ dx=0

12 cos[k(l +j)x]+cos[k(l−j)x[ ]

a

b

∫ dx=0

12

sen[k(l+j)x]k(l+j) +sen[k(l−j)x]

k(l−j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ a

b

=0

12

sen[k(l+j)b]−sen[k(l+j)a]k(l+j ) +sen[k(l−j)b]−sen[k(l−j)a]

k(l−j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ =0

Para que se cumplan las anteriores relaciones de ortogonalidad:

−12

cos[k(l+j)b]−cos[k(l+j)a]k(l+j) +cos[k(l−j )b]−cos[k(l−j)a]

k(l−j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ =0

− cos(2klb)−cos(2kla)2kl

⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ =0

12

sen[k(l−j)b]−sen[k(l−j)a]k(l−j) −sen[k(l+j)b]−sen[k(l+j)a]

k(l+j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ =0

12

sen[k(l+j)b]−sen[k(l+j)a]k(l+j ) +sen[k(l−j)b]−sen[k(l−j)a]

k(l−j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ =0

la condición que debe verificarse es:

kb=ka+2πn ; n∈Ζ

Luego la siguiente familia de funciones constituye una base ortogonal:

gl(x) =sen(2πb−a lx) ; l =1,2,3,L

fl (x)=cos(2πb−alx) ; l =0,1,2,3,L

y las respectivas normas son:

(gl(x),gl(x))= sen(klx)sen(klx)a

b

∫ dx= sen2(klx)a

b

∫ dx

(gl(x),gl(x))= 1−cos(2klx)2a

b

∫ dx= x2 −sen(2klx)

4kl⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ a

b

=b−a2

( fl (x), fl(x))= cos(klx)cos(klx)a

b

∫ dx= cos2(klx)a

b

∫ dx

( fl (x), fl(x))= 1+cos(2klx)2a

b

∫ dx= x2 +sen(2klx)

4kl⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ a

b

l ≠0

=b−a2

( f0(x), f0(x))=a

b

∫dx =b−a =L

gl(x) =sen(2πLlx) ; l =1,2,3,L

fl (x)=cos(2πLlx) ; l=0,1,2,3,L

(gl(x), f j(x))=0

(gl(x),gj (x))=δljL2

( fl (x), fj(x))=L2(1+δl0)δlj

Por tanto, una función, f(x), de cuadrado integrable en el intervalo (a,b)se puede descomponer en esta base ortogonal. A ese desarrollo se le dael nombre de “serie de Fourier” de la función f(x):

f (x) = αl fl(x)l=0

∞∑ + βlgl(x)l=1

∞∑

f (x) =α0 + αl cos(2πLlx)

l=1

∞∑ + βl sen(2πLlx)

l=1

∞∑ Dentro del intervalo (a,b) la función f(x) es idéntica a su desarrollo en serie de Fourier. Sin embargo, fuera del intervalo (a,b), el desarrollo en serie cumple una propiedad de periodicidad (que no tendría por qué tener la f(x) fuera de (a,b)), porque las funciones de labase ortogonal son periódicas.

gl(x) =sen(2πLlx) ; l =1,2,3,L

fl (x)=cos(2πLlx) ; l=0,1,2,3,L

gl(x+nL) =gl(x) ; n∈Ζfl (x+nL) = fl(x) ; n∈Ζ

sen2πL

(x+nL)⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ =sen2πLx+2πn⎛

⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =sen(2π

Lx); n∈Ζ

cos2πL

(x+nL)⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ =cos 2πLx+2πn⎛

⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =cos(2π

Lx); n∈Ζ

Calcular la serie de Fourier en el intervalo (-1,1) de la siguiente función (función de Heaviside):

h(x) = −1 , −1≤x<01 , 0≤x<1

⎧ ⎨ ⎩

h(x) = α l fl (x)l=0

∞∑ + βlgl(x)l=1

∞∑Tenemos que calcular los l y los l de la siguiente serie:

gl(x) =sen(2πLlx) ; fl (x)=cos(2π

Llx)

como el intervalo es el (-1,1):L =b−a=1−(−1)=2gl(x) =sen(πlx) ; fl(x) =cos(πlx)

h(x) = α l cos(πlx)l=0

∞∑ + βl sen(πlx)l=1

∞∑

αn =(cos(πnx),h(x))cos(πnx) 2

αn = 1cos(πnx) 2 cos(πnx)h(x)dx

−1

1

∫ =0

αn =0 ; ∀n



∞∑

βn =(sen(πnx),h(x))sen(πnx) 2

βn = 1sen(πnx) 2 sen(πnx)h(x)dx

−1

1

∫βn =2 sen(πnx)h(x)dx

0

1

∫ =2 sen(πnx)dx0

1

∫=2 −cos(πnx)πn

⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ 0

1= 2πn

[−cos(πn)+1]= 2πn

[−(−1)n +1]=0 si n es par4πn

si n es impar

⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪



∞∑

βl =0 si l es par4πl

si l es impar

⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪

αl =0

h(x) =4π

sen(πlx)ll=1

∞∑l impar

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x)1357

x

f ( x ) =4

π

sen[ π ( 2 k + 1 ) x ]

2 k + 1k = 0

∞

∑

La base {exp(iklx)}:

Teniendo en cuenta la fórmula de Euler:ixe =cos(x)+isen(x)

se ve que los elementos de la base ortogonal de senos y cosenos sepueden escribir en función de exponenciales complejas:

cos(klx) =12

iklxe + −iklxe( )

sen(klx) = 12i

iklxe − −iklxe( )

Además puede comprobarse que estas exponenciales complejascumplen la condición de ortogonalidad:

iklxe , ikjxe( ) =0 ; l ≠j

Luego, efectivamente:

k= 2πb−a

⇒ iklxe , ikjxe( )=0 ; l≠ j

iklxe , ikjxe( ) = [ iklxe ]*

a

b

∫ ikjxe dx

iklxe , ikjxe( ) = −iklxea

b

∫ ikjxe dx = −ik(l−j)xea

b

∫ dx=−ik(l−j )xe

−ik(l−j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ a

b

Además el producto de una exponencial compleja por sí misma; esdecir, la norma al cuadrado de una exponencial compleja es:

iklxe , ikjxe( ) =Lδlj ; k=2πL

Luego el conjunto de las exponenciales complejas {exp(iknx)} conk=2π/(b-a) y n un número entero es una base ortogonal del espacio deHilbert de las funciones de cuadrado sumable en el intervalo (a,b) :

iklxe , iklxe( ) = [ iklxe ]*

a

b

∫ iklxe dx

iklxe , iklxe( ) = −iklxea

b

∫ iklxe dx =a

b

∫dx =b−a =L

Por tanto, una función, f(x), de cuadrado integrable en el intervalo (a,b)se puede descomponer en esta base ortogonal:

f (x) = all=−∞

∞∑ iklxe

Hay que tener en cuenta que, ahora, los escalares del desarrollo, es decir,los al serán, en general, números complejos.

Dentro del intervalo (a,b) la función f(x) será idéntica a su desarrollo en función de las exponenciales. Sin embargo, fuera del intervalo (a,b), el desarrollo cumple una propiedad de periodicidad porque las funciones dela base ortogonal son periódicas, (periodicidad que no tendría por qué tener la f(x) fuera de (a,b))

Si queremos calcular los al del desarrollo de una función , f(x), haciendouso de la ortogonalidad tendremos lo siguiente:

f (x) = all=−∞

∞∑ iklxe

( ikjxe , f(x))=( ikjxe , all=−∞

∞∑ iklxe ) = all=−∞

∞∑ ( ikjxe , iklxe )

( ikjxe , f(x))= all=−∞

∞∑ δljL =ajL

aj = 1L

( ikjxe , f (x))

Si la función f(x) es una función real, se cumplirá lo siguiente:

( f (x), ikjxe ) = f(x)* ikjxe dxa

b

∫ = f (x) ikjxe dxa

b

∫

( ikjxe , f(x))= ikjx[e ]* f(x)dxa

b

∫ = −ikjxe f (x)dxa

b

∫

aj = 1L

( ikjxe , f (x))

aj = 1L

−ikjxe f (x)dxa

b

∫

= ikjxe f(x)dxa

b

∫ = ik(−j )x[e ]* f(x)dxa

b

∫=( −ikjxe , f(x))

Por tanto, si la función f(x) es una función real, tenemos:

( f (x), ikjxe ) =( −ikjxe , f (x))

Pero, para cualquier función:

( f (x), ikjxe ) = ( ikjxe , f (x))[ ]*

=a−jL

= aj L[ ]*

Por tanto, si la función f(x) es una función real, se cumple que:

aj* =a−j

Vamos a utilizar lo anterior para ver cómo podemos, para el caso de una función real, encontrar la relación entre los coeficientes de la baseortogonal de las exponenciales complejas y los coeficientes de la seriede Fourier , es decir, de la base ortogonal de senos y cosenos:

f (x) = all=−∞

∞∑ iklxe =a0 + (a−l−iklxe +al iklxe )

l=1

∞∑ Si la función f(x) es una función real: a−l =al

*

f (x) =a0 + [al* iklxe( )* +al iklxe ]

l=1

∞∑f (x) =a0 + 2Re[al iklxe ]

l=1

∞∑

Si escribimos los al del siguiente modo:

al =aliθle

f (x) =a0 + 2Re[al iklxe ]l=1

∞∑ =a0 + 2Re[al i(klx+θ l )e ]l=1

∞∑

f (x) =a0 + 2all=1

∞∑ cos(klx+θl )

f (x) =a0 +2 all=1

∞∑ [cos(klx)cos(θl )−sen(klx)sen(θl)]

f (x) =α0 + [α ll=1

∞∑ cos(klx)+βl sen(klx)]que es equiparable a la serie de Fourier de la función real, f(x):

donde:α0 =a0

αl =2al cos(θl)βl =−2al sen(θl )

⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ l≠0

o, equivalentemente:

a0 =α0

al =12 αl

2 +βl2 iarctg−βlαle

f x( ) =x−12 ; x∈(0,1) base ortogonal ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ i2πjxe{ } ; j ∈ Ζ

f x( ) = aj i2πjxej=−∞

∞∑ → al = −i2πlxe f(x)dx0

1

∫al = −i2πlxe (x−1

2)dx0

1

∫ = −i2πlxe x dx0

1

∫ −12

−i2πlxe dx0

1

∫

al = −i2πlxe x dx0

1

∫ = ix2πl

−i2πlxe⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ 0

1− i

2πl−i2πlxe dx

0

1

∫ = i2πl

u=x ; du=dx

dv= −i2πlxe dx ; v=−i2πlxe

−i2πl =i −i2πlxe2πl l ≠ 0

l =0 → a0 = (x−12)dx

0

1

∫ =0

f (x) = i2πj

i2πjxe0≠j=−∞

∞∑ =2 Re i2πj

i2πjxe⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ j>0

∞∑

f (x) =−1π

sen(2πjx)jj>0

∞∑

=−1π

sen(2πjx)jj>0

∞∑

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sen(2πx))

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2+sen(6πx)/3)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2+sen(6πx)/3+sen(8πx)/4)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2+sen(6πx)/3+sen(8πx)/4+sen(10πx)/5 )

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2+sen(6πx)/3+sen(8πx)/4+sen(10πx)/5 +sen(12πx)/6)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2+sen(6πx)/3+sen(8πx)/4+sen(10πx)/5 +sen(12πx)/6+sen(14πx)/7)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2+sen(6πx)/3+sen(8πx)/4+sen(10πx)/5 +sen(12πx)/6+sen(14πx)/7+sen(16πx)/8)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2+sen(6πx)/3+sen(8πx)/4+sen(10πx)/5 +sen(12πx)/6+sen(14πx)/7+sen(16πx)/8+sen(18πx)/9)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x-1/2

x

-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2+sen(6πx)/3+sen(8πx)/4+sen(10πx)/5 +sen(12πx)/6+sen(14πx)/7+sen(16πx)/8+sen(18πx)/9+sen(20πx)/10)

H(x) = 0 , −1≤x<01 , 0≤x<1

⎧ ⎨ ⎩

Calcular en el intervalo (-1,1) las series de Fourier de las siguientes funciones:

f (x) =x

f (x) = xe

f (x) =δ(x)

H(x) = 0 , −1≤x<01 , 0≤x<1

⎧ ⎨ ⎩

Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside:

base ortogonal ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ iπjxe{ } ; j∈ Ζ

H x( ) = aj iπjxej=−∞

∞∑ → al =12

−iπlxe H(x)dx−1

1

∫al =1

2−iπlxe H(x)dx

−1

1

∫ =12

−iπlxe dx0

1

∫ =12

1−iπl

−iπlxe⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ 0

1

al =12iπl

−iπle −1[ ] = i2πl cos(πl)−isen(πl)−1[ ]= i2πl cos(πl)−1[ ]=

0 ; si l es par−iπl

; si l es impar⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ l ≠ 0

al =12

−iπlxe H(x)dx−1

1

∫

H(x) = 0 , −1≤x<01 , 0≤x<1

⎧ ⎨ ⎩




∞∑

0-iπ0x =1

2 dx0

1

∫ =12al =

0 ; si l es par−iπl

; si l es impar⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ a0 =1

2 ;

=12 + −i

πjiπjxe

0≠j=−∞

∞∑j impar

=12 + −i

πjiπjxe

0≠j=−∞

∞∑j impar

H(x) = 0 , −1≤x<01 , 0≤x<1

⎧ ⎨ ⎩




∞∑ =12 + 2Re −i

πjiπjxe

⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ j>0

∑j impar

H x( ) =12 +2

πRe −i cos(πjx)+isen(πjx)( )

j⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ j>0

∑j impar

H x( ) =12 +2

πsen(πjx)

jj>0∑

j impar

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

f x( ) =x ; x∈(−1,1) base ortogonal ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ iπjxe{ } ; j∈ Ζ

f x( ) = aj iπjxej=−∞

∞∑ → al =12

−iπlxe f(x)dx−1

1

∫al =1

2−iπlxe xdx

−1

1

∫ u=x ; du=dx

dv= −iπlxe dx ; v=−iπlxe

−iπl =i −iπlxeπl l ≠ 0

al =12

−iπlxe x dx−1

1

∫ =12

iπl

−iπle − iπle( )⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ −12iπl

−iπlxe dx−1

1

∫

al =12

−iπlxe x dx−1

1

∫ = iπl

cos(πl) = iπl

(−1)l

al =12

−iπlxe x dx−1

1

∫ =12

iπl

−iπle + iπle( )⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

al =12

−iπlxe x dx−1

1

∫ =12

iπl

−iπle + iπle( )+ 1(πl)2

−iπle − iπle( )⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

al =12

−iπlxe x dx−1

1

∫ =12

ixπl

−iπlxe⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ −1

1+1

21

(πl)2−iπlxe

⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ −1

1

al =12

−iπlxe x dx−1

1

∫ =12

iπl

−iπle − iπle( )⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ −12iπl

−iπlxe dx−1

1

∫

f x( ) =x= aj iπjxej=−∞

∞∑aj = i

πl(−1)j

= i(−1)jπj

iπjxej=−∞

∞∑

x= 2Re i(−1)jπj

iπjxe⎡ ⎣ ⎢ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ⎥ j>0

∞∑ = 2(−1)j+1

πjsen(πjx)

j>0∑

x=2π

(−1)j+1

jsen(πjx)

j>0∑

f(x)δ(x−xo)dx−1

1

∫ = f(xo)

xo ∈ (−1,1)

⎫ ⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

Calcular la serie de Fourier de (x):


δ x( )= aj iπjxej=−∞

∞∑ → al =12

−iπlxe δ(x)dx−1

1

∫al =1

2−iπlxe δ(x)dx

−1

1

∫ =12

δ x( )=12

iπjxej=−∞

∞∑ =12 +1

2 iπjxe + iπjxej>0∑

j<0∑⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ ⎟ =1

2 +12 −iπjxe + iπjxe

j>0∑

j>0∑⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ ⎟ =1

2 +12 ( −iπjxe + iπjxe

j>0∑ )δ x( )=1

2 + cos(πjx)j>0∑=12 + cos(πjx)

j>0∑

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

Δ x( ) =iπ2

iπjxje

j=−∞

∞∑

δ(x) =12 + cos(πjx)

j>0∑

=iπ2 j iπjxe

0≠j=−∞

∞∑=−π jsen(πjx)j>0∑=π

2 2Re j i iπjxe[ ]j>0∑

f(x)Δ(x−a)dx−1

1

∫ =−f' (a)

a∈ (−1,1)

⎫ ⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

Calcular la serie de Fourier de (x):


Δ x( ) = aj iπjxej=−∞

∞∑ → al =12

−iπlxe Δ(x)dx−1

1

∫al =1

2−iπlxe Δ(x)dx

−1

1

∫ =iπl2

=−π jsen(πjx)j>0∑Δ x( )

la base {sen(klx), cos(klx)}: series de fourier

Documents