la base de las matemáticas financieras, por gemma cid y xavier puig

Barcelona School of Management © UPF

Matemática financiera básica

Apartado 1La base de las matemáticas financieras

Introducción

Las matemáticas financieras no tienen demasiada buena fama entre las generaciones de estudiantes de economía que las han sufrido. La mayoría no guarda gratos recuerdos sobre sus decenas de fórmulas, cálculos, regímenes financieros, equivalencias, ejercicios, etc., y lo peor de todo es que, al final, lo básico se perdía entre tanta fórmula. Pero, en realidad, las matemáticas financieras son muy útiles y todos las necesitamos en infinidad de momentos de nuestra vida.

Cuando tenemos un ahorro disponible (por ejemplo, hemos gastado menos de lo ingresado), el sistema financiero nos ofrece una gran variedad de productos o activos en los que podemos invertir. En otras ocasiones, sin embargo, podemos necesitar un dinero del que no disponemos (por ejemplo, para la compra de una vivienda), y también el sistema financiero nos facilita poder acceder a ese importe a cambio de que lo devolvamos en un futuro. No sólo las personas físicas, sino también las empresas, las administraciones públicas u organizaciones diversas pueden tener ahorro disponible o precisar de liquidez en diferentes etapas de su vida. En cualquiera de esos casos, cuanto mayor conocimiento de matemáticas financieras se tenga, mejores decisiones se podrán tomar.

En este apartado se pretende desarrollar, de forma clara e intuitiva, los conceptos básicos de las matemáticas financieras. Serán pocos conceptos, algo más de media docena, pero si se asimilan bien, van a permitir que se “construya” sobre ellos, poco a poco y a partir de diversos ejemplos, una estructura sólida de conocimientos que permitirán analizar con solvencia los principales productos y activos financieros que millones de personas y organizaciones utilizan a diario.

Sección 1. El capital financiero y el precio del dinero

Dos capitales idénticos en momentos diferentes del tiempo no son equivalentes. Mil euros hoy no son lo mismo que mil euros dentro de un año. Y toda la matemática financiera que desarrollaremos a partir de ahora se basa en una desigualdad, que es la siguiente:

Valor actual de un capital financiero ≠ Valor futuro de un capital financiero

Cuando invertimos 100 euros en un depósito, no esperamos recibir 100 euros dentro de un año, esperamos recibir más, es decir, creemos que el valor futuro de esos 100 euros debe ser superior (por ejemplo, 103 euros). De no ser así, no lo consideraríamos un trato “justo”.


Apartado 1. La base de las matemáticas financieras


Para poder manejarnos en matemáticas financieras, el término “capital” (100 euros) no nos dice nada. A partir de ahora debemos hablar de “capital financiero” o, lo que es lo mismo, una cantidad monetaria asociada a un momento del tiempo (100 euros hoy, 103 euros dentro de un año, etc.).

Existen productos financieros que nos permiten “trasladar” capitales financieros del presente al futuro, o viceversa, trasladar capitales financieros del futuro a la actualidad. De hecho, lo que ofrecen es un intercambio de un capital financiero hoy a cambio de un capital financiero en el futuro, o a la inversa, de forma que sean “financieramente equivalentes”, es decir, que para las dos partes que intervienen en la operación el trato sea “justo”.

¿Y qué significa “justo”? ¿Cuánto se debe retribuir a aquel que cede su capital hoy y espera recuperarlo en el futuro? ¿Qué coste debe soportar quien recibe dinero hoy y se compromete a devolverlo en el futuro?

Principalmente, hay tres conceptos que nos ayudan a responder a esta pregunta:

a) Inflación

Cuando cedemos hoy una capital financiero, estamos renunciando a poderlo gastar; por tanto, cuando en el futuro recuperemos otro capital financiero, éste por lo menos debe compensarnos por lo que costará en el futuro lo que renunciamos a comprar hoy. Por ejemplo, si renuncio a comprarme un coche hoy e invierto el dinero durante un año, como mínimo que cuando lo recupere pueda pagar el precio del coche dentro de un año (que seguramente será superior por efecto de la inflación).

b) Coste de no disponibilidad o de diferimiento del consumo

Ya que no tenemos disponible el dinero durante un período de tiempo, lo justo sería que cuando lo recibamos no sólo podamos comprar el mismo objeto al que hemos renunciado. Siguiendo el ejemplo anterior, si el dinero que recibiré dentro de un año sólo me compensa la inflación y la decisión que debo tomar es si compro el coche hoy o dentro de un año, seguramente decidiré comprarlo hoy. ¿Para qué esperar? Ahora bien, si obtengo la inflación y algo más, quizá este hecho sí que me motive a esperar un año y pueda comprarme el coche… ¡y la radio!

c) Riesgo

Hasta ahora hemos supuesto que ese cobro futuro (que me permitirá comprar el coche y una radio nueva) es seguro, pero hay infinidad de inversiones que tienen riesgo o, lo que es lo mismo, cuyos capitales financieros futuros son inciertos. Si esto ocurre, si hay riesgo, pediremos una prima por ese riesgo, es decir, cederemos nuestro capital hoy a cambio de más capital financiero en el futuro, y cuánto más riesgo percibamos, más capital financiero exigiremos.




De forma aproximada, los títulos de renta fija considerados “sin riesgo” (deuda estatal de máxima solvencia) ofrecen una rentabilidad que trata de abarcar los dos primeros conceptos (inflación más coste de no disponibilidad); por ello al resto de inversiones, a ésta rentabilidad “sin riesgo”, se le suman las diferentes “primas de riesgo” dependiendo de las características de la inversión.

Sección 2. Operaciones básicas: capitalizar y actualizar

Hemos dicho que el sistema financiero nos permite “mover dinero en el tiempo” y que la matemática financiera nos permite “transformar” un capital financiero en otro (financieramente equivalente) hacia el futuro o hacia el pasado.

Cuando se trata de convertir un capital financiero de hoy hacia el futuro, la operación que se está realizando es “capitalizar”.

Cuando convertimos un capital financiero del futuro hacia el presente, la operación que estamos realizando es “actualizar”.

Para poder capitalizar o actualizar necesitamos dos cosas:

a) Elegir una fórmula matemática para “transformar” unos importes en otros o, dicho de otro modo, elegir un “régimen financiero” y, por tanto, su fórmula asociada o “factor financiero”.

b) Determinar un tipo de interés.

Decir que capitalizaremos (o actualizaremos), por ejemplo, 6.000 euros al 10% no nos dice nada si no añadimos la información sobre el “régimen financiero” y, por tanto, sobre el “factor financiero” que debemos aplicar.

Las dos partes que intervienen en la operación deben pactar ambas cosas:

a) El tipo de interés que deben aplicar.b) La fórmula para aplicarlo.

Los regímenes financieros más habituales son los siguientes:

1. El régimen financiero de tipo de interés simple vencido.2. El régimen financiero de tipo de interés compuesto vencido.

Cada uno de ellos tiene una fórmula –llamada “factor financiero”– mediante la cual “transforma” capitales financieros en el tiempo.




1. Régimen financiero de tipo de interés simple vencido

El primero de ellos utiliza el siguiente “factor financiero” (fórmula):

(1 + i ∙ n)

• i expresa el tipo de interés.• n expresa el tiempo.

Si queremos capitalizar, multiplicaremos el capital inicial por este factor financiero. Si queremos actualizar, dividiremos el capital final por este factor financiero.

Capitalizar

Si invierto 100 euros hoy al 3% anual durante dos años, aplicando el tipo de interés simple vencido, ¿qué recibiré al vencimiento?

C’ = 100 ∙ (1 + 0,03 ∙ 2) = 106 €

Cada año recibiré 3 euros de intereses; por tanto, en los dos años recibiré 6 euros de intereses más el principal de 100 euros.

Actualizar

Si recibiré 106 € dentro de dos años, ¿cuántos euros representan a día de hoy actualizados al 3% anual y aplicando tipo de interés simple vencido?

C =106

(1 + 0,03 ∙ 2)= 100 €

ejemplo

nn

2. Régimen financiero de tipo de interés compuesto vencido

El segundo régimen financiero utiliza el siguiente “factor financiero” (fórmula):

(1 + i)n




ejemplo

nn

De nuevo:

• i expresa el tipo de interés.• n expresa el tiempo.

Si queremos capitalizar, multiplicaremos el capital inicial por este factor financiero. Si queremos actualizar, dividiremos el capital final por este factor financiero.

Capitalizar

Si invierto 100 euros hoy al 3% anual durante dos años, aplicando el tipo de interés compuesto vencido, al vencimiento recibiré:

C’ = 100 ∙ (1 + 0,03)2 = 106,09 €

Los 3 euros del primer año se suman al capital; por tanto, en el segundo año se calculan intereses sobre 103 euros (y no sobre 100 euros, como en el régimen financiero anterior) y por ello, finalmente, recibiré 106,09 euros en vez de 106 euros.

Actualizar

Si lo que deseamos es actualizar, dividimos entre el factor financiero.

Actualizar a día de hoy un importe de 20.000 euros que se quiere obtener dentro de 20 años, es decir, calcular el importe que hay que invertir hoy para tener dicha cantidad disponible en 20 años, siendo el tipo de interés del 10% nominal anual.

Con régimen financiero de tipo de interés simple vencido:

C =20.000

1 + 0.1 ∙ 20= 6.666,67

Con régimen financiero de tipo de interés compuesto vencido:

C =20.000

(1 + 0.1)20= 2.972,87




Como en el régimen financiero de tipo de interés compuesto se reinvierten los intereses, que a su vez generan más intereses, a fecha de hoy puedo poner un importe sensiblemente menor que en el régimen de tipo de interés simple para obtener, al final del período, la misma cantidad (20.000 euros).

Sección 3. El VAN - Valor Actual Neto

El Valor Actual Neto es una técnica de análisis de inversión que compara la inversión inicial con el valor actualizado de todos sus rendimientos esperados.

Así, por ejemplo, si nos proponen invertir 100 millones de euros hoy, con el compromiso de que en los próximos cinco años recibiremos sucesivamente cada año: 30, 30, 30, 30 y 50 millones de euros, sería erróneo analizarlo con la premisa de que aplicamos 100 millones y recibimos en total 170 millones.

No se pueden comparar 100 millones de euros de hoy con 30 millones de euros dentro de uno, dos, tres o cuatro años o de 50 millones de euros dentro de cinco años. Para poder analizar la inversión, deberemos comparar la inversión inicial (100) con los flujos futuros (30, 30, 30, 30, 50) actualizados, es decir, convertir esas cifras en euros de años posteriores a la fecha de inicio de la inversión a euros correspondientes a dicha fecha de inicio. A partir de aquí sí se podrá comparar unos montantes de euros con otros, ya que todos serán equivalentes en el momento inicial de la inversión.

La fórmula del VAN es la siguiente:

VAN = -I +(1 + k)

CF1 +(1 + k)2

CF2 + ... +(1 + k)n

CFn

Donde:

• I = Inversión inicial (en el ejemplo 100 millones de euros).• CF1 = Capital financiero o flujo de fondos que se ingresarán en el primer período (en el ejemplo 30

millones de euros).• CF2 = Capital financiero o flujo de fondos que se ingresarán en el segundo período (en el ejemplo

30 millones de euros).• n = Número de períodos de liquidación que tiene la inversión (en el ejemplo, cinco períodos).• CFn = Capital financiero o flujo de fondos que se ingresarán en el último período (en el ejemplo 50

millones de euros).

• k = Tasa de actualización de los flujos futuros (tasa única).




Si en el presente ejemplo se calcula el VAN dando a la tasa de actualización “k” el valor del 10%, obtendríamos el siguiente resultado (conviene recordar que en los cálculos financieros las tasas en tanto por ciento se utilizan en tanto por uno; así, un 10% se incluirá en la fórmula como 0,10):

VAN = -100 +(1 + 0,10)

30+

(1 + 0,10)2

30+

(1 + 0,10)3

30+

(1 + 0,10)4

30+

(1 + 0,10)5

50

VAN = -100 + 27,27 + 24,79 + 22,54 + 20,49 + 31,05 = -100 + 126,14 = +26,14

Cuando se calcula el VAN de una inversión, lo primero que interesa conocer es si éste es positivo o negativo:

• En el presente ejemplo, el VAN resultante es positivo, lo que indica que la inversión es, en principio, aconsejable.

• En el caso de que el VAN hubiese dado un resultado negativo, estaría indicando que la inversión analizada, en principio, no es aconsejable.

VAN positivo = Inversión recomendable.

VAN negativo = Inversión no aconsejable.

¿Cómo se debe interpretar el VAN?

En primer lugar, se debe entender que el VAN es una técnica de evaluación de inversiones que lo que hace es poner un “listón” a la inversión analizada. Este “listón” es la tasa de actualización “k”. En el ejemplo anterior se puede interpretar que la inversión ofrece una rentabilidad “superior al 10%” o, lo que es lo mismo, supera el “listón” del 10%; por eso se considera que, si sólo se tienen en cuenta esas variables, la inversión es “aconsejable”.

Se puede observar que si se recalcula el VAN del ejemplo con una tasa de actualización mayor, por ejemplo del 20%, habrá una mayor probabilidad de que el VAN sea negativo o, dicho de otro modo, habrá una probabilidad mayor de que la inversión no supere el nuevo “listón” que se le ha colocado.




¿Qué favorece un VAN positivo?

Hay tres factores que inciden en el resultado final del VAN:

a) La inversión inicial: cuanto menor sea, más probabilidades de que el VAN sea positivo.b) Los flujos de fondos futuros: cuanto mayores sean éstos, más probabilidades de obtener un VAN

positivo.c) La tasa de actualización “k”: cuanto menor sea ésta, también mayor probabilidad tendrá el VAN

de ser positivo.

¿Cuál será entonces la tasa de actualización que se utilizará para calcular un VAN?

Al calcular el VAN de una inversión, cada inversor utilizará la tasa de rentabilidad mínima exigida a dicha inversión, es decir, tiene un sentido de “coste de oportunidad”, ya que para tomar la decisión de realizar o no la inversión le ponemos el “listón” de la rentabilidad a la que se está renunciando por emprender el proyecto de inversión analizado. Expresado de otra forma, al calcular el VAN se exige al proyecto de inversión, para que sea aconsejable, que produzca como mínimo lo que el capital vinculado produciría en el uso alternativo al que se renuncia, y si el proyecto analizado asume un riesgo mayor a esa alternativa, se le sumaría la prima de riesgo que se considere oportuna.

Sección 4. La TIR – Tasa Interna de Rentabilidad

El VAN es una cierta medida del beneficio absoluto de un proyecto de inversión, pero con el cálculo del VAN no se conoce la tasa interna de rentabilidad del proyecto o TIR. Lo único que se conoce, una vez calculado el VAN, es lo siguiente:

• Si es positivo, el proyecto ofrece una rentabilidad mayor que la tasa de actualización “k” utilizada.• Si es negativo, la rentabilidad del proyecto es menor que la tasa de actualización “k” utilizada.• Si es igual a cero, obviamente la rentabilidad del proyecto coincide con la tasa de actualización.

Así, en el ejemplo numérico utilizado para calcular el VAN, lo único que se conoce respecto a la TIR (Tasa Interna de Rentabilidad) del proyecto analizado es que ésta es mayor que el 10%.

Al ser el VAN positivo, se sabe que la rentabilidad de la inversión analizada es mayor que el “listón” que se le ha colocado; luego, si supera ese listón del 10%, el proyecto ofrece una rentabilidad (TIR) mayor que este 10%.

¿Cómo calcular la TIR de una inversión?




Si al calcular el VAN de una inversión el resultado es igual a cero, resulta que la inversión no tiene una rentabilidad mayor que el “listón” ni menor que el “listón”; por tanto, la TIR sería igual a ese “listón” o tasa de actualización utilizada. De aquí se deduce que la TIR es aquella tasa de actualización que hace que el VAN se iguale a cero.

En este caso, en la fórmula del VAN, ahora la incógnita no es el VAN, sino la tasa de actualización “k”, ya que se debe hallar una “k” tal que haga que el VAN sea cero. En este caso concreto, a la “k” se la denomina TIR. Para despejar la “k” de la fórmula existe un problema matemático, ya que se está frente a un polinomio de grado “n” y esta operación no tiene una solución única; la forma de calcular ese valor de “k” que haga que el VAN sea cero será por el método de “iteraciones sucesivas”.

Este método de cálculo no es más que ir acotando el valor de “k” entre aquellos valores que den un VAN positivo y un VAN negativo, hasta conseguir uno que dé como resultado un VAN igual a cero. En el ejemplo numérico anterior de cálculo del VAN se ha utilizando una tasa de actualización igual al 10% y el VAN era positivo; si utilizásemos una tasa de actualización del 20%, el VAN pasaría a ser negativo; por tanto, ya se sabe que la TIR estará entre el 10 y el 20%. Habrá que acotar sucesivamente el valor de “k” entre 10 y 20 hasta hallar un valor de TIR donde el VAN sea igual a cero.

En la práctica, utilizaremos para su cálculo una calculadora financiera, o bien una hoja de cálculo (más adelante lo veremos), que en el fondo no estarán haciendo otra cosa que realizar aproximaciones a VAN igual a cero mediante iteraciones sucesivas también.

Sección 5. La TAE – Tasa Anual Equivalente

La TIR da la tasa interna de rentabilidad de un proyecto de inversión, pero esta TIR no tiene por qué ser necesariamente de un período anual.

La TAE es la TIR anualizada. Cuando una operación financiera no tiene períodos anuales de liquidación de intereses, debe realizarse una transformación de la TIR resultante (mensual, trimestral, semestral, etc.) en una TIR anual o TAE (tasa anual equivalente). La anualización de una TIR se realiza mediante la fórmula siguiente:

TAE = (1 + TIR) − 1365d

Donde “d” es el número de días que comprende cada período de liquidación, y si el año fuera bisiesto, el numerador de la potencia sería igual a 366. En caso de aplicar el año comercial, la fórmula que se aplica es la misma pero con el numerador del exponente igual a 360:

TAE = (1 + TIR) − 1360d




ejemplo

nnAsí, por ejemplo, si se analiza una operación financiera donde se prestan cien millones (100 millones de euros) y se pagan intereses en cuatro períodos de liquidación de un montante igual a cuatro (4) millones de euros cada período, devolviéndose el principal (100 millones de euros) al final del último período, la TAE resultante dependerá de los días que comprende cada uno de esos cuatro períodos de liquidación.

4 4 4 104

-100

La TIR resultante será igual al 4%.

Si los períodos son trimestrales, quiere decir que la TIR es trimestral y la TAE será igual a:

• TIR (trimestral) = 4%.• TAE = (1 + 0,04)360/90 – 1 = (1,04)4 – 1 = 16,99%.

Si los períodos son semestrales, quiere decir que la TIR es semestral y la TAE será igual a:

• TIR (semestral) = 4%.• TAE = (1 + 0,04)360/180 – 1 = (1,04)2 – 1 = 8,16%.

En definitiva, la TIR de una operación con períodos de liquidación anual es igual a la TAE. En el caso de que una operación financiera no tenga períodos de liquidación anuales, se deberá convertir a la TIR anual o TAE mediante la fórmula anteriormente expuesta.

Sección 6. Rentabilidad real

Si obtenemos una rentabilidad (llamémosle “rentabilidad financiera”) de una inversión del 10% pero la inflación del período ha sido del 3%, lo que sabemos es que nuestro “poder adquisitivo” no ha aumentado el 10%, ¿verdad?

¿Cuánto ha aumentado realmente? Esta información nos la proporciona la rentabilidad real. Ésta es una cifra a la que se le da cierta importancia por parte de los inversores, ya que no debe olvidarse que el




ejemplo

nn

objetivo fundamental del ahorro y la inversión es preservar el capital para mantener o incrementar su poder adquisitivo a lo largo del tiempo, y por ello la erosión que genera la inflación en el valor de dicho patrimonio puede ser de gran importancia.

En ocasiones se utiliza una primera aproximación, que se limita a restar de la tasa de rentabilidad que se ha calculado el importe de la inflación existente para el mismo plazo de la inversión. Si la inflación es del 3% anual y se obtiene un interés del 8% anual, en realidad la rentabilidad real es de 5%, obtenida con la fórmula siguiente:

Rentabilidad real = Tasa de rentabilidad financiera – Inflación

Este cálculo es solamente una aproximación, aunque en muchas ocasiones puede utilizarse sin problemas porque el resultado que se obtiene es similar al que obtenemos con la fórmula más apropiada, que es la siguiente:

Rentabilidad real = − 11 + inflación

1 + rentabilidad financiera

Disponemos de 100 euros, con los que podemos comprar hoy 100 pastelitos (pues su precio es de 1 euro el pastelito). Decidimos invertir estos 100 euros durante un año. Para renunciar a comprar los pastelitos hoy, deseamos poder comprar dentro de un año 105 pastelitos, es decir, deseamos obtener una “rentabilidad real” del 5%. Como sabemos (por alguna extraña razón) que la inflación va a ser del 3%, decidimos invertir en un producto que ofrece una rentabilidad del 8%.

¿Cuál habrá sido la rentabilidad real de esta operación?

Rentabilidad real = − 1 = 0,04851 + 0,03

1 + 0,08

Mediante el uso de la diferencia entre rentabilidad financiera e inflación hubiéramos obtenido 8% – 3% = 5%, que parecía indicarnos que de esta inversión podríamos comprar los 105 pastelitos. En cambio, con la segunda fórmula, esto no es así: podremos comprarnos 104 pastelitos (o 104,85 pastelitos). ¿Por qué ocurre esto?




Porque no solamente a los 100 pastelitos iniciales hay que aplicarles la inflación (dentro de un año valdrán 103 euros), sino también a los 5 que deseo comprar (que valdrán 5,15 euros, y no 5 euros). Si realmente quiero consumir 105 pastelitos, deberé invertir en un producto que ofrezca 8,15 euros, entonces sí que mi rentabilidad real será del 5%:

Rentabilidad real = − 1 = 0,051 + 0,03

1 + 0,0815

Con este sencillo ejemplo vemos por qué la fórmula correcta es la segunda, si bien en muchas ocasiones la diferencia entre ambas es pequeña y puede utilizarse la primera.

Cierre

En el presente apartado se han visto los conceptos básicos de la matemática financiera, que permitirán a partir de aquí analizar productos y activos financieros con una base sólida. Hemos visto cómo definimos los capitales financieros, qué factores influyen en el precio del dinero, qué es capitalizar y actualizar, así como los principales regímenes financieros con los que lo hacemos, y qué son y cómo se interpretan el VAN, la TIR y la TAE.

En los siguientes apartados se verá la aplicación práctica de estos conceptos en los diferentes productos y activos que el sistema financiero pone al alcance para poder cubrir las diferentes necesidades de inversión y financiación de todos los agentes de la economía.

Cada tipo de producto/activo se va a analizar de forma diferente, pero si estos primeros conceptos se tienen claros, la complejidad que irá apareciendo en los ejemplos prácticos de los diferentes productos y activos se irá asimilando sin problemas.



Apartado 2Aplicaciones prácticas de las matemáticas financieras en los productos bancarios “de pasivo”

Introducción

Una vez revisados los conceptos básicos de la matemática financiera: capital financiero, equivalencia financiera, actualizar y capitalizar, VAN, TIR y TAE, comenzaremos a ver su aplicación práctica en el análisis de los activos y productos financieros más importantes.

El sistema financiero ofrece tres vías principales para poder conectar a los oferentes de capital (los que tienen dinero “hoy” y desean invertirlo para obtener más dinero “futuro”) con los demandantes de capital (los que piden dinero “hoy” y se comprometen a devolver dinero “futuro”):

1. La intermediación bancaria. En esta vía, las instituciones financieras son los intermediarios que se colocan entre oferentes y demandantes, ofreciendo a cada uno un producto diferente según sus necesidades:

a. Productos de pasivo (que denominaremos genéricamente “depósitos”) a los que aportan dinero a la institución.

b. Productos de activo (genéricamente se denominan “créditos”) a los clientes que precisan financiación; nosotros analizaremos principalmente los préstamos.

2. Los mercados financieros.

3. Los productos previsionales.

En este segundo apartado nos centraremos en los productos de pasivo de la intermediación bancaria, cuando los depositantes ceden su dinero a la entidad a cambio de recuperar su dinero en el futuro más una rentabilidad adicional.


Apartado 2. Aplicaciones prácticas de las matemáticas financieras en los productos bancarios “de pasivo”


Esquema 2.1. Productos de pasivo de intermediación bancaria dentro del

sistema financiero

Entidades financieras

Primas

Compañías aseguradoras

Mercados financieros

Demanda (inversión)Oferta (ahorro)

Préstamos

Acciones y BonosAcciones y BonosFondos de inversión

Depósitos

esquema

UU

Sección 1. Trabajando con tipos de interés a menos de un año

Comenzaremos utilizando las herramientas que ya conocemos para poder analizar tres depósitos diferentes:

1. Depósito al 8% nominal anual con vencimiento a los 9 meses (tres trimestres) y liquidación única de intereses al vencimiento. Régimen financiero de tipo de interés simple.

2. Depósito al 8% nominal anual con vencimiento a los 9 meses (tres trimestres), con capitalización trimestral de intereses y liquidación única al vencimiento. Régimen financiero de interés compuesto.

3. Depósito al 8% nominal anual con vencimiento a los 9 meses (tres trimestres) y liquidación de intereses al final de cada trimestre. Régimen financiero de tipo de interés simple.




a) Análisis del primer depósito

Siempre lo primero es plantear el esquema temporal para tener claro cuáles serán los capitales financieros que tendrá la operación. En este caso, en que hay liquidación única de intereses al vencimiento, serán dos.

100 9m

C’

Imaginemos que depositamos 100 euros, ¿qué cantidad recibiremos transcurridos los 9 meses?

En este ejemplo los números son muy fáciles y podemos responder con sentido común; recibiremos los 100 euros más unos intereses de 6 euros, ya que si en un año ganamos 8 euros, en 9 meses ganamos 6 euros.

Si aplicamos la fórmula que ya conocemos, veremos que sigue la misma lógica que el sentido común.

Si C es el capital financiero hoy y C’ el capital financiero de aquí a 9 meses:

0,06 ó 6%Intereses generados

Capital depositado

C’ = C + C ∙ i ∙ t = C ∙ (1 + i ∙ t) = 100 ∙ (1 + 0,08 ∙ ) = 106912

Fijémonos que hemos expresado el tipo de interés nominal en años (el 8% es anual) y el tiempo también en años (9/12 años es el plazo en años de la operación). También habríamos podido expresar el tipo de interés nominal y el tiempo directamente expresado en el plazo de la operación (9 meses):

C’ = C ∙ (1 + i ∙ t) = 100 ∙ (1 + 0,06 ∙ 1) = 106

Ahora el tipo de interés nominal y el tiempo están expresados, no en términos anuales, sino en términos de “nueve meses”; un 6% es el tipo de interés nominal a 9 meses que proviene del 8% nominal anual, y ahora multiplicamos por 1, que es el número de períodos de “9 meses” que hay en la operación.




Para obtener el tipo de interés nominal del período de tiempo adecuado (en este caso 9 meses), es tan fácil como expresarlo de forma anual (0,08 en el ejemplo) y multiplicarlo por el plazo de la operación expresado en años. Veámoslo de modo gráfico.

9 meses sobre 12, o 3 trimestres sobre 4, o 270 días sobre 360, todos ellos expresan el plazo de la operación en años,

concretamente que la operación dura 0,75 años

0,08 ∙ = 0,08 ∙ = 0,08 ∙ = 0,06912

34

270360

En régimen financiero de tipo simple vencido, podemos utilizar ambos cálculos, incluso podríamos obtener el capital final utilizando el tipo de interés nominal trimestral:

C’ = C ∙ (1 + i ∙ t) = 100 ∙ (1 + 0,02 ∙ 3) = 106

Ahora el tipo de interés nominal y el tiempo están expresados en trimestres: 2% es el tipo de interés nominal trimestral y 3 son los períodos trimestrales que hay en la operación.

En este régimen financiero podemos utilizar cualquiera de las fórmulas, siempre que el tipo de interés y el tiempo estén expresados en la misma unidad. En el régimen de tipo de interés compuesto no podremos; siempre deberemos utilizar el tipo de interés referido al período de capitalización de intereses.

Una vez tenemos claros los capitales financieros que componen la operación, el siguiente paso en el análisis del depósito será calcular su rentabilidad, es decir, su TIR.

Habíamos definido la TIR como aquella tasa que hace que el VAN sea cero. En nuestro ejemplo, –I es la inversión (100) y C, el capital financiero futuro, es el importe que recibiré dentro de nueve meses (106):

VAN = -I + ∑ = 0C(1 + i)n

t

n = 1




Pero esto es lo mismo que decir, de modo gráfico:

I = ∑t

(1 + TIR)n

Cn = 1

Importe invertido

Importes futuros actualizados

La TIR es aquella tasa que hace que el capital invertido y el capital que se recibirá en el futuro sean financieramente equivalentes; por tanto, nos indica la rentabilidad efectiva de la operación.

Cuando los capitales financieros son solamente dos, como en este caso, sustituyendo los valores en la fórmula anterior, el cálculo es muy sencillo:

100 = 1 + TIR

106ó TIR =

100106 − 1 = 0,06

También solemos utilizar una fórmula (“valor final” menos “valor inicial” dividido entre “valor inicial”), cuyo resultado es idéntico:

TIR = 100

106 − 100ya que= 0,06

100106 − 100 =

100106 − 100

100 =100106 − 1

Cuando hay más de dos capitales financieros, en la gran mayoría de casos, para calcular la TIR necesitaremos la ayuda de una calculadora financiera, o bien de una hoja de cálculo (en la cual buscaremos aquella tasa que iguale el capital financiero de hoy a los capitales financieros futuros actualizados a dicha tasa a fecha de hoy).

Por tanto, ya sabemos que la rentabilidad (TIR) del depósito 1 es de un 6%, pero no perdamos de vista que este 6% es la rentabilidad de 9 meses. Para poder hacer comparaciones entre este y otros productos, solemos expresar la rentabilidad de forma anual, es decir, la expresamos en TAE. Para ello, utilizamos la fórmula siguiente:

TAE = (1 + TIR)m − 1




(Ver apartado + información 2.1. Tipos de interés o tantos equivalentes, al final de esta sección, para comprender el origen de esta fórmula.)

En nuestro ejemplo, m es el número de períodos de 9 meses que hay en un año, concretamente 12/9 ó 1,33333, pues si dispusiéramos del plazo de un año (12 meses), podríamos completar el plazo del depósito una vez de forma completa (9 meses) más una tercera parte del depósito (3 meses) antes de llegar a los 12 meses.

Para obtener el número de períodos de la operación que hay en un año es tan fácil como invertir la expresión del plazo expresado de forma anual. Veámoslo de modo gráfico.

12 meses sobre 9, o 4 trimestres sobre 3, o 360 días sobre 270, todos ellos expresan el número de veces que podría “realizarse

la operación” en un año, en el ejemplo 1,3333 veces

=129

43

360270= = 1,33

Si introducimos todos los datos en la fórmula, hallaremos la TAE:

TAE = (1 + 0,06)129 − 1 = 0,0808

Ahora sí, esta rentabilidad está expresada de forma anual y nos permitiría comparar la rentabilidad de este depósito con la de otros productos financieros. Veamos los otros dos depósitos.

b) Análisis del segundo depósito

De nuevo, lo primero es plantear el esquema temporal para tener claro cuáles serán los capitales financieros que tendrá la operación. En este caso, hay capitalización trimestral de intereses y liquidación única al vencimiento; de nuevo serán dos, aunque se capitalizarán intereses cada trimestre.

100 9m




Imaginemos que depositamos 100 euros, ¿qué cantidad recibiremos transcurridos los 9 meses? En este caso debemos utilizar la fórmula de tipo de interés compuesto. Como la periodicidad de capitalización de intereses es trimestral, deberemos utilizar el tipo de interés trimestral (2%) y capitalizar los intereses durante 3 períodos (hay tres trimestres en 9 meses).

Si C es el capital financiero hoy, y C’ el capital financiero de aquí a 9 meses:

C’ = C ∙ (1 + i)t = 100 ∙ (1 + 0,02)3 = 106,1208

Podemos hallarlo: 0,08 ∙ 312 = 0,08 ∙ 1

4= 0,08 ∙ 90

360= 0,02

La TIR también la hallamos de forma directa:

TIR =106,1208

100− 1 = 0,061208

Y la TAE:

TAE = (1 + 0,061208) − 1 = 0,0824129

Tanto la TIR como la TAE del segundo depósito son superiores al primero, pues tienen el mismo vencimiento pero en el segundo depósito recibimos una cantidad mayor; por tanto, la rentabilidad también lo es.

Fijémonos que, aunque tienen el mismo vencimiento, la periodicidad de cálculo de intereses no es la misma; el primero a los nueve meses y el segundo a los tres meses. Para completar la comparación veamos el tercer depósito, que aunque tiene régimen financiero de tipo de interés simple, su periodicidad de liquidación de intereses es trimestral.

c) Análisis del tercer depósito

Planteamos el esquema temporal para tener claro cuáles serán los capitales financieros que tendrá la operación. En este caso, hay liquidación trimestral de intereses, que no se reinvierten, por tanto se entregan al depositante. A vencimiento recibimos el último pago de intereses y devolución de los 100 euros que de nuevo depositamos.




100 9m

¿Qué cantidad recibiremos transcurridos los 9 meses?

Cada trimestre se realizará una liquidación de intereses de 2 euros.

C ∙ i = 100 ∙ 0,02 = 2

Al final del período habremos recibido 106 euros de intereses, aunque no en un único pago, como el primer depósito, sino en tres pagos: de 2, 2 y 102 euros.

C’ = C ∙ (1 + i ∙ t) = 100 ∙ (1 + 0,02 ∙ 3) = 106

Aunque en este caso haya 3 capitales financieros que se van a recibir, la TIR también la hallamos de forma bastante directa, ya que invertir 100 hoy y recibir 2, 2, y 102 en cada período de liquidación significa una rentabilidad del 2%, pero en este caso se trata de una TIR trimestral.

La TAE la calcularemos como siempre, en este caso m será 4 (hay 4 períodos de un trimestre dentro de un año):

TAE = (1 + TIR)m − 1 = (1 + 0,02)4 − 1 = 0,0824

El depósito 1 quedaría rápidamente descartado por el 2, que tiene la misma estructura de pagos pero un importe superior a recibir a los 9 meses, y por tanto una rentabilidad también mayor (tanto TIR como TAE).

En cambio, los depósitos 2 y 3, aunque el primero capitaliza los intereses y éstos generan nuevos intereses y el segundo los abona al depositante, tienen una TAE idéntica. Esto es así porque la TAE precisamente está suponiendo que los capitales financieros intermedios se reinvierten al mismo tipo de interés.

¿Cuál de ellos será mejor? Bien, teniendo en cuenta este supuesto de reinversión, que es la principal crítica a la TAE, si se trata de decidir sobre la base de la rentabilidad, cabrá preguntarse a qué tipo podrá el depositante reinvertir los 2 euros que reciba cada trimestre; si es a un tipo de interés superior, le convendrá más el depósito 3; en cambio, si no puede reinvertir a dicha tasa, entonces le resultará mejor el depósito 2.




más información

88

Por otro lado, evidentemente la TAE no tiene en cuenta otros criterios que no tengan que ver con la rentabilidad. Por la razón que sea, al depositante puede interesarle cobrar antes los intereses para poder realizar ciertos pagos o simplemente para consumir.

Por tanto, la TAE es una herramienta útil para comparar entre diferentes productos financieros, pero hay que comprender bien la información que nos da.

¿Obtendrá el depositante una rentabilidad del 8,08% en el primer depósito o del 8,24% en el segundo y tercero? ¡No! Obtendrá respectivamente un 6% en 9 meses en el primer caso, un 6,1208% en nueve meses en el segundo, y un 2% trimestral durante 3 trimestres en el tercero, no más. La TAE nos dice que si se pudiera seguir reinvirtiendo los capitales financieros obtenidos al mismo “ritmo” de rentabilidad hasta completar un año, sólo entonces se recibirían las TAE antes indicadas, pero esto los productos financieros no lo garantizan, desde luego.

(Ver apartado + información 2.2. Bases de cálculo, al final de esta sección, donde se verá la base de cálculo en que se ha basado el presente ejemplo, y también como se trabajarían los tipos de interés y períodos de cálculo de intereses en otras bases.)

2.1. Tipos de interés o tantos equivalentes

Cuando calculamos la TIR estamos hallando una rentabilidad o tasa efectiva (para diferenciarla de los tipos o tasas, o tantos nominales que utilizamos para calcular los intereses). La TIR puede ser mensual, trimestral o de cualquier periodicidad. A partir de ella podemos hallar otras tasas o tantos efectivos de la periodicidad que nos interese (normalmente buscamos la periodicidad anual, pero podríamos hallar cualquier otra).

Dos tantos o tipos efectivos son equivalentes si, aplicándolos a un mismo capital, en capitalización compuesta (la que se usa en la TIR y la TAE), durante el mismo tiempo, producirían los mismos intereses o llegarían al mismo capital final.

Por poner un ejemplo, serían equivalentes un 3% trimestral, que un 6,09% semestral, que un 12,55% anual. Todos ellos, aplicados a un mismo capital durante un período de tiempo igual, llegarían a un capital final idéntico. Veámoslo con un ejemplo, supongamos 100 euros en el plazo de un año:




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88

100 ∙ (1 + 0,03)4 = 112,55100 ∙ (1 + 0,0609)2 = 112,55100 ∙ (1 + 0,1255) = 112,55

De forma genérica podemos decir:

(1 + 0,03)4 = (1 + 0,0609)2 = (1 + 0,1255)

Si sustituimos los números del ejemplo por los genéricos TIR y TAE:

(1 + TIR4)4 = (1 + TIR2)2 = (1 + TAE)

De la que se deduce la fórmula de la TAE que utilizamos siempre:

TAE = (1 + TIR4)4 − 1 o bien TAE = (1 + TIR2)2 − 1

2.2. Bases de cálculo

Cuando calculamos directamente que un 8% nominal anual se corresponde con un 4% nominal semestral, o un 2% nominal trimestral, estamos asumiendo de forma implícita que el producto o activo financiero al que nos estamos refiriendo define su forma de cálculo como 30

360.

¿Y esto qué quiere decir? Pues que no va a importar si los 6 meses en cuestión van de enero a junio (que es un período de 6 meses con menos días), o van de julio a diciembre (que es un período de 6 meses con más días). Todos los meses tienen 30 días y el año tiene 360 (año comercial).

Aun sin saberlo (por rebuscado), en realidad el 4% semestral se corresponde con:

0,08 ∙ 180360

= 0,04




180 son los días que hay en un período de 6 meses (cualquier período de 6 meses) y 360 los días que tiene el año.

Si el 4% obtenido es la TIR de la operación, para pasar a TAE también se pueden utilizar directamente los días (invirtiendo el orden de los mismos):

TAE = (1 + TIRsem)360180 − 1

Si el método de cálculo fuera otro, el mecanismo para calcular el tipo de interés o la TAE ya no va a variar. Por ejemplo:

actualactual

Significa que cuento los días efectivos de la operación y los divido por el número de días reales que tiene el año (dependiendo de si es año bisiesto o no).

actual365

Significa que cuento los días efectivos de la operación y los divido siempre por 365, independientemente de si el año es bisiesto.

Etc.

En cualquier caso, para calcular el tipo de interés de la periodicidad de la operación multiplico por: días

base

Cuando paso de la TIR a la TAE, elevo (1 + TIR) a:

díasbase

Sección 2. Operación con diferentes tipos nominales

Los tipos de interés nominales sirven para obtener los capitales financieros que conforman la operación (una vez obtenidos éstos, el cálculo de TIR y TAE va a ser siempre muy similar).

Imaginemos un depósito de 10.000 euros a tres años, con liquidación trimestral de intereses y cuyos tipos de interés anuales son:




• El primer año: 1,50%.• El segundo año: 2,44%.• El tercer año: 3,50%.

¿Cuál sería la TAE de este depósito?

Primero deberemos hallar los intereses que se abonarán trimestralmente para poder dibujar la estructura temporal del depósito:

• 1.er año: intereses = 10.000 ∙ 0,015 ∙ 14

= 10.000 ∙ 0,00375 ∙ 1 = 37,50 €

• 2.o año: intereses = 10.000 ∙ 0,0244 ∙ 14

= 10.000 ∙ 0,00610 ∙ 1 = 61,00 €

• 3.er año: intereses = 10.000 ∙ 0,0350 ∙ 14

= 10.000 ∙ 0,00875 ∙ 1 = 87,50 €

La estructura temporal quedará como sigue:

-10.000

37,5 37,5 37,5 37,5 61 61 61 61 87,5 87,5 87,5 10.087,50

Para calcular la TIR deberemos hacerlo mediante un Excel o una calculadora financiera. Se tratará de buscar aquella tasa que haga que el dinero invertido (10.000 euros hoy) sea financieramente equivalente al flujo de pagos futuros o, lo que es lo mismo, que dichos flujos actualizados a la TIR sean idénticos a los 10.000 euros invertidos.

Una vez realizado el cálculo se obtiene una TIR trimestral del 0,62%.

(En Recursos se encuentra el archivo Excel)

Para calcular la TAE lo haremos con la fórmula de siempre:

TAE = (1 + TIR)m − 1 = (1 + 0,0062)4 − 1 = 0,025




ejemplo

nn

Aunque los tipos de interés sean variables, el procedimiento será el mismo:

1. Obtener los capitales financieros de la operación.2. A partir de los capitales financieros de la operación, calcular la TIR. 3. A partir de la TIR, calcular la TAE, que en este caso se corresponde con una rentabilidad anual del

2,5% TAE.

Sección 3. La TAE y los depósitos a corto plazo

Ya hemos comentado que el cálculo de la TAE supone reinversión de los capitales financieros que configuran la operación, pero que la entidad emisora del depósito no está comprometida a ello más allá del vencimiento de la operación.

Este supuesto puede ser un importante problema en depósitos a corto plazo, en los cuales la TAE puede perder significado.

Para comprobar este extremo, imaginemos un depósito que ofrece un 10% nominal anual, vencimiento a una semana, en cuyo momento se producirá la liquidación de la operación. El régimen financiero es de tipo de interés simple. La entidad publicita una TAE del 10,51%.

Primero comprobemos que la TAE publicitada es correcta, con un depósito de 1.000 euros.

Si el tipo nominal anual es del 10%, el tipo semanal será del 0,1923% (0,010 x 1/52 semanas).

La liquidación se produce al vencimiento, en una semana. Se obtendrán unos intereses de 1,923 euros y la devolución de los 1.000 euros depositados.

La TIR coincidirá con el tipo de interés semanal (si hubiera otros capitales financieros además de los intereses, como comisiones, esto no ocurriría ‒lo veremos más adelante‒, pero sólo con los intereses sí que ocurre).

TIR= 1.001,923− 1 = 0,0019231.000




Y la TAE:

TAE = (1 + TIR)m − 1 = (1 + 0,001923)52 − 1 = 0,10506

La rentabilidad anual equivalente es del 10,506% (o 10,51% redondeando), pero la única rentabilidad que garantiza el depósito realmente es del 0,1923% en una semana.

Llevado a un extremo, y si el depositante no pudiera volver a reinvertir el dinero en todo el año, la rentabilidad del 0,1923% sería la única que obtendría, pues a final de año seguiría con sus 1.001,923 euros, ni uno más.

Por supuesto, si se diera esta circunstancia (extrema como hemos dicho), al depositante le convendría, desde el punto de vista de la rentabilidad, cualquier otro depósito que ofreciera una rentabilidad mayor al 0,1923%.

¿Le podría interesar más que este depósito al 10,51% TAE otro depósito al 1% TAE cuyo vencimiento fuera anual? Desde luego que sí, pero bajo el supuesto de no poder reinvertir.

En cambio, si el depositante pudiera invertir un mes en el primer depósito (10,51% TAE) y los restantes 11 meses en el segundo (1% TAE), entonces de nuevo le convendría más esta opción antes que sólo el segundo depósito.

Por todo esto, la información que trasmite la TAE debe matizarse mucho cuando se trata de depósitos a corto plazo.

Cierre

Hemos visto en este apartado diversos ejemplos para poder analizar y comparar depósitos. Es muy importante comprender el concepto de la TAE, sus ventajas y sus limitaciones.

El esquema seguido de análisis ha sido siempre el mismo: obtener los capitales financieros implicados en la operación (dependen del tipo de interés nominal, periodicidad, del régimen financiero de la operación y de la base de cálculo establecida), después calcular la TIR y, por último, calcular la TAE.

La relación que se establece entre estas tres tasas, tipo nominal, TIR y TAE, se puede seguir en el siguiente esquema.




Esquema 2.2. Relación entre tipo nominal, TIR y TAE (sin comisiones)

Tipo de interés anual TAE

Tipo de interés periodicidad determinada (TIR)

^basedías

i184 = 0,08 ∙ 184360

= 0,0408

xdíasbase

TAE = (1 + 0,0408) − 1 = 0,0815360184

esquema

UU



Apartado 3Aplicaciones prácticas de las matemáticas financieras en los productos bancarios “de activo”

Introducción

Dentro de la vía de la intermediación bancaria, en el presente apartado nos centraremos en la segunda parte, cuando ahora es la entidad financiera (prestamista) la que da en préstamo el dinero captado de los depositantes a los clientes (prestatarios) que precisan dinero hoy a cambio de devolverlo a la institución en el futuro en las condiciones pactadas.

Veremos primero de forma genérica los préstamos. De nuevo, el capital financiero presente (el dinero que recibirán los prestatarios ‒principal del préstamo menos comisiones, si éstas existen‒) deberá ser financieramente equivalente a los capitales financieros futuros (cuotas que los prestatarios abonarán a la entidad).

Después analizaremos de forma breve una operación, la de descuento comercial, que nos permitirá conocer un tercer régimen financiero, el de descuento simple.

Esquema 3.1. Productos de activo de intermediación bancaria dentro del sistema financiero

esquema

UU


Primas




Préstamos


Depósitos


Apartado 3. Aplicaciones prácticas de las matemáticas financieras en los productos bancarios “de activo”


ejemplo

nn

Sección 1. Analizando préstamos

En muchas ocasiones, las familias precisan disponer de unos capitales financieros muy elevados, a los que ni sus ingresos ni su ahorro previo les permiten acceder (a la hora de comprar una vivienda u otros bienes de precio elevado). También las empresas u otras organizaciones, para poder acometer sus inversiones, precisan endeudarse. En ambos casos, las entidades bancarias facilitan financiación a sus clientes básicamente mediante préstamos.

Por supuesto, lo que “invierte” la entidad financiera y lo que recibirá en el futuro han de ser “financieramente equivalentes”, para que la operación sea “justa” tanto para el banco como para el cliente.

¿Y qué variable será clave para analizar y poder comparar entre diferentes préstamos? Otra vez la TAE será la variable clave para los clientes que deseen solicitar un préstamo.

De nuevo, los pasos serán los siguientes:

1. Saber dibujar todos los flujos de la operación, en este caso los básicos son el principal del préstamo y las cuotas, pero también deberemos tener en cuenta si hay comisiones y cualquier otro flujo que afecte a la operación.

2. Cuando conozcamos todos los flujos podremos calcular la TIR. Si la TIR es anual ya tendremos directamente la TAE. Si no lo es, deberemos transformar la TIR en TAE.

Imaginemos un préstamo de 10.000 euros, a un tipo nominal anual del 10%, cuotas mensuales durante dos años y comisión de apertura del 3%.

¿Cuál sería la estructura temporal de esta operación financiera? En el momento cero habría un primer capital financiero compuesto por el principal del préstamo menos las comisiones que cobra la entidad, y después habría 24 cuotas mensuales de devolución del préstamo.

Principal - comisiones

C C C C---

C C CC

1 2 3 4 22 23 24




El primer paso será calcular la cuota mensual. Las cuotas de un préstamo (en la modalidad préstamo francés) son todas del mismo importe y tienen la misma periodicidad, lo que las convierte en una renta. La fórmula del valor actual de una renta temporal es la siguiente (una de sus posibles versiones):

VA = iC − i

C ∙(1 + i)n

1 = C i1 − i

1 ∙(1 + i)n

1

Donde,

• VA es el valor actual de la renta (por tanto el importe del préstamo).• C es la cuota (en este caso mensual).• i es el tipo de interés expresado en meses (0,10/12 = 0,08333).• n es el número de cuotas (24 en este caso).

(Ver apartado + información 3.1 Valoración de rentas, al final de esta sección, para conocer el origen de la fórmula empleada.)

De la misma forma, si conocemos el valor actual (VA) ‒principal del préstamo‒ y lo que deseamos es conocer las cuotas, despejaremos C:

C =VA

=

i1 -

i1

∙(1 + i)n

1

100.000

0,0083331 - ∙

(1 + 0,008333)24

10,008333

1= 4.614,47

O, más concretamente, 4.614,49 euros si calculamos la cuota en Excel, sin redondear ni perder decimales en el tipo de interés.

Antes de añadir las comisiones, hagamos un cálculo previo de la TIR y la TAE.

Para calcular la TIR, podríamos hacerlo con un Excel o una calculadora financiera, buscando aquella tasa que haga que el principal del préstamo y las cuotas del mismo sean financieramente equivalentes, aunque en realidad en este caso no hace falta; si hemos calculado las cuotas a partir del principal del préstamo y un tipo mensual del 0,8333%, y no hay ningún capital financiero adicional, cuando busque la tasa que al actualizar las cuotas me dé el principal, voy a hallar una TIR mensual del 0,8333%.




Para calcular la TAE lo haremos con la fórmula de siempre:

TAE = (1 + TIR)m − 1 = (1 + 0,008333)12 − 1 = 0,10471

Aunque aún no hemos incluido comisiones, y la TIR es exactamente igual al tipo de interés mensual, la TAE en cambio ya no es del 10%, sino superior. ¿Por qué? Por la misma razón que cuando analizábamos depósitos: el cliente no está pagando el 10% de una vez al final de año, sino mediante cuotas mensuales; por tanto, la entidad cobra antes y su rentabilidad (TAE) aumenta; para el cliente, ocurre justo lo contrario, como paga antes, su coste (TAE) aumenta.

Añadamos ahora las comisiones. El importe de la misma será del 3% sobre 10.000 euros, por tanto será de 300 euros. El importe que recibirá el cliente no será de 10.000 euros, sino que obtendrá 9.700 euros.

Ahora sí, para buscar la TIR, aquella tasa que hace que las cuotas actualizadas sean igual a 9.700 euros, deberé utilizar un Excel. Una vez realizado el cálculo se obtiene una TIR mensual del 1,089%, que es mayor a la anterior por efecto de la comisión.

Para calcular la TAE:

TAE = (1 + TIR)m − 1 = (1 + 0,01089)12 − 1 = 0,13876

La TAE ahora es aún superior, como es normal al haberle añadido las comisiones. Entre el 10% nominal anual y el 13,876% TAE vemos ahora que hay dos efectos: el primero, la periodicidad de las cuotas, que ya de por sí hace aumentar la TAE; y, el segundo, la comisión.

Aquí finaliza el análisis del préstamo propuesto. A partir de la TAE podríamos compararlo con diferentes ofertas de otras entidades financieras ya que, al incluir las comisiones, la TAE es una magnífica herramienta de comparación.

(En Recursos se encuentra el archivo Excel, en el que podremos ver cómo obtenemos la TIR y la TAE en ambos supuestos (con y sin comisiones), y también podremos ver cómo construir de forma sencilla la tabla de amortización del préstamo.)




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883.1. Valoración de rentas

Aunque nos parezca complicado, trabajar con fórmulas de valoración de rentas es sencillo si tenemos claros los conceptos de “valor actual” y “actualización/capitalización”. Estos conceptos son una ayuda.

Sabemos que toda operación financiera conlleva que el dinero de hoy y el del futuro deben ser financieramente equivalentes, es decir, que si actualizo el dinero que se recibirá en el futuro a fecha de hoy, el importe que obtengo debe ser idéntico al dinero que se invierte hoy.

Si pensamos en una renta perpetua, calcular su valor actual podría resultar muy costoso, pues deberíamos ir actualizando cuotas hasta el infinito (en realidad no tanto, pues como el valor actual de las cuotas muy lejanas cada vez resulta un importe más pequeño, cuando llevásemos actualizadas muchas cuotas, al final una más no nos añadiría ya prácticamente información, aunque tendríamos que actualizar unas cuantas.)

Las fórmulas para valorar rentas son un “atajo”, es decir, una forma de hacer esos cálculos de forma mucho más rápida.

Veamos un primer ejemplo muy sencillo que nos permitirá trabajar con rentas perpetuas.

Imaginemos un millonario que desea asegurarse una renta de 100.000 euros anuales indefinidamente. Si su entidad le ofrece un producto financiero que da un tipo de interés del 10%, ¿qué cantidad debe poner en dicho producto para asegurarse su renta perpetua? No es muy complicado calcular que si el millonario “ingresa” un millón de euros, cada año el producto le dará 100.000 euros de intereses, que son los que retirará como renta, y volverá a tener disponible de nuevo el millón de euros para generar intereses para el año siguiente. Sencillo, ¿verdad? Pues acabamos de deducir el valor actual (VA) de una renta perpetua:

VA = iC = = 1.000.0000,10

100.000




No perdamos de vista que lo que está haciendo esta fórmula es calcular el valor actual de todos los flujos futuros; por tanto, nos ahorra trabajo. Veamos gráficamente el esquema temporal:

VA

C C C C CC ...

Si lo que conozco es el importe disponible para invertir (un millón) y deseamos conocer la renta que se obtendrá al invertir en dicho producto (al 10%), sólo debo calcular:

C = VA ∙ i = 1.000.000 ∙ 0,10 = 100.000

La renta a percibir cada año es de 100.000 euros.

Esta fórmula no nos servirá para calcular las cuotas de un préstamo, pues éste no tiene cuotas perpetuas, sino que tiene un vencimiento; por tanto, deberemos aprender a calcular las cuotas, no de una renta perpetua, sino de una renta temporal.

La fórmula del valor actual de una renta temporal se puede deducir a partir de la fórmula de la renta perpetua. En realidad, la renta temporal será la diferencia entre dos rentas perpetuas.

Veamos las dos estructuras temporales siguientes:

a) El valor de la renta temporal (la renta que queda en blanco en el esquema temporal inferior): lo puedo obtener mediante la diferencia entre el valor actual de la renta perpetua superior y el valor actual de la renta inferior actualizada a fecha de hoy (sólo puedo restar capitales financieros si están referidos a la misma fecha):

VA =iC

VA =iC

Actualizar

VA =iC_ ∙

1(1 + i)n

VA =iC ∙ 1

(1 + i)niC −




b) La renta temporal es la diferencia o resta entre dos perpetuas:

Valor actual de la renta superior

VA = Ci − C

i ∙ 1(1 + i)n = C

− Valor de la renta inferior actualizado hasta hoy

=El valor de la renta temporal lo obtenemos por diferencia entre

las dos perpetuas

i1 − i

1 ∙ (1 + i)n1

A partir de esta fórmula, ahora sí podemos calcular las cuotas de un préstamo, ya que:

C =VA

i1 − i

1 ∙ (1 + i)n1

Sección 2. Analizando el descuento comercial

Imaginemos una empresa que ha realizado una venta por un importe de 80.000 euros que cobrará en el plazo de 90 días (ésta es nuestra definición de capital financiero: una cantidad monetaria asociada a un tiempo).

La empresa puede esperar 90 días y cobrar de su cliente, o también, si necesita liquidez, puede solicitar a su entidad financiera si le puede “descontar” la letra o efecto que refleje dicha deuda.

El esquema temporal sería el siguiente:

90d

80.000 €

¿Cuánto recibirá el cliente? Como siempre, deberemos conocer el tipo de interés que cobra el banco, pero no sólo eso, también debemos saber con qué régimen financiero se “actualiza” el capital financiero futuro y la base de cálculo de los días.




Toda esta información está recogida en el contrato entre el cliente y la entidad. Ese contrato entre las dos partes debe detallar todas las características que hemos comentado, que para el presente ejemplo supondremos que son:

• Tipo de interés anual: 10%.• Comisión: 1%.• Régimen financiero: descuento comercial (act/360).

Para poder calcular el efectivo hemos de hablar, por lo tanto, de una tercera forma de actualizar (o régimen financiero): interés anticipado o descuento comercial simple.

En este régimen financiero se calculan los intereses sobre el capital final, que es el importe que conocemos (en nuestro ejemplo 80.000 euros), y estos intereses son los que cobra la entidad financiera hoy. Veamos el cálculo del efectivo que corresponde hoy por 80.000 euros dentro de 90 días:

Co = C (1 − it) = 80.000 ∙360901 − 0,10 ∙ = 80.000 ∙ (1 − 0,025) = 78.000

Todavía no hemos introducido las comisiones. Antes de hacerlo, imaginemos que el contrato no tuviera comisiones y los siguientes fueran los dos capitales financieros implicados en la operación: 78.000 euros hoy y 80.000 euros dentro de 90 días.

¿Cuál sería la rentabilidad que el banco obtiene de la inversión que se caracteriza por estos dos capitales financieros y, por tanto, el coste para la empresa cliente?

Calculemos la rentabilidad que hace que los dos importes sean financieramente equivalentes:

78.000 =(1 + TIR)

80.000

TIR =78.00080.000

− 1 = 0,02564

La TIR, la rentabilidad para la entidad, es del 2,56%.

Podríamos haber pensado que la rentabilidad/coste debía ser del 2,5%, pues es el tipo que hemos obtenido y utilizado para la fórmula (0,10 x 90/360 = 0,025), pero en este caso no es así. Cuando el régimen financiero es el de tipo de interés anticipado, el tipo de interés que utilizamos para obtener el capital financiero inicial (el efectivo que recibe el cliente) sirve simplemente para eso, pero no refleja la rentabilidad/coste de la operación.




Si nos fijamos, veremos el porqué. La TIR es aquella rentabilidad que, aplicada al capital financiero de hoy, resulta el capital financiero del futuro. En cambio, cuando se realiza un descuento comercial, el tipo de interés que se aplica (en el ejemplo el 2,5%) realmente se aplica sobre el capital financiero futuro, el que se conoce (en el ejemplo los 80.000 euros).

Si la fórmula con la que actualizamos (al descontar) es diferente a la fórmula con que capitalizamos (al calcular la TIR), es evidente que los tipos de interés no pueden ser iguales.

Un tipo de interés por sí solo no nos dice nada a no ser que especifiquemos también el régimen financiero de la operación o, dicho de otro modo, con qué fórmula matemática vamos a utilizar dicho tipo de interés.

Ahora completemos la operación con el importe de la comisión:

0,01 ∙ 80.000 = 800

En el esquema temporal, a los 78.000 euros le restamos los 800 de la comisión y obtenemos un importe efectivo total de 77.200.

Si ahora calculamos la TIR, obtenemos un 3,63%:

TIR =77.20080.000

− 1 = 0,03627

Esta TIR no es anual, sino trimestral. Si queremos calcular la TAE, obtenemos un 15,32%:

TAE = (1 + TIR4)360/90 − 1 = (1 + 0,03627)360/90 − 1 = 0,1532

Desde el 10% nominal que la empresa cliente tenía en el contrato, ha pasado a tener un coste “equivalente anual” (TAE) del 15,32% por el descuento de 80.000 euros a 90 días.

Cuando analizábamos depósitos, vimos que la TAE aumentaba cuando la periodicidad de capitalización/liquidación de intereses incrementaba (semestral mejor que anual, trimestral mejor que semestral, etc.). En este caso es exactamente lo mismo: para el banco es mejor cobrar ese 10% descontando 4 efectos trimestrales que un efecto anual, pues en el primer caso “reinvierte” el rendimiento obtenido (los intereses generan intereses).




En este ejemplo, además, hay dos razones más para que la TAE sea superior al tipo nominal:

1. La primera es la que ya hemos comentado: un tipo de interés no es igual si se aplica en un régimen financiero o en otro. En el caso del régimen financiero de interés simple anticipado, el tipo de interés (nominal) se aplica sobre el capital financiero mayor (el “futuro”), por tanto los intereses que soporta la empresa cliente son superiores a si se aplicara sobre el capital financiero menor (el “actual”); por ello, su coste sube (así como la rentabilidad para la entidad).

2. Por último, también las comisiones hacen subir la TAE de la operación.

Cierre

Hemos visto en este apartado el análisis completo de un préstamo, que nos ha permitido adentrarnos en un nuevo campo, el de las rentas, para poder calcular las cuotas que deberá pagar el cliente como devolución del mismo. Posteriormente, hemos analizado que la TAE del préstamo aumenta tanto por el hecho de la periodicidad del pago como por la inclusión de comisiones.

Es muy importante el hecho de que la TAE incluya las comisiones y cualquier otro gasto, para que los clientes puedan comparar de forma eficiente entre diferentes ofertas.

También hemos podido ver la construcción del cuadro de amortización del préstamo.

Después hemos visto un ejemplo de descuento comercial, que nos ha permitido conocer un tercer régimen financiero, el de interés simple anticipado, y trabajar de nuevo con las comisiones y ver el efecto que tienen sobre la rentabilidad/coste (para la entidad y cliente respectivamente) de la operación.

El esquema seguido de análisis ha sido idéntico al que seguíamos en los depósitos:

1. Obtener los capitales financieros implicados en la operación. Para ello partimos del tipo de interés anual y obtenemos el tipo de interés de la periodicidad de la operación (los capitales financieros dependerán del régimen financiero de la operación y de la base de cálculo establecida).

2. Posteriormente hemos de calcular la TIR y, por último, la TAE.

La relación que se establece entre estas cuatro tasas (tipo nominal anual, tipo nominal de la periodicidad de la operación, TIR y TAE) se puede seguir en el siguiente esquema.




Esquema 3.2. Relación entre tipos nominales, TIR y TAE (con comisiones)

Tipo de interés anual TAE

Tipo de interés periodicidad determinada

TIR

Tasas nominales Tasas efectivas

Sirven para calcular intereses

Incluyen intereses y también otros flujos, como comisiones

Periodicidad anual

Periodicidad determinada

esquema

UU



Apartado 4Aplicaciones prácticas de las matemáticas financieras en los mercados financieros

Introducción

Además de la vía de la intermediación bancaria, una segunda vía muy importante que ofrece el sistema financiero para conectar la oferta y la demanda de capital está conformada por los mercados financieros.

Como cualquier otro mercado, los mercados financieros son aquellos lugares en los que se encuentran demandantes y oferentes de “algo”, en este caso demandantes y oferentes de capital:

• Los demandantes son aquellas empresas, administraciones y organizaciones que precisan dinero hoy (para realizar inversiones) y se comprometen a devolverlo en el futuro. Ellos traen a hoy el dinero del futuro.

• Los oferentes son aquellos agentes que tienen disponible dinero hoy y lo invierten en dichas instituciones, con la esperanza de obtener unos capitales futuros más elevados. Ellos mueven el dinero de hoy hacia el futuro.

Los vehículos para mover este dinero por el mercado financiero serán los activos financieros negociados, principalmente:

• Valores de deuda o de renta fija. Pueden ser a corto o largo plazo, y pueden ser títulos emitidos por los Estados (Administraciones Públicas) o por empresas privadas.

• Valores de renta variable emitidos por empresas privadas.

Se puede invertir en estos activos directamente, o bien mediante instituciones de inversión colectiva, es decir, fondos y sociedades de inversión.

De nuevo, las matemáticas financieras nos van a ser muy útiles para saber analizar las inversiones en activos negociados en mercados financieros.


Apartado 4. Aplicaciones prácticas de las matemáticas financieras en los mercados financieros


Esquema 4.1. Activos negociados en mercados financieros dentro del sistema financiero


Primas




Préstamos


Depósitos

esquema

UU

Sección 1. Analizando la deuda a corto plazo: Letras del Tesoro y pagarés de empresa

Las letras y pagarés son títulos emitidos al descuento, es decir, que a vencimiento se recibirá el importe establecido (de la letra o el pagaré), y dependiendo del precio de adquisición (ya sea adquirido en subasta o compraventa posterior), la rentabilidad final que se obtenga será mayor o menor.

Veamos el análisis de ambos activos financieros.

Análisis de las Letras del Tesoro

Cuando el Estado precisa financiación a corto plazo emite Letras del Tesoro, que pueden tener vencimiento a diferentes plazos.




ejemplo

nn

Como en todos los productos financieros analizados hasta este momento, nuestro objetivo va a ser saber construir los capitales financieros del activo (cuándo se paga y cuánto se paga) y saber calcular su rentabilidad.

En el caso de la Deuda Pública española, el Banco de España tiene publicados sus criterios de cálculo de precios y rendimientos para todos los valores de deuda del Estado, ya que éstos están armonizados con el resto de países de la Unión Europea.

En el caso de las Letras del Tesoro con vencimiento inferior a un año, los cálculos deben realizarse a interés simple y base 360 (régimen financiero de interés simple vencido):

i =PF − 1 ∙ 360

dP =

1 + i ∙ d360

F

Imaginemos una Letra del Tesoro (cuyo nominal es de 1.000 euros) que vence dentro de 102 días. La compramos hoy a un precio del 98,89 y deseamos saber la rentabilidad que la adquisición a este precio supone.

Veamos el esquema temporal:

102 d

1.000€

988.9€

Utilizando la fórmula adecuada, obtenemos una rentabilidad del 3,569%:

i =988,91.000 − 1 ∙ 360

102= 0,03569

De la misma forma, si queremos comprar esta letra y nos informan que actualmente da una rentabilidad del 3,569%, hemos de ser capaces de encontrar el precio de mercado: 988,9 euros.

Si mantenemos esta letra hasta vencimiento, obtendremos una rentabilidad del 3,569% ya que pagando hoy 988,9 euros y recibiendo 1.000 euros dentro de 102 días, ésta es la rentabilidad que se obtiene.




ejemplo

nn

Pero si debemos vender esta letra antes de vencimiento, ¿puede ser que mi rentabilidad sea diferente a 3,569%? Sí, desde luego, la rentabilidad va a depender del precio de venta que podamos conseguir.

A la renta fija se la llama fija porque tiene la “renta fijada”; en este caso, los 1.000 euros. Esto no variará y el cliente que tenga la letra el último día recibirá la cantidad establecida. Pero si hay compras y ventas anteriores, el precio que finalmente reciba el vendedor dependerá de la oferta y la demanda. La rentabilidad es “fija” sólo si no se vende antes de vencimiento.

Análisis de los pagarés de empresa

Cuando son las empresas las que emiten deuda a corto plazo al descuento, el activo emitido recibe el nombre de “pagarés de empresa”.

En este caso es el emisor, en el folleto de emisión, el que determina la base de cálculo que utilizará para calcular precios y rentabilidades.

Imaginemos un pagaré de nominal 5.000 euros, con vencimiento dentro de 221 días, y que tiene establecido en las condiciones que utilizaremos para el cálculo el interés simple y base 365. Y especifica la siguiente fórmula:

P =1 + i ∙ d

365

F

Imaginemos que queremos comprar un pagaré de esta empresa y nos dicen que está cotizando con una rentabilidad implícita de un 6,72%, ¿qué precio deberé pagar por él?

Éste es el esquema temporal:

221 d

5.000€




Y el cálculo:

P =1 + 0,0672 ∙ 221

365

5.000= 4.806,93

Si lo que hubiéramos tenido fuera el precio, hubiéramos podido calcular la rentabilidad, como hicimos con la Letra del Tesoro.

Sección 2. Las Letras del Tesoro a más de un año

Ya hemos visto que la fórmula para analizar títulos a corto plazo es sencilla. ¿Y en el caso de una Letra del Tesoro emitida a más de un año? ¿Qué fórmula utilizaríamos? Si de nuevo vamos a ver el convenio de cálculo de precios y rendimientos del Banco de España, nos dice que, en el caso de las Letras del Tesoro con vencimiento superior a un año, los cálculos deben realizarse a interés compuesto y base 360 (régimen financiero de interés compuesto vencido):

P =(1 + i)

d360

F

Como en los ejemplos anteriores, conocemos siempre el importe que se recibirá a vencimiento (1.000 euros). Por tanto:

• Conocido el precio de hoy, podremos obtener la rentabilidad. • Y conocida la rentabilidad, podremos obtener el precio actual de la letra.

Sección 3. Los bonos

Los bonos son títulos de renta fija a más largo plazo que las letras o pagarés. Suelen tener cupones, que abonan periódicamente, calculados como un porcentaje del nominal, y a vencimiento devuelven normalmente el nominal del bono.




También existen bonos de emisores públicos y privados. En España, el Tesoro Público emite bonos con un vencimiento:

a) Entre dos y cinco años (los Bonos del Estado). b) Superior a cinco años (las Obligaciones del Estado).

Ambos son idénticos en todas sus características excepto en el plazo.

Los bonos de emisores privados pueden tener características muy diversas en cuanto a plazo, periodicidad de pago de cupones, tipo de interés de los cupones, etc.

En la presente sección veremos cómo nuestros conocimientos de matemáticas financieras nos van a permitir:

• Analizar este tipo de activos.• Saber calcular su precio o su rentabilidad, en especial comprender la relación inversa que existe

entre ambas variables (relación inversa entre precio y TIR del bono).• Conocer sus precios ex cupón y con cupón.

Primer análisis del bono

Partiremos del siguiente ejemplo, imaginemos un bono con las siguientes características:

• Nominal: 1.000 €.• Tipo de interés: 4% anual.• Pago de cupón anual.• Vencimiento: 12/02/año 05.• Base cálculo: act/act (de nuevo, el emisor determina la base de cálculo, que podemos encontrar en

el folleto de emisión del bono).

La estructura temporal de la inversión en este bono sería la siguiente:

40 1.040

0 1 2 3 4 5

40 40 40




En un primer momento, vamos a situarnos en el día 12/02 del hipotético año “00”, así podremos hacer unos primeros cálculos sencillos, asumiendo que falta un año completo para el primer cupón, dos para el segundo… y cinco años completos para el vencimiento. No habrá en este análisis “cupón corrido”, que es el cupón devengado a una determinada fecha pero aún no pagado (lo veremos en detalle más adelante), y por tanto, cuando hablemos de precio del bono, estaremos hablando de un precio ex cupón.

Si el nominal es de 1.000 euros y el cupón es anual, un cupón del 4% significará pagos de 40 euros anuales, y a vencimiento (año 05) será de 40 euros de cupón más la devolución del principal. A estos activos los llamamos renta fija porque tienen fijada su estructura de pagos. Quien posea este bono sabe que cobrará 40 euros cada año y 1.040 euros en el vencimiento.

Imaginemos que el precio actual de este bono es de 1.000 euros (o 100%, recordemos que las cotizaciones de los bonos se hacen en porcentaje sobre el nominal), ¿cuál es su rentabilidad? ¿Cuál es su TIR? Es fácil de calcular. Invertimos 1.000 euros hoy y recibimos 40 euros el primer año, 40 euros el segundo, 40 euros el tercero… La rentabilidad (TIR) es del 4%, en este caso anual, pero únicamente porque su precio ha sido del 100%.

Si vamos a comprar este bono al mercado y su precio es del 102%, ¿qué flujos recibiremos en el futuro? Los mismos, la estructura de pagos está fijada; 40 euros de cupón cada año, y el quinto año además la devolución del principal. La rentabilidad que ofrece el bono no puede ser entonces del 4%, ya que debemos pagar más (1.020 euros en vez de 1.000 euros) para recibir lo mismo de antes; la rentabilidad del bono debe obligatoriamente ser menor.

¿Cómo calculo la nueva rentabilidad del bono? De forma análoga a nuestros cálculos anteriores en diferentes activos y productos financieros: actualizaremos los capitales financieros futuros (cupones y devolución de principal) y buscaremos aquella tasa que iguale el valor actual de los mismos al precio del bono (en este caso 102%):

1.020 =1 + TIR

40+

(1 + TIR)2

40+

(1 + TIR)3

40+

(1 + TIR)4

40+

(1 + TIR)5

1.040

Realizando los cálculos en un Excel obtenemos una TIR del 3,56%. Cuanto más alto sea el precio del bono, menos rentabilidad estará dando a los inversores que lo compren a dicho precio (aquellos que habían comprado a un precio de 100, si lo mantienen a vencimiento, evidentemente su rentabilidad sí será del 4%).

(En Recursos se encuentra el archivo Excel, en el que podremos ver cómo obtenemos la TIR del bono ante diferentes cambios de precio y cómo obtenemos el precio del bono ante diferentes cambios en la TIR, que son los cálculos que realizamos a continuación.)




¿Y si su precio baja a 98%?

Ahora podemos pagar menos de 1.000 euros por el bono que va a seguir pagando cupones de 40 euros anuales más la devolución del principal. Está claro que preferimos pagar 980 mejor que 1.000, pues la rentabilidad que obtendremos será mayor. ¿Cuánto mayor? Volvemos a calcular con el archivo Excel:

980 =1 + TIR

40+

(1 + TIR)2

40+

(1 + TIR)3

40+

(1 + TIR)4

40+

(1 + TIR)5

1.040

Y obtenemos una TIR del 4,46%, mayor que el 4%, tal y como habíamos supuesto.

También podríamos hacer el ejercicio al revés. Imaginemos que este bono daba antes el 4%, pero ahora los tipos de interés han subido, y los bonos de similares características y riesgo a este están dando una rentabilidad del 5%. ¿Qué le pasará al precio de este bono? ¿Subirá, bajará o se quedará igual?

Si bonos de idénticas características están dando una rentabilidad del 5%, los inversores comenzarán a venderse este bono para comprar los otros. Si el bono se vende, su precio irá disminuyendo, y cuando el precio vaya disminuyendo, su rentabilidad irá aumentando (como en el ejemplo que hemos visto, si baja a 98 la TIR, sube a 4,46%).

¿Hasta cuándo disminuirá el precio del bono? Hasta que llegue a un precio tal que, comprándolo a dicho precio, su rentabilidad sea del 5%, como en los otros bonos.

Con un cálculo similar al que hacíamos antes, podemos calcular cuál será este precio:

P =1 + 0,05

40+

(1 + 0,05)2

40+

(1 + 0,05)3

40+

(1 + 0,05)4

40+

(1 + 0,05)5

1.040= 956,71

Comprando a un precio del 95,671%, el bono ofrece una rentabilidad del 5%.

¿Y si es al revés? ¿Y si los tipos de interés han bajado al 3%? Todos los inversores querrán este bono, ya que paga un cupón del 4%. Cuando muchos inversores compren el bono, su precio irá subiendo. ¿Hasta dónde? Hasta que la rentabilidad de este bono (comprada a dicho precio) se iguale con los bonos nuevos que tienen una rentabilidad del 3%.




Si calculamos de nuevo el precio:

P =1 + 0,03

40+

(1 + 0,03)2

40+

(1 + 0,03)3

40+

(1 + 0,03)4

40+

(1 + 0,03)5

1.040= 1.045,80

El bono se irá comprando y su precio irá subiendo hasta alcanzar el 104,580%. A partir de aquí (aproximadamente), ya no tiene sentido pagar más, ya que supondría estar obteniendo una rentabilidad inferior al 3%, por lo que sería más adecuado comprar los otros bonos.

Segundo análisis del bono

Hemos visto que, conociendo los conceptos básicos de matemática financiera sabemos obtener el precio a partir de una TIR o la TIR a partir del precio. Lo mismo que era muy fácil con las letras del tesoro, que tienen dos flujos, es igual de fácil con bonos de muchos cupones con una herramienta como Excel.

Pero hasta ahora hablábamos de precios ex cupón, situándonos en una fecha muy concreta; un año antes del pago del primer cupón. ¿Y si transcurren varios días? ¿O meses?

Veamos de nuevo el esquema temporal:

40 1.040

12/02/01 12/02/02 12/02/03 12/02/04 12/02/05

40 40 40

11/02/01

Hasta ahora nos habíamos situado en el momento cero, cuando justo faltaba un año para cobrar el cupón de 40 euros. ¿Qué pasa si yo quiero comprar el bono cuando ya han pasado unos meses? Imaginemos ahora que quiero comprar el bono cuando ya sólo falta un día para cobrar el cupón siguiente, es decir, en el día 11/02/01. ¿Qué precio deberé pagar?

El propietario actual del bono ha esperado prácticamente todo el año para cobrar el cupón, que cobrará mañana si no vende el bono. Si yo lo quiero comprar hoy, para que me lo venda deberé pagarle el precio ex cupón (suponemos que no ha habido cambios en la TIR del bono, y es por tanto de 1.000 euros), pero, además, una cantidad por el cupón devengado pero aún no cobrado. Tratándose del día antes, deberé pagarle prácticamente el cupón entero.




(En Recursos se encuentra el archivo Excel, en el que podremos ver cómo calcular el precio con cupón una vez tenemos la estructura del bono y cambiamos la “fecha actual”.)

Cuando ahora actualicemos los cupones futuros, el primero lo actualizaremos sólo un día (no un año), el segundo un año y un día (no dos años), etc. Y la suma de todos los cupones actualizados nos dará un precio de 1.039,89 euros, que se compone de:

• El precio ex cupón: 1.000 euros.• El cupón corrido: 39,89 euros, que “en justicia” le corresponden al vendedor.

Para nosotros, comprando hoy a 1.039,89 euros, el bono nos está dando una rentabilidad (TIR) del 4%, que es la rentabilidad que yo espero de esta inversión.

Sección 4. Renta variable: las acciones

En los activos de renta fija (bono, letra, pagaré, etc.) conocemos la renta futura que se recibirá, aunque ya hemos visto que la renta fija “no es fija” ya que, dependiendo del precio al que adquiramos el título, la rentabilidad puede variar.

En el caso de la renta variable (acciones), el análisis es aún más complicado, pues precisamente sus retornos (los capitales financieros futuros) son inciertos. Dependiendo de la marcha de la empresa, el accionista:

• Recibirá mayores o menores retornos (especialmente por dividendos, aunque también se deben tener en cuenta ventas de derechos o primas de asistencia a juntas, etc.).

• O bien el precio de su acción se revalorizará en mayor o menor medida.

¿Podemos actualizar capitales financieros entonces? Para la gran mayoría de inversores particulares es muy complicado, pero los analistas, cuando nos recomiendan o no comprar ciertos títulos por estar baratos o caros, sí hacen un descuento de “flujos”, concretamente de “flujos de caja libres” o free cash-flows.




Procedimiento

Aunque el cálculo es complicado, trataremos de explicarlo de forma muy básica:

1. A partir de toda la información disponible sobre la empresa, perspectivas futuras de la misma, del sector, de la coyuntura macroeconómica, etc., los analistas estiman unos cash flows futuros para la empresa (que provendrán de ventas y gastos esperados, inversiones que se realizarán en inmovilizado, caja que precisará para su gestión de clientes, existencias y proveedores, etc.), en un principio para unos cuatro o cinco años.

2. A partir de ahí, para el resto de cash-flows futuros (las acciones no tienen vencimiento, en un principio se espera que generarán cash-flows hasta el infinito), cada vez más difíciles de estimar con cierta solvencia, estiman una renta perpetua y creciente, que se valora con una fórmula muy similar a las que ya conocemos.

Veámoslo de modo gráfico:

CF 1

CF 2

CF 3

CF 4

Valor residual

Estimados según previsiones futuras

Renta perpetua creciente a una tasa de crecimiento (g) estimada por el analista

VA =CFi − g

3. Cuando realizan el descuento de estos flujos hallan el valor actual de los mismos, que es el valor de la empresa en su globalidad. A partir de él, el valor estimado de los fondos propios, y dividiendo por el número de acciones, el valor estimado para cada acción:

• Si el precio en el mercado de la acción es menor al valor que le han estimado, recomiendan comprar dicha acción (está barata, de alguna forma la inversión da un VAN positivo).

• Si el precio de la acción es mayor que su valor estimado, recomiendan no comprar (pues consideran que está cara o que la inversión da un VAN negativo).




Price Earnings Ratio (PER)

El procedimiento que hemos visto (que hemos apuntado, en realidad) es el utilizado por los analistas para estimar el valor de las acciones, pero cuando la gran mayoría de los inversores desean tener información sobre una acción, si está cara o barata, si a un determinado precio se espera que obtengamos una rentabilidad alta o baja… (cosas que sabíamos analizar con la renta fija), ¿cómo lo hacen? ¿Qué variable deben utilizar? ¿Existe alguna “TIR” o similar que nos pueda orientar?

La ratio más comúnmente utilizada es el PER (Price Earnings Ratio, o ratio precio beneficios), que se define como el “precio de la acción” dividido por su “beneficio por acción”, e indica el número de veces que pagamos el beneficio que genera la empresa.

PER =BPA

P

Por ejemplo, si una acción tiene un precio de 10 euros y su BPA es de 1 euro, al comprarla a dicho precio estaremos pagando 10 veces su beneficio. Si comparamos esta empresa con una muy similar con un PER 12 (debemos pagar 12 veces su beneficio), en un principio la primera estará más barata, pues para ganar un euro de beneficio pagamos algo menos.

ejemplo

nn

El uso de esta ratio es más complejo que este sencillo ejemplo, pero los inversores muy a menudo utilizan el PER como indicador para comparar entre compañías.

PER y medida de rentabilidad

¿Y qué tiene esto que ver con una medida de rentabilidad? Si damos la vuelta a la ratio, veremos que, de alguna forma, la inversa del PER es una medida de rentabilidad, ya que divide “lo que recibiré” (el BPA) por “lo que he invertido” (el precio):

BPAPPER

1=

Si de una medida de rentabilidad lo que nos interesa es que sea lo más alta posible (en renta variable una aproximación es 1/PER), lo que interesará, como criterio general, es que el PER sea lo más bajo posible.




¿Y qué tienen que ver el PER o su inversa con la actualización de flujos? Si damos una vuelta más a la fórmula, veremos en ella que el precio (P) en realidad es el valor actual de una renta perpetua (cuya fórmula ya conocemos) de los BPA futuros actualizados a una tasa o rentabilidad que es la inversa del PER:

BPAP =PER

1

Importe invertido hoy: el precio de la acción

Actualización de beneficios futuros a una tasa 1/PER

Al final, casi siempre se trata de actualizaciones de flujos futuros.

Sección 5. Los fondos de inversión

Los fondos de inversión no son otra cosa que un vehículo para poder invertir en los mercados financieros que hemos visto (mercados monetarios, de renta fija y de renta variable) y otros, de una forma colectiva, lo que tiene muchas ventajas para los inversores individuales: gestión profesional, muchas más posibilidades de diversificación y de acceso a un gran número de mercados, etc.

Una vez realizada una inversión en fondos de inversión, el cálculo de su rentabilidad es muy sencillo:

VLfinali =

VLinicial

− 1

Esta rentabilidad, esta TIR, no sería anual, sino del período de días entre la compra y la venta. Si queremos anualizarlo (TAE), utilizaríamos la fórmula de siempre.

TAE = − 11 + TIR 365d

365d

Ésta sería la rentabilidad una vez efectuada la inversión, es decir, cuando las participaciones en el fondo de inversión se han comprado y posteriormente vendido. Ahora la pregunta sería: ¿cómo analizar este tipo de inversiones “a priori”?




Cuando analizábamos Letras del Tesoro y pagarés, a partir de la observación del precio en el mercado podíamos calcular qué rentabilidad nos ofrecían dichas inversiones. Con los bonos pasaba igual, incluso el precio de las acciones nos traslada cierta idea de rentabilidad más o menos esperada (a través de la inversa del PER). ¿Y en el caso de los fondos de inversión? Su precio, el valor liquidativo, ¿nos ofrece alguna información sobre una estimación de rentabilidad futura?

Lamentablemente no, y aunque es de obligado cumplimiento avisar que “rentabilidades pasadas no garantizan rentabilidades futuras”, el hecho de conocer el comportamiento pasado de los fondos es una de las principales informaciones disponibles (no la única) para tratar de intuir si nos encontramos ante un fondo bien gestionado y si puede representar una elección acertada.

En la información económica diaria solemos encontrar siempre la rentabilidad que cada fondo está obteniendo desde principio de año, o bien en los últimos 12 meses. Esta información suele ser seguida por inversores que poseen participaciones de dichos fondos.

En cambio, si buscamos información para comparar entre diferentes fondos antes de invertir, entonces será mucho más conveniente buscar rentabilidades a más largo plazo, por ejemplo de los últimos tres o cinco años (junto a otros indicadores, por ejemplo de riesgo).

Cierre

Hemos podido ver en este apartado que las matemáticas financieras nos son de una gran utilidad para poder analizar inversiones en activos negociados en los mercados financieros, especialmente en el caso de los activos de renta fija (a corto y a largo plazo), y también están en la base del principal ratio utilizado en el análisis de renta variable, el PER.



Apartado 5Aplicaciones prácticas de las matemáticas financieras y los productos previsionales

Introducción

Vamos a ver cómo nos ayudan las matemáticas financieras a analizar la inversión en los productos previsionales.

En esta tercera vía, las instituciones que permiten a los ahorradores “invertir” su dinero a futuro son las compañías aseguradoras, las cuales ofrecen una amplia gama de productos para satisfacer todas las necesidades relacionadas con cobertura de riesgos, ahorro y previsión.

Los asegurados realizan sus aportaciones mediante el pago de primas y en el futuro reciben las prestaciones pactadas. Para poder ofrecer una rentabilidad a los asegurados, las compañías aseguradoras invertirán las primas recibidas:

• En los mercados financieros.• En entidades financieras (depósitos).

En esta tercera vía conviven componentes financieros, que ahora trataremos de analizar, con otros componentes “actuariales”. La matemática actuarial o financiero-actuarial incorpora sobre la matemática financiera un elemento esencial en cualquier producto asegurador que es el elemento de aleatoriedad (riesgo), que condiciona que los flujos económicos de la operación (ya sea el flujo de prestaciones o de aportaciones) se produzcan o no, en qué cuantía y en qué forma.

Si hablamos de seguros de riesgo puros de mortalidad o de longevidad (es decir, que generan prestaciones únicamente en caso de fallecer o en caso de estar vivo respectivamente), los cálculos que deben realizarse son principalmente actuariales. El importe de la prima (el dinero que entrega el asegurado hoy) lo calcula la entidad aseguradora, ya que con la suma de las primas recibidas debe constituir un fondo para asegurarse que puede hacer frente al pago de los siniestros previstos, más un margen para cubrir sus gastos. Estos cálculos se hacen sobre la base de tablas estadísticas que indican la probabilidad que el suceso cubierto ocurra.

En cambio, hay toda una amplia gama de productos previsionales en los que sí existe un componente financiero (de capitalización, de rentas, etc.), casi siempre con algún elemento de “seguro puro” que lo complementa.


Apartado 5. Aplicaciones prácticas de las matemáticas financieras y los productos previsionales


Para este tipo de productos sí nos van a servir conceptos de matemáticas financieras, tanto para el período de “aportaciones” (cuando se “pone” el dinero) como para el de “prestaciones” (cuando se “recibe” el dinero).

En este apartado no hablaremos de productos concretos, que tienen una parte financiera y una parte actuarial, sólo de los aspectos financieros que hay dentro de los productos previsionales.

Hablaremos, por tanto, principalmente de capitalizar (una prima única o aportaciones periódicas) y de disponer de un capital constituido (especialmente mediante rentas).

esquema

UUEsquema 5.1. Los productos previsionales dentro del sistema financiero


Primas




Préstamos


Depósitos

Sección 1. Las rentas

Hasta el momento, y aplicadas en diferentes productos y activos financieros, hemos trabajado con tres tipos de rentas:

1. Perpetuas.2. Temporales.3. Perpetuas crecientes.




Para poder calcular el valor actual de estas rentas, utilizaremos las siguientes fórmulas:

VA = Ci

i1 − ∙

(1 + i)nVA = C

i1 1

VA = Ci − g

Todas estas rentas son rentas “vencidas”, lo que significa que la primera cuota se cobra al final del primer período temporal. Veámoslo de modo gráfico.

VA

C C C C CC ...

El valor actual se obtiene un período antes del cobro de la primera cuota

La primera cuota se produce finalizado el primer período de la renta

Si la renta se quiere cobrar de forma “anticipada”, es decir, comenzar a cobrar las cuotas en el inicio del primer período en vez del final, cuando apliquemos las fórmulas anteriores estaremos valorando la renta no en el momento 0 del tiempo (hoy), sino en el período -1 de la línea temporal. Si queremos valorar la renta en el momento cero, deberemos capitalizar el valor obtenido con la fórmula conocida sobre un período temporal. Veámoslo de modo gráfico.

C C C C CC ...

-1 0

VA = Ci

∙ (1 + i)VA

A cualquiera de las tres fórmulas anteriores (en el gráfico se ha resuelto con la renta perpetua), si la renta pasa de ser vencida a ser anticipada, hemos de añadirle el producto de (1 + i).




Si la renta se quiere cobrar de forma “diferida”, es decir, comenzar a cobrar después de una serie de períodos temporales establecidos, cuando apliquemos las fórmulas conocidas estaremos valorando la renta justo en el período anterior al primer cobro de cuota. Si queremos valorar la renta en el momento cero, deberemos actualizar el valor obtenido por el número de períodos diferidos. Veámoslo de modo gráfico.

CC C

0 VA

VA = Ci

∙ (1 + i)d

1

A cualquiera de las tres fórmulas anteriores (en el gráfico se ha resuelto con la renta perpetua), si la renta pasa de ser inmediata a diferida, hemos de añadirle el factor de actualización 1 / (1 + i)d.

Ahora tenemos las herramientas necesarias para poder plantear ejemplos de aportaciones y prestaciones de productos previsionales (sólo por su componente financiero, no actuarial).

Sección 2. Las aportaciones

Básicamente diferenciaremos entre:

a) Prima única: el asegurado aporta todo el capital de una sola vez. Dependiendo del plazo del producto y la rentabilidad del mismo, a vencimiento recibirá la cantidad aportada más la rentabilidad que se haya pactado. Vendría a ser lo más parecido a un depósito o imposición a plazo fijo. Podríamos obtener el valor final de esta inversión simplemente capitalizando.

b) Prima periódica: se establece un “plan” de aportaciones, que puede ser mensual, trimestral, semestral, anual En este caso, podríamos estimar el capital final capitalizando la renta a vencimiento.

Excel es una herramienta magnífica con el fin de poder modificar las variables establecidas (en este caso, importe de 100.000 euros, tipo de interés anual del 3% y capitalización durante 10 años) y analizar qué le ocurre al capital final que se obtiene mediante la capitalización de la prima única.

Si capitalizamos 10 años, por ejemplo si aporto el capital cuando faltan 10 años para mi jubilación, a un tipo de interés del 3%, obtendré un capital de 134.391,64 euros. Podemos verlo en la imagen posterior.

¿Y si pudiera comenzar a capitalizar antes? Por ejemplo, 30 años antes de mi jubilación. En ese caso modifico la celda correspondiente y automáticamente obtenemos que el capital final será de 242.726,25 euros.




Lo mismo si nos situamos en la imagen unas celdas más abajo. Aquí fijamos el capital final que queremos obtener (en la imagen los 134.391,64 euros) y el resultado es el dinero que debo aportar, en este caso 10 años antes de la jubilación (o cualquier otro momento en el que precisamos tener constituido un capital).

Podemos igualmente cambiar capital deseado o años de capitalización (o tipo de interés) y el Excel nos devolverá el importe de prima única que debo aportar. Veámoslo de modo gráfico.

(En Recursos se encuentra el archivo Excel, en el que podrás realizar los análisis adecuados.)

De la misma forma, podemos hacer un análisis de aportaciones mediante primas periódicas. En el ejemplo de la imagen siguiente, aportando 200 euros mensuales durante 20 años (tipo de interés anual del 3%), el capital final que obtendríamos sería de 65.660,40 euros (hasta ahora habíamos calculado siempre el valor actual de la renta, que en este caso sería de 36.062,18 euros, si capitalizamos 240 meses hallamos el valor final de 65.660,40 euros).

Modificando todas las variables, podemos estimar el capital final que obtendríamos:

• Aportando durante más o durante menos años.• Aumentando o disminuyendo el importe de la prima.• Modificando el tipo de interés.

En la parte inferior de la imagen vemos el análisis inverso, estableciendo el capital final que deseo obtener y bajo las condiciones establecidas, ¿qué importe debe tener la prima mensual que tenemos que aportar? En el ejemplo, para conseguir 100.000 euros de capital final, debemos aportar 272,65 euros mensualmente durante 20 años. Veámoslo de modo gráfico.




Cambiar variables nos permitiría obtener la prima que deberíamos aportar si deseamos un capital mayor o menor, aportar durante más o menos años, etc.

Un ejercicio muy interesante que previamente se puede realizar es hacer un estudio de las necesidades de complementar la pensión pública con un ahorro privado, y tras conocer el importe estimado que debería ahorrar, calcular qué prima única o periódica he de destinar a dicho objetivo.

Sección 3. Las prestaciones

A partir de un capital, y bajo un punto de vista de tipo de prestación, pueden distinguirse básicamente entre prestaciones:

a) En forma de capital.b) En forma de renta.

Nos centraremos en este segundo tipo.

Continuemos viendo cómo Excel nos permite, una vez entradas las fórmulas que ya conocemos (rentas perpetuas y temporales vencidas, perpetuas y temporales anticipadas, así como perpetuas y temporales diferidas), realizar diferentes análisis modificando solamente las variables que definen las rentas.

La información que vemos en la imagen posterior se corresponde con:

• A partir de un capital, ¿qué cuota mensual recibiré si la cuota es perpetua (no consume capital)? Si disponemos de 100.000 euros y el producto tiene un tipo de interés anual del 3%, mensualmente




recibiré una cuota de 250 euros. Mi capital, los 100.000 euros, se mantiene intacto, ya que la cuota se corresponde con los intereses.

• Si deseo una cuota de 300 euros (al mismo tipo de interés), debo partir de un capital de 120.000 euros.

• A partir del capital de 100.000 euros, si la renta es temporal, concretamente 20 años, la cuota mensual que recibo pasa de 250 a 554,60 euros, aunque el capital se va consumiendo y se agota a los 20 años.

• Y viceversa, si deseo una cuota mensual de 600 euros durante 20 años, deberé disponer de un capital de 108.186,55 euros.

Y, por supuesto, puedo cambiar todas las variables que desee. Veámoslo de modo gráfico.

Los análisis que observamos en la imagen posterior son similares a los anteriores, aunque ahora la renta es diferida (no se comienza a cobrar en el momento cero, sino tras unos períodos de diferimiento). Si lo comparamos con las rentas anteriores, veremos que, al diferir el cobro, el importe de las cuotas aumenta, o bien, para una cuota dada, puedo partir de un capital algo inferior. Esto es así porque, durante el período de diferimiento, el capital aumenta por el efecto de los intereses que se van acumulando y que, a su vez, generan nuevos intereses que hacen incrementar el capital. Veámoslo de modo gráfico.




Por último, podemos realizar los mismos análisis para las rentas anticipadas. En este caso, el capital necesario va a ser mayor ya que se pretende empezar a cobrar un período antes, o bien, para un capital dado, la cuota que debe cobrarse sería algo menor. Veámoslo de modo gráfico.




Cierre

En el presente apartado, hemos analizado en qué medida las matemáticas financieras nos ayudan a comprender los productos previsionales.

Los productos previsionales tienen un importante componente de matemática actuarial, que no entra en el ámbito de la matemática financiera. Por ello, los aspectos que hemos visto (capitalización, diferentes tipos de rentas, etc.) sólo explican una parte de los productos previsionales, pero resultan de mucha utilidad para la comprensión de los mismos.

Pàgina 1Barcelona School of Management © UPF

Matemàtica financera bàsica

Apartat 1La base de les matemàtiques financeres

Introducció

Les matemàtiques financeres no tenen massa bona fama entre les generacions d’estudiants d’economia que les han patit. La majoria no guarda bons records sobre les seves desenes de fórmules, càlculs, règims financers, equivalències, exercicis, etc., i el pitjor de tot és que, al final, els conceptes bàsics es perdien entre tantes fórmules. Però, en realitat, les matemàtiques financeres són molt útils i tots les necessitem en molts moments de la nostra vida.

Quan tenim uns estalvis (per exemple, hem gastat menys del que hem ingressat), el sistema financer ens ofereix una gran varietat de productes o actius en què podem invertir. En altres ocasions, tanmateix, podem necessitar uns diners de què no disposem (per exemple, per a la compra d’un habitatge), i en aquests casos el sistema financer també ens permet accedir a aquest import a canvi que el tornem en un futur. No només les persones físiques, sinó també les empreses, les administracions públiques i tota mena d’organitzacions poden tenir estalvis disponible o necessitar liquiditat en diferents etapes de la seva vida. En qualsevol d’aquests casos, com més coneixements es tinguin de matemàtiques financeres, millors decisions es podran prendre.

En aquest apartat es pretén desenvolupar, de manera clara i intuïtiva, els conceptes bàsics de les matemàtiques financeres. Seran pocs conceptes, pocs més de mitja dotzena, però si s’assimilen bé, permetran que es “construeixi” sobre ells, a poc a poc i a partir de diversos exemples, una estructura sòlida de coneixements que permetran analitzar amb solvència els productes i els actius financers principals que milions de persones i organitzacions utilitzen cada dia.

Secció 1. El capital financer i el preu del diner

Dos capitals idèntics en moments diferents del temps no són equivalents. 1.000 euros avui no són el mateix que 1.000 euros d’aquí un any. I tota la matemàtica financera que desenvoluparem a partir d’ara es basa en una desigualtat, que és la següent:

Valor actual d’un capital financer ≠ Valor futur d’un capital financer

Quan invertim 100 euros en un dipòsit, no esperem rebre 100 euros d’aquí un any, sinó més, és a dir, creiem que el valor futur d’aquests 100 euros ha de ser superior (per exemple, 103 euros). Si no fos així, no ho consideraríem un tracte just.


Apartat 1. La base de les matemàtiques financeres


En el camp de les matemàtiques financeres, el terme capital (100 euros) no ens diu res. A partir d’ara hem de parlar de capital financer o bé, el que és el mateix, d’una quantitat monetària associada a un moment del temps (100 euros avui, 103 euros d’aquí un any, etc.).

Existeixen productes financers que ens permeten “traslladar” capitals financers del present al futur o del futur a l’actualitat. De fet, el que ofereixen és un intercanvi d’un capital financer avui a canvi d’un capital financer en el futur, o al revés, de manera que siguin financerament equivalents, és a dir, que el tracte sigui just per a les dues parts que intervenen en l’operació.

I què significa just? Quant s’ha de retribuir a aquell que cedeix el seu capital avui i espera recuperar-lo en el futur? Quin cost ha de suportar qui rep diners avui i es compromet a tornar-los en el futur?

Principalment, hi ha tres conceptes que ens ajuden a respondre a aquesta pregunta:

a) Inflació

Quan cedim avui un capital financera, estem renunciant a poder-lo gastar i, per tant, quan en el futur recuperem un altre capital financer, aquest almenys ha de compensar-nos per allò que costarà en el futur allò que renunciem a comprar avui. Per exemple, si renuncio a comprar-me un cotxe avui i inverteixo els diners durant un any, el mínim que esperaré és que quan el recuperi pugui pagar el preu del cotxe d’aquí un any (que segurament serà superior per l’efecte de la inflació).

b) Cost de no disponibilitat o d’ajornament del consum

Ja que no tenim els diners disponibles durant un període de temps, allò just seria que quan els rebem no només puguem comprar el mateix objecte a què hem renunciat. Continuant amb l’exemple anterior, si els diners que rebré d’aquí un any només em compensen la inflació i la decisió que he de prendre és si compro el cotxe avui o d’aquí un any, segurament decidiré comprar-lo avui. Per què hauria d’esperar? Ara bé, si n’obtinc la inflació i alguna cosa més, potser sí que aquest fet em motivarà a esperar un any, ja que llavors em podré comprar el cotxe… i la ràdio!

c) Risc

Fins ara hem suposat que aquest cobrament futur (que em permetrà comprar el cotxe i una ràdio nova) és segur, però hi ha moltes inversions que tenen risc o, el que és el mateix, que tenen una capitals financers futurs incerts. En aquest cas, si hi ha risc, demanarem una prima per aquest risc, és a dir, cedirem el nostre capital avui a canvi de més capital financer en el futur, i com més risc percebem, més capital financer exigirem.




De forma aproximada, els títols de renda fixa considerats sense risc (deute estatal de màxima solvència) ofereixen una rendibilitat que tracta d’incloure els dos primers conceptes (inflació més cost de no disponibilitat); per això, en la resta d’inversions, a aquesta rendibilitat sense risc se li sumen les diferents primes de risc, segons les característiques de la inversió.

Secció 2. Operacions bàsiques: capitalitzar i actualitzar

Hem dit que el sistema financer ens permet moure diners en el temps i que la matemàtica financera ens permet “transformar” un capital financer en un altre (financerament equivalent) cap al futur o cap al passat.

Quan es tracta de convertir un capital financer d’avui cap al futur, l’operació que s’està realitzant és capitalitzar.

Quan convertim un capital financer del futur cap al present, l’operació que estem realitzant és actualitzar.

Per tal de poder capitalitzar o actualitzar, necessitem dues coses:

a) Escollir una fórmula matemàtica per “transformar” uns imports en uns altres o, dit d’una altra manera, escollir un règim financer i, per tant, la seva fórmula associada o factor financer.

b) Determinar un tipus d’interès.

Dir que capitalitzarem (o actualitzarem), per exemple, 6.000 euros al 10% no ens diu res si no hi afegim la informació sobre el règim financer i, per tant, sobre el factor financer que hem d’aplicar.

Les dues parts que intervenen en l’operació han de pactar totes dues coses:

a) El tipus d’interès que han d’aplicar.b) La fórmula per a aplicar-lo.

Els règims financers més habituals són els següents:

1. El règim financer de tipus d’interès simple vençut.2. El règim financer de tipus d’interès compost vençut.

Cadascun d’ells té una fórmula –anomenada factor financer– mitjançant la qual “transforma” capitals financers en el temps.




1. Règim financer de tipus d’interès simple vençut

El primer utilitza el factor financer (fórmula) següent:

(1 + i ∙ n)

• i expressa el tipus d’interès.• n expressa el temps.

Si volem capitalitzar, multiplicarem el capital inicial per aquest factor financer. Si volem actualitzar, dividirem el capital final per aquest factor financer.

Capitalitzar

Si inverteixo 100 euros avui al 3% anual durant dos anys, què rebré al venciment si aplico el tipus d’interès simple vençut?

C’ = 100 ∙ (1 + 0,03 ∙ 2) = 106 €

Cada any rebré 3 euros d’interessos; per tant, durant els dos anys rebré 6 euros d’interessos més el principal, de 100 euros.

Actualitzar

Si d’aquí dos anys rebré 106 €, quants euros representen avui dia actualitzats al 3% anual i aplicant el tipus d’interès simple vençut?

C =106

(1 + 0,03 ∙ 2)= 100 €

exemple

nn

2. Règim financer de tipus d’interès compost vençut

El segon règim financer utilitza el factor financer (fórmula) següent:

(1 + i)n




exemple

nn

Novament:

• i expressa el tipus d’interès.• n expressa el temps.

Si volem capitalitzar, multiplicarem el capital inicial per aquest factor financer. Si volem actualitzar, dividirem el capital final per aquest factor financer.

Capitalitzar

Si inverteixo 100 euros avui al 3% anual durant dos anys i aplico el tipus d’interès compost vençut, al venciment rebré:

C’ = 100 ∙ (1 + 0,03)2 = 106,09 €

Els 3 euros del primer any se sumen al capital i, per tant, durant el segon any es calculen interessos sobre 103 euros (i no sobre 100 euros, com en el règim financer anterior). Per això, finalment, rebré 106,09 euros en comptes de 106 euros.

Actualitzar

Si el que volem és actualitzar, dividim pel factor financer.

Actualitzar avui dia un import de 20.000 euros que es vol obtenir d’aquí 20 anys, és a dir, calcular l’import que cal invertir avui per tenir aquesta quantitat disponible d’aquí 20 anys, si el tipus d’interès nominal anual és del 10%.

Amb el règim financer de tipus d’interès simple vençut:

C =20.000

1 + 0.1 ∙ 20= 6.666,67

Amb el règim financer de tipus d’interès compost vençut:

C =20.000

(1 + 0.1)20= 2.972,87




Com que en el règim financer de tipus d’interès compost es reinverteixen els interessos, que, al seu torn, generen més interessos, a data d’avui puc posar un import sensiblement menor que en el règim del tipus d’interès simple per obtenir, al final del període, la mateixa quantitat (20.000 euros).

Secció 3. El VAN - Valor Actual Net

El Valor Actual Net és una tècnica d’anàlisi d’inversió que compara la inversió inicial amb el valor actualitzat de tots els seus rendiments esperats.

Així, per exemple, si ens proposen invertir 100 milions d’euros avui, amb el compromís que en els propers cinc anys rebrem successivament cada any: 30, 30, 30, 30 i 50 milions d’euros, seria erroni analitzar-ho amb la premissa que apliquem 100 milions i rebem en total 170 milions.

No es poden comparar 100 milions d’euros d’avui amb 30 milions d’euros d’aquí un, dos, tres o quatre anys o de 50 milions d’euros d’aquí cinc anys. Per poder analitzar la inversió, haurem de comparar la inversió inicial (100) amb els fluxos futurs (30, 30, 30, 30, 50) actualitzats, és a dir, haurem de convertir aquestes xifres en euros d’anys posteriors a la data d’inici de la inversió a euros corresponents a aquesta data d’inici. A partir d’aquí, sí que es podran comparar uns imports d’euros amb els altres, ja que tots seran equivalents en el moment inicial de la inversió.

La fórmula del VAN és la següent:

VAN = -I +(1 + k)

CF1 +(1 + k)2

CF2 + ... +(1 + k)n

CFn

En què:

• I = Inversió inicial (en l’exemple, 100 milions d’euros).• CF1 = Capital financer o flux de fons que s’ingressaran dins el primer període (en l’exemple, 30

milions d’euros).• CF2 = Capital financer o flux de fons que s’ingressaran dins el segon període (en l’exemple, 30

milions d’euros).• n = Nombre de períodes de liquidació que té la inversió (en l’exemple, cinc períodes).• CFn = Capital financer o flux de fons que s’ingressaran dins l’últim període (en l’exemple, 50 milions

d’euros).

• k = Taxa d’actualització dels fluxos futurs (taxa única).




Si en aquest exemple es calcula el VAN donant a la taxa d’actualització k el valor del 10%, obtindríem el resultat següent (convé recordar que, en els càlculs financers, les taxes en tant per cent s’utilitzen en tant per u; així, un 10% s’inclourà en la fórmula com 0,10):

VAN = -100 +(1 + 0,10)

30+

(1 + 0,10)2

30+

(1 + 0,10)3

30+

(1 + 0,10)4

30+

(1 + 0,10)5

50

VAN = -100 + 27,27 + 24,79 + 22,54 + 20,49 + 31,05 = -100 + 126,14 = +26,14

Quan es calcula el VAN d’una inversió, el primer que interessa saber és si aquest és positiu o negatiu:

• En aquest exemple, el VAN resultant és positiu, cosa que indica que la inversió és, en principi, aconsellable.

• En cas que el VAN hagués donat un resultat negatiu, estaria indicant que la inversió analitzada no és, en principi, aconsellable.

VAN positiu = inversió recomanable.

VAN negatiu = inversió no aconsellable.

Com s’ha d’interpretar el VAN?

En primer lloc, s’ha d’entendre que el VAN és una tècnica d’avaluació d’inversions que el que fa és posar un llistó a la inversió analitzada. Aquest llistó és la taxa d’actualització k. En l’exemple anterior es pot interpretar que la inversió ofereix una rendibilitat superior al 10% o, cosa que és el mateix, supera el llistó del 10%; per això es considera que, si només es tenen en compte aquestes variables, la inversió és aconsellable.

Es pot observar que si es torna a calcular el VAN de l’exemple amb una taxa d’actualització major, per exemple del 20%, hi haurà una probabilitat major que el VAN sigui negatiu o, dit d’altra manera, hi haurà una probabilitat major que la inversió no superi el nou llistó que se li ha col·locat.




Què fa que un VAN sigui positiu?

Hi ha tres factors que incideixen en el resultat final del VAN:

a) La inversió inicial: com més petita sigui, més probabilitats hi ha que el VAN sigui positiu.b) Els fluxos de fons futurs: com més grans siguin, més probabilitats hi ha d’obtenir un VAN positiu.c) La taxa d’actualització k: com més baixa sigui, més probabilitats hi ha que el VAN sigui positiu.

Quina serà, doncs, la taxa d’actualització que s’utilitzarà per calcular un VAN?

Al calcular el VAN d’una inversió, cada inversor utilitzarà la taxa de rendibilitat mínima exigida a aquesta inversió, és a dir, té un sentit de cost d’oportunitat, ja que per prendre la decisió de realitzar o no la inversió li posem el llistó de la rendibilitat a què s’està renunciant per emprendre el projecte d’inversió analitzat. Dit d’una altra forma, al calcular el VAN s’exigeix al projecte d’inversió, perquè sigui aconsellable, que produeixi com a mínim allò que el capital vinculat produiria en l’ús alternatiu a què es renuncia i, si el projecte analitzat assumeix un risc major que aquesta alternativa, se li ha de sumar la prima de risc que es consideri oportuna.

Secció 4. La TIR – Taxa Interna de Rendibilitat

El VAN és una mesura del benefici absolut d’un projecte d’inversió, però amb el càlcul del VAN no se sap quina és la taxa interna de rendibilitat del projecte o TIR. L’única cosa que se sap, una vegada calculat el VAN, és el següent:

• Si és positiu, el projecte ofereix una rendibilitat major que la taxa d’actualització k utilitzada.• Si és negatiu, la rendibilitat del projecte és menor que la taxa d’actualització k utilitzada.• Si és igual a zero, òbviament la rendibilitat del projecte coincideix amb la taxa d’actualització.

Així, en l’exemple numèric utilitzat per calcular el VAN, l’única cosa que se sap pel que fa ala TIR (Taxa Interna de Rendibilitat) del projecte analitzat és que aquesta és superior al 10%.

Com que el VAN és positiu, se sap que la rendibilitat de la inversió analitzada és major que el llistó que se li ha col·locat; després, si supera aquest llistó del 10%, el projecte ofereix una rendibilitat (TIR) major que aquest 10%.

Com calcular la TIR d’una inversió?




Si al calcular el VAN d’una inversió el resultat és igual a zero, resulta que la inversió no té una rendibilitat major ni menor que el llistó; per tant, la TIR seria igual a aquest llistó o taxa d’actualització utilitzada. D’aquí es dedueix que la TIR és aquella taxa d’actualització que fa que el VAN s’iguali a zero.

En aquest cas, en la fórmula del VAN, ara la incògnita ja no és el VAN, sinó la taxa d’actualització k, ja que s’ha de trobar una k que faci que el VAN sigui zero. En aquest cas concret, la k es coneix com TIR. A l’hora d’aïllar la k de la fórmula ens trobem amb un problema matemàtic, ja que s’està davant un polinomi de grau n i aquesta operació no té una solució única; la forma de calcular el valor de k que faci que el VAN sigui zero serà pel mètode d’iteracions successives.

Aquest mètode de càlcul no és més que anar delimitant el valor de k entre aquells valors que donin un VAN positiu i un VAN negatiu fins que se’n trobi un que doni com a resultat un VAN igual a zero. En l’exemple numèric anterior de càlcul del VAN, s’ha utilitzat una taxa d’actualització igual al 10% i el VAN era positiu; si utilitzéssim una taxa d’actualització del 20%, el VAN passaria a ser negatiu; per tant, ja se sap que la TIR estarà entre el 10% i el 20%. Caldrà delimitar successivament el valor de k entre 10 i 20 fins a trobar un valor de TIR amb el qual el VAN sigui igual a zero.

En la pràctica, per a aquest càlcul utilitzarem una calculadora financera o bé un full de càlcul (més endavant ho veurem), que en el fons no faran altra cosa que realitzar aproximacions a VAN igual a zero també mitjançant iteracions successives.

Secció 5. La TAE – Taxa Anual Equivalent

La TIR dóna la taxa interna de rendibilitat d’un projecte d’inversió, però aquesta TIR no ha de ser necessàriament d’un període anual.

La TAE és la TIR anualitzada. Quan una operació financera no té períodes anuals de liquidació d’interessos, s’ha de transformar la TIR resultant (mensual, trimestral, semestral, etc.) a una TIR anual o TAE (taxa anual equivalent). L’anualització d’una TIR es realitza mitjançant la fórmula següent:

TAE = (1 + TIR) − 1365d

En què d és el nombre de dies que comprèn cada període de liquidació, i si l’any fos de traspàs, el numerador de la potència seria 366. Si s’aplica l’any comercial, la fórmula que es fa servir és la mateixa però amb el numerador de l’exponent igual a 360:

TAE = (1 + TIR) − 1360d




exemple

nnAixí, per exemple, si s’analitza una operació financera en què es presten 100 milions d’euros, es paguen interessos en quatre períodes de liquidació d’un import igual a 4 milions d’euros cada període i el principal (100 milions d’euros) es torna al final de l’últim període, la TAE resultant dependrà dels dies que comprengui cadascun d’aquests quatre períodes de liquidació. Vegem-ho de manera gràfica.

4 4 4 104

-100

La TIR resultant serà igual al 4%.

Si els períodes són trimestrals, vol dir que la TIR és trimestral i la TAE serà igual a:

• TIR (trimestral) = 4%.• TAE = (1 + 0,04)360/90 – 1 = (1,04)4 – 1 = 16,99%.

Si els períodes són semestrals, vol dir que la TIR és semestral i la TAE serà igual a:

• TIR (semestral) = 4%.• TAE = (1 + 0,04)360/180 – 1 = (1,04)2 – 1 = 8,16%.

En definitiva, la TIR d’una operació amb períodes de liquidació anual és igual ala TAE. En cas que una operació financera no tingui períodes de liquidació anual, s’haurà de convertir la TIR anual o TAE mitjançant la fórmula que s’ha indicat més amunt.

Secció 6. Rendibilitat real

Si obtenim una rendibilitat (diguem-li rendibilitat financera) d’una inversió del 10% però la inflació del període ha estat del 3%, el que sabem és que el nostre poder adquisitiu no ha augmentat el 10%, oi?

Quant ha augmentat realment? Aquesta informació ens la proporciona la rendibilitat real. Aquesta és una xifra a la qual es dóna una certa importància per part dels inversors, ja que no cal oblidar que l’objectiu fonamental de l’estalvi i la inversió és preservar el capital per mantenir o incrementar el seu poder adquisitiu al llarg del temps, i per això l’erosió que genera la inflació en el valor d’aquest patrimoni pot ser de gran importància.




exemple

nn

A vegades s’utilitza una primera aproximació, que es limita a restar de la taxa de rendibilitat que s’ha calculat l’import de la inflació existent per al mateix termini de la inversió. Si la inflació és del 3% anual i s’obté un interès del 8% anual, en realitat la rendibilitat real és del 5%, que s’obté amb la fórmula següent:

Rendibilitat real = Taxa de rendibilitat financera – Inflació

Aquest càlcul és només una aproximació, encara que moltes vegades pot utilitzar-se sense problemes perquè el resultat que s’obté és similar al que obtenim amb la fórmula més apropiada, que és la següent:

Rendibilitat real = − 11 + inflació

1 + rendibilitat financera

Disposem de 100 euros, amb els quals podem comprar avui 100 pastissets (ja que el seu preu és d’1 euro el pastisset). Decidim invertir aquests 100 euros durant un any. Per renunciar a comprar els pastissets avui, volem poder comprar d’aquí un any 105 pastissets, és a dir, volem obtenir una rendibilitat real del 5%. Com que sabem (per alguna estranya raó) que la inflació serà del 3%, decidim invertir en un producte que ofereix una rendibilitat del 8%.

Quina haurà estat la rendibilitat real d’aquesta operació?

Rendibilitat real = − 1 = 0,04851 + 0,03

1 + 0,08

Calculant la diferència entre rendibilitat financera i inflació, haguéssim obtingut 8% – 3% = 5%, que semblava indicar-nos que amb aquesta inversió podríem comprar els 105 pastissets. En canvi, amb la segona fórmula, això no és així, ja que només podrem comprar-nos 104 pastissets (o 104,85 pastissets). Per què passa això?

Perquè cal aplicar la inflació no només als 100 pastissets inicials (d’aquí un any valdran 103 euros), sinó també als 5 que vull comprar (que valdran 5,15 euros, i no 5 euros). Si realment vull consumir 105 pastissets, hauré d’invertir en un producte que ofereixi 8,15 euros, i llavors sí que la meva rendibilitat real serà del 5%.




Rendibilitat real = − 1 = 0,051 + 0,03

1 + 0,0815

Amb aquest senzill exemple veiem per què la fórmula correcta és la segona, per bé que moltes vegades la diferència entre ambdues és petita i pot utilitzar-se la primera.

Tancament

En aquest apartat s’han vist els conceptes bàsics de la matemàtica financera, que permetran a partir d’aquí analitzar productes i actius financers amb una base sòlida. Hem vist com definim els capitals financers, quins factors influeixen en el preu del diner i què és capitalitzar i actualitzar, així com els règims financers principals amb què ho fem, i també què són i com s’interpreten el VAN, la TIR i la TAE.

En els apartats següents veurem l’aplicació pràctica d’aquests conceptes en els diferents productes i actius que el sistema financer posa a l’abast per poder cobrir les diverses necessitats d’inversió i finançament de tots els agents de l’economia.

Cada tipus de producte o actiu s’analitzarà de forma diferent, però si aquests primers conceptes es tenen clars, la complexitat que anirà apareixent en els exemples pràctics dels diferents productes i actius s’anirà assimilant sense problemes.



Apartat 2Aplicacions pràctiques de les matemàtiques financeres en els productes bancaris de passiu

Introducció

Una vegada revisats els conceptes bàsics de la matemàtica financera –capital financer, equivalència financera, actualitzar i capitalitzar, VAN, TIR i TAE–, començarem a veure la seva aplicació pràctica en l’anàlisi dels actius i dels productes financers més importants.

El sistema financer ofereix tres vies principals per a poder connectar els oferents de capital (els que tenen diners avui i volen invertir-los per obtenir més diners futurs) amb els demandants de capital (els que demanen diners avui i es comprometen a tornar diners futurs):

1. La intermediació bancària. En aquesta via, les institucions financeres són els intermediaris que es col·loquen entre oferents i demandants, i cadascun ofereix un producte diferent segons les seves necessitats:

a. Productes de passiu (que denominarem genèricament dipòsits) als que aporten diners a la institució.

b. Productes d’actiu (genèricament es denominen crèdits) als clients que necessiten finançament. Nosaltres analitzarem principalment els préstecs.

2. Els mercats financers.

3. Els productes previsionals.

En aquest segon apartat ens centrarem en els productes de passiu de la intermediació bancària, quan els dipositants cedeixen els seus diners a l’entitat a canvi de recuperar-los en el futur amb una rendibilitat addicional.


Apartat 2. Aplicacions pràctiques de les matemàtiques financeres en els productes bancaris de passiu


Esquema 2.1. Productes de passiu d’intermediació bancària dins el sistema financer

Entitats financeres

Primes

Companyies aseguradores

Mercats financers

Demanda (inversió)Oferta (estalvi)

Préstecs

Accions i BonsAccions i BonsFons d’inversió

Dipòsits

esquema

UU

Secció 1. Treballant amb tipus d’interès a menys d’un any

Començarem utilitzant les eines que ja coneixem per a poder analitzar tres dipòsits diferents:

1. Dipòsit al 8% nominal anual amb venciment als 9 mesos (tres trimestres) i liquidació única d’interessos al venciment. Règim financer de tipus d’interès simple.

2. Dipòsit al 8% nominal anual amb venciment als 9 mesos (tres trimestres), amb capitalització trimestral d’interessos i liquidació única al venciment. Règim financer d’interès compost.

3. Dipòsit al 8% nominal anual amb venciment als 9 mesos (tres trimestres) i liquidació d’interessos al final de cada trimestre. Règim financer de tipus d’interès simple.




a) Anàlisi del primer dipòsit

La primera cosa que s’ha de fer sempre és plantejar l’esquema temporal per tenir clar quins seran els capitals financers que tindrà l’operació. En aquest cas, en què hi ha liquidació única d’interessos al venciment, seran dos.

100 9m

C’

Imaginem que hi dipositem 100 euros. Quina quantitat rebrem al cap dels 9 mesos?

En aquest exemple, els comptes són molt fàcils i podem respondre amb sentit comú; rebrem els 100 euros més uns interessos de 6 euros, ja que si en un any guanyem 8 euros, en 9 mesos guanyem 6 euros.

Si apliquem la fórmula que ja coneixem, veurem que segueix la mateixa lògica que el sentit comú.

Si C és el capital financer avui i C’ el capital financer d’aquí a 9 mesos:

0,06 o 6%Interessos generats

Capital dipositat

C’ = C + C ∙ i ∙ t = C ∙ (1 + i ∙ t) = 100 ∙ (1 + 0,08 ∙ ) = 106912

Fixem-nos que hem expressat el tipus d’interès nominal en anys (el 8% és anual) i el temps també en anys (9/12 anys és el termini en anys de l’operació). També hauríem pogut expressar el tipus d’interès nominal i el temps directament expressat en el termini de l’operació (9 mesos):

C’ = C ∙ (1 + i ∙ t) = 100 ∙ (1 + 0,06 ∙ 1) = 106

Ara el tipus d’interès nominal i el temps estan expressats, no en termes anuals, sinó en termes de nou mesos. Un 6% és el tipus d’interès nominal a 9 mesos que prové del 8% nominal anual, i ara el multipliquem per 1, que és el nombre de períodes de 9 mesos que inclou l’operació.




Per tal d’obtenir el tipus d’interès nominal del període de temps adequat (en aquest cas 9 mesos), és tan fàcil com expressar-lo de forma anual (0,08 en l’exemple) i multiplicar-lo pel termini de l’operació expressat en anys. Vegem-ho de manera gràfica.

9 mesos sobre 12, o 3 trimestres sobre 4, o 270 dies sobre 360. Tots ells expressen el termini de l’operació en anys,

concretament que l’operació dura 0,75 anys

0,08 ∙ = 0,08 ∙ = 0,08 ∙ = 0,06912

34

270360

En el règim financer de tipus simple vençut, podem utilitzar tots dos càlculs, i fins i tot podríem obtenir el capital final utilitzant el tipus d’interès nominal trimestral:

C’ = C ∙ (1 + i ∙ t) = 100 ∙ (1 + 0,02 ∙ 3) = 106

Aquí, el tipus d’interès nominal i el temps estan expressats en trimestres: 2% és el tipus d’interès nominal trimestral i 3 són els períodes trimestrals que inclou l’operació.

En aquest règim financer podem utilitzar qualsevol de les fórmules, sempre que el tipus d’interès i el temps estiguin expressats en la mateixa unitat. En el règim de tipus d’interès compost no podrem; sempre haurem d’utilitzar el tipus d’interès referit al període de capitalització d’interessos.

Una vegada tenim clars els capitals financers que componen l’operació, el següent pas en l’anàlisi del dipòsit serà calcular la seva rendibilitat, és a dir, la seva TIR.

Havíem definit la TIR com aquella taxa que fa que el VAN sigui zero. En el nostre exemple, -I és la inversió (100) i C, el capital financer futur, és l’import que rebré d’aquí nou mesos (106):

VAN = -I + ∑ = 0C(1 + i)n

t

n = 1




Però això és el mateix que dir, de manera gràfica:

I = ∑t

(1 + TIR)n

Cn = 1

Import invertit

Imports futurs actualitzats

La TIR és aquella taxa que fa que el capital invertit i el capital que es rebrà en el futur siguin financerament equivalents; per tant, ens indica la rendibilitat efectiva de l’operació.

Quan els capitals financers són només dos, com en aquest cas, substituint els valors en la fórmula anterior, el càlcul és molt senzill:

100 = 1 + TIR

106o TIR =

100106 − 1 = 0,06

També solem utilitzar una fórmula (valor final menys valor inicial dividit entre valor inicial), el resultat de la qual és idèntic:

TIR = 100

106 − 100ja que= 0,06

100106 − 100 =

100106 − 100

100 =100106 − 1

Per calcular la TIR quan hi ha més de dos capitals financers, en la gran majoria de casos necessitarem l’ajuda d’una calculadora financera o bé d’un full de càlcul (en el qual cercarem aquella taxa que iguali el capital financer d’avui als capitals financers futurs actualitzats a aquesta taxa a data d’avui).

Per tant, ja sabem que la rendibilitat (TIR) del dipòsit 1 és d’un 6%, però no hem d’oblidar que aquest 6% és la rendibilitat de 9 mesos. Per poder fer comparacions entre aquest producte i altres, solem expressar la rendibilitat de forma anual, és a dir, l’expressem en TAE. Per fer-ho, utilitzem la fórmula següent:

TAE = (1 + TIR)m − 1




(Vegeu l’apartat + informació 2.1. Tipus d’interès o tants equivalents, al final d’aquesta secció, per entendre l’origen d’aquesta fórmula.)

En el nostre exemple, m és el nombre de períodes de 9 mesos que hi ha en un any, concretament 12/9 o 1,33333, ja que si disposéssim del termini d’un any (12 mesos), podríem completar el termini del dipòsit una vegada de forma completa (9 mesos) més una tercera part del dipòsit (3 mesos) abans d’arribar als 12 mesos.

Per obtenir el nombre de períodes de l’operació que hi ha en un any, només cal invertir l’expressió del termini expressat de forma anual. Vegem-ho de manera gràfica.

12 mesos sobre 9, o 4 trimestres sobre 3, o 360 dies sobre 270.Tots expressen el nombre de vegades que es podria realitzar l’operació en un any, que en l’exemple són 1,3333 vegades

=129

43

360270= = 1,33

Si introduïm totes les dades en la fórmula, trobarem la TAE:

TAE = (1 + 0,06)129 − 1 = 0,0808

Ara sí, aquesta rendibilitat està expressada de forma anual i ens permetria comparar la rendibilitat d’aquest dipòsit amb la d’altres productes financers. Vegem els altres dos dipòsits.

b) Anàlisi del segon dipòsit

Novament, el primer que cal és plantejar l’esquema temporal per tenir clar quins seran els capitals financers que tindrà l’operació. En aquest cas, hi ha capitalització trimestral d’interessos i liquidació única al venciment. També seran dos, encara que es capitalitzaran interessos cada trimestre.

100 9m




Imaginem que hi dipositem 100 euros. Quina quantitat rebrem al cap dels 9 mesos? En aquest cas hem d’utilitzar la fórmula del tipus d’interès compost. Com que la periodicitat de capitalització d’interessos és trimestral, haurem d’utilitzar el tipus d’interès trimestral (2%) i capitalitzar els interessos durant tres períodes (en nou mesos hi ha tres trimestres).

Si C és el capital financer avui i C’ el capital financer d’aquí 9 mesos:

C’ = C ∙ (1 + i)t = 100 ∙ (1 + 0,02)3 = 106,1208

Podem trobar-lo: 0,08 ∙ 312 = 0,08 ∙ 1

4= 0,08 ∙ 90

360= 0,02

La TIR també la trobem de manera directa:

TIR = 106,1208100

− 1 = 0,061208

I la TAE:

TAE = (1 + 0,061208) − 1 = 0,0824129

Tant la TIR com la TAE del segon dipòsit són superiors al primer, ja que tenen el mateix venciment però en el segon dipòsit rebem una quantitat superior i, per tant, la rendibilitat també ho és.

Fixem-nos que, encara que tenen el mateix venciment, la periodicitat de càlcul d’interessos no és la mateixa. En el primer és de nou mesos i en el segon, de tres mesos. Per completar la comparació, vegem el tercer dipòsit, el qual, encara que té el règim financer de tipus d’interès simple, té una periodicitat de liquidació d’interessos trimestral.

c) Anàlisi del tercer dipòsit

Plantegem l’esquema temporal per tenir clar quins seran els capitals financers que tindrà l’operació. En aquest cas, hi ha liquidació trimestral d’interessos, que no es reinverteixen i que, per tant, es lliuren al dipositant. A venciment rebem l’últim pagament d’interessos i la devolució dels 100 euros, que novament dipositem.




100 9m

Quina quantitat rebrem al cap dels 9 mesos?

Cada trimestre es realitzarà una liquidació d’interessos de 2 euros.

C ∙ i = 100 ∙ 0,02 = 2

Al final del període haurem rebut 106 euros d’interessos, encara que no en un únic pagament, com en el primer dipòsit, sinó en tres pagaments: de 2, 2 i 102 euros.

C’ = C ∙ (1 + i ∙ t) = 100 ∙ (1 + 0,02 ∙ 3) = 106

Encara que en aquest cas hi hagi 3 capitals financers que es rebran, la TIR també la trobem de forma bastant directa, ja que invertir 100 avui i rebre 2, 2, i 102 en cada període de liquidació significa una rendibilitat del 2%, tot i que en aquest cas es tracta d’una TIR trimestral.

La TAE la calcularem com sempre, i en aquest cas m serà 4 (en un any hi ha quatre períodes d’un trimestre):

TAE = (1 + TIR)m − 1 = (1 + 0,02)4 − 1 = 0,0824

El dipòsit 1 quedaria ràpidament descartat pel 2, que té la mateixa estructura de pagaments però un import superior que es rebrà al cap de 9 mesos, i, per tant, una rendibilitat també major (tant TIR com TAE).

En canvi, els dipòsits 2 i 3, encara que el primer capitalitzi els interessos i aquests generin nous interessos i el segon els aboni al dipositant, tenen una TAE idèntica. Això és així perquè la TAE suposa precisament que els capitals financers intermedis es reinverteixen al mateix tipus d’interès.

Quin d’ells serà millor? Tenint en compte aquest supòsit de reinversió, que és la crítica principal ala TAE, si es tracta de decidir sobre la base de la rendibilitat, caldrà preguntar-se a quin tipus podrà el dipositant reinvertir els 2 euros que rebi cada trimestre. Si és a un tipus d’interès superior, li convindrà més el dipòsit 3; en canvi, si no pot reinvertir a aquesta taxa, llavors li resultarà millor el dipòsit 2.




més informació

88

D’altra banda, evidentment la TAE no té en compte altres criteris que no tinguin res a veure amb la rendibilitat. Per la raó que sigui, al dipositant pot interessar-li cobrar abans els interessos per poder realitzar certs pagaments o simplement per consumir.

Per tant, la TAE és una eina útil per a comparar productes financers diferents, però cal entendre bé la informació que ens dóna.

Obtindrà el dipositant una rendibilitat del 8,08% en el primer dipòsit o del 8,24% en el segon i tercer? No! Obtindrà respectivament un 6% en 9 mesos en el primer cas, un 6,1208% en nou mesos en el segon i un 2% trimestral durant 3 trimestres en el tercer, però no més. La TAE ens diu que, si es pogués seguir reinvertint els capitals financers obtinguts al mateix ritme de rendibilitat fins a completar un any, només llavors es rebrien les TAE indicades, però això els productes financers no ho garanteixen, naturalment.

(Vegeu l’apartat + información 2.2. Bases de càlcul, al final d’aquesta secció, en què es veurà la base de càlcul en què s’ha basat aquest exemple, i també com es treballarien els tipus d’interès i els períodes de càlcul d’interessos en altres bases.)

2.1. Tipus d’interès o tants equivalents

Quan calculem la TIR, estem trobant una rendibilitat o taxa efectiva (per diferenciar-la dels tipus o taxes, o tants nominals que utilitzem per calcular els interessos). La TIR pot ser mensual, trimestral o de qualsevol periodicitat ia partir d’aquesta podem trobar altres taxes o tants efectius de la periodicitat que ens interessi (normalment cerquem la periodicitat anual, però podríem trobar-ne qualsevol altra).

Dos tants o tipus efectius són equivalents si, aplicant-los a un mateix capital i durant el mateix temps, en capitalització composta (la que s’usa a la TIR i ala TAE),produirien els mateixos interessos o arribarien al mateix capital final.

Per exemple, un 3% trimestral, un6,09% semestral i un 12,55% anual serien equivalents. Aplicats a un mateix capital durant un període de temps igual, tots aquests percentatges arribarien a un capital final idèntic. Vegem-ho amb un exemple. suposem 100 euros en el termini d’un any:




més informació

88

100 ∙ (1 + 0,03)4 = 112,55100 ∙ (1 + 0,0609)2 = 112,55100 ∙ (1 + 0,1255) = 112,55

De forma genèrica, podem dir:

(1 + 0,03)4 = (1 + 0,0609)2 = (1 + 0,1255)

Si substituïm els números de l’exemple pels genèrics TIR i TAE:

(1 + TIR4)4 = (1 + TIR2)2 = (1 + TAE)

De la qual es dedueix la fórmula de la TAE que utilitzem sempre:

TAE = (1 + TIR4)4 − 1 o bé TAE = (1 + TIR2)2 − 1

2.2. Bases de càlcul

Quan calculem directament que un 8% nominal anual es correspon a un 4% nominal semestral o un 2% nominal trimestral, estem assumint de manera implícita que el producte o l’actiu financer a què ens estem referint defineix la seva forma de càlcul com 30

360.

I això què vol dir? Doncs que no importarà si els 6 mesos en qüestió van del gener al juny (que és un període de 6 mesos amb menys dies), o de juliol a desembre (que és un període de 6 mesos amb més dies). Cada mes té 30 dies i l’any en té 360 (any comercial).

Fins i tot sense saber-ho (per rebuscat), en realitat el 4% semestral es correspon a:

0,08 ∙ 180360

= 0,04




180 són els dies que hi ha en un període de 6 mesos (qualsevol període de 6 mesos) i 360 els dies que té l’any.

Si el 4% obtingut és la TIR de l’operació, per passar a la TAE també es poden utilitzar directament els dies (invertint-ne l’ordre):

TAE = (1 + TIRsem)360180 − 1

Si el mètode de càlcul fos un altre, el mecanisme per a calcular el tipus d’interès o la TAE ja no variarà. Per exemple:

actualactual

Significa que compto els dies efectius de l’operació i els divideixo pel nombre de dies reals que té l’any (depenent de si és any de traspàs o no).

actual365

Significa que compto els dies efectius de l’operació i els divideixo sempre per 365, independentment de si l’any és de traspàs o no.

Etc.

En qualsevol cas, per calcular el tipus d’interès de la periodicitat de l’operació multiplico per:

diesbase

Per passar de la TIR a la TAE, s’eleva (1+TIR) a:

diesbase

Secció 2. Operació amb diferents tipus nominals

Els tipus d’interès nominals serveixen per obtenir els capitals financers que conformen l’operació (una vegada obtinguts, el càlcul de TIR i TAE serà sempre molt similar).

Imaginem un dipòsit de 10.000 euros a tres anys, amb liquidació trimestral d’interessos i amb els tipus d’interès anuals següents:




• El primer any: 1,50%.• El segon any: 2,44%.• El tercer any: 3,50%.

Quina seria la TAE d’aquest dipòsit?

Primer haurem de trobar els interessos que s’abonaran trimestralment per poder dibuixar l’estructura temporal del dipòsit:

• 1r any: interessos = 10.000 ∙ 0,015 ∙ 14

= 10.000 ∙ 0,00375 ∙ 1 = 37,50 €

• 2n any: interessos = 10.000 ∙ 0,0244 ∙ 14

= 10.000 ∙ 0,00610 ∙ 1 = 61,00 €

• 3r any: interessos = 10.000 ∙ 0,0350 ∙ 14

= 10.000 ∙ 0,00875 ∙ 1 = 87,50 €

L’estructura temporal quedarà de la manera següent:

-10.000

37,5 37,5 37,5 37,5 61 61 61 61 87,5 87,5 87,5 10.087,50

Per calcular la TIR haurem de fer-ho mitjançant un Excel o una calculadora financera. Es tractarà de cercar aquella taxa que faci que els diners invertits (10.000 euros avui) siguin financerament equivalents al flux de pagaments futurs o, el que és el mateix, que aquests fluxos actualitzats a la TIR siguin idèntics als 10.000 euros invertits.

Una vegada realitzat el càlcul, s’obté una TIR trimestral del 0,62%.

(A Recursos hi ha l’arxiu Excel).

Per calcular la TAE, ho farem amb la fórmula de sempre:

TAE = (1 + TIR)m − 1 = (1 + 0,0062)4 − 1 = 0,025

Encara que els tipus d’interessos siguin variables, el procediment serà el mateix:




exemple

nn

1. Obtenir els capitals financers de l’operació.2. A partir dels capitals financers de l’operació, calcular la TIR.3. A partir de la TIR, calcular la TAE, que en aquest cas es correspon amb una rendibilitat anual del

2,5% TAE.

Secció 3. La TAE i els dipòsits a curt termini

Ja hem comentat que el càlcul de la TAE suposa reinversió dels capitals financers que configuren l’operació, però que l’entitat emissora del dipòsit no està compromesa a això més enllà del venciment de l’operació.

Aquest supòsit pot ser un problema important en dipòsits a curt termini, en els quals la TAE pot perdre significat.

Per comprovar aquest extrem, imaginem un dipòsit que ofereix un 10% nominal anual i venciment a una setmana, moment en què es produirà la liquidació de l’operació. El règim financer és de tipus d’interès simple. L’entitat anuncia una TAE del 10,51%.

En primer lloc comprovem que la TAE anunciada és correcte, amb un dipòsit de 1.000 euros.

Si el tipus nominal anual és del 10%, el tipus setmanal serà del 0,1923% (0,010 x 1/52 setmanes).

La liquidació es produeix al venciment, a una setmana, moment en què s’obtindran uns interessos d’1,923 euros i la devolució dels 1.000 euros dipositats.

La TIR coincidirà amb el tipus d’interès setmanal (si hi hagués altres capitals financers a més dels interessos, com ara comissions, això no seria així –tal com veurem més endavant–, però només amb els interessos sí que coincideix).

TIR = 1.001,923− 1 = 0,0019231.000

I la TAE:




TAE = (1 + TIR)m − 1 = (1 + 0,001923)52 − 1 = 0,10506

La rendibilitat anual equivalent és del 0,10506% (o 10,51% arrodonint), però l’única rendibilitat que garanteix el dipòsit és realment del 0,1923% en una setmana.

Portat a un extrem, i si el dipositant no pogués tornar a reinvertir els diners en tot l’any, la rendibilitat del 0,1923% seria l’única que obtindria, ja que a final d’any continuaria tenint només 1.001,923 euros.

Per descomptat, si es donés aquesta circumstància (extrema, com hem dit), al dipositant li convindria, des del punt de vista de la rendibilitat, qualsevol altre dipòsit que oferís una rendibilitat superior al 0,1923%.

Li podria interessar més un altre dipòsit a l’1% TAE el venciment del qual fos anual? Naturalment que sí, però sempre el supòsit de no poder reinvertir.

En canvi, si el dipositant pogués invertir un mes en el primer dipòsit (10,51% TAE) i els altres 11 mesos en el segon (1% TAE), llavors li convindria més aquesta opció que només el segon dipòsit.

Per tot això, la informació que transmet la TAE s ‘ha de matisar molt quan es tracta de dipòsits a curt termini.

Tancament

En aquest apartat hem vist diversos exemples per a poder analitzar i comparar dipòsits. És molt important entendre el concepte de la TAE, els seus avantatges i les seves limitacions.

L’esquema d’anàlisi ha estat sempre el mateix: obtenir els capitals financers implicats en l’operació (depenen del tipus d’interès nominal, la periodicitat, el règim financer de l’operació i la base de càlcul establerta), després calcular la TIR i, finalment, calcular la TAE.

La relació que s’estableix entre aquestes tres taxes –tipus nominal, TIR i TAE– es pot seguir en l’esquema següent.




Esquema 2.2. Relació entre tipus nominal, TIR i TAE (sense comissions)

Tipus d’interès anual TAE

Tipus d’interès periodicitat determinada (TIR)

^basedies

i184 = 0,08 ∙ 184360

= 0,0408

xdiesbase

TAE = (1 + 0,0408) − 1 = 0,0815360184

esquema

UU



Apartat 3Aplicacions pràctiques de les matemàtiques financeres en els productes bancaris d’actiu

Introducció

Dins la via de la intermediació bancària, en aquest apartat ens centrarem en la segona part, quan l’entitat

financera (prestador) dóna en préstec els diners captats dels dipositants als clients (prestataris) que necessiten

diners avui a canvi de tornar-los a la institució en el futur en les condicions pactades.

Veurem primer de forma genèrica els préstecs. Novament, el capital financer present (els diners que rebran

els prestataris, és a dir, el principal del préstec menys les comissions, si n’hi ha) haurà de ser financerament

equivalent als capitals financers futurs (quotes que els prestataris abonaran a l’entitat).

Després analitzarem de forma breu una operació, la de descompte comercial, que ens permetrà conèixer un

tercer règim financer, el de descompte simple.

Esquema 3.1. Productes d’actiu d’intermediació bancària dins el sistema financer

esquema

UU

Entitats financeres

Primes

Companyies aseguradores

Mercats financers



PréstecsDepòsits


Apartat 3. Aplicacions pràctiques de les matemàtiques financeres en els productesbancaris d’actiu


exemple

nn

Secció 1. Analitzant préstecs

Moltes vegades, les famílies necessiten disposar d’uns capitals financers molt elevats als quals no poden accedir amb els seus ingressos ni amb els seus estalvis previs (per exemple, a l’hora de comprar un habitatge o altres béns de preu elevat). També les empreses o altres organitzacions s’han d’endeutar per poder emprendre les seves inversions. En ambdós casos, les entitats bancàries faciliten finançament als seus clients bàsicament mitjançant préstecs.

Per descomptat, allò que “inverteix” l’entitat financera i el que rebrà en el futur han de ser financerament equivalents per tal que l’operació sigui justa tant per al banc com per al client.

Quina variable serà clau per a analitzar i poder comparar entre diferents préstecs? De nou, la TAE serà la variable clau per als clients que vulguin sol·licitar un préstec.

Novament, els passos seran els següents:

1. Saber dibuixar tots els fluxos de l’operació. En aquest cas, els bàsics són el principal del préstec i les quotes, però també haurem de tenir en compte si hi ha comissions i qualsevol altre flux que afecti l’operació.

2. Quan coneguem tots els fluxos, podrem calcular la TIR. Si la TIR és anual, ja tindrem directament la TAE. Si no ho és, haurem de transformar la TIR en TAE.

Imaginem un préstec de 10.000 euros a un tipus nominal anual del 10%, quotes mensuals durant dos anys i una comissió d’obertura del 3%.

Quina seria l’estructura temporal d’aquesta operació financera? En el moment zero, hi hauria un primer capital financer compost pel principal del préstec menys les comissions que cobra l’entitat, i després hi hauria 24 quotes mensuals de devolució del préstec.

Principal - comissions

C C C C---

C C CC

1 2 3 4 22 23 24




El primer pas serà calcular la quota mensual. Les quotes d’un préstec (en la modalitat préstec francès) són totes del mateix import i tenen la mateixa periodicitat, cosa que les converteix en una renda. La fórmula del valor actual d’una renda temporal és la següent (una de les seves versions possibles):

VA = iC − i

C ∙(1 + i)n

1 = C i1 − i

1 ∙(1 + i)n

1

En què:

• VA és el valor actual de la renda (per tant el valor del préstec).• C és la quota (en aquest cas, mensual).• i és el tipus d’interès expressat en mesos (0,10/12 = 0,08333).• n és el nombre de quotes (24 en aquest cas).

(Vegeu l’apartat + informació 3.1 Valoració de rendes, al final d’aquesta secció, per conèixer l’origen de la fórmula emprada.)

De la mateixa forma, si coneixem el valor actual (VA) ‒principal del préstec‒ i el que volem és conèixer les quotes, aïllarem C:

C =VA

=

i1 -

i1

∙(1 + i)n

1

100.000

0,0083331 - ∙

(1 + 0,008333)24

10,008333

1= 4.614,47

O, més concretament, 4.614,49 euros si calculem la quota en Excel, sense arrodonir ni perdre decimals en el tipus d’interès.

Abans d’afegir-hi les comissions, fem un càlcul previ de la TIR i la TAE.

Per calcular la TIR, podríem fer-ho amb un Excel o una calculadora financera, cercant aquella taxa que faci que el principal i les quotes del préstec siguin financerament equivalents, encara que en realitat en aquest cas no fa falta; si hem calculat les quotes a partir del principal del préstec i un tipus mensual del 0,8333%, i no hi ha cap capital financer addicional, quan es cerqui la taxa que en actualitzar les quotes em doni el principal sortirà una TIR mensual del 0,8333%.




Per calcular la TAE, ho farem amb la fórmula de sempre:

TAE = (1 + TIR)m − 1 = (1 + 0,008333)12 − 1 = 0,10471

Encara no hi hem inclòs comissions, i la TIR és exactament igual al tipus d’interès mensual, però la TAE ja no és del 10%, sinó superior. Per què? Per la mateixa raó que quan analitzàvem dipòsits: el client no paga el 10% de cop al final d’any, sinó mitjançant quotes mensuals i, per tant, l’entitat cobra abans i la seva rendibilitat (TAE) augmenta. Per al client, el que passa és just el contrari: com a paga abans, el seu cost (TAE) augmenta.

Afegim-hi ara les comissions. L’import serà del 3% sobre 10.000 euros, és a dir, de 300 euros. L’import que rebrà el client no serà de 10.000 euros, sinó que obtindrà 9.700 euros.

Ara sí, per trobar la TIR, aquella taxa que fa que les quotes actualitzades siguin igual a 9.700 euros, caldrà utilitzar un Excel. Una vegada realitzat el càlcul, s’obté una TIR mensual de l’1,089%, que és superior a l’anterior per efecte de la comissió.

Per calcular la TAE:

TAE = (1 + TIR)m − 1 = (1 + 0,01089)12 − 1 = 0,13876

La TAE ara és encara superior, com és normal pel fet d’haver-hi afegit les comissions. Entre el 10% nominal anual i el 13,876% TAE veiem ara que hi ha dos efectes: el primer, la periodicitat de les quotes, que ja de per si fa augmentar la TAE; i, el segon, la comissió.

Aquí finalitza l’anàlisi del préstec proposat. A partir de la TAE podríem comparar-lo amb diferents ofertes d’altres entitats financeres ja que, en incloure les comissions, la TAE és una magnífica eina de comparació.

(A Recursos hi ha l’arxiu Excel en què podrem veure com obtenim la TIR i la TAE en ambdós supòsits (amb i sense comissions), i també podrem veure com es pot construir de manera senzilla la taula d’amortització del préstec.).




més informació

883.1. Valoració de rendes

Encara que ens sembli complicat, treballar amb fórmules de valoració de rendes és senzill si tenim clars els conceptes de valor actual i actualització/capitalització. Aquests conceptes són una ajuda.

Sabem que qualsevol operació financera comporta que els diners d’avui i els del futur han de ser financerament equivalents, és a dir, que si actualitzo els diners que es rebran en el futur a data d’avui, l’import que obtinc ha de ser idèntic als diners que s’inverteixen avui.

Si pensem en una renda perpètua, calcular el seu valor actual podria resultar molt costós, ja que hauríem d’anar actualitzant quotes fins a l’infinit (en realitat, no tant, ja que el valor actual de les quotes molt llunyanes té cada vegada un import més petit i, per tant, quan portéssim actualitzades moltes quotes, al final una més no ens afegiria ja pràcticament informació, tot i que n’hauríem d’actualitzar unes quantes.)

Les fórmules per valorar rendes són una “drecera”, és a dir, una forma de fer aquests càlculs de forma molt més ràpida.

Vegem un primer exemple molt senzill que ens permetrà treballar amb rendes perpètues.

Imaginem un milionari que vol assegurar-se una renda de 100.000 euros anuals indefinidament. Si la seva entitat li ofereix un producte financer que dóna un tipus d’interès del 10%, quina quantitat ha de posar en aquest producte per assegurar-se la seva renda perpètua? No és gaire complicat calcular que si el milionari ingressa un milió d’euros, cada any el producte li donarà 100.000 euros d’interessos, que són els que retirarà com a renda, i així tornarà a tenir disponible novament el milió d’euros per a generar interessos per a l’any següent. Senzill, no? Doncs acabem de deduir el valor actual (VA) d’una renda perpètua:

VA =iC − = 1.000.0000,10

100.000

No cal perdre de vista que el que està fent aquesta fórmula és calcular el valor actual de tots els fluxos futurs i, per tant, ens estalvia feina. Vegem gràficament l’esquema temporal:




VA

C C C C CC ...

Si el que sé és l’import disponible per a invertir (un milió) i volem saber la renda que s’obtindrà en invertir en aquest producte (al 10%), només he de calcular:

C = VA ∙ i = 1.000.000 ∙ 0,10 = 100.000

La renda que es percebrà cada any és de100.000 euros.

Aquesta fórmula no ens servirà per calcular les quotes d’un préstec, ja que aquest no té quotes perpètues, sinó que té un venciment i, per tant, haurem d’aprendre a calcular les quotes, no d’una renda perpètua, sinó d’una renda temporal.

La fórmula del valor actual d’una renda temporal es pot deduir a partir de la fórmula de la renda perpètua. En realitat, la renda temporal serà la diferència entre dues rendes perpètues.

Vegem les dues estructures temporals següents:

a) El valor de la renda temporal (la renda que queda en blanc en l’esquema temporal inferior) es pot obtenir mitjançant la diferència entre el valor actual de la renda perpètua superior i el valor actual de la renda inferior actualitzada a data d’avui (només puc restar capitals financers si estan referits a la mateixa data):

VA =iC

VA =iC

Actualitzar

VA =iC_ ∙

1(1 + i)n

VA =iC ∙ 1

(1 + i)niC −

b) La renda temporal és la diferència o resta entre dues perpètues:




Valor actual de la renda superior

VA = Ci − C

i ∙ 1(1 + i)n = C

− Valor de la renda inferior actualitzat fins avui

=El valor de la renda temporal

l’obtenim restant les dues perpètues

i1 − i

1 ∙ (1 + i)n1

A partir d’aquesta fórmula, ara sí que podem calcular les quotes d’un préstec, ja que:

C =VA

i1 − i

1 ∙ (1 + i)n1

Secció 2. Analitzant el descompte comercial

Imaginem una empresa que ha realitzat una venda per un import de 80.000 euros que cobrarà en el termini de 90 dies (aquesta és la nostra definició de capital financer: una quantitat monetària associada a un temps).

L’empresa pot esperar 90 dies i cobrar del seu client o bé, si necessita liquiditat, pot sol·licitar a la seva entitat financera si li pot “descomptar” la lletra o l’efecte que reflecteixi aquest deute.

L’esquema temporal seria el següent:

90d

80.000 €

Quant rebrà el client? Com sempre, haurem de conèixer el tipus d’interès que cobra el banc, però no només això, sinó que també hem de saber amb quin règim financer s’actualitza el capital financer futur i la base de càlcul dels dies.




Tota aquesta informació està recollida en el contracte entre el client i l’entitat. Aquest contracte entre les dues parts ha de detallar totes les característiques que hem comentat, que per a aquest exemple suposarem que són:

• Tipus d’interès anual: 10%.• Comissió: 1%.• Règim financer: descompte comercial (act./360).

Per poder calcular l’efectiu hem de parlar, per tant, d’una tercera forma d’actualitzar (o règim financer): interès anticipat o descompte comercial simple.

En aquest règim financer es calculen els interessos sobre el capital final, que és l’import que sabem (en el nostre exemple 80.000 euros), i aquests interessos són els que cobra l’entitat financera avui. Vegem el càlcul de l’efectiu que correspon avui per 80.000 euros d’aquí 90 dies:

Co = C (1 − it) = 80.000 ∙360901 − 0,10 ∙ = 80.000 ∙ (1 − 0,025) = 78.000

Encara no hi hem introduït les comissions. Abans de fer-ho, imaginem que el contracte no tingués comissions i que els següents fossin els dos capitals financers implicats en l’operació: 78.000 euros avui i 80.000 euros d’aquí 90 dies.

Quina seria la rendibilitat que el banc obté de la inversió que es caracteritza per aquests dos capitals financers i, per tant, el cost per a l’empresa client?

Calculem la rendibilitat que fa que els dos imports siguin financerament equivalents:

78.000 =(1 + TIR)

80.000

TIR =78.00080.000

− 1 = 0,02564

La TIR, la rendibilitat per a l’entitat, és del 2,56%.

Podríem haver pensat que la rendibilitat/cost havia de ser del 2,5%, ja que és el tipus que hem obtingut i utilitzat per a la fórmula (0,10 x 90/360 = 0,025), però en aquest cas no és així. Quan el règim financer és el de tipus d’interès anticipat, el tipus d’interès que utilitzem per obtenir el capital financer inicial (l’efectiu que rep el client) serveix simplement per a això, però no reflecteix la rendibilitat/cost de l’operació.




Si ens hi fixem, veurem perquè. La TIR és la rendibilitat que, aplicada al capital financer d’avui, dóna el capital financer del futur. En canvi, quan es realitza un descompte comercial, el tipus d’interès (en l’exemple, el 2,5%) s’aplica realment sobre el capital financer futur, que és el que sabem (en l’exemple, els 80.000 euros).

Si la fórmula amb què actualitzem (en descomptar) és diferent de la fórmula amb què capitalitzem (en calcular la TIR), és evident que els tipus d’interès no poden ser iguals.

Un tipus d’interès en si no ens diu res si no especifiquem també el règim financer de l’operació o, per dir-ho d’una altra manera, amb quina fórmula matemàtica utilitzarem aquest tipus d’interès.

Ara completem l’operació amb l’import de la comissió:

0,01 ∙ 80.000 = 800

En l’esquema temporal, als 78.000 euros li restem els 800 de la comissió i obtenim un import efectiu total de 77.200.

Si ara calculem la TIR, obtenim un 3,63%:

TIR =77.20080.000

− 1 = 0,03627

Aquesta TIR no és anual, sinó trimestral. Si volem calcular la TAE, obtenim un 15,32%:

TAE = (1 + TIR4)360/90 − 1 = (1 + 0,03627)360/90 − 1 = 0,1532

Del 10% nominal que l’empresa client tenia en el contracte, ha passat a tenir un cost equivalent anual (TAE) del 15,32% pel descompte de 80.000 euros a 90 dies.

Quan analitzàvem dipòsits, vam veure que la TAE augmentava quan la periodicitat de capitalització/liquidació d’interessos incrementava (semestral millor que anual, trimestral millor que semestral, etc.). En aquest cas passa exactament el mateix: per al banc és millor cobrar aquest 10% descomptant 4 efectes trimestrals que un efecte anual, ja que en el primer cas reinverteix el rendiment obtingut (els interessos generen interessos).




En aquest exemple, a més, hi ha dues raons més per les quals la TAE és superior al tipus nominal:

1. La primera és la que ja hem comentat: un tipus d’interès no és igual si s’aplica en un règim financer o en un altre. En el cas del règim financer d’interès simple anticipat, el tipus d’interès (nominal) s’aplica sobre el capital financer major (el “futur”) i, per tant, els interessos que suporta l’empresa client són superiors que si s’apliqués sobre el capital financer menor (l’actual); per això, el seu cost puja (així com la rendibilitat per a l’entitat).

2. Finalment, també les comissions fan pujar la TAE de l’operació.

Tancament

En aquest apartat hem vist l’anàlisi completa d’un préstec, cosa que ens ha permès endinsar-nos en un camp nou, el de les rendes, per a poder calcular les quotes que haurà de pagar el client com a devolució. Posteriorment, hem analitzat que la TAE del préstec augmenta tant pel fet de la periodicitat del pagament com per la inclusió de comissions.

És molt important el fet que la TAE inclogui les comissions i qualsevol altra despesa, perquè els clients puguin comparar diferents ofertes de forma eficient.

També hem pogut veure la construcció del quadre d’amortització del préstec.

Després, hem vist un exemple de descompte comercial, que ens ha permès conèixer un tercer règim financer, el d’interès simple anticipat, i treballar novament amb les comissions i veure l’efecte que tenen sobre la rendibilitat/cost (per a l’entitat i el client, respectivament) de l’operació.

L’esquema d’anàlisi ha estat idèntic al que seguíem en els dipòsits:

1. Obtenir els capitals financers implicats en l’operació. Per fer-ho, partim del tipus d’interès anual i obtenim el tipus d’interès de la periodicitat de l’operació (els capitals financers dependran del règim financer de l’operació i de la base de càlcul establerta).

2. Posteriorment, hem de calcular la TIR i, finalment, la TAE.

La relació que s’estableix entre aquestes quatre taxes (tipus nominal anual, tipus nominal de la periodicitat de l’operació, TIR i TAE) es pot veure en l’esquema següent.




Esquema 3.2. Relació entre tipus nominals, TIR i TAE (amb comissions)

Tipus d’interès anual TAE

Tipus d’interès periodicitat determinada

TIR

Taxes nominals Taxes efectives

Serveixen per calcular interessos

Inclouen interessos i també altres fluxos, com comissions

Periodicitat anual

Periodicitat determinada

esquema

UU



Apartat 4Aplicacions pràctiques de les matemàtiques financeres en els mercats financers

Introducció

A banda de la via de la intermediació bancària, una segona via molt important que ofereix el sistema financer per a connectar l’oferta i la demanda de capital és la formada pels mercats financers.

Com qualsevol altre mercat, els mercats financers són aquells llocs en què es troben demandants i oferents d’alguna cosa, en aquest cas demandants i oferents de capital:

• Els demandants són aquelles empreses, administracions i organitzacions que necessiten diners avui (per a realitzar inversions) i es comprometen a tornar-los en el futur. Ells porten a avui els diners del futur.

• Els oferents són aquells agents que tenen diners avui i els inverteixen en aquestes institucions, amb l’esperança d’obtenir uns capitals futurs més elevats. Ells mouen els diners d’avui cap al futur.

Els vehicles per moure aquests diners pel mercat financer seran els actius financers negociats, principalment:

• Valors de deute o de renda fixa. Poden ser a curt o llarg termini, i poden ser títols emesos pels Estats (Administracions Públiques) o per empreses privades.

• Valors de renda variable emesos per empreses privades.

Es pot invertir en aquests actius directament o bé mitjançant institucions d’inversió col·lectiva, és a dir, fons i societats d’inversió.

Novament, les matemàtiques financeres ens seran molt útils per a analitzar les inversions en actius negociats en mercats financers.


Apartat 4. Aplicacions pràctiques de les matemàtiques financeres en els mercats financers


Esquema 4.1. Actius negociats en mercats financers dins el sistema financer

Entitats financeres

Primes

Companyies asseguradores

Mercats financers


Préstecs


Dipòsits

esquema

UU

Secció 1. Analitzant el deute a curt termini: Lletres del Tresor i pagarés d’empresa

Les lletres i pagarés són títols emesos al descompte, és a dir, que a venciment es rebrà l’import establert (de la lletra o el pagaré) i, segons el preu d’adquisició (ja sigui adquirit en subhasta o compravenda posterior), la rendibilitat final que s’obtingui serà major o menor.

Vegem l’anàlisi d’ambdós actius financers.

Anàlisi de les Lletres del Tresor

Quan l’Estat necessita finançament a curt termini, emet Lletres del Tresor, que poden tenir venciment a diferents terminis.




exemple

nn

Com en tots els productes financers analitzats fins ara, el nostre objectiu serà saber construir els capitals financers de l’actiu (quan es paga i quant es paga) i saber calcular la seva rendibilitat.

En el cas del Deute Públic espanyol, el Banc d’Espanya té publicats els seus criteris de càlcul de preus i rendiments per a tots els valors de deute de l’Estat, ja que estan harmonitzats amb la resta de països de la Unió Europea.

En el cas de les Lletres del Tresor amb venciment inferior a un any, els càlculs s’han de realitzar a interès simple i base 360 (règim financer d’interès simple vençut):

i =PF − 1 ∙ 360

dP =

1 + i ∙ d360

F

Imaginem una Lletra del Tresor (el nominal de la qual és de 1.000 euros) que venç dins 102 dies. L’hem comprat avui a un preu dels 98,89 i volem saber la rendibilitat que suposa l’adquisició a aquest preu.

Vegem-ne l’esquema temporal:

102 d

1.000€

988.9€

Utilitzant la fórmula adequada, obtenim una rendibilitat del 3,569%:

i =988,91.000 − 1 ∙ 360

102= 0,03569

De la mateixa forma, si volem comprar aquesta lletra i ens informen que actualment dóna una rendibilitat dels 3,569%, hem de ser capaços de trobar el preu de mercat: 988,9 euros.

Si mantenint aquesta lletra fins a venciment, obtindrem una rendibilitat del 3,569%, ja que avui paguem 988,9 euros i d’aquí 102 dies obtenim 1.000 euros. Aquesta és la rendibilitat que s’obté.




exemple

nn

Però si hem de vendre aquesta lletra abans de venciment, pot ser que la meva rendibilitat sigui diferent de 3,569%? Sí, naturalment, ja que la rendibilitat dependrà del preu de venda que puguem aconseguir.

La renda fixa rep aquest nom perquè té la renda fixada; en aquest cas, els 1.000 euros. Això no variarà i el client que tingui la lletra l’últim dia rebrà la quantitat establerta. Però si hi ha compres i vendes anteriors, el preu que finalment rebi el venedor dependrà de l’oferta i la demanda. La rendibilitat és “fixa” només si no es ven abans de venciment.

Anàlisi dels pagarés d’empresa

Quan són les empreses les que emeten deute a curt termini al descompte, l’actiu emès rep el nom de pagarés d’empresa.

En aquest cas és l’emissor, en el fullet d’emissió, qui determina la base de càlcul que utilitzarà per a calcular preus i rendibilitats.

Imaginem un pagaré de nominal 5.000 euros amb venciment a 221 dies que té establert en les condicions que utilitzarem per al càlcul l’interès simple i base 365. I especifica la fórmula següent:

P =1 + i ∙ d

365

F

Imaginem que volem comprar un pagaré d’aquesta empresa i ens diuen que està cotitzant amb una rendibilitat implícita d’un 6,72%.Quin preu n’hauré de pagar?

Aquest és l’esquema temporal:

221 d

5.000€




I el càlcul:

P =1 + 0,0672 ∙ 221

365

5.000= 4.806,93

Si el que haguéssim tingut fos el preu, haguéssim pogut calcular la rendibilitat, com hem fet amb la Lletra del Tresor.

Secció 2. Les Lletres del Tresor a més d’un any

Ja hem vist que la fórmula per a analitzar títols a curt termini és senzilla. I en el cas d’una Lletra del Tresor emesa a més d’un any? Quina fórmula utilitzaríem? Si mirem el conveni de càlcul de preus i rendiments del Banc d’Espanya, aquest ens diu que, en el cas de les Lletres del Tresor amb venciment superiora un any, els càlculs s’han de realitzar a interès compost i base 360 (règim financer d’interès compost vençut):

P =(1 + i)

d360

F

Com en els exemples anteriors, sabem sempre l’import que es rebrà a venciment (1.000 euros). Per tant:

• Sabent el preu d’avui, podrem obtenir la rendibilitat.• I sabent la rendibilitat, podrem obtenir el preu actual de la lletra.

Secció 3. Els bons

Els bons són títols de renda fixa a més llarg termini que les lletres o pagarés. Solen tenir cupons, que abonen periòdicament, calculats com un percentatge del nominal, i a venciment tornen normalment el nominal del bo.




També existeixen bons d’emissors públics i privats. A Espanya, el Tresor Públic emet bons amb un venciment:

a) Entre dos i cinc anys (els Bons de l’Estat).b) Superior a cinc anys (les Obligacions de l’Estat).

Ambdós són idèntics en totes les seves característiques excepte en el termini.

Els bons d’emissors privats poden tenir característiques molt diverses pel que fa al termini, la periodicitat de pagament de cupons, el tipus d’interès dels cupons, etc.

En aquesta secció veurem com els nostres coneixements de matemàtiques financeres ens permetran:

• Analitzar aquest tipus d’actius.• Saber calcular el seu preu o la seva rendibilitat i, en especial, comprendre la relació inversa que

existeix entre aquestes dues variables (relació inversa entre preu i TIR del bo).• Saber els seus preus ex-cupó i amb cupó.

Primera anàlisi del bo

Partirem d’un bo amb les característiques següents:

• Nominal: 1.000€.• Tipus d’interès: 4% anual.• Pagament de cupó anual.• Venciment: 12/02/any 05.• Base càlcul: act./act. (novament, l’emissor determina la base de càlcul, que podem trobar en el

fullet d’emissió del bo).

L’estructura temporal de la inversió en aquest bo seria la següent:

40 1.040

0 1 2 3 4 5

40 40 40

En un primer moment, situarem durant el dia 12/02 de l’hipotètic any “00”i així podrem fer uns primers càlculs senzills, assumint que falta un any complet per al primer cupó, dos per al segon…i cinc anys complets per al venciment. En aquesta anàlisi no hi haurà cupó corregut, que és el cupó meritat a una




determinada data però encara no pagat (el veurem en detall més endavant) i, per tant, quan parlem de preu del bo, estarem parlant d’un preu ex-cupó.

Si el nominal és de 1.000 euros i el cupó és anual, un cupó del 4% significarà pagaments de 40 euros anuals, i a venciment (any 05) serà de 40 euros de cupó més la devolució del principal. A aquests actius els anomenem renda fixa perquè tenen fixada la seva estructura de pagaments. Qui posseeixi aquest bo sap que cobrarà 40 euros cada any i 1.040 euros al venciment.

Imaginem que el preu actual d’aquest bo és de 1.000 euros (o 100%, recordem que les cotitzacions dels bons es fan en percentatge sobre el nominal).Llavors, quina és la seva rendibilitat? Quina és la seva TIR? És fàcil de calcular. Invertim 1.000 euros avui i rebem 40 euros el primer any, 40 euros el segon, 40 euros el tercer… La rendibilitat (TIR) és del 4%, en aquest cas anual, però únicament perquè el seu preu ha estat del 100%.

Si comprem aquest bo al mercat i el seu preu és del 102%, quins fluxos rebrem en el futur? Els mateixos, ja que l’estructura de pagaments està fixada: 40 euros de cupó cada any i el cinquè any, a més, la devolució del principal. La rendibilitat que ofereix el bo no pot ser llavors del 4%, ja que hem de pagar més (1.020 euros en comptes de 1.000 euros) per rebre el mateix d’abans. La rendibilitat del bo ha de ser obligatòriament menor.

Com calculo la nova rendibilitat del bo? De forma anàloga als nostres càlculs anteriors en diferents actius i productes financers: actualitzarem els capitals financers futurs (cupons i devolució de principal) i cercarem aquella taxa que n’iguali el valor actual al preu del bo (en aquest cas, 102%):

1.020 =1 + TIR

40+

(1 + TIR)2

40+

(1 + TIR)3

40+

(1 + TIR)4

40+

(1 + TIR)5

1.040

Realitzant els càlculs en un Excel obtenim una TIR del 3,56%. Com més alt sigui el preu del bo, menys rendibilitat estarà donant als inversors que el comprin a aquest preu (per a aquells que havien comprat a un preu de 100, si el mantenen a venciment, la seva rendibilitat sí serà evidentment del 4%).

(A Recursos hi ha l’arxiu Excel en què podrem veure com obtenim la TIR del bo davant diferents canvis de preu i com obtenim el preu del bo davant diferents canvis en la TIR, que són els càlculs que realitzem a continuació.).

I si el seu preu baixa a 98%?




Ara podem pagar menys de 1.000 euros pel bo, que continuarà pagant cupons de 40 euros anuals més la devolució del principal. Està clar que preferim pagar 980 en lloc de 1.000, ja que la rendibilitat que n’obtindrem serà major. Quant més? Tornem a calcular-la amb l’arxiu Excel:

980 =1 + TIR

40+

(1 + TIR)2

40+

(1 + TIR)3

40+

(1 + TIR)4

40+

(1 + TIR)5

1.040

I obtenim una TIR del 4,46%, major que el 4%, tal com havíem suposat.

També podríem fer l’exercici al revés. Imaginem que aquest bo donava abans el 4%, però que ara els tipus d’interès han pujat i els bons de característiques i risc similars a aquest estan donant una rendibilitat del 5%. Què li passarà al preu d’aquest bo? Pujarà, baixarà o es quedarà igual?

Si bons de característiques idèntiques estan donant una rendibilitat del 5%, els inversors començaran a vendre’s aquest bo per comprar els altres. Si el bo es ven, el seu preu anirà disminuint, i quan el preu vagi disminuint, la seva rendibilitat anirà augmentant (com en l’exemple que hem vist, si baixa a 98,la TIR puja al 4,46%).

Fins a quan disminuirà el preu del bo? Fins que arribi a un preu que doni una rendibilitat del 5%, com en els altres bons.

Amb un càlcul similar al que fèiem abans, podem calcular quin serà aquest preu:

P =1 + 0,05

40+

(1 + 0,05)2

40+

(1 + 0,05)3

40+

(1 + 0,05)4

40+

(1 + 0,05)5

1.040= 956,71

Comprant a un preu dels 95,671%, el bo ofereix una rendibilitat del 5%.

I si és al revés? I si els tipus d’interès han baixat al 3%? Tots els inversors voldran aquest bo, ja que paga un cupó del 4%. Quan molts inversors comprin el bo, el seu preu anirà pujant. Fins on? Fins que la rendibilitat d’aquest bo (comprada a aquest preu) s’iguali amb els bons nous que tenen una rendibilitat del 3%.

Si calculem novament el preu:

P =1 + 0,03

40+

(1 + 0,03)2

40+

(1 + 0,03)3

40+

(1 + 0,03)4

40+

(1 + 0,03)5

1.040= 1.045,80




El bo s’anirà comprant i el seu preu anirà pujant fins que arribi al 104,580%. A partir d’aquí (aproximadament), ja no té sentit pagar-ne més, ja que suposaria estar obtenint una rendibilitat inferior al 3%, per la qual cosa seria més adequat comprar els altres bons.

Segona anàlisi del bo

Hem vist que, amb els conceptes bàsics de matemàtica financera, sabem obtenir el preu a partir d’una TIR o la TIR a partir del preu. Allò que era molt fàcil amb les lletres del tresor, que tenen dos fluxos, és igual de fàcil amb bons de molts cupons amb una eina com Excel.

Però fins ara parlàvem de preus ex-cupó i ens situàvem en una data molt concreta: un any abans del pagament del primer cupó. I si transcorren diversos dies? O mesos?

Vegem-ne novament l’esquema temporal.

40 1.040

12/02/01 12/02/02 12/02/03 12/02/04 12/02/05

40 40 40

11/02/01

Fins ara ens havíem situat en el moment zero, quan faltava just un any per cobrar el cupó de 40 euros. Què passa si vull comprar el bo quan ja han passat uns mesos? Imaginem ara que vull comprar el bo quan ja només falta un dia per cobrar el cupó següent, és a dir, durant el dia 11/02/01. Quin preu n’hauré de pagar?

El propietari actual del bo ha esperat pràcticament tot l’any per cobrar el cupó, que cobrarà demà si no ven el bo. Si jo el vull comprar avui, perquè me’l vengui li hauré de pagar el preu ex-cupó (suposem que no hi ha hagut canvis en la TIR del bo i que, per tant, és de 1.000 euros), però, a més, una quantitat pel cupó meritat però encara no cobrat. Com que és el dia abans, hauré de pagar-li pràcticament el cupó sencer.

(A Recursos hi ha l’arxiu Excel en què podrem veure com es calcula el preu amb cupó una vegada tenim l’estructura del bo i canviem la data actual.).

Quan ara actualitzem els cupons futurs, actualitzarem el primer només un dia (no un any), el segon un any i un dia (no dos anys), etc. I la suma de tots els cupons actualitzats ens donarà un preu de 1.039,89 euros, que es compon de:




• El preu ex-cupó: 1.000 euros.• El cupó corregut: 39,89 euros, que en justícia li corresponen al venedor.

Per a nosaltres, comprant avui a 1.039,89 euros, el bo ens està donant una rendibilitat (TIR) del 4%, que és la rendibilitat que jo espero d’aquesta inversió.

Secció 4. Renda variable: les accions

En els actius de renda fixa (bo, lletra, pagaré, etc.), sabem la renda futura que es rebrà, encara que ja hem vist que la renda fixa no és fixa, ja que, segons el preu a què adquirim el títol, la rendibilitat pot variar.

En el cas de la renda variable (accions), l’anàlisi és encara més complicat, ja que precisament els seus retorns (els capitals financers futurs) són incerts. Segons la marxa de l’empresa, l’accionista:

• Rebrà uns retorns majors o menors (especialment per dividends, però també s’han de tenir en compte vendes de drets, primes d’assistència a juntes, etc.).

• O bé el preu de la seva acció es revalorarà en major o menor mesura.

Podem actualitzar capitals financers, llavors? Per a la gran majoria d’inversors particulars és molt complicat, però els analistes, quan ens recomanen o no comprar certs títols perquè són barats o cars, sí que fan un descompte de fluxos, concretament de fluxos de caixa lliure o free cash-flows.

Procediment

Encara que el càlcul és complicat, tractarem d’explicar-lo de forma molt bàsica:

1. A partir de tota la informació disponible sobre l’empresa iles seves perspectives futures, les del sector, les de la conjuntura macroeconòmica, etc., els analistes estimen uns cash flows futurs per a l’empresa (que provindran de vendes i despeses esperades, inversions que es realitzaran en immobilitzat, caixa que necessitarà per a la seva gestió de clients, existències i proveïdors, etc.), en un principi per a uns quatre o cinc anys.

2. A partir d’aquí, per a la resta de cash flows futurs (les accions no tenen venciment i, en principi, s’espera que generaran cash flows fins a l’infinit), cada vegada més difícils d’estimar amb certa solvència, estimen una renda perpètua i creixent, que es valora amb una fórmula molt similar a la que ja coneixem.




Vegem-ho de manera gràfica:

CF 1

CF 2

CF 3

CF 4

Valor residual

Estimats segons previsions futures

Renda perpètua creixent a una taxa de creixement (g) estimada per l’analista

VA =CFi − g

3. Quan realitzen el descompte d’aquests fluxos, en troben el valor actual, que és el valor de l’empresa en la seva globalitat. A partir d’aquest, el valor estimat dels fons propis, i dividint-lo pel nombre d’accions, es troba el valor estimat per a cada acció:

• Si el preu de l’acció en el mercat és menor al valor estimat, recomanen comprar aquesta acció (és barata i, d’alguna forma, la inversió dóna un VAN positiu).

• Si el preu de l’acció és major que el seu valor estimat, recomanen no comprar-la (ja que consideren que és cara o que la inversió dóna un VAN negatiu).

Price Earnings Ratio (PER)

El procediment que hem vist (que hem apuntat, en realitat) és el que utilitzen els analistes per estimar el valor de les accions, però quan la gran majoria dels inversors volen tenir informació sobre una acció, si és cara o barata, si a un determinat preu s’espera que obtinguem una rendibilitat alta o baixa… (coses que sabíem analitzar amb la renda fixa), com ho fan? Quina variable han d’utilitzar? Existeix alguna TIR o similar que ens pugui orientar?

La ràtio més utilitzada és el PER (Price Earnings Ratio, o ràtio preu beneficis), que es defineix com el preu de l’acció dividit pel seu benefici per acció i indica el nombre de vegades que paguem el benefici que genera l’empresa.

P ER =BPA

P




Per exemple, si una acció té un preu de 10 euros i el seu BPA és d’1 euro, en comprar-la a aquest preu estarem pagant 10 vegades el seu benefici. Si comparem aquesta empresa amb una de molt similar amb un PER 12 (hem de pagar 12 vegades el seu benefici), en un principi la primera serà més barata, ja que per guanyar 1 euro de benefici paguem una mica menys.

exemple

nn

L’ús d’aquesta ràtio és més complex que aquest exemple tan senzill, però els inversors molt sovint utilitzen el PER com indicador per comparar entre companyies.

PER i mesura de rendibilitat

I què té a veure això amb una mesura de rendibilitat? Si girem la ràtio, veurem que, d’alguna forma, la inversa del PER és una mesura de rendibilitat, ja que divideix allò que rebré (el BPA) per allò que invertit (el preu):

BPAPPER

1=

Si d’una mesura de rendibilitat el que ens interessa és que sigui el més alta possible (en renda variable una aproximació és 1/PER), allò que interessarà, com a criteri general, és que el PER sigui el més baix possible.

I què tenen a veure el PER o la seva inversa amb l’actualització de fluxos? Si girem una altra vegada la fórmula, veurem que el preu (P) és, en realitat, el valor actual d’una renda perpètua (la fórmula ja la coneixem) dels BPA futurs actualitzats a una taxa o rendibilitat que és la inversa del PER:

BPAP =PER

1

Import invertit avui:el preu de l’acció

Actualització de beneficis futurs a una taxa 1/PER

Al final, gairebé sempre es tracta d’actualitzacions de fluxos futurs.




Secció 5. Els fons d’inversió

Els fons d’inversió no són res més que un vehicle per a poder invertir en els mercats financers que hem vist (mercats monetaris, de renda fixa i de renda variable) i en altres, d’una forma col·lectiva, cosa que té molts avantatges per als inversors individuals: gestió professional, moltes més possibilitats de diversificació i d’accés a un gran nombre de mercats, etc.

Una vegada realitzada una inversió en fons d’inversió, el càlcul de la seva rendibilitat és molt senzill:

VLfinali =

VLinicial

− 1

Aquesta rendibilitat, aquesta TIR, no seria anual, sinó del període de dies entre la compra i la venda. Si volem analitzar-la (TAE), utilitzarem la fórmula de sempre.

TAE = − 11 + TIR 365d

365d

Aquesta seria la rendibilitat una vegada efectuada la inversió, és a dir, quan les participacions en el fons d’inversió s’han comprat i posteriorment venut. Ara, la pregunta seria: com cal analitzar aquest tipus d’inversions a priori?

Quan analitzàvem Lletres del Tresor i pagarés, a partir de l’observació del preu en el mercat podíem calcular quina rendibilitat ens oferien aquestes inversions. Amb els bons passava el mateix, i fins i tot el preu de les accions ens trasllada certa idea de la rendibilitat més o menys esperada (a través de la inversa del PER). I en el cas dels fons d’inversió? El seu preu, el valor liquidatiu, ens ofereix alguna informació sobre una estimació de rendibilitat futura?

Lamentablement no, i encara que cal avisar que rendibilitats passades no garanteixen rendibilitats futures, el fet de conèixer el comportament passat dels fons és una de les informacions principals disponibles (no l’única) per a tractar d’intuir si ens trobem davant un fons ben gestionat i si pot representar una elecció encertada.

En la informació econòmica diària solem trobar sempre la rendibilitat que cada fons està obtenint des de principi d’any, o bé en els últims dotze mesos. Aquesta informació sol ser seguida per inversors que posseeixen participacions d’aquests fons.




En canvi, si cerquem informació per comparar entre diferents fons abans d’invertir, llavors serà molt més convenient cercar rendibilitats a més llarg termini, per exemple dels últims tres o cinc anys (juntament amb altres indicadors, per exemple de risc).

Tancament

En aquest apartat hem vist que les matemàtiques financeres són d’una gran utilitat per a poder analitzar inversions en actius negociats en els mercats financers, especialment en el cas dels actius de renda fixa (a curt i a llarg termini), i també estan en la base de la ràtio principal utilitzada en l’anàlisi de renda variable, el PER.



Apartat 5Aplicacions pràctiques de les matemàtiques financeres i els productes previsionals

Introducció

Veurem com ens ajuden les matemàtiques financeres a analitzar la inversió en els productes previsionals.

En aquesta tercera via, les institucions que permeten als estalviadors invertir els seus diners a futur són les companyies asseguradores, les quals ofereixen una àmplia gamma de productes per a satisfer totes les necessitats relacionades amb cobertura de riscos, estalvi i previsió.

Els assegurats realitzen les seves aportacions mitjançant el pagament de primes i en el futur reben les prestacions pactades. Per poder oferir una rendibilitat als assegurats, les companyies asseguradores invertiran les primes rebudes:

• En els mercats financers.• En entitats financeres (dipòsits).

En aquesta tercera via conviuen components financers, que ara tractarem d’analitzar, amb altres components actuarials. La matemàtica actuarial o financero-actuarial incorpora sobre la matemàtica financera un element essencial en qualsevol producte assegurador, que és l’element d’aleatorietat (risc), que condiciona que els fluxos econòmics de l’operació (ja sigui el flux de prestacions o d’aportacions) es produeixin o no, en quina quantia i de quina manera.

Si parlem d’assegurances de risc pures de mortalitat o de longevitat (és a dir, que generen prestacions únicament en cas de morir o en cas d’estar viu, respectivament), els càlculs que s’han de realitzar són principalment actuarials. L’import de la prima (els diners que lliura l’assegurat avui) el calcula l’entitat asseguradora, ja que amb la suma de les primes rebudes ha de constituir un fons per a assegurar-se que pot fer front al pagament dels sinistres previstos, més un marge per a cobrir les seves despeses. Aquests càlculs es fan sobre la base de taules estadístiques que indiquen la probabilitat que tingui lloc el succés cobert.

En canvi, hi ha tota una gamma de productes previsionals en què sí que existeix un component financer (de capitalització, de rendes, etc.), gairebé sempre amb algun element d’assegurança pura que el complementa.

Per a aquest tipus de productes sí que ens serviran conceptes de matemàtiques financeres, tant per al període d’aportacions (quan es posen els diners) com per al de prestacions (quan es reben els diners).


Apartat 5. Aplicacions pràctiques de les matemàtiques financeres i elsproductes previsionals


En aquest apartat no parlarem de productes concrets, que tenen una part financera i una part actuarial, sinó només dels aspectes financers que hi ha dins els productes previsionals.

Parlarem, per tant, principalment de capitalitzar (una prima única o aportacions periòdiques) i de disposar d’un capital constituït (especialment mitjançant rendes).

esquema

UUEsquema 5.1. Els productes previsionals dins el sistema financer

Entitats financeres

Primes

Companyies asseguradores

Mercats financers


Préstecs


Dipòsits

Secció 1. Les rendes

Fins ara, i aplicades a diferents productes i actius financers, hem treballat amb tres tipus de rendes:

1. Perpètues2. Temporals3. Perpètues creixents




Per poder calcular el valor actual d’aquestes rendes, utilitzarem les fórmules següents:

VA = Ci

i1 − ∙

(1 + i)nVA = C

i1 1

VA = Ci − g

Totes aquestes rendes són rendes vençudes, cosa que significa que la primera quota es cobra al final del primer període temporal. Vegem-ho de manera gràfica.

VA

C C C C CC ...

El valor actual s’obté un període abans del cobrament de la primera quota.

La primera quota es produeix una vegada finalitzat el primer període de la renda.

Si la renda es vol cobrar de forma anticipada, és a dir, si es vol començar a cobrar les quotes a l’inici del primer període en comptes fer-ho al final, quan apliquem les fórmules anteriors, estarem valorant la renda no en el moment 0 del temps (avui), sinó en el període -1 de la línia temporal. Si volem valorar la renda en el moment zero, haurem de capitalitzar el valor obtingut amb la fórmula coneguda sobre un període temporal. Vegem-ho de manera gràfica.

C C C C CC ...

-1 0

VA = Ci

∙ (1 + i)VA

En qualsevol de les tres fórmules anteriors (en el gràfic s’ha resolt amb la renda perpètua), si la renda passa de ser vençuda a ser anticipada, hem d’afegir-hi el producte de (1+i).




Si la renda es vol cobrar de forma diferida, és a dir, si es comença a cobrar després d’una sèrie de períodes temporals establerts, quan apliquem les fórmules conegudes estarem valorant la renda just en el període anterior al primer cobrament de quota. Si volem valorar la renda en el moment zero, haurem d’actualitzar el valor obtingut pel nombre de períodes diferits. Vegem-ho de manera gràfica.

CC C

0 VA

VA = Ci

∙ (1 + i)d

1

En qualsevol de les tres fórmules anteriors (en el gràfic s’ha resolt amb la renda perpètua), si la renda passa de ser immediata a diferida, hem d’afegir-hi el factor d’actualització 1 / (1 + i)d.

Ara tenim les eines necessàries per a poder plantejar exemples d’aportacions i prestacions de productes previsionals (només pel seu component financer, no actuarial).

Secció 2. Les aportacions

Bàsicament diferenciarem entre:

a) Prima única: l’assegurat aporta tot el capital de cop. Segons el termini del producte i la seva rendibilitat, a venciment rebrà la quantitat aportada més la rendibilitat que s’hagi pactat. Seria el més semblant a un dipòsit o una imposició a termini fix. Podríem obtenir el valor final d’aquesta inversió simplement capitalitzant.

b) Prima periòdica: s’estableix un pla d’aportacions, que pot ser mensual, trimestral, semestral, anual… En aquest cas, podríem estimar el capital final capitalitzant la renda a venciment.

Excel és una eina magnífica per a poder modificar les variables establertes (en aquest cas, import de 100.000 euros, tipus d’interès anual del 3% i capitalització durant 10 anys) i analitzar què li passa al capital final que s’obté mitjançant la capitalització de la prima única.

Si capitalitzem 10 anys, per exemple, si aporto el capital quan falten 10 anys per a la meva jubilació, a un tipus d’interès del 3%, obtindré un capital de 134.391,64 euros. Podem veure-ho en la imatge posterior.




I si pogués començar a capitalitzar abans? Per exemple, 30 anys abans de la meva jubilació. En aquest cas modifico la cel·la corresponent i automàticament obtenim que el capital final serà de 242.726,25 euros.

El mateix passa en la imatge si ens situem unes cel·les més avall. Aquí fixem el capital final que volem obtenir (en la imatge, els 134.391,64 euros) i el resultat és els diners que he d’aportar, en aquest cas 10 anys abans de la jubilació (o qualsevol altre moment en què hàgim de tenir constituït un capital).

També podem canviar el capital desitjat o els anys de capitalització (o els tipus d’interès), i l’Excel ens tornarà l’import de prima única que hem d’aportar. Vegem-ho de manera gràfica.

(A Recursos hi ha l’arxiu Excel en què es poden realitzar les anàlisis adequades.).

De la mateixa forma, podem fer una anàlisi d’aportacions mitjançant primes periòdiques. En l’exemple de la imatge següent, aportant 200 euros mensuals durant 20 anys (tipus d’interès anual del 3%), el capital final que obtindríem seria de 65.660,40 euros (fins ara havíem calculat sempre el valor actual de la renda, que en aquest cas seria de 36.062,18 euros, si capitalitzem 240 mesos trobem el valor final de 65.660,40 euros).

Modificant totes les variables, podem estimar el capital final que obtindríem:

• Aportant durant més o durant menys anys.• Augmentant o disminuint l’import de la prima.• Modificant el tipus d’interès.

A la part inferior de la imatge veiem l’anàlisi inversa. Establint el capital final que vull obtenir i sota les condicions establertes, quin import ha de tenir la prima mensual que hem d’aportar? En l’exemple, per aconseguir 100.000 euros de capital final, hem d’aportar 272,65 euros mensualment durant 20 anys.




Vegem-ho de manera gràfica.

Canviar variables ens permetria obtenir la prima que hauríem d’aportar si volem un capital major o menor, si volem aportar durant més o menys anys, etc.

Un exercici molt interessant que prèviament es pot realitzar és fer un estudi de les necessitats de complementar la pensió pública amb un estalvi privat, i després de saber l’import estimat que hauria d’estalviar, calcular quina prima única o periòdica he de destinar a aquest objectiu.

Secció 3. Les prestacions

A partir d’un capital, i segons un punt de vista de tipus de prestació, es pot distingir bàsicament entre prestacions:

a) En forma de capital.b) En forma de renda.

Ens centrarem en aquest segon tipus.

Continuem veient com Excel ens permet, una vegada entrades les fórmules que ja coneixem (rendes perpètues i temporals vençudes, perpètues i temporals anticipades, així com perpètues i temporals diferides), realitzar diferents anàlisis modificant només les variables que defineixen les rendes.

La informació que veiem en la imatge posterior es correspon amb:




• A partir d’un capital, quina quota mensual rebré si la quota és perpètua (no consumeix capital)? Si disposem de 100.000 euros i el producte té un tipus d’interès anual del 3%, mensualment rebré una quota de 250 euros. El meu capital, els 100.000 euros, es manté intacte, ja que la quota es correspon amb els interessos.

• Si vull una quota de 300 euros (al mateix tipus d’interès), he de partir d’un capital de 120.000 euros.

• A partir del capital de 100.000 euros, si la renda és temporal, concretament 20 anys, la quota mensual que rebo passa de 250a 554,60 euros, però el capital es va consumint i s’esgota al cap de 20 anys.

• I viceversa, si vull una quota mensual de 600 euros durant 20 anys, hauré de disposar d’un capital de 108.186,55 euros.

I, per descomptat, puc canviar totes les variables que vulgui. Vegem-ho de manera gràfica.

Les anàlisis que observem en la imatge posterior són similar ales anteriors, encara que ara la renda és diferida (no es comença a cobrar en el moment zero, sinó després d’uns períodes d’ajornament). Si ho comparem amb les rendes anteriors, veurem que, al diferir el cobrament, l’import de les quotes augmenta, o bé, per a una certa quota, puc partir d’un capital una mica inferior. Això és així perquè, durant el període d’ajornament, el capital augmenta per l’efecte dels interessos que es van acumulant i que, al seu torn, generen més interessos que fan incrementar el capital. Vegem-ho de manera gràfica.




Finalment, podem realitzar les mateixes anàlisis per a les rendes anticipades. En aquest cas, el capital necessari serà major ja que es pretén començar a cobrar un període abans, o bé, per a un capital concret, la quota que s’ha de cobrar seria una mica menor. Vegem-ho de manera gràfica.




Tancament

En aquest apartat, hem analitzat en quina mesura les matemàtiques financeres ens ajuden a comprendre els productes previsionals.

Els productes previsionals tenen un component important de matemàtica actuarial, que no entra en l’àmbit de la matemàtica financera. Per això, els aspectes que hem vist (capitalització, diferents tipus de rendes, etc.) només expliquen una part dels productes previsionals, però resulten de molta utilitat per a la seva comprensió.

la base de las matemáticas financieras, por gemma cid y xavier puig

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