MATEMÁTICAS EN LA INGENIERÍA CIVIL

Hace algunos meses alguien me preguntaba cual es la aplicación de las matemáticas en la

Ingeniería Civil y le cite algunos ejemplos como el pandeo de columnas de Euler o el mas

simple que es el equilibrio de fuerzas en donde se hace uso de una suma vectorial.  El

siguiente artículo  es muy interesante para los que estamos relacionado con la ingeniería.

Peter Rowlett nos presenta en Nature siete ejemplos que demuestran que el trabajo teórico

de los matemáticos puede conducir a aplicaciones prácticas inesperadas. Muchos científicos

e ingenieros descubren que las herramientas matemáticas que necesitan fueron desarrolladas

hace muchos años, incluso hace siglos, por matemáticos que no tenían en mente ninguna

aplicación práctica concreta. La vida de las herramientas matemáticas, si no tienen errores, es

eterna; una vez que la comunidad de matemáticos está satisfecha con una solución a cierto

problema matemático, por dicha solución no pasan los años. Sin embargo, con la crisis

económica ha crecido el interés en buscar aplicaciones a los desarrollos matemáticos en su

etapa germinal, cuando aún son meras ideas abstractas. El problema es que para un

matemático predecir para qué pueden servir sus ideas raya lo imposible. No se pueden forzar

las cosas y algunas aplicaciones de las matemáticas actuales aparecerán dentro de décadas

o incluso siglos. Para ilustrarlo, Peter Rowlett nos presenta los siguiente siete ejemplos

en ”Theunplannedimpact of mathematics,” Nature 475: 166–169, 14 July 2011. La Sociedad

Británica para la Historia de las Matemáticas tiene abierta una convocatoria con objeto de

recopilar más ejemplos, si conoces alguno puedes enviarlo siguiendo este enlace “The British

SocietyfortheHistory of Mathematics.”

Mark McCartney & Tony Mann: “De los cuaterniones a Lara Croft”

La historia de cómo descubrió los cuaterniones el matemático irlandés William Rowan

Hamilton (1805–1865) el 16 de octubre 1843 mientras estaba caminando sobre el Puente de

“Broome” en Dublín es muy conocida. Hamilton había estado buscando una manera de

extender el sistema de números complejos a tres dimensiones de tal forma que permitiera

describir las rotaciones tridimensionales respecto a un eje arbitrario como los números

complejos describen las rotaciones bidimensionales. Su idea feliz ahora nos resulta casi obvia,

no era posible hacerlo con ternas de números, las rotaciones tridimensionales requieren un

sistema de números con cuatro componentes imaginarias. Si los números complejos son de la

forma a + i b,donde a y b son números reales, e i es la raíz cuadrada de –1, entonces los

cuaterniones deben tener la forma a + b i + c j + d k , donde las unidades imaginarias

cumplen i 2 = j 2 = k 2 = ijk= –1.

Hamilton pasó el resto de su vida tratando de convencer a toda la comunidad de matemáticos

de que los cuaterniones eran una solución elegante a múltiples problemas en geometría,

mecánica y óptica. Tras su muerte, pasó el testigo a Peter GuthrieTait (1831–1901), profesor

de la Universidad de Edimburgo. William Thomson (Lord Kelvin) pasó más de 38 años

discutiendo con Tait sobre la utilidad real de los cuaterniones. Kelvin prefería el cálculo

vectorial, que a finales del siglo XIX eclipsó a los cuaterniones y los matemáticos del siglo XX,

en general, consideran los cuaterniones como una hermosa construcción matemática sin

ninguna utilidad práctica. Así fue hasta que por sorpresa, en 1985, el informático Ken

Shoemake presentó la idea de interpolar rotaciones usando cuaterniones en el congreso de

gráficos por computador más importante del mundo (el ACM SIGGRAPH). Interpolar matrices

preservando la ortogonalidad de las matrices de rotación es muy engorroso y utilizar los

ángulos de Euler ayuda poco. Las técnicas convencionales de interpolación para númeos

reales se extienden de forma natural a los números complejos y a los cuaterniones.

Interpolaciones suaves y rápidas de calcular que desde entonces se utilizan en todos los

juegos por ordenador que presentan gráficos tridimensionales. En la actualidad, los

cuaterniones son imprescindibles en robótica y en visión por ordenador, además de en

gráficos por ordenador. Al final del s. XX, la guerra entre Kelvin y Tait fue ganada por este

último. Hamilton vio cumplido su sueño en la industria de los videojuegos, 150 después de su

descubrimiento, una industria que mueve más dinero en el mundo que la industria del cine

(más de 100 mil millones de dólares en 2010).

Graham Hoare: “De la geometría a la gran explosión”

En 1907, Albert Einstein formuló el principio de equivalencia, un paso clave para el desarrollo

de la teoría general de la relatividad. Su idea es simple en extremo, que los efectos de una

aceleración son indistinguibles de los efectos de un campo gravitatorio uniforme, o dicho de

otro modo, que la masa como “carga” gravitatoria y la masa inercial son equivalentes. Esta

idea llevó a Einstein a concebir la gravedad como una curvatura del espaciotiempo. En 1915

publicó las ecuaciones de su teoría general que indican cómo la materia curva el

espaciotiempo circundante. Las matemáticas que utilizó tienen su origen a mediados del siglo

anterior. BernhardRiemann introdujo los fundamentos de la geometría diferencial en 1854, en

la defensa de su tesis de habilitación (una especie de tesis doctoral que era requisito

para impartir clases en la universidad). Introdujo la geometría diferencial de

espacios (hipersuperficies) de n dimensiones, llamadas variedades, y las nociones de

métrica y curvatura. En los 1870, Bruno Christoffel extendió las ideas de Riemann e introdujo

las conexiones afines y el concepto de transporte paralelo. El cálculo diferencial en variedades

(o cálculo tensorial) alcanzó altas cotas de abstracción con los trabajos de Gregorio Ricci-

Curbastro y su estudiante Tullio Levi-Civita (entre 1880 y los inicios del s. XX). Pero estas

ideas tan abstractas no tenían ninguna aplicación práctica hasta que Albert Einstein en 1912,

con la ayuda de su amigo matemático Marcel Grossman decidió utilizar este cálculo tensorial

para articular su profunda visión física sobre el espaciotiempo.  Gracias a las variedades de

Riemann en cuatro dimensiones (tres para el espacio y una para el tiempo), Einstein

revolucionó nuestras ideas sobre la gravedad y sobre la evolución del universo. Las

ecuaciones de Einstein no tenían ninguna solución estática, por lo que Einstein introdujo en

1917 una término adicional, la constante cosmológica con objeto de compensar la expansión

natural del universo. Tras los trabajos teóricos de otros físicos, como Alexander Friedmann en

1922, y los resultados experimentales de Edwin Hubble, Einstein decidió en 1931 eliminar la

constante cosmológica y calificar su inclusión como “el mayor error de su vida.” Hoy en día,

tras la gran sorpresa de 1998, el concepto de energía oscura ha reintroducido la constante

cosmológica.

Edmund Harris: “De las naranjas a los módems”

En 1998, de repente, las matemáticas fueron noticia en todos los medios. Thomas Hales

(Universidad de Pittsburgh, Pennsylvania) había demostrado la conjetura de Kepler, que

afirma que la mejor forma de apilar naranjas en una caja es la utilizada en todas las fruterías

(el empaquetamiento de esferas más eficiente posible). Un problema que había estado abierto

desde 1611, cuando lo propuso Johannes Kepler. En algunos medios de prensa y TV se llegó

a decir “creo que es una pérdida de tiempo y dinero de los contribuyentes.” Hoy en día, las

matemáticas del empaquetamiento de esferas se utilizan en ingeniería de comunicaciones y

teoría de la información y de la codificación para planificar canales de comunicación y para

desarrollar códigos correctores de errores. El problema de Kepler fue mucho más difícil de

demostrar de lo que Kepler nunca pudo imaginar. De hecho, el problema más sencillo sobre la

mejor forma de empaquetar círculos planos fue demostrado en 1940 por László Fejes Tóth.

Otro problema sencillo cuya solución costó muchos años fue el problema de las esferas que

se besan, planteado en el siglo XVII por Isaac Newton y David Gregory: Dada una esfera,

¿cuántas esferas iguales que ésta pueden colocarse con la condición de que toquen a la

inicial? En dos dimensiones es fácil demostrar que la respuesta es 6. Newton pensaba que 12

era el número máximo en 3 dimensiones. Lo es, pero la demostración tuvo que esperar al

trabajo de KurtSchütte y Bartel van der Waerden en 1953. OlegMusin demostró en 2003 que

el número de besos en 4 dimensiones es 24. En cinco dimensiones sólo se sabe que se

encuentra entre 40 y 44. Sabemos la respuesta en ocho dimensiones, que es 240, como

demostró Andrew Odlyzko en 1979. Más aún, en 24 dimensiones la respuesta es 196.560.

Estas demostraciones son más sencillas que la del resultado en tres dimensiones y utilizan

empaquetamiento de esferas mucho más complicados e increíblemente densos, la red E8 en

8 dimensiones y la red de Leech en 24 dimensiones.

Todo esto es muy bonito, pero ¿sirve para algo? En la década de 1960, un ingeniero llamado

Gordon Lang diseñó los sistemas de comunicación por módem utilizando estos

empaquetamientos de esferas multidimensionales. El problema de la comunicación analógica

en una línea telefónica es el ruido. En una conversación entre dos personas el

lenguaje natural es tan redundante que el ruido importa poco, pero para enviar datos es

necesario introducir ciertas redundancias y utilizar técnicas correctoras de error, lo que reduce

el ancho de banda del canal (la cantidad de información que se puede transmitir por segundo).

Lang utilizó los empaquetamientos de esferas para lidiar con el ruido y aumentar al máximo el

ancho de banda. Para ello utilizó una codificación basada en el empaquetamiento E8 (más

tarde también se utilizó el de Leech). En la década de los 1970, el trabajo de Lang fue clave

para el desarrollo temprano de la internet. Donald Coxeter, matemático que ayudó a Lang en

su trabajo, dijo que estaba “horrorizado de que sus bellas teorías hubieran sido manchadas de

esta manera por las aplicaciones.”

Juan Parrondo y Noel-Ann Bradshaw: “De una paradoja a las pandemias”

En 1992, dos físicos propusieron un dispositivo simple para convertir las fluctuaciones

térmicas a nivel molecular en un movimiento dirigido: un motor browniano (Brownianratchet)

basado en alternar el encendido y el apagado de cierto campo. En 1996, la esencia

matemática de este fenómeno fue capturada en el lenguaje de la teoría de juegos por la

paradoja de Parrondo. Un jugador alterna dos juegos, en ambos juegos por separado la

esperanza a largo plazo implica perder, sin embargo, alternar ambos juegos permite lograr a

largo plazo una victoria. En general, se utiliza el término “efecto de Parrondo” para describir el

resultado dos pruebas que combinadas logran un resultado diferente al de dichas pruebas

individuales. El “efecto Parrondo” tiene muchas aplicaciones, como en el control de sistemas

caóticos ya que permite que la combinación de dos sistemas caóticos conduzca a un

comportamiento no caótico. También puede ser utilizado para modelar en dinámica de

poblaciones la aparición de brotes de enfermedades víricas o en economía para predecir los

riesgos de ciertas inversiones en bolsa.

Peter Rowlett: “De los jugadores a las aseguradoras”

En el siglo XVI, GirolamoCardano fue un matemático y un jugador compulsivo. Por desgracia

para él, perdió en el juego la mayor parte del dinero que había heredado. Por fortuna para la

ciencia escribió lo que se considera el primer trabajo en teoría de la probabilidad moderna,

“Liber de ludo aleae,” que acabó publicado en 1663. Un siglo después, otro jugador, Chevalier

de Méré, tenía un truco que parecía muy razonable para ganar a los dados a largo plazo, pero

perdió todo su dinero. Consultó a su amigo Blaise Pascal buscando una explicación. Pascal

escribió a Pierre de Fermat en 1654. La correspondencia entre ellos sentó las bases de la

teoría de la probabilidad. Christiaan Huygens estudió estos resultados y escribió la primera

obra publicada sobre probabilidad, “Ratiociniis De Ludo Aleae” (publicada en 1657).

En el siglo XVII, Jakob Bernoulli reconoció que la teoría de la probabilidad podría aplicarse

mucho más allá de los juegos de azar. Escribió “ArsConjectandi” (publicado después de su

muerte en 1713), que consolidó y amplió el trabajo en probabilidad de Cardano, Fermat,

Huygens y Pascal. Bernoulli probó la ley de grandes números, que dice que cuanto mayor sea

la muestra, más se parecerá el resultado muestral al de la población original. Las compañías

de seguros deben limitar el número de pólizas que venden. Cada póliza vendida implica un

riesgo adicional y el efecto acumulado podría arruinar la empresa. A partir del siglo XVIII, las

empresas de seguros comenzaron a utilizar la teoría de probabilidades para sus políticas de

ventas y para decidir los precios de los seguros con objeto de garantizar beneficios a largo

plazo. La ley de Bernoulli de los grandes números es clave para seleccionar el tamaño de las

muestras que permiten realizar predicciones fiables.

Julia Collins: “Desde un puente hasta el ADN”

Leonhard Euler inventó una nueva rama de las matemáticas cuando demostró en 1735 que no

se podían atravesar los siete puentes de Königsberg en un solo viaje sin repetir ningún

puente. En 1847, Johann BenedictListing acuñó el término ”topología” para describir este

nuevo campo. Durante los siguientes 150 años los matemáticos trabajaron en

topología porque suponía un gran desafío intelectual, sin ninguna expectativa de que fuera a

ser útil. Después de todo, en la vida real, la forma es muy importante (nadie confunde una

taza de café con un dónut). ¿A quién le preocupan los agujeros de 5 dimensiones en un

espacio de 11 dimensiones? Incluso ramas de la topología en apariencia muy prácticas, como

la teoría de nudos, que tuvo su origen en los primeros intentos para comprender la estructura

de los átomos, se pensó que eran inútiles durante la mayor parte de los XIX y XX.

Pero en la década de 1990, las aplicaciones prácticas de la topología comenzaron a aparecer.

Lentamente al principio, pero ganando impulso hasta que ahora parece que hay pocas áreas

de la ciencia en las que la topología no se utilice. Los biólogos utilizan la teoría de nudos para

comprender la estructura del ADN. Los ingenieros en robótica utilizan la teoría para planificar

las trayectores de los robots móviles. Las bandas de Möbius se utilizan para obtener cintas

transportadoras más eficientes. Los médicos utilizan la teoría de la homología para hacer

escaneos cerebrales y los cosmólogos las usan para comprender cómo se forman las

galaxias. Las empresas de telefonía móvil utilizan la topología para identificar los lugares

donde no hay cobertura de la red. E incluso en computación cuántica se están utilizando hilos

trenzados para construir ordenadores cuánticos robustos. La topología permite usar los

mismos teoremas para resolver problemas muy diversos, desde el ADN a los sistemas de

GPS (Sistemas de Posicionamiento Global). ¿Hay alguna aplicación práctica donde no se

utilice la topología?

Chris Linton: “Desde las cuerdas a la energía nuclear”

Las series de funciones seno y coseno fueron utilizadas por Leonard Euler y otros en el siglo

XVIII para estudiar la dinámica de las vibraciones de cuerdas y para estudiar los movimientos

de los cuerpos en mecánica celeste. Joseph Fourier, a principios del siglo XIX, reconoció la

gran utilidad práctica de estas series para estudiar la conducción del calor y comenzó a

desarrollar una teoría general de las mismas. A partir de entonces, las series de Fourier se

utilizan por doquier, desde la acústica o la óptica, hasta los circuitos eléctricos. En la

actualidad, los métodos de Fourier están en la base de gran parte de la ciencia y de la

ingeniería modernas, en especial de las técnicas computacionales.

Sin embargo, las matemáticas de principios del siglo XIX eran inadecuadas para el desarrollo

riguroso de las ideas de Fourier y aparecieron gran número de problemas de carácter técnico

que desafiaron a muchas de las grandes mentes de la época. Costó mucho desarrollar nuevas

técnicas matemáticas para poder resolver estas dificultades. En la década de 1830, Gustav

LejeuneDirichlet obtuvo la primera definición clara y útil del concepto de función.

BernhardRiemann en la década de 1850 y Henri Lebesgue en la década de 1900 obtuvieron

nociones rigurosas de la integración de funciones. La convergencia de series infinitas

resultó muy  resbaladiza al principio, pero se logró dominar gracias a Augustin-Louis Cauchy y

a Karl Weierstrass, que trabajaron en la décadas de 1820 y 1850, respectivamente. En la

década de 1870, los primeros pasos de Georg Cantor hacia una teoría abstracta de los

conjuntos se iniciaron con el análisis de las diferencias entre funciones que no son iguales

pero cuyas series de Fourier son idénticas.

En la primera década del siglo XX, el concepto de espacio de Hilbert fue clave para entender

las propiedades de las series de Fourier. El matemático alemán David Hilbert y sus colegas

definieron estos espacios de forma axiomática, algo que parecía muy alejado de las

aplicaciones prácticas. Sin embargo, en la década de 1920, HermannWeyl, Paul Dirac y John

von Neumann reconocieron que este concepto era la piedra angular de la mecánica cuántica,

ya que los estados posibles de un sistema cuántico son elementos de cierta clase de espacios

de Hilbert. La mecánica cuántica es la teoría científica más exitosa de todos los tiempos. Sin

ella, gran parte de nuestra tecnología moderna (el láser, los ordenadores, los televisores de

pantalla plana, la energía nuclear, etc.) no existiría. Quien podía imaginar que problemas

matemáticos abstractos relacionados con las propiedades matemáticas de las series de

Fourier acabarían revolucionando la ciencia y la ingeniería del siglo XX, y acabarían

conduciendo a la energía nuclear.

Gracias a: www.francisthemulenews.wordpress.com