königsberg, el ajedrez y facebook
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EL ensayo versa sobre la relación de tres palabras clave, que, aunque parecieran no tener relación alguna, los hilos de la historia y la matemática las unén. El tema de los grafos en la matemática, es tratado muy brevemente en este pequeño ensayo.TRANSCRIPT
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Knigsberg el ajedrez y Facebook
Knigsberg, el ajedrez y Facebook
Hace algunos aos en mi juventud, el canal 13 (SINART), transmita un programa
que nunca me perda, creo que se llamaba Conexiones by James Burke. y qu tena
este programa televiso de espacial?, pues la verdad, para un pblico joven como el de
hoy da posiblemente nada!, es ms lo tachara de aburrido. Sin embargo, en vida
marc un pequeo hito en la visin de cmo las cosas y situaciones que a la vista
parecen completamente dispares en su fondo guardan una estrecha relacin, a veces
casi mgica.
He de confesar que para la historia y la lengua no soy gran conocedor deseara
ser tan ingenioso como Cervantes es precisamente que este programa cautivaba mi
atencin, la forma en que los hechos histricos se entrelazan y daban origen a otras
situaciones o modificaban su propio entorno hasta desembocar en un elemento concreto
que hoy da nos parece algo tan simple y cotidiano; por ejemplo, cmo surgi la bombilla
elctrica.
Cual arista se une a su vrtice, era de admirar la forma tan astuta en la cual el
presentador llevaba al espectador a travs de una situacin histricamente compleja y la
reduca a un esquema muy simple de comprender; podra resumirlo as: cada hecho
histrico representa un vrtice del esquema, a su vez cada hecho entrelazado o
modificador de su propio entorno se le puede unir mediante una arista orientada y as
terminar con un grafo ordenado.
Pero un momento!, es muy pronto para terminar aqu este relato. Hay cosas que
el espectador de esta lectura se ha de preguntar en este punto Qu es un grafo? Qu
son los vrtices y las aristas? Ser este otro de los temas extraos del mundo de los
matemticos? Existe una aplicacin en la vida cotidiana ms all de la ancdota de un
estudiante?
Son muchas preguntas para contestar en un par de renglones. As que al igual
que mi programa de antao, intentar mediante una serie de relatos y otros
Sigifredo Quirs Molina. [1] .
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Knigsberg el ajedrez y Facebook cuestionamientos mantener su atencin e inters para desmaraar estas preguntas
propuestas por quin escribe este documento.
Toca el turno esta semana dar una pincelada a un tema que concierne a la
topologa, ese extrao mundo de la matemtica donde una taza de caf equivale a una
dona toroide dicho con mayor propiedad pero no se preocupe ese extrao mundo de
deformaciones lo dejar para otra ocasin. En su lugar, le propongo que iniciemos
recordando el problema del recorrido del inspector y el viajero propuesto por Pascal C a
Suzana y su amigo el curioso reportero (encuentro 12 de la unidad didctica). Al leerlo
con atencin notar que al final se menciona a Leonhard Euler y la ciudad prusiana de
Knigsberg.
Pues bien es aqu donde empieza mi historia, esta ciudad clebre por sus siete
puentes que hacia el ao 1735 una a cuatro zonas dividas por el ro Preel. Un problema
muy popular por aquella poca consista en preguntarse si era posible recorrer la ciudad
pasando slo una vez por los puentes.
En ese ao, el matemtico de origen suizo Leonhard Euler present una manera
diferente de resolver este acertijo, es de este mismo problema que se considera como el
punto de partida de la topologa, aunque ya en el siglo XVII otro matemtico suizo
Leibniz, haba ya aportado sus semillas tratando de enunciar propiedades geomtricas
bsicas de las figuras sin recurrir a sus magnitudes.
Para Euler este problema se poda representar mediante una especie de
esquema (hoy da conocido como grafo) en el cual cada una de las zonas la represent
con un punto llamado vrtice o nodo, y cada puente que los una mediante un segmento
o arco denominado arista; para l, el problema estara resuelto se lograba trazar el
mismo esquema si levantar el lpiz del papel ni pasar dos veces por la misma arista.
Le parece conocido este tipo de acertijo? , trate de dibujar un sobre abierto as.
Pues bien, Leonhard lleg determinar que realizar este recorrido era imposible, se
percat que si en el esquema (grafo) existan ms de dos vrtices con un grado impar el
Sigifredo Quirs Molina. [2] .
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Knigsberg el ajedrez y Facebook problema no tena solucin, siendo el grado de un nodo la suma del nmero aristas que
salan o llegaban a este.
Tan genial es su solucin que hoy da a los problemas que consisten en trazar un
recorrido sin pasar por la misma arista dos veces y llegando nuevamente al nodo de
partida se le conoce como camino euleriano.
Por cuanto al problema del viajero, lo plante el matemtico irlands sir William R.
Hamilton a mediados del siglo XIX. A este personaje se le ocurri un juego bastante
peculiar; con un dodecaedro en el cual cada esquina tena el nombre de una ciudad, su
juego consista en viajar a lo largo de las lneas y visitar cada ciudad exactamente una
vez y volver a la cuidad de partida. A las rutas que se completen bajo las condiciones
anteriores se les llama circuito o ciclo hamiltoniano y al grafo que contiene al menos un
ciclo hamiltoniano recibe el nombre de grafo hamiltoniano.
Para continuar con la travesa que iniciamos, viajemos a unos 1 981 km al sur
oeste de Knisberg (ahora Kaliningrado) a Francia.
Hasta el siglo XVIII el ajedrez era un juego relegado a la nobleza y la aristocracia,
sin embargo, comienza a popularizarse e irrumpe en el mundo universitario y era cada
vez ms frecuente observar a los cafs organizar partidas y torneos, el ambiente por
aquella poca era propicio para que los sectores intelectuales se dieran reunin en
lugares famosos como el Caf de la Regence o el de las peas literarias ubicado en la
calle de la vieja comedia en Pars. Imaginemos a uno de estos destacados ajedrecistas
de aquel tiempo: Kermur Sire de Legal o Franois A. Danican Philidor, sentado una tarde
parisina con su taza de caf frente a un tablero intentando ser uno de los mejores
tratando de desentraar todas las prodigiosas jugadas de las piezas que componen su
ajedrez.
Es as que uno de sus camaradas le propone resolver el siguiente predicamento:
Sigifredo Quirs Molina. [3] .
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En un tablero 3x3 hay tres caballos blancos y tres caballos negros. Moviendo
alternadamente las piezas blancas y negras, trata de que los caballos blancos
intercambien posiciones con los caballos negros
Le propongo a usted espectador que mientras termina la lectura lo intente
resolver.
Unir los hechos ocurridos en Knigsberg y Francia en el siglo XVIII se puede
representar mediante un grafo donde los nodos sern estos pases o ciudades y la arista
algn hecho o acontecimiento en comn.
Dejemos por un momento a nuestro amigo ajedrecista y volvamos a nuestro
tiempo, se imagina usted a Euler utilizando Facebook! Qu podra decirnos l sobre
las redes sociales? Claro imaginar usted, que tambin las redes sociales no escapan a
la matemtica, la informacin que se encuentra inmersa en estas redes tambin se
pueden representar con grafos. En este caso los nodos representan personas y las
aristas algn tipo de relacin social: amistad, matrimonio, ir a la escuela con, por
ejemplo.
Para el marketing obtener informacin sobre los gustos e intereses de las
personas es de gran importancia. As que una red social como Facebook se convierte en
un motor de mercadeo boca a boca.
Este fenmeno de las redes sociales le ha dado cabida al anlisis de grafos en
este mbito, pues con ellos y otras herramientas matemticas se puede medir la
intensidad que tiene una persona para influenciar en sus publicaciones y el inters que
tienen otros seguidores en sus enlaces, lo que la convierte en una fuente de datos de
miles de millones de consultas sobre productos, servicios y otros.
De regreso a nuestro amigo el ajedrecista francs, ya tiene la solucin y desea
compartirla con sus colegas de juego, sin embargo, en el siglo XVIII, no tena la facilidad
del e-mail, por lo que, la enva por carta.
Sigifredo Quirs Molina. [4] .
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Ahora el problema de los grafos se traslada a las rutas de entrega. Recuerda el
juego del dodecaedro de Hamilton? Pues ahora le encontramos otra aplicacin ms a la
teora de grafos. Aqu esta teora se vuelve especialmente til cuando se trata de elegir
rutas en las que se minimice el recorrido tratando de hacerlo sin pasar varias veces por
el mismo lugar, es en esta situacin que nuestro astuto cartero debera buscar un ciclo
hamiltoniano para sus entregas del da en la ciudad.
Es impresionante como un problema clebre de una ciudad de Prusia, un
ajedrecista del siglo XVIII y una red social, se terminaron relacionando para producir lo
que usted mi atento lector acaba de leer; mi ensayo sobre grafos.
Quiero agradecer toda su atencin y espero que haya disfrutado tanto el leerlo,
como yo el escribirlo. No me quiero despedir sin antes mostrarle la solucin que me lleg
de la carta del problema con las piezas del ajedrez: El problema se puede resolver numerando las filas de 1 a 3 y las columnas como a,b,c. As cada columna se puede identificar mediante un grafo en donde los puntos representan cada casilla del tablero y las aristas los saltos que puede dar el caballo en las casillas correspondientes. Por lo que resulta el diagrama de la derecha. El diagrama se puede simplificar an ms si se representa con en la siguiente figura. Ahora las soluciones se pueden obtener fcilmente. Bastar ir moviendo los caballos en un mismo sentido alrededor del octgono, hasta que cada uno ocupe la posicin del que le sigue: a1-c2, b3-a1, c1-b3, c3-a2, a2-c1, b1-c3, a3-b1, c2-a3. Sigifredo Quirs Molina.
Muchas gracias.
Sigifredo Quirs Molina. [5] .
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Sigifredo Quirs Molina. [6] .