Matemática II

1

Práctica dirigida 02 Prof: R. Neyra- J. Guzmán

1. Hallar )(xH ′ , si:

a. dtttxGx

)52()(1

3∫ −=

b. dtttxGxx

∫+

+=2

2

2 cos)(

c. dtt

xtxG

x

x∫− ++=

2 1

)1()(

2

2

d. dtt

xtxG

x

x∫− ++=

2 1

)1()(

2

2

2. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F(x) en el punto donde

(e,F(e)).donde dtexFx

tx∫

+=3

3ln

1)( , 0>x .

3. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

dttxxFx

senx∫ −=cos

21)( en el punto ))4/(,4/( ππ f

4. Si f es una función continua tal que 3)(1

0=∫ dttf , y además dttftxxh

x

∫ −=0

2 )()(2

1)( .

Calcule )1(h ′′ .

5. Halle )2(F ′′ , si dttfxFx

∫=1

)()( , además duu

utf

t

∫+=

2

1

41)( .

6. Si dtt

xfxg

∫ +=

)(

0 31

1)( , donde dtsentxg

x

∫ +=cos

0

2)1()( . Hallar )2/(πf ′ .

7. Sea la función dttxsenxfx

x∫−

−=

223cos)2()( . Halle la ecuación de la recta tangente a la

gráfica de f en el punto de abscisa 1−=x

8. Si se cumple que dttftdttfxtxx

∫∫ =′−0

2

0)()()( , además 5)0( =f .

9. halle el valor de f (4). Si )cos()(2

0xxdttf

xπ=∫ .

10. Sea 0,1

ln

1

ln)(

/1

22>

++

+= ∫∫ xdt

t

tdt

t

txH

xx. Probar que xLnxH 2

2

1)( = .

11. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de dtt

xfxg

∫ +=

)(

0 31

1)( , en el punto

de abscisa -1. Hallar )2

(π

f ′ , si dttsenxgx

)1()( 2cos

0+= ∫

12. Sea [ ] IRbaf →,: una función continua para [ ]bax ,∈ , )()( xbafxf −+= . Pruebe

que: 0,)(2

)( >+= ∫∫ xdxxfba

dxxfxb

a

b

a.

13. Sea f una función continua en el intervalo [ ]ba, , demuestre que :

Matemática II

2

∫ ∫ −+−=b

adxxabafabdxxf

1

0))(()()( .

14. Halle f, si la función f ′ es continua para los 1≥x y duttf

xfx

∫ +=

2

1 2)1)((

1)( .

15. Halle la función no negativa )(xf que cumple las siguiente condiciones 1)0( =f ,

2)(

1 41xdt

t

txf=

+∫− .

16. Halle una función f y un numero a tal que xdtt

tfx

a2

)(6

2=+ ∫ , para toda 0>x .

17. Sean f y g dos funciones continuas en los reales tales que ∫∫ ==−−

16

4

7

116)()

3

1( dxxgdx

xf .

Calcule el valor de ∫− +4

2

2))()(( dxxxgxf .

18. Calcular:

a. ∫ −+− −2

0

52)1( ))1(1(2

dxxxex x .

b. ∫2

1

2)(ln dxx .

c. ∫π

0

23 )cos( dxxx .

d. ∫ ++2/

0 2

1cosπdx

senx

senxx.

e. ∫− ++2

2 2

32

41

)(dx

x

xsenx.

f. ∫3

2

2

)ln(

)3ln(e

dxxx

x.

g. ∫− −+3

3

234 )( dxxxxxsen .

h. ∫− ++2

2 2

2

1

2

dxx

xsenxex

.

i. ∫− +

+3

3 3

32

53dx

x

xx

j. ∫2/

0

223 )cos()(π

dxxxsenx .

k. ∫2/

0

223 )cos()(π

dxxxxsen .

l. dxe

ex

x

∫ ++1

0 21

1.

19. Si f es una función impar y g es una función par, tal que ∫∫ ==2

0

2

04)()( dxxgdxxf .

Calcule:

a. ∫−2

2)( dxxf .

b. ∫−2

2)( dxxg .

c. ∫−2

2)( dxxf .

d. ∫−2

2)( dxxg .

20. Si f ′ es continua en [ ]ba, , pruebe que ∫∫ ′−−−=b

a

b

adxxfaxbfabdxxf )()()()()( ,

siendo ba < en IR .

21. Sea la función

≤≤−−<≤−−=21,)2(1

12,1)(

2

2

xx

xxxf . Halle el(los) valor(es) de c donde

f(c) sea el valor promedio de la función f en [ ]2,2− .

Matemática II

3

22. Encuentre el intervalo sobre el cual la curva dttt

yx

∫ ++=

0 21

1, es cóncava hacia arriba.

23. Sea la función

≤≤−<≤−+−−=63,6

31,3)1(4)(2

xx

xxxf . Halle el(los) valor(es) de c

donde f(c) sea el valor promedio de la función f en [ ]6,1− .

24. Dada la función

≤<−≤≤−+=32,4

21,2)(

xx

xxxf

a. Halle el valor promedio de la función f en el intervalo [ ]3,1−

b. Pruebe que no existe ningún número [ ]3,1−∈c tal que f (c) es el valor promedio de f

25. Sea

>≤<−≤≤

<

=

2,0

21,2

10,

0,0

)(

x

xx

xx

x

xf y ∫=x

dttfxg0

)()(

a. Encuentre una expresión para )(xg similar a la correspondiente a )(xf .

b. Trace las graficas de f y g. c. ¿En dónde es derivable f ? ¿Dónde es derivable g?

26. En cierto lugar, t horas después de las 9 de la mañana, la temperatura F(t), en grados

centígrados, es dada por la expresión )12

(9

7010)(

tsentF

π+= . Halle las horas, entre las

9 de la mañana y las 9 de la noche, en que la temperatura coincide con el valor promedio de la función F, durante ese periodo de tiempo.

Nota: En las respuestas finales, considerar: 8,312 =π

y 7,0)2

( =π

arcsen

27. Pruebe que: ∫∫−−−=

1

0

21

0 2)(

)1(1)( dxxsenx

nndxxsenx nn π

πππ , con Ν∈n y 2>n

28. Sea ∫ += dxsenxxI nn )(cos , con Ν∈n . Demuestre que:

21 )1(2

)cos)(cos(1

−− −++−= n

nn I

n

nxsenxxsenx

nI , para 2≥n

29. Si f es continua y [ ] xdttfxx

17)(3

0

4 += ∫ . Hallar )3(−f

30. Hallar el valor mínimo de la siguiente función ∫+

−− ++=

1

1 42

2

2

1)(

x

x tt

dtxf

31. Sea f una función continua en los reales tal que 1)1()1( =′= ff y se define

∫ −=3

0

2 )()()(x

dttfaxxH , sabiendo además que ∫ =1

08)( adttf . Calcular )1(H ′′ .

Matemática II

4

32. Calcular los siguientes límites.

a.

+−

+∫ ∫+

→

hx

a

x

ah t

dt

t

dt

h 220 11

1lim

b.

+∫+

+→

hx

hah t

dt

h

2

0 1

21lim

c.

−+∫ ∫

+

→xddsen

h

x hx

h 0 0

22

0cos

1lim θθθθ

d.

+−

+− ∫ ∫

+

→

x hx

h t

dtdt

t

tx

h 0 0 22

2

0 11

1lim

e.

+∫+

−→

h

hhdt

th

2

2 20 1

11lim

33. Si f es una función continua sobre [ ]ba, y para cada [ ]bax ,∈ se define la función

dttfxGx

a∫= )()( , entonces G es diferenciable sobre bax ,∈ ; demuestre que

)()( tfdttfDx

ax =∫ .

34. Si f es una función diferenciable tal que: aff =′= )0()0( , y se definen las funciones

duufxgx

∫=0

)()( ; dttfbxHxg

∫=)(

0)()( , b es una constante. Halle )0(H ′ y )0(H ′′ .

35. Se definen las siguientes funciones, donde f es continua duufttH ∫+=1

0

23 )()( ;

dttHxxGx

∫=2

0

2 )()( . Hallar )1(G′ , si aduuf =∫1

0

2 )(

36. Evalúe las siguientes integrales.

a. ∫π

0

2 )2( dxxsenx .

b. ∫ +

2

0 3

5

1dx

x

x.

c. ∫ −

2

0 22 9xx

dx.

d. dxxx

x

xx

x∫−

−−+

+++

1

1 22/322 1)2()1(1.

e. dxxx∫− −3

2

f. dxxxdxxx ∫∫ −−−−

4

0

233

6

3

37. Dada la función [ ]6,4,1132)( −∈−−−+= xxxxxf . Halle su valor medio y el

punto o los puntos donde ocurre este valor medio.

Matemática II

5

38. Calcular las integrales que involucran la función logaritmo.

a. dxxLnx

Lnx∫

+ 1.

b. dxsenxLnsenx

senxx∫ +

+)(

)1(cot.

c. dxLnxx

xLn∫ −

+)1(

2 2

.

d. ∫ )(LnxLnxLnx

dx.

39. Halle las siguientes integrales exponenciales.

a. dxeeee

eexxxx

xx

∫

−+

+−

−−

− 1.

b. dxee

ee

ee xx

xx

xx∫

−++

+ −

−

−1

.

c. dxex

exx

x

∫

−+

+ 1

1

)1( 22.

d. dxxx

x

∫

+−

+ 21

1

41

2.

e. dxLnxa Lnxx∫ + )1( .

f. dxx

xdxx

Ln

x∫∫ −

1

2 410

3

.

g. dxLnsenx xx )33(∫ + .

h. dxxx∫2

32 loglog .

i. dxxlox

Ln∫

+−

22

3

4

1)

1( .

40. Demuestre que 1,0,1

1 ≠>∀−> xxx

Lnx .

41. Demuestre que: a. 0,, >+= baLnbLnaabLn .

b. 0,, >−= baLnbLnab

aLn .

c. rLnaaLn r = .

42. Demuestre que: ∫∫ =bab

a t

dt

t

dt1

.

43. Demuestre que: IRxx

xex ∈∀++≥ ,2

12

.

44. Resuelva:

a. dxx

x

∫ 2

1

π

b. ∫

+dxe

xx

)13log(.1

2

22

log

Enero del 2012.