ék

CONCEPTOSDE MATEMATICA

_______;_______ _____ _o ■

N

oo PARA EL MAESTROV > m o __________________________ro¡o oo O CL PROFESOR'

bf~ gggsBBaaO O ___ ___

L. O'BifeL O O o EL ESTUDIANTEo oo o

T

.' ••

$ 3.200.—APOSTOL T. M., Análisis matemático ......... .........................................................................................................APOSTOL T. M., Cálculos - 2 tomos.

Tomo I - Introducción con vectores y geometría analítica ................. ................................Tomo II - Cálculo en varias variables con aplicaciones a las probabilidades y al análisis vectorial

BELLAAAN R, Introducción al análisis de matrices ...................... ...................................................................DIEUDONNE, J, Fundamentos dol moderno análisis .......................................................................................DUBREIL P, y DUBREIL-JACOTIN M. L., Lecciones de álgebra moderna .................................HOCKING J, y YOUNG G., Topología ............................ !............................................................................LONGLEY W. R. - SMITH P. F. y WILSON W A., Geometría analítica y cálculo infinitesimal ..PAIGE L. J. y SWIFT J. D., Elementos do álgebra lineal ..*...............................................................REES P. K. y SPARKS F. W., Algebra ..............................................................................................................SPARKS F. W. y REES P„ K., Trigonometría plana .........................................................................................SUPPES P. y HILL S., Curso de lógica matemática ..................................................................................WELLMAN B. LEIGHTON, Geometría descriptiva técnica ............................................................................IN BREVE:BIGARD, CRESTEY y GRAPPY, Problemas d algebra general.MESERVE, Introducción a la matemática.MILLER y FREUD, Probabilidad estadística para ingenieros.MODE, Elementos de probabilidad y estadística.PETERS M. y SCHAAF W. L., /Matemática, una ciencia moderna (2 tomos).PETERS M. y SCHAAF W. L., Algebra, una ciencia moderna (2 tomos).WEINBERGER, H. F., Primer curso de ecuaciones diferenciales parciales.

3.200.—3.200.—2.800.—2.400.—2.800.—3.040.—3.640.—2.800.—2.320.—2.100.—3.2C0.—2.560.—

SSSSS$ssss$5

1

SOLICITE FOLLETOS EXPLICATIVOS A:

EDITORIAL REVERTE ARGENTINA S. R. L.T.E. 54-8354Avda. Angel Gallardo 271

Buenos Aires (5)

TEMAS MODERNOS EN LIBROS MODERNOSBARCELONA - BUENOS AIRES - MEXICO

' r

FUNDAMENTOS DE GEOMETRIAC.R. Wylie Jr.

:

fundamentos deEl versado catedrático de la Universidad de Utah brinda una obra que debe ser conocida por cuan­tos deseen penetrar en la geometría por el camino del razonamiento.La fundamentación metodológica de este apasio­nante estudio permite enlazar coherentemente los clásicos axiomas euclidianos con los desarro­llados en las geometrías modernas.

CimiJUp.

. . . . •.

Sumario: El método axiomático. Geometría euclidiana. La geometría de cuatro dimensiones. Geometría hiperbólica plana. Un modelo eucli- diano de geometría hiperbólica.

i SOCIEDAD ANONIMA SAN JOSE 157 T. E. 330U8/0W9

DE MATEMATICADE MATEMATICAAÑO I! OCTUBRE - NOVIEMBRE - DICIEMBRE 1968 N? 8

Recorte el talón y envíelo a nuestra Administración, Güemes

4629, 89-B, Buenos Aires, junto con un giro postal o bancario

contra Buenos Aires, por m$n. 900 —o por u$s. 4 si es sus­

cripto!' del exterior— a nombre de

CARTA AL LECTORCONCEPTOS Con Ja aparición del número 8 de CONCEPTOS DE

MATEMATICA se cumple su segundo año de vida. Creemos haber realizado las finalidades que nos ha­bíamos propuesto y que enunciáramos en el número 1:CONCEPTOS nace con la finalidad de llevar, informa*

ción al docente, toda la que pueda y la mejor que consiga” “CONCEPTOS aspira a ser un vínculo entre los docentes, quiere la efectiva colaboración de los mis­mos y tiene la seguridad de conseguirla. No aspira sólo a tener suscriptores —lo cual es muy importante— sino también a conocer sus ideas, sus necesidades, los resul­tados de su experiencia personal. Ello será muy valioso porque sabemos que muchos docentes tienen soluciones originales para muchas cuestiones y que su difusión beneficiaría a todos”. Estos conceptos siguen siendo tan válidos hoy como hace dos años y seguirán constituyén­dose en las normas que orientarán nuestra futura labor. ° La realización del Primer Simposio Nacional sobre la Enseñanza de las Ciencias (Biología, Física, Matemá­tica y Química), realizado en la Ciudad Universitaria de Córdoba entre el 16 y el 19 de octubre fue, a nuestra manera de ver, el hecho más importante ocurrido en nuestro país en los últimos tiempos en cuanto se refiere a la enseñanza de la matemática, tanto por las recomen­daciones votadas cuanto por la comunicación establecida entre los docentes. El kiosko de CONCEPTOS DE MA­TEMATICA fue particularmente visitado por los partici­pantes que nos hicieron llegar su voz cíe estímulo, lo que agradecemos sinceramente.° Esperamos que las recomendaciones votadas en el Simposio en lo referente a nuestra disciplina, junto a la experiencia recogida de los cursos pilotos, a las opinio­nes de la Subcomisión Argentina de la CIEAEM y a las de la Comisión Nacional para la Enseñanza de la Ma­temática sirvan para aclarar el panorama y para que la Secretaría de Estado de Cultura y Educación pueda establecer con claridad cómo habremos de manejarnos en el futuro.° Le pedimos al lector renueve su suscripción con prontitud devolviéndonos de inmediato el formulario impreso en la revista junto con el correspondiente giro postal o bancario. Será ésa una manera de evitarnos dificultades en la normal aparición de la revista, lo cual, como es sabido, es una de nuestras principales pre­ocupaciones.

Lo saluda muy atentamente

DE MATEMATICAPUBLICACION TRIMESTRAL

Redacción y Administración:Gücmos 4629, Piso 8?, Dopto. B.

Depósito:Fernández Blanco 2045 - Buonos AiresCONCEPTOS DE MATEMATICA

Diroctor - Editor

JOSÉ BANFI

♦Asesores: José Babini, Juan I. Blaquíer,

Frcdérique Papy, Gcorges Papy, Luis A. Santaló.

Rodadores: Raúl A. Chiappa, Emilio De Ceceo, Juan C. Dalmasso, Haydée Fer­nández, Atilio Piaña, Elsa Sabbattiello, Andrés Valeiras y Cristina Verdagucr de Banfi.

Dibujarte: Arquitecto Julio R. Juan.

Suscripción anual: Argentina m$n. 800; Exterior, 4 dólares o el equivalente en moneda de cada país. Los giros postales •> sobre bancos de Buenos Aires, deben ser extendidos a nombre de CONCEPTOS DE MATEMATICA.

Ejemplar suelto: mSn. 275.Númoro atrasado: m$n. 350.

Suscripción 1969: m$n. 900 Exterior: 4 dólares

CONCEPTOS DE MATEMATICA Güemes 4629, 8° - B

Buenos Aires

APELLIDO

NOMBRE

DOMICILIO PRIVADO

LOCALIDAD -f Lugares do venta: En nuestra sede, Fer­nández Blanco 2045, Buenos Aires y en Librería y Editorial Alsina, Perú 127; Librería y Editorial El Ateneo, Florida 340; Librería del Colegio, Alsina y Bolívar; Librería General de Tomás Pardo, Maipú 618; Librería Resio, Callao 621; Librería Santa Fe, Santa Fo 2427, Buenos Aires; Librería del Azul, San Martín 472, Azul; Li­brería "Erasmo", San Martín 3330, Mar del Plata; Librería El Universi­tario, H. Yrigoyen y San Juan, Co­rrientes.

I

PROVINCIA

TELEFONO

ACTIVIDADES

LUGARES EN QUE CUMPLE SUS ACTIVIDADES

Para colaboraciones, números atrasados, suscripciones y avisos, dirigirse di­rectamente al editor.

Registro do la Propiedad Intelectual: N9 966.821.

i

♦fImpreso en COGTAL

Rivadavia 767, Capital

EL PROXIMO NUMERO:La lógica en términos de conjuntos. — ¿Cómo establecer programas do ma­temática. — Preparación para el aná­lisis matemático, conjuntos.

i

La teoría do

INTERES GENERAL Concesión N? 8205m c • -

3 < «/>5 FRANQUEO PAGADO Concesión N? 2687Firma j

EL DIRECTOR\ 3

/

¿SABIA UD. QUE... UN HOMBRE DE GENIOHaremos conocer hoy algunas opiniones

de destacados matemáticos y pensadores que, creemos, deben ser conocidas por todos los que se interesan por los proble­mas del conocimiento.

1. Debemos admitir humildemente que si el número es sólo producto de nuestro espíritu, el espacio posee, aun fuera de nuestro espíritu, una realidad a la que a priori no podemos prescribirle por com­pleto nuestras leyes (GAUSS, Werke, Gotingen, 1901).

2. Creo también que la distinción en­tre concepto e intuición puede reducirse a lo siguiente: Es un concepto todo objeto .? que puede ser definido nominalmente; a la intuición pertenece todo objeto que debe ser definido mediante postulados, o mediante abstracciones, es decir, todo objeto que no sabemos definir nominal­mente “(BURALI - FORTI), Sur les cliffé- rents méthodes pour la definition clu nom­bra reel, París, 1900.

3. Los signos de negativo o de imagina­rio son cosas de convención o de uso; pero lo negativo y lo imaginario llegan por virtud de la idea y el movimiento de evo­lución que le es propio, obligando a la notación a acomodarse a ella, y al espí­ritu a seguirla, aunque le cueste (COUR- NOT, Considérations, 1S72).

4. La exigencia actual hacia nosotros mismos se ha vuelto sutilmente distinta y ya no nos satisfacemos con las “demostra­ciones” de tal o cual matemático del pa­sado. Debido a los sucesivos jaques de nuestra intuición natural, nuestro rigor se ha vuelto voluntariamente puritano. El empleo del lenguaje conjuntista y la pro­gresiva algebrización de toda la matemá­tica, son dos caracteres esenciales de nues­tra ciencia, ligados a esa voluntad de uni­dad y de rigor (LICIINEROWICZ, París 1967).

5. Lo que ha hecho que sea más fá­cil razonar demostrativamente en matemá­ticas es, en buena parte, debido a que en este caso la experiencia puede garan­tizar el razonamiento en todo momento, como también ocurre con las figuras de los silogismos. Pero en la metafísica y en la moral, este paralelismo de las razones y

de las experiencias ya no se encuentra; y en física, las experiencias exigen inquie­tudes y gastos (LEIBN1Z, Nuevos en­sayos).

6. La axiomática de Euclides - Idilbert se basa en las nociones de longitud, ángu­lo, triángulo. Oculta maravillosamente la estructura vectorial del espacio a punto tal que la noción de vector ha permane­cido ignorada durante muchos siglos. El hecho de que un triángulo sea mitad de un paralelogramo no ha impedido que se acentuara durante más de veinte siglos el estudio detallado de alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de los triángulos, los casos de’ igualdad de triángulos, y las relaciones métricas en el triángulo. Se veía al triángulo, ’ pero no al paralelogramo que hubiera podido conducir a los vec­tores (G. CHOQUET, L’enseignemant de la geómétrie, París, 1964).

7. Los principios de esta teoría —el aná­lisis— son deducidos, como los de la me­cánica, de un muy pequeño número de hechos primordiales, de los cuales los geómetras no consideran en absoluto la causa, pero que admiten como resultantes de observaciones comunes y confirmadas por todas las experiencias (FOURIER, Oeuvres, 1835.

8. Un análisis abstracto, que se haga sin ningún examen sintético del problema propuesto, está expuesto más bien a sor­prendernos que a iluminarnos (D. BER- NOULLÍ, Memorias de la. Acardemia de Berlín, 1735).

9. En análisis, se llama expresión sim­bólica. o símbolo a toda combinación de signos algebráicos que no significa nada por sí misma, a la cual se le confiere un valor diferente del que debe tener natu- lalmente. Asimismo, se ilaman ecuacio*

simbólicas a las que tomadas al pie de Ja letra e interpretadas según las dones generalmente establecidas, inexactas o no tienen sentido, pero de las cuales se pueden deducir resultados tos, modificando y alterando según reglas fijas, o bien estas mismas ecuaciones o los símbolos que encierran (CAUCPIY, Cours d'analyse algébriqae)

B. RUSSELL (Inglaterra)

TRES RASIONES, DOS RECUERDOS, UNA CARTA.

Tres pasiones, simples pero irresistiblemente fuertes, han gobernado mi vida: el ardiente deseo de amor, la sed de conocimiento y una inmensurable piedad por los sufrí mientos de la humanidadr.

Así se expresa Bertrand Russell en el encabezamiento de su autografía, cuyo primer tomo, que cubre el periodo 1672-1914, acaba de aparecer en Londres. ¿Es necesario ver en Russell a un excéntrico, como ha escrito cierto crítico con respecto a este volumen en el cual el autor, alternativamente se denigra a sí mismo y reconoce que tiene conciencia de su genio. Para Jiosotros, el testimonio de un hombre que se ha apasionado por la matemática, y que es un escritor de talento, merece atención, especialmente cuando relata recuerdos sobre sus trabajos o sobre los sabios con los que ha podido intercambiar ideas.

Junto a sus recuerdos, Bertand Russell nos entrega igualmente cartas escritas o reci­bidas por él De una carta de Cantor, en visita a Londres el 19 de septiembre de 1911/ publicamos la mayor parte.

I

G.W.matemática que experimenté en ese mo­mento, subsistió en mí y determinó el curso de mis trabajos ulteriores.

Hallé más difíciles los principios del ál­gebra, quizás a causa de una mala ense­ñanza Se me hacía aprender de memoria que “el cuadrado de la suma de dos nú­meros es igual a la suma de sus cuadrados aumentada en el doble de su producto.” No tenía la menor idea de lo que eso significaba y como no podía recordar las palabras, el profesor me ponía el libro en la cara, lo que de ninguna manera estimu­laba mi intelecto. Después de los primeros pasos en álgebra, sin embargo, las demás cosas fueron como sobre ruedas. Hallé placer en impresionar por mi saber a un nuevo maestro. Cierta vez, a los trece años, tuve un nuevo preceptor, hice girar una moneda y él me dijo: “¿Por qué gira la moneda? Le respondí: “Porque le he apli­cado una cupla de fuerzas con mis dedos.” “¿Qué sabéis, pues, sobre las cuplas?”, pre­guntó. “¡Oh, sobre las cuplas lo sé todo!” le respondí con aire de suficiencia.

Mi abuela siempre temió que tuviera surmemge y se arreglaba para limitar ri­gurosamente mis horas de estudio. De allí resultó que me habituara a trabajar escon­dido en mi habitación, con velas, tomado a mi escritorio, en camisón de noche du­rante las frías veladas, presto a soplar la

REVELACION DE LA MATEMATICA

A los once años comencé el estudio de Euclides, con mi hermano como preceptor. Fue uno de los grandes acontecimientos de mi vida, tan deslumbrante como el pri­mer amor. No había imaginado que en ella pudiera haber algo tan delicioso para la gente. Cuando hube aprendido la quin­ta proposición, mi hermano me dijo que generalmente se la consideraba difícil; sin embargo, no había encontrado en ella ab­solutamente ninguna dificultad. Fue la pri­mera vez que se hizo claro para mí que podía tener alguna inteligencia. Desde ese momento hasta que con Whitehead con­cluimos nuestros Principia Mathematica, —tenía entonces treinta y ocho años— la matemática se constituyó en mi principal preocupación y en mi mayor fuente de satisfacción. No obstante, como toda sa­tisfacción no proseguiría sin dificultades. Se me había dicho que Euclides demos­traba cosas y yo me sentí fuertemente con­trariado porque él comenzada por axiomas. Al principio rehusé aceptarlos hasta que mi hermano no me hubiera dado alguna buena razón para hacerlo, pero él me dijo: “Si no lo aceptas, no podremos ir más le­jos'’, y como yo deseaba ir más lejos, los admití con repugnancia y provisoriamente. La duda acerca de los fundamentos de la

i

i:

J

!7h?S

conven-son

exac-

145

El'

ide 1900 fue la más alta cúspide de mi vida En ese momento llegue a decirme que entonces, por fin, yo había hecho algo que valia la, pena, y tenía la sensa­ción ele que debía cuidar de no dejarme puesto negro sobre blanco. Envié tículo a Peano para los comienzos de octubre, me puse a redactar The Prin­cipes of Mathematics, obra para la cual ya había hecho numerosos ensayos in­fructuosos. Las partes III, IV, V y VI del libro, tal cual fueron publicadas, las es­cribí durante ese otoño. En esa época, tam­bién escribí las partes I, II y III, pero tuve que volver a escribirlas más tarde, de manera que el libro no alcanzó su for­ma definitiva antes de mayo de 1902. Cada día de octubre, noviembre y di­ciembre, escribía diez páginas y terminé el manuscrito el último día del siglo, con tiempo para escribir una carta jactanciosa a Héléne Thornas sobre las 200.000 pala­bras que acaba de concluir.

El Congreso fue un recodo en mi vida intelectual, pues en él volví a encontrar a Peano. Ya lo conocía de nombre y había visto algunas de sus obras, pero no me había tomado el trabajo de asimilar a fon­do sus notaciones. Durante las discusio­nes del Congreso observé que él era mu­cho más preciso que cualquiera, y que invariablemente obtenía lo mejor en cual­quier discusión en que se embarcara. Al pasar los días, decidí que ello ocurría debido a su lógica matemática. Logré que me diera todas sus obras, y tan pronto fi­nalizó el Congreso me retiré a Fernhurst para estudiar tranquilamente cada pala­bra escrita por él o sus discípulos. Se vol­vió claro para mí que su notación apor­taba una herramienta de análisis lógico tal que yo la investigué durante muchos años y que estudiándola en Peano, adqui­riría una técnica de trabajo nueva y po­tente que, desde hacía mucho tiempo, deseaba emprender. Desde fines de agos­to, todos los trabajos de Peano se habían vuelto familiares. Dediqué el mes de septiembre, a extender sus métodos a la lógica de las relaciones. Retrospectivamen­te, me parece que cada uno de los días de ese mes fue caluroso y soleado. Los Whitehead residían con nosotros en Fem- hurst y yo les expliqué mis nuevas ideas. Cada noche la discusión terminaba en alguna dificultad, y cada mañana encon­traba que la dificultad de la noche prece­dente se había resuelto por si misma mien­tras yo dormía. Fue un período de em­briaguez intelectual. Mis sensaciones se parecían a las que se experimenta des­pués de haber escalado una montaña en la bruma cuando, la cima alcanzada, la bruma se disipa y el país se vuelve visi­ble a cincuenta kilómetros en todas di­recciones. Durante años, había tratado de analizar las nociones fundamentales de la matemática, tales como el orden o los nú­meros cardinales. De repente, en el lapso de algunas semanas, descubrí lo que pa­recían ser respuestas definitivas a los pro­blemas que me habían desconcertado du­rante a,ños. Y después, mientras descubría las respuestas, introduje una nueva técnica matemática, gracias a la cual dominios hasta entonces abandonados a la impre­cisión de los filósofos fueron conquistados para la precisión de una formulación exac­ta. Intelectualmente, el mes de septiembre

vela y a enfundarme en el lecho al menor ruido. Detestaba el latín y el griego, pen­saba que sería necesario ser totalmente estúpido para aprender lenguas que nadie hablaba. Prefería la matemática a todos los otros estudios, pero, después de la mate­mática, me gustaba la liistoria.

No teniendo con quien compararme, igno­ré durante mucho tiempo si era mejor o peor que los otros muchachos. No obstan­te, recuerdo que, una vez, mi tío Rollo, despidiéndose de Jowct, el maestro de Ba- lliol, en la puerta de su casa, decíale “Oh. marcha verdaderamente muy bien”, y re­conocí, por*más que no pueda decir cómo,

se refería a mi trabajo. Tan pronto comprendí que era inteligente, me

fijé el objetivo de realizar algo importante en el dominio intelectual, en todo lo que pudiera, y, durante toda mi juventud no dejé que ningún obstáculo se interpusiera en el camino de ese ambicioso proyecto.

inejante, y apareció, gracias a un análisis logico, que naoia analogía con la antigua contradicción ue los griegos sobre E¿Dimé- nides el Cretense, que decía que todos los cretenses eran mentirosos. Puede obte­nerse una contradicción enteramente aná­loga a la de Epiménides dando a una per­sona un pedazo de papel en el que esté escrito: JLa proposición escrita al dorso es falsa; la persona devuelve el papel y halla en la otra cara: “la proposición es­crita al dorso es falsa”. Parece indigno del hombre ocupar el tiempo en esas futilezas, pero ¿que podía hacer? Había algo que claudicaba puesto que tales contradiccio­nes eran inevitables partiendo de las pre­misas ordinarias. Fútil o no, la cuestión era un problema. En todo el segundo se­mestre de 1901, supuse que la solución sería fácil, pero al final de ese período, concluí que era un asunto grueso. Decidí, pues, terminar The Principies of Mathe­matics, dejando la solución en suspenso. En el otoño retomamos a Cambridge, don­de había sido invitado a dictar lógica ma­temática durante dos semestres. Esas con­ferencias contenían lo esencial de Principia Mathematica, pero sin ningún método que permitiera eliminar esas contradicciones.

un ar­

quecomo

\

mePEANO

En julio de 1900, en el marco de la exposición universal, se realizó en París un Congreso Internacional de Filosofía. Whitehead y yo decidimos concurrir al congreso y acepté la invitación de leer en él una comunicación. Nuestra llegada a París fue marcada por un reencuentro algo tumultoso con el eminente matemático Emile Borel. Carey Thornas le había pe­dido a mi esposa Alys que le trajera doce baúles vacíos que había dejado en Ingla­terra. Borel le había pedido a Whitehead «pie trajera consigo a su nieta la que se desempeñaba como maestra en Inglaterra. Había un gentío en la Estación Norte, y no teníamos más que un boleto de registro para todo los equipajes. El de la nieta de Borel apareció de inmediato, y el nuestro poco después, pero, de los baúles de Ca­rey, sólo aparecieron once. Mientras espe­rábamos al duodécimo, Borel perdió la paciencia, me arrebató de las manos el boleto de los equipajes, y se fue con su nieta y su única valija, dejándonos en la imposibilidad de reclamar tanto los baúles de Carey como nuestros propios equipajes. Whitehead y yo nos apoderamos de las maletas una por una, usándolas como arie­tes para atravesar el círculo de empleados. Estos se vieron tan sorprendidos que la maniobra fue exitosa.

LAS PARADOJAS

.A lines uel segundo trimestre del año escolar, Aiys y yo retornamos a Fernnurst, aoncte me ¿>use a trabajar en la elabora­ción de la construcción deductiva de la matemática que resulto ciespues nuestra obra Principia Mathematica. Pensaba que el trabajo estaba cerca de su conclusión, pero en el mes de mayo tuve un chasco intelectual casi tan grave como el chasco sentimental que tuve en lebrero Can­tor había prooado que ya no había nú­mero mas grande y me parecía que el número ae todas las cosas del

UNA CARTA DE GEORG CANTOR■

Al honorable Bertrand Russell, Trinity College, Cambridge, 19 de setiembre de 1911, Ü2 Nevería Square, South Kensington, Londres

Señor y estimado colega:

Por la señora Margaret Corbet Ashby os puedo enviar esta carta. Resido aquí du­rante una semana, más o menos, con mi hija María, probablemente hasta el 24 de setiembre, día en que, sin duda, par­tiré hacia París, igualmente por una se­mana y para volver luego a casa. Sería en gran placer si pudiera acompañarnos a París. Allí podríamos reencontrarnos con Poincaré, lo que formaría un “trío”, ruda­mente hermoso.

En lo que me concierne, sin duda sa­béis que soy demasiado hereje en muchos dominios científicos y también en muchos temas literarios; asi, para no citar más que

mun­do debía ser el más grande de los núme­ros posibles. Examiné, en consecuencia, con minuciosidad ia demostración de Cantor y traté de aplicarla a la clase de tocias las clases existentes. Eso me condujo a las clases que no son elementos de si mismas y a plantear la cuestión de saber si la clase de todas esas clases es, o no es, ele­mento de sí misma. Comprobé que cada respuesta arrastraba consigo su contradic­ción. Al principio, supuse que sería capaz de superar muy fácilmente esta contradic­ción y que, probablemente, había algún error insignificante en el razonamiento. Sin embargo, progresivamente se volvió claro que ése no era el caso. Burali Forti ya había descubierto una contradicción se-

!

I6 7

:

fmorado de esa abominable momia, a me­

que este hechizado por ella. También comprendo en su totalidad la oposición de Poincaré y nie siento honrado por ella, por más que él no haya jamás tenido la idea de honrarme, de ello estoy seguro. Si él quizás, espera que le responda para de­fenderme, comete, sin ninguna duda, un

PROBLEMATICA DE HOYdos: yo soy “baconiano” en el problema Bacon-Shakespeare y soy completamente adversario del viejo Kanty quien, a nu pa­recer, ha hecho tanto mal y ha descaiga- do tantos malos golpes contra la liloso- fía y aun contra la humanidad, como po­déis verlo fácilmente en los más extrava­gantes desarrollos de la metafísica en Ale­mania entre todos los que lo han seguido, como en Fichtc, Sclielling, Hegel, Hci- bart, Schepenhauer, Hartmamn, Nietzsche, etc. etc.; hasta nuestros días. Jamas he podido comprender cómo y por qué pue­blos tan honorables y razonables como lo son italianos, ingleses y franceses pudie­ron seguir a ese filisteo capcioso que era tan mal matemático.

Y ahora, Poincaré está totalmente ena­

nos

Consideraciones finales'F. GONSETH

(Suiza)

que toda materia de enseñanza debe ser examinada bajo los tres siguientes aspectos:

Debe examinarse primeramente desde el punto de vista del alumno. No es necesario comentar mucho lo que significa esta pri­mera exigencia. Limitémonos a subrayar aquí un aspecto: es necesario que se re­únan las condiciones objetivas y subjetivas para que dicha materia pueda ser asimi­lada. En particular, es necesario que el alumno haya alcanzado el nivel de des­arrollo a falta del cual la materia que se enseña queda fuera de su alcance. Es ne­cesario, además, despertar su interés, sin el cual la enseñanza queda casi sin acción. Jamás se subrayará bastante que una en­señanza que no despierta ni retiene el in­terés de los alumnos es comparable con un mecanismo al que ninguna fuente de ener­gía conservaría el movimiento.

Toda materia de enseñanza se debe exa­minar luego desde el punto de vista del maestro. Este debe tener la sensación de corresponder a las verdaderas necesidades del alumno, aun si éste no tiene conciencia de ellas. Pero eso no basta; es necesario que su enseñanza le satisfaga a él mismo, para sí mismo; es preciso que pueda tener interés en ella de por sí y no sólo pensando en el bien de los alumnos.

Es necesario, en fin, que el conjunto de materias de una enseñanza sea apreciado desde el punto de vista de la autoridad, pues de ella dependen, a fin de cuentas, las decisiones que fijan los fines a los cua­les deberán responder las elecciones.

En la práctica, naturalmente es al maes­tro a quien se pedirá que pueda colocarse en cada uno de esos tres puntos de vista.

Esto dicho, retornemos a la extraordina­ria voluntad de renovación que ha existido y que inspira las enseñanzas del nivel se­cundario, muy particularmente en matemá­tica. Lo que no puede dejar de impresio­nar, es que se trata de un fenómeno con­tagioso, que no se detiene en las fronteras

gran error.Pienso que él es diez años menor que

yo, pero he aprendido a esperar siempre, y ahora preveo claramente que en esta querella, yo no seré él vencido. De la mis­ma manera, para los pequeños desacuer­dos entre Ud. y yo, estoy seguro que des­parecerán del todo después de

versación...

Nuestro coloquio sobre la coordinación de Ja enseñanza de la física y de Ja mate­mática va a concluir. Las conclusiones que ahora he de presentar serán su último epi­sodio. ¿Pero iremos a pensar que él tam­bién señalará el fin de la discusión sobre el tema al que acabamos de dedicar tan sincera atención? ¿Hemos llegado a escla­recer el conjunto de problemas que nos fueron planteados? Seria muy presuntuoso afirmarlo; estoy seguro que ninguno de vosotros lo soñaría.

Entonces, ¿habrá sido vano nuestro es­fuerzo? Estoy igualmente seguro de que cada uno de nosotros, incluso el menos optimista, se cuidará, se defenderá, de caer en tamaño escepticismo. Pudiera ser que no todos nosotros seamos exactamente del mismo parecer en la apreciación de los resultados que podríamos colocar en nues­tro activo. Sin embargo, una cosa es cierta: nuestro coloquio, por el curso que ha to­mado, por las ocasiones y por las conver­gencias que en él se han manifestado, im­plica cierto número de enseñanzas cuya importancia no podría negarse. Una vez más, no es necesario esperar que podamos juzgarlas todos exactamente de la misma manera. Debo, pues, formular conclusiones válidas a la vez para todos. No me aven­turaré siquiera a hablar en nombre de los que en lenguaje “únese*uiano” se po­drían llamar los tres “iniciadores” de este encuentro. Llevare solo la responsabilidad de las reflexiones que ahora voy a some­teros. Espero, no obstante, no perder de vista que estamos aquí para buscar un sendero de armonía y no para ocupar, unos frente a otros, posiciones irreductibles.

Más de una vez me ha ocurrido, hablando de la enseñanza de la matemática en el nivel secundario, colocar como principio* Discurso final pronunciado oor el renombrado lóqico y

matemático suizo en el Coloquio Internacional sobre la reforma y la coordinación de las enseñanzas do la ma­temática y la física, <“uc se realizó en Lausana, en enero de 1967.. que hoy orcemos en versión de la profesora Cristina Verdaguer de Banfi.

una con-a

Georg CANTOR

¡

Ningún hombre puede ser un buen maestro a menos que tenga sentimientos de cálido afecto hacia sus discípulos y un deseo genuino de enseñarle lo que él mismo cree valioso....

Lo que un maestro debe intentar primeramente es provocar en sus alumnos —si la democracia ha de sobrevivir— el tipo de toleran­cia que surge del intento de comprender a quienes son diferentes de nosotros. Es, quizá, un impulso humano natural contemplar con horror y disgusto las maneras y costumbres diferentes de aquellas a las que estamos acostumbrados. Las hormigas y los salvajes ejecutan a los extraños. Y aquéllos que nunca han viajado, ni física, ni men­talmente, encuentran dificultad en tolerar las extrañas maneras y creencias de otras naciones y otras épocas, de otras sectas y otros partidos políticos. Este tipo de intolerancia ignorante es la. antitesis de una visión civilizada y es uno de los peligros más grandes a que está, expuesto nuestro superpoblado múñelo ....

El maestro, como el artista, él filósofo y el hombre de letras, solamente puede realizar su trabajo en forma, adecuada si se siente como un individuo dirigido por un impulso creador interno, no dominado ni encadenado por una autoridad, externa.

B. RUSSELL, Unpopular Essays, 1950.

;i

i:

í:

i

l

:f

!

i8 9

>i

!

i

el iionui uel espíritu luinumo’'. Pero tam- bieu íes corresponde exigir que ia ense- uaiiza escolar ue la matemática su va tam­bién para ía rormacion cíe touas capas técnicas que necesita una sociedad mo­derna.

A ella retorna (después de la informa­ción) el derecno, la capacidad cíe optar por tai o cual tipo de escuela —en parti­cular, por un tipo de escuela donue se aprenda a valerse de la matemática como un instrumento irreemplazable. .Llego in­cluso a pensar que le corresponde decidir el exigir, por ejemplo, que las enseñanzas de matemática y de física estén coordina­das en la medida de lo posible y por prioridad.

Lo he dicho; no tengo, no puedo tener la intención de enumerar y de evaluar aquí el conjunto de exigencias que es necesario equilibrar con las que el maestro tiene el derecho de emitir por su propia cuenta. Lo que acaba de decirse basta, no obstante, para que se comprenda claramente que sólo a la matemática le corresponde con­siderar la sustancia matemática, cualquie­ra sean, por otra parte, el valor, el esplen­dor o la novedad, no proporciona las ga­rantías de una enseñanza valedera de la matemática.

Las mismas observaciones anteriores pue­den también proporcionar la explicación de un hecho desconcertante a primera vista (sobre el cual ha insistido particularmente DELESSERT): que se pueda proponer de buena fe tantas soluciones diferentes del problema de la enseñanza de la matemática en el nivel secundario, diferentes entre ellas y, sin embargo, cada una coherente de por sí. Lo que ocurre es que cada uno evalúa a su manera las exigencias que se deben satisfacer y que ella establece entre ellas un equilibrio basado sobre esta evaluación. Por lo que se, es de importancia funda­mental tomar clara conciencia de este úl­timo hecho. Lleva mucho más lejos que la simple elección de una forma de enseñar. Creo justo, incluso hasta indispensable, tratarlo con un poco más de hondura. Por otra parte, me será posible ir al encuentro de la enseñanza de la física a la que hasta ahora apenas he aludido.

Para ello vuelvo a la distinción que hice entre un primer y segundo aspecto de la nueva matemática. Bajo el primero, orde­né la investigación y el estudio de estruc­turas matemáticas tales como los espacios

cieincmuics ue su enseñanza el espjritu y ios inüCUUOS uc 1U iiueva lilcUcinau^a.

listo cucho ¿no convendría agregar sin tardanza que las precedentes observaciones no implican ninguna critica nacía ei maes­tros ¿íno es libre, perfectamente libre, de Hacer funcionar al máximo el impacto del progreso de la matemática en su enseñan­za, incluso en la escuela secunuauar ¿i\o habría una irritante injusticia en poner si­quiera en duda el valor de la actitud abier­ta de que el ha dado prueba? Pero ¿tiene toda la liborlau para adoptar esa acudías lie ahí todo el problema, be acordará, pien­so, en poner fuera de duda el siguiente principio: nacía limitará la libertad clel maestro para hacer valer en su enseñanza lo que él juzga mejor, salvo las exigencias a respetar en el nivel de los alumnos y de las autoridades. Seria demasiado largo señalar todo lo que comprenden las exi­gencias de parte del alumno y de parte ue la autoridad. Todos saben que las actitudes de un alumno para recibir tales o cuales materias de enseñanza y para apropiarse de tales o cuales formas de presentarlas, obedecen a ciertas leyes de crecimiento y de maduración. Ciertamen­te, estas leyes no son tales que no se pueda tener ninguna acción sobre ellas. Se puede favorecer, por ejemplo, e incluso acelerar el proceso de maduración me­diante un conjunto de incitaciones apro­piadas. Pero, ¿hasta qué punto se puede hacerlo sin correr ningún riesgo? La res­puesta es asunto de estudio y experiencia. Es natural, es deseable que el maestro participe ele este estudio. Pero —¿es ne­cesario subrayarlo?— no se trata ele una cuestión propia de la matemática es­tructural. Volveré luego, desde un punto de vista menos estrictamente pedagógico, sobre este aspecto de las cosas.

Por otra parte, nadie podría olvidar que está en la naturaleza misma de la mate­mática no ser solamente una disciplina ra­cional, sino también una disciplina aplicable a la realidad. Esta realidad va, además, desde las actividades más cotidianas a las investigaciones más diversificadas y a las técnicas más avanzadas. Se alcanza aquí el punto de vista de la autoridad exigiendo que la enseñanza de la matemática incor­pore también esa finalidad. Corresponde a las autoridades decidir si quieren crear ins­titutos de altas investigaciones matemáticas, o si la matemática sólo se estudiará para

2?) Ubica una metodología (método axiomático, formalización, etc.) de la que se espera, en esta nueva perspectiva, una

solución del problema de la funda-

de tal o cual país o de tal o cual agrupa­ción de países. De esto, es una prueba el carácter internacional de este coloquio.

Con mayor o menor agudeza, la tenden­cia de esta renovación, digamos incluso de esta revolución, es la misma dondequiera, unitaria y sistemática: se trata de hacer valer y prevalecer la idea de estructura (de estructura matemática, por supuesto) hasta en los grados más elementales de la enseñanza matemática. Se puede pregun­tar cuáles son las causas de esto. ¿Son las mismas en todas partes? Se puede dudarlo, especialmente si se ha tomado parte en los primeros esfuerzos intentados en ese sen­tido. Tiendo a recordar aquí la actividad de la Comisión Internacional para el Pro­greso de la Enseñanza Matemática. Por el incansable esfuerzo de GATTEGNO y du­rante muchos años ha mantenido sus me­morables sesiones en los cuatro ángulos de Europa. En particular me oueda el más vivo recuerdo de un colonuio donde se reunieron en Melun, en 1950, durante toda una semana muchos de loe rm«* lmv tienen manifiesta influencia. CT-TOOTTET. DTEU- DONNE, LTCT-TNEROWTC7. PTAGET, SERVAIS, efe. Pero nada deiaha entonces prever oue las mesHoncs suscitadas con cierta serenidad en esa ocasión podrían día provocar un interés tan general apasionado.

Preguntándome luego cuáles podían las causas de semejante evolución, tenía la intención de plantear una cuestión to­davía más precisa: ¿deben buscarse esas causas a nivel del alumno, del maestro o de las autoridades?

Me imagino muy bien que así la cues­tión pueda parecer mal planteada. Las cau­sas verdaderamente determinantes, dirá, deberán buscarse en otra parte, fuera del cuadro así fijado. Los hechos que go­biernan todo están ubicados al nivel de la investigación. En menos de un siglo, la matemática ha sufrido una profunda tación, quizá convendría incluso decir que han cumplido una metamorfosis. ¿Es posi­ble indicar su sentido con algunas pala­bras? Muy sumariamente esbozada, la tamorfosis se presenta bajo dos aspectos principales:

l9) Libera y destaca una matemática de las estructuras subyacentes de alguna manera en las matemáticas de la anti­güedad.

nueva mentación.

Los últimos episodios de la investigación acerca de los fundamentos no permiten afirmar que, en cuanto al segundo aspecto se refiere, la metamorfosis haya ya alcan­zado su término. No por ello las ganancias adquiridas en el primero quedan menos aseguradas.

Y bien, se me dirá, si se trata verdade- lamente de una metamorfosis, ¿no es com­prensible, no es fatal, que todo matemático se sienta frustrado si no se halla en situa­ción de tomar parte en ella, de cerca o de lejos? ¿Y' no es justo que haga todo lo ne­cesario para no quedar al margen de una evolución tan determinante?

Habiendo colocado así los hechos deci­sivos a nivel de la investigación y su pro­greso, no por ello queda menos intacta la siguiente cuestión: ¿en qué medida pueden proyectarse esos hechos sobre la enseñanza de la matemática a nivel secundario? He­nos aquí conducido a las distinciones que luciéramos hace un instante: ¿es al nivel del alumno, clel maestro, o al de las auto­ridades donde súbitamente se ha revelado justo y aun necesario apelar a las matemá­ticas más modernas? La respuesta no deja ninguna duda: es a nivel del maestro. Sin vacilar hemos dicho hace un instante que el maestro debe ser capaz de colocarse tanto en el punto de vista de los alumnos cuanto en el de las autoridades. ¿Le servirá de pretexto para declarar que colocándose en su propio punto de vista, el maestro, por eso mismo, no podría dejar de tener en cuenta los demás? Eso significaría ha­blar contra el más claro buen sentido. Por su propia cuenta —y es preciso alabarlo— el maestro se sentirá frustrado si ñanza lo mantiene apartado de la meta­morfosis que ocurre en la matemática. Pero no es jpensando tan sólo en sus alumnos que le molestará la distancia que separa a algunas de las materias que enseña, y la forma en que las enseña, comparado con lo que podrían ser con el esclarecimiento estructural. Es en sí mismo donde

uncuan

'ser

:

se me

su ense-

mu-

¡me

se pro­ducirá cierta caída de interés por algunos de los capítulos tradicionales y por ciertas formas de presentarlos. Y su prooio deseo le llevará a hacer valer hasta en las partes

iXi

t10 11

ticular, Ja matemática se vuelve indispen­sable tanto en Ja primera como en la se­gunda de esas funciones. Paso a paso, por otra parte, lo mismo sucede para todas las demás disciplinas científicas y técnicas. En la práctica, el matemático no querrá ni podrá renunciar a la doble carga de esas dos funciones complementarias. De­berá, pues, asumir, al mismo tiempo, la carga de una metodología que le de de­recho a ello. Pero ¿cómo podrá hacerlo si, persiguiendo la reconstrucción sistemá­tica de la matemática estructural en un horizonte específico, es decir, separado, ha cortado los puentes con los demás órde­nes del conocimiento: ¿No suscita así un problema metodológico de los más arduos, digamos incluso un problema filosófico an­te el cual el mismo estará desarmado?

Más breve y netamente, he aquí lo que me parece indispensable subrayar: la evo­lución de las matemáticas hacia una ma­temática de las estructuras es, todo lo hace pensar, irreversible. Al problema de des­arrollar la matemática así “metamorfosea- da” puede superponerse el problema de fundamentarla inmediatamente, de una vez por todas, en su aspecto específico. Está, sin embargo, por demostrar que se puede alguna vez darle una solución completa y ne vartelur. Si se la lograra, el matemá­tico debería tomar a su cargo otro pro­blema: el de proveer una metodología, una metodología de sus vínculos con las otras disciplinas. Y sobre todo, actuando desde ahora como si estuviera asegurada de antemano una solución de esos dos pro­blemas, el matemático viene posición filosófica cuya autenticidad tá establecida. ¿Pero le es todavía posible ocupar otra al respecto? Ño sustento por mi cuenta ninguna duda al respecto. Es posible desarrollar una metodología de la investigación (una metodología denomina­da abierta) en la cual el problema de la fundamentación pueda ser intemretado co­mo un problema de reelaboración. Gracias a ese sesgo metodológico, puede desarro­llarse sin trabas una matemática de las estructuras, conservando sus vínculos na­turales tanto desde el lado subjetivo como desde el lado objetivo.

Es verdad que en el marco de una me­todología semejante, la pedagogía queda en libertad de evaluar según las finalida­des de su enseñanza la parte que corrcs-

vectoriales o los grupos (para no citar más que dos ejemplos). Una investigación se­mejante puede muy bien desarrollarse a partir de las matemáticas tradicionales, en el marco de la geometría, el álgebra o el análisis clásico. Ella puede también reali­zarse según el modo axiomático, estando axiomáticamente fundamentada una disci­plina cuando se ha podido reunir cierto grupo de enunciados justos, de los cuales todos los demás enunciados justos de la disciplina no serán más que consecuen­cias. Bajo este primer aspecto la matemá­tica estructural no necesita otro funda­mento que las matemáticas clásicas. Es­tán, como ellas, fundadas en ellas.

Se pasa al segundo aspecto cuando se pretende fundamentar la matemática es­tructural por sí misma, mediante el in­termediario, por ejemplo, de una teoría de conjuntos, ella misma previamente funda­mentada. Se sabe que, para evitar ciertas paradojas, se ha procedido a la axiomati- zación de la teoría de conjuntos, y ello en diversos ensayos sucesivos. Claro es que, en semejante proceso de fundamentación, el axioma es totalmente distinto que hace un instante, porque nada permite de an­temano tenerlo por un enunciado justo. ¿Puede una empresa tal ser conducida le­gítimamente de modo definitivo? ¿Puede ser puesta totalmente fuera de duda la me­todología donde se la recoge? No es este el lugar para debatirlo. Sin embargo, me parece indispensable preguntarse qué lu­gar ocupará la matemática en el campo del conocimiento si ella jamás llegará a estar así fundamentada en su especifici­dad estructural. Es necesario darse cuenta bien que ella habrá roto entonces lazos naturales con dos formas de los conocimientos a los cuales, de ningún modo, sería cuestión de renunciar, a saber:

A. Genética c históricamente, la mate­mática se presenta antes que nada una elaboración discursiva de nuestras estructuras naturales (y subjetivas, tales como las que se relacionan con el tiempo, el espacio, etc.).

B. Aparece también en nuestras acti­vidades naturales, prolongadas por la téc­nica y la investigación científica, como el instrumento privilegiado del conocimiento preciso del mundo objetivo. Es subjetiva en A y objetiva en B. Para la física, en par-

poncle a la intuición, a la experiencia y al sistema . No desembocará, pues, en una enseñanza modelo y enmarcada, sino en una pluralidad de enseñanzas, todas las que deberán tenerse por valederas si ponden a lo que se tiene el derecho de es­perar.

Acaso se juzgue que he estado equivo­cado al lanzar a la discusión términos de posiciones filosóficas ocupadas por u otros. De cualquier manera, ¿no llega demasiado tarde la aclaración de

una disciplina el primer fruto que se pueda recoger al abordar el estudio de la mis­ma. Además, ocurre lo mismo con la me­todología de un grupo de disciplinas o con la metodología de la investigación en general. No puede ser más que el pro­ducto de una estudiada reelaboración de las estructuras intencionales y operado- nales de la investigación activa. No se apoya sobre evidencias inmediatas, sino más bien sobre el éxito o el fracaso de ciertas concepciones, de ciertas interpre­taciones y de ciertas opiniones. Es análoga a la reflexión que se revela capaz de aclarar y de orientar la acción que la ha originado. Tampoco debe asombrar que el sentido de la autenticidad metodológica difiera del sentido común que casi todos poseemos. Por el contrario, es necesario aceptar como un hecho experiencial que él sea tan molesto para hacerlo adoptar no siendo más que la idea de una doc­trina objetiva, es decir, provista de ga­rantías controlables (bien entendido que para aquellos que se toman el trabajo) — y mucho más todavía, para proponer un esbozo que pueda ser reconocido co­mo tal.

Todo esto explica que la idea directriz de este coloquio no haya sido de una confrontación y una depuración metodo­lógica previa de donde surgieran las lí- r-esa directrices de una confrontación de las enseñanzas de la matemática y la físi­ca. Esta idea no era ya dejar en libertad a los matemáticos, por una parte, y a los físicos, por la otra para fijar entre ellos y por sí mismos sus intenciones, sus progra­mas y sus métodos, eximiéndolos de orde­nar entre ellos sus conclusiones respectivas. La idea directriz, por el contrario, era que, no pudiendo partir de una base metodo­lógica justa y común a la vez, y para evi­tar las discusiones sin salida, era necesario valorar la exigencia más concreta y más inmediata: la de la coexistencia obligada de las diferentes enseñanzas y, por con­siguiente, la de su necesaria coordinación. La misma salvaguardia de las mentes jó­venes que se deben formar, ¿no lo es a precio? Era invocar el espíritu de solida­ridad contra el espíritu de sistema, oponer lo humano a lo convencional.

Esta idea, que hubiéramos querido di­rectriz, ¿ha resultado la dueña del juego? Los que lo esperan pueden tener, des-

res-

unos

esas po­siciones filosóficas? Creo necesario expli­carme. Para los maestros de matemática y de física, la apreciación de la situación que tiene hoy, la apreciación de lo que es necesario esperar, de lo que es nece­sario tener v de lo que es necesario hacer, es de lo más difícil. La toma de concien­cia de los hechos previos y de los planes filosóficos anteriores es uno de los ele­mentos decisivos. Es lo único que puede iluminar las razones de tales o cuales to­mas de posición; allí es justamente donde debe actuar la reflexión para establecer el verdadero alcance de lo que está en juego en la renovación de las enseñan­zas que actualmente se realizan. Pero si así ocurre, ¿por qué no haber intentado antes que nada obtener una comunidad de puntos de vista en ese nivel? Una vez establecido el acuerdo, ¿no habría sido más fácil entenderse sobre lo demás? Pien­so, en efecto, que un acuerdo sobre las modalidades de una enseñanza no puede ser más que precaria sino está garantiza­da por una metodología comúái. Y es porque pienso también que el esfuerzo de renovación no puede hallar sus garan­tías más seguras más que vinculándose a una justa metodología de la investigación, siendo, por otra parte, el primer testimo­nio de la justeza de una metodología su capacidad para dar cuenta de la investiga­ción más eficaz. Y no obstante, perma­nezco convencido que si hubiéramos bus­cado para comenzar entendemos acerca de una metodología igualmente admisible para todos, no habríamos llegado a ello. El tiempo necesario para una investigación semejante nos hubiera faltado del todo. Pero, sobre todo, un horizonte metodo­lógico no es nunca un horizonte de pri­mera línea. Es necesario andar para alcan­zar un terreno científico de cierta pro­fundidad. Tampoco es la metodología de

!

ia ocupar una

no es-sus

como

T

I12 13

vación de la enseñanza debiera intentarse, quizá con éxito, la aplicación de un prin­cipio semejante.

Ciertamente, desde hace mucho tiempo el campo de la investigación ya se la ha abierto en su totalidad. Pero es posible

todavía más lejos y con mayor ampli­tud. La vida en sociedad no es posible más que si todas las actividades que parti­cipan de ella están bien vinculadas y bien coordinadas. ¿No es infinitamente tran­quilizador pensar que incluso en la más vasta de las perspectivas un principio de coordinación podría día a día asumir la función de un principio de exactitud?

de luego, la peor de las decepciones. En la tarde del miércoles, los matemáticos, por una parte, los físicos, por la otra, habían redactado sus recomendaciones. El espí­ritu de novedad estaba aliado en ellos a cierta moderación. Pero las verdaderas di­ficultades, las que implica fatalmente la situación, se revelaron el lunes, en el mo­mento de la confrontación de los progra­mas correspondientes. El desarrollo de estos últimos, tal como fueron imaginados, significaría un desencuentro de unos 18 meses. En esas condiciones, la coordina­ción pareciera irrealizable. ¿Iremos a que­darnos en eso?

En lo que me concierne, mi única sor­presa consistió en comprobar con que ni­tidez se habían perfilado los obstáculos. Presentí que se los volvería a encontrar, tarde o temprano. No había enseñado du­rante cuarenta años entre la enseñanza se­cundaria y la superior y colaborado en la redacción de diversos manuales sin tomar conciencia de ello. Tal como me pareció entonces, lo digo sin ambages, el mayor obstáculo era simplemente el tiempo per­dido.

El Simposio

a EnseñanzaNacional para

de las Cienciasver

Córdoba, 1968)

Cerca de millar y medio de profesores acudieron al Primer Simposio Nacional sobre la Enseñanza de las Ciencias, rea­lizado en la Ciudad Universitaria de Cór­doba entre el 16 y el 19 de octubre por convocatoria del Instituto Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de las Ciencias (INEC) con el auspicio de la Secretaría de Estado de Cultura y Edu­cación, el Consejo Nacional de Investiga­ciones Científicas y Técnicas y la Univer­sidad Nacional de Córdoba. Esta asis­tencia multitudinaria es, a nuestro en­tender, uno de los mayores logros del Simposio; no es nada fácil que se dé la oportunidad de que los docentes de todo el país puedan cambiar impresiones acer­ca de su quehacer; haberlo logrado tiene que tener consecuencias provechosas pa­ra todos.

A las 10 y 30 del día 16 se realizó la reunión constitutiva, haciendo uso de la palabra el presidente del Comité Ejecu­tivo del Simposio, profesor Angel Hernáiz, para referirse a los objetivos del mismo, el profesor Luis R. Silva y el doctor Abra- ham Fischler, asesor del INEC. A las 19 se realizó la inauguración oficial con dis­cursos del presidente del Consejo Na­cional de Investigaciones Científicas y Técnicas, doctor Bernardo A. Houssay, del Rector de la Universidad de Córdoba y del Subsecretario de Cultura y Educa­ción a cargo de la Secretaría.

Los temas especiales: 1. Enseñanza de las Ciencias: objetivos y métodos; 2. Con­tenidos fundamentales de cada ciencia en los diferentes niveles, ciclos y orientacio­nes de la enseñanza; 3. Formación y per­feccionamiento de profesores de ciencias, y 4. Evaluación de la enseñanza de las ciencias, fueron tratados primero en re­

uniones generales y luego en reuniones por asignatura, lo que permitió proponer recomendaciones que finalmente fueron tratadas y votadas en sesión plenaria.

Circunscribiéndonos a matemática, en el primer tema, el relator, profesor Ro­berto P. J. Hernández se refirió jos de Rosario Russo sobre objetivos ge­nerales y particulares en la enseñanza de las ciencias, y sobre método, informe y análisis y recursos didácticos en la ense­ñanza de la matemática; de Irma R. C. de Cáceres, y de Josefina B. Cosentino, sobre objetivo y método; de Theodolina B. de Romero Fónseca, sobre método heurístico; de Jorge Boscli, sobre coheren­cia pedagógica y coherencia estructural en los planes de estudio de la matemática para el ciclo medio; de Raquel L. de Las- ry, sobre cursos experimentales, y sobre asistencia científica del profesor; de Ma­ría A. Ferrari y Asunción López Henri- quez, sobre una experiencia en el Cole­gio Nacional de Buenos Aires; de los pro­fesores de la Escuela de ciclo básico de la Universidad Nacional del Sur, y de las profesoras María Meier, María L. L. de llizzollo y María A. P. de Forestello, so­bre cursos experimentales; de Mauricio Epelbaum, sobre una experiencia en la Escuela Industrial Superior de la Univer­sidad del Litoral; de Norma M. Roldán, sobre enseñanza de la trigonometría es­férica; de Luis A. Santaló, sobre promo­ción de nuevas experiencias y ensayos metodológicos; de Ana O. Barrios y Su­sana C. de Lops, y de Eleonor C. de Notrica, sobre guías de trabajos prácticos; de Nelly V. de Tapia, y de Nelly M. C. Prefumo, sobre medios y técnicas auxilía­les modernas; de Celina L. de Andrieu, María A. Crespi, Irma Dumrauf, Estela

PROPOSICIONES FINALES CON RESPECTO A LA ENSEÑANZA DE LA

MATEMATICA1*> La matemática es una actividad ina­

lienable del espíritu humano. Todo niño tiene el derecho de ser formado en ella.

En un mundo cambiante, conviene que esta formación despierte y desarrolle en primer término las aptitudes de ac­ción intelectual más bien que la mera acumulación de conocimientos.

3*-1 La matemática evoluciona cada vez más hacia una ciencia general de las es­tructuras. Estas les confieren un consi­derable poder de aplicación, información y unificación. El conocimiento y el domi­nio de esas estructuras, su utilización para comprender la realidad son los verdaderos objetivos de la enseñanza de la matemá­tica.

traba-a

Al día siguiente, sin embargo, debía pro­ducirse una sorprendente revirada. Un principio y un hombre fueron los agen­tes benéficos. El principio era, natural­mente, el de la coexistencia, de la unión obligada de los docentes de matemática y de física. Una vez formulada (con la ni­tidez que, muy simplemente, logró la se­ñora GRIVET) y una vez conscientemen­te adoptado, ese principio hizo valer sus consecuencias inevitables. El hombre fue el presidente de la sesión del viernes, M. E. BAURMANN, que había pasado la no­che buscando los elementos de una so­lución valedera. Nuestro coloquio pudo avanzar así a sus conclusiones.

¿Cómo serán acogidas?? ¿Plallarán favorable? ¿Ejercerán acción en profun­didad? Sería presuntuoso pensar que pu­dieran cerrar el debate. No obstante,

paso cierto en la dirección justa.Permítaseme expresar una impresión del

todo personal: el desarrollo de este colo­quio representa para mí una experiencia cuyo alcance supera en mucho sus fines inmediatos. Me ha hecho comprender que en la práctica, y paso a paso, un principio coordinador puede suplir a un principio de exactitud. Ahora bien, no sólo en la

4° Algunas de esas estructuras tienen carácter elemental; existiría interés en ser­virse de ellas desde la infancia.

5;-1 Cierto número de estructuras más elaboradas debieran estar adquiridas al término de los estudios secundarios.

6,?< La realización de un nivel valedero exige una formación matemática y peda­gógica apropiada de los maestros.

7'-1 La reforma de la enseñanza matemá­tica debe ser considerada como un fenó­meno permanente. Esto implica una for­mación continua de los maestros apoyada sobre una continua investigación peda­gógica.

8^ En ese dominio, se vuelve indispen­sable una eficaz colaboración en plano mundial. Es urgente fundar un organismo internacional para la enseñanza de la ma­temática.

eco

mar­can un

I

í!reno-

1514

*7 •,r

En el tercer terna, el relator inspector ílellmut Renato \V. Vólker, estudió la composición y características del personal dedicado a la enseñanza de la matemáti­ca, los centros de formación de profesó­

la formación científica y profesio-

O. de González Baró, Nocmi C. de Goy- tia y Lidia D. de Villcmur, sobre diversos tópicos.

El relator recomendó que se contemple la reestructuración total de los programas, ateniéndose al objetivo de la disciplina y teniendo en cuenta el espíritu científico que la motiva; será menester precisar una estructura pedagógica coherente que ten­ga en cuenta que los métodos intuitivos, inductivos y experimentales, muy i lientos en una primera etapa, deben sólo manifestarse como molivadorcs del dis­

matemático propiamente dicho. Se considera altamente aconsejable la reali­zación de cursos experimentales sobre las bases arriba expuestas y ajustados a criterio dinámico y evaluados en todas sus etapas. Se aconsejan investigaciones espe­ciales y experimentación con medios au­xiliares. materiales concretos de represen­tación y técnicas didácticas modernas, siempre asegurando el rigor del concepto matemático. Se recomienda, además, aus­piciar la asistencia técnica a los profeso­res, designar auxiliares de inspección pa­ra colaborar con ellos y buscar el apoyo de profesores altamente calificados para experiencias concretas.

El relator del segundo tema, doctor Cé­sar A. Trejo, se refirió a lo que considera debe ser un ciclo básico de tres años y, más sucintamente, a los cursos de años superiores. Se refirió a la necesidad de realizar urgentemente el análisis de la coherencia interna de los planes. Cree en la conveniencia de programas breves, aca­so sintéticos, pero minuciosamente fun­damentados y motivados. Cree que hay indudable opción en favor del enfoque conjuntista, usando desde el comienzo los conceptos como cauces de ordenación, incluso antes de su introducción explícita. Las estructuras algebraicas serán muy efi­cientes como pautas ordenadoras y cohe­rentes. Se refirió luego a los trabajos pre­sentados por la Escuela Normal “J. P* Eringles” de San Luis y la Escuela Ar­gentina Modelo de la Capital Federal.

ORIENTACION-

de una teoría

de conjuntosres ynal, la formación científica del magiste­rio; la situación en que se desempeñan las tareas del profesor de ciencias; el ejer­cicio adecuado de la docencia; el perfec­cionamiento docente; el papel de la uni­versidad; información complementaria; los becarios y el entrenamiento del personal auxiliar docente.

En el cuarto tema, se estima que la evaluación final debe resultar de la apli­cación de diversas técnicas como obser­vaciones causales de conductas espontá­neas, interrogatorios, entrevistas, exáme­nes, pruebas objetivas y de ensayo de respuestas restringidas, etc. Se considera

objetivos de la evaluación del ren­dimiento escolar los siguientes: servir co­

instrumento de control pedagógico y administrativo; como instrumento de se­lección, de manera que el profesor pueda graduar la enseñanza, conocer y corregir deficiencias metodológicas y conceptua­les, informarse sobre el aprovechamiento y ayudar a los alumnos, que deberían lograr pautas para autoelevarse y estimular su afán de superación. La familia tendría información periódica, clara v exnlícita, y la escuela podría evaluar el rendimien­to docente y de los alumnos, diagnosti­cando sobre el progreso de la enseñanza y la validez de planes y programas,, orien­tando a los alumnos y seleccionándolos para determinadas actividades científicas; la sociedad aprovecharía mejor las inver­siones, satisfaría las demandas de recur­sos humanos v garantizaría capacidad téc­nica, idoneidad y grado de preparación de los graduados.

Las recomendaciones votadas pasaron a una Comisión de Estilo para su redac­ción final; cuando lleguen a nuestro po­der tendremos el gusto de informar a nuestros lectores.

conve-LAURENT SCEIWARTZ

(Francia)curso

AXIOMATICA Y FOftMALIZACION. cación se les dará. Entonces, a partir de fórmulas de base, A, B,. .. , traduciendo en hechos los axiomas planteados, se po­drá encontrar otros por el juego de los conectivos lógicos: y, o, no, sea A y B (es­críbese A A B), A o B (escríbese A V B) no A (escríbese ~ A). Otras fórmulas, S¡ A, entonces B (escríbese A => B), por ejemplo, conducirán a las precedentes; aquí: (~ A) V B.

En teoría de conjuntos, se puede par­tir de fórmulas x = y, x 6 y y de los sím­bolos V ("para todo"), =t ("existe"). El ciado matemático más complicado debe en­tonces poder expresarse con la ayuda de fórmulas que contienen esas solas fórmu­las y esos solos símbolos. Esto, indepen­dientemente de toda significación parti­cular atribuida a los símbolos: por ejemplo, se podría leer x 6 y "x es igual a t/" y x y "x es elemento de y" lo que tra bien que las reglas a adoptar, que la axiomática a elegir, son grandemente ar­bitrarias.

Demos, por ahora, algunos ejemplos de esta formalización asignando a los sím­bolos = y 6 la significación habitual. La frase "E es vacío" se escribirá:

V x, x Z Een la que Z es la abreviatura de ~ (x 6 E). Toda frase con una sola letra (aquí E) se escribirá pues con cierto número de letras mudas, variables cuantificadas (aquí x), y la letra libre E.

Otro ejemplo: la frase "E es un conjun­to de dos elementos" se escribirá:

rl * ~ y ((.v 6 E) A ([/ 6 E) A (x =;= tj))A (V z 6 E : {z = x) V (z = y))

en la que la primera parte expresa que E tiene por lo menos dos elementos; la se­gunda, por la escritura V z £ E, sobren­tiende una implicación y puede

Para una primera iniciación en la geo­metría, es muy necesario recurrir a la in­tuición. La superficie de una naranja, por ejemplo, permite concebir qué fera, la superficie de un estanque, si no hay viento, da una ¡dea de lo qué plano. Si nos detuviéramos allí, sería im­posible decidir cuáles propiedades de la esfera o del plano son verdaderas y cuá­les falsas. Es necesaria una construcción lógica de la geometría; eso supone, al co­menzar, la formulación precisa de axio­mas a partir de los cuales se vuelva posi­ble deducir ciertas propiedades, enunciar teoremas.

Tal es la condición de existencia de to­da matemática bien hecha, y la teoría de los conjuntos no escapa a dicha ley del género. Sin embargo, resulta curioso com­probar que la opinión de los' matemáticos sobre este asunto, ha vacilado durante mucho tiempo. A comienzos de siglo, Bo- rel y Hadamard todavía intercambian car­tas de tono muy vivo, particularmente sobre las "paradojas de la teoría de los conjuntos", pero, por no haber precisado bien cuál era la axiomática de partida, su opinión no podía conducir a mucho.

Todavía hoy, en una primera iniciación, será necesario recurrir a la intuición, de­finir "ingenuamente" a los conjuntos co­mo colecciones. Incluso, será mejor no hablar de "teoría de conjuntos" sino sim­plemente de un vocabulario o de una gra­mática. . . La cuestión queda abierta acerca del nivel en que será oportuno fundamen­tar correctamente, desde el punto de vista lógico, una teoría de conjuntos: esto su­pone que se señalan axiomáticamente cuá­les son los objetos de la teoría, cuáles los símbolos que se emplearán y qué signifi-

un

es una es-

como es un

mo

enun-I

mues-

<!

ser reem-

16 17

*•í

';

símbolos tendrán significaciones especiales bien precisadas a priori, y tales que todos los primeros axiomas de la teoría de con­juntos, se verifiquen en [M]; [M 3], sobre la existencia de conjuntos infinitos, nada se aceptará axiomáticamente en [M]; esta existencia no se podrá decidir en [M], de modo que, en el marco de la matemática habitual, es decir, del exterior del modelo, será posible probar que, en [M], no hay conjunto infinito.

Con estas notaciones, escribiremos engica, disponemos de una cantidad de letras, por ejemplo, xlt xs. .., xn,... (no supo­niendo esta última notación ya construida la teoría de los naturales escritos como sub­índices). La serie de axiomas (xx = Xi; x2 =

. . . , contrariamente e laapariencia es menos fuerte que el axioma único (V x, x = x). En efecto, éste último implica la serie precedente cuando, para de­ducirlo de esta serie, sería necesario poder hacerlo con un número finito de fórmulas, lo que es ¡mposjble, pues de xx = Xj;

deduce

[M]:plazada porV z : (z G E) V (z = X) V (z = y) [p £ /i; q G n, r G n, ..w G n]

Ejemplos: Puesto que 5 = 2° + 22, po­demos escribir [2 £ 5, 0 £ 5]

o también: [5 == -¡0,2}-]Puesto que 64 = 2°:

[6 £ 6 4] y también [6 4= -jó}-]

No hay ningún inconveniente en agru­par los cuantificadores al comienzo, lo que nos da la versión definitiva:a x) (1 y) o z) ((x G E) A (y & E) A (* =s= y)) A ((z £ E) V (z = x) V (z = y)

Luego de este ejemplo, se concibe fácil- la formalización completa de

Xo, . . ., Xl: •— xn,

imente que toda una teoría matemática se volvería rá­pidamente inextricable; expresar que G es el producto cartesiano de E por F = E X F requeriría una veintena de cuantificadores y ocuparía toda una página. Nadie escribirá una teoría matemática en esa forma por más que sea indispensable saber que se lo puede hacer.

Cuando se escriben tales fórmulas, no preocupa saber si son verdaderas o falsas. La cuestión de lo verdadero y de lo falso no tendrá sentido más que cuando se enun­cien los axiomas de la teoría. La última fór­mula escrita no tiene más que una letra li­bre, E-, y al hacerla preceder por V E, se convertiría en una proposición con ninguna letra libre, "todo conjunto de dos elemen- tos", que podría elegirse como axioma y

sería verdadera (aún si en la teoría

PROPIEDADES DEL MODELO.CONSTRUCCION DEL MODELO.

no se Verifiquemos entonces, que los primeros axiomas de la teoría de conjuntos, tam­bién se verifican en [M].

Conjunto vacío. Cero es el único natu­ral que no admite desarrollo diádico no vacío; en [M], la fórmula [x G 0] es falsa para todo x.

Conjunto de un sólo elemento. [■{/?}■] existe en [M], puesto que existen natura­les que son potencias de 2; aquí 2P.

Conjunto de dos elementos. Sean dos na­turales distintos: p =!- <7; [\p, C7 J-] existe en. el natural 2P + 2q. Observación: era in­dispensable precisar que p =jr q, pues 2P + 2P ' 1, y en [M], [-¡p, p\ = ip} = 2”]

Axioma de extensionalidad. En [M], dos objetos que tienen los mismos elementos, son ¡guales, lo que se escribe

[T 77?, V 7?, (771 = 7? ?=**=* (T X (x G m *± X G n)))]

Desde el exterior de [M] esto significa: la descomposición diádica de un natural, es única, teorema conocido.

X'* — Xo; . • •/' --- X»,Xo \ i — Xn i ]• Como únicos objetos del modelo, toma­

mos los naturales 0,1,2,. .., n,. .., de la matemática habitual y conservamos las sig­nificaciones tradicionales de y, o, no, igual a (que se escribe siempre =). Sin embargo, para evitar toda confusión entre las fór­mulas en el modelo y las fórmulas en la matemática habitual, escribiremos las pri­meras entre corchetes. De ese modo [3] designa un objeto en [M], en tanto que 3 designa al natural conocido; [p = q] ex­presa la igualdad de dos objetos en [M], mientras que p = q expresa la igualdad de dos naturales.

LO FINITO Y EL INFINITO.

Fuera de esta última observación, nada hemos dicho todavía sobre la noción de conjunto finito o conjunto infinito. No po­demos contentarnos con la intuición sim­plista de que un conjunto es finito si es posible contar sus elementos; en efecto, los naturales no son estudiados más que a par­tir de las propiedades de los cardinales fi­nitos; la noción de infinito debe, pues, fun­damentarse sin recurrir a los cardinales.

La definición, que es sin duda la mejor, se enuncia así: "E es un conjunto infinito si y solamente si existe una biyección de E sobre una de sus partes, distinta de ella misma". Lo que expresa la fórmula

Lo que diferenciará a [M] de la mate­mática habitual, es la significación espe­cial que asignaremos al signo £. Esta sig­nificación no puede ser elegida de cualquier manera debido a las tres condiciones im­puestas al modelo. En efecto, si pusiéramos: [77? £ 7?] significa m ^ ?i, no se verificaría uno de los primeros axiomas de la teoría de conjuntos: en [M] no habría conjunto vacío. Si pusiéramos: [?7? £ ??] significa 77? < 7?, existiría un conjunto vacío, que se­ría cero, pero ya no se verificaría otro axioma importante, el de la existencia del conjunto de un sólo elemento; [6] verifica [6 £ 7, 6 £ 8], pero no existe ningún objeto [a] en [M] tal que [6] sea el único objeto del modelo que verifique

entoncesen que ella se inserta tuviera entonces po­cas posibilidades de ser interesante). Si los axiomas se eligen al principio, las reglas de la enumeración lógica, que no enume­raremos aquí, nos permiten decidir cuáles

verdaderas y cuáles falsas, y entonces habremos demostrado teoremas. Quedarán fórmulas indecidibles, por ejemplo, en la teoría clásica de conjuntos no se puede de­cidir sobre la fórmula "E es un conjunto de dos elementos"; se sabe que existen con­juntos que tienen más o menos de dos ele­mentos. En una teoría sin axiomas sobre = y £. la fórmula V x, x = x se vuelve ¡ndecidible, puesto que es verdadera en el modelo clásico si = significa igual, falsa si = significa elemento de. Es previsible, por otra parte, que en una teoría pobre en axio­mas, casi todas las fórmulas resultarán inde- cidibles; aún en una teoría con muchos axio­mas, como la teoría de conjuntos, las fór­mulas indecibles están "en aplastante ma yoría".

(1 F), (1 f) : (F CE) A (F =- E) A f)es una biyección de E sobre F) en la que F C E y la última expresión en­tre paréntesis podrían ser completamente formalizadas.

No hay que discutir la existencia o la no existencia de un conjunto infinito en nom­bre de la intuición que se tuviera de él. En la teoría clásica de conjuntos, la existen­cia de conjuntos infinitos es aceptada en axiomas; un axioma entre los demás que supondremos bien elegidos, de manera tal que ese axioma del infinito pueda ser colo­cado en último término.

Esto supuesto, y colocándonos en el mar­co de la matemática habitual, construire­mos un modelo [M] que responda a las tres condiciones siguientes: [MI], sus obje­tos y sus símbolos serán tomados de la matemática habitual y, por tanto, estarán sometidos, para nosotros, a la jurisdicción de las reglas de tratamiento que nos son familiares; [M 2] no obstante, en el inte­rior del modelo [Mj, esos objetos y esos

son

1?

Inclusión y conjunto de las partes: Pordefinición:

[77? Cn^(V a* (x G tu => x & n))]Tomemos [5 = -{0,2}-]; las partes de [5]

son 0, 2o, 22, 22 + 2o; el conjunto de las partes [5] se escribe, pues, [P 5 = = -jO, 1, 4, 5\], es decir, P 5 = 2° + 21 + + 24 + 25 = 51. Fácilmente, se ve que siem­pre existe el conjunto de partes.

Par. Para definir un par, adoptamos la definición corriente:

[6 £ a].Estos dos ejemplos bastan para mostrar

que la construcción del modelo [M] es de­licada, lo que la riqueza y la complejidad de la teoría de conjuntos dejaba prever Emplearemos el siguiente resultado: "todo natural diferente de cero admite un desarro­llo diádico único"; dicho de otra manera, a todo natural ?? corresponde una única serie finita de naturales, p, q, r,..., tales que se puede escribir:

(*,</) = ^ *\t -U-, y} }■Agreguemos todavía una observación

sobre el reemplazo eventual de una axioma único tal como (V x, x = x) por una serie infinita de axiomas. En toda construcción ló-

w, distintos, que contiene la propiedad fundamental de!v par?i = 2p + 2q 4- 2r + ... + 2*® (*, !/) = tj1)

18 719

ff i?n¡i■

!o bien x = y y entonces x =x? = {/ = {/' o bien x r|= 1/ y entonces .t = x‘ e y = y' Distingamos los dos casos:

1? Si x = í/, (.t, s) = -{]x 1-, *¡ \x, x 1 }■

Sea, por ejemplo:

17 = -{(1,0), (2, 3)9 u^o) = ]n¡( ii,o^¡-=

= *¡2,3^ = 12][(2,3) = «¡m, ] 2, 3 |- [■ =

= ]4, 12}- = 2* + 2»-= 4112]

Por consiguiente [/ = 2‘2 + 2,u2] es la aplicación considerada y definida en el mo­delo por la terna:

[m, n,/]=(6, ll#2,s + 2‘>12)]

CONCLUSION.

La verificación de todos los resultados clá­sicos de la teoría de conjuntos se podría proseguir de la misma manera. Sin embar­go, sabemos que el desarrollo diádico del natural n distinto de cero comporta un nú­mero finito de potencias de 2 (cuyos expo­nentes son, por otra parte, estrictamente inferiores a n). De ello resulta que en el modele, un objeto [n] no tiene por ele­mentos más que un número finito de objetos [/;, q, ..., ti?].

Dicho de otra manera, desde el exterior del modelo, verificamos que en [M] no exis­te ningún objeto infinito; pero, en el seno del mismo modelo, no demostramos nada de eso.

En efecto, el caso contrario, sería a partir sólo de los axiomas precedentes (que hemos verificado, o que suponemos haber­lo hecho); ahora bien; esos axiomas son los mismos que en la teoría clásica de con­juntos ¡en la cual no se muestra la no existencia de conjuntos infinitos} Vemos por ello que no se puede ciertamente, a partir de los axiomas usuales de la teo­ría de conjuntos sin axioma del infinito, probar le existencia de un conjunto infi­nite, sin lo que se lo probaría en el seno de [M] puesto que los axiomas son los mismos; por tanto, a fortiori, se habría probado para [M] por el exterior; ahora bien, para [M], probamos por el exterior que no hay conjunto infinito.

Se sabe también que en la teoría de con­juntos (con infinito o sin él), no existe con­junto de todos los objetos. Aquí, un con­junto de todos los objetos "sería" el mismo IN, pero IN no es un objeto de TAA].

De modo que la construcción del modelo rÁA] adquiere su significación: poner en evi­dencia para nosotros en nuestra matemática habitual, el carácter del axioma del infi­nito.

tría.

!r

\x}, !*)■}•

Euclidiana\x}}:<y por tanto (x, x \ — 1 x', x'}*— x — x

2? Si x -\z y, (x, y) = y')^ \xK \x,y} = -¡U-'f, i* t/n

y la última igualdad implica:O bien \ x \ = -{x1} sea x = x? y por consiguiente ] x\ y }■ = -j-V, H'\ Por tanto y = y\ puesto que sabemos ya

que x = x\O bien \x} = ix', y'}, lo que implica

x = y1 —X, e implicaría una contradicción con x zz y, aquí supuesta.

Mostraremos, en un ejemplo, que sabría­mos calcular fácilmente una cupla en [M]. Sea [(3, 5)]; en efecto: [{3} = 8| y [ -j c,5f- = 8 + 32 = 40 i ]; por consi­guiente:

f(3, 5) = ] 8, 40 I- = 2S + 2‘° == 1 050 935 628 032]

Producto cortesiano. Nos contentaremos con verificar, en un ejemplo, que sabemos definir un producto tal:

[2X3 = -¡(.v, y) x 6 2 e y 6 3[] Sabemos que: [2 = -j 1 3 = f 0,1 [ ]Los pares de [2X3] son:

Í(1,0) = -M 1 M 1,0 I j- = 1 2,3} = 12][d,d = }in, n,u}-= -¡n^ = 4]

(Bélgica) W. SESVAIS¡

VI. ORDEN LINEAL6.1. Sobre un par -j a,b f, hay dos órde­

nes totales estrictos ] (a,b) l, -j (b,a)En un conjunto de tres elementos o más,

se pueden definir más de dos órdenes tota­les estrictos.

Cuando se recorre una recta en un sen­tido, se la provee de un orden total natu­ral. Esta observación conduce a admitir el axiomaO/ Tocia recto está provista ele dos órde­nes totales recíprocos.

Estados dos órdenes, llamados naturales, están dados desde que se da la recta.

Cada uno de ellos determina su recí­proco.

A partir de este axioma, se definen: recta orientada, semirrecta abierta o cerrada, in­tervalo abierto, cerrado (segmento), semi- abierto, contorno poligonal, parte convexa del plano, envolvente convexa de una parte, con aplicaciones a los polígonos elemen­tales.

6.2 El vínculo entre los dos órdenes naturales de una recta y los dos órdenes naturales de otra, está asegurado por el axioma02. Una proyección paralela de una recta sobre otra transfiere un orden natural ele la primera sobre un orden natural de la segunda o, toda proyección paralela ele una recta orientada sobre otra, es una fun­ción creciente o decreciente.

Cada uno de los dos órdenes naturales de una recta es isomorfo a uno de los dos órdenes naturales de otra recta.

Los axiomas Ot y Oo se verifican en el modelo de 4 elementos.

Sea una recta A en la cual a < b < cSi d no pertenece a A, las proyecciones

sobre A del par (Z?, el) según las direccio­nes de las rectas ad y cd dan los pares (bj a) y (b, c) que pertenecen, respecti­vamente, a los dos órdenes naturales de A. Por consiguiente, por composición de pro­yecciones paralelas, se puede aplicar obje­tivamente una recta sobre sí misma, de suerte que la imagen de un orden natural sea el orden recíproco.

Los dos órdenes naturales de una recta son isomorfos.

6.3 O.i. Si se considera la proyección de una recta orientada sobre una recta pa­ralela,, el orden obtenido sobre ésta es el mismo cualquiera sea la dirección de pro­yección.

Este axioma, verificado en la figura, no es válido en el modelo de 4 elementos.

Aporta algo nuevo.

»

Por consiguiente:[2 X 3 = {4, 12}-= 4112]

Es fácil verificar aquí que [2X3 =!= 3X2]; en efecto, de la misma manera que más arri­ba se hallaría:[3X2 = *¡(0,1), (1,1)}- = -i 10,4 \ z=z 1040

A título de ejercicio, nos proponemos ve­rificar que:

[(2X3)X4 = -¡21C + 22°, 2,09C + 2n00¡- [2X(3X4) = -¡22 + 21S, 22 + 2|00S}-]

Se definen rectas orientadas x^aralelas, del mismo sentido o de sentido contrario.

A partir del axioma 03, es fácil estable­cer que en toda recta hay infinitos puntos.

En la recta, por lo menos hay dos puntos distintos, a y b (A3). Además, por lo me­nos existe un punto u exterior a la recta ab (A«). Se construye el punto v tal que uv ¡| ab y bv || au.

Basta construir una sucesión de proyec­ciones paralelas, como se indica en la fi­gura.

y por consiguiente:[(2X3)X4 =!= 2X(3X4)]

Aplicación. Aquí, también, nos contenta­remos con mostrar con un ejemplo como definiremos una aplicación. Calcularemos para ello una terna: el objeto de partida, cqüí [m] sea, por ejemplo, [6=-{l, 2\], el objeto de llegada, aquí [n] sea, por ejem­plo. 111] = ] 0, 1,3}-], y el objeto-grafo, aquí [fj, construir a partir de los pares cuyo primer objeto descrito es [ni] y tomando e.l segundo en [ni.

V> •

20 *

r,.rv . _ 'W / -I

Los pares equipolentes a (a, a!) deter­minan el vector de la traslación.

6.3. Cuando se compone un par de traslaciones, se obtiene una traslación cuyo vector es, por delinición, la suma de los vectores de las traslaciones dadas.

Cuando ab es proyectante, los puntos d y b\ c y el' se contunden y subsiste la equi­polencia anterior.

Ei punto mecho de un segmento se pro­yecta en el punto medio de la proyección de dicho segmento.

Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. Una proyección paralela del plano sobre una recta trans- lorma un vector del plano en un vector de la recta.

La suma de dos vectores tiene por por- yección la suma de sus proyecciones sobre ia recta.

Por proyección paralela se construye la mitad, la enésima parte de un segmento.

6.Ü. Una dilatación transforma dos pa­res equipolentes en pares equipolentes, puesto que un paralelogramo tiene por imagen otro paralelogramo.

Una dilatación transforma un vector en otro vector, y la suma de un par de vecto­res en la suma de sus imágenes..

El grupo de las traslaciones se transforma en sí mismo mediante toda dilatación.

8.7. Si una dilatación intercambia dos puntos, intercambia los puntos de a pares y transforma un vector en el vector opues­to. Por definición, es una simetría central.Su centro es el punto medio de los seg­mentos que unen los puntos con sus imá­genes respectivas. El conjunto de las traslaciones y las simetrías centrales es un grupo para la composición.

Se reconoce sin esfuerzo que, en una dilatación que no es idéntica, todas las trazas son, o bien paralelas, o bien con­currentes en un mismo punto c.

En el primer caso, la dilatación es, por definición, una traslación; en el segundo,

homotecia de centro c.La transformación idéntica es considera­

da como traslación: toda recta es una traza paralela a sí misma; y como homotecia: todo punto del plano es intersección de trazas.

7.6. El conjunto de homotecias que admiten un mismo punto como centro, es

grupo para la composición.7.7. Es fácil ver que si la compuesta

de dos traslaciones tiene im punto fijo a, también tiene otro b (Basta tomar b exte­rior a la traza de a). Es, por tanto, la trans­formación idéntica.

Por consiguiente, la compuesta de dos traslaciones es una traslación. El conjunto de las traslaciones del plano es un grupo para la composición.

VIII. GRUPO DE LOS VECTORES

5.1. Una parte A del plano es equi­polente a otra B, si hay una traslación que transforma A en B.

Como las traslaciones constituyen un grupo, la equipolencia es una relación de equivalencia: la designaremos con t.

5.2. Una traslación transforma un par de puntos (a. b) en otro par (a\ b’) equi­polente: (a, b) ? (a’, b'). La clase de los pares equipolentes al par (a\ b'), es, por

»+definición, un vector, el vector ab.

En toda traslación, los pares determina­dos por los puntos y sus imágenes respec­tivas, son todos equipolentes.

Si a < b en el orden elegido en la recta ab, se tiene, sucesivamente b < c, c < r/, ..., de modo que los dos puntos de la sucesión a < Z> < c < d < ... no pue­den coincidir.

;i,

Se tiene, evidentemente: ac = ab + be La notación vectorial

VII. GRUPO DE LAS DILATACIONES una2 es, pues, una ma­

nera ele x^resentar las traslaciones; la posición de las mismas corresponde a la adición vectorial.

El conjunto de los vectores, dotado de la adición, es un grupo isomorfo al grupo de las traslaciones.

Los dos grupos son conmutativos.Se consideran, luego, los subgrupos en­

gendrados por uno o por un par de. vec­tores.

7.1. Sobre la base de situaciones con­cretas: sombras chinescas, ampliaciones fo- togr á f i c a s, proyección cinematográfica, traslación de una puerta corrediza, los alumnos son inducidos a considerar las di­lataciones.

Definición: una dilatación es una biyec- ción del plano en la que la imagen de una recta es otra recta paralela.

La Inyección idéntica es una dilatación.7.2. Por construcción, de rectas para­

lelas, se establece que una dilatación está determinada cuando se conocen dos pun­tos y sus imágenes. Una dilatación que tie­ne dos puntos fijos es la transformación idéntica.

com-

j

un

8.4. Hay una sola traslación que lleva un punto fijo o del plano a un punto o dado.

Por definición, la suma de dos puntos, a y b, es el punto c tal que

oc = oa + abEl plano con origen, dotado de una

adición, es un grupo conmutativo isomorfo al grupo de las traslaciones o al de los vectores.

Se estudian los subgrupos engendrados por un punto o por un par de puntos.

b

- ---------- <Ca IX. SIMETRIA AXIAL Y GRUPO AFIN

7.3. Admitimos un solo axioma de exis­tencia.

D. Hay, por lo menos, una dilatación en la cual dos puntos dados, a y b, tienen por imagen clos puntos distintos dados, a y b\ pertenecientes a una recta paralela a la recta ab.

De 7.2 se deduce que esta dilatación es única.

7.4. Es evidente que el conjunto de las dilataciones del plano, dotado de la com­posición, es un grupo.

En efecto, las biyecciones del plano for­man grupo y el paralelismo es una relación de equivalencia.

7.5. En una dilatación, la recta que une un punto con su imagen es invariante; se la denomina traza de la dilatación.

Dos dilataciones recíprocas tienen la mis­ma traza.

9.1. La simetría que tiene por eje una recta A y la dirección de D (secante de A) es la biyección del xplano en la cual un punto x y su imagen x pertenecen a una recta de dirección, D, siendo m punto me­dio de [x x] un punto de A.

'ir-’-V-6OL9 C*C

acu8.5. En una proyección paralela sobre

una recta, dos pares equipolentes tienen por imágenes pares equipolentes.

En efecto, si (a, b) T (c, el), la traslación

ac transforma b en el.Esta traslación da por imágenes de a y

¡y los puntos e y f de las rectas cc y eld\ Se tiene \a by) T (ef) y los x>untos e y f

están sobre una paralela a ceV.Por tanto: (e,J) t (c, el’).De donde, por transítividad: (a\ b’) T

{c\eV).

tíb 5

En efecto, en los paralelogramos se tiene; (a, a ) t (b, by) (b, b') || (c, c )De donde, j>or transí tividad (a, a ) t (b, b’)

i

>>22

íLos puntos de A son fijos; las rectas de

la misma dirección que D, se confunden con sus imágenes.

En una simetría axial, la imagen de recta es otra recta. La proposición es evi­dente cuando la recta xy es paralela al eje A, pues la imagen de xy se obtiene me­

diante la traslación de vector 2 xm.Cuando xy corta a A en C, sea ij el si­

métrico de y; la homotecia de centro c que transforma x en y, da como imagen de x’ al punto y' tal que la recta yy” es paralela a xx* y que el punto medio de m de [xx’\ tiene por imagen el punto medio n de [{///’] ubicado en la recta A.

Por consiguiente, [/” = y\ y la imagen de la recta xy es la recta xy.

9.2. Por composición de dilataciones y de simetrías sucesivas, se engendran las trasformaciones afines, que constituyen un grupo.

La compuesta de un par de simetrías que tienen ejes paralelos y la misma di­rección, es una traslación.

La compuesta de un par de simetrías que tienen ejes secantes, cada uno de los cuales pertenece a la dirección de la otra simetría, es la simetría que tiene por cen­tro el punto de intersección de los ejes (Simetrías axiales conjugadas).X. GRADUACION DE LA RECTA

10.1. Una recta D, dotada de un ori­gen o y de la adición de puntos, es un grupo (Do, +). Este grupo es conmutativo.

Además, si la recta está orientada, se puede ordenar el grupo.

10.2. En el grupo (D0, +), considere­mos el subgrupo engendrado por un punto u. distinto del origen o.

Este subgrupo es una graduación de la recta designada (Dou, +).

Basta destacar que una dilatación trans­forma a dos pares equipolentes en pares equipolentes, y a una recta orientada en otra recta orientada.

segmento, se divide a este último en dos segmentos equipolentes, y se considera el segmento al que pertenece x.

Se lo divide en dos segmentos equipo­lentes, y así sucesivamente.

Un binario limitado permite anotar este programa de ©iteraciones geométricas has­ta un momento dado. Se admite que se pueda continuar indefinidamente; se ob­tiene así un binario ilimitado.

Un punto de una de las divisiones suce­sivas origina dos desarrollos binarios; los otros puntos, uno solo.

Recíprocamente, un dado a priori, determina un programa de subdivisiones y de sucesivas elecciones de segmentos encajados.

El grupo de vectores del plano, dotado de esta multiplicación por los números rea­les, se convierte en un espacio vectorial real de dos dimensiones, isomorfo con res­pecto al espacio vectorial del plano.

12.2. La construcción anterior edifica simultáneamente Ja geometría afín del pla­no, el cuerpo de Jos números reales y el espacio vectorial real de dos dimensiones. Introduce progresivamente los axiomas, mostrando con modelos que aportan una información nueva y deduciendo las con­secuencias importantes de cada aporte.

El camino geométrico seguido hace in­tervenir desde el principio transformacio­nes del plano y los grupos que eventual­mente constituyen.

Son las propiedades de los grupos de traslaciones y de homotecias los que sirven de sostén intuitivo y lógico a la presen­tación del cuerpo de los números reles.

una

XI. CUERPO DE LOS NUMEROS REALES

11.1 La adición y la multiplicación do números binarios se definen a partir de la composición de las traslaciones y de las homotecias.

La adición de puntos en (Dou, -b) ser­virá para definir la adición de sus abscisas, la suma de éslas es, por definición, la absci­sa de la suma de los puntos. Se sigue que el conjunto de las abscisas es un grupo imitativo para la adición.

Por definición, la compuesta de un par de homotecias. tendrá por razón el producto de sus razones (en el orden de compo­sición).

El conjunto de las abscisas no nulas es un grupo para la multiplicación. Se deter­mina que es conmutativo.

11.2. Finalmente, puesto que toda ho­motecia, comprendida la nula, transforma la suma de un par de vectores en la suma de sus imágenes, la multiplicación de las abscisas es distributiva con respecto a su suma.

El conjunto de las abscisas de los puntos de una recta graduada cualquiera, dotado de la adición y de la multiplicación, es un cuerpo independiente de la recta elegida, denominado cuerpo de los números reales.

XII. EL ESPACIO VECTORIALREAL PLANO12.1. En el plano, dotado de origen o,

eí producto de un punto a por un número oc es el punto b, imagen de a en la homo­tecia de razón ocy centro o.

El grupo de los puntos del plano con origen, dotado de la multiplicación por los números reales, es un espacio vectorial.

Si se opera con respecto a otro origeno y si se tiene oa = ó’d, la imagen b* de a, en la homotecia de centro o* y razón oc estal que ob = ob*.

El vector ob obtenido se denomina pro­

ducto de lvector oa por el número <*. Se■4

escribo ob —

binario ilimitado,

con-

C. Axioma de continuidad.

La intersección de los segmentos encaja­dos obtenidos por las sucesivas divisiones en dos segmentos equipolentes, continua­das indefinidamente, comprende un solo punto.

Se considera que dos binarios ilimitados que determinan el mismo punto x de ou, son iguales.

Se les denomina abscisa del punto x con respecto al origen o y al punto unitario u.

10.5. Por proyección paralela, una gra­duación de una recta tiene por imagen una graduación de la recta sobre la cual se proyecta.

Con respecto a esa graduaciones, un pun­to y su imagen tienen la misma abscisa (Teorema de Tales).

10.6. En una homotecia de centro o, dos puntos distintos de o, tq y u. son imá­genes de Xy y x . que tienen la misma abscisa en las gradaciones determinadas por o y m,, o y u¿.

Esta abscisa común es la razón de la homotecia.

Para que a todo número binario corres­ponda una homotecia de centro o, se deberá admitir que el binario nulo 0,000... es la razón de la homotecia degenerada cons­tante que aplica todo punto del plano sobre el centro o.

10.7. En una homotecia no constante c una traslación, una graduación de una recta tiene por imagen una graduación de

'la recta tginsfo'P'ada.Con respecto a esas graduaciones, un

punto y su imagen tienen la misma abscisa.

XIII. PERPENDICULARIDAD

13.1. La geometría métrica se cons­truye en el seno de la geometría afín, ya formulada, mediante la noción de perpen­dicularidad de dos direcciones.

La consideración de cuadriculados con­duce a admitir los siguientes axiomas:

Pi. En el conjunto de direcciones del plano, hay una relación simétrica: la per­pendicularidad.

Po. Toda dirección dada del plano tiene una sola dirección que le es perpendicular.

P3. Dos direcciones perpendiculares cua­lesquiera son distintas (antirreflexiüidad).

13.2. Dos rectas son perpendiculares si pertenecen, respectivamente, a dos di­recciones perpendiculares.

De los axiomas se deduce:Dos rectas perpendiculares son secantes.Por todo punto dado, hay una perpen­

dicular a una recta dada y sólo una.

i

u3ü0lu

Se admite el axioma de Arquí- XIV. SIMETRIAS AXIALES ORTOGONALES

10.3. me des:

Arq. Para todo punto x de la recta ou, existe un número entero n tal que

a:6]n«*, (n + 1) u]o también, el conjunto de los intervalos ]nu, (n f 1) u], para n&Z es una partición de la recta ou.

10.4.

14.1. Una simetría de eje A se dice ortogonal si su dirección es perpendicular al eje A. Tal simetría está dada por su eje.

Aplicando las propiedades de la simetría afín (9.1) a la simetría axial ortogonal, se tiene:

Una simetría axial ortogonal transforma una recta en otra recta.

Dado un punto x de ou, hay un segmento [nu, (n + 1) u] que lo contiene.

Para precisar la posición de x sobre ese cc, oa.

24 25

1 i*-'

i: ¡

simetría axial ortogonal o la composición de una sucesión de un número impar de simetrías ortogonales.

Se demuestran las siguientes pro­

no es una

Fácilmente se establece la conmu tatu- ridad considerando simetrías axiales orto­gonales.

Las rotaciones del mismo centro consti­tuyen un grupo conmutativo.

La inversa de un movimiento es un mo­vimiento.

La composición de un par de movimien­tos es un movimiento.

El conjunto de movimientos es un grupo para la composición.

15.3. Es evidente que la transforma­ción idéntica deja fija a toda semirrecta.

Experimentando con un calco, hallamos que es el único movimiento que tiene esa propiedad.

Admitimos el axioma:I. El único movimiento que (Jeja invariante una semirrecta dada en el plano es la trans­formación idéntica.

De este axioma resulta que hay un solo movimiento que transforma una semirrecta dada [ax en otra semirrecta dada [by.

En efecto, si [ax = [by, la propiedad es verdadera en virtud de I. Si no, sea 5 un movimiento que lleva [ax sobre [by.

Si 5* es un movimieto que opera del mis­mo modo, el movimiento S-1 o 8’ deja in­variante a la recta [ax.

Se tiene, pues: 5-1 o 5’ = 1 de dondeDe esto se deduce que todo movimiento

es una traslación o una rotación, y que una rotación está determinada por una semirrec­ta que parte de su centro y la imagen de dicha semirrecta.

La composición de dos rotaciones del mismo centro es otra rotación del mismo centro.

Las rotaciones del mismo centro consti­tuyen un grupo.

Ningún movimiento puede ser una si­metría axial ortogonal.

En efecto, una simetría tal tiene una recta fija, y la sola traslación o rotación que tiene por lo menos una recta fija, es la trasformación idéntica.

La compuesta de un par de simetrías ortogonales de ejes paralelos es una tras­lación, que es idéntica si los ejes son iguales.

La compuesta de dos simetrías axiales ortogonales cuyos ejes son perpendiculares es la simetría cuyo centro es el punto de intersección de los ejes (son simetrías axia­les conjugadas). Para todo par de puntos, sólo hay una simetría axial ortogonal que los intercambia.

14.2. Pegando una hoja de papel se­gún una recta que pasa por el origen co­mún a dos semirrectas, se las puede hacer coincidir.

Admitimos el axioma:B. Hay una simetría axial ortogonal que

intercambia dos semirrectas de origen co­mún.

Basta postular la existencia; más adelan­te, en 16.2 se establecerá la unicidad.

16.2. piedades:

Un movimiento inverso que simetría axial ortogonal es la compuesta de una simetría tal con una rotación traslación.

XVII. ISOMETRIASo una

17.1 Una isometría es un movimiento o un retorno.

El conjunto de las isometrías es un grupo para la composición.

Los movimientos constituyen en ellas un semigrupo.

Un conjunto E se dice isométrico con respecto a un conjunto E’ si hay una homo- tecia que transforma E en E\

La relación de isometría es una equiva­lencia.

17.2. La clase de equivalencia de los segmentos isométricos a un segmento dado, es la longitud de los mismos.

Dado un segmento [ab] y una semirrecta fox*, hay un solo movimiento 5 que lleva la semirrecta [ab sobre la [ox.

Hay también un solo movimiento inverso SI que transforma [ab en [ox*. Como SI es el compuesto de 8 por la simetría or­togonal de eje [ox, en las dos isometrías 8 y O el punto b tiene la misma imagen c sobre la semirrecta [ox.

De donde, dados un segmento [ab] y una semirrecta [o.r, existe un punto c y sólo uno de [ox tal que [oc] sea un isométrico con [ab].

A partir de la relación de las longitudes, se define su suma, cuyas propiedades se siguen de la traslación de los pares sobre la recta. Si la recta está graduada, se ob­tiene la medida de una longitud como nú­mero real positivo o nulo.

De inmediato se introducen la definición de la circunstancia y sus propiedades ele­mentales con respecto a las simetrías, las rotaciones y las traslaciones.

17.3. Las clases de equivalencia de los ángulos isométricos con respecto a un án­gulo dado es la abertura de dicho ángulo. Cuando dos figuras son isométricas por movimiento, se dicen directamente isomé­tricas.

Como los movimientos forman un grupo, la isometría directa es una relación de equivalencia.

Hay un solo movimiento inverso que transforma una semirrecta dada gunda semirrecta dada.

Un movimiento inverso que admite un punto fijo por lo menos, es una simetría axial ortogonal cuyo eje pasa por ese punto fijo.

::en una se-;•

í■

En el axioma B (14.2), la simetría axial ortogonal es única. Su eje es llamado bi­sectriz del ángulo de las semirrectas.

Una simetría axial ortogonal transforma una simetría ortogonal en otra simetría or­togonal.

Por consiguiente:La simetría axial ortogonal transforma;1. La mediatriz de un segmento en la

mediatriz de la imagen de ese segmento;2. Dos rectas perpendiculares en dos

rectas perpendiculares;3. La bisectriz de un ángulo en la bi­

sectriz de la imagen.16.3. La composición de rotaciones del

mismo centro es conmutativa.Sea la rotación ct que transforma [oa en

oh, y la rotación g2 que lleva [ob a [oc.

XV. MOVIMIENTOS

15.1. La compuesta de un par de si­metrías ortogonales cuyos ejes tienen por lo menos un punto común es, por defini­ción, una rotación.

Un punto común a los dos ejes es fijo; se lo llama centro de la rotación.

Si hay un segundo punto fijo, la rotación •es la transformación idéntica.

Una simetría central es una rotación.Dado un par de semirrectas [ax* [by, se

puede hallar una compuesta de simetrías axiales y ortogonales que transforma [ax en [by.

Hay, pues, una traslación o una rotación que transforma una semirrecta dada en otra semirrecta dada.

15.2. Se construyen las imágenes de un dado conjunto de puntos por composi- ciones de simetrías axiales ortogonales. Deslizando sobre el plano un calco del conjunto inicial, se halla que se lo puede hacer coincidir con cada imagen obtenida por la composición de un número par de simetrías. Esta experiencia nos conduce a Ja definición.

Un movimiento es la composición de una sucesión de simetrías axiales ortogonales en número par.

Por consiguiente:La transformación idéntica es un movi­

miento.Las traslaciones y rotaciones son movi­

mientos.

8’=8j

: a

3

XVI. MOVIMIENTOS INVERSOS

Si se designa por 8i, 82, 83 las simetrías ortogonales que tienen, respectivamente por eje la bisectriz del ángulo < aob,

50 — obla bisectriz S3 del ángulo < boc se tienen

51 — §2 0 8i e>2 := §3 0 5s52 0 Si = Sn ° Su Su 0 Si = Su 0 Si

16.1. Cuando un conjunto de puntos no alineados E se transforma en el con­junto E' por una simetría otorgonal, el calco de E no puede ser llevado a coincidir con E’ más que haciéndolo volver sobre el plano. I.o mismo ocurre cuando se obtiene E’ a partir de E mediante un número impar de simetrías axiales ortogonales.

Esta experiencia nos conduce a la defi­nición:

Un movimiento inverso del plano es una

yiDe donde:'

.

2(726

!

4 í

■

-los ángulos orientados de las rotaciones dadas.

El conjunto de los ángulos orientados, dotados de la adición, es un grupo conmu­tativo isomorfo con el grupo de rotaciones del mismo centro arbitrario.

XVIII. GRUPO DE LOS ANGULOS ORIENTADOS

I Democracia y estadística18.1. Sea una rotación ü en la que loa y [ob tienen por imágenes a [od y I ob\ respectivamente.

■ioiiPor definición, los pares ([oa, [ob) y

([oa\ [ob’) son directamente isométricos.

Demostraremos que ocurre lo mismo con los pares ([oa, [od) y[ob, [ob’) (i)

i J. R. PASCUA!, IBARRA (España)

XIX.

tiEste primer estudio de la geometría eu- clidiana se completa con la introducción del producto escalar y del grupo de las semejanzas engendrado por las isometrías y las homotecias.

Esta modesta exposición sólo pretende ejemplo de presentación heurís­

tica de una de las cuestiones que los pro­fesores consideran como una de las más áridas en el tratamiento didáctico. Se tra­ta de la introducción de las nociones de es­tadística que figuran en los programas del quinto año del bachillerato español. No se encontrará, pues, novedad en el con­tenido ni aún en los métodos de enseñanza. No se trata más que de una experiencia hecha en clase, de un ejemplo de la ñera de guiar al alumno en el proceso de aprendizaje. Igualmente, se ha tenido en cuenta el principio general según el cual, en ese nivel, la enseñanza debe, superar el estrecho marco de la materia enseñada no para asegurar al alumno una forma­ción especializada sino más bien una for­mación. general.

liemos realizado esta experiencia el año ¿jasado siguiendo una idea del profesor Kendall y sacando provecho, por una vez, de hecho de disponer de una clase nu­merosa (50 alumnos).

Los muchachos estaban habituados a realizar en clase mediciones directas con motivo de los trabajos prácticos. En esta oportunidad, teníamos necesidad de cono­cer la medida en centímetros de la lon­gitud del p.zarrón, pero el metro que usá­bamos habitualmente para esos trabajos había sido voluntariamente “extraviado”. ¿Qué hacer? Frente a esta situación, los alumnos sugirieron el uso de una medida estimada “a vuelo de pájaro”. Entonces, el profesor les propuso votar ñor la me­jor elección de esa medida. El voto sería libro, vale decir, cada alumno emitiría li­bremente su sufragio, sin dejarse influir por la opinión de otros camaradas. Para ello, a partir de ese momento, estaba prohibida la comunicación entre ellos. Se les aconsejó únicamente actuar por com­paración con otras medidas ya conocidas

por ejercicios anteriores. Cada uno ano­tará su parecer en un papel.

Cuando los votos han sido recogidos, tenemos un colectivo, es decir un conjunto de valores numéricos. En ese momento es necesario el escrutinio que, en nuestro caso, llamaremos inventario de los datos obtenidos. Se encargan dos alumnos de ese trabajo, y se llega, luego de una ordena­ción conveniente, a preparar el siguiente cuadro, que llamaremos distribución esta­dística. El número de votos obtenidos por cada valor de la variable estadística, es su frecuencia

ij1

ser unb

<¿

XX. CONCLUSIONcvo10

La presentación dada de la geometría requiere 16 axiomas introducidos progresi­vamente con una base intuitiva.

Se logra así una elaboración genética que familiariza al alumno poco a poco con el contenido de cada grupo de axiomas y su alcance.

Variadas interpretaciones subrayan la in­dependencia de los axiomas.

Las dilataciones, los vectores y los nú­meros reales son vistos en estrecha vincu­lación, antes que las nociones métricas de longitud y de ángulos.

Los grupos de transformaciones intervie­nen constantemente como herramientas de construcción. Las equivalencias correspon­dientes a los distintos grupos, sirven para definir las nociones geométricas fundamen­tales: vectores, longitudes, ángulos orien­tados, como clases de equivalencia.

Un estudio semejante, con variaciones, se hace en los tres primeros años de la en­señanza secundaria, con alumnos de 12 a 15 años.

Ellos disponen, así, en los umbrales del ciclo superior, de todo el equipo de nocio­nes que vuelve natural la exposición hecha por el camino real, más abstracto, basado en los axiomas del cuerpo de los reales, del espacio vectorial real y del espacio vec­torial euclidiano. Estos axiomas pueden, pues, ser propuestos sin riesgos a mentes preparadas para comprenderlos y estimar toda la economía racional que implica su empleo.

Sea Q’ la rotación que transforma [od •en [ob.

La semirrecta [oa es transformada en [o/; por la rotación Q o ¿P

Por la conmutatividad

n o fi = fi o n’

ma-

!

f:EscrutinioXl

1,30 II 241,32 I 1

La rotación que transforma [oa en [ob lleva a [oa’ sobre [ob\

Por tanto, los pares '(1) son directamente isométricos.

La clase de pares directamente isomé­tricos con un par ([oa, [o, b) se llama án­gulo orientado de esos pares; lo designa­remos

1,35 III 31,38 II 2l ' 1,40 1III 4•*-1,42 mí 41,43 III 31,45 IIIII 5i

1,48 II 21,50 III 3

i; III1,52 3• ,1,53 lili 4([oa, [ob) muí

imiii1,54 61,55 7En una rotación, se tiene, pues

([o a, [oa) = ([ob, (c/tí)

Las semirrecta con origen en el centro y sus respectivas imágenes, determinan el mismo ángulo orientado, llamado ángulo de la rotación.

18.2. Se demuestra que dos rotaciones de igual ángulo orientado y de centros o

—>■

y o son transformadas por la traslación oo.

A la compuesta de un par de rotaciones, .corresponde un ángulo orientado indepen­diente del centro de rotación. Por defini­ción, este ángulo orientado es la suma de

I1,60 1

50

¿Qué valor adoptaremos como más pro­bable después de los resultados de nues­tra elección?

Si tuviéramos en cuenta al que ha te­nido el mayor número de votos, debería­mos elegir 1,55 que obtuvo 7, pero súbi­tamente se oye la protesta de la clase que se apoya en el hecho de que la cantidad de votos diferentes de esa medida es mu­cho mayor y también en que ese valor parece demasiado grande a la mayoría de

!

¡

)2928

1comprenden que apartándose en un sentido, cumplen de cierta Ja misión de evitar que la ax>reciación se desvíe, en sentido contrario. Todos desem­peñan su papel en la vida en sociedad.

Si no poaemos emplear la media de las discrepancias ¿cómo podremos apreciar el

ce la clase. Es necesa-

con exceso maneraen el tiro al blanco, la destreza, el grado

de precisión será tanto mayor cuando se concentran los datos del colectivo alrede­dor de la mira, es decir, del valor medio Obtenido o, lo que resulta lo mismo, cuan­do la dispersión sea más pequeña.

Una primera medida de esta dispersión nos da la diferencia entre los dos valores extremos, es decir, 1,60 — 1,30 = 0,30 m, diferencia llamada extensión, pero, resulta claro que esta medida no es muy precisa, porque considera sólo dos valores particu­lares y no tiene en cuenta a los demás.

Por analogía con el cálculo de la media, que ha permitido elegir el valor central 1,47, los alumnos pregonen calcular la me­dia de todas las discrepancias. He aquí el cálculo.

4,0531,35los alumnos Incluso, algunos de ellos que lo han dado, ahora la encuentran, vista la opinión general, equivocada. A ese valor particular de la variable estadística que corresponde a la mayor frecuencia, le da­remos el nombre de modo o dominante de la distribución, pues es, diremos, “el que se produce más”. Pero, en nuestro caso, —los modos no son siempre perfectos- puede representar a la colectividad, por­que en buena democracia, “es necesario respetar el derecho de las minorías”

Eos alumnos proponen, entonces, ele­gir un valor más central. Pero, ¿cuál? El que está situado en el punto medio de la distribución, es decir, el valor 1,45, que deja 7 valores debajo de él y justamente el mismo número encima. Este valor valor central con respecto a los datos, pero ¿lo es también con respecto a los votos? No, debemos subrayar que el dato 1,54 fi­gura con frecuencia 6, en tanto que 1,32 sólo ha sido elegido por un alumno. En­tonces, será necesario encontrar el valor que deja el mismo número, no de simples datos, sino de frecuencia a ambos lados. Este valor central es 1,48 y por ese motivo lo llamaremos mediana, de la distribución. Su frecuencia en la distribución es de dos, y con respecto a él, 24 alumnos han elegi­do valores inferiores y otros 24, valores sux>eriores. De ese modo se ha respetado el derecho de las minorías, pues, eviden­temente, este valor o “mediana” permane­cerá inalterable si, por ejemplo, cambiá­ramos las frecuencias entre sí de 1,45 (cin­co) y de 1,30 (dos) o si efectuáramos otros cambios más importantes, conveniente­mente elegidos.

2,7621,385,6041,405,6841,424,2931,437,25í,45 52,9621,48 graao ue precisión

eliminar los signos negativos y para ello, ios alumnos proponen considerar sólo los vaiores aosolutos üe las discrepancias, la discrepancia media. Pero, en la práctica se pretiere hallar la media de los cuadra­dos de las discrepancias, llamada varianza de la distribución y extraer enseguida la raíz cuadrada de la varianza, que se deno­mina discrepancias-tipo o patrón y signa con la letra £, que nos da la medida de la dispersión de la distribución. Calcu­lémosla:

4,5031,504,56 no31,52no6,1241,539,2461,54

10,8571,551,6011,60

73,3850se de-73,38

- = 1,4676_^_ 1,47 mes un50

A xLfXifi AÍ!f:X|Ahora se acepta, y ya x>or unanimidad,

este valor como la medida más probable de la longitud del pizarrón. En efecto, el metro x>erdido reaparece ahora, y se veri­fica que la medición directa nos da el mismo resultado, lo que j)rovoca gran ale­gría en el espíritu de los muchachos.

Es curioso observar en la distribución lograda por los alumnos como se intro­duce, como sin quererlo, factores subjeti­vos ajenos a la experiencia realizada, lo que es frecuente en la vida cotidiana. Aquí, por ejemx>lo, las medidas redondas, que ter­minan en cero o en cinco, son relativa mente más frecuentes; existe, además, una tendencia favorable a las cifras pares; etc. Pero, felizmente, esos factores extraños no intervienen de manera susceptible de cam­biar los resultados.

Habiendo obtenido como medida correc­ta el valor 1,47, cada alumno experimenta espontáneamente la necesidad de apreciar en cuánto se ha equivocado en su evalua­ción particular. La medida unánimemente aceptada, 147, no ha sido dada por nadie. Todos se han equivocado, unos más, otros menos. Podemos calcular esos errores, que naturalmente estarán afectados por signos diferentes según el sentido del error, por defecto o por exceso. Llamaremos a esos errores discrepancias con respecto a la media. Gracias a esta discrepancia, cada alumno sabe ahora, cuál ha sido su des­treza, su grado de precisión, en la aprecia­ción que hizo,. Pero, ¿cómo medir la des­treza de la clase? Se comprende que como

Axí Ax,2 Axrfi

2.60 - 0,17 0,0289 0,0578 1,32 - 0,15 0,0225 0,0225 4,05 -0,12 0,0144 0,0108 2,76 -0,19 0,0081 0,01625.60 -0,07 0,0049 0,0196 5,68 -0,05 0,0025 0,0100 4,29 -0,04 0,0016 0,0048 7,25 - 0,02 0,0004 0,0020 2,96 +0,01 0,0001 0,0002 4,50 +0,03 0,0009 0,0027 4,56 + 0,05 0,0025 0,0075 6,12 +0,06 0,0036 0,0144 9,24 + 0,07 0,0049 0,0294

. 10,85 +0,08 0,0064 0,0448 1 1,60 +0,13 0,0169 0,0169

50 73,3S

0,2596

XifiXj fi

1,30 21,32 11,35 31,38 21,40 4I, 42 4J, 43 31,45 51,48 21,50 31.52 31.53 41.54 61.55 7

-0,17-0,15-0,12-0,09-0,07-0,05-0,04-0,02+0,01+0,03+0,05+0,06+0,07+0,08+0,13

-0,34 -0,15 -0,36 -0,18 -0,28 -0,20 -0,12 -0,10 +0,02 +0,09 +0,15 +0,24 +0,42 +0,56 + 0,13

2,6021,301,3211,32

i 4,0531,352,7621,385,6041,405,6841,424,2931,43•'i7,2551,452,9621,484,5031,50

V 4,5631,526,1241,539,2461,54

7 10,851,551,601,60 1

1,60-0,1250 73,38 0,2596

= — 0,0024 - 0Axx = —V De esto resulta, por tanto, que en nues­tro problema, la mediana representa a la colectividad mejor que el modo. Pero to­davía no nos satisface plenamente. El res­isto que debemos a todas las ooiniones emitidas, nos obliga a dar a caáa valor un peso proporcional al número de votos que ha obtenido. Ello se obtiene con la media aritmética, o simplemente la media de la distribución. Después de haber re­cordado ejemplos más evidentes, se llega al siguiente cálculo de la media.

0,12 - = 0,005192-£2 = -5050:

El cálculo nos ha dado un valor prácti­camente nulo. ¿Por qué? Nos damos cuen­ta, ahora que hemos calculado partiendo de un valor cercano a la media, que era exactamente 1,466; si hubiéramos traba­jado con ese valor, el resultado hubiera sido exactamente cero, propiedad funda­mental de la media que será preciso no olvidar. Se dan ejemplos simples de esa propiedad; tener conciencia de ello alivia un poco la decejpción de aquellos alumnos que estaban descorazonados xior la gran discrepancia de su evaluación, pues ahora

f= V 0,005192 = 0,07 m

a ¿Qué significación daremos a dida de la dispersión? Los alumnos con­sideran que Jas buenas evaluaciones tienen,

respecto a la media, una discrepancia inferior o igual a la discrepancia tipo

x — J < Xi <x + £ mientras que los valores exteriores a ese intervalo deben ser considerados erróneos.

(Sigue en la pcíg. 46)

■

esta me­

co n

1 7TF?;v'- •Xif,f.Xi

2,6021,301,321,32 1

31i •30

I:

0. Por tanto, en el universo IR:]x:x+ 1 = x \ = 0

io que significa lo mismo que:^üx + l = x

Trátase, es claro, de una condición uni­versal, equivalente a las condiciones x = x; x- ^ 0, etc. El conjunto que le correspon­de es, por tanto, el propio universo IR, esto es:IR = -jx:x + 1 > = -jx:x = x¡- = ...

De modo que: El conjunto definido por una condición universal, es el universo.

Consideremos ahora en IR la ecuación 2x -b 3 = x. Es fácil ver que existe un nu­mero real x y uno solo que verifica esta condición: el número —3. Somos así lleva­dos a escribir:

LO DIDACTICO

lógica en términos

de conjuntosAnálogamente:0 = -jx:x =•= x¡- = -jx:x- < O}- = ...De modo que: En un universo dado, a

toda condición en una variable le corres­ponde un conjunto: el conjunto de los ele­mentos que verifican esa condición. En particular las condiciones universales co­rresponden al universo y las condiciones

imposibles corresponden al conjunto vacío.Obsérvese que, recíprocamente, a todo

conjunto corresponde, por lo menos, una condición x £ A.

Conviene observar, también, que un con­junto definido por la indicación de sus ele­mentos, está, en realidad, definido por una condición disjuntiva. Por ejemplo:■¡3, 5, 9J- = -jx:x = 3 V x = 5 V x = 9}-

Observación. En el lenguaje común, el universo y el conjunto vacío, son designa­dos, respectivamente, por las palabras todo (= todas las cosas) y nada (= ninguna cosa). Pero, es claro que estas palabras tienen significado relativo, esto es, depen­diente del universo considerado. Así tam­bién, en el lenguaje matemático, el signi­ficado de “conjunto vacío” depende del universo de (pie se trata; por ejemplo, una cosa es un conjunto vacío cíe números (“ningún número”), otra un conjunto va­cío de personas (“ninguna persona” die”), etcétera.

3. Relación de inclusión.Consideremos la proposición: x es mamífero => x es vertebrado,

que se traduce en. el lenguaje común por:Todo mamífero es vertebrado.

La condición “x es mamífero” corres­ponde al can junto de los mamíferos v la condición “x es vertebrado” corresponde al conjunto de los vertebrados. Designe­mos, respectivamente, con M y V a estos dos conjuntos (que suponemos definidos). De este modo, la proposición anterior se puede escribir

x £ M => x £ VEsto es: Todo individuo que vertenezca

a A/, pertenece también a V. Este hecho se expresa diciendo que el conjunto M está contenido en el conjunto V y escribiendo:

MCV

:

J. SEBASTIAO E. SILVA (Portugal)

1. Conjuntos definidos por condiciones. Ya nos hemos ocupado de la noción de junto y vimos que sólo en casos especiales (conjuntos finitos poco numerosos) junto puede ser definido por la condición de los elementos que lo constituyen.

Exceptuados esos casos, un conjunto es generalmente definido por medio de condición (o propiedad) que se verifica en todos los elementos del conjunto y sólo en ellos. Tal condición siempre puede ser expresada bajo la forma de una expresión proposicional con una variable libre. Con­sideremos, por ejemplo, en el universo IN, la expresión proposicional.

x es múltiplo de 3 A es múltiplo de 5 que expresa la propiedad de un número x de ser al mismo tiempo múltiplo de 3 y de5. Verifican esta condición los números 15, 30, 45 ...; no la verifican los números 3,6, 12, 17, 30 ... No obstante, el conjunto de todos los números naturales que veri­fican tal condición, es infinito. Designemos ese conjunto con “A”. Para indicar que A es el conjunto definido por la referida con­dición, se escribe simbólicamente:

bien “conjunto de los elementos x tales que que”. Claro está que, en este caso, la letra x es una variable aparente, tal como en el caso de los cuantifieadores.

De suerte que:Dos condiciones equivalentes definen el

mistno conjunto. Dos condiciones no equi­valentes definen conjuntos distintos. En otras palabras: La equivalencia de condi­ciones se traduce en la identidad de con­juntos.

Otros ejemplos:1. En el universo IR, las inecuaciones

2t—1>0 y t>V2, son equivalentes, esto es, tienen el mismo conjunto de soluciones. De modo que la equivalencia

2t - 1>0 <=> t>% se traduce en la identidad de conjuntos:

^t:2t - 1>0¡- = ^¡t:t>V2¡-II. Análogamente, se tiene:

x= — 2x — 3 = 0 <=> (x-1)2 == 4 y, por tanto:\ x; x2 - 2x - 3 = 0 } = •{ (x - l)2 =

= •¡—1,3 'rIII. Las condiciones x (x—2) = 0 y

x (x +2) =0 no son equivalentes; defi­nen, por tanto, conjuntos distintos:

|x:x(x-2) = 0j- =H0,2K ■jx:x (x -b 2) =0¡- =-¡0-2!-

IV. En el universo de las figuras geo­métricas, la propiedad de ser triangulo equi­látero equivale a la propiedad de ser trián­gulo equiángulo. Esto equivale a decir que las dos propiedades definen el mismo junto de figuras.

2. Conjuntos con un solo elemento y conjunto vacío.

Consideremos, en el universo IR, la con­dición x -b 1 >x.

^x:2x + l = x¡- = -¡-3¡-y a decir que el conjunto de las soluciones de la ecuación 2x -b 3 = x tiene un único elemento o que es un conjunto singular Obsérvese que, en el lenguaje común, la palabra “conjunto” implica una idea de pluralidad, vale decir que un conjunto tie­ne, por naturaleza, más de un elemento. Pero como se sabe, la matemática necesita un lenguaje propio, al mismo tiempo có­modo y riguroso que muchas veces se apar­ta del lenguaje común. Es necesario, tam­bién,observar lo siguiente:

En matemática, una cosa es un conjunto singular y otra el elemento que forma ese conjunto.

Por ejemplo, una cosa es el conjunto -j—3¡- y otra el número —3. De suerte que podemos escribir:

—3 £ -j—3}-, pero no —3 = -j—3J-Consideremos ahora en IR la condición

x 4- 1 = x. Trátase, como se ve, de una condición imposible; no existe ningún nú­mero que la verifique, lo mismo que no exis­te ningún número que verifique la condi­ción x =!= x, etc. Pues bien, por comodidad ele lenguaje, se conviene en decir que el conjunto de los elementos que verifican una. condición imposible es el conjunto va­cío (o el conjunto sin ningún elemento). Trátase, como se ve de una convención ma­temática que alarga el significado usual de la palabra “conjunto”. Por ejemplo, en lugar de decir que no hay fósforos en una caja, se puede decir que la caja está vacía, o también que el conjunto de fós­foros de la caja es vacío.

El conjunto vacío de un determinado universo se suele designar con el símbolo

1. En la traducción so conserva la palabra singular on lugar de unitario que se usa comúnmente. (N. de R.)

COll-

un con-

una

I

o na-

A = -¡x: x es múltiplo de 3A x es múltiplo de 5}-

lo que se lee: “A es el conjunto de los ele­mentos x tales que: x es múltiplo de 3 A X es múltiplo de 5”.

Claro está que el mismo conjunto puede ser definido por cualquier condición equiva­lente a la primera, por ejemplo, la si­guiente:i í. x es múltiplo de 15visto que los números que verifican una son exactamente los números que verifican la otra. Por tanto, también será:

con-

A = -¡x: x es múltiplo de 15}\ se lee tam-en la que el símbolo -jx:

32 33

iI

6-? i1 -t4—-*{2;5]---->

tos, que son los siguientes:0, m, <21, 13}-, <4>, U,2[, <1,3>, •i 1,4 1-, 12,31, 12,41-, 13,41, 1 1,2,3 K1 1,2,4 r, U,3,41, -j2,3,4}■, \1,2,S,4\.

Se tiene, por ejemplo, -¡1,4}- C 1 1,3,4 V, no U,41 C 1 1,2,31- ni -¡1,2,3!- C

ta de B. En este caso, escribiremos A C B A A =í= B

Por ejemplo, el conjunto de los mamí­feros está contenido estrictamente en el conjunto de los vertebrados, dado que exis- tn vertebrados que no son mamíferos.

Podemos, pues, escribir:M C V A M =!= V

Otro ejemplo: se sabe que todo múltiplo de 6 (por ejemplo 6, 12, 18, ...) es tam­bién múltiplo de 3, pero hay múltiplos de 3 que no son múltiplos de 6 (por ejemplo 3, 9, 15, ...). Por eso, si designamos con Mc el conjunto de los múltiplos de 6 y con M3 el conjunto de los múltiplos de 3, te­nemos:

f -1 C4(vodtbiajdcri)

/íl/<<■

pero|— 2, jc[ está representado por el segmento de extremos correspondientes a —2 y re, pero excluyendo el segundo extremo, etc.

Obsérvense las siguientes conclusiones (estrictas):[2,5] C J 1,6] ; ]2,5 ] C [2,5]]2,5[ C ]2,o], J2,5[ C [2,5 [, etc.

Pero, no es verdad que:[—2,jt[ C [2,5] , [2,5] C [-2,7t][2,5] C J2,5], etc.

•a.] 1,3,4Fio i

. 5. Intervalos limitados en IR. Consideremos dos números reales cuales­

quiera, por ejemplo, 2 y 5. En matemática, se usan las siguientes convenciones:

[2,5] = -¡x:2 ^ x < 5}]2,5[ = ]x:2 < x < 5¡- [2,5[ = -jx:2 < x < 5}- ]2,5] = -jx:2 < x ^ 5J-

Esta situación puede ser indicada por medio del diagrama adjunto, en el que se representan el conjunto M y el conjunto V. El punto a indica un elemento de M (por tanto, de V) y el punto b indica un ele­mento de V que no pertenece a M. (en verdad, existen vertebrados que no son mamíferos).

De modo general, dícese que un conjun­to A está contenido en un conjunto B, cuando todo elemento de A es también elemento de B. indicase este hecho escri­biendo A C B. De modo que, por defini­ción, se tiene:

A C B si y sólo si x £ A => x £ B La relación así definida entre conjuntos

es llamada inclusión. Como se ve, una in­clusión entre conjuntos traduce una impli­cación (formal) entre condiciones.

En vez de decir “A está contenido en B”, también se puede decir “A es un sub­conjunto de B”, o “A es una parte de B”.

Dados dos conjuntos, A y B, puede ocu­rrir que, al mismo tiempo, se tenga A C B y B C A. En este caso, todo elemento de A es elemento de B, y viceversa; en otras palabras, A y B están formados por los mismos elementos; son, pues, el mismo conjunto, lo que se expresa escribiendo A = B. Se tiene imes:

A C B A B C A <=> A = B Por ejemplo, todo triángulo equilátero

es equiángulo, y viceversa. Luego, si de­signamos con T0i al conjunto de los trián­gulos equiláteros y Tca al conjunto de los triángulos equiángulos, tendremos, en geo­metría enclidiana:Tei C Tca y TCa C Tfeij luego TcJ = Tea

De otro modo, ya vimos que la identi­dad entre conjuntos traduce la equivalen­cia entre condiciones, esto es, se tiene

A = B si y solo sí x £ A < => x £ BSi A está contenido en B, pero B no está

contenido en A, dícese que A está conte­nido estrictamnte en B, o, también que es un subconjunto estricto o una parte estric-

siendo IR el universo.Por tanto, según la convención del pá­

rrafo 2, [2,5] es el conjunto de todos los números reales tales que 2 ^ x ^ 5, y análogamente en los otros casos. Por ejem­plo, se tiene:

2 G [2,5], 5 £ ]2,5[, 3 £ [2,5], 3,27 £ [2,5], * £ [2,5] 4 £ ]2,5[, 3,27 £ [2,5],etcétera.

pero:2¿]2,5],5¿]2,5], 1¿[2,5], 1,99 £ [2,5],0 ¿[2,5], -3 ¿[2,51,5,001 ¿[2,5], etc.

Los conjuntos [2,5], ]2,5[, [2,5[ y ] 2,5] llamados intervalos de extremos 2 y 5,

siendo [2,5] cerrado (porque le pertene­cen los extremos), ]2,5[ abierto (porque no le pertenecn los extremos, [2,5[, abierto a la derecha (porque no le pertenece el extremo derecho) y ]2,5], abierto a la iz­quierda (porque no le pertenece el extre-

izquierdo). Todos estos conjuntos son, evidentemente, infinitos, esto es, tienen in­finitos elementos.

Lo que se acaba de decir para los nú­meros 2 y 5, se extiende a cualquier par de números reales, a y b tales que a<b. Por ejemplo, [—2, tt[ es el intervalo de ex­tremos —2 y tí abierto a la derecha, o sea, el conjunto de todos los números reales x tales que — 2 ^ x < jt.

Se sabe cómo los números reales pueden ser representados por los puntos de una recta (aunque este asunto será considera­do más adelante con mayor rigor).

En estas condiciones, es fácil ver que el intervalo [2,5] está representado por el segmento de recta de extremos correspon­dientes a 2 y 5; a su vez, el intervalo

M0 C M3 A Mc =!= M3 Dícese que A contiene a B cuando B

está contenido en A. Para indicar que A contiene a B se escribe A!) B. De modo que, por definición, se tiene:

ADB <=> B C A

6. Intervalos ilimitados en IR. Consideremos un número real cualquie­

ra, por ejemplo 3. En matemática, se han adoptado las siguientes definiciones:

x:x ^ 3 x:x > 3 t[3, + co [ = -j

]3, +'«[ = { en el universo IR.

IPor ejemplo:

\ {M3 D Mc, Tc1 D T Puede ocurrir que, dados dos conjuntos,

A y B, ninguno de ellos esté contenido en el otro. Por ejemplo, si designamos con Mc al conjunto de los múltiplos de 5, no po­demos escribir M5 3 Ms, porque hay múl­tiplos de 5 que no son múltiplos de 3 (por ejemplo 5) y múltiplos de 3 que no son múltiplos de 5 (por ejemplo 3).

Esta situación está indicada en el dia­grama adjunto.

etc. —[}; -tooca5i Q

FxgHLos conjuntos [3,-H oo [ y ]3,+ co[

intervalos de extremos ó yson llamados(leer ‘más infinito”), siendo el pri­

mero cerrado a la izquierda y el segundo, abierto a la izquierda. Representando a los números reales por los puntos de una

costumbre, el intervalo la semi-

+ 00; son

recta, como es[3, 4- oo [ está representado por rrecta de origen correspondiente a 3, si­tuada a la derecha de esse punto; a su

el intervalo ] 3, + co [ está represen- la misma semirrecta, menos el

estos intervalos son

í movez,lado pororigen. Como se ve, ilimitados a la derecha, esto es, no existe ningún número real que sea mayor que todos los elementos del intervalo. De este modo, el símbo 4- co no designa ningún número real y tío está representado por ningún punto de la recta.

Análogamente, se tiene:]— co, 3] = -jx:x ^ 3[] — co, 3[ = -jx:x < 3¡-

dice que ] — co,3] y ]— co, 3[ son

4. Subconjuntos de un conjunto finito.Cuando se da un conjunto finito, muy

numeroso, es posible indicar todos sus sub­conjuntos (o partes). Para ello, podemos, por ejemplo, comenzar por el conjunto va­cío, considerar después los conjuntos con un solo elemento, enseguida los conjuntos con dos elementos, y así sucesivamente, hasta el conjunto total (que podemos for­mar como universo). Por ejemplo, es fácil reconocer que el conjunto de los números •¡1, 2, 3, 4} tiene a lo sumo 16 subconjun-

y seintervalos de extremo — oo (leer “menos infinito”) y 3, siendo el primero, cerrado a la derecha y el segundo, abierto a la de-

3534••'

: •

Debe anotarse también la propiedad: Cualquiera sea el conjunto A, en un uni­

verso U, se tiene:

rocha. El símbolo — no designa ningún número real; sirve apenas para indicar que los intervalos son ilimitados a la izquierda. La representación geométrica es análoga a la del caso anterior.

Naturalmente, lo que se acaba de decir para el número 3, se extiende a todo nú­mero real.

Finalmente, se acostumbra a designar con ] — co, co[ al conjunto IR (de todos los números reales) y a llamar intervalo de extremos — co, +oo (esto es ilimitado a. la derecha y a la izquierda). Su repre­sentación geométrica es toda la recta.

7. Propiedades de la relación de inclu-

menor y premisa mayor) y la conclusión es lli.

Cuando, dados tres conjuntos A, B, C, se tiene A C B y B C C, se puede escribir para indicar ese hecho:

!

<ua2¿*0 C A C U

S. Intersección de dos conjuntos.Consideremos estas dos condiciones:x es estudiante, x es menor de 18 años.La primera corresponde al conjunto de

los estudiantes, que designaremos con E, y la segunda al conjunto de los menores de 18 años, que designaremos con M. Consi­deremos, ahora, la conjunción de las condi­ciones dadas:x es estudiante A x es menor de 18 añosEstá claro que le corresponde el conjunto

de los estudiantes menores de 18 años, esto es, los individuos que pertenecen al mismo tiempo a E y a M. Diremos que este con­junto es la intersección de E con M y lo designaremos con E D M.

IACBCC

Análogamente para más de tres con­juntos.

Debe observarse, también, que la rela­ción de pertenencia, representada con “£” no tiene ninguna de las referidas propie­dades. Por ejemplo, sea P un punto, r una recta que pase por P y R el conjunto de todas las rectas del espacio. Tenemos en-

P 6 r A r 6 R(esto es: “P es un punto de r y r es una recta”; pero es claro que de ello no pode­mos concluir que

P 6 R (esto es, que “P es una recta”)Esto muestra cómo es necesario distin­

guir la relación de pertenencia de la inclu­sión; de lo contrario, podríamos incurrir en paralogismos dd tipo de los siguientes:

“Esta hola es azul; azul es un color; lue­go esta bola es un color ’.

“Pedro y Pablo son apóstoles; los após­toles son doce; luego, Pedro y Pablo son doce**.

Estos mismos ejemplos ponen en eviden­cia la necesidad de distinguir los tipos ló­gicos. De este modo, una bola es un indi­viduo; azul es una propiedad definidora de un conjunto de objetos y, por tanto, el conjunto de los colores puede considerarse un conjunto de tipo 2.

Aún más, dados dos conjuntos, A y B, cualesquiera y un elemento a, por la pro­pia definición de la relación C, se tiene:

a 6 A A A C B => a 6B

.a^_______ :___

II. Consideremos los intervalos [—2,3] y [1,5]. Es fácil ver que

0 i ¿ 3 S-2■K

«- * Fís.q<-

1—2,3[ n [1.5] = [1,3[sión.Cuando decimos simplemente “inclusión”,

nos referimos a inclusión lata. Por lo visto en el párrafo 3 se obtiene:

1) ACA, cualquiera sea el conjunto A.2) A C B A B C A => A = B. Exprésase 1) diciendo que la inclusión

es reflexiva.Exprésase 2) diciendo que la inclusión

es antisimétrica (en sentido lato).Peso, también, se tiene la propiedad3) Si A C B y B C C, entonces A C B. En efecto, las fórmulas A C B y B C C

significan, respectivamente:

Análogamente:]—2,3] fl ] 1,5] = ] 1,3], etc.

III. Sean ahora los intervalos [—2,1] y [3,5]. Claro es que no hay ningún número que pertenezca al mismo tiempo a los dos, esto es, ningún número x tal que

-2 < x < 1 'A 3 ^ x ^ 5 Por consiguiente, la intersección de los

dos intervalos es el conjunto vacío, esto es[-2,1] n [3,5] = 0Análogamente, se tendrá:[-2,1] n U>3] = 0, etc.

IV. De inmediato, se ve que:-¡1,2,3¡- fl -{2,3,5,7 \ = -¡2,31-,-¡1,2¡- fl -¡3,4}- = 0, etc.

V. Designemos, en general, con Mn al conjunto de los múltiplos de un número natural n. Se tiene entonces:

Ma [] M» = M„esto es: La intersección del conjunto de los múltiplos da 3 con el conjunto de los múl­tiplos de 5 es el conjunto de los múltiplos de 15.VI. La intersección de dos circunferen­cias contenidas en un mismo plano está constituida por dos puntos, por un solo punto o por ninguno (conjunto vacío), con­forme que la distancia entre sus centros sea menor, igual o mayor que la suma de los radios.

:?

! 'br-

x 6 A => x 6 B y x £ B => x 6 CLuego, por la propiedad transitiva de la implicación, se tiene:

x £ A=> x £ C lo que significa: A C C Por ejemplo, designemos con M, V y A,

respectivamente, el conjunto de los mamí­feros, el conjunto de los vertebrados y el conjunto de los animales. Entonces:

I. M C V (todo mamífero es vertebrado) II. VC A (todo vertebrado es un animal)

111. MCA (todo mamífero es un animal) Esta situación está representada en el

diagrama adjunto.

j\\ i

De modo general:Definición: Dados dos conjuntos, A y

B„ se llama intersección de A con B (y se representa con A fl B) al conjunto de todos los entes que pertenecen al mismo tiempo a A y a B, esto es, en escritura simbólica:

I:

A fl B = -jx:x £ A A x £ Bj-También se llama intersección a la ope­

ración que, aplicada a los conjuntos A y B, da como resultado A f] B. Como se ve, esta operación traduce, en el lenguaje de los conjuntos, la operación lógica de con­junción; de modo que la intersección es también una operación lógica.

Otros ejemplos:Designemos, respectivamente, con fí,

L y (), el conjunto de los rectángulos, el conjunto de los rombos y el conjunto de los cuadrados. Es fácil ver que:

Q = R fl L

lo que significa que los cuadrados son tangidos que también son rombos.

HK

Este hecho origina un nuevo tipo de si­logismo, diferente del anterior. Por ejem­plo, sea II el conjunto de los hombres y M el conjunto de los seres mortales (con­junto que suponemos definido). Podemos, entonces, formar el silogismo:

Pedro £ II, II £ M Pedro £ M O sea, en lenguaje común:Pedro es hombre, todos los hombres son

mortales, luego, Pedro es mortal*\

I.1 A° r V

k 3-n C ---sA S h-0,De este modo, la transítividad de la in­clusión no es más que la traducción fiel de la transitividad de la implicación. En particular, la deducción de III a partir de I y II es un silogismo, en el que las pre­misas son I y II (respectivamente, premisa

a/o:

rec- Q. n Cz * 0 Fk?.ioi

3736

I;

’

diüiduos menores de 18 años, que designa- rmos con M. La propiedad contraría (“x no es menor de 18 años”) corresponde al conjunto de los individuos con edad igual o superior a 18 años. Pues bien, este último conjunto es llamado complemento de M y es designado simbólicamente por CM.

En 111, V y VI se presentan pares de con­juntos sin elementos comunes, cuya inter­sección es, por tanto, vacía. Pues bien:

Definición: Se dice que dos conjuntos, A y B, son disjuntos cuando no tienen nin­gún elemento común o sea, cuando Af|B es igual a 0.

De este modo, el concepto de “conjuntos disjuntos” traduce el concepto de “condi­ciones incompatibles”.

9. Unión de dos conjuntos.Consideremos de nuevo las condicionesx es estudiante, x es menor de 18 años.

a las que corresponden los conjuntos E y M, y pasemos ahora a considerar las dis­junción:

x es estudiante V x es menor de 18 años.Está claro que esta condición correspon-

al conjunto de individuos que o son estu­diantes, o son menores de 1S años, o son aiíibas cosas, esto es, pertenecen por lo me­nos a uno de los dos conjuntos E y M. A este conjunto se lo llama unión de E con M y se lo designa con E U M. De modo general.

PROBLEMAS■

'!PROBLEMAS PROPUESTOS

Sin tratar de efectuar las ponten- cias, clasificar los siguientes números en forma creciente:

16. Las chapas de patentes: Pablo ob­servó las nuevas y brillantes chapas de patentes. Los tres amigos había ido juntos a renovar las patentes de sus automóviles, y estaban charlando. “Es una tontería cam­biar las chapas cada año”, dijo. ‘'Cuando comienzo a recordar mi número, debo cambiarlo”.

“El mío también”, concordó Ricardo, “pero hay algo raro que he notado esta vez en nuestros números. Tu primera cifra es la misma que la última de Pedro y tu úl­tima es la misma que la primera de él, y ambas tienen las mismas cifras en el medio”.

“Y hay algo más”, exclamó Pedro. “Mi número es igual a la suma de los números de ustedes”.

Afortunadamente, los tres tenían chapas donde figuraban números de cuatro cifras.

¿Cuál era el número de la patente de Ricardo?

17. Gauss demostró que pueden cons­truirse con regla y compás los polígonos regulares, cuyo número n de lados es pri­mo de la forma 2k + 1. Un historiador de la matemática, probablemente por razones tipográficas, señala las condiciones ante­riores diciendo que n — 1 debe ser poten­cia de 2. ¿Es cierta o no esa afirmación? En todo caso, probarlo (propuesto por el señor J. Babini).

PROBLEMAS RESUELTOS1. (i) Valor absoluto de una cifra es

el que la cifra tiene por sí misma, sin tener en cuenta la posición que ocupa en el número. Valor relativo es el correspon­diente a la posición que ocupa.Suma de valores absolutos:

2 + 4 + 2 + 3 + 5=16Suma de valores relativos:2 + 40 + 200 + 3000 + 50000 = 53242(ii). Si u es el valor absoluto de la cifra

de las unidades y d, el de las decenas, será: lOu + d el número pedido y lOu + d, el invertido; por tanto

lOd + u - (lOu + d) = 45lOd + u - lOu - d =45

10.•cbn'Jbdcjls ó

y.*

0,2*, (-2)5, (—2)7; (—2)'1; (—2)°; (-2)3, (—2)2

V OAUri .{■ 11. Sea un círculo de centro O y radio R; AB es un diámetro del mismo. Por A y B se trazan dos cuerdas paralelas, AC y BD. Por O se trazan las perpendiculares OE y OF a AC y BD, respectivamente. Se pide:

19 ¿Están alineados los puntos E, O, F.29 Demostrar que AEOA = AOFD39 Deducir que AC = BD49 Los tres puntos C, O, D ¿están ali­

neados?12. En un plano cartesiano ortogonal,

se dan los puntos A (0,3), B (4,0) y C (5/4,0). Hallar las ecuaciones de las bisec­trices del ángulo BAC.

*.•/i¿tufi at

FlG.42En general:Definición: En un universo dado, U,

llámase complemento de un conjunto A y represéntase con CA «d conjunto de todos los individuos (elemento de U) que no pertenecen a A. Simbólicamente

CA = -jx: x 6 A¡-De este modo, el pasaje de un conjunto

a su complemento es una operación lógica sobre conjuntos, que traduce la operación lógica de negación. Pero, es evidente que el resultado de esta operación depende del universo fijado.

Ejemplos:I. En el universo de los cuadriláteros, el complemento del conjunto Q (cuadrados) es el conjunto de los cuadriláteros que o no son rectángulos o no son rombos (o no son ni una ni otra cosa). En el universo de las figuras geométricas, el complemen­to de Q es el conjnnto de todas las figuras que no son cuadrados.II. En el universo de los números natu­rales (IN), el complemento del conjunto de los números pares, es el conjunto de los números impares. En el universo de los números reales (IR), el complemento del conjunto de los números pares es el con­junto de todos los números reales que o no pertenecen a IN o son impares.

La noción de conjunto complementario puede generalizarse del siguiente modo:

Definición: Dados dos conjuntos, A y B, llámase complemento de B con respecto a A al conjunto de los elementos de A que no pertenecen a B. Desígnase este con­junto con A\B.

Es evidente que:A\B = AU^B CA =: —U\a

:

\*«13. Descomponer en productos la ex­presión:

E = cos2x + cos4x — cos3xLuego resolver la ecuación E = O

14. ¿Sabe Ud. que dentro de 7 años, entre los dos tendremos 63 años?

—¿Es éso verdad? Lo que yo sé es que cuando Ud. tenía mi edad actual, Ud. tenía el doble de la edad que yo tenía entonces.

¿Qué edad tienen ambas hoy?15. El viejo soldado: El abuelo de

Juan era un viejo soldado, muy veterano, que se alistó en 1890. Relataba alguna de sus aventuras, y Juan lo contemplaba absor­to. Después de un episodio particularmente interesante, el muchacho interrumpió: ¡Qué notable! ¿Pero qué año era?

El anciano tomó un billete de su bolsi­llo. “Te lo diré si eres capaz de descubrir­lo”, respondió. ‘Si intercambias las cifras 2? y 49 formarás una fecha posterior en 99 a la que estoy mencionando”.

Juan no pudo responder mentalmente, pero ¿qué diría Ud?

i! M 'E UM . FV&.44

Definición: Dados dos conjuntos, A y B, se llama unión de A con B al conjunto de todos los entes que satisfacen la condición de pertenecer a uno por lo menos de los conjuntos A y B. Simbólicamente:

;

•|

A U B = -j x:x 6 A V x & B }■Otros ejemplos:

I. Sean, nuevamente, R el conjunto de los rectángulos y L el conjunto de los rombos. Entonces, es fácil ver que R U L es el con­junto de Jos paralelogramos que tiene los lados o ángulos iguales (o ambas cosas).

Es claro queII.[-2,3] U [1,5] = [-2,5][-2,3] U ]3,5] = [-2,5], etc.

III. Véase inmediatamente que:-{1.2,3}- U -¡3,4} = i 1,2,3,4},{5} U -¡2,7} = -¡2,5,7}, etc.

10. Complemento, de un conjunto. Consideremos, en el universo de las per­

sonas, la propiedad “x es menor de 18 años”, a la que corresponde el conjunto de los in-

í

:

;

(Sigue en la pag. 46) •!

3938 :

!

;'

9d - 9u = 45 9 (d-u) = 45

el — u =5

(*-2) (x2 — 3x + 1) Los espacios restantes pueden expresarse como en la Fig. 3 escribiendo las familias con televisión y sin radio ni tocadiscos en la forma:

Se tiene así el triángulo constructor del tra­pecio AOB, con la condición:

OA - OB < AB < OA + OB => (2) AD BC

— < AB <------b — =>r+1 r+1

í (x) =(x — 2) (2x + 1)

Para, todos los valores de x distintos de 2, f(x) toma el mismo valor que la función:

xa - 3x + 1

Pero O sea

El número pedido es 83

d + u == 11

2d= 16; d = S; u =3AD BC

24-x- (9 — x) - (10-x)= 24 - x 9 + x - 10 + x = 5 + x

v semejantemente con los otros.Puesto que el número total de familias

es 40:x + (10 —x) + (9 —x) + (5 — x)

+ (5 + x) + (6 + x) + (2 + x) = 40

Luego: x + 37 = 40 x = 3

r + 1 r+1AD-BC= (r + 1) AB < AD + BC (3)

g(x) =2x + 1

g(x) — 1/5 para x 2 en función de los datos, resulta de (1) por ser:G. Lazerge (estudiante)

J. Tarwopolsky5. Un diagrama de Vcnn ayuda a anali­

zar la información.

CD2. (i) V2. \'5 = VIO

(ii) A= V2. V5 + V2=V2 (V5 + 1)

— + 1 = r + 1 => CD+AB= (r + 1) ABABAD - BC < CD + AB < AD + BC

Puede probarse que si existe uno de los triángulos, AOB o COD, existe también el otro.

En el primer caso, supongamos resuelto el problema; sea el trapecio ABCD:

T representa el conjunto de familias aparato de televisión, lt a las que tienen radio y P, a las que poseen tocadiscos. Es difícil escribir en el diagrama que 9 tie­nen televisor y tocadiscos, porque es el conjunto TCP que cubre dos especios del mismo (Fig. 1)

conB== V5. V2 - V2 = V2 (V5 — 1)

V5 + 1)

V5 - 1

A V2(V5+1)(SÍÍ)- = G. Lazerge (estudiante)

9. Construir un trapecio dadas las dia­gonales y 2 lados.

Hay que considerar tres casos, según que se conozcan: a) las diagonales y los lados

bases; b) las diagonales y las bases; c) las diagonales, una base y un lado no base.

En las figuras, las líneas gruesas son los datos.

Resolveremos el primer caso, el más di­fícil. El segundo es casi análogo al primero y el tercero es inmediato.

En el segundo, por la semejanza de los

B V2(V5-1)

(V5+ 1) (V5 + 1)

V5 - 1 ( V5 — 1) ( V5 + 1)V5 + l)a 3+V5

BAV5 + 1(iv) 8

noDe4 2

0*G. Lazerge (estudiante) AB||CDSiendo ABCD un cuadrilátero convexo,

BC y AD se cortan en un punto O interior al trapecio; por tanto, ninguno de los seg­mentos OB, OC, OD, O A es nulo. [2]

[1]■ \ :• -Y:.-'vi jP

1 — senx + 1 4- senx 2K 3. A =

x a los elementos del conjunto con lo que resulta fácil llegar

(]. + senx) (1 — senx)1 — cos2a — 1 + cos-b

1 - sen-x Llamemos T fl R Q P, a la Fig. 2.

De la semejanza de los triángulos COD y AOB y por tratarse de segmentos po­demos tomar CD > AB [3]

Se tiene:OC OD CD

B=:cos-a — cos2b — cos-a + cos2b b) a)

[4]= r^lcos2a — cos2b

sen-x (1 — sen-'x)

cos-x (1 — cos-x) sen-'xccs-’x

OB OA AB Luego:

OC = r.OB A OD = r.OAC =

[5]por otra parte, por [2] y [5], es:

BC = OC + OB = r.OB + OB == (r + 1) OBAD = OD + OA = r.OA + OA == (r + 1) OATomemos, ahora, las medidas de estos

segmentos respecto de un dado segmento unidad u, y sean, [1].*. fmed AC = a, med BD = b, med BC = d

[SI[med AD = d’, med OA = x, med OB = y

De [51, [6] y [7], se obtiene: med OC = r y, med OD = rx d = (r + 1) y, d’= (r + 1) x

triángulos AOB y COD se tiene:

OC OD CD= 1[6]cos-x sen-x

D = sen-x + cos'-x + 2senxcosx + sen-'x + cos2x — 2senxcosx

=: 2sensx + 2c*os5x = 2.

(1)OB OA AB

= > OC = r.OB AOD = r. OA

Entonces BC = OC + OB = r.OB + OB = (r + 1) OB

CD = OD + OA = r.OA + OA = (r + 1) OA

[7]

J.J. 13ERUTI

4. Para x==2, la expresión es indeter­minada de la forma 0/0.

Numerador v denominador son divisibles por x — 2, obteniéndose

i

ADBC(2) [91OB =------ ; OA =

r + 1= >

[10]r + 140

41í

i

I

Consideremos también las siguientes vec- Esta última ecuación prueba que el pa- ralelogramo mencionado no puede ser rectangular y que el trapecio pedido no puede ser isósceles porque es d > d9 y a ^ h.

Poniendo, para abreviar P =: d2 - d'2, Q = a2 - b2AP>Q [21]

en [20J, resulta: r-1

BIBLIOGRAFIAi lores:7.~: Vec t (CA) b = Vect (DB)

x = Vect (OA), y = Vect (013)En virtud de [5J y [9| se tiene:

ry == Vect (CO), = Vect (DO) [131y en los triángulos COA y DOB es, respec­tivamente:

Vecit (CA) =: Vect (o7\) + Vect (CO)

Vect (DB) = Vect (OB) + Vect (DO) o sea lll], [12] y [13J:

[11 jen los diccionarios que se comentan pro­blemas interesantes y biografías de los matemáticos antiguos y modernos. Algu-

de las definiciones pueden diferir de las que usamos comúnmente, pero con­viene advertir que no siempre hemos adoptado las definiciones más modernas. En ambos libros, abundan los ejemplos referidos a matemática aplicada.

La seria presentación de ambos libros, la claridad de los gráficos permiten, fá­cilmente, recomendar estas obras a nues­tros lectores.

T. ALARIC M1LLINGTON y W. MI- LLINGTON, Dictionanj of Mathematics, 260 pg., CASSELL & Co. Ltd., Londres

[12!

i

1966.: ñas3 •

QJ. BENDICK, M. LEV1N, con el asesora- miento de L. SIMON, Mathematics Illus- traten, Dictionanj, 230 pg., KAYE & WARD, Londres, 1966.

No es nada frecuente la aparición de diccionarios de matemática por el hecho de ser más bien escaso el número de personas que los usan habitualmente. A lo dicho, agregúese ahora el extraordina­rio desarrollo de nuevos conceptos mate­máticos en los últimos tiempos y lo rápi­damente que envejecen otros para señalar la aventura que significa la edición de diccionarios de matemática que pueden volverse “obsoletos” en muy poco tiempo. Menester, pues, es apreciar el esfuerzo de quienes han tomado a su cargo esta ardua tarea que, estimamos, ha de resul­tar provechosa para los docentes que do­minen el inglés.

Se trata, por supuesto, de obras elemen­tales y sintéticas que vienen a llenar el vacío provocado por la escasez de traba­jos semejantes en nuestro idioma: por ello no vacilamos en decir que resultarán va­liosas para los profesores secundarios de matemática, que tienen que tener en cuen­ta la experiencia revolucionaria de que son parte, en la cual muchas de las creen­cias tradicionales, aceptadas como verda­des por muchas generaciones, se ven cues­tionadas cada vez más. Por ello, los auto­res se han preocupado por emplear con precisión el lenguaje de la matemática moderna y por desarrollar cuidadosamente el significado de los términos necesarios l^ara explicar simplemente ideas comple­jas o para mostrar las relaciones de las ideas matemáticas.

Por todo lo dicho, la escritura de un diccionario matemático sólo puede realizada por quienes, como los autores de ambas obras, tienen amplio conoci­miento de las técnicas de la enseñanza y conocen ampliamente las nuevas ideas que están fermentando en el mundo de la matemática de nuestros días. No faltan

— => rP - P = rQ 4- Q=> P

r (P-Q) = P + Q =>P-Q

f + I

[22]P + Q

Substituyendo este valor de r en [10] se obtiene:

!

a = x + ry [141 I(P-Q)d’ (P-Q)d Cristina Verdaguer de Banfi

P. R. MASINI, R. C. PATEL y D. J. PATIL, Cálcalo diferencial e integral, 35 pág., PUBLICACIONES CULTURAL S. A., México, 1967.

El sólo hecho de que el doctor Luis A. San taló se haya decidido a hacer la sión castellana de esta obra es una prueba concluyente de los valores de la misma y de la utilidad que tendrá para los pro- iesores argentinos enfrentados a la sidad de disponer de material para dar cumplimiento a la enseñanza de estos te-

recientemente incorporados a los programas de la escuela secundaría ar­gentina.

No se trata de que este libro responda exactamente a esos programas; en verdad sirven para mucho más e incluso pueden ser usados con provecho en los primeros cursos universitarios, pero como lo que abunda no daña, el profesor secundario podrá usarlo con beneficio para la satis­facción de sus necesidades.

En el prólogo, R. P. Boas, Jr., define exactitud las características de la

“Ocupa una posición intermedia entre el rigor presuntuoso que aparece en muchos textos de cálculo moderno y el frívolo desprecio por el rigor que envicia a muchos otros. Puede emplearse para un curso cuyo objetivo sea mostrar la utili­dad del cálculo tanto en física como en astronomía... También puede ser utilizado para un curso de matemática más riguro­so, puesto que contiene definiciones pre­cisas y enunciados exactos de los teore­mas, así como demostraciones correctas

b = rx + y Mediante los dos productos escalares

"■4 “4 “4 “4

a X a y b X b, obtenemos:

[a2 = x2 + r2y2 + 2 rx X y

[15] [2-3]2P 2P

con lo cual queda resuelto el problema.

CONDICIONES DE POSIBILIDAD.«V

i [16¡ El problema tiene solución si existen los triángulos AOC y BOD constructores del trapecio, para lo cual deben cumplirse las relaciones [4] y las clásicas desigualdades:

|OC - O A < AC <OC + O A

(OD - OB <BD < OD + OB fry — x < a < ry + x

=eH[rx — y < b < rx + y

estas últimas resultan de [S | y [9]. Reem­plazando en [24] los valores de r, x, y, de [22] y [23],se obtiene respectivamente:

(P + Q) d-(P-Q) d’<2aP<< (P + Q) d + (P-Q) d’

(b2 = r2x2 + y2 + 2 ry X x—4 *4 —4 —4

por ser x xy = y X x, resulta: a2 — b2 = (r2 — 1) (y2 — x2)Esta ecuación y [10J dan el sistema: f(r + l)=d’ i (r + l)y==d ((r2 — 1) (y2x2) = a2 - b2 Para r = 1, en esta última ecuación es

a = b y de [5] se obtiene OC = OB, OD =: OA, lo cual prueba que las diagonales BC y AD se cortan mutuamente en partes iguales, el trapecio pedido, en este caso es un paralelogramo. Por otra parte substi­tuyendo en la última ecuación del siste­ma [1S] los valores de a* e y de las dos pri­meras, obtenemos:

d2 — d’2

’av ver-

[17]i! ^ nece-

[181 =>mas

[24]

i.

[251(P + Q) d’-(P-Q) d < 2 b P << (F+ Q) d’ + (P-Q) d

Ejemplo:a. — 10 u; b .—• 7 u; d —1 lo u; d* — 11 u. Efectuados los cálculos se verifican las

desigualdades [25]: h vh 1742 < 2080 < 2908 la 2?: 910 < 1456 < 2500.Las fórmulas [23 ] prueban que la solu­

ción es única.

(r2-l)------ i— a2 — b2 ~>(r + l)2

r-1-------- (d2-d’2) = a2 — b2Y + 1

coní obra:[19]

Para d-z d’ se tiene, [4], r-1 a2 - b2

---- >Q [20] serr + 1

° Donde, como es sabido, Vect (CA) es rs la clase de los segmentos orientados equipolentes con CA, representante de de la clase.

d2 — d’2Alicia La Menza

i

:

42 43

i

NOTICIASmediante ejemplos, ejercicios y gráficos muy bien realizados que atrayendo Ja atención del niño, permiten enseñarle provechosamente muchas cosas sobre juntos, muchas más de lo que se podría esperar de un libro de menos de setenta páginas.

El libro de Rodda está dedicado a los números y, nos parece algo menos logra­do en cuanto a su uso para la enseñanza primaria, tal vez porque pensamos que algunos de los temas que se consideran no tienen su justo lugar allí. Hay, no obstante, un serio intento de realizazr efi­caz obra de divulgación y el libro es interesantísimo para el lector medio. Tra­ta de los números y considera los sistemas de numeración —hindo-arábigo, romano, egipcio antiguo, maya— con los cuales muestra la manera de operar. Otros temas que se consideran son: modelos numéri­cos, números cuadrados, > triangulares, triángulo de Pascal, cuadrados mágicos, las distintas bases numéricas —diez, doce, dos— realizando operaciones y dando ejemplos, aritmética modular, modelos cí­clicos, métodos prácticos de computación, práctica de la multiplicación por el mé- tood de Gelosio, del siglo XV, o como lo hacían los egipcios o con el ábaco, etc. No vacila en desenterrar procedimientos antiguos si estima que con ellos logrará atraer más fácilmente la atracción del lector. Se completa el folleto con situa­ciones numéricas de frecuencias, predic- tibilidad y probabilidad, muy interesantes e ingeniosos.

Lackie se refiere a actividades e ideas experimentadas en escuelas en los últimos tiempos, destinadas a proporcionar a los alumnos oportunidades para hacer inves­tigaciones propias. Enseña a construir prismas y pirámides y a examinar sus elementos; se refiere también a paralelas, ángulos, circuios, triángulos, tetraedros, cuadriláteros, simetría, áreas, volúmenes, congruencia, semejanza, sólidos regulares. Todo ello tratando de vincularlo con las modernas ideas de conjuntos y estructu­ras, pero, sobre todo, haciendo que el alumno sea el verdadero motor del libro, puesto que debe responder a muchas cuestiones que se le plantean y que,’ poco valdrían sin su intervención.

de los mismos, siempre que es posible”.Este libro contiene los siguientes ca­

pítulos: Números; Funciones; Fundamen­tos y problemas del cálculo; Límites y continuidad; Derivadas; Aplicaciones geo­métricas y físicas de la derivada; Inte­gración; Funciones logarítmica, exponen­cial y potencial; Primitivas; Aplicaciones geométricas de la integral; Ecuaciones diferenciales elementales, y se completa con ocho apéndices, Bibliografías y Res­puestas a ejercicios.

El doctor Santaló no se ha limitado meramente a hacer una correcta traduc­ción del libro; le ha agregado más de 180 problemas y ejercicios que no figuran en la edición original, pero que los autores, advertidos de su importancia, los han acogido tan favorablemente que han de­cidido incluirlos en la próxima edición norteamericana.

Como en todas las obras de esta edito­rial, la presentación es impecable y para facilitar la tarea de los lectores en la localización v retención duradera de los distintos temas, el libro ha sido impreso a tres colores, con lo cual resulta más interesante y didáctica.

1. Hemos recibido un III. a)Operaciones con números racionales; b) Triángulos iguales; c) Triángulos con las medidas de la serie de Fi-bonacci.

IV. a)División de racionales; b) Circunferen­cia; c) El rectángulo áureo.

V. a)Potenciación de racionales; b) Posiciones de dos circunferencia y una circunferencia y una recta; c) Gnomon áureo.

VI. a) Distributividad de la potenciación; b) Angulo inscripto y seminscripto; c) Tan­gente a una y dos circunferencias.

VII. a) Producto y cociente de potencias; b) Figuras circulares; c) Trazado de tangen­tes.

VIII. a) Potencia de potencia; b) Simetría cen­tral; c) Distancia de un punto a una recta.

IX. a) (a + b).(a—b); b) Lugares geométri­cos; c) Inscripción de circunferencias de proporciones áureas recíprocas.

X. a) (a+b)2; b) Alturas, medianas, media- trices y bisectrices; c) Trazado de tangentes en un triángulo isósceles áureo.

XI. a) (a—b)2; b) Polígono convexo; c) Su­ma de ángulos de un polígono.

programa para una escuela de profesorado en artes plás­ticas, que nos envía la señora Susana H. M. de Gigante, en cuya redacción se ha tenido en cuenta el nivel del alumno que ingresa, el enfoque actual para la aplica­ción de conceptos matemáticos de interés para la plástica. Se dan instrucciones di- tláeticas para presentar la materia como unidad, sin dejar de lado la abstracción. Se indica la necesidad de aplicar el mé­todo axiomático, y del método deductivo, como aplicación de conceptos geométricos a relaciones armónicas y proporciones áureas, reconociendo en circunstancias la importancia de la inducción, para lo cual se someterá al alumno o situaciones crea­tivas. A la intuición del alumno se unirá la guía del profesor en la investigación de ciertos conceptos, tratando de emplear al lenguaje simple, universal y preciso del ál­gebra.

Por considerarlo de interés general, resu­miremos estos programas

con-

■i

:

TERCER AÑO! I. a) Radicación de racionales; b) Polígonos

convexos; c) Pentágono regular.II. a) Propiedades de la radicación; b) Cua­

drilátero convexo; c) Estrellas áureas.III. a) Productos y cociente de raíces; b) Pa-

raielogramo; c) Figuras recíprocamente áureas.

IV. a) Producto y cociente de raíces; b) Rec­tángulo; c) Rectángulos áureos.

V. a) Raíz de raíz; b) Rombo; c) Divisio­nes áureas de un rectángulo áureo.

VI. a) Raíz de potencia y potencia de raíz; b) Cuadrado; c) Gnomon áureo.

VII. a) Radicales semejantes; b) Trapecio y tra­pezoides; c) Inscripción de rectángulos áureos.

VIII. a) Introducción de factores; b) Romboide; c) Líneas de fuerza.

XI. a)Operaciones con radicales; b) Superfi­cies de polígonos y poliedros; c) Superfi­cies de cuerpos redondos.

PRIMER AÑOI. a) Conjuntos; b) Número natural; c) Pun­

to, recta y plano.II. a) Igualdad de conjuntos. Pertenencia 9

inclusión; b) Números concretos homogé­neos, complejos e incomplejos; c) Figura y espacio geométrico.

III. a) Unión, intersección, diagramas de Venn; b) Suma y resta de números naturales; c) Semirrecta, segmento y semiplano.

IV. a) Operaciones entre conjuntos; b) Suma algebraica; c) Angulos y sus medidas.

V. a) Ejercitación de las operaciones con juntos; b) Multiplicación de enteros; c) Operaciones con segmentos y ángulos.

VI. a) Complemento de un conjuntó; b) Divi­sión de números enteros; c) División de segmentos o de ángulos por un número na­tural.

VII. a) Inclusión; b) Rectas paralelas y per­pendiculares; c) Angulos formados por dos rectas cortadas por una tercera.

VIII. a) Número racional; b) Perpendicularidad y paralelismo; c) Relación armónica y pro­porción aúrea.

IX. a)Factor común; b) Perpendicularidad y pa­ralelismo; c) Simetría axial.

Julio fí. Juan

J KENNEDY. Understanding Sets, 65 pág.; G. W. RODDA, Understanding Nwnber, 91 pág., L. LACKIE, Under­standing Shapes & Solíds, 60 pág., TITO- MAS NELSON AND SONS LTD., Lon­dres, 1967.

No se trata, por supuesto, de libros de texto. Son, más bien, notas, ejercicios y problemas destinados ¿ introducir al alum­no en el campo de la matemática, en los cursos superiores de la escuela pri­maria y enseñarles el significado de cier­tos términos que posteriormente puedan necesitar para expresar sus ideas con ma­yor precisión.

Deben, pues, aprender a combinar con­juntos, a compararlos, a determinar re­laciones, y a emplearlos para la resolu­ción de problemas, acertijos y otras cues­tiones. Los niños tienen desde muy pe­queños la noción de conjunto y muchas veces realizan lo que matemáticamente se denomina unión. El trabajo se prosi­gue con la observación de relaciones y operaciones entre conjuntos, todo ello

|i

con-

CUARTO AÑOI. a) Razón de dos números; b) Teorema de

Tales; c) Construcciones.II. a ) Cálculo de términos en proporciones; b)

Triángulos semejantes; c) Semejanza en triángulos áureos.

III. a)Razones iguales; b) Semejanza de polí­gonos; c) Espiral áurea.

IV. a) Proporciones; b) Bisectriz interior de un triángulo; c) Aplicación a la espiral áurea.

V. a) Expresiones periódicas; b) Análisis de triángulos rectángulos en una espiral ondea­da de relaciones áureas; c) Gnomon áureo.

VI. a) Número irracional; b) Alturas de trián­gulos semejantes; c) Espiral de dos, tres y cinco centros de ritmo.

SEGUNDO AÑOI. a) Suma y resta de racionales; b) Trián­

gulos; c) Rectángulo áureo y espiral áurea II. a)Multiplicación de racionales; b) Trián­

gulo isósceles; c) Composición con trián­gulos.

/. B. F. 4544

■i

ys&ffgí

¥ate OHH

vista destinada a divulgar sus actividades y otros problemas de la matemática ac­tual; su corresponsal en nuestro país será la profesora Irma DUMRAUF, de La Plata.

Auguramos larga y fructífera vida al nuevo colega.

3. El Instituto Nacional para el Mejo­ramiento de la Enseñanza de las Ciencias (INEC) anuncia la publicación de las re- comedaciones propuestas y los trabajos o relatos principales del Primer Simposio Na­cional realizado entre el 16 y el 19 de octu­bre en la ciudad Universitaria de Córdoba. Dicha publicación será remitida a los do­centes que la soliciten al profesor Angel Hérnáiz, Rivadavia 1917, Buenos Aires.

VIII. .i) Estructura del sistema (Z,b) teorema de Pitágoras; c) Aplicaciones.

IX. a) Operaciones con números reales; b) Se­rie dinámica de triángulos armónicos; c) Divisiones armónicas en rectángulos armó­nicos.

X. a) Raíz cuadrada; b) Equivalencia de polí­gonos; c) Aplicaciones del concepto de equi­valencia.

XI. a) Transformación de figuras; b) Equiva­lencias; c) Area de figuras planas.

XII. a) Inscripciones en la circunferencia; b) Poliedros y cuerpos redondos; c) Prismas, áureos.

XIII. a) Superficies de poliedros y cuerpos re­dondos; b) Rectángulos subarmónicos; c) Prismas subarmónicos.

2. El Centro Belga de Pedagogía de laMatemática, que dirige nuestro asesor G.PAPY ,anuncia la aparición de NICO, rc-

,i

(Viene de la pág. 31)En el ejemplo estudiado, la media fue

x = 1,47 y la discrepancia-tipo £ = 0,07. Por consiguiente, el intervalo de las buenas evaluaciones es: 1,40 < xi < 1,54. Se ob­serva que 34 evaluaciones, o sea el 68 % del conjunto, están comprendidas. Se obser­va también que los alumnos que lian ele­gido el modo, han dado una evaluación errónea.

A continuación de esta lección, se puede usar el mismo ejemplo para definir otros conceptos tales como los cuartiles, las fre­cuencias acumuladas, el polígono de las frecuencias, las frecuencias agrupadas, los histogramas, así como para que se conciba la noción de muestra o para introducir los importantes y delicados problemas de in­ferencia estadística. Sería preciso, por ejem­plo, preguntar a los alumnos: ¿qué se de­biera pensar en el caso de que no hubiera coincidencia entre la medida proporcio­nada por la media de las evaluaciones y la medida directa realizada con el metro? Responderían, sin duda, que el número de

alumnos, es decir, de evaluciones, no ha sido suficientemente grande. Nueva cues­tión. ¿Y si subsiste el desacuerdo aun cuan­do el número de evaluaciones fuera ele­vado? O bien: si la evaluación fuera hecha en otra clase ¿se revelaría un desacuerdo del mismo tipo con la medición directa? Sería necesario concluir que el instrumento usado, el metro en nuestro caso, es defec­tuoso, lo que constituye ya una cierta ini­ciación en la teoría de las muestras y en el problema del control de la calidad.

Es ventajoso el hecho de que los alum­nos hayan creado de entrada la jioblación sobre la que han trabajado. Eso da un carácter de realidad concreta a resultados tales como el valor medio que, sin ello, sería abstracción pura. Una evaluación correcta de la longitud del pizarrón re­sulta de las evaluaciones falsas dadas por los mismos alumnos. El alcance y el valor práctico de los métodos estadísticos son así iluminados. Se lia despertado el interés de los alumnos por estos estudios.

yt

1.9

\ :oSo

i o

.s

1

I

t

(Viene de la pág. 38) siendo U el universo. Por ejemplo, si A fuera el conjunto de

los portugueses y B el conjunto de las per­sonas que saben leeer, A\B será el con­junto de los portugueses que no saben leer.

(Continuará)

r.el neumático argentinoi

146I

}

i

;í.• i.i■i

!!

i

i

N

%:i<rvv\:d

f'-w<r»’ 0*-<w^lí.rV.vAt*,. *T~ , k

:::

1i

S^P ■=__--

'ii

•••'. •i•-i

Las cinco centrales de punta ubicadas en Malaver, Remedios de Esca­

lada, La Matanza, Gutiérrez y Berisso, con una potencia total instalada de 140 000 kW, significan un importante aporte a la red de distribución en las horas de máxima demanda de energía eléctrica.

■

:;

S. \

SERVICIOS ELECTRICOS DEL GRAN BUENOS AIRES S. A.

!

¡

f

j

*

’j

i-!

tm

fco

>

!

i

: 13

l

7.244.897 dólares

Es la cifra exportada por IBM Argentina durante el año 1967 a 85 países de 5 continentes.Mano de obra argentina y la participación de 600 empresas proveedo­ras locales, produjeron las máquinas para procesamiento de datos que durante los últimos 7 años fueron exportadas por valor de 26.000.000 de dólares, dando a conocer y prestigiando la Industria Argentina en el mundo entero.

IBMIBM WORLD TRADE CORPORATION

Av. R. Sáenz Peña 933 — Buenos Aires La Plata - B. Blanca - Rosario • Santa Fe

Córdoba - Mendoza - Tucumán