juegos de ingenio€¦ · 13 7 5 25 a continuación se presentan una gran variedad de situaciones...

131

Juegos de ingenio

Trabajando en clase

INTRODUCCIÓN

Integral

1. Si el ayer del ayer del mañana de pasado mañana es lu-nes, ¿qué día será el pasado mañana de hace 9 días?

2. ¿Quién es la comadre de la madrina del sobrino de mi única hermana?

3. 3 padres y 3 hijos van a pescar a un lago en un bote. ¿Cuál es la menor cantidad de personas que habrían en el bote?

PUCP

4. Si el 23 de agosto de 1990 fue lunes, ¿qué día será dentro de 7 años?Solución:

Como se sabe, una fecha cualquiera caerá en el año siguiente el día siguiente que cayó el año anterior al menos que el año sea bisiesto si es así caerá 2 días más. Entonces:23/08/1990 – Lunes23/08/1991 – Martes23/08/1992 – Jueves (Bisiesto)23/08/1993 – Viernes23/08/1994 – Sábado23/08/1995 – Domingo23/08/1996 – Martes (Bisiesto)23/08/1997 – MiércolesRpta. Miércoles

5. Si el 04 de abril de 2013 cayó jueves; dentro de 10 años, ¿Qué día caerá?

6. ¿Cuántos dígitos se tienen que mover, como míni-mo, para que sea verdadera la expresión siguiente?

101 – 102 = 1

7. Una araña debe subir un pozo de 15 metros de modo siguiente: por las mañanas debe subir 4 metros y en las noches que se queda dormida, baja 3 metros. ¿Al cabo de cuántos días podrá su-bir hasta la parte superior al pozo?

UNMSM8. Coloca en la figura , los 6 primeros números primos, de

manera que la suma en los lados sea igual a 21, 22 y 23. Calcula la suma de los números que van en los vértices.

Solución: Siendo los números 2; 3; 5; 7; 11; y 13, además:

Si se suman todas las esferas, se obtiene:23 – A + 23 – B + 21 – C = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 1366 – (A + B + C) = 41A + B + C = 25Rpta. 25O también

13 7 5 25⇒ + + =

A continuación se presentan una gran variedad de situaciones para ser resueltas, pero sin considerarlas como problemas, sino como retos o pasatiempos, donde se desafía al ingenio en su resolución.Los juegos de ingenio son parte del razonamiento lógico que ayudan a despertar la creatividad y el ingenio del estudiante; desarrolla la capacidad en orden y relación e incentiva el razonamiento.

132

9. En la figura, coloca los números del 1 al 12, de modo que la suma de los números que se encuen-tran en cada lado del cuadrado, sea 22. Da como respuesta la suma de los números que se ubican con los vértices.

10. Coloca en el cuadro, los números del 1 al 8, de manera que la sustracción de dos casillas cual-quiera, resulte mayor que 4. Da como respuesta, la suma de a, b, c y d.

a b c d

11. Una ameba se duplica cada minuto. Si al colocar una ameba en un frasco de cierta capacidad, este se llena en 20 minutos, ¿en qué tiempo se llenará un frasco de doble capacidad que el primero don-de se han colocado 4 amebas?

12. Se tiene 8 bolas de la misma forma y tamaño; si una de ellas es más pesada, ¿cuántas pesadas se deben hacer, como mínimo, para determinar la bola más pesada si solo se tiene una balanza de 2 platillos?

13. Hay 27 bolas de billas que parecen idénticas. Sin embargo, hay una defectuosa que pesa más que las otras.

¿cuántas pesadas, como mínimo, se deben reali-zar para ubicar dicha bola si se cuenta solo de una balanza de 2 platillos?

14. A un miembro de la familia se le hace las siguien-tes preguntas:

¿Miguel es tu padre?; ¿Susana es tu hermana?, ¿Mario es tu hermano?; ¿Juan es tu hermano?; ¿Luisa es tu madre?

Se obtuvo 2 no y 3 sí como respuestas. Sabemos que esta familia solo está compuesta de un papá, una mamá, la cual no es Luisa, y 3 hijos, además, que sus miembros son los que se mencionan en las preguntas ya mencionadas.

¿A qué miembro de la familia se le hizo la pregun-ta?

Evaluando tu Aprendizaje

133

Inducción y deducción matemática

INDUCCIÓN

Paso de las proposiciones particulares a generales, es decir, mediante el análisis de experimentos sencillos, con las mismas características del problema original se debe llegar a resultados que, al ser relacionados, nos permitan llegar a conclusiones con amplia probabilidad de certeza, a las que llamaremos caso general.

Caso1

Caso2

Caso3

Casogeneral

Razonamientoinductivo

A continuación se presentan sucesiones numéricas, que nos van a permitir facilitar la resolución de los problemas de inducción, aunque algunas sucesiones presentadas no son muy usadas.

NÚMEROS TRIANGULARES

NÚMEROS CUADRADOS

NÚMEROS RECTANGULARES (OBLONGOS)

134

DEDUCCIÓN

Trabajando en clase

Método por el cual mediante un caso general se obtiene casos particulares.* Al razonar de manera inductiva, a veces se llega a conclusiones falsas; esto es lo que se conoce como falsa

inducción.* No siempre es sencillo inducir, por lo que este tema requiere de mucha práctica.* El uso de la lógica inductiva y deductiva es una de las principales formas de encarar la mayoría de problemas.

Casogeneral

Casosparticulares

Razonamientodeductivo

Integral1. Calcula “E” y da como respuesta

la suma de cifras:2

180cifras

E (333...3)=

2. Calcula: 2(abc)

abc a 972× =

abc b 648× =

abc c 1296× =

3. ¿Cuántas esferas hay en el si-guiente arreglo?

PUCP4. Calcula el valor de:

E 96 97 98 99 1= × × × +Solución:

1 2 3 4 1 5× × × + = 2 3 4 5 1 11× × × + = 3 4 5 6 1 19× × × + =

3 4 5 6 1 19× × × + =

= 96 × 99 + 1 = 9505

5. Calcula el valor de:

E 100 101 102 103 1= × × × +

6. ¿Cuántos palitos hay en el si-guiente arreglo?

7. Resuelve y da como respuesta, la cifra final de la siguiente suma:

100 200 300 9002 3 4 5+ + +

UNMSM

8. Al tomar una hoja cuadricula-da de 20 cuadraditos por lado y trazar una de sus diagonales principales, ¿cuántos triángu-los se forma?Solución:

⇒ 20 × 21 = 420

9. Si Pepito traza una de las diago-nales principales en un pliego de papel cuadriculado que tiene 50 cuadrados por lado, ¿cuántos triángulos se forman?

10. Resuelve y da como respuesta la suma de cifras del resultado.

40cifras 40cifras555...5 999...9∆ = ×

11. Calcula:28abcd 9999 ...4785× =

(a + b) × (c + d)

12. Calcula el valor de:

910 890 100A 311 289 121× +=× +

13. Resuelve:(425 × 375 × 160625 + 625 × 625)1/8

14. Reconstruye la división mos-trada y da como respuesta, la suma de cifras del cociente.


135

Sucesiones alfanuméricas

DEFINICIÓN

Una sucesión es un conjunto de elementos que pueden ser números, letras o figuras, ordenados de manera que se puede distinguir cuál es el primero, el segundo, el tercero, y así sucesivamente, de acuerdo con una ley de formación, fórmula de recurrencias o criterio de orden, según sea el caso.

1. Sucesión numérica Es aquella cuyos elementos son números.

1.º 2.º 3.º 4.º ... n.º

8; 13; 18; 23; ...; tn

Ejemplos: t0 t1 t2 t3 t4 t5

1; 12; 23; 34; 45; 56... + 11 + 11 + 11 + 11 + 11

t0 = 1 r = 11 ∴ tn = 11n + 1 t(1) = 11(1) + 1 = 12 t(2) = 11(2) + 1 = 23 t(3) = 11(3) + 1 = 34 t(4) = 11(4) + 1 = 45 . . . . . .

Observación: Para afirmar que una secuencia de términos es una sucesión aritmética, se necesita como mínimo 4 términos consecutivos que presenten razón aritmética constante.

Ejemplo:

* 3; 13; 23; ... 10 10 No se puede afirmar que es una sucesión aritmética.

* 10; 17; 24; 31; ... 7 7 7 Sí se puede afirmar que es una sucesión aritmética.

136

Trabajando en clase

Integral

1. Determina que letra sigue:A; B; D; G; K;

2. Determina el término que sigue:1; 1; 2; 3; 5; 8; ……

3. Determina el número que continúa:

1; 1; 2; 6; 24;

PUCP

4. Determina el término que continúa:

4; 16; 36; 64; ….Solución:

4; 16; 36; 64, equivale a 22, 42, 62, 82, ...102 = 100 5. Determina el término que

continúa:1; 27; 125; 343

6. Determina los términos que continúa:

1; 5; 4; 7; 9; 10; 16; 14; ...

7. Determina qué pareja de letras continúa:

CD; GH; KL; …

UNMSM

8. ¿Qué número continúa en la siguiente serie?

0; 1; 3; 9; 33Solución:

9. ¿Qué número continúa en la

serie?7; 12; 27; 87; 387; ….

10. ¿Qué letra continúa en la serie?

B; C; E; G; K; M; …

11. Indica el término que conti-núa:

5 5 17 13 37; ; ; ; ; ...2 2 6 4 10 12. ¿Qué número continúa en la

serie?1; 1; 3; 1; -3; -3

13. ¿Qué número continúa en la

serie?7; 14; 17; 13; 24; 27; …..

14. Calcula:2; 16; 64; 128; …

2. Sucesión alfabética Es aquella cuyos elementos son letras. Ejemplos: * A; C; E; G; I; ... * D; G; J; M; P; ...

Ojo: Para las sucesiones alfabéticas es importante recordar la posición que tiene

cada letra en el alfabeto.

Letra A B C D E F G H I

Posición 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Letra J K L M N Ñ O P Q

Posición 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Letra R S T U V W X Y Z

Posición 19 20 21 22 23 24 25 26 27

3. Sucesión alfanumérica Es aquella cuyos elementos son letras y números

que guardan una relación lógica y, por lo general, se presentan de manera alternada.

Ejemplos: * A; 1; C; 4; E; 7; ... * Z; 40; V; 44; R; 48; ...

4. Sucesiones especiales Sus soluciones son de manera intuitiva. Ejemplo:

D ; L ; M ; M ; JO U A I UM N R E EI E T R VN S E C EG S O SO L

ES


137

Sucesiones aritméticas y geométricas

DEFINICIÓN

Una sucesión es un conjunto de elementos que pueden ser números, letras o figuras, ordenados de manera que se puede distinguir cuál es el primero, el segundo, el tercero y así sucesivamente, de acuerdo con una ley de formación, fórmula de recurrencia o criterio de orden, según sea el caso.

1. Sucesión numéricaEs aquella cuyos elementos son números.De forma general, podemos observar:

Veamos algunos ejemplos de sucesiones numéricas: a) 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; 33; ... b) 8; 24; 72; 216; 648; 1944; ... c) 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; ... (sucesiones de Fibonacci)

2. Sucesión aritmética, lineal o de primer orden

Es aquella en la que se cumple que la diferencia de dos términos consecutivos (el de mayor posición menos el de menor posición) es constante.

Ejemplo:

r = 8 → razón aritmética

Donde: t1 = 5 ⇒ 8(1) – 3 t2 = 13 ⇒ 8(2) – 3 t3 = 21 ⇒ 8(3) – 3 t4 = 29 ⇒ 8(4) – 3 t5 = 37 ⇒ 8(5) – 3 . . . . . . . . . tn = 5 ⇒ 8(n) – 3

De manera general el término enésimo (tn) de toda sucesión aritmética se calcula así:

r : razón aritmética tn = t1 + r(n – 1) t1 : término de posición 1 n : posición de término

Aunque de forma práctica, lo puedes calcular de la siguiente manera:

r: razón aritmética tn = t1 + r(n – 1) n: posición de término to: término anterior al primero (to = t1 – r)

Ejemplo:

∴ tn = 7n + 4

3. Sucesión geométrica Es aquella sucesión en la que se cumple que el co-

ciente de dos términos consecutivos (el de mayor posición entre el de menor posición) es constan-te.

Ejemplo:

Se puede observar que:

138

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula el término 30 de la si-guiente sucesión:

7; 11; 15; 19 …

2. Determina el término 12 en la siguiente sucesión:

3; 6; 12; 24; …

3. Calcula t15 + t24 si se sabe que:26; 31; 36; 41;…

PUCP4. Calcula la razón de la siguien-

te P.A. de 1er grado:

20términos2;... : 59

Solución:

tn t1 59 2r r 3n 1 20 1− −= ⇒ = =− −

5. Calcula la razón de la siguien-te P.A. de:

15;……..288

21 términos

6. En una sucesión geométrica cre-ciente de tres términos, se mul-tiplican el primer término por 4, el segundo por 7 y el tercero por 6, obteniéndose una progresión aritmética. Si el segundo término de la P.A. es 42, calcula el tercer término de la P.G.

7. Calcula el sexto término nega-tivo de la sucesión:

247; 240; 233; 226…

UNMSM

8. En una P.G. el quinto término es 5 y el octavo término es 135. ¿Cuál es el sétimo término de dicha progresión?

Solución:

(8 5) 385

t 135q qt 5−= ⇒ =

q = 3

(7 5) 275

t xq 3t 5−= ⇒ =

x = 45

9. En una P.G., el décimo segun-do término es 128. Si el nove-no término es 16, calcula el término 16.

10. En una P.A., de 1er grado el T30 = 246. Si T15 = 14, calcula T17

11. Si se ordenan los números 3; 7 y 1 en forma ascendente, y a cada uno se le suma una misma cantidad, se obtiene un P.G. calcula la suma de las cifras del cuarto término de la progresión.

12. Calcula el número de térmi-nos que tiene una progresión aritmética si se sabe que el pri-mer término y la razón son la semisuma y la semidiferencia de los números "a" y "b" (a ≠ b), respectivamente.

Además, el último término de dicha progresión es "4a – 3b".

13. Si el primer término de un a P.A. "a + b" y la razón es "a – b", ¿cuán-tos términos posee dicha su-cesión si el último término es "12a – 10b"?

14. Tres números cuya suma es 36 están en P.A. si se les añade 1; 4 y 43, respectivamente los resultados formarán una P.G., ¿cuáles son los números ini-ciales?

De manera general: Término enésimo:

tn = t1 × qn–1

t1 : primer término q : razón geométrica n : posición de cada término

4. Sucesión cuadrática de 2.º orden Es aquella sucesión cuyo término enésimo es de

la forma: tn = an2 + bn + c; donde a, b, c ∈R; a ≠ 0

Ejemplo:

Para calcular el término enésimo de una sucesión cuadrática, emplearemos un método práctico:

c = t0 t1; t2; t3; t4; t5; ...

a+b = S0 + S1 + S2 + S3 + S4 + ...

2a = +r +r +r +r


139

Series aritméticas y geométricas

DEFINICIÓN

Una serie numérica es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica, cuyo resultado se llama valor de serie.

Ejemplos:

Sucesión : 4; 7; 10; 13; 16; …; 91Serie : 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + …+ 91

1. Serie aritmética Es la adición indicada de los términos de una su-

cesión lineal, aritmética o de primer grado.

t1 + t2 + t3 + t4 + ... + tn = S

+r +r +r

t1 : primer término r : razón tn : término enésimo

S = ×nt1 + tn2

n : número de términos

2. Serie geométrica Es la adición indicada de los términos de una su-

cesión geométrica. En el caso de las series geomé-tricas, estas pueden ser de dos tipos: finitas o infi-nitas convergentes.

a) Serie geométrica finita Es aquella que tiene una cantidad limitada de

términos.

t1 + t2 + t3 + t4 + ... + tn = S

×q ×q ×q

t1: primer término tn: término enésimo q: razón n: número de términos

( )n1

1

T q –1S

q

×=

b) Serie geométrica infinita convergente Es aquella que tiene una cantidad ilimitada de

términos, cuya razón (q) cumple la siguiente condición: 0 < |q| < 1.

t1 + t2 + t3 + t4 + ... + ∞ = S

.q .q .q

1TS 1 q= 0 ≤ |q| < 1

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula el valor de “E”: E = 7 + 10 + 13 + 16 + … 94

2. Calcula el valor de U: U = 3 + 12 + 48 + 192 +… +… 12288

3. Calcula el valor de “S”:S = 16 + 8 + 4 + 2 + …

PUCP

4. Calcula la suma de los 20 pri-meros múltiplos positivos de 6.

Solución: S = 6 + 12 + 18 + …. 120

6 120S 20 12602+ = =

5. Calcula la suma de los 50 pri-meros múltiplos positivos de 19.

6. El inventor del ajedrez, pidió al príncipe hindú, 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero de ajedrez; 2 en la se-gunda, 4 en la tercera y así su-cesivamente. ¿Cuántos granos de trigo pidió dicho inventor.

140

7. Calcula el valor de “S”:

100sumandosS 2 3 6 6 18 12 ...= + + + + + +

UNMSM

8. Resuelve:

2 3 41 2 3 4S ...2 5 5 5

= + + +

Solución:

2 3(–)

2 3

2 3 45S 1 ...5 5 5

1 2 3S ....5 5 5

= + + + +

↓ ↓ ↓ ↓= +

2 2 31 1 44S 1 ...5 5 5

= + + + +

14S 11 5

=−

54S 4=

5S 16=

9. Resuelve:

2 38 9 10M 7 ...6 6 6

= + + + +

10. Si el segundo término de una P.A. es 7 y el séptimo término es 22, determina la suma de los 100 primeros términos de dicha P.A.

11. Se contrata a un vendedor para la venta de autos prome-tiéndosele pagar una comisión por el primer auto que venda y luego se le irá duplicando di-cha suma por cada nuevo auto vendido. Si por vender 12 au-tos recibió S/.12285, ¿cuánto le pagaron por el 5to. auto ven-dido?

12. Resuelve:

10sumandos6 66 666 6666 ...+ + + +

13. Resuelve:

15 cifras

R 3 33 333 ... 33...3= + + +

14. Calcula el valor de la siguiente serie:

( )2 2 x1 2x 3x 4x ... n 1 n ;0 x 1+ + + + + < <

0 < x < 1


141

Sumas notables

PRINCIPALES SUMAS NOTABLES

A continuación presentamos los resultados de algunas series conocidas debido a su recurrencia en ejercicios.

1. Suma de los primeros números naturales positivos:

n(n 1)1 2 3 4 5 ... n 2++ + + + + + =

2. Suma de los primeros números pares positivos:

2 4 6 8 ... 2n n(n 1)+ + + + + = +

3. Suma de los primeros números impares positivos:

2

"n" sumandos

1 3 5 7 9 ... (2n–1) n+ + + + + + =

En cada una de las sumas notables "n" representa el número de términos

4. Suma de los primeros números naturales positivos al cuadrado:

2 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1)1 2 3 4 ... n 6+ ++ + + + + =

5. Suma de los primeros números naturales positivos al cubo:

23 3 3 3 3 n(n 1)1 2 3 4 ... n 2

+ + + + + + =

6. Suma de los primeros productos binarios:n(n 1)(n 2)1 2 2 3 3 4 4 5 ... n(n 1) 3

+ +× + × + × + × + + + =

7. Suma de los primeros productos ternarios:

1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... n(n 1)(n 2)n(n 1)(n 2)(n 3)

4

× × + × × + × × + + + + =+ + +

Otras sumas notables1. Suma de potencias consecutivas de un número:

n1 2 3 4 n a(a –1)a a a a ... a a –1+ + + + + =

2. Suma de las inversas de los productos de números consecutivos de 2 en 2:1 1 1 1 1 n...1 2 2 3 3 4 4 5 n(n 1) n 1+ + + + + =× × × × + +

3. Suma de las inversas de los productos de números consecutivos de 3 en 3:

1 1 1 1...1 2 3 2 3 4 3 4 5 n(n 1)(n 2)n(n 3)

4(n 1)(n 2)

+ + + +× × × × × × + +

+=+ +

Integral1. Calcula el valor de la siguiente

suma:A = 1 + 2 + 4 + 8 + … 256

2. Calcula el valor de la siguiente expresión:

B = 2 + 6 + 12 + 20 + ... 1806


3 3 3 3 3C 12 13 14 15 ... 30= + + + + +

Trabajando en clase

142

PUCP

4. Calcula el valor de “q” si se sabe que el valor de E es 33 672:

E = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2q

Solución: 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2q

( ) ( )183 184

q q 1 33672×

+ =

q 183⇒ =

5. Calcula el valor de “r” en: 2 + 4 + 6 + 8 + … + r = 702


0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,7 + …16,1

7. Calcula el valor de S: S = 81 + 100 + 121 + 144 + ... + 2116

UNMSM

8. Calcula el valor de P.3 3 3 3 3P 6 12 18 24 ...120= + + + +

Solución: Factorizando:

( )3 3 3 3 3 3P 6 1 2 3 4 ...20= + + + +

( ) ( )2

3 20.21P 6 216 44100 95256002 = = =

= 9525600 9. Calcula el valor de M:

3 3 3 3 3M 9 18 27 36 ... 288= + + + + +

10. Si la suma de 40 números ente-

ros consecutivos es 980, ¿cuál es la suma de los 40 siguientes números consecutivos?

11. Calcula el valor de la siguiente serie:( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 5S 11 22 33 44 ... 30sumandos= + + + +

12. Calcula el valor de la siguiente serie:2 2 2 2

20términos1 2 2 3 3 4 4 5 ...× + × + × + × +

13. Calcula el valor de Q:2 2 2 2 2Q 1 2 2 3 3 4 4 5 ...66 67= × + × + × + × + ×

14. Si S1; S2; S3; ...S20 son la suma de los 20 primeros términos de una P.A. cuyos primeros términos son igual a 1 y sus razones son 1,3,5,7,…, respec-tivamente, calcula:

1 2 3 4 20M S S S S ...S= + + + +


143

Conteo de figuras

DEFINICIÓN

En el presente capítulo, el objetivo es encontrar el número de figuras con determinadas características solicitado en una situación problemática.Podemos identificar así dos métodos principales de conteo.

1. Conteo simple Se emplea en el caso de que se deba contar figuras

que cumplan ciertas condiciones por simple ins-pección u observación; con la ayuda, en algunos casos, de la individualización de las regiones que se forman empleando símbolos distintos (letras, números, marcas, figuras, etc.).

Ejemplo: ¿Cuántos triángulos hay en total en la figura mostrada?

1

24

5

3 Resolución: Individualizaremos las regiones que se observan

dentro del triángulo, colocándoles números dis-tintos a cada una:

Triángulos de una región: 1; 2; 3; 4; 5 → 5 + Triángulos de dos regiones: (1; 2) → 1 Triángulos de tres regiones: (1; 2; 3) → 1 Triángulos de cuatro regiones: (1; 2; 3; 4) →1 Triángulos de cinco regiones: (1; 2; 3; 4; 5) →1 Número de triángulos totales: 9

2. Conteo por inducción Se emplea en el caso de que se deba contar figu-

ras que cumplan ciertas condiciones, que forman parte de una figura principal, que puede ser redu-cida a casos más sencillos, similares a esta, los que al ser analizados permiten generalizar, es decir, inducir el número de figuras pedido en la figura principal.

Ejemplo: ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

Resolución N° de triángulos Forma Caso 1: 1 ⇒ 1 1 Caso 2: 3 ⇒ 1 + 2 12 Caso 3: 6 ⇒ 1 + 2 + 3 123 Caso 4: 10 ⇒ 1 + 2 + 3 + 4 1234

Conclusión Podemos observar que el número de triángulos

forma una serie aritmética cuyo último término coincide con el número de regiones en que se di-vide la figura principal; por lo tanto en el proble-ma, podemos inducir lo siguiente:

N° de triángulos será: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 6×7

2 = 21

3. Figuras regulares e irregulares ¿Qué es una figura regular? Desde el punto de vista geométrico, una figura

regular es aquella que tiene los lados y ángulos iguales. Además, guarda una relación de simétria.

Ejemplos: cuadrados, triángulos equílateros, en-

tre otras figuras regulares.

Conteo de cuadriláteros e irregulares Ejemplo: De la figura:

144

Integral

1. Calcula el máximo número de cuadriláteros que hay en la si-guiente figura.

2. Calcula el total de segmentos

que hay en la siguiente figura.

3. ¿Cuántos triángulos se en-cuentran en la siguiente figura?

PUCP

4. Indica el número de triángu-los que hay en la figura.

Solución:

1L A;B;C;D;E;F;G 72L BD;BE;DF;EF 43L CDF;EFG 27L ABCDEFG 1

14

⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =

5. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

6. ¿Cuántos triángulos hay en la

siguiente figura?

7. ¿Cuántos cuadriláteros en total se encuentran en la siguiente figura?

UNMSM

8. ¿Cuántas pirámides de base cuadrangular se pueden cortar en la siguiente figura?

Solución: Como nos piden la base cua-

drangular, tendríamos que sa-ber cuántos cuadrados rayan la base.

Entonces:

4.3 + 3.2 + 2.1 = 20

9. ¿Cuántas pirámides cuadran-gulares se pueden contar?

Trabajando en clase

Calcula la cantidad de cuadriláteros irregulares y regulares

Resolución:1 2 3 4

2

3

N° de cuadriláteros = 3 ×42

× 3 ×52

= 60 irregulares –1 –1 N° de cuadriláteros = 3 × 4 + 2×3 + 1×2 = 20 regulares –1 –1

145

10. ¿Cuántos sectores circulares hay en la figura?

11. Calcula la diferencia entre el total de cuadriláteros y el total de cuadrados en la si-guiente figura:

12. Determina la diferencia entre el total de paralelepípedos y el total de cubos.

13. Calcula el total de cubos y el total de paralelepípedos de:

14. ¿Cuántos triángulos, con al menos un asterisco, hay en la siguiente figura?


146

PsicotécnicoEn psicotécnico, tenemos gran variedad de tipos de problemas. Su finalidad es desarrollar las actitudes del examinado y determinar en qué campo se destaca.En esta clase, veremos los siguientes tipos de problemas:a) Figura que no correspondeb) Figura que no tiene parejac) Cubos desarrolladosd) Conteo de caras de sólidos

Ejercicios psicotécnicos1. ¿Cuál es el sólido de la plantilla de la izquierda?

a) c) e)

b) d)

Resolución:Es la que se obtiene reconstruyendo el sólido.Rpta.: c.

2. ¿Cuántas caras tiene el siguiente sólido?a) 8b) 10 c) 12 d) 11e) 9

Resolución: La cantidad de caras es 12. Rpta.: c.

3. ¿Qué palabra no guarda relación con las demás?a) Chira d) Leche b) Lima e) Amazonasc) Piura

Resolución: Lima, pues los demás son nombres de ríos. Rpta.: b.

4. ¿Qué figura continúa?

a) b) c) d)

Resolución: La rotación es antihoraria de cada indicador. Por

lo tanto, la respuesta es la «b».

Trabajando en clase

Integral

1. Indica la figura que continúa.

a) c) e)

b) d)

2. Indica la alternativa que completa (x, y) en el re-cuadro.

1/4 1/2 1/8 1/24 32/3 1/2 1/3 2/3 1/26 x 48 y 6

a) x = 6; y = 8 d) x = 7; y = 9 b) x = 6; y = 6 e) x = 8; y = 8c) x = 5; y = 8

147

3. Determina el valor de «x».6 3

4 36

9 6

8 514

7 6

y 2x

9 8

12 512

PUCP

4. Se tienen las siguientes figuras:

Si la figura de la izquierda se rota 90° en sentido horario y luego se traslada sobre la figura de la derecha, ¿qué figura resulta de esta unión?

a) c) e)

b) d)

Resolución:

∪ =

5. La figura rota 990° en sentido antihorario con respecto a su centro. ¿Cuál es la figura resultante?

a) c) e)

b) d)

6. Determina el valor de «w».

8 936

6 12

7 21

9 3

4 3w

7 10a) 16 c) 36 e) 49b) 25 d) 42

7. Determina el valor de R.

5

321810

30

43172

8

1541R

UNMSM

8. ¿Cuántos cubos simples se puede contar en el si-guiente sólido?

Resolución: 1.a → 8 +2. a → 73. a → 124. a → 18 45

9. Determina cuántos cubos simples hay en la si-guiente figura:

10. Indica la alternativa que representa a la figura 13 de la siguiente secuencia gráfica:Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

a) c) e)

b) d)

148

11. Determina cuál de las cinco fichas mostradas debe ser invertida para que la suma de los puntos de las partes superiores de las fichas sea igual a la suma de los puntos de las partes inferiores.

F1 F2 F3 F4 F5a) 1 c) 3 e) 5b) 2 d) 4

12. Determina el número de caras de la siguiente figura:

13. Determina el número de caras de la siguiente figura:

14. ¿Qué figura no guarda relación con las demás?

a) c) e)

b) d)


149

Ordenamiento lineal y circular

ORDENAMIENTO LINEALConsiste en aquellos ordenamientos en donde los elementos se encuentran alineados uno a continuación de otro; estos, a su vez, se dividen en los siguientes ordenamientos:

A. Ordenamiento lineal horizontal Puede ser, por ejemplo, amigos que van al cine y

se ubican en una fila, grupo de vecinos en una ca-lle, etc.

Ejemplo: A B F G H J

Derecha Sea:

Y ¿Quién está a la derecha de los demás? Rpta.: J Y ¿Quiénes están a la derecha de F? Rpta.: G, H y J Y ¿Quiénes están adyacentes a B? Rpta.: A y F Y ¿Quién está junto y a la izquierda de G? Rpta.: F Y ¿Quién está tres lugares a la derecha de B?

Rpta.: H

B. Ordenamiento lineal vertical Pueden compararse tamaños de personas, pesos,

personas que viven en un edificio, altitud de ciuda-des, etc.

Cómo graficar: «A es mayor que B» ⇒

A

B Cómo graficar:

«A no es mayor que B» ⇒ B

A En este último, notamos que si A no es mayor que

B, entonces, será menor o igual que B. Supongamos que tenemos el siguiente ordena-

miento, luego de una serie de datos:A

EF

C

DB

A este tipo de gráficas se le conoce como el diagrama del árbol.

Notamos lo siguiente: Y A es mayor que B y también que D, pues per-

tenecen a una misma rama. Y Entre A y C no se puede decir nada (quién es

mayor o menor), pues pertenecen a diferentes ramales.

Y El menor se definirá entre D o F, pues no hay una relación directa entre ellos.

Y Así podremos también deducir algunas cosas más en este gráfico, trata de encontrar otras relaciones.

ORDENAMIENTO CIRCULAREstos problemas consisten en ordenar una serie de objetos o personas alrededor de un determinado lugar. Por lo general, estos ordenamientos se refieren a mesas circulares con asientos distribuidos simétricamente (iguales espacios). Sin embargo, se pueden presentar ordenamientos circulares en otros contextos, como por ejemplo algunos niños haciendo una ronda, un jardín circular con árboles, etc.

Observaciones Z Antes de empezar a resolver los problemas, ob-

serva la cantidad de asientos y la cantidad de per-sonas, ya que si estos no coinciden, habrá algunas sillas desocupadas.

Z También debes fijarte si es un número par o im-par de asientos igualmente espaciados alrededor de la mesa; ya que si es un número par de asien-tos, algunas personas quedarán frente a otras, de lo contrario jamás ocurriría que haya una perso-na al frente de otra. Por ejemplo:

Y Se tiene una mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente:

Recuerda

Es conveniente utilizar el diagrama del árbol en problemas donde hay más de un

ordenamiento.

150

Trabajando en clase

IzquierdaDerecha W

X Q

R

ST

U

P

Aquí podemos decir: ● Q, R y S están a la izquierda de P. ● X, W y U están a la derecha de P. ● T está al frente de P.

Y Se tiene una mesa circular con cinco asientos distribuidos simétricamente.

E B

CD

A

Aquí podemos decir: ● B y C están a la izquierda de A. ● E y D están a la derecha de A.

Y Empieza con los datos que puedas fijar fá-cilmente, es decir, que generen menos posi-bilidades; estos se refieren generalmente a posiciones frente a frente o una junto a otra (adyacentes).

Integral

Juego lógico 1 (preguntas 1 y 2)Cuatro amigos, José, Carlos, Gabriel y Alexander, están en una fila horizontal (uno junto a otro). Carlos y Gabriel no se sientan al lado de José; además, Carlos se sienta entre Alexander y Gabriel.1. Alexander se sienta:

a) Al lado de Gabrielb) A la izquierda de Gabrielc) A la derecha de Joséd) En el extremo izquierdoe) Entre Carlos y José

2. Señala la alternativa que expresa la afirmación o afirmaciones posibles.I. Alexander está al lado de Gabriel.II. José está a la izquierda de Carlos.III. Carlos está a la derecha de Gabriel.a) Solo I c) Solo III e) I y IIIb) Solo II d) II y III

3. En una mesa circular, con seis asientos colocados simétricamente, se sientan cinco amigos: Alberto, Brenilda, Camila, Diana y Erick. Sabemos lo si-guiente:– Alberto se sienta frente a Brenilda y junto a Camila.– Diana se sienta frente a Camila.– Erick no se sienta junto a Diana.Afirmamos con certeza lo siguiente:

I. Erick se sienta junto a Alberto.II. Camila se sienta junto a Erick.III. Diana se sienta junto al lugar vacío.a) I y II c) II y III e) Solo IIb) I y III d) Todas

PUCP

4. En una mesa circular con seis asientos distribui-dos simétricamente, se sientan seis amigos: A, B, C, D, E y F. Se sabe lo siguiente:– C se sienta a la derecha de A.– Junto y a la izquierda de F se sienta A.– B no se sienta frente a A.¿Con seguridad dónde se sienta F?a) Junto a D d) A su derecha de Bb) Frente a E e) Entre A y Cc) Frente a D

Resolución:

BDE

AFC

BED

AFC

Rpta.: entre A y C

Juego lógico 2 (preguntas 5, 6 y 7)Seis personas se sientan alrededor de una mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente.

151

Se sabe lo siguiente:– Ángel se sienta tres asientos a la derecha de Car-

los y frente a Daniel.– Fernando se sienta tres asientos a la izquierda de

Ernesto.– Bernardo se sienta frente a Carlos.

5. ¿Cuántos ordenamientos posibles hay?

6. ¿Cuál de los siguientes enunciados es necesaria-mente verdadero?a) Fernando está junto a Daniel.b) Ernesto está junto a Carlos.c) Ángel está junto a Bernardo.d) Ángel está junto a un sitio vacío.e) Ninguna de las anteriores.

7. Si Bernardo y Ernesto no se sientan juntos, ¿qué personas se sientan junto a lugares vacíos?a) Bernardo y Danielb) Bernardo y Carlosc) Fernando y Ángel d) Daniel y Ernestoe) Carlos y Ernesto

UNMSM

8. De los resultados de una carrera entre siete autos, se sabe lo siguiente:– El auto rojo llegó en tercer lugar.– El auto verde llegó inmediatamente después

del azul.– El auto amarillo llegó en cuarto lugar y tres

lugares detrás del blanco.– El auto negro no llegó después del amarillo.– El auto beis llegó último.– No hubo empates.¿Qué auto llegó en sexto lugar?

Resolución:

1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.° 7.°

blan

co

negr

o

rojo

amar

illo

azul

verd

e

beis

Rpta.: verde

Juego lógico 3 (preguntas 9, 10 y 11)Siete atletas: Marco, Darío, Luis, Tomás, Nico, Javier y Renzo, participaron en una carrera. El orden en que los atletas cruzaron la meta cumple con las siguientes condiciones:- Tomás llegó antes que Renzo, pero después de

Marco.- Nico llegó después de Tomás, pero antes que Javier.- Darío llegó antes que Tomás y que Luis.- No hubo empates.

9. Señala un posible ordenamiento de llegada, del primero al último.a) Marco, Tomás, Nico, Luis, Renzo, Javier y Daríob) Marco, Darío, Nico, Tomás, Luis, Renzo y Javier c) Marco, Tomás, Luis, Renzo, Darío, Nico y Javierd) Darío, Marco, Luis, Tomás, Nico, Renzo y

Javiere) Darío, Tomás, Marco, Luis, Nico, Javier y Renzo

10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?a) Nico llegó antes que Darío.b) Marco llegó antes que Javier.c) Renzo llegó antes que Luis.d) Marco llegó después de Renzo.e) Tomás llegó después de Luis.

152

11. Si entre Luis y Renzo llegaron al menos tres per-sonas, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es ver-dadera?a) Darío ganó la carrera.b) Marco ganó la carrera.c) Javier llegó antes que Renzo.d) Javier llegó después de Renzo.e) Tomás llegó después de Luis.

12. Seis hermanos, A, B, C, D, E y F, se sientan alrede-dor de una mesa circular con seis asientos distri-buidos simétricamente. Se sabe lo siguiente:– El único par de mellizos se sienta uno junto al

otro.– El mayor se sienta frente a D.– A se sienta exactamente frente a B.– B se sienta a la izquierda inmediata de C.– El menor se sienta frente a C.– E no es el mayor y D no es el menor.¿Quiénes podrían ser los mellizos?a) B y C c) D y F e) A y F b) A y B d) E y C

Juego lógico (preguntas 13 y 14)Ocho amigos: Antonio, Victoria, Míriam, Manuel, Penélope, Rodrigo, Sandro y Zoila, se sientan alrededor de una mesa circular. Se sabe lo siguiente:- Cuatro de ellos tienen polos rojos, dos tienen po-

los azules y los otros dos, polos blancos.- Los que usan polo rojo no se sientan juntos.- Los que usan polo azul se sientan frente a los que

tienen polo blanco.- Victoria se sienta a la derecha de Antonio y Mí-

riam, y frente a Penélope.- Manuel no se sienta junto a Míriam ni a Penélope.- Rodrigo, Sandro y Zoila tienen polos diferentes,

pero se sientan en asientos consecutivos.

13. ¿Quiénes con seguridad usan polo rojo?a) Rodrigo, Sandro y Zoilab) Victoria, Míriam y Penélopec) Antonio, Penélope y Victoriad) Antonio, Penélope, Victoria y Zoilae) Antonio, Penélope, Victoria y Sandro

14. Señala el enunciado o enunciados verdaderos.I. Manuel se sienta frente a Sandro.II. Míriam y Antonio se sientan juntos.III. Zoila tiene polo blanco.a) Solo I c) Solo III e) Todasb) Solo II d) I y II


153

Cuadro de decisiones y principio de falsa suposición

En este tipo de juego lógico, se sugiere construir un cuadro con la finalidad de organizar la información proporcionada. De esta manera, será más fácil obtener la respuesta correcta.Se pueden construir diferentes tipos de cuadros, pero los tres más usados son:

Tabla de doble entradaSe utiliza sobre todo en los problemas cortos y/o en los que hay que relacionar a cada persona con un solo rubro (actividad, característica, objeto, etc.).Ejemplo:Tres amigas: Mariela, Lita y Sonia, llevan puesto, cada una de ellas, un polo de diferente color: rojo, amarillo y verde, además, se sabe:

Z Lita no tiene el polo rojo. Z Sonia le dice a la que tiene el polo verde para visi-

tar más tarde a Mariela. Z Mariela no tiene el polo amarillo.

Resolución:Primero construimos un cuadro con todas las posibilidades.

Rojo Amarillo VerdeMarielaLitaSonia

Primer dato: Lita no tiene polo rojo.Rojo Amarillo Verde

MarielaLita Sonia

Segundo dato: Como Sonia le dice a Mariela para visitar a la que tiene el polo verde, entonces, ninguna de ellas tiene el polo verde, por lo tanto, Lita usa polo verde.

Rojo Amarillo VerdeMariela Lita Sonia

Tercer dato: Mariela no usa polo amarillo, entonces, Sonia usará amarillo y Mariela usará polo rojo.

Rojo Amarillo VerdeMariela Lita Sonia

Tabla cortaSe utiliza mayormente cuando hay que relacionar varios rubros para cada persona, por lo que una tabla de doble entrada resultaría muy grande.

Ejemplo:Tres amigas: Mariela, Lita y Sonia, llevan puesto, cada una de ellas, un polo de diferente color: rojo, amarillo y verde, y cada una de ellas tiene una mascota diferente: perro, gato y búho, además, se sabe lo siguiente:

Z Mariela le dice a la dueña del perro, que le gusta el polo amarillo que está usando.

Z Lita usa polo rojo y no tiene de mascota a un ani-mal de cuatro patas.

Resolución:Primero construimos nuestro cuadro corto con los respectivos rubros.

NombresColorMascota

Primer dato: La dueña del perro usa polo amarillo y no es Mariela.

Nombres MarielaColor amarilloMascota perro

Segundo dato: Lita tiene polo rojo y tiene como mascota al búho.

Nombres Mariela LitaColor amarillo rojoMascota perro búho

154

Trabajando en clase

Recuerda

Debes reconocer qué tipo de tabla emplear si solo son 2 opciones con la

tabla de doble entrada.Si trabajas con 3 o más opciones, trabaja

con la tabla corta.

De estos datos, podemos deducir: Z Sonia – amarillo – perro Z Lita – rojo – búho Z Mariela – verde – gato

Sonia Lita Marielaamarillo rojo verdeperro búho gato

Integral

Juego lógico 1Susana, Natalia, Vania, Yesenia y Romina son artistas y cada una hace solo una de las siguientes cosas: cantar, tocar el piano, tocar la guitarra, bailar y tocar la batería. Además, se sabe lo siguiente:- Por estos días, Susana quiso grabar un disco con

la guitarrista, pero le informaron que esta había salido de gira con la pianista.

- Natalia es muy amiga de la cantante y ha grabado todas sus presentaciones.

- Romina ha cancelado sus presentaciones pues está afónica, pero asistirá a la primera presenta-ción de Vania.

- Yesenia nunca ha trabajado sola, pero en cambio la pianista ya se ha presentado sola varias veces.

- A Vania le gustaría tocar el instrumento que toca Susana.

1. ¿Quién toca la batería?

2. La asociación correcta es:a) Susana – cantante d) Yesenia – bailarinab) Natalia – pianista e) Romina – cantantec) Vania – baterista

3. Señala qué afirmación es correcta.I. Natalia y Yesenia están de gira.II. La cantante quiere grabar un disco con la gui-

tarrista.III. A Vania le gustaría tocar la batería.a) I y II d) Todasb) II y III e) Ningunac) I y III

PUCP

Juego lógico 2Cuatro amigos: Carlos, Bruno, Daniel y Antonio, usan cada uno un polo de color diferente: azul, verde, rojo y amarillo y tiene cada uno un carro de marca diferente: A, B, C y D. Se sabe lo siguiente:- Ni Carlos ni Daniel manejan un carro de marca D.- El dueño del polo amarillo tiene un carro de marca A.- El polo de Carlos es de color rojo.- Antonio se compró un carro de marca B y no usa

ropa de color amarillo.

4. ¿Quién es dueño del carro de marca D?Resolución:

Nombre Color MarcaDaniel amarillo ACarlos rojo CAntonio BBruno D

Rpta.: Bruno.

Juego lógico 3Tres amigas: Agatita, Doroty y Fernandita, compra-ron un pantalón, un vestido y una blusa, aunque no necesariamente en ese orden, en tres establecimien-tos diferentes: «Todo para gorditas», «Todo para fla-quitas» y «Todo para rellenitas». Además, se sabe lo siguiente:- La que adquirió el vestido lo compró en la tienda

«Todo para rellenitas».- Agatita no compró en la tienda «Todo para rellenitas».- La que compró en la tienda «Todo para gorditas»

no adquirió una blusa.

155

- Doroty compró un pantalón de talla X.- Cada una adquirió una prenda de vestir de tallas

diferentes entre X, Y y Z.

5. Es cierto lo siguiente:a) Fernandita compró un vestido.b) Doroty compró en «Todo para rellenitas».c) Fernandita compró una blusa.d) Agatita compró un vestido.e) Agatita compró en «Todo para gorditas».

6. No es posible que ______________.a) la blusa fuese comprada en «Todo para flaquitas»b) el pantalón fuese comprado en «Todo para

gorditas»c) la blusa comprada sea talla Yd) el vestido comprado sea talla Ze) el pantalón fuese comprado por Agatita

7. Para determinar qué talla compró cada una, basta saber lo siguiente:I. Agatita siempre usa talla Y.II. La prenda comprada por Fernandita no fue

talla Y.a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es.b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es.c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente.d) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.e) Se necesitan más datos.

UNMSM

Juego lógico 4Cuatro sospechosos son interrogados, pues uno de ellos robó un banco. Cada uno afirma lo siguiente:- Carlos: Manuel robó el banco.- Manuel: Lucho no fue.- Lucho: Manuel no miente.- Mauricio: Soy inocente.

8. Si solo uno de ellos dice la verdad, ¿quién robó el banco?

Resolución:Notamos que Manuel y Lucho no pueden tener respuestas contradictorias; entonces ambos dicen la verdad o ambos mienten. Como solo uno dice la verdad, entonces, tenemos:

Carlos V FManuel F FLucho F FMauricio F V

Se descarta la 1.a columna, entonces el ladrón fue Lucho.

Juego lógico 5José, Pepillo y Gonzalo deciden comprar la lotería. Después de saber los resultados del sorteo, que da como ganador a uno de ellos, sostienen la siguiente conversación:- José: Yo me saqué la lotería.- Pepillo: Yo no me saqué la lotería.- Gonzalo: José no se sacó la lotería.

9. Si se sabe que solo una afirmación es verdadera, ¿qué podemos concluir?a) José se sacó la loteríab) Pepillo no se sacó la loteríac) Gonzalo se sacó la loteríad) Pepillo se sacó la loteríae) José y Gonzalo se sacaron la lotería

10. Con el dato anterior, podemos concluir que ____.a) José no mienteb) Pepillo no mientec) Gonzalo o miented) Gonzalo mientee) José miente

Juego lógico 6Fátima tiene cuatro admiradores: Alejandro, Daniel Santiago y Rodrigo, uno de ellos le ha enviado un ramo de rosas de manera anónima. Fátima los reunió y les preguntó quién había sido, y ellos le contestaron de la siguiente manera:- Alejandro: Uno de nosotros fue.- Daniel: Yo no fui.- Santiago: Alejandro no fue.- Rodrigo: Fue Santiago.

156

11. ¿Quién le ha enviado el ramo de rosas, si solo uno de ellos ha mentido?

12. Hay cuatro amigos, cada uno con una determi-nada afición a un juego; sapo, ajedrez, dominó y damas; cada uno tiene una mascota: loro, gato, perro, canario y cada uno fuma una marca de ci-garrillos diferente: A, B, C y D.Además:- Pedro fuma A- El que juega sapo tiene el loro- Luis no tiene al canario- El que fuma C tiene el perro- El que juega damas fuma D- Alex fuma B y es dueño del gato

Si Jaime es el cuarto amigo, ¿qué deporte practica este?

Juego lógico 7Cinco socios de un conocido club de Lima son: César, Luis, Miguel, Carlos y Alberto. Ellos acostumbran ir todos los domingos con sus esposas y suegros a dicho club. Estos socios viven en diferentes distritos de Lima: Lince, Miraflores, Magdalena, Pueblo Libre y San Isidro. Los suegros a su vez viven en los mencionados distritos, pero ninguno vive en el distrito que vive su yerno. Además, se sabe lo siguiente:

- Los nombres de las esposas son: Teresa, Idania, Cristina, Celia y Érica.

- Los nombres de los suegros son: Roberto, Raúl, José, Javier y Hugo.

- Los nombres de las suegras son: Martha, Tula, Olga, Hilda y Lucha.

- César es yerno de Roberto.- Celia vive en Pueblo Libre, Martha en San Isi-

dro e Hilda en Magdalena.- El yerno de Tula es casado con Érica.- Alberto vive en Magdalena y Luis vive en Lince.- Olga, la madre de Teresa, es esposa de Hugo.- Idania acostumbrada salir de compras con las

esposas de Luis y Alberto.- Lucha es esposa de Javier.- César es primo de Idania.- Los esposos Miguel y Cristina viven en Mira-

flores.- Raúl es suegro de Alberto.- José es padre de Idania.- Los suegros de Alberto viven en Pueblo Libre.

13. ¿En qué distrito viven los suegros de Luis?

14. ¿Cómo se llama la esposa de Roberto?


157

Cuadros y tablas

Conceptos previosCuadrado mágicoCuadrado dividido en celdas, de forma que la suma de los números colocados en todas las filas, columnas y diagonales sea constante.

Cuadrado latino o semimágicoCuadrado dividido en celdas, de forma que la suma de los números colocados en todas las filas y columnas sea constante, mas no las diagonales.

Cuadrado diabólicoCuadrado dividido en celdas, de forma que la suma de los números colocados en todas las filas, columnas y diagonales, incluso las diagonales truncadas, sea constante.

Formas de llenar un cuadrado mágicoLlenar un cuadrado mágico de orden impar es algo sencillo; se complica el llenado cuando es un cuadrado mágico de orden par.Para el presente tema, solo desarrollaremos los cuadrados mágicos de orden impar y de 4 × 4.

Forma general de llenar un cuadrado mágico de orden impara) Coloca el 1 en la primera fila del cuadrado, en la

casilla del medio. Ejemplo:

1

b) Coloca los números en forma diagonal según el orden del tablero (si es de 3 × 3, 3 en diagonal; si es de 5 × 5, 5 en diagonal; y así sucesivamente). En el caso de que no se pueda colocar en diago-nal, el número se proyecta.

Ejemplo:

12

1

23

4

1

23

54

c) Se baja una casilla y se hace exactamente lo mis-mo que en el paso «b» y así sucesivamente, hasta llenar el tablero.

981

5 764

32

15815 7 14

131210

1664

3211 9

15815

247 14

2021

131925

1218

10

162264

2317

3211 9

Método particular para el cuadrado mágico de 3 × 3a) Se colocan alitas en los lados del tablero.

b) Se coloca el 1 en cualquiera de las casillas fuera del tablero.

1

c) Se llena de forma diagonal (en cualquiera de los dos sentidos) y así se llena todo el tablero.

12 4

58

96

3 7

158

Trabajando en clase

RecuerdaEn un cuadrado mágico, la suma de

columnas, filas y diagonales es constante, por lo tanto un sudoku no es cuadrado mágico; es

cuadrado latino.

d) Se proyectan los números fuera del tablero.1

2 45

89

63 7

2 9 457 3

816

Integral

1. Completa el cuadrado mágico con los números 1, 2, 3, 4, …, 9 y determina x + y + z

xy

3 z1

2. Completa el sudoku con los números del 1 al 4.

3 12

423

3. Completa con los dígitos 9 y 8, de modo que la suma en cada fila y columna resulte 34.

999

888

PUCP

4. Completa el cuadrado mágico con los números del 1 al 16, da como respuesta (x)(y) + z.

x14y

61z8

3

Resolución:

5 9 131415

1011

161283 74

12 6

5 9 41415

76

11283 10

13

162 11

x = 5; y = 7; z =12(5)(7) + 12 = 47

5. Completa el cuadrado mágico con los 16 primeros múltiplos de 4, y halla (A)(B) + (C).

B 8A

CO

16

56

6. Completa el buscaminas e indica la cantidad de minas (cada número indica la canti-dad de minas que hay alrede-dor de su casilla).

0 1 2 1 22 2 3 1 21 0 3 2 21 1 2 0 1

7. La figura representa focos nu-merados del 1 al 9, que tienen la siguiente propiedad: Si se toca un foco, cambia de esta-do él y los de su misma fila y columna. Si todos están apa-gados y se toca consecutiva-mente el 6, 8 y 1, ¿qué focos quedan prendidos?

9 8 76

23 145

UNMSM

8. Completa el siguiente cuadra-do mágico con los números del 1 al 25, y calcula (A)(B) + (C)(D).

A 3B

1 C

23 D 1718

Resolución:

15 9 314 8

19 13 718 12

23 17 11

510 4

21

6

2122 16

2025

24

23 10 17 4 116 18 5 12 24

19 1 13 25 72 14 21 8 20

15 22 9 16 3

(22)(20) + (13)(10) =440 + 130 = 570

159

9. Completa el siguiente cuadra-do mágico con los números 3, 7, 11, 15, 19, …, 99

117

3

10. Ordena los números del 1 al 8, de manera que la diferencia de dos casillas adyacentes cua-lesquiera resulte mayor que 3. ¿Cuántas posibles soluciones hay?

11. Completa las casillas en blan-co con los números del 1 al 4, de manera que cumpla con los signos y no se repita ningún número en filas y columnas.

> <

<

<

2

3

12. Ordena los números del 1 al 8, de manera que no haya 2 nú-meros consecutivos en casillas adyacentes (por lo menos un punto en común). Da como respuesta la suma de la fila central.

13. Halla A.B.C.

2

14

B 3

7

6 7C

1

5A

3

14. Completa con los números del 1 al 80, de manera que los nú-meros consecutivos siempre estén conectados de manera horizontal, vertical o diagonal.

73 754 38 35

1

34416 318

4411 21

20 2327181614

474858 25

3278

686449

5051

80

5355

57 59


juegos de ingenio€¦ · 13 7 5 25 a continuación se presentan una gran variedad de situaciones...

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