judit abardia bochaca juny de 2006 - uab barcelonamat.uab.cat/~juditab/chn.pdf · 2007. 7. 26. ·...

CHn: l’espai, els convexos i l’infinit

Judit Abardia Bochaca

Juny de 2006

Index

Introduccio vii

1 Preliminars 11.1 Estructures quasi-complexes i complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Preliminars algebraics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Definicio i exemples de varietats complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Varietats quasi-complexes i metrica hermıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4 Espai tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.5 Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.6 Forma de Kahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.7 Varietats de Kahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.8 Curvatura holomorfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.9 Varietats complexes de curvatura holomorfa constant . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Grups de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1 Definicio i exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2 Difeomorfismes i espai tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.3 Algebra de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.4 Grup uniparametric i claudator de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.5 Metrica i curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Espais homogenis i espais simetrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.1 Definicio i exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.2 Representacio d’espais homogenis com a quocient de grups de Lie . . . . . . . 211.3.3 Espai tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.4 Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.5 Tensor de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.6 Geodesiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Espai hiperbolic complex 252.1 Models de l’espai hiperbolic complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Model del disc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Espai tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Estructura complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Curvatura holomorfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Geodesiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.2 Model del paraboloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.3 Calcul diferencial a CHn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Espai tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Estructura complexa a CHn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

iii

iv INDEX

Derivada covariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Curvatura holomorfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Geodesiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.4 CHn com espai simetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Espai tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Estructura complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Geodesiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Curvatura holomorfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Subvarietats de CHn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.1 Hipersuperfıcies reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

No existencia d’hipersuperfıcies reals totalment geodesiques i umbilicals . . . 40Curvatura seccional de les hipersuperfıcies reals . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.2 Subvarietats totalment geodesiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.3 Subvarietats totalment reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Hipersuperfıcies reals de l’espai hiperbolic complex 473.1 Camps de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1 Camps de Jacobi i transport paral.lel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.2 Calcul de camps de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.3 Camps de Jacobi a CHn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Coordenades polars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.1 Calcul del volum de convexos a CHn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3 Coordenades de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.1 Camps de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3.2 Camps de Fermi i camps de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4 Exemples d’hipersuperfıcies reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4.1 Esferes i horosferes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Curvatures principals i normals de les esferes i horosferes . . . . . . . . . . . 55Volum i area de boles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.2 Discs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Volum de discs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.3 Bisectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Descomposicions de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Imatge per l’aplicacio exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Dualitat entre bisectors i geodesiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Altres propietats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Interseccions de bisectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.4.4 Poliedres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4.5 Tubs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Curvatura principal dels tubs sobre hipersuperfıcies . . . . . . . . . . . . . . 67Volum i area de tubs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Volum i area de tubs sobre corbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Formula de Steiner generalitzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4.6 Cilindres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Volum i area de cilindres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.4.7 Equidistants sobre CHp i RHn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.4.8 Classificacio de les hipersuperfıcies de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

INDEX v

4 Comportament asimptotic de convexos a l’espai hiperbolic complex 754.1 Convexitat i λ-convexitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1.1 Convexitat al pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.1.2 Convexitat en una varietat de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.1.3 Convexitat a CHn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.1.4 Exemples de λ-convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2 Quocient volum/area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2.1 Antecedents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2.2 Acotacio a CHn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3 Casos extrems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Bibliografia 87

Index alfabetic 90

Introduccio

En aquest treball es presenten diferents descripcions i propietats de l’espai hiperbolic complex pertal de poder-hi estudiar, posteriorment, geometria integral. Com a primer objectiu ens centrema determinar quins valors pot prendre el quocient volum/area per les successions de convexos quetendeixen a omplir tot l’espai.

L’estudi del comportament asimptotic del quocient volum/area per successions de convexos neixd’un problema que plantegen Santalo i Yanez l’any 1972 a [SY72a]. Se sabia que, al pla hiperbolic,si es considera una successio de convexos de manera que tots els punts de la frontera de cada convexestan suportats per un horocicle, llavors el quocient area/perımetre tendeix sempre a 1. L’any 1985Gallego i Reventos a [GR85] van provar que per convexos en general se’n pot trobar una successioque tendeix a omplir tot el pla hiperbolic i que el quocient area/perımetre tendeix a qualsevol valorentre 0 i 1 i el 1999 van provar a [GR99] que aquest valor depen de la curvatura de la fronteradel convex. El resultat el van generalitzar Borisenko i Vlasenko a [BV99] per l’espai hiperbolic dequalsevol dimensio i Solanes a [Sol03] va provar que les cotes obtingudes per l’espai hiperbolic no espoden millorar, donant exemples concrets de successions de convexos que el quocient tendeix al valorde les cotes. Borisenko, Gallego i Reventos a [BGR01] van generalitzar el resultat per varietats decurvatura negativa acotada, per varietats de Hadamard, trobant un interval en el qual poden estarels valors del quocient. Com que el resultat es per varietats arbitraries no es poden buscar exemplesper saber si les cotes obtingudes es poden millorar a menys que es consideri una varietat particular.El cas particular mes senzill, l’espai hiperbolic, ja s’havia estudiat previament i se sabia que les cotesdel resultat general eren les millors possibles. Despres dels espais amb curvatura seccional constantels mes senzills son els que tenen curvatura holomorfa constant i, per curvatura negativa, aquestespai es l’espai hiperbolic complex. Aquest va ser un dels motius per iniciar-ne l’estudi. En aquesttreball veurem que, pel cas de l’espai hiperbolic complex, les cotes de la formula general de [BGR01]es poden millorar, tant la cota superior (que veiem que la trobada en aquest treball es la millorpossible) com la inferior.

L’espai hiperbolic complex estava poc estudiat com a varietat de Riemann fins al treball de Mon-tiel, [Mon84], i posteriors, de la decada dels 80. Durant els anys 70, Okumura, Takagi, Maeda i Konhavien comencat a estudiar l’espai projectiu complex des del punt de vista de varietat de Riemann in’havien comencat a estudiar hipersuperfıcies reals. Aquestes hipersuperfıcies (de codimensio 1) esvan anomenar reals ja que fins llavors s’havien estat estudiant nomes subvarietats complexes (quecom a mınim son de codimensio real 2 i dimensio parell) i es volia distingir que es parlava d’hi-persuperfıcies de codimensio 1. La dificultat mes important per estudiar aquestes hipersuperfıcies icaracteritzar les que compleixen certes propietats es va trobar en el fet que no hi havia un llenguat-ge adequat desenvolupat que tingues en compte que aquestes subvarietats hereten una estructuracomplexa que te gran influencia en el seu comportament.

Una vegada desenvolupat aquest llenguatge (estructura de quasi-contacte) no va ser directe passara estudiar l’espai hiperbolic complex amb tecniques analogues. Una de les idees principals ques’utilitza per estudiar CPn es que hi ha una fibracio de Hopf. Per CHn tambe es pot definir de maneraanaloga una fibracio amb espai base CHn i fibra S1 pero l’espai total no te estructura natural devarietat de Riemann sino de varietat de Lorentz i fins llavors les varietats semi-riemannianes s’havienestudiat poc des d’aquest punt de vista. S. Montiel a la seva tesi va donar exemples d’hipersuperfıcies

vii

viii Introduccio

reals de CHn i va caracteritzar les anomenades, posteriorment, hipersuperfıcies de Hopf, que son lesque una de les seves direccions principals es la imatge del vector normal per l’operador de conjugaciode l’estructura complexa. Els exemples d’hipersuperfıcies reals que donarem en aquest treball sonprecisament les hipersuperfıcies amb les quals va treballar Montiel a la seva tesi a mes dels tubssobre geodesiques i els anomenats bisectors. Els bisectors van ser introduıts per Mostow a [Mos80]per tal d’estudiar poliedres a l’espai hiperbolic complex.

En aquest treball, despres de repassar algunes nocions que utilitzarem de varietats de Kahler iespais simetrics, descriurem diferents models de l’espai hiperbolic complex i donarem propietats de lesseves hipersuperfıcies. Els exemples d’hipersuperfıcies ens permetran donar exemples de convexos.La nocio habitual i mes general de convexitat es que donats dos punts el segment de geodesicamınima que els uneix esta totalment contigut en el domini. En aquest treball, seguint la nocio ques’utilitza en els articles anteriors referents al tema, es pren com a definicio, equivalent en els espais decurvatura negativa, que la segona forma fonamental es semidefinida en cada punt. Aquesta condicioes equivalent al fet que per cada punt de la frontera del domini la imatge de l’aplicacio exponencialde l’espai tangent a la frontera del domini amb base el punt suporti localment el convex (cf. [Bis75],[Ale77]). En aquest punt reprendrem la pregunta inicial referent a l’estudi del comportament delquocient volum/area per convexos. En el teorema 4.2.1 es troba la seguent desigualtat per CHn:

λ

4n≤ lim inf

t→∞

vol(Ω(t))vol(∂Ω(t))

≤ lim supt→∞


≤ 12n

mentre que les fites teoriques per varietats de Hadamard en general son, en una varietat de dimensio2n, com CHn,

λ

4(2n− 1)≤ lim inf

t→∞


≤ lim supt→∞


≤ 12n− 1

.

La cota superior que es dona al teorema 4.2.1 es la millor possible ja que a partir de les esferes i elscilindres que s’han estudiat als capıtols anteriors es defineixen successions de convexos que tendeixena omplir tot l’espai i que tenen aquest valor com a lımit.

Aquest treball esta organitzat en quatre capıtols de la seguent manera.

El capıtol 1 repassa els conceptes generals que s’utilitzaran de varietats de Kahler i espaissimetrics. De totes maneres, en aquest primer capıtol ja es defineix l’espai hiperbolic complex CHn,com la bola de Cn amb una metrica, i els diferents conceptes que es van introduint es particularitzena CHn. Per estudiar les hipersuperfıcies de l’espai hiperbolic complex seran molt importants lespropietats de l’estructura complexa de la varietat. En aquest treball els espais simetrics nomes s’u-tilitzen per veure l’espai hiperbolic complex com a quocient de grups de Lie, com a espai homogenii simetric pero aquesta descripcio no s’utilitza posteriorment. De totes maneres, s’ha estudiat i s’hainclos en el treball com a completesa de l’estudi de l’espai hiperbolic complex. A mes, el punt de vistade CHn com espai simetric es el mes adequat quan s’estudien mesures invariants de CHn, objectiuposterior d’aquest treball.

El capıtol 2 dona diferents descripcions de l’espai hiperbolic complex i algunes propietats deles subvarietats de CHn. Com en el cas de l’espai hiperbolic real Hn, podem considerar diferentsmodels de l’espai hiperbolic complex. Aquı definim dos models i veiem CHn com espai simetric. Elsmodels que s’estudien, el del disc i el del paraboloide, es poden considerar com analegs al model del’hiperboloide de Hn. Com que CHn es una varietat complexa podem considerar subvarietats realsi subvarietats complexes. En aquest segon capıtol s’estudien propietats de les hipersuperfıcies reals,que es en les quals es troba un comportament mes diferent al d’espais de curvatura constant: nohi ha hipersuperfıcies totalment umbilicals ni totalment geodesiques. Acabem el capıtol donant lesformules mes importants de la trigonometria a l’espai hiperbolic complex.

El capıtol 3 estudia les hipersuperfıcies reals de l’espai hiperbolic complex. L’objectiu d’aquestcapıtol es coneixer exemples d’hipersuperfıcies de CHn. Ens interessa estudiar les hipersuperfıcies ja

Introduccio ix

que son frontera de dominis de CHn i algunes seran frontera de dominis convexos. Per tant, seranexemples per estudiar al seguent capıtol. Primer de tot, recordem la definicio i propietats dels campsde Jacobi i calculem l’expressio d’aquests a CHn. Utilitzant coordenades polars i camps de Jacobidonem una expressio general per calcular el volum i l’area de qualsevol convex a CHn. El metode esel mateix que per varietats de Hadamard pero la diferencia es que ara tenim una expressio concretaper integrar. Tambe definim les coordenades de Fermi ja que aquestes s’utilitzen per estudiar leshipersuperfıcies que son tubs.

Com a exemples d’hipersuperfıcies es comenten les esferes, horosferes, equidistants sobre CHp iRHn immersos dins de CHn (les anomenades hipersuperfıcies de Hopf), bisectors, discs i cilindres(equidistants a una geodesica). Pels exemples d’hipersuperfıcies compactes (esferes, cilindres i discs)calculem el seu volum i per altres calculem les curvatures principals per poder decidir despres sipoden ser frontera d’un domini convex. Tambe s’estudien tubs en general a CHn, es troba la relacioentre les curvatures principals d’una hipersuperfıcie i la paral.lela i es generalitza la formula de Steinera CHn.

El quart capıtol tracta la convexitat en varietats de Riemann i estudia caracterıstiques delsconjunts convexos a CHn. Tambe estudia el comportament asimptotic del quocient volum/areadels convexos de CHn. Es conegut que el quocient volum/area dels convexos en una varietat deHadamard esta acotat entre dos valors. En aquest darrer capıtol es prova que les cotes generals espoden millorar en el cas particular de CHn i que la cota superior que es troba es la millor possibleja que les successions d’esferes i cilindres ens donen exemples de successions de convexos que el seuquocient tendeix al valor de la cota superior, 1/2n.

Per acabar aquesta introduccio m’agradaria agrair a l’Eduard Gallego totes les hores que hapassat a resoldre els meus dubtes sense perdre la paciencia. I no menys a l’Agustı Reventos quesempre ha tingut un moment per escoltar-me.

Al professor Sebastian Montiel per haver-me explicat de manera tan clara els resultats conegutsde CHn des de la seva tesi fins ara.

Als companys del doctorat, de la carrera, del despatx, del cotxe, de Manresa... i especialmentals companys del “jove seminari de geometria” amb qui tantes converses hem mantingut.

Aquest treball ha estat realitzat amb el suport del Departament d’Universitats, Recerca i Societatde la Informacio de la Generalitat de Catalunya i del Fons Social Europeu.

Capıtol 1

Preliminars

1.1 Estructures quasi-complexes i complexes

1.1.1 Preliminars algebraics

Per definir el concepte de varietat de Kahler es considera un automorfisme de l’espai tangent de lavarietat en cada punt. Aquest automorfisme te propietats analogues a la multiplicacio per i delsespais vectorials complexos.

Sigui V un espai vectorial real de dimensio m i e1, ..., em una base de V . Diem que unaaplicacio lineal de V en ell mateix es un automorfisme si es bijectiva. Suposem que a V hi ha definitun automorfisme J tal que J2 = −Id, llavors la dimensio de V es parell. En efecte, s’ha de satisfer

0 ≤ det(J)2 = det(J2) = det(−Id) = (−1)m.

Els automorfisme que compleixen J2 = −Id tenen valors propis ±i amb multiplicitat n cada uni no diagonalitzen sobre el cos real. De totes maneres, a partir d’una base de vectors propis de valorpropi i u1 + iv1, ..., un + ivn sobre C obtenim una base u1, ..., un, v1, ..., vn sobre R tal que

J(uk) = vk (1.1)J(vk) = −uk

si k ∈ 1, ..., n. Recıprocament, si la dimensio de l’espai vectorial real es parell sempre podemdefinir un automorfisme J imposant que una base compleixi les igualtats (1.1).

Observem que l’automorfisme J actua de manera analoga a la multiplicacio per i en un espaivectorial complex.

Donat un espai vectorial real V de dimensio 2n podem definir un espai vectorial complex V ′ dedimensio complexa n definint la multiplicacio per nombres complexos sobre els elements v ∈ V apartir de l’automorfisme J com

(a+ ib)v = av + bJv.

Anomenem a V ′ l’espai vectorial complex definit a partir V .Si e1, ..., e2n es una base de V en que J actua de la seguent manera

J(ek) = en+k

J(en+k) = −ek

podem considerar que e1, ..., en es base de V ′, ja que per la definicio de la multiplicacio per comple-xos tenim que iek = Jek = ek+n, si k ∈ 1, ..., n. A mes, si v ∈ V s’escriu com (v1, ..., vn, vn+1, ..., v2n)li podem associar un element de V ′ tal que en coordenades respecte la base e1, ..., en s’escriu(v1 + ivn+1, ..., vn + iv2n). Observem que la base e1, ..., en tambe es pot escriure com

12

(e1 − iJe1

), ...,

12

(en − iJen

)(1.2)

1

2 1.1 Estructures quasi-complexes i complexes

ja que12

(ek − iJek

)=

12

(ek − iek+n

)=

12

(ek − Jek+n

)= ek

per la definicio de J i de la multiplicacio per i. Aquesta manera d’escriure la base la utilitzarem ala seccio 1.1.4.

A partir de V tambe podem definir un espai complex de dimensio 2n. Definim l’espai complexificatd’un espai vectorial real com V C = V ⊗R C. Per definir el complexificat d’un espai vectorial real,doncs, no es necessari tenir definit l’automorfisme J ni que la dimensio de l’espai vectorial real siguiparell.

Podem escriure els elements de V C = v + iw | v, w ∈ V . Amb aquesta descripcio te sentitdefinir l’aplicacio conjugacio com v + iw = v − iw i l’espai inicial V esta contingut dins de V C comV = v + iw ∈ V C | w = 0 = z = v + iw ∈ V C | z = z.

Si a V hi ha definit un automorfisme J , a l’espai complexificat podem definir un automorfismeJc extenent l’automorfisme J per C-linealitat. Jc diagonalitza descomposant V C en dos subespaisen suma directa,

V C = V 1,0 ⊕ V 0,1. (1.3)

Denotem per V 1,0 al subespai de vectors propis de valor propi i i per V 0,1 al subespai de vectorspropis de valor propi −i.

Fins ara a partir d’un espai vectorial real (de dimensio parell) hem definit dos espais vectorialscomplexos. Ara be, donat un espai vectorial complex W de dimensio complexa n tambe podemdefinir un espai vectorial real de dimensio real 2n. Per fer-ho considerem que la multiplicacio d’unvector de W per i es l’automorfisme J . Aixo ens permet definir un espai vectorial real W ′ a partirde W i determinar-ne una base de la seguent manera:

Lema 1.1.1. Sigui W espai vectorial complex amb base e1, ..., en. Llavors e1, ..., en, Je1, ..., Jenes base de W ′, l’espai vectorial real associat.

Demostracio. Per ser e1, ..., en base sobre C i, per tant, els vectors linealment independents obtenimque

Re(λjejk) = 0 ∀k = 1, ..., nIm(λjejk) = 0 ∀k = 1, ..., n

si i nomes si λj = 0 ∀j = 1, ..., n. A mes, per tal que e1, ..., en, Je1, ..., Jen sigui base de W ′, calque se satisfacin les dues mateixes equacions amb λj = αj + iβj on αj , βj ∈ R son els coeficients dela combinacio lineal α1e1 + ...+ αnen + β1Je1 + ...+ βnJen = 0.

En aquest treball tambe utilitzarem la nocio de producte hermıtic en un espai vectorial complex.

Definicio 1.1.2. Sigui W espai vectorial complex i u, v ∈ W . Diem que h : W ×W → C es unproducte hermıtic de W si compleix:

1. Es C-lineal respecte la primera component.

2. h(u, v) = h(v, u).

Observacio 1.1.3. De les propietats anteriors de producte hermıtic es dedueix que els escalars com-plexos de la segona component surten conjugats. En efecte, per la definicio de producte hermıtic sesatisfan les seguents igualtats:

h(u, λv) = h(λv, u) = λh(v, u) = λh(u, v).

Exemples 1.1.4. Per W = Cn les seguents expressions son productes hermıtics:

(i) h1(z, w) =∑n

j=1 zjwj , que te per matriu associada la matriu identitat.

Preliminars 3

(ii) h2(z, w) = −∑p

j=1 zjwj +∑n

j=p+1 zjwj , que te per matriu associada(−Idp 0

0 Idn−p

).

(iii) h3(z, w) = z0wn + znw0 +∑n−1

j=1 zjwj , que te per matriu associada0 1

1 0. . .

0 11 0

.

Observem que el primer producte hermıtic es definit positiu pero els altres no.

Donat un producte hermıtic podem descomposar-lo en part real i part imaginaria:

h(z, w) = Re(h(z, w)) + i Im(h(z, w)) = g(z, w) + iω(z, w).

Llavors g(z, w) defineix un producte escalar real no necessariament definit positiu i ω es alternadaper la definicio 1.1.2 de producte hermıtic i l’observacio 1.1.3.

1.1.2 Definicio i exemples de varietats complexes

Definicio 1.1.5. Sigui M varietat diferenciable. Diem que M es una varietat complexa de dimension si existeix un atlas holomorf tal que els canvis de cartes son holomorfs, es a dir, Uα, φα es unatlas amb Uα recobriment obert de M i φα : Uα → Cn homeomorfismes tals que φβ φ−1

α sonholomorfs en el seu domini de definicio.

Exemples

(i) L’espai vectorial Cn es una varietat complexa de dimensio n. Podem considerar els punts deCn com les n-tuples (z1, ..., zn), U = Cn i φ = id.

(ii) Tot obert de Cn es varietat complexa de dimensio n.

Per exemple, la bola unitat de Cn, es a dir, (z1, ..., zn) ∈ Cn |∑n

j=1 |zj |2 < 1 es una varietatcomplexa de dimensio n. Amb una metrica adequada (un multiple de la metrica de Bergmann,veure exemple 3 de 1.1.9) anomenem a la varietat de Riemann que s’obte espai hiperboliccomplex.

(iii) L’espai projectiu complex CPn es una varietat complexa de dimensio n.

L’espai projectiu complex es defineix de manera analoga a l’espai projectiu real. Considerem aCn+1 − 0 la relacio d’equivalencia que identifica els punts que son l’un multiple complex del’altre. Llavors, podem prendre com a atlas els oberts U0, ..., Un tals que

Uj = (z0, ..., zn) ∈ Cn+1 | zj 6= 0

i per a cada Uj prendre l’aplicacio φj(z0, ..., zn) = (z0/zj , ..., zj−1/zj , zj+1/zj , ..., zn/zj) que eshomeomorfisme. Els canvis de cartes son holomorfs ja que si z ∈ Uj ∩ Uk llavors el canvi decoordenades de Uj a Uk ve donat per la funcio holomorfa multiplicar per zj/zk.

(iv) Tota superfıcie orientable de R3 es varietat complexa de dimensio 1 (cf. [Ber57]).

Observem que, de la mateixa manera que qualsevol espai vectorial complex es pot veure comun espai vectorial real de dimensio el doble, qualsevol varietat complexa M de dimensio n es potveure com una varietat real de dimensio 2n. En efecte, fixat un punt z ∈ M podem suposar que tecoordenades complexes (z1, ..., zn) i cada zj = xj + iyj on xj , yj ∈ R.


1.1.3 Varietats quasi-complexes i metrica hermıtica

Sigui M varietat diferenciable real, x ∈ M i TxM l’espai tangent en el punt x. Suposem que hi hadefinida una aplicacio lineal J : TxM → TxM tal que J2 = −Id i que varia contınuament punt apunt, llavors diem que (M,J) es varietat quasi-complexa i que J es estructura quasi-complexa.

Si a la varietat (M,J) hi ha definida una metrica g tal que J es compatible amb g, es a dir, J esisometria de g diem que la metrica g es hermıtica.

En una metrica hermıtica es te g(X, JX) = 0 ∀X. En efecte, si apliquem J i utilitzem que g essimetrica obtenim g(X, JX) = −g(X, JX).

Lema 1.1.6. Tota varietat quasi-complexa es de dimensio real parell i admet una metrica hermıtica.

Demostracio. Sabem que la dimensio real de la varietat diferenciable ha de ser parell perque puguihaver-hi definida J .

Donada una metrica de Riemann g qualsevol sempre podem definir una metrica hermıtica g apartir d’ella. La metrica g(X,Y ) = g(X,Y ) + g(JX, JY ) es hermıtica ja que es de Riemann i escompatible amb J .

Exemple 1.1.7. Varietats de dimensio parell no quasi-complexes i varietats quasi-complexes nocomplexes.

Per tal que a una varietat real li poguem associar una estructura quasi-complexa es necessari quesigui de dimensio parell pero aixo no es suficient, Ehressman i Hopf van provar que a S4 no es potdefinir una estructura quasi-complexa (cf. [Che67] p.12).

A mes, donada una estructura quasi-complexa J no sempre donara estructura de varietat com-plexa a la varietat, es a dir, no sempre tindrem funcions coordenades definides en els complexosamb canvi de coordenades holomorfs. Les condicions que ha de complir el tensor J per tal que puguidonar estructura complexa s’anomenen condicions d’integrabilitat. El tensor de Nijenhuis-Newlander

NJ(X,Y ) = [JX, JY ]− [X,Y ]− J [JX, Y ]− J [X, JY ]

dona una condicio d’integrabilitat: s’anul.la si i nomes si l’estructura quasi-complexa es complexa(cf. [KN69] p.124).

Es important remarcar que sempre que parlem de metrica hermıtica ens referim a la definiciod’aquesta seccio, es a dir, l’espai vectorial (l’espai tangent en cada punt) sobre el qual esta definidaes real. En canvi, sempre que parlem de producte hermıtic ens referim a la definicio 1.1.2, es a dir,l’espai vectorial es complex.

1.1.4 Espai tangent

Sigui (M,J) varietat quasi-complexa de dimensio 2n i p ∈ M . Podem associar al punt p diferentsnocions d’espai tangent.

1. Espai tangent real.

Per ser M varietat real podem definir l’espai tangent en cada punt, que denotem per TpM2n osimplement TpM . Si escrivim el punt p en coordenades com (x1, y1, ..., xn, yn) tenim que unabase de l’espai tangent real es

∂

∂x1,∂

∂y1, ...,

∂

∂xn,∂

∂yn

. (1.4)

2. Espai tangent complexificat.

Tal com hem vist a la primera seccio, donat un espai vectorial real de dimensio real m semprepodem considerar l’espai complexificat d’aquest que es de dimensio complexa m. Per tant,

Preliminars 5

podem complexificar l’espai tangent real en cada punt. Denotem per (TpM)C l’espai tangentcomplexificat.

La base que hem considerat per l’espai tangent real tambe es base per l’espai tangent comple-xificat amb la diferencia que el segon cas els escalars son complexos.

Tambe podem considerar com a base de l’espai tangent complexificat∂

∂z1, ...,

∂

∂zn,∂

∂z1, ...,

∂

∂zn

(1.5)

on∂

∂zj=

12

(∂

∂xj− i

∂

∂yj

)i

∂

∂zj=

12

(∂

∂xj+ i

∂

∂yj

). (1.6)

3. Espai tangent holomorf.

L’espai tangent holomorf es complex i te dimensio complexa n. El denotem per TpMn. Es potdefinir de dues maneres equivalents segons es faci a partir de l’espai tangent real o de l’espaitangent complexificat.

(a) Definit a partir de l’espai tangent real.Tal com hem vist, a partir d’un espai vectorial real de dimensio parell i de l’automorfismeJ podem definir un espai vectorial complex de dimensio complexa la meitat de la dimensioreal. Suposem que l’estructura complexa J que hi ha definida a M actua sobre la base(1.4) com

J

(∂

∂xj

)=

∂

∂yji J

(∂

∂yj

)= − ∂

∂xj, (1.7)

si j ∈ 1, ..., n. Una base de l’espai tangent holomorf, aixı definit ve donada per12

(∂

∂x1− i

∂

∂y1

), ...,

12

(∂

∂xn− i

∂

∂yn

)ja que la base anterior esta construıda de manera analoga a la base de (1.2). Per la igualtatde (1.6) la base anterior es pot escriure com

∂

∂z1, ...,

∂

∂zn

.

(b) Definit a partir de l’espai tangent complexificat.Com que suposem que a la varietat hi ha definida una estructura quasi-complexa podemdescomposar l’espai tangent complexificat com a (1.3) i escriure

(TpM)C = (TpM)1,0 ⊕ (TpM)0,1.

Considerem ara, el subespai generat pels vectors propis de valor propi i, que hem denotatper (TpM)1,0. Si sabem com actua J sobre l’espai tangent real podem donar una base de(TpM)1,0. Per exemple, si J actua a la base (1.4) com a (1.7) es prova facilment que unabase de (TpM)1,0 sobre els complexos ve donada per

∂

∂z1, ...,

∂

∂zn

(1.8)

on ∂∂zj

son els definits a (1.6).

Respecte la base de (1.4) la matriu de J que hem definit s’escriu(0 −IdId 0

).


Com que en les dues maneres de definir l’espai tangent holomorf podem considerar la mateixabase (si definim J sobre la mateixa base de la mateixa manera) tenim que els dos espais tangentscomplexos coincideixen com a espais vectorials en cada punt.

Si la varietat quasi-complexa es varietat complexa llavors per a cada punt p ∈M hi ha definideslocalment les funcions coordenades zk : U → C que podem escriure zk = xk + iyk. Si considerem ladiferencial obtenim dzk = dxk + idyk que te com a base dual la base de (1.8). Amb aquesta idea tesentit la definicio de ∂

∂zjde (1.6). Anomenem espai tangent complex a l’espai tangent aixı definit en

una varietat complexa.A mes, en qualsevol varietat complexa hi ha definida una estructura quasi-complexa. A l’espai

tangent holomorf l’aplicacio multiplicar per i esta ben definida, compleix que aplicada dues vegadeses −Id i es estructura quasi-complexa. D’una estructura quasi-complexa en una varietat complexaen diem estructura complexa.

A partir de l’estructura complexa podem afirmar que, en una varietat complexa, l’espai tangentcomplex i l’holomorf coincideixen ja que la J que indueix l’estructura complexa a l’espai tangent realactua com la definida a (1.7) i, per tant, els podem associar la mateixa base.

En una varietat complexa, a l’espai complexificat tambe podem considerar com estructura com-plexa la multiplicacio per i.

De la mateixa manera que en el lema 1.1.1 sabem que si e1, ..., en es una base de l’espai tangentholomorf llavors e1, ..., en, Je1, ..., Jen es una base de l’espai tangent real.

De la base e1, ..., en, Je1, ..., Jen en diem J-base, sigui o no e1, ..., en base de l’espai complex.

Tambe podem donar una base de l’espai tangent complexificat a partir d’una J-base. Donadauna J-base definim la seguent base de l’espai complexificat:

12

(e1 − iJe1) , ...,12

(en − iJen) ,12

(e1 + iJe1) , ...,12

(en + iJen).

Els vectors son linealment independents i per dimensions sabem que formen una base de l’espaitangent complexificat.

Observem que la base anterior coincideix amb la base de (1.5) per com actua J a (1.7) si prenemej = ∂

∂xj.

1.1.5 Metrica

Per una banda, a la literatura (cf. [Che67], [KH83]) a partir d’una metrica hermıtica (real cf. seccio1.1.3), definida en una varietat hermıtica, es defineix un producte hermıtic (complex cf. definicio1.1.2) de l’espai tangent holomorf, que es un espai vectorial complex.

Per altra banda, a [KN69], [YK84] tambe a partir d’una metrica hermıtica (real cf. seccio 1.1.3),es defineix una metrica a l’espai tangent complexificat que pren valors complexos extenent-la perbilinealitat. Aquesta no compleix la definicio de producte hermıtic (de 1.1.2) pero a partir d’ella se’npot construir una altra que sı que la compleix.

En aquesta seccio definim aquestes metriques i les relacionem.

Sigui (M,J, g) varietat hermıtica i p ∈ M . Sigui E = ek, Jek base de l’espai tangent real ide l’espai tangent complexificat. Posem wk = 1

2 (ek − iJek) i wk = 12 (ek + iJek). Llavors, wk, wk

tambe es base de l’espai tangent complexificat, W .Tot v ∈ (TpM)C podem expressar-lo com a combinacio lineal dels elements de la base E i de la

base W . En efecte, suposem que v te coordenades (λ1, ..., λn, µ1, ..., µn) respecte la base E. Llavors,te coordenades (λ1 + iµ1, ..., λn + iµn, λ1 − iµ1, ..., λn − iµn) respecte la base W si considerem quetotes totes les coordenades respecte la base E son reals. Si denotem zk = λk + iµk, zk = λk − iµk,v ∈ TpM te coordenades (z1, ..., zn, z1, ..., zn) respecte la base W .

Estudiem la matriu de la metrica hermıtica (real) g definida a M respecte la base E. Per serJ isometria de g sabem que s’ha de complir g(ej , ek) = g(Jej , Jek) i g(ej , Jek) = −g(Jej , ek). Si

Preliminars 7

denotem per A la matriu que a l’entrada jk val g(ej , ek) i per B la matriu que a l’entrada jk valg(ej , Jek) tenim que la matriu de g respecte la base ej , Jej s’escriu(

A B−B A

)on A es simetrica i B anti-simetrica.

Ara, l’aplicacio gc obtinguda d’extendre g per bilinealitat esta definida a l’espai tangent comple-xificat i la seva matriu respecte la base ej , Jej tambe s’escriu(

A B−B A

).

Respecte la base wj , wj s’escriu

12

(0 A+ iB

A− iB 0

).

Enunciem en forma de lema les propietats de gc. Algunes les hem vist i les altres resulten evidents.

Lema 1.1.8. L’aplicacio gc compleix:

(1) Es C-bilineal.

(2) Es compatible amb l’extensio de J a l’espai complexificat (que hem definit extenent-la C-lineal).

(3) Es simetrica.

(4) gc(u, v) = 0 si u, v son els dos de (TpM)1,0 o de (TpM)0,1.

(5) gc(u, u) > 0, ∀u ∈ (TpM)C .

(6) gc(u, v) = gc(u, v), ∀u, v ∈ (TpM)C .

Si denotem per ξj , ξj la base dual de la base wj , wj l’aplicacio gc s’escriu en coordenades

gc = gkrξk ⊗ ξ

k + gkrξk ⊗ ξk

on gkr = gc(wk, wr) i gkr = gc(wk, wr).

A partir de gc definim un producte hermıtic en el sentit de la definicio de producte hermıtic sobreun espai vectorial complex de 1.1.2. Denotem per h aquest producte hermıtic.

Observem que w1, ..., wn es base de (TpM)1,0. Respecte aquesta base definim la matriu delproducte hermıtic h com

A+ iB

de manera que h(u, v) = u (A+ iB) v. Amb un calcul es prova que h compleix les propietats de ladefinicio 1.1.2 de producte hermıtic.

Ens agradaria recuperar la metrica inicial g a partir de l’aplicacio h. Estudiem h en coordenades.Siguin u, v ∈ (TzM)1,0. Suposem que u te coordenades (λ1 + iµ1, ..., λn + iµn) i que v te coorde-

nades (λ′1 + iµ′1, ..., λ′n + iµ′n) respecte la base w1, ..., wn. Llavors, si identifiquem les coordenades

de u amb el vector fila (λ+ iµ) i les coordenades de v amb el vector fila (λ′ + iµ′) i fem el productede matrius, obtenim

h(u, v) = (λ+iµ)(A+iB)(λ′ + iµ′)t= (λAλ′t+λBµ′t+µAµ′t−µBλ′t)+i(λBλ′t−λAµ′t+µAλ′t+µBµ′t)


i escrit en matrius

h(u, v) =(λ µ

)( A B−B A

)(λ′

µ′

)+ i(λ µ

)( B −AA B

)(λ′

µ′

)(1.9)

La part real de h coincideix amb la metrica inicial g i la part imaginaria, que es alternada, defineixuna 2-forma que anomenem forma de Kahler.

Si escrivim h en coordenades, respecte la base dual de wj, ξj, tenim

h = hkrξk ⊗ ξ

r (1.10)

on hkr = 2gkr = akr + ibkr.D’altra banda, donada una metrica en coordenades en la forma de h podem recuperar la metrica

hermıtica (i de Riemann) de la qual prove i treballar amb ella.

Exemples 1.1.9. (i) La metrica usual de Cn es troba expressada com h =∑n

j=1 dzj ⊗ dzj amb

dzj = dxj + idyj . Per tant, la metrica hermıtica de la qual prove esta donada per la matriu

identitat i la forma de Kahler esta donada per la matriu(

0 Id−Id 0

).

(ii) La metrica de Fubini-Study de l’espai projectiu complex s’escriu com

h =(1 +

∑wjwj)

∑dwj ⊗ dwj − (

∑wjdwj)⊗ (

∑wjdwj)

(1 +∑wjwj)2

respecte les coordenades homogenies.

(iii) La metrica de Bergman de l’espai hiperbolic complex s’escriu com

h =(1−

∑wjwj)

∑dwj ⊗ dwj + (

∑wjdwj)⊗ (

∑wjdwj)

(1−∑wjwj)2

que en la notacio de (1.10) vol dir hjk =wjwk

(1−∑wlwl)2

si j 6= k i hjj =1−

∑k 6=j wkwk

(1−∑wlwl)2

.

Mes endavant, pagina 27, donarem una manera mes natural d’arribar a l’expressio de la metricade Bergmann.

1.1.6 Forma de Kahler

Sigui (M,J, g) varietat hermıtica. Hem definit la forma de Kahler com la part imaginaria del productehermıtic definit a l’espai tangent holomorf a partir de la metrica hermıtica (real) pero tambe es potdefinir directament a partir de la metrica hermıtica com

ω(u, v) = g(u, Jv)

on u, v ∈ TpM . Sovint tambe es denota per 2-forma fonamental a la forma de Kahler.Comprovem que les dues definicions coincideixen, es a dir, Im(h(u, v)) = ω(u, v). A partir de

l’expressio de (1.9) coneixem la matriu de Im(h) respecte la base E (ja que (λ, µ) de (1.9) estaexpressat respecte aquesta base, per com ha estat definida la base wj). Si la matriu de ω respectela base E coincideix amb l’anterior llavors tenim la igualtat. Les entrades de la matriu de ω son

ω(ej , ek) = g(ej , Jek) = bjk

ω(ej , Jek) = −g(ej , ek) = −ajkω(Jej , ek) = g(Jej , Jek) = ajk

ω(Jej , Jek) = −g(Jej , ek) = −(−bjk) = bjk

Preliminars 9

i, per tant, la matriu de ω respecte la base E es(B −AA B

),

la mateixa matriu que la de Im(h).

Expressem ara la forma de Kahler en coordenades. Sigui ϕ1, ..., ϕ2n base dual de E. La formade Kahler en coordenades es∑n

j,k=1(bjkϕj ⊗ ϕk + bjkϕ

j+n ⊗ ϕk+n − ajkϕj ⊗ ϕk+n + akjϕ

j+n ⊗ ϕk)

=∑

j≤k(−ajk(ϕj ∧ ϕk+n) + bjk(ϕj ⊗ ϕk + ϕj+n ⊗ ϕk+n)) (1.11)

per ser A simetrica i B anti-simetrica.A vegades tambe s’escriu la forma de Kahler en coordenades respecte la base W (si es pensa com

a la primera definicio). Llavors l’expressio es

− i2hjkξ

j ∧ ξk. (1.12)

A partir de la relacio entre les bases duals de E i W podem provar que les dues expressions encoordenades son la mateixa. Tenim ξj = ϕj+ iϕj+n i ξj = ϕj− iϕj+n. Llavors, les expressions (1.11)i (1.12) coincideixen per ser A simetrica i B anti-simetrica ja que

n∑j,k=1

Re(hjkξj ∧ ξk) =

n∑j,k=1

Re((ajk + ibjk)(ξj ∧ ξk))

=n∑

j,k=1

(ajk(ϕj ∧ ϕk + ϕj+n ∧ ϕk+n) + bjk(ϕj+n ∧ ϕk − ϕj ∧ ϕk+n))

=∑j≤k

(ajk(ϕj ∧ ϕk + ϕk ∧ ϕj + ϕj+n ∧ ϕk+n + ϕk+n ∧ ϕj+n)

+bjk(ϕj+n ∧ ϕk − ϕk+n ∧ ϕj − ϕj ∧ ϕk+n + ϕk ∧ ϕj+n)) = 0

in∑

j,k=1

Im(hjkξj ∧ ξk) =

n∑j,k=1

Im((ajk + ibjk)(ξj ∧ ξk))

=n∑

j,k=1

(bjk(ϕj ∧ ϕk + ϕj+n ∧ ϕk+n) + ajk(ϕj+n ∧ ϕk − ϕj ∧ ϕk+n))

=∑j≤k

((bjk(ϕj ∧ ϕk − ϕk ∧ ϕj + ϕj+n ∧ ϕk+n − ϕk+n ∧ ϕj+n)

+ajk(ϕj+n ∧ ϕk + ϕk+n ∧ ϕj − ϕj ∧ ϕk+n − ϕk ∧ ϕj+n)))

=∑j≤k

2(bjk(ϕj ∧ ϕk + ϕj+n ∧ ϕk+n)− ajk(ϕk ∧ ϕj+n + ϕj ∧ ϕk+n)

).

1.1.7 Varietats de Kahler

Diem que una varietat hermıtica (M,J, g) es varietat quasi-Kahler si la forma de Kahler es tancada,es a dir, dω = 0.

Diem que una varietat complexaM es varietat de Kahler si hi ha definida una metrica de Riemanncompatible amb l’estructura complexa tal que la forma de Kahler associada a la metrica es tancada.Denotem una varietat de Kahler tambe com (M,J, g) on M es la varietat complexa, J l’estructuracomplexa i g la metrica compatible amb J .

Amb la notacio de l’apartat anterior tenim la seguent condicio:


Lema 1.1.10. Sigui ω = − i2hjkξ

j∧ξk la forma de Kahler. Llavors, dω = 0 si i nomes si∂hjk∂wl

=∂hlk∂wj

i∂hjk∂wl

=∂hjl∂wk

.

Demostracio. Desenvolupant dω tenim

dω = − i2

∑j,k<l

(∂hjk∂wl

−∂hlk∂wj

)ξl ∧ ξj ∧ ξk +

∑j,k<l

(∂hjk∂wl

−∂hjl∂wk

)ξl ∧ ξj ∧ ξk

i dω = 0 si i nomes si es compleixen les igualtats de l’enunciat.

De totes maneres, hi ha definicions equivalents a varietat de Kahler. Per donar-les necessitem elconcepte de funcio potencial i ordre de contacte entre metriques.

Definicio 1.1.11. Sigui (M,J, g) varietat de Kahler amb ω la forma de Kahler i f : M → R unafuncio C∞. Diem que f es funcio potencial de Kahler de ω si ω = ∂∂f , localment.

Definicio 1.1.12. Sigui M varietat complexa de dimensio n amb metrica g. Diem que g te ordre decontacte r amb la metrica usual de Cn si per a cada punt z0 ∈M existeix un sistema de coordenadesholomorf (z1, ..., zn) tal que en un entorn de z0 la metrica s’escriu

g =∑

(δjk + gjk)dzj ⊗ dzk

amb gjk anul.lant-se fins a ordre r.Escrivim g =

∑(δjk + [r])dzj ⊗ dzk.

El seguent lema dona condicions equivalents per tal que una varietat complexa sigui de Kahler.

Lema 1.1.13. Sigui (M, g) varietat de Riemann complexa. Les seguents condicions son equivalents:

(1) La forma de Kahler es tancada.

(2) ∇J = 0.

(3) ∇X(JY ) = J(∇XY ).

(4) Localment existeix una funcio potencial ψ tal que hjk =∂2ψ

∂wj∂wk.

(5) La metrica g te ordre de contacte 2 amb la metrica usual de Cn.

∇ denota la connexio de Levi-Civita de (M, g).

Demostracio. (3)=⇒(1)): Se sap (cf. [KN63] p.36) que l’expressio de dω quan ω es una 2-forma i,per tant, dω una 3-forma es:

dω(X,Y, Z) =13

X(ω(Y, Z)) + Y (ω(Z,X)) + Z(ω(X,Y ))

−ω([X,Y ], Z)− ω([Y, Z], X)− ω([Z,X], Y )

Utilitzant les igualtats ω(S, T ) = g(S, JT ), [S, T ] = ∇ST − ∇TS i U(g(S, T )) = g(∇US, T ) +g(S,∇UT ) i que J es paral.lel obtenim que dω(X,Y, Z) = 0, despres de desenvolupar cada terme iutilitzar que ω, per ser un 2-tensor, es antisimetric.

(1)=⇒(3)): Per provar que si la forma de Kahler es tancada llavors J es paral.lel utilitzem laformula que enuncia, per exemple, [KN69] p.148

4g((∇XJ)Y, Z) = 6dω(X, JY, JZ)− 6dω(X,Y, Z) + g(NJ(Y, Z), JX)

Preliminars 11

onNJ(X,Y ) = [JX, JY ]− [X,Y ]− J [JX, Y ]− J [X, JY ].

En les varietats complexes tenim que NJ(X,Y ) = 0 per a tot X,Y ∈ X(M) ja que podem pensarque J es la multiplicacio complexa per i. Llavors g((∇XJ)Y, Z) = 0 per a tot X,Y, Z ∈ X(M) i, perser g no degenerada s’ha de complir ∇J = 0, es a dir, J es paral.lel.

(2)⇐⇒(3)): Per ser J un tensor de tipus (1, 1) es pot escriure, sense perdua de generalitat, comJ = Z ⊗ ω on Z ∈ X(M) i ω ∈

∧(M).

Utilitzant que la derivada covariant definida sobre un producte tensorial compleix

∇(A⊗B) = ∇A⊗B +A⊗∇B

s’obte la igualtat

(∇XJ)Y = (∇X(Z ⊗ ω))Y = (∇XZ)⊗ ω(Y ) + Z ⊗ (∇Xω)(Y ) (1.13)

i se sap que(∇Xω)(Y ) = X(ω(Y ))− ω(∇XY ).

Substituint aquesta expressio a la igualtat (1.13) obtenim

(∇XJ)(Y ) = (∇XZ)⊗ ω(Y ) + Z ⊗ (X(ω(Y ))− ω(∇XY ))

Pero, la igualtat a la qual volem veure que es equivalent es pot escriure com

∇XJY − J(∇XY ) = (∇X(Z ⊗ ω)Y )− (Z ⊗ ω)(∇XY )= ∇X(Z ⊗ ω(Y ))− Z ⊗ (∇XY )= (∇XZ)⊗ ω(Y ) + Z ⊗∇Xω(Y )− Z ⊗ ω(∇XY )= (∇XZ)⊗ ω(Y ) + Z ⊗ (X(ω(Y ))− ω(∇XY )).

Per tant, tenim que les dues expressions son equivalents i ∇J = 0 ⇐⇒ ∇XJY = J(∇XY ), talcom volıem provar.

(4)=⇒(1)): Observem que hjk = ∂2ψ∂wj∂wk

si i nomes si ω = − i2∂∂ψ ja que

ω = − i2hjkξ

j ∧ ξk = − i2

∂2ψ

∂wj∂wkξj ∧ ξk = − i

2∂∂ψ

i si ω = − i2∂∂ψ, com que tambe ω = − i

2hjkξj ∧ ξk escrivint ∂∂ψ en coordenades i igualant obtenim

hjk = ∂2ψ∂wj∂wk

.

Suposem que hjk = ∂2ψ∂wj∂wk

. Llavors, dω = d(∂∂ψ) = ∂(∂∂ψ) + ∂(∂∂ψ) = 0 per ser ∂2 = ∂2 = 0.

(1)=⇒(4)): Cal veure que si dω = 0 llavors ω = − i2∂∂ψ per alguna funcio ψ.

Fixem un punt z ∈ M . Se sap (lema de Poincare) que per ser ω tancada existeix una 1-formaη tal que dη = ω, en un entorn del punt. Descomposem η en la part de (TzM)1,0 i de (TzM)0,1,η = η1,0 + η0,1 = αjξ

j + βkξk. Desenvolupant dη = dη1,0 + dη0,1 i igualant a ω = − i

2hjkξj ∧ ξk

obtenim que ∂η1,0 = ∂η0,1 = 0 i ∂η0,1 − ∂η1,0 = ω. Pel lema de Dolbeault, un analeg al lema dePoincare (cf. [MK71] p.74), existeix una funcio φ tal que ∂φ = η0,1. Llavors, prenent ψ = φ − φobtenim que ∂∂ψ = ω, tal com volıem veure (cf. [MK71] p.85).

(5)=⇒(1)): Suposem que g te ordre de contacte 2 amb la metrica euclidiana. Llavors la forma deKahler en unes certes coordenades s’escriu com ω = − i

2

∑(δjk + [2])dzj ∧ dzk i clarament compleix

dω(z0) = 0. Com que podem repetir l’argument per a tot z0 ∈ M tenim que la forma de Kahler estancada.

(1)=⇒(5)): Fixem un punt z0 ∈ M i un sistema de coordenades de manera que la forma deKahler sigui ω = − i

2

∑j,k(δjk +

∑l(αjklzl + αjklzl))dzj ∧ dzk amb αjkl, αjkl ∈ C. Ho podem fer

utilitzant el desenvolupament de gij .


Llavors, per complir-se gjk = gkj tenim que αjkl = αjkl.Suposant que ω es tancada i utilitzant el lema 1.1.10 obtenim que αjkl = αlkj es condicio ne-

cessaria.Per provar que hi ha un sistema de coordenades que fa que la metrica tingui ordre de contacte

2 amb l’euclidiana considerem vj = zj +∑βjklvjvk amb βjkl = βjlk. Per aquestes coordenades es

compleix ω = − i2

∑j,k(δjk +

∑l(αjklvl + αjklvl + βkljvl + βjlkvl))dvj ∧ dvk. Prenent βklj = −αjkl

obtenim un sistema de coordenades pel qual la metrica te ordre de contacte 2 amb l’euclidiana (cf.[GH78] p.108).

Exemple 1.1.14. Varietats de Kahler.Les varietats Cn, CPn i CHn son varietats de Kahler amb les metriques definides a l’exemple

1.1.9. Provem-ho pel cas de CHn, que es l’espai en que volem treballar.La forma de Kahler en coordenades s’escriu

− i2

(1−∑wjwj)

∑dwj ∧ dwj + (

∑wjdwj) ∧ (

∑wjdwj)

(1−∑wjwj)2

.

Amb la notacio del lema 1.1.10 tenim hjk =wjwk

(1−∑wlwl)2

si j 6= k i hjj =1−

∑k 6=j wkwk

(1−∑wlwl)2

.

Calculant∂hjk∂wl

i∂hjk∂wl

per a tot j, k, l es prova que es compleix el lema 1.1.10 i, per tant, la forma

de Kahler es tancada.Tambe podem provar que es varietat de Kahler a partir de l’apartat (4) del lema 1.1.13 definint

com a funcio potencial ψ(w) = log(1−∑wjwj). Llavors,

−∂∂ log(1−∑

wjwj) = −∂(− (∑dwjdwj) (1−

∑wjwj)

(1−∑wjwj)

)=

(1−∑wjwj)

∑dwj ⊗ dwj + (

∑wjdwj)⊗ (

∑wjdwj)

(1−∑wjwj)2

Exemple 1.1.15. Varietats complexes no Kahler.Donada una varietat complexa amb una metrica hermıtica (real) no sempre es varietat de Kahler.

Hi ha obstruccions topologiques. Per exemple, per tal que una varietat complexa compacta M siguide Kahler cal que els nombres de Betti (l’n-essim nombre de Betti es el rang de l’n-essim grupd’homologia de la varietat) d’ordre parell siguin positius ja que existeix la forma de Kahler que esno nul.la (cf. [MK71] p.88).

Les varietats de Hopf i, mes en general, les varietats de Calabi son exemples de varietats complexesno kahlerianes (cf. [MK71] p.14).

1.1.8 Curvatura holomorfa

En les varietats de Kahler o, en general, en les varietats en les quals hi ha definida una estructuraquasi-complexa, podem definir el concepte de curvatura holomorfa (cf. [O’N83] i [KN69]).

Definicio 1.1.16. Diem que un subespai W de TpM de dimensio complexa 1 es una seccio holomorfade l’espai tangent si W es invariant per J , es a dir, JW = W .

Donat w 6= 0 ∈W es compleix que w, Jw es una base de W , pensat com a subespai real.Recordem la definicio de curvatura seccional per definir despres curvatura holomorfa.

Definicio 1.1.17. Sigui p un punt d’una varietat de Riemann (M, g) de dimensio com a mınim 2 iΠ un pla de l’espai tangent en p. Sigui u, v base de Π. El valor de la curvatura seccional per Π enel punt p ∈M ve donat per:

K(Π) =g(R(u, v)v, u)

g(u, u)g(v, v)− g(u, v)2.

Preliminars 13

Es prova que el valor de la curvatura seccional no depen dels vectors u, v elegits que generen elpla.

Per tant, per calcular la curvatura seccional en un pla Π sempre podem considerar una baseortonormal del pla. Llavors la formula de la curvatura seccional es redueix a K(Π) = g(R(u, v)v, u).

Definicio 1.1.18. La curvatura (seccional) holomorfa es la curvatura seccional de les seccions ho-lomorfes.

1.1.9 Varietats complexes de curvatura holomorfa constant

Si l’espai te curvatura holomorfa constant llavors es pot expressar la curvatura seccional de qualsevolpla en funcio de l’holomorfa (cf. [KN69] p.167). A mes, com en el cas de les varietats amb curvaturaseccional constant, nomes hi ha tres varietats de curvatura holomorfa constant llevat isometria.

Definicio 1.1.19. Donats dos plans Π i Π′ de l’espai tangent en un punt definim l’angle entre elsdos plans com l’ınfim entre els angles que formen totes les parelles d’un vector de Π i un vector deΠ′.

Definicio 1.1.20. Sigui Π pla. Definim l’angle d’holomorfia µ(Π) com l’angle entre Π i J(Π).

Proposicio 1.1.21. L’angle entre dos plans Π i J(Π) esta donat per

cosα(Π) = |g(X, JY )|

on X,Y es una base ortonormal de Π.

Demostracio. Per provar aquesta igualtat utilitzem la definicio que hem donat per angle entre dosplans i la seguent igualtat coneguda

cos ](u, v) =g(u, v)

g(u, u)1/2g(v, v)1/2.

Aixı tenim que

cos(α(Π)) = cos(inf Z, JW ) = supg(Z, JW )

g(Z,Z)1/2g(JW, JW )1/2

on Z,W son vectors de Π.Fixem una base ortonormal del pla Π, X,Y . Llavors podem escriure els vectors Z i W com a

combinacio lineal de X,Y :Z = λ(cos(ϕ)X + sin(ϕ)Y ),

W = µ(cos(ψ)X + sin(ψ)Y ).

Substituint obtenim:

g(Z, JW ) = g(λ(cos(ϕ)X + sin(ϕ)Y ), µ(cos(ψ)JX + sin(ψ)JY )

)= λµ

(cos(ϕ) sin(ψ)g(X, JY ) + sin(ϕ) cos(ψ)g(Y, JX)

)= λµg(X, JY ) sin(ψ − ϕ)

on a l’ultima igualtat hem utilitzat que g(Y, JX) = −g(JY,X) i que g es simetrica, per ser metricade Riemann.

Per ser X,Y base ortonormal es compleix g(Z,Z) = g(λ(cos(ϕ)X + sin(ϕ)Y ), λ(cos(ϕ)X +sin(ϕ)Y )) = λ2.

A mes, g(JW, JW ) = g(W,W ) = µ2.

Llavors

cos(α(Π)) = supg(Z, JW )

g(Z,Z)1/2g(JW, JW )1/2

= sup(g(X, JY ) sin(ψ − ϕ)) = |g(X, JY )|.


El suprem es pren quan sin(ψ−ϕ) = ±1. En aquest cas cos(ψ−ϕ) = 0 i, si calculem g(Z,W ), tenimg(Z,W ) = λµ cos(ψ − ϕ), es a dir, el suprem es pren quan el parell de vectors que considerem sonortogonals i val la formula de l’enunciat.

Lema 1.1.22. Sigui R(X,Y )Z tensor de curvatura d’una varietat de Kahler (M,J, g). EscrivimR(X,Y, Z,W ) = g(R(X,Y )W,Z). Llavors, R : TxM × TxM × TxM × TxM → R satisfa:

(1) R(X,Y, Z,W ) = −R(Y,X,Z,W ) = −R(X,Y,W,Z),

(2) R(X,Y, Z,W ) = −R(Z,W,X, Y ),

(3) R(X,Y, Z,W ) +R(X,Z,W, Y ) +R(X,W, Y, Z) = 0,

(4) R(JX, JY, Z,W ) = R(X,Y, JZ, JW ) = R(X,Y, Z,W ).

Demostracio. Les tres primeres igualtats es compleixen per a qualsevol metrica de Riemann (cf.[KN63] p.165). L’ultima igualtat es consequencia de les anteriors i del fet que

R(X,Y ) J = J R(X,Y )

per ser J paral.lel.

Lema 1.1.23. Si tenim dos tensors de tipus (0, 4), R, T , que satisfan les quatre condicions del lemaanterior i, a mes, compleixen

R(X, JX,X, JX) = T (X, JX,X, JX) ∀X ∈ X(M)

llavors R ≡ T .

Proposicio 1.1.24. Sigui (M,J, g) una varietat de Kahler amb curvatura holomorfa constant Khol.Llavors, la curvatura seccional de qualsevol pla Π es pot trobar a partir de

K(Π) =Khol

4

(1 + 3 cos2 α(Π)

)(1.14)

on α(Π) es l’angle entre el pla Π i J(Π).

Demostracio. Definim un tensor R0 de tipus (0, 4) en que puguem aplicar el lema 1.1.23 i que enspermeti calcular les curvatures seccionals de manera prou facil.

R0(X,Y, Z,W ) =14

g(X,Z)g(Y,W )− g(X,W )g(Y, Z) + g(X, JZ)g(Y, JW )

−g(X, JW )g(Y, JZ) + 2g(X, JY )g(Z, JW )

satisfa les condicions (1), (2), (3) i (4) i, a mes,

(5) R0(X,Y,X, Y ) = 14

g(X,X)g(Y, Y )− g(X,Y )2 + 3g(X, JY )2

,

(6) R0(X, JX,X, JX) = g(X,X)2.

Provar que el tensor R0 satisfa les condicions anteriors es directe.Si ara relacionem la curvatura seccional, R(X,Y,X, Y ), amb el tensor R0 de manera facil podrem

calcular les curvatures seccionals de qualsevol pla nomes utilitzant la propietat (5). La relacio queenuncia [KN69] p.167 que hi ha entre el tensor de curvatura i R0 es

R = KholR0 on Khol es la curvatura seccional holomorfa. (1.15)

Com que hem demanat que la curvatura seccional holomorfa sigui constant la igualtat anterior tesentit.

Preliminars 15

Per demostrar aquesta igualtat s’utilitza el lema 1.1.23. Tant el tensor R com R0Khol compleixenles propietats del lema 1.1.22. A mes, coincideixen en les quaternes (X, JX,X, JX) ja que

K(Π) =g(R(X, JX)JX,X)g(X,X)2 − g(X, JX)2

=R(X, JX,X, JX)

g(X,X)2 − g(X, JX)2= Khol

i, per ser la curvatura holomorfa constant igual a Khol, la igualtat anterior ens afirma que

R(X, JX,X, JX) = Kholg(X,X)2 = KholR0(X, JX,X, JX).

Per tant, podem utilitizar el lema 1.1.23 i calcular la curvatura seccional de qualsevol pla a partirde la propietat (5) i la formula (1.15) de manera que obtenim

K(Π) =KholR0(X,Y,X, Y )

g(X,X)g(Y, Y )− g(X,Y )2

=Khol

4

(1 + 3

g(X, JY )2

g(X,X)g(Y, Y )− g(X,Y )2

)=Khol

4

(1 + 3 cos2

(α(Π)

))on l’ultima igualtat es certa ja que la curvatura seccional de Π no depen de la base X,Y de Π(i, per tant, la podem considerar ortonormal) i per bases ortonormals, la igualtat es certa per laproposicio 1.1.21.

Observacio 1.1.25. La formula de la proposicio anterior ens afirma que en varietats de curvaturaholomorfa constant hi ha plans en els quals la curvatura seccional pren el maxim valor possible id’altres en que pren el mınim. Els plans que tenen la maxima curvatura seccional coincideixen ambles seccions holomorfes (ja que per aquestes α(Π) = 0). Aixo ens porta a donar nom als plans queprenen el mınim valor, es a dir, aquells que α(Π) = π

2 , els anomenem plans totalment reals.

Exemples 1.1.26. Els espais Cn, CPn i CHn tenen curvatura holomorfa constant c = 0, c > 0 ic < 0 respectivament, amb les metriques definides a l’exemple 1.1.9 (cf. [KN69] p.169). Cn no nomeste curvatura holomorfa constant sino que totes les curvatures seccionals son nul.les.

El seguent teorema (cf. [KN69] p.170) ens permet afirmar classificar, llevat d’isometria les varie-tats de Kahler completes i simplement connexes amb curvatura holomorfa constant.

Teorema 1.1.27. Donades dues varietats de Kahler completes, simplement connexes amb curvaturaholomorfa constant c son holomorficament isometriques.

1.2 Grups de Lie

1.2.1 Definicio i exemples

Introduım els grups de Lie per presentar els resultats que necessitem per estudiar CHn com espaisimetric, ja que aquests son quocient de grups de Lie.

Definicio 1.2.1. Diem que G es un grup de Lie si (G, · ) es un grup amb una estructura diferenciabletal que les aplicacions

G×G −→ G

(g, h) 7→ g · h

i

G −→ G

g 7→ g−1

son C∞.

16 1.2 Grups de Lie

Observacio 1.2.2. Si G es grup de Lie i H subgrup tancat de G llavors H es grup de Lie amb latopologia induıda.

Exemples 1.2.3. (i) Rn amb la suma de vectors es un grup de Lie.

(ii) GL(n,R) = A ∈ Mn×n(R) | detA 6= 0 es grup amb la multiplicacio de matrius. En efecte,te estructura de varietat diferenciable per ser un subconjunt obert de la varietat diferenciablede totes les matrius Mn×n(R), que tenen estructura de varietat diferenciable per ser un espaivectorial. Llavors, GL(n,R) es grup de Lie.

(iii) Sigui 〈 , 〉 el producte escalar estandar de Rn. Definim

O(n) = A ∈Mn×n(R) | 〈Av,Aw〉 = 〈v, w〉 amb v, w ∈ Rn.

Per definicio O(n) es subgrup tancat de GL(n,R) i, per l’observacio anterior, grup de Lie.

De la definicio de O(n) es prova que una matriu A ∈ O(n) si i nomes si AAt = Idn.

Per la definicio que hem donat del grup O(n) tenim que les isometries de Sn−1 amb la metricainduıda de Rn coincideixen amb O(n).

(iv) Sigui 〈x, y〉 = −∑p

j=1 xjyj +∑n

j=p+1 xjyj producte de Rn. Definim

O(p, q) = A ∈Mn×n(R) | 〈Av,Aw〉 = 〈v, w〉 amb v, w ∈ Rn.

Per definicio O(p, q) es subgrup tancat de GL(n,R) i, per l’observacio anterior, grup de Lie.

De la definicio de O(p, q) es prova que una matriu A ∈ O(p, q) si i nomes si A−1 = εAtε on

ε =(−Idp 0

0 Idq

). (1.16)

(v) SO(p, q) = A ∈ O(p, q) | detA = 1.

(vi) PO(1, n) = O(1, n)/(multiplicar per escalar). Aquest grup s’identifica amb el grup d’isometriesde l’espai hiperbolic (real) amb el model del paraboloide (cf. [O’N83] p.239).

(vii) De manera analoga al cas real definim el grup de Lie GL(n,C) = A ∈Mn×n(C) | detA 6= 0.

(viii) Sigui 〈 , 〉 el producte hermıtic estandard de Cn. Definim

U(n) = A ∈Mn×n(C) | 〈Av,Aw〉 = 〈v, w〉 amb v, w ∈ Cn.

Per definicio U(n) es subgrup tancat de GL(n,C) i, per l’observacio anterior, grup de Lie.

De la definicio de U(n) es prova que una matriu A ∈ U(n) si i nomes si AAt = Idn.

(ix) Sigui 〈x, y〉 = −∑p

j=1 xjyj +∑n

j=p+1 xjyj producte hermıtic de Cn. Definim

U(p, q) = A ∈Mn×n(C) | 〈Av,Aw〉 = 〈v, w〉 amb v, w ∈ Cn.

Per definicio U(p, q) es subgrup tancat de GL(n,C) i, per l’observacio anterior, grup de Lie.

De la definicio de U(p, q) es prova que una matriu A ∈ U(p, q) si i nomes si A−1 = εAtε on

ε =(−Idp 0

0 Idq

). (1.17)

(x) SU(p, q) = A ∈ U(p, q) | detA = 1.

(xi) PU(p, q) = U(p, q)/(multiplicar per escalar).

Excepte en el primer exemple, els grups de Lie anteriors son subgrups de GL(n,R) o GL(n,C),es a dir, son grups de matrius. En general, els grups de Lie no han de ser de matrius pero en aquestadescripcio nomes considerem grups de Lie de matrius ja que son els que necessitem per estudiarl’espai hiperbolic complex.

Preliminars 17

1.2.2 Difeomorfismes i espai tangent

En una varietat diferenciable qualsevol pot ser difıcil trobar difeomorfismes que portin un puntqualsevol de la varietat en un altre punt fixat pero en grups de Lie no es aixı ja que la varietat actuasobre ella mateixa.

Definicio 1.2.4. Sigui G grup de Lie. Per a cada g ∈ G definim l’aplicacio translacio a l’esquerracom l’aplicacio

Lg : G −→ Gh 7→ gh

i la translacio a la dreta com l’aplicacio

Rg : G −→ Gh 7→ hg.

En un grup de Lie G, les translacions a l’esquerra i a la dreta son difeomorfismes de la varietatG amb (Lg)−1 = Lg−1 i (Rg)−1 = Rg−1 .

Les translacions a l’esquerra i a la dreta ens seran utils per donar algunes propietats dels grupsde Lie.

Per ser els grups de Lie varietats diferenciables podem definir en cada punt l’espai tangent, perexemple com el conjunt de vectors tangents a les corbes que passen pel punt.

Definicio 1.2.5. Sigui G grup de Lie. Diem que un camp vectorial X de G es invariant esquerra(resp. invariant dreta) si

d(Lg)X(h) = X(gh)

(resp. d(Rg)X(h) = X(hg)) per a tot g, h ∈ G.

Observacions 1.2.6. (i) Els camps invariants queden determinats a partir del seu valor en un punt.

(ii) La diferencial de les translacions a esquerra i dreta donen isomorfismes entre els espais tangentsen cada punt.

(iii) Tot grup de Lie te fibrat tangent trivial.

1.2.3 Algebra de Lie

Per altra banda, es defineix el concepte d’algebra de Lie sobre un cos, que identificarem amb l’espaitangent en el neutre d’un grup de Lie.

Definicio 1.2.7. Una algebra de Lie sobre un cos K es un espai vectorial g amb una operacio[ , ] : g× g → g anomenada claudator de Lie que compleix les seguents propietats:

1. Es bilineal respecte els elements de K.

2. Es anti-simetric, [X,Y ] = −[Y,X].

3. Satisfa la identitat de Jacobi [[X,Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z,X], Y ] = 0.

Exemple 1.2.8. L’espai vectorial format per totes les matrius amb coeficients en un cos el podemdotar d’estructura d’algebra de Lie definint el claudator de Lie com [A,B] = AB −BA.

Observacio 1.2.9. A cada grup de Lie li podem associar una algebra de Lie identificant els campsinvariants esquerra amb l’espai tangent en un punt (observacio 1.2.6 (i)), que per simplicitat escollimel neutre del grup.

18 1.2 Grups de Lie

Donat un grup de Lie podem trobar la seva algebra de Lie a partir de l’observacio anterior. Engrups de matrius tambe podem procedir al reves, es a dir, donada una algebra de Lie que sigui unsubespai vectorial de les matrius podem recuperar el grup de Lie aplicant l’aplicacio exponencial alselements de l’algebra de Lie. Aquest fet es el que ens permet estudiar els grups de Lie de matrius apartir de la seva algebra de Lie.

Definicio 1.2.10. Sigui A ∈Mn×n(C). Definim l’exponencial d’una matriu com

exp(A) = eA =∞∑i=0

Ai

i!.

L’aplicacio exponencial esta ben definida, es a dir, la serie es convergent (cf. [War71] p.105).

Exemples 1.2.11. En els exemples seguents donem l’algebra de Lie i la dimensio d’alguns grups deLie de matrius. Per trobar l’algebra de Lie considerem una corba α(t) d’elements del grup de Lieconsiderat tal que α(0) = Id i α′(0) = A on A es un element del tangent de G en el neutre. Imposantla condicio del grup de Lie per tal que la corba sigui de G i derivant obtenim les condicions que hande complir els elements de l’algebra de Lie. D’aquesta manera obtenim una condicio necessaria pertal que una matriu sigui de l’algebra de Lie d’un grup. Per provar que la condicio tambe es suficients’utilitza l’aplicacio exponencial.

(i) Algebra de Lie de GL(n,R), gl(n,R) = Mn×n(R). dim(gl(n,R)) = n2.

(ii) Algebra de Lie de O(n), o(n) = A ∈Mn×n(R) | A+At = 0. dim(o(n)) = n(n− 1)/2.

(iii) Algebra de Lie de O(p, q), o(p, q) = A ∈ Mn×n(R) | A + εAtε = 0 on ε es la matriu (1.16).Les matrius de o(p, q) son de la forma (

a xt

x b

)amb a ∈ o(p), b ∈ o(q) i x ∈ Rpq. dim(o(p, q)) = p(p− 1)/2 + q(q − 1)/2 + pq.

(iv) Algebra de Lie de SO(n), so(n) = A ∈ Mn×n(R) | A + At = 0, tr(A) = 0 = A ∈Mn×n(R) | A + At = 0 = o(n) ja que en un entorn els grups de Lie O(n) i SO(n) coinci-deixen en un entorn del neutre i al fer l’algebra de Lie estem considerant l’espai tangent en elneutre. dim(so(n)) = n(n− 1)/2.

(v) Algebra de Lie de GL(n,C), gl(n,C) = Mn×n(C). dim(gl(n,C)) = n4.

(vi) Algebra de Lie de U(n), u(n) = A ∈Mn×n(C) | A+At = 0. dim(u(n)) = n2.

(vii) Algebra de Lie de U(p, q), u(p, q) = A ∈ Mn×n(C) | A + εAtε = 0 on ε es la matriu (1.17).

Les matrius de u(p, q) son de la forma (a xt

x b

)amb a ∈ u(p), b ∈ u(q) i x ∈ Cpq. dim(u(p, q)) = p2 + q2 + 2pq = (p+ q)2.

(viii) Algebra de Lie de SU(n), su(n) = A ∈Mn×n(C) | A+At = 0, tr(A) = 0. dim(su(n)) = n2−1.

Preliminars 19

1.2.4 Grup uniparametric i claudator de Lie

En una varietat diferenciable qualsevol podem definir els conceptes de grup uniparametric i corbaintegral. En grups de Lie de matrius el conjunt de grups uniparametrics i corbes integrals de campsinvariants esquerra coincideix.

Definicio 1.2.12. Un grup uniparametric d’un grup de Lie G es un morfisme C∞, φ de R a G, es adir, compleix φ(0) = e i φ(t+ s) = φ(t)φ(s).

Observacio 1.2.13. Els grups uniparametrics φ(t) de grups de Lie de matrius son de la forma φ(t) =etX amb X ∈ g ja que φ(t) ha de complir φ′(t) = φ′(0) ·φ(t) i φ(0) = Id per ser φ(s+ t) = φ(s) ·φ(t).

Definicio 1.2.14. Sigui M varietat diferenciable, γ(t) corba de la varietat i X ∈ X(M). Diem queγ es corba integral del camp X que passa per x ∈M si γ(0) = x i γ′(t) = Xγ(t).

Observacio 1.2.15. Sigui G grup de Lie de matrius i X un camp invariant esquerra. Les corbesintegrals γ(t) que passen per g ∈ G son de la forma γ(t) = getXe amb Xe ∈ g ja que γ(t) ha decomplir γ(0) = g i γ′(t) = Xγ(t) = γ(t)Xe per ser X camp invariant esquerra.

De les dues observacions anteriors i de l’identificacio dels camps invariants esquerra amb l’algebrade Lie es dedueix la seguent proposicio.

Proposicio 1.2.16. Cada grup uniparametric coincideix amb una corba integral que passa per l’o-rigen de G amb vector tangent un element de l’algebra de Lie.

A l’espai tangent en el neutre d’un grup de Lie G, en principi, hi ha definits dos claudators deLie, el que hi ha definit per ser G una varietat diferenciable i el de l’algebra de Lie. La seguentproposicio ens afirma que en grups de Lie de matrius els dos claudators coincideixen. Ens interessatenir una expressio facil d’utilitzar pel claudator de Lie ja que a partir d’ell calcularem la curvaturaen espais simetrics (cf. proposicio 1.3.14).

Proposicio 1.2.17. Sigui G grup de Lie de matrius i X,Y camps invariants de G. Llavors, [X,Y ]ede la varietat coincideix amb el claudator de l’algebra de Lie entre Xe i Ye, [Xe, Ye] = XeYe − YeXe.

Demostracio. Com que X i Y son camps invariants de X(G) es poden escriure com Xg = dLg(Xe) =gXe i Yg = dLg(Ye) = gYe.

El claudator de Lie de la varietat en el neutre es, per definicio,

[X,Y ]e = limt→0

dφ−tYφt(e) − Ye

t

on φt es el flux del camp X. Com que el camp X es invariant, el flux pel punt h es φt(h) = hetXe ila diferencial (dφt)h(v) = vetXe d’on obtenim

[X,Y ]e = limt→0

etXeYee−tXe − Yet

= limt→0

Yee−tXe − e−tXeYe

t= XeYe − YeXe.

Per tant, el claudator de Lie de la varietat en el neutre coincideix amb el claudator de Lie que hemdefinit a l’algebra de Lie.

Proposicio 1.2.18. Sigui G grup de Lie i φ : G → G difeomorfisme. Llavors, dφ[X,Y ] =[dφ(X), dφ(Y )].

Demostracio. Es consequencia de la definicio de claudator de Lie i de (dφX)(f)p = X(f φ)(φ−1(p)).

20 1.3 Espais homogenis i espais simetrics

1.2.5 Metrica i curvatura

Definicio 1.2.19. Sigui G grup de Lie amb metrica 〈 , 〉. Diem que la metrica es invariant perl’esquerra (resp. invariant per la dreta) si les translacions a l’esquerra son isometries (resp. lestranslacions a la dreta).

Diem que la metrica es bi-invariant si es invariant per l’esquerra i per la dreta.

Donat un grup de Lie sempre podem definir una metrica invariant per l’esquerra. Nomes caldefinir un producte bilineal simetric i definit positiu h sobre un punt de G, per exemple el neutre iextendre’l als altres punts g ∈ G definint 〈Xg, Yg〉g = h((dLg−1)Xg, (dLg−1)Yg).

El que no es cert en general es que hi hagi definida una metrica bi-invariant. De totes maneres,els resultats que enunciem a continuacio son per a metriques bi-invariants ja que en els grups queestudiarem se’n pot definir.

La seguent proposicio (cf. [Spi79a], proposicio 10.21) relaciona els grups uniparametrics amb lesgeodesiques d’un grup de Lie amb metrica bi-invariant. A partir d’aquesta relacio podrem donaruna expressio pel tensor de curvatura nomes en termes del claudator de Lie.

Proposicio 1.2.20. Sigui G grup de Lie amb metrica bi-invariant. Llavors,

(1) Per a tot g ∈ G, l’aplicacio σg : G → G definida per σg(h) = gh−1g es isometria i inverteix lesgeodesiques per g.

(2) Les geodesiques γ amb origen e ∈ G i vector tangent a l’origen X coincideixen amb els grupsuniparametrics de G i s’expressen com etX .

Proposicio 1.2.21. Sigui G grup de Lie amb metrica bi-invariant i X, Y camps invariants esquerra.Llavors,

(1) DXX = 0,

(2) DXY = 12 [X,Y ],

(3) R(X,Y )Z = −14 [[X,Y ], Z].

on DAB denota la derivada covariant de G en el neutre.

Demostracio. (1) Per la proposicio 1.2.20 (2) sabem que les corbes integrals dels camps invariantsesquerra son geodesiques, per tant, DXX = 0 restringit a la geodesica.

(2) Per la igualtat DXY −DYX = [X,Y ] i el fet que DX+Y (X + Y ) = DXY +DYX obtenimque DXY = 1

2 [X,Y ].(3) Per l’apartat anterior i a partir de R(X,Y )Z = DXDY Z −DYDXZ −D[X,Y ]Z tenim

R(X,Y )Z =14[X, [Y, Z]]− 1

4[Y, [X,Z]]− 1

2[[X,Y ], Z]

= −14

([[Y, Z], X] + [[Z,X], Y ])− 12[[X,Y ], Z]

=14[[X,Y ], Z]− 1

2[[X,Y ], Z] = −1

4[[X,Y ], Z]

per la identitat de Jacobi.

1.3 Espais homogenis i espais simetrics

1.3.1 Definicio i exemples

Definicio 1.3.1. Sigui (M, g) una varietat de Riemann. Diem que es homogenia si donats dos puntsp, q ∈M qualssevol existeix alguna isometria σ de M tal que σ(p) = q.

Preliminars 21

Definicio 1.3.2. Sigui M varietat de Riemann, G el grup d’isometries de la varietat i p ∈M . Diemque

Mp = A ∈ G | Ap = pes el grup d’isotropia del punt p.

Lema 1.3.3. En un espai homogeni, els grups d’isotropia Mp i Mq de dos punts p i q son isomorfsper a tot p, q ∈M .

Demostracio. Suposem que σ es de Mp i ρ isometria que porta p a q. Es comprova facilment quel’aplicacio de Mp →Mq definida per

σ 7→ ρ σ ρ−1

es isomorfisme. Llavors Mp∼= Mq ∀ p, q de l’espai homogeni.

Definicio 1.3.4. Sigui (M, g) varietat de Riemann connexa. Diem que es simetrica si per a qualsevolp ∈M existeix una isometria σp de M que fixa p i compleix dσp = −id a TpM .

De l’isometria σp en diem simetria global de M .

Lema 1.3.5. Tot espai simetric es homogeni.

Demostracio. A partir de les simetries globals tenim suficients isometries com perque actuın tran-sitivament. Donats dos punts p, q ∈ M considerem la geodesica γ parametrizada entre [0, 1] ambextrems els punts. La simetria global que fixa el punt mig del segment de geodesica, γ(1

2), porta pa q. Llavors l’espai es homogeni.

Exemples 1.3.6. (i) L’espai euclidia Rn es simetric. Per a cada punt p ∈ Rn podem considerarl’aplicacio p+ x 7→ p− x que es isometria, fixa p i la seva diferencial en p es −id.

(ii) Sn es espai simetric. Per a cada punt p ∈ Sn la rotacio d’angle π que fixa p es isometria de Sn

i la seva diferencial en p es −id.

1.3.2 Representacio d’espais homogenis com a quocient de grups de Lie

Donat un espai homogeni M qualsevol es pot representar com a quocient de grups de Lie.Pel teorema de Myers-Steenrod se sap que el grup d’isometries d’una varietat diferenciable es un

grup de Lie (cf. [Hel01]).Per la definicio de grup d’isotropia d’un punt tenim que el grup d’isotropia es un subgrup tancat

del grup de Lie de les isometries.En espai homogenis el grup d’isotropia es el mateix per a tots els punts de l’espai (cf. lema 1.3.3).

Denotem-lo per H i per G el grup d’isometries de M . Llavors, el quocient G/H te sentit i podemconsiderar la projeccio Π : G → G/H. Com que H es un subgrup tancat de G es pot dotar G/Hd’estructura de varietat diferenciable i de manera que la projeccio es submersio. A mes, es prova queG/H es difeomorf a la varietat inicial M (cf. [War71]). D’aquesta manera podem estudiar els espaishomogenis com a quocient de grups de Lie.

Els espais simetrics, que tambe son espais homogenis, es poden representar, doncs, com a quocientde grups de Lie.

Exemples 1.3.7. (i) Rn. El grup d’isometries de Rn, Iso(Rn) esta format per les rotacions i lestranslacions. El grup d’isotropia d’un punt esta format per les rotacions, pel grup O(n). Pertant, Rn = Iso(Rn)/O(n).

(ii) Sn. El grup d’isometries de Sn es O(n+1) i el grup d’isotropia d’un punt son les rotacions quefixen aquell punt, es a dir, O(n). Per tant, Sn = O(n+ 1)/O(n).

(iii) Hn. El grup d’isometries de Hn es PO(1, n) i el grup d’isotropia d’un punt es PO(n). Per tant,Hn = PO(1, n)/PO(n).

(iv) Cn. El grup d’isometries de Cn, Iso(Cn), te com a grup d’isotropia d’un punt U(n). Per tant,Cn = Iso(Cn)/U(n).


1.3.3 Espai tangent

Donat un grup de Lie l’espai tangent en el neutre es isomorf a l’algebra del grup de Lie (observacio1.2.9). Volem estudiar com es l’espai tangent a la classe del neutre d’un espai simetric (pensat coma quocient de grups de Lie).

Notacio 1.3.8. Denotem per G el grup d’isometries de l’espai simetric M i per H el grup d’isotropiad’un punt. Denotem per g i h l’algebra de Lie del grup de Lie G i H, respectivament.

Denotem per σ l’automorfisme de G tal que a cada g ∈ G li assigna σogσo on σo es la simetriaglobal en el punt o = eH.

Proposicio 1.3.9. Sigui M espai simetric. Llavors,

(1) h = X ∈ g | dσ(X) = X,

(2) g = h⊕m on m = X ∈ g | dσ(X) = −X,

(3) [h, h] ⊂ h, [h,m] ⊂ m i [m,m] ⊂ h.

Demostracio. (1) Per la definicio de σ es prova que σ|H = id, per tant, pels elements X ∈ h escompleix que dσ(X) = X. Per altra banda, si dσ(X) = X i α es el grup uniparametric de X ∈ g

tenim que σ α = α d’on obtenim que X ∈ h.(2) Clarament h ∩ m = 0 i podem escriure qualsevol X ∈ g com X = Xh + Xm amb Xh =

(X + dσ(X))/2 i Xm = (X − dσ(X))/2.(3) Per la proposicio 1.2.18 i la definicio de h i de m tenim les tres inclusions.

L’espai tangent de M en el punt o s’identifica amb els elements de m.Podem fer aquesta identificacio a partir de la proposicio anterior i de l’existencia de la submersio

Π : G→M = G/H (veure apartat 1.3.2) ja que dΠ s’anul.la sobre els elements de h i te rang maxim.A h l’anomenem subespai vertical i a m subespai horitzontal.

1.3.4 Metrica

Per definir una metrica a G/H invariant per l’esquerra s’utilitza la nocio de Ad(H)-invariancia.

Definicio 1.3.10. Diem que una aplicacio f : g × ... × g −→ g × ... × g es Ad(H)-invariant sif(hg1, ..., hgr) = f(g1, ..., gr) per a tot h ∈ h.

Proposicio 1.3.11. Sigui G/H espai simetric. Hi ha una correspondencia entre els productes esca-lars Ad(H)-invariants de g/h i les metriques de G/H invariants per l’esquerra.

Demostracio. Donada una metrica de G/H podem associar-li el producte escalar que defineix a [e].Aquest es Ad(H)-invariant per provenir d’una metrica invariant per l’esquerra.

Recıprocament, fixat un producte escalar en g/h podem definir una metrica a partir de

〈u, v〉[g] = 〈dLg−1(u), dLg−1(v)〉[e].

L’expressio anterior esta ben definida, es a dir, no depen del representant de [g] elegit, per ser elproducte en [e] invariant pels elements de Ad(H). Clarament, la metrica definida es invariant perl’esquerra.

Observacio 1.3.12. La proposicio anterior es pot extendre als tensor de tipus (r, s), es a dir, hi hauna correspondencia entre els tensors de tipus (r, s) Ad(H)-invariants de g/h i els tensors de tipus(r, s) G/H invariants per l’esquerra.

Preliminars 23

1.3.5 Tensor de curvatura

Qualsevol espai homogeni es difeomorf a un quocient de grups de Lie i tenim de la projeccio G →G/H. Si definim a G una metrica bi-invariant i a G/H una metrica tal que la projeccio es submersioriemanniana llavors podem donar el tensor de curvatura de l’espai simetric en termes del tensor decurvatura del grup de Lie.

Definim el concepte de submersio riemanniana (cf. [O’N83] p.212).

Definicio 1.3.13. Una submersio riemanniana Π : G → M es una submersio entre varietats rie-mannianes tal que:

1. Les fibres Π−1(x), x ∈M son subvarietats riemannianes de G.

2. dΠ preserva el producte dels vectors normals a la fibra.

Proposicio 1.3.14. Sigui M = G/H espai simetric amb G grup de Lie amb metrica bi-invariant iG→ G/H submersio riemanniana. El tensor de curvatura compleix

(R(X,Y )Z)o = −14[[X,Y ], Z]o

amb X,Y, Z ∈ m.

La proposicio anterior es demostra a partir de la proposicio 1.3.9 i de la seguent (cf. [O’N83]p.213).

Proposicio 1.3.15. Sigui Π : G→M una submersio riemanniana. Si els vectors horitzontals X, Yformen una base ortonormal d’un pla no-degenerat a G, llavors

KM (dπX, dπY ) = KG(X,Y ) +34〈V[X,Y ],V[X,Y ]〉

on VA denota la component vertical del vector A.

Aleshores, la curvatura seccional ve donada per

KM (X,Y ) =〈[[X,Y ], X]o, Y 〉−4〈X,X〉〈Y, Y 〉

. (1.18)

1.3.6 Geodesiques

Les geodesiques d’un espai simetric en el qual hi ha definida una metrica tal que la projeccio delgrup d’isometries a l’espai es submersio riemanniana es poden trobar a partir de l’expressio de lesgeodesiques del grup de Lie.

Proposicio 1.3.16. Siguin G grup de Lie amb metrica bi-invariant i M = G/H espai simetric amb〈 , 〉 metrica tal que π : G → G/H es submersio riemanniana. Suposem que γ es geodesica amborigen a o = eH i direccio inicial X ∈ m. Llavors, γ(t) = π(α(t)) on α(t) es el grup uniparametricamb direccio X ∈ m.

Demostracio. Se sap de les propietats de les submersions que donada una geodesica a G amb direccioinicial a m, la part horitzontal, la projeccio de la geodesica es tambe geodesica (cf. [O’N83] p.212).Per tant, si α(t) es geodesica de G, amb vector inicial X ∈ m llavors π(α(t)) sera geodesica de M .Per la proposicio 1.2.20 tenim que α(t) es geodesica.

Definicio 1.3.17. Diem que una varietat diferenciable M es geodesicament completa si qualsevolgeodesica γ : (−ε, ε) →M es pot ampliar a tot t ∈ R.

Proposicio 1.3.18. Sigui M espai simetric i γ : (−ε, ε) → M geodesica tal que γ(0) = p. Si σp essimetria global en p, llavors


(1) σp inverteix les geodesiques per p, es a dir, σp(γ(t)) = γ(−t).

(2) Si γ(a) = q, a ∈ (−ε, ε) llavors, σqσp(γ(t)) = γ(t+ 2a).

(3) M es geodesicament completa.

Demostracio. (1) Per ser σp isometria, porta rectes a rectes. Com que γ(0) = p es punt fix per σp,la geodesica σp(γ(t)) tambe te l’origen a p. El vector tangent a σp(γ(0)) sera(

σp(γ(0)))′ = (σp γ)′(0) = dσp(γ(0))γ′(0) = −γ′(0).

Per tant, per la unicitat de geodesica fixades les condicions inicials tenim que σp(γ(t)) = γ(−t).(2) Per l’apartat anterior es compleix

σq(σp(γ(t))

)= σq(γ(−t)).

Considerem la geodesica γ(s) = γ(s+ a) que en s = 0 passa per q. Llavors, σq(γ(−t)) = σq(γ(−t−a)) = γ(t+ 2a).

(3) Cal provar que podem extendre qualsevol geodesica indefinidament. Sigui γ la geodesica del’enunciat. Podem extendre γ fora de (−ε, ε) a partir de la igualtat de l’apartat anterior. Com quel’espai es simetric, podem considerar qualsevol altre punt i fer el mateix argument.

Capıtol 2

Espai hiperbolic complex

En aquest capıtol donem diferents descripcions de l’espai hiperbolic complex, n’estudiem algunespropietats de les subvarietats i enunciem formules de la trigonometria. Per cada descripcio definimla metrica, donem l’expressio de les geodesiques i les isometries i calculem la curvatura holomorfa.Com a propietats de l’espai hiperbolic complex estudiem propietats de les hipersuperfıcies reals(no n’existeixen de totalment umbilicals, les curvatures seccionals de les hipersuperfıcies prenentots els valors possibles,...), donem la classificacio de les subvarietats totalment geodesiques i unacaracteritzacio de les totalment reals.

L’espai hiperbolic complex de dimensio complexa n es l’unica (llevat d’isometries) varietat deKahler, de dimensio n, completa, simplement connexa i curvatura holomorfa una constant negativafixada (cf. teorema 1.1.27). En aquest treball hem fixat la curvatura holomorfa a −4. Aquesta elecciotambe es troba, per exemple, a [Mon85], [Eps87], [NR97] i [KN69]. En canvi a [Gol99] i a [O’N83]s’elegeix −1 i a [Mos80] −2. De totes maneres, en qualsevol cas, es te que la curvatura seccional esnegativa i esta acotada entre el valor de la curvatura holomorfa i una quarta part d’aquest valor (cf.proposicio 1.1.24).

Les varietats tals que la curvatura seccional es negativa i esta acotada entre dos valors s’anomenenvarietats de Hadamard. L’espai hiperbolic complex es la varietat de Hadamard de curvatura noconstant mes senzilla ja que, tot i no tenir totes les curvatures seccionals constants, te la curvaturaholomorfa constant. Ens hem interessat a estudiar l’espai hiperbolic complex precisament per servarietat de Hadamard, d’aquesta manera podem estudiar en un cas particular el teorema de [BGR01]que dona cotes del quocient entre el volum i l’area d’una successio de convexos quan tendeixen aomplir tot l’espai (cf. capıtol 4).

2.1 Models de l’espai hiperbolic complex

2.1.1 Model del disc

La descripcio que donem d’aquest model segueix la presentacio de [Eps87]. El model del disc esconstrueix a partir d’un espai vectorial complex Cn+1 i utilitza el concepte de producte hermıtic(que no ha de ser definit positiu, definicio 1.1.2) i alguna de les seves caracterıstiques.

Definicio 2.1.1. El tipus d’un producte hermıtic es una terna de nombres naturals (p, q, r) cada und’ells definit com la maxima dimensio del subespai de Cn+1 que tots els seus vectors tenen normapositiva, negativa o zero, respectivament.

Definicio 2.1.2. Sigui W un subespai vectorial de Cn+1 i h un producte hermıtic definit a Cn+1.Diem que W es isotropic si h(w,w) = 0 per a tot w ∈W .

Quan un producte hermıtic te espai isotropic nul llavors escrivim el tipus com (p, q) enlloc de(p, q, 0) i diem que es no-degenerat.

25

26 2.1 Models de l’espai hiperbolic complex

El producte hermıtic que es considera per definir el model del disc es

〈u, v〉 = −u0v0 +n∑j=1

ujvj . (2.1)

Aquest producte hermıtic va ser introduıt a l’exemple 2 de 1.1.4 (prenent p = 1). Es no-degenerat ide tipus (n, 1).

Observacio 2.1.3. Si escrivim u = (u0, u1, ..., un) i cada uj = u1j + iu2

j , el producte hermıtic de (2.1)descomposa en part real i imaginaria com

〈u, v〉 =(−u1

0v10 − u2

0v20 +

∑(u1jv

1j + u2

jv2j ))

+ i(−u2

0v10 + u1

0v20 +

∑(u2jv

1j − u1

jv2j )).

El model del disc per l’espai hiperbolic complex esta format pels punts de l’espai projectiu deCn+1, CPn que, un dels seus representants, te norma negativa respecte el producte hermıtic de (2.1).Es a dir, els punts del model del disc de l’espai hiperbolic complex son els del seguent conjunt:

Hn = [z] ∈ CPn | 〈z, z〉 < 0.

Primer de tot cal provar que els punts del model estan ben definits, es a dir, el fet que un punt[z] sigui de Hn no depen del representant que escollim per comprovar que 〈z, z〉 < 0.

En efecte, sigui z ∈ Cn+1 un representant de [z]. Tots els altres y ∈ Cn+1 representants de [z]son de la forma λz amb λ ∈ C− 0. Llavors, per les propietats del producte hermıtic tenim

〈λz, λz〉 = λλ〈z, z〉 = |λ|2〈z, z〉.

Per tant, el signe de 〈λz, λz〉 coincideix amb el signe de 〈z, z〉.

Els punts de Hn son elements de CPn. Els elements de CPn son rectes projectives complexes.Pensades com a subespais de Cn+1 son subespais complexos de dimensio 1, o subespais reals dedimensio 2. A mes, pero, els punts de Hn compleixen que la primera coordenada es no nul.la ja quesi ho fos tindrıem una suma de nombres positius que ha de ser negativa. Com que podem elegirun representant qualsevol podrem prendre’l sempre de la forma (1, z1, ..., zn). Llavors la carta local( z1z0 , ...,

znz0

) de CPn parametritza tot Hn i la condicio perque un punt sigui del model es

n∑j=1

|zj |2 < 1.

Amb aquesta descripcio tenim que Hn es homeomorf a la bola de dimensio 2n de Cn .

Espai tangent

Hn es un subconjunt de CPn. Per CPn tenim la projeccio π : Cn+1 → CPn amb ker(dπz) =λz | λ ∈ C. Aleshores,

T[z]CPn = TzCn+1/

ker(dπz) = [v] | v ∈ TzCn+1

on v ∼ w si i nomes si w = v+λz i [v] = v+λz. Pels punts z que es projecten sobre Hn, es a dir,amb 〈z, z〉 < 0 podem establir una bijeccio

ϕ : T[z]CPn −→ 〈z〉⊥

que fa correspondre a [v] l’unic representant w = v + λz amb 〈z, w〉 = 0. Aquest representant es

v − 〈v, z〉〈z, z〉

z,

la projeccio del vector v a 〈z〉⊥. Es pot comprovar que l’aplicacio ϕ esta ben definida (no depen delrepresentant de [z]) i es lineal.

Espai hiperbolic complex 27

Observacio 2.1.4. Quan identifiquem el tangent en el punt [z] amb 〈z〉⊥, el vector tangent correspo-nent al vector v ∈ 〈z〉⊥ en el representant αx es el vector αv ∈ 〈αz〉⊥. En efecte, si γ es una corbaque passa per [z] llavors podem aixecar-la a Cn+1 en una corba γ que passi per z. Per qualsevolα ∈ C− 0 la corba α γ tambe es projecta sobre γ. Pero, si la corba γ te derivada v en el punt zllavors la corba α γ te derivada αv en el punt αz.

Metrica

Donats dos vectors v, w tangents en un punt [z] de Hn volem definir el seu producte.

Definicio 2.1.5. Sigui [z] ∈ Hn i v ∈ Cn+1 tangent en el punt [z]. Definim la norma de v en el punt[z] com

〈v, v〉hip =〈Πzv,Πzv〉−〈z, z〉

on Πzv es la projeccio ortogonal de v a 〈z〉⊥.

A la definicio anterior dividim per 〈z, z〉 per tal que l’expressio no depengui del representantelegit. Provem-ho.

La projeccio de v a 〈z〉⊥, Πzv, es

Πzv = v − 〈v, z〉〈z, z〉

z. (2.2)

Si desenvolupem l’expressio de la norma obtenim

〈v, v〉hip =〈v, v〉〈z, z〉 − 〈v, z〉〈z, v〉

−〈z, z〉2,

que no depen del representant de [z] ni de [v] elegits per l’observacio 2.1.4.El producte entre dos vectors diferents que defineix la norma anterior es

〈v, w〉hip =Re (〈Πzv,Πzw〉)

−〈z, z〉,

que desenvolupat queda

〈v, w〉hip =Re (〈v, w〉〈z, z〉 − 〈v, z〉〈z, w〉)

−〈z, z〉2, (2.3)

L’expressio anterior es la que utilitzarem com a metrica. La part real en el numerador enspermet assegurar que la metrica esta definida sobre R. Es pot comprovar que es bilineal sobre R,simetrica respecte les dues components i definida positiva. Per tant, dota Hn d’estructura de varietatriemanniana.

Una vegada definida una metrica a Hn ja podem introduir el model del disc de l’espai hiperboliccomplex.

Definicio 2.1.6. El model del disc defineix l’espai hiperbolic complex, que denotem per CHn comel conjunt de punts Hn amb la metrica 〈 , 〉hip.

A l’exemple 3 de 1.1.9 hem considerat com a metrica (complexa) de l’espai hiperbolic complexla metrica de Bergmann, que ve donada per l’expressio

(1−∑wjwj)

∑dwj ⊗ dwj + (

∑wjdwj)⊗ (

∑wjdwj)

(1−∑wjwj)2

. (2.4)

Per comprovar que la part real de les dues expressions coincideix pensem CHn com la bola obertaB de Cn i z(t) = (z1(t), ..., zn(t)) una corba. En coordenades homogenies la corba es γ(t) = (1, z(t))


(o qualsevol multiple). Calculant la norma de z′(t) a B amb la metrica hiperbolica de (2.3) obteniml’expressio de la metrica de Bergmann.

Recordem que tambe podem obtenir l’expressio de la metrica de Bergmann a partir de la funciopotencial log(1−

∑wjwj) (cf. exemple 1.1.14).

Els punts de la frontera de l’infinit de CHn, ∂CHn, son els punts de CPn que tenen norma nul.laamb el producte hermıtic definit. ∂CHn s’identifica topologicament amb l’esfera de dimensio 2n− 1.

Estructura complexa

Considerem l’estructura complexa de CHn, que denotem per J , com l’heredada de l’estructura com-plexa de Cn+1. Com que la metrica definida en el model del disc coincideix amb la metrica deBergmann, per l’exemple 1.1.14 podem afirmar que el model del disc defineix una varietat de Kahler.L’estructura complexa J es compatible amb la metrica ja que ho es amb el producte hermıtic quedefineix la metrica.

Isometries

Les matrius del grup PU(1, n) = U(1, n)/(multiplicar per escalar) conserven la metrica definida enel model del disc ja que conserven el producte hermıtic de (2.1) a partir del qual es defineix el model(cf. (ix) de l’exemple 1.2.3). Llavors, les matrius de PU(1, n) son isometries i, de fet, es el grupd’isometries de CHn (cf. [Gol99] p.68).

Seguint [Gol99] (seccio 3.1.2), provem la seguent proposicio que ens afirma que PU(1, n) actuatransitivament sobre els punt de CHn i els de la seva frontera. Donem primer un lema:

Lema 2.1.7. Siguin [x], [y] ∈ CHn. Llavors, podem elegir representants x, y tals que 〈x, x〉 =〈y, y〉 = −1 i 〈x, y〉 < 0.

Demostracio. Primer hem de poder assegurar que 〈x, y〉 6= 0. En efecte, suposem que 〈x, y〉 = 0 idescomposem y en un multiple de x i part ortogonal a x. Llavors,

0 = 〈x, y〉 = 〈x, αx+ v〉 = α

i tenim que y ∈ T[x]CHn pero no pot ser ja que tindrıem un vector del tangent amb norma negativai, llavors el producte 〈 , 〉 no podria ser d’ındex 1.

Ara, suposem que x, y son representants qualssevol, els podem canviar per√−1〈x, x〉

ei(πk−β+α)x i

√−1〈y, y〉

eiαy

amb β tal que 〈x, y〉 = reiβ, k ∈ N i α ∈ [0, 2π) i obtenim representants que compleixen les condicions.

Proposicio 2.1.8. (1) PU(1, n) actua transitivament sobre els punts de CHn.

(2) PU(1, n) actua transitivament sobre els punts de ∂CHn.

Demostracio. (1) Siguin [x], [y] dos punts qualssevol de CHn. Volem veure que existeix un elementde PU(1, n) que porta [x] a [y].

Per provar-ho s’utilitza la idea de passar d’un punt a l’altre a partir d’una reflexio.Elegim representants, x, y de [x], [y], resp., de manera que 〈x, x〉 = 〈y, y〉 = −1 i 〈x, y〉 < 0.Definim l’aplicacio

ρ([z]) = [−z + 2〈z,m〉〈m,m〉

m]

on m = x+ y.Hem de provar que ρ es de PU(1, n) i que porta [x] a [y]. Tambe veurem que ρ porta [y] a [x] i

correspon amb la idea de reflexio (ρ ρ = id).


ρ es de PU(1, n). Compleix 〈ρ([a]), ρ([b])〉 = 〈a, b〉 per a tot [a], [b] ∈ CHn ja que

〈ρ([a]), ρ([b])〉 = 〈−a+ 2〈a,m〉〈m,m〉

m,−b+ 2〈b,m〉〈m,m〉

m〉

= 〈a, b〉 − 4〈a,m〉〈b,m〉〈m,m〉

+ 4〈a,m〉〈b,m〉〈m,m〉

= 〈a, b〉

per ser 〈 , 〉 hermıtic i 〈m,m〉 ∈ R.

ρ porta [x] a [y].

ρ([x]) = [−x+ 2〈x, x+ y〉

〈x+ y, x+ y〉(x+ y)] = [−x+ 2

−1 + 〈x, y〉2(−1 + 〈x, y〉)

(x+ y)] = [y]

per les eleccions dels representants de [x] i [y].

ρ porta [y] a [x] per un calcul analeg a l’anterior.

ρ es correspon amb una reflexio ja que

(ρ ρ)([z]) = [z − 2〈z,m〉〈m,m〉

m− 2〈z,m〉〈m,m〉

m+ 4〈z,m〉〈m,m〉

m] = [z].

(2) La segona afirmacio es pot demostrar de manera analoga a la primera. Nomes cal tenir encompte que els punts [x], [y] son de la frontera de CHn i, per tant, 〈x, x〉 = 〈y, y〉 = 0. Escollintels representants adequats podem aconseguir que 〈x, y〉 ∈ R. Per exemple, podem prendre qualsevolrepresentant de [x] i canviar el representant de [y] elegit per 〈x, y〉y. Llavors, considerant la mateixaaplicacio ρ tenim que ρ([x]) = [y].

Observacio 2.1.9. La proposicio anterior permet afirmar que CHn es un espai homogeni; donats dospunts hi ha una isometria que porta l’un a l’altre (cf. definicio 1.3.1).

La seguent proposicio recull mes propietats de les isometries de CHn que seran utils en el seguentcapıtol.

Proposicio 2.1.10. (1) El grup d’isotropia d’un punt [x] es isomorf a PU(n).

(2) Les matrius de PU(1, n) que fixen un punt [x] actuen transitivament sobre els punts que equi-disten de [x].

(3) Les matrius de PU(1, n) que fixen un punt [x] actuen transitivament sobre el conjunt de direccionsper [x].

(4) Les matrius de PU(1, n) actuen transitivament sobre les parelles de punts[x1], [x2]

,[y1], [y2]

tals que d([x1], [x2]) = d([y1], [y2]).

(5) Les matrius de PU(1, n) actuen transitivament sobre les parelles de punts de ∂CHn.

Demostracio. (1) Per ser CHn espai homogeni sabem que el grup d’isotropia de [x] es isomorf algrup d’isotropia de [y] per a qualsevol [y] (observacio 1.3.3). Per tant, n’hi ha prou calculant el grupd’isotropia en [x] = [1, 0, ..., 0] ∈ CHn.

Imposant que A[x] = [x] i que A ∈ PU(1, n) obtenim que les isometries que fixen el punt [x] son

de la forma(

1 00 b

)amb b ∈ PU(n).

(2) Per provar-ho suposem primer que el punt fixat es [x′] = [1, 0, ..., 0].Fixem [y], [z] a la mateixa distancia de [x′] i escollim representants y = (1, y1, ..., yn) i z =

(1, z1, ..., zn) de [y] i [z] respectivament. Per actuar PU(n) transitivament sobre els punts de Cn


existeix una matriu de la forma(

1 00 b

)amb b ∈ PU(n) que porta [y] a [z] (cf. exemple 4 de

1.3.7). Per l’apartat (1) sabem que aquesta matriu tambe fixa [x′].Si [x] es un punt qualsevol tambe existeix A ∈ PU(1, n) tal que A[x] = [x] i A[y] = [z] amb

[x], [y], [z] en la situacio descrita anteriorment, ja que les matrius de PU(1, n) actuen transitivamentsobre els punts de CHn. Per tant, existeix B ∈ PU(1, n) tal que B[x] = [x′]. Aquesta isometria porta[y] en un [y′] i [z] en un [z′] i per aquests punts hem vist que existeix A que fixa [x′] i porta [y′] a [z′].Si ara apliquem B−1 (que tambe es de PU(1, n), per ser grup) tenim que C = B−1AB ∈ PU(1, n)fixa [x] i porta [y] a [z].

(3) Aquest enunciat es equivalent a l’anterior ja que podem assignar a cada direccio (unitaria)un punt γ(r) que estigui a distancia r > 0 de [x], sent γ la geodesica amb origen [x] i vector inicialla direccio. A mes, per dues direccions diferents els punts γ1(r), γ2(r) son diferents ja que CHn esde curvatura negativa i, per tant, dues geodesiques diferents es tallen com a maxim en un punt; nohi ha punts conjugats.

(4) Com que PU(1, n) actua transitivament sobre els punts hi ha una matriu A de PU(1, n) queporta [x1] a [y1] i per ser A isometria porta el punt [x2] a un punt [z1] de l’esfera de centre [y1] i radid([y1], [y2]). Per tant, pel segon apartat d’aquesta proposicio hi ha una matriu B de PU(1, n) quefixa [y1] i porta [z1] a [y1]. La composicio d’aquestes isometries es una isometria que porta [x1], [x2]a [y1], [y2].

(5) Considerem la geodesica γ1 que uneix [x1] amb [x2] i la geodesica γ2 que uneix [y1] amb [y2].Sobre γ1 (i γ2) podem trobar una parella de punts que estan a distancia d. Per l’apartat anteriorsabem que hi ha una matriu de PU(1, n) que porta una parella a l’altra i per portar geodesiquesa geodesiques tambe porta [x1], [x2] a [y1], [y2]. Si la imatge de [x1] per A no es [y1], sino [y2]canviem l’ordre en que hem elegit la parella de punts sobre γ2.

Observacio 2.1.11. L’enunciat de (3) ens afirma que donada una esfera S de CHn i fixats dos punts[y], [z] ∈ S, existeix una isometria que fixa l’esfera i porta [y] a [z].

A partir de les dues proposicions anteriors tenim que a CHn les isometries actuen transitivamentper parelles de punt i vector. Es a dir, donat un punt p i un vector v de l’espai tangent en el puntexisteix una isometria que porta p en un altre punt q qualsevol i v en un vector qualsevol de l’espaitangent en el punt q. Els espais que compleixen aquesta propietat s’anomenen 2-punts homogeni. Elsespais de curvatura constant tambe ho compleixen pero, a mes, les isometries actuen transitivamentper ternes d’un punt i dos vectors de l’espai tangent en el punt. Aquests espais s’anomenen 3-puntshomogeni. L’espai hiperbolic complex no ho pot ser ja que les isometries conserven la curvaturaseccional i aquesta no es constant.

Curvatura holomorfa

Tal com hem definit el model del disc de CHn, per l’exemple 1.1.26 sabem que, amb la metrica deBergmann, dona lloc a una varietat complexa amb curvatura holomorfa constant. Per trobar el valord’aquesta constant considerem un punt [x] ∈ CHn qualsevol i un vector v ∈ T[x]CHn. Volem coneixerla metrica de CHn restringida al subespai generat per v, Jv, ja que es un pla holomorf.

Com que el punt es arbitrari podem considerar que e0 = (1, 0, ..., 0) es un representant de [x] i quee1 = (0, 1, ..., 0) es un representant de v. Aquests dos punts de Cn+1 generen un C2 amb producte

hermıtic induıt −z0z0 + z1z1. A CHn en aquest pla tenim ghip =dzdz

(1− |z|2)2=

4(4− x2 − y2)

(dx2 +

dy2) que correspon a la metrica de l’espai hiperbolic real de dimensio 2 de curvatura −4. Per tant,la curvatura holomorfa de CHn amb la metrica de Bergmann que hem considerat es −4.

Els plans totalment reals tenen curvatura −1. Aquest fet es pot provar directament amb la


formula que relaciona la curvatura holomorfa amb les altres curvatures seccionals (1.14)

K(Π) =Khol

4

(1 + 3 cos2 α(Π)

)on α(Π) es l’angle entre el pla Π i J(Π). Com que aquest angle, en un pla totalment real es 0 iacabem de provar Khol = −4 tenim que la curvatura seccional per aquests plans es −1.

Observem que la formula anterior tambe prova que la curvatura seccional de CHn es negativa.

Geodesiques

Per ser CHn una varietat amb curvatura seccional negativa, sabem que donats dos punt hi ha unaunica geodesica que els uneix (teorema de Hadamard, cf. [O’N83] p.278).

Tambe podem provar l’existencia i la unicitat de geodesica per dos punts a CHn provant que hiha una isometria que porta [x] a [y] i fixa la recta projectiva complexa que conte [x] i [y] i cap mespunt de CHn. D’aquesta manera sabem que si hi ha una geodesica (de l’espai hiperbolic complex)que uneix els dos punts ha d’estar en aquesta recta projectiva complexa (ja que si una isometria fixados punts diferents tambe fixa la recta que els uneix).

L’existencia i la unicitat la tenim per ser la recta projectiva complexa de curvatura seccionalconstant en cada punt i, per tant, difeomorfa a l’espai hiperbolic real (amb curvatura constant −4),en que donats dos punts hi ha una unica geodesica que els uneix.

Donem l’expressio de la geodesica que uneix dos punts [x] i [y] qualssevol.

Lema 2.1.12. Siguin [x], [y] ∈ CHn. Llavors, el quocient

〈x, y〉〈y, x〉〈x, x〉〈y, y〉

no depen dels representants escollits i sempre es major o igual que 1.

Demostracio. L’expressio no depen dels representants x, y de [x], [y] ja que si λx i µy son uns altresrepresentants de [x], [y] llavors

〈λx, µy〉〈µy, λx〉〈λx, λx〉〈µy, µy〉

=|λ|2|µ|2

|λ|2|µ|2〈x, y〉〈y, x〉〈x, x〉〈y, y〉

.

Obtenim la desigualtat considerant com a representant el que te 1 a la primera component idesenvolupant la formula.

A la proposicio seguent no es perd generalitat tot i demanar que els representant dels puntscompleixin certes propietats ja que per a qualsevol parella de punt es poden trobar representantsque les satisfan (cf. lema 2.1.7).

Proposicio 2.1.13. Siguin x, y representants de [x], [y], respectivament, tals que 〈x, x〉 = −1,〈y, y〉 = −1, 〈x, y〉 < 0 i u ∈ T[x]CHn tal que 〈u, u〉 = 1 i 〈x, u〉 = 0 . La corba

[γ(t)] = [cosh(t)x+ sinh(t)u] (2.5)

es geodesica unitaria i per u = (y + 〈y, x〉x)/√〈y, x〉2 − 1 uneix [x] amb [y].

Demostracio. Per provar que [γ(t)] es geodesica unitaria veurem

1. Tots els punts de la corba son de CHns

2. L’acceleracio no te component tangent.

3. Te velocitat 1.


1. Els punts de [γ] son de CHn si 〈γ(t), γ(t)〉 < 0 per a tot t ∈ R.

〈γ(t), γ(t)〉 = 〈cosh(t)x+ sinh(t)u, cosh(t)x+ sinh(t)u〉= − cosh2(t) + sinh2(t) = −1 < 0 ∀t

ja que 〈x, u〉 = 0.2. Les geodesiques es caracteritzen per ser nul.la la component tangent de l’acceleracio en cada

punt. A la definicio de l’espai tangent hem vist que per trobar la component tangent d’un vectorqualsevol cal fer la projeccio del vector sobre l’espai ortogonal al punt. Per tant, per la formula dela projeccio de γ′′ a γ⊥ tenim que la component tangent de l’acceleracio es

Πγ(t)γ′′(t) = γ′′(t)− 〈γ′′(t), γ(t)〉

〈γ(t), γ(t)〉x

= cosh(t)x+ sinh(t)u− 1(cosh(t)x+ sinh(t)u) = 0.

3. Esta parametritzada per l’arc ja que

〈γ′(t), γ′(t)〉hip =〈Πγ(t)γ

′(t),Πγ(t)γ′(t)〉

−〈γ(t), γ(t)〉= 〈γ′(t), γ′(t)〉

= 〈sinh(t)x+ cosh(t)u, sinh(t)x+ cosh(t)u〉 = 1

per ser

Πγ(t)γ′(t) = γ′(t)− 〈γ′(t), γ(t)〉

〈γ(t), γ(t)〉γ(t)

= γ′(t) + 〈sinh(t)x+ cosh(t)u, cosh(t)x+ sinh(t)u〉γ(t)= γ′(t) + (sinh(t) cosh(t)〈x, x〉+ cosh(t) sinh(t)〈u, u〉)γ(t) = γ′(t).

La geodesica γ te origen en el punt [x] i direccio inicial u. Si elegim el vector u = (y +〈y, x〉x)/

√〈y, x〉2 − 1, per t = arccosh(−〈y, x〉), γ(t) passara per [y]. El vector u esta ben definit,

pel lema 2.1.12 es de T[x]CHn i unitari.

Observem que l’expressio anterior de les geodesiques esta definida per a tot t ∈ R, fet quedemostra que la varietat que defineix el model es completa.

Distancia

En geometria riemanniana es defineix la distancia entre dos punts com l’ınfim de la longitud de totesles corbes que uneixen els punts. Donem pero una expressio de la distancia entre dos punts de CHn,per aquest model, en funcio del producte hermıtic.

Proposicio 2.1.14. Siguin [x], [y] ∈ CHn i d la distancia entre els dos punts. Llavors podemexpressar d com:

(cosh d)2 =〈x, y〉〈y, x〉〈x, x〉〈y, y〉

. (2.6)

Demostracio. L’expressio esta ben definida, es a dir, no depen del representant i sempre pren valorsmajors o iguals a 1 (com el cosinus hiperbolic), cf. lema 2.1.12.

Sigui [x] ∈ CHn i u ∈ T[x]CHn amb ‖u‖hip = 1. Considerem x el representant de [x] que te norma−1 i u tal que 〈x, u〉 = 0. Considerem la geodesica unitaria [γ(t)] = [cosh(t)x + sinh(t)u] a CHn

que compleix que [γ(0)] = [x] i [γ(t)] = [y] per t = dist([x], [y]) = d, ja que les geodesiques unitariesdonen la distancia entre els dos punts que uneixen.


Substituint y per γ(d) a l’expressio de l’enunciat obtenim la igualtat:

〈x, y〉〈y, x〉〈x, x〉〈y, y〉

=〈x, cosh(d)x+ sinh(d)u〉〈cosh(d)x+ sinh(d)u, x〉−〈cosh(d)x+ sinh(d)u, cosh(d)x+ sinh(d)u〉

=cosh(d)〈x, x〉 cosh(d)〈x, x〉

−(cosh2(d)〈x, x〉+ sinh2(d)〈u, u〉)=

cosh2(d)cosh(d)2 − sinh2(d)

= (cosh(d))2.

Observacio 2.1.15. A [Gol99] p.77 en el model del disc i amb la mateixa notacio, es dona com aformula per la distancia entre dos punts cosh2(d/2) = 〈x,y〉〈y,x〉

〈x,x〉〈y,y〉 . La diferencia entre les dues formuleses deguda que a [Gol99] s’ha elegit que la curvatura holomorfa sigui −1.

Observacio 2.1.16. L’espai que defineix el model del disc i denotem per CHn, coincideix realmentamb l’espai hiperbolic complex, ja que es una varietat completa, simplement connexa i amb curvaturaholomorfa constant negativa i, pel teorema 1.1.27 sabem que aquesta es unica llevat isometria.

2.1.2 Model del paraboloide

El model del paraboloide de l’espai hiperbolic complex es defineix de manera analoga al model deldisc. Aquı nomes farem la presentacio, sense els calculs.

Es considera que el conjunt de punts que defineix el model es un subconjunt de CPn, concreta-ment,

Hn = [x] ∈ CPn | 〈x, x〉 < 0

amb la diferencia que ara considerem el producte hermıtic 〈 , 〉 no com a (2.1) sino

〈u, v〉 = u0vn + unv0 +n−1∑j=1

ujvj , (2.7)

que a l’exemple (iii) de 1.1.4 hem vist que defineix un producte hermıtic (sobre els complexos) nodegenerat i de tipus (n, 1). De fet, passem d’una expressio de producte hermıtic a l’altra amb uncanvi de base.

Els punts de Hn tambe verifiquen que la primera coordenada es no nul.la ja que si ho fos tambetindrıem una suma de nombres positius que ha de ser negativa. Si prenem els representants de laforma (1, z1, ..., zn), la condicio per tal que un punt sigui del model queda:

2 Re(zn) +n−1∑j=1

|zj |2 < 0.

Tambe podem identificar els vectors de l’espai tangent en el punt x com els v ∈ Cn+1 tals que〈x, v〉 = 0 i considerar qualsevol vector de Cn+1 un representant d’un vector del tangent en un punt.La metrica ve donada per

〈y, z〉hip =Re(〈y, z〉〈x, x〉 − 〈y, x〉〈x, z〉)

−〈x, x〉2(2.8)

on 〈 , 〉 es el donat a (2.7). Llavors,

Definicio 2.1.17. El model del paraboloide defineix l’espai hiperbolic complex, que denotem perCHn com el conjunt de punts Hn amb la metrica de (2.8).


Podem escriure la metrica en coordenades. Com en l’altre model, suposem que els punts tenenla primera coordenada igual a 1, llavors obtenim que la part real de la seguent expressio dona unametrica de Riemann que coincideix amb la de l’expressio de (2.8)

(wn + wn +∑n−1

j=1 wjwj)(∑n−1

j=1 dwj ⊗ dwj) + (dwn +∑n−1

j=1 wjdwj)⊗ (dwn +∑wjdwj)

−(wn + wn +∑n−1

j=1 wjwj)2.

L’estructura complexa que definim tambe es l’heredada de CPn i de la mateixa manera que enel model del disc (cf. pagines 28 i 12) es prova que es compatible amb la metrica i que es varietat deKahler.

L’expressio de les geodesiques i la formula de la distancia entre dos punts (2.5) i (2.6) formalmentes la mateixa, nomes cal tenir en compte que el producte hermıtic a considerar es el de (2.7).

Observacio 2.1.18. L’espai que defineix el model del paraboloide i denotem per CHn, coincideixrealment amb l’espai hiperbolic complex, ja que es una varietat completa, simplement connexa iamb curvatura holomorfa constant negativa i, pel teorema 1.1.27 sabem que aquesta es unica llevatisometria.

2.1.3 Calcul diferencial a CHn

Els punts de CHn en el model del disc (i del paraboloide) son un subconjunt de CPn. Si penseml’espai projectiu complex a partir de la projeccio

π : Cn+1 −→ CPnz 7→ [z]

podem definir els punts de CHn com els del conjunt

[z] ∈ CPn | [z] = π(z) amb g(z, z) = −1

on g es la part real del producte hermıtic que defineix el model (del disc o del paraboloide). Denotem

H = z ∈ Cn+1 | g(z, z) = −1.

La dimensio real de H ⊂ R2n+2 es 2n+ 1; tenim una condicio i 2n+ 2 variables. En aquesta seccioens centrem en el model del disc, es a dir, suposem que 〈z, z〉 = −|z0|2 +

∑nj=1 |zj |2.

L’espai hiperbolic real, Hn, es pot considerar com una hipersuperfıcie de Rn+1. Aixo no espossible per CHn per a cap Rm ni Cm pero acabem de veure que es pot considerar la projeccio d’unahipersuperfıcie de Cn+1 com:

π : H −→ CHn.

Per fer calcul diferencial a CHn, el farem a H i despres projectarem (cf. [NR97]).

Observacions 2.1.19. (i) La fibra de π es S1. En efecte, per [z] ∈ CHn, π−1([z]) = z ∈ H | π(z) =[z]. Per definicio de π, dos punts projecten en el mateix si i nomes si son multiples a Cn+1.Pero, a mes, cal que g(αz, αz) = −1 per a qualsevol representant de [z]. Llavors, per la definiciode h nomes es possible si α = eiθ amb θ ∈ R. Per tant, π−1([z]) ∼= S1.

(ii) A la definicio de H demanem que g(z, z) = −1 pero aquest valor es arbitrari, podem elegirqualsevol valor negatiu. Hem elegit −1 per tal que la curvatura holomorfa de l’espai quedescriu el model sigui −4.


Espai tangent

L’espai tangent en un punt z ∈ H es

TzH = w ∈ Cn+1 | g(z, w) = 0.

Els elements de l’espai tangent en un punt π(z) ∈ CHn son la imatge per dπ dels elements de l’espaitangent en el punt z. Com que H te dimensio una mes que la de CHn hi haura un subespai dedimensio 1 que tindra imatge nul.la.

La direccio que s’anul.la per dπ es Jz ja que es la direccio tangent a la fibra. En efecte, sabemque la fibra d’un punt [z] es eiθz | θ ∈ R, llavors

∂(eiθz)∂θ

∣∣∣∣θ=0

= iz = Jz.

L’espai tangent en els punts de CHn coincideix, doncs, amb la imatge per la diferencial de laprojeccio dels vectors de 〈Jz〉⊥ a TzH i tenim

Tπ(z)CHn ∼= 〈Jz〉⊥.

Donat un vector v ∈ Tπ(z)CHn hi ha infinits vectors de TzH que per la diferencial de la projeccioens donen el vector v, pero podem distingir el que pertany a 〈Jz〉⊥, que anomenem aixecamenthoritzontal i denotem per vL. Tots els altres son combinacio lineal d’aquest i un multiple de Jz.

Metrica

Definim la metrica a H com la part real del producte hermıtic definit a Cn+1, es a dir, si v, w ∈ TzHllavors,

g(v, w) = Re(−v0w0 +n∑k=1

vkwk). (2.9)

Amb el producte anterior tenim que l’espai tangent en cada punt descomposa ortogonalment enTzH = 〈Jz〉 ⊕ 〈Jz〉⊥. El subespai 〈Jz〉⊥ es invariant per J .

Observem que la metrica a H no es definida positiva sino que te ındex 1, es a dir, la dimensio delssubespais vectorials tals que qualsevol dels seus vectors te norma negativa es 1 (cf. [O’N83] prop.4.29). Diem que H ⊂ R2n+1 es subvarietat semi-riemanniana d’ındex 1.

Definim la metrica a CHn entre dos vectors v, w ∈ Tπ(z)CHn com

ghip(v, w) = g(vL, wL). (2.10)

Aquesta metrica sı que es de Riemann ja que esta definida sobre R, es bilineal, simetrica i definidapositiva.

Estructura complexa a CHn

Definim l’estructura complexa en els punts del tangent de CHn, que tambe denotarem per J , a partirde l’aplicacio J definida a Cn+1

Jv = dπ(JvL)

amb v ∈ Tπ(z)CHn.Podem considerar aquesta definicio ja que hem descomposat l’espai tangent de H en dues com-

ponents ortogonals, Jz i 〈Jz〉⊥, amb la segona invariant per J i tots els vectors vL son de 〈Jz〉⊥.La metrica i l’estructura complexa definides son compatibles, es a dir, ghip(Jv, Jw) = ghip(v, w)

∀ v, w ∈ T[x]CHn. En efecte, per la definicio de ghip( , ) i per ser J automorfisme del tangent de CHn

i isometria de g( , ) es compleixen les seguents igualtats:

ghip(Jv, Jw) = g((Jv)L, (Jw)L) = g(JvL, JwL) = g(vL, wL) = ghip(v, w).


A mes, com que l’expressio de la metrica que hem donat a (2.10) coincideix amb la metrica delmodel del disc (quan considerem el representant de cada punt de norma −1), la forma de Kahlertambe coincideix i podem afirmar que amb aquesta estructura complexa, la projeccio de H dona unavarietat de Kahler.

Derivada covariant

Calculem primer la derivada covariant de H. Com que H es una subvarietat de Cn+1, la seva derivadacovariant depen de la connexio de l’ambient (en aquest cas (Cn+1, g), on g es la metrica donada a(2.9)).

Tot i que H es varietat semi-riemanniana podem trobar la connexio de H utilitzant la descompo-sicio de la connexio de Cn+1 amb part tangent i part normal a H (cf. [O’N83] p.100):

∇vw = ∇Hv w +BH(v, w)−→n

on ∇vw es la derivada covariant de Cn+1.El vector normal en el punt z ha de ser un vector de l’espai tangent a Cn+1 que no sigui tangent a

H, en el punt z. Per tant, s’ha de complir g(z,−→n ) 6= 0. En el punt z, el vector z satisfa g(z, z) = −1,per ser z ∈ H. Llavors, podem considerar com a vector normal z i obtenim

−BH(v, w) = g(∇vw, z) = −g(∇vz, w) = −g(v, w)

on l’ultima igualtat es certa per ser els sımbols de Christoffel associats a ∇ nuls.Per tant, la derivada covariant en el punt z ∈ H ve donada per

∇Hv w = ∇vw −BH(v, w)−→n = ∇vw − g(v, w)z.

Definim la derivada covariant entre dos vectors v, w de Tπ(z)CHn com

(∇vw)π(z) = dπ((∇HvLw

L)z) = dπ((∇vLwL)z − g(vL, wL)z)

que no depen del punt z que elegim.

Curvatura holomorfa

A partir de l’expressio de la derivada covariant, l’equacio de Gauss per subvarietats (cf. [KN69] p.23)i de l’equacio de O’neill per submersions semi-riemannianes (cf. [CE75] p.68) obtenim que el tensorde curvatura a l’espai hiperbolic complex es pot expressar com

R(v, w)u = −(v ∧ w + Jv ∧ Jw + 2ghip(v, Jw)J)u

on (v ∧ w)u = ghip(w, u)v − ghip(v, u)w i v, w, u son camps de l’espai hiperbolic complex.Per calcular la curvatura holomorfa utilitzem la formula anterior. Si v, Jv es una base orto-

normal d’una seccio holomorfa, Π de T[z]CHn llavors,

K(Π) = ghip(R(v, Jv)Jv, v) = ghip(−(v ∧ Jv + Jv ∧ J(Jv) + 2ghip(v, J(Jv))J)Jv, v)= ghip(−2(v ∧ Jv − ghip(v, v)J)Jv, v) = −2ghip((v ∧ Jv)Jv, v)− 2ghip(v, v)ghip(v, v)= −2ghip(v, v)− 2ghip(v, v)ghip(v, v) = −4.

Per tant, la curvatura holomorfa es constant i igual a −4.

Isometries

Les isometries a H son restriccio de les aplicacions lineals de Cn+1 que preserven la metrica definidaa H. Cada una d’aquestes isometries es, tambe, isometria de CHn per com hem definit la metrica aCHn. A mes, aquestes son totes les isometries de CHn (cf. [Gol99] p.68).


Geodesiques

Les geodesiques unitaries de H tenen l’expressio

γ(t) = cosh(t)z + sinh(t)u

amb u ∈ TzH. Efectivament, γ(t) ∈ H ja que g(cosh(t)z + sinh(t)u, cosh(t)z + sinh(t)u) = −1; γ′′(t)no te part tangent per ser γ′′(t) = γ(t), i g(γ′(t), γ′(t)) = 1.

La projeccio d’una geodesica de H amb vector tangent horitzontal defineix una geodesica a CHn

(propietat general de les submersions semi-riemannianes).Aixı, les geodesiques a CHn tenen l’expressio [γ(t)] = [cosh(t)z + sinh(t)u] on u ∈ 〈Jz〉⊥ ⊂ TzH.

Distancia

Proposicio 2.1.20. Siguin [x], [y] ∈ CHn i d la distancia entre els dos punts. Llavors podemexpressar d com

(cosh d)2 = 〈x, y〉〈y, x〉

on 〈x, y〉 = −x0y0 +∑n

j=1 xjyj.

Demostracio. Primer de tot, cal provar que l’expressio esta ben definida. Si x i αx son representantsde [x] i y i βy son representants de [y] amb α , β ∈ S1 tenim la igualtat

〈αx, βy〉〈βy, αx〉 = |α|2|β|2〈x, y〉〈y, x〉 = 〈x, y〉〈y, x〉

i, per tant, esta ben definida.La resta de la demostracio es analoga a la demostracio de la proposicio 2.1.14.

2.1.4 CHn com espai simetric

L’espai hiperbolic complex te estructura d’espai homogeni (cf. observacio 2.1.9) i, com a tal, es potveure com a quocient de grups de Lie (cf. seccio 1.3.2).

El grup PU(1, n) actua transitivament a CHn amb grup d’isotropia P (U(1)×U(n)) (cf. proposicio2.1.10). Aleshores,

CHn ∼= PU(1, n)/P (U(1)× U(n)).

Pero, tambeCHn ∼= U(1, n)/(U(1)× U(n))

ja que el grup U(1, n) actua transitivament a CHn amb grup d’isotropia U(1)×U(n). Aquesta es ladescripcio que utilitzarem en aquesta seccio.

CHn tambe es espai simetric. En efecte, fixat un punt qualsevol hi ha una simetria global. Pel

punt [x] = [1, 0, ..., 0] la isometria A =(

1 00 −Idn

)es simetria global, ja que fixa [x] i transforma

els punts [z0, z1, ..., zn] ∈ CHn en [z0,−z1, ...,−zn]. Pels altres punts [y] ∈ CHn nomes cal conjugarper la isometria B que porta el punt fixat a [x]. La isometria B−1AB fixa [y] i es simetria global.D’aquesta manera obtenim que CHn es un espai simetric.

Anem a descriure, des del punt de vista dels espais simetrics i utilitzant els resultats de lesseccions 1.2 i 1.3 part de la geometria de CHn.

Espai tangent

L’espai tangent de CHn es isomorf a u(1, n)/(u(1)× u(n)) ∼= g/h ∼= m.A mes, per l’exemple 1.2.11, tenim u(1, n) ∼= u(1) ⊕ u(n) ⊕ Cn com a espais vectorials. Llavors,

identifiquem els elements de Cn amb les matrius (n+ 1)× (n+ 1) de la forma(0 xt

x 0

)(2.11)


on x ∈ Cn de manera que l’espai tangent de U(1, n)/(U(1)×U(n)) s’identifica amb Cn. Les matriusanteriors coincideixen amb els vectors propis de valor propi −1 de l’aplicacio dσ(X) = AXA (cf.proposicio 1.3.9) i son, per tant, els elements de m. A la classe del neutre escrivim els elements deltangent, T[e](U(1, n)/U(1) × U(n)) com les matrius de la forma (2.11). Per tant, la dimensio deU(1, n)/(U(1)× U(n)) es n complexa o 2n real.

Observem que el punt [e] ∈ U(1, n)/(U(1) × U(n)) s’identifica amb [1, 0, ..., 0] en el model deldisc. L’espai tangent en cada un d’aquests punts tambe d’identifica directament tenint en compteque els vectors de T[1,0,...,0]CHn s’identifiquen amb els punts de Cn+1 de la forma (0, v1, ..., vn) i, pertant, amb els elements de Cn i amb les matrius de la forma (2.11), es a dir, els elements de m.

Metrica

Siguin X, Y ∈ ToCHn = To(U(1, n)/U(1)× U(n)) i o = [e]. Definim el seu producte com

〈X,Y 〉o = tr(XY ). (2.12)

Lema 2.1.21. 〈X,Y 〉o = tr(XY ) defineix un producte sobre els reals, bilineal simetric, definit positiua To(U(1, n)/U(1)× U(n)) i Ad(U(1)× U(n))-invariant.

Demostracio. Com que X, Y son matrius amb entrades complexes cal provar que el producte que

hem definit pren valors sobre els reals. Suposem que X =(

0 xt

x 0

)i Y =

(0 yt

y 0

)llavors,

〈X,Y 〉o = tr(xty) + tr(xyt). Per tal que sempre prengui valors reals cal que 〈X,Y 〉o = 〈X,Y 〉o peroaixo es verifica per ser tr(zts) = tr(zst).

Les altres propietats es verifiquen per les propietats de la funcio traca.

El producte escalar anterior definit a o s’exten a una metrica invariant per l’esquerra (proposicio1.3.11).

Observacio 2.1.22. La metrica anterior coincideix amb un multiple de la forma de Killing de U(1, n)restringida als elements del tangent de U(1, n)/(U(1)× U(n)) (cf. [O’N83] p.327).

Estructura complexa

Definim primer un automorfisme Jo, a la classe del neutre de CHn ∼= U(1, n)/(U(1)× U(n)) tal queJ2o = −Id, on coneixem l’expressio del seus elements.

Jo =

−i

i. . .

i

. (2.13)

Jo es automorfisme de l’espai tangent a la classe del neutre ja que siX ∈ ToCHn llavors JoX ∈ ToCHn.

En efecte, JoX =(

0 −ixtix 0

)i ixt = −ixt, que es la condicio que satisfan els elements del tangent

en o quan els representem en forma de matriu. A mes, J2o = −Id.

Ara, podem extendre Jo a un tensor J de tipus (1, 1) definit a CHn ∼= U(1, n)/(U(1) × U(n)).Provem que dona estructura de varietat de Kahler a CHn.

Lema 2.1.23. U(1, n)/(U(1)×U(n)) te estructura de varietat de Kahler amb l’estructura complexaJ definida a partir de (2.13).

Demostracio. J es compatible amb la metrica ja que es compleix

〈JoX, JoY 〉o = tr((

0 −ixtix 0

)(0 −iytiy 0

))= tr

(xty + xyt

)= 〈X,Y 〉o


i per l’observacio 1.3.12 es pot extendre Jo a J invariant per l’esquerra.Per provar que J es paral.lel n’hi ha prou veient que si Z es un vector paral.lel al llarg d’una

geodesica γ llavors JZ tambe es paral.lel al llarg de γ (cf. [O’N83] p.326). Per ser l’espai homogeniens podem centrar en el punt o. Qualsevol geodesica γ amb origen a o es de la forma γ(t) = π(α(t))on α(t) es el grup uniparametric amb direccio γ′ ∈ m (proposicio 1.3.16). Ara, sigui Z paral.lelal llarg de γ. Z(t) s’ha obtingut per translacio esquerra d’un vector Z(0). Aixı podem escriureZ(t) = dLα(t)Z(0) d’on obtenim que (JZ)(t) = J(Z(t)) = J(dLα(t)Z(0)) = dLα(t)(JZ(0)) i, pertant, JZ es paral.lel al llarg de γ i J es paral.lel.

Geodesiques

Les geodesiques de CHn coincideixen amb la projeccio dels grups uniparametrics de U(1, n) ambdireccio inicial a m (proposicio 1.3.16). Per ser U(1, n) grup de Lie de matrius, podem calcular-les apartir de l’aplicacio exponencial (observacio 1.2.13).

Llavors, l’expressio de les geodesiques de U(1, n)/(U(1) × U(n)) es troba utilitzant l’expressiodels elements de m i el desenvolupament en serie de potencies de l’aplicacio exponencial i de lesaplicacions sinh(t) i cosh(t). Obtenim que γ(t) = exp(tX)o = cosh(t)o+ sinh(t)x, si identifiquem Xamb x i o = [1, 0, ..., 0]. Observem que aquestes geodesiques estan definides per a qualsevol t ∈ R talcom ja s’ha de complir per ser U(1, n)/(U(1)× U(n)) espai simetric (proposicio 1.3.18).

Curvatura holomorfa

Per provar que la curvatura holomorfa es constant utilitzem l’expressio (1.18):

KM (X,Y ) =〈[[X,Y ], X]o, Y 〉−4〈X,X〉〈Y, Y 〉

ja que l’espai es simetric i llavors n’hi ha prou calculant la curvatura en el neutre. Sigui X ∈ToCHn unitari. X, JX formen una base ortonormal d’una seccio holomorfa. Recordem que podemidentificar

X =(

0 xt

x 0

)i JX =

(0 −ixtix 0

).

Llavors, nomes cal fer els productes de matrius que determina el claudator de Lie per obtenir que

[X, JX] =(

2ixtx 00 −2ixxt

). Per la definicio del producte de (2.12) a partir del qual hem definit

la metrica i recordant que hem elegit X unitari obtenim

KM (X, JX) = −4tr(xtxxtx) = −4

d’on la curvatura holomorfa es constant i igual a −4.

Observacio 2.1.24. Per obtenir que la curvatura holomorfa es −4 i no una altra constant hem elegitcom a metrica 〈X,Y 〉 = tr(XY ) i no 〈X,Y 〉 = 1

2tr(XY ) tal com es fa normalment. Amb aquestaaltra eleccio la curvatura holomorfa seria −2 i les curvatures seccionals estarien acotades entre −2 i−1/2.

2.2 Subvarietats de CHn

L’objectiu d’aquesta seccio es estudiar els subconjunts caracterıstics de CHn per intentar veure’n lageometria.

2.2.1 Hipersuperfıcies reals

Primer de tot estudiem algunes propietats de les hipersuperfıcies reals de CHn. De totes maneres,al seguent capıtol, ens centrarem nomes en l’estudi de les hipersuperfıcies reals, donant-ne exemples.

40 2.2 Subvarietats de CHn

No existencia d’hipersuperfıcies reals totalment geodesiques i umbilicals

L’espai hiperbolic complex te propietats molt diferents de les que es donen en els espai de curvaturaseccional constant Rn, Hn i Sn. Algunes d’aquestes diferencies es troben quan s’estudien les hipersu-perfıcies (reals) de CHn i son que no n’existeixen de totalment umbilicals ni totalment geodesiques.Recordem-ne les definicions.

Definicio 2.2.1. Diem que una hipersuperfıcie es totalment umbilical si la segona forma fonamentales no nul.la i proporcional a la identitat.

Definicio 2.2.2. Diem que una hipersuperfıcie es totalment geodesica si la segona forma fonamentales nul.la en cada punt.

Estudiem primer l’espai tangent en els punts d’una hipersuperfıcie. Per a qualsevol hipersuperfıcieM de CHn sabem que es compleixen les formules de Gauss i de Weingarten:

∇XY = DXY +B(X,Y )ξ amb B(X,Y ) = ghip(−∇Xξ, Y )

−∇Xξ = HX

on ∇ denota la derivada covariant de CHn, D la derivada covariant deM , H l’aplicacio de Weingarteni ξ vector normal unitari.

A mes, sabem que CHn es varietat complexa, per tant, hi ha un automorfisme del tangent deCHn J que es isometria respecte la metrica ghip de CHn i tal que J2 = −Id.

Suposem que la hipersuperfıcie M es orientable i que esta orientada pel vector normal unitari ξ.Definim el camp U com U = −Jξ. Per ser ξ i U ortogonals respecte ghip sabem que U ∈ TM es uncamp sobre la hipersuperfıcie.

Per cada camp X ∈ TM podem considerar el camp JX ∈ TCHn i la descomposicio d’aquest enpart tangent i part normal a M . La part normal sera un multiple de ξ. Aixı, tenim

JX = (JX)> + ghip(JX, ξ)ξ = (JX)> + ghip(X,U)ξ.

Observem que si prenem X = U llavors la igualtat anterior afirma que JU no te part tangent, fet jaconegut per ser U = −Jξ. Aixı doncs, a partir del camp ξ, que esta determinat de manera canonica,podem definir el camp U i una distribucio E de dimensio 2n−2 sobre la hipersuperfıcie. Consideremcom a distribucio el subespai del fibrat tangent ortogonal al camp U , es a dir, en cada punt x ∈ CHn

Ex = X ∈ TxM | ghip(X,U) = 0.

Denotem per ω la 1-forma que defineix la distribucio E, E = X ∈ TM | ω(X) = 0. Pel campsX ∈ E es compleix que JX nomes te part tangent a la hipersuperfıcie, es a dir, la restriccio de J aE es un endomorfisme.

Per tant, podem descomposar l’espai tangent en cada punt d’una hipersuperfıcie com a sumadirecta de dos subespais

TxM = Ex ⊕ U. (2.14)

A partir de la descomposicio de l’espai tangent anterior es prova que a CHn no existeixen hi-persuperfıcies totalment umbilicals ni totalment geodesiques. La idea de la demostracio es suposarque sı que n’existeixen i arribar a contradiccio amb la dimensio de la distribucio. A la demostracios’utilitza la relacio entre el tensor de curvatura de l’ambient i el de la subvarietat sabent que CHn

es un espai de curvatura holomorfa constant (cf. [Mon85]).

Teorema 2.2.3. Si n > 1, no existeixen hipersuperfıcies reals de CHn totalment umbilicals.


Demostracio. Suposem que M es una hipersuperfıcie totalment umbilical de CHn, llavors HX = aXon a es una funcio sobre la hipersuperfıcie i X ∈ TM qualsevol.

En general, el tensor de curvatura R d’una hipersuperfıcie esta relacionat amb el de l’ambient,R per (cf. [KN69] p.23)

R(X,Y )Z = R(X,Y )Z + g(HY,Z)HX − g(HX,Z)HY+g((DYH)X,Z)ξ − g((DXH)Y, Z)ξ (2.15)

on ξ es camp normal unitari. Per ser CHn una varietat amb curvatura holomorfa constant sabemque R(X,Y )Z = ghip(X,Z)Y − ghip(Y, Z)X + ghip(JX,Z)JY − ghip(JY, Z)JX − 2ghip(X, JY )JZ.

El tensor R te part tangent i normal a la hipersuperfıcie pero el tensor R nomes te part tangent.Igualant la part normal de l’equacio (2.15) a 0 obtenim l’equacio de Codazzi. Si, a mes, utilitzemque M es totalment umbilical tenim

ghip(X(a)Y−Y (a)X,Z)ξ = (ghip(JX,Z)ghip(JY, ξ)−ghip(JY, Z)ghip(JX, ξ)−2ghip(X, JY )ghip(JZ, ξ))ξ.

Sabem que dim(E) = dim(ker(ω)) = 2n − 2 i, com que suposem que n > 1, podem considerarcom a camps X,Y ∈ TM camps de E. Per aquests tambe s’ha de complir la igualtat anterior i, ames, ghip(JX, ξ) = ghip(JY, ξ) = 0. Si prenem Z = U llavors s’ha de complir

0 = −2ghip(X, JY )ξ

per a tot X,Y ∈ E.De la igualtat anterior obtenim que JY , amb Y qualsevol vector de E, no te part en E i, per

tant, es pot descomposar comJY = λJξ + µξ

pero fent producte amb Jξ i ξ obtenim que λ = µ = 0 d’on cal que Y = 0 amb Y ∈ E qualsevol.Aixı, dim(E) = 0 d’on tenim 2n− 2 = 0 que no es possible si n > 1.

Corol.lari 2.2.4. Si n > 1 no existeixen hipersuperfıcies reals de CHn totalment geodesiques.

Corol.lari 2.2.5. Si n > 1 no hi ha cap isometria de CHn diferent de la identitat que fixi, punt apunt, una hipersuperfıcie real.

Demostracio. Si existıs alguna isometria, la hipersuperfıcie real fixada hauria de ser totalment ge-odesica. Si no fos totalment geodesica hi haurien punts p i q fixos i una geodesica que uniria p i qtal que no estaria continguda a la hipersuperfıcie, pero la isometria que fixa p i q tambe fixa tots elspunts de la geodesica que uneix p i q, arribant a contradiccio. Pel corol.lari anterior sabem que noexisteixen hipersuperfıcies totalment geodesiques.

Observacio 2.2.6. Les hipersuperfıcies de CHn tenen estructura de quasi-contacte (cf. [Bla76]). Apartir d’aquest formulisme es dona la demostracio de la no existencia d’hipersuperfıcies totalmentumbilicals. Aixı es com es demostra a [Mon85] pero aquı hem volgut donar-la sense haver d’introduirles varietats de quasi-contacte. De totes maneres, hem seguit la mateixa idea: existencia d’uncamp privilegiat que determina una distribucio no nul.la. Aquesta distribucio es completament nointegrable per a qualsevol hipersuperfıcie.

Observacio 2.2.7. A l’espai projectiu complex, CPn, tampoc existeixen hipersuperfıcies reals total-ment umbilicals ni totalment geodesiques. La demostracio es totalment analoga a la donada aquıper CHn ja que CPn tambe es espai de curvatura holomorfa constant i tenim una expressio analogadel tensor de curvatura. La no existencia d’hipersuperfıcies totalment umbilicals va ser demostradaal 1963 pels japonesos Tashiro i Tachibana.

42 2.2 Subvarietats de CHn

Curvatura seccional de les hipersuperfıcies reals

Ara provarem que la curvatura seccional de l’ambient, quan nomes considerem parelles de vectorsque estan a l’espai tangent d’un punt d’una hipersuperfıcie, pot prendre qualsevol dels valors pos-sibles. Al capıtol seguent estudiarem els valors de les curvatures principals per alguns exemplesd’hipersuperfıcies.

Proposicio 2.2.8. Sigui M una hipersuperfıcie real de CHn, n ≥ 2 i x ∈ M . Llavors, per algunaparella X,Y de vectors ortonormals de TxM es te K(X,Y ) = k per a tot k ∈ [−4,−1].

Demostracio. Per demostrar el teorema n’hi ha prou veient que fixat un punt qualsevol de M hiha un pla de l’espai tangent en que la curvatura es −4, un altre en que la curvatura es −1 i quees pot passar del pla que te curvatura seccional −4 al que te curvatura seccional −1 de maneracontınua; canviant els vectors directors del pla per altres que tambe siguin del tangent i de formaque la curvatura seccional d’aquests plans vagi prenent tots els valors entre −4 i −1.

Sigui x ∈ M . L’espai tangent a la hipersuperfıcie en el punt x es pot descomposar com TxM =Ex⊕(−Jξx), tal com hem vist a (2.14), de manera que Ex es invariant per J i te dimensio 2n−2 ≥ 2.Aixı doncs, podem considerar un vector Y tal que els vectors Y, JY ∈ Ex. Aquests pertanyen a l’espaitangent en x i generen un pla de curvatura seccional de l’ambient −4. Suposem el vector Y unitari.

Tambe podem considerar com a pla Π contingut a TxM el generat per Jξx, Y . Aquest es totalmentreal ja que l’angle entre Π i JΠ es arccos(ghip(ξx, v)) = π

2 . Per tant, la curvatura seccional de l’ambienten aquest pla es −1.

A mes, podem passar d’un pla a l’altre de manera contınua considerant el pla generat per Y i

X = cos(α)JY + sin(α)Jξx

amb α ∈ [0, π/2]. Quan α = 0, X = JY i tenim el pla amb curvatura seccional −4; quan α = π2 ,

X = Jξx i tenim el pla amb curvatura seccional −1. Per a tots els altres valors de α el vector X estangent a la hipersuperfıcie i el valor de la curvatura seccional de l’ambient pel pla X,Y es

−(1 + 3 cos2(α)

)ja que ghip(X, Jξx) = 0 per ser X ∈ Ex. Com que cos2(α) es una funcio contınua i pren tots els valorsde [0, π/2] per valors de α ∈ [0, π/2] sabem que es prenen tots els valors possibles de la curvaturaseccional de l’ambient nomes considerant vectors de l’espai tangent a la hipersuperfıcie.

Corol.lari 2.2.9. A cada punt d’una esfera, la curvatura seccional pren tots els valors.

2.2.2 Subvarietats totalment geodesiques

Hem provat que a CHn no hi ha subvarietats reals totalment geodesiques de dimensio maxima (corol-lari 2.2.4) pero de subvarietats totalment geodesiques de dimensio menor sı que n’existeixen. De fet,les subvarietats totalment geodesiques estan classificades (cf. [Gol99]):

Proposicio 2.2.10. Sigui M subvarietat totalment geodesica de CHn llavors M es isomorf o be auna geodesica real o be a CHp per algun 1 ≤ p < n o be a RHq per algun 1 ≤ q ≤ n.

Corol.lari 2.2.11. Les subvarietats de dimensio 2 real que son totalment geodesiques son isomorfesa CH1 o a RH2 i estan generades per la imatge de l’aplicacio exponencial que te com a espai tangenten un punt un pla holomorf o un pla totalment real.

En el model del disc es pot pensar cada CHp com la interseccio d’un subespai complex de CPnamb CHn i cada RHn com la interseccio d’un subespai real de dimensio maxima de CPn (cf. [Gol99]p.74). A mes, fixat un punt de CHn i un subespai vectorial del tangent invariant per J existeix unaunica varietat totalment geodesica que passa per aquest punt i te com espai tangent el fixat.


Notacio 2.2.12. Pel fet anterior, s’anomena Cp-pla a un subespai totalment geodesic de dimensiocomplexa p de CHn i Rp-pla a un subespai totalment real de dimensio real p de CHn. Tambeanomenem geodesica complexa a un C1-pla.

Observacio 2.2.13. Donada una geodesica real existeix un unic C1-pla que la conte. Mes en general,donat un Rk-pla hi ha un unic Ck-pla que el conte. En efecte, si la base de l’espai tangent en unpunt de l’Rk-pla es u1, ..., uk llavors una base de l’espai tangent en el punt del Ck-pla que el contees u1, ..., uk, Ju1, ..., Juk.

Recordem que en els espais de curvatura constant les subvarietats totalment geodesiques estangenerades per l’exponencial d’uns quants vectors de l’espai tangent en un punt. Aquest fet no es cert aCHn. Nomes obtenim una varietat totalment geodesica si els vectors de l’espai tangent son subespaivectorial complex o totalment real com a subespai vectorial de l’espai tangent. Les subvarietatsobtingudes per l’aplicacio exponencial s’anomenen, a CHn, subvarietats lineals i son o be totalmentgeodesiques o be un bisector generalitzat. En els articles [Hsi98] i [Hsi99] s’estudien les subvarietatslineals de CHn i es generalitza al concepte de subvarietats semi-lineals.

El seguent lema, que ens servira per demostrar algunes propietats del bisectors, es pot trobar a[Gol99] lema 3.1.12.

Lema 2.2.14. Sigui k < m ≤ n. Sigui P un Rk-pla contingut en un Rm-pla, P ′, i PC l’unic Ck-plaque conte P . Llavors, P = P ′ ∩ PC i per a cada x ∈ P els subespais P ′ i PC es tallen ortogonalmenta x.

A mes, si ρ es una inversio respecte un Rn-pla que conte P ′ (es a dir, ρ2 = id i deixa fixos elspunts de l’Rn-pla) llavors ρ deixa PC invariant i actua com una inversio respecte P a PC.

Definicio 2.2.15. Sigui W una subvarietat totalment geodesica de CHn i x ∈ CHn. Definim laprojeccio ortogonal Π : CHn −→W com Π(x) = z on z ∈W tal que d(x, z) = minw∈W d(x,w).

La projeccio ortogonal esta ben definida ja que sempre es prendra el mınim per ser la funciodistancia convexa sobre cada geodesica i, per tant, sobre qualsevol subvarietat totalment geodesica.A mes, la geodesica que uneix x i Π(x) talla W ortogonalment.

2.2.3 Subvarietats totalment reals

Fins ara hem parlat de plans totalment reals com aquells plans Π ∈ TxCHn que son ortogonals ambJΠ. Aquest concepte es pot generalitzar per a qualsevol dimensio i te sentit en espais vectorials ambuna estructura quasi-complexa i un producte hermıtic real.

Definicio 2.2.16. Sigui E espai vectorial amb producte hermıtic h i estructura quasi-complexa J .Sigui F un subespai vectorial de E. Diem que F es totalment real si per a tot u, v ∈ F es compleixh(u, Jv) = 0.

Si la dimensio del subespai F es 2, diem que F es un pla totalment real.

Per la definicio anterior sabem que la dimensio real d’un subespai totalment real es com a maximla meitat de la dimensio real de l’espai vectorial on esta contingut.

Definicio 2.2.17. A CHn, diem que una subvarietat es totalment real si l’espai tangent en cadapunt z es un subespai totalment real dins de TzCHn.

Observacio 2.2.18. Les subvarietats totalment reals estan generades per la imatge de l’aplicacioexponencial de subespais vectorials totalment reals de Cn+1 interseccio CHn.

En el model del disc tenim la seguent caracteritzacio de subvarietats totalment reals.

Proposicio 2.2.19. Una subvarietat de CHn es totalment real si, en cada punt, el producte hermıticque defineix la metrica es real.

44 2.3 Trigonometria

Demostracio. Per l’observacio 2.1.3 i utilitzant que Jv = (v20,−v1

0, ..., v2n,−v1

n) obtenim Re(h(u, Jv)) =− Im(h(u, v)).

Exemple 2.2.20. Cada RHp ⊂ CHn amb 0 < p ≤ n es subvarietat totalment real i totalmentgeodesica. A mes, son les uniques subvarietats totalment reals.

2.3 Trigonometria

En aquesta seccio donem, sense demostracio, algunes formules de la trigonometria de l’espai hi-perbolic complex. En el llibre [Gol99] pagina 84 es donen algunes demostracions i referencies.

Els plans holomorfs i totalment reals tenen curvatura constant igual a −4 i −1, respectivamenti son totalment geodesics. Per tant, restringits en aquests plans les formules conegudes per l’espaihiperbolic (real) es poden aplicar pero, els altres plans no son totalment geodesics i no s’hi podenaplicar.

Recordem breument la trigonometria hiperbolica. Sigui H2(−k2) l’espai hiperbolic amb curvaturaseccional constant −k2. Siguin a, b i c els tres costats d’un triangle i α, β i γ els angles interiorsoposats a cada costat respectivament.

Figura 2.1: Triangle hiperbolic a H2 amb el model del semipla

La longitud de cada costat i l’angle en els vertexs dona un invariant. Les formules que elsrelacionen son les seguents (cf. [Rat94])

cosh(ka) = cosh(kb) cosh(kc)− sinh(kb) sinh(kc) cos(α), (2.16)

sinh(ka)sin(α)

=sinh(kb)sin(β)

=sinh(kc)sin(γ)

, (2.17)

sinh(ka) cos(β) = cosh(kb) sinh(kc)− sinh(kb) cosh(kc) cos(α).

La trigonometria hiperbolica complexa es mes rica pel fet que hi ha triangles que no estan en unpla totalment geodesic. Aixo fa que fixat un triangle se li puguin associar mes invariants.

Definicio 2.3.1. Siguin γ1 i γ2 dues geodesiques que es tallen en un punt p i Π1 i Π2 els planscomplexos que contenen les geodesiques γ1 i γ2, respectivament. Definim l’angle complex com l’angleque formen els plans Π1 i Π2, es a dir, l’ınfim entre els angles que formen totes les parelles d’unvector de Π1 i un vector de Π2.

Fixat un triangle a l’espai hiperbolic complex amb vertexs A1, A2 i A3, la longitud de cadacostat ens dona un invariant i cada vertex ens dona dos invariants: l’angle riemannia, θi i l’anglecomplex, φi. A mes, podem definir, per cada vertex, l’angle d’holomorfia, µi (recordem que l’angled’holomorfia d’un pla Π es l’angle entre Π i J(Π)). Aquest tres angles estan relacionats de la seguentmanera

sinφi = sinµi sin θi.

Algunes formules de la trigonometria hiperbolica complexa son

sinh(a)sin(φA)

=sinh(b)sin(φB)

=sinh(c)sin(φC)

,


sinh(2a)cos(µA) sin(θA)

=sinh(2b)

cos(µB) sin(θB)=

sinh(2c)cos(µC) sin(θC)

,

cosh2(c)− (cosh(a) cosh(b)− cos(θC) sinh(a) sinh(b))2 =cos2(µC) sin2(θC) sinh2(a) sinh2(b), (2.18)

cosh(2a) cosh(2b)− cos(θC) sinh(2a) sinh(2b)− cosh(2c) =2 sin2(µC) sin2(θC) sinh2(a) sinh2(b). (2.19)

Observacions 2.3.2. (i) Quan µA = µB = µC = 0 estem en un pla holomorf i recuperem lesformules (2.16), (2.17) amb k = 2.

(ii) Quan θC = π/2 tenim el teorema de Pitagores de l’espai hiperbolic complex

cosh(2a) cosh(2b)− cosh(2c) = 2 sin2(µC) sinh2(a) sinh2(b) (2.20)

a partir de (2.19) o,

cosh(c)− cosh(a) cosh(b) = cos(µC) sinh(a) sinh(b)

a partir de (2.18).

Lema 2.3.3. El teorema de Pitagores de (2.20) amb µC = 0 s’aplica quan els vertexs del triangleson z1, z i Π(z) on Π(z) es la projeccio ortogonal de z sobre un subvarietat totalment geodesica, L,que conte z1.

Demostracio. En el model del disc i aplicant isometries podem suposar que Π(z) = [(1, 0, ..., 0, zp, ..., zn)].A mes, sabem que donats dos punts de CHn hi ha una unica geodesica real que els conte i que

aquesta coincideix amb la geodesica de l’espai hiperbolic real de dimensio 2 inclos a CHn que conteels dos punts. Llavors, en aquest model, les geodesiques per l’origen coincideixen amb geodesiqueseuclidianes i tenim que el vector tangent a la geodesica a l’origen que uneix Π(z) i z es de la forma(v, 0) i el de la geodesica que uneix Π(z) i z1 es de la forma (0, u). Llavors, 〈(v, 0), J(0, u)〉 = 0 itenim que z1, z, Π(z) estan en un pla totalment real, d’on tenim que la formula trigonometrica (2.20)amb µC = 0 es valida.

Capıtol 3

Hipersuperfıcies reals de l’espaihiperbolic complex

En el capıtol anterior hem vist algunes propietats de les hipersuperfıcies reals de CHn, com perexemple que no n’existeixen de totalment umbilicals ni, en particular, de totalment geodesiques. Enaquest capıtol donem exemples concrets d’hipersuperfıcies reals. A la seva primera seccio definim elconcepte conegut de camps de Jacobi i calculem l’expressio d’aquests a l’espai hiperbolic complex. Ala segona seccio definim les coordenades polars i a la tercera seccio les de Fermi ja que ens serviranper parametritzar algunes de les hipersuperfıcies que descrivim a la ultima seccio d’aquest capıtol.

3.1 Camps de Jacobi

Definicio 3.1.1. Sigui M varietat de Riemann completa i γ una geodesica de M . Diem que Z ∈X(M) es camp de Jacobi al llarg de γ si satisfa la seguent equacio diferencial

Z ′′ +R(Z, γ′)γ′ = 0 (3.1)

on Z ′′ = ∇γ′∇γ′Z.

Sovint ens interessara utilitzar la seguent caracteritzacio dels camps de Jacobi.

Proposicio 3.1.2. Sigui M varietat de Riemann completa i γ una geodesica. Considerem unavariacio de γ, φ(t, s) per geodesiques, es a dir,

φ : (−ε, ε)× R −→ M(t, s) 7→ φ(t, s)

tal que φ(t, 0) = γ(t) i φ(t, s0) es geodesica. Llavors X(t) =∂φ

∂s

∣∣∣∣(t,0)

es camp de Jacobi al llarg de γ.

A mes, tot camp de Jacobi al llarg de γ es el camp∂ψ

∂s

∣∣∣∣(t,0)

amb ψ variacio de γ per geodesiques.

La demostracio de la proposicio anterior es pot trobar, per exemple, a [Spi79b].La solucio de l’equacio diferencial que determina els camps de Jacobi te solucio unica si fixem la

condicio inicial pel camp i la seva derivada. Si pensem amb la caracteritzacio dels camps de Jacobia partir d’una variacio aquestes condicions son les que determinen la variacio.

3.1.1 Camps de Jacobi i transport paral.lel

Ens interessara expressar els camps de Jacobi en funcio d’una base de camps paral.lels per les pro-pietats que tenen els camps paral.lels.

47

48 3.1 Camps de Jacobi

Situats en una varietat de Riemann de dimensio n fixem una geodesica γ(t) i suposem que X0,Y0 son vectors tangents a γ(0). Denotem per X, Y el transport paral.lel de X0, Y0 al llarg de γi per X, Y camps de Jacobi al llarg de γ obtinguts de la variacio tal que φX(0, s) = expp(sX0),φY (0, s) = expp(sY0), respectivament. Llavors,

Lema 3.1.3. (1) 〈X(t), Y (t)〉 =constant.

(2) ||X(t)|| =constant.

Es a dir, el transport paral.lel porta bases ortonormals a bases ortonormals.

(3) La norma de X, en general, no es conserva.

(4) Si ](X0, γ′(0)) = π/2 llavors ](Xt, γ

′(t)) = π/2.

Es a dir, si tenim una base de camps ortogonals, X1, ...Xn en un punt llavors X1(t), ..., Xn(t)es base ortogonal en el punt γ(t).

Demostracio. (1)〈X(t), Y (t)〉 = constant ⇔ 〈X(t), Y (t)〉′ = 0.

〈X(t), Y (t)〉′ = 〈X ′(t), Y (t)〉+ 〈X(t), Y ′(t)〉 = 〈∇γ′X,Y (t)〉+ 〈X(t),∇γ′Y 〉 = 0

ja que X i Y son el transport paral.lel al llarg de γ.(2) Es consequencia directa de l’anterior.(3) Considerant X obtingut d’una variacio φ tal que ∂φ

∂s

∣∣∣(t,0)

= X tenim

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∂φ∂s

∣∣∣∣(t,0)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∂ expp(t(v + sX0))

∂s

∣∣∣∣(t,0)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=∣∣∣∣∣∣d expp(t(v + sX0))tX0

∣∣(t,0)

∣∣∣∣∣∣ = t∣∣∣∣d expp(tv)

∣∣∣∣ · ||X0|| ,

que en general no ha de ser ||X0||.(4) Pel lema de Gauss (cf. [CE75] p.8) es compleix

〈Xt, γ′(t)〉 = 〈d expp(tv)tX0, γ

′(t)〉 = t〈(d expp(tv))X0, γ′(t)〉 = t〈X0, γ

′(0)〉

d’on obtenim la igualtat d’angles.

Per varietats de Kahler el transport paral.lel compleix:

Lema 3.1.4. Sigui M varietat de Kahler, γ una geodesica de M i E0 vector de Tγ(0)M . Sigui E(t)el transport paral.lel de E0 al llarg de γ. Llavors JE(t) es el transport paral.lel de JE0 al llarg de γ.

Demostracio. JE(t) es transport paral.lel al llarg de γ si es compleix ∇γ′(JE) = 0. Aixo es cert perser J l’estructura complexa d’una varietat de Kahler:

∇γ′(JE) = J(∇γ′E) = J0 = 0.

A mes, JE(t) es el transport paral.lel de JE0 per la unicitat del transport paral.lel d’un vector.

Hem vist que el transport paral.lel conserva longitud i angles, per tant, en cada punt γ(t), elsvectors obtinguts per transport paral.lel d’una base ortonormal seguiran formant una base ortonormalen el punt. D’aquesta base en diem referencia mobil al llarg de γ.

Els vectors obtinguts d’una base ortonormal per camps de Jacobi formaran una base ortogonal(pero no ortonormal) en cada punt γ(t).

Cal tenir en compte que, en general, els arguments anteriors son locals. Per exemple, l’exponencialpot estar nomes definida en un entorn.

Hipersuperfıcies reals de l’espai hiperbolic complex 49

3.1.2 Calcul de camps de Jacobi

Sigui M varietat diferenciable de dimensio m i γ una geodesica unitaria. Considerem una baseortonormal de Tγ(0)M donada per γ′(0), e2, ..., em, E1(t) = γ′(t), E2(t), ..., Em(t) el transportparal.lel d’aquesta al llarg de γ i Z1(t) = tγ′(t), Z2(t), ..., Zm(t) els camps de Jacobi de la base alllarg de γ amb condicions inicials Zi(0) = 0 i Z ′i(0) = ei per tot i = 1, ...,m.

Ens interessa expressar els camps de Jacobi com a combinacio lineal dels camps obtinguts pertransport paral.lel ja que els vectors obtinguts per transport paral.lel conserven el producte escalar iverifiquen, per definicio, que ∇γ′Ei = 0. Podem escriure

Zi(t) =m∑j=1

aij(t)Ej(t).

Per tal de trobar l’expressio de les funcions aij(t) imposem que els camps de Jacobi Zi(t) satisfanl’equacio diferencial (3.1).

Z ′i = ∇γ′Zi = ∇γ′

(∑j

aij(t)Ej(t))

=∑j

∇γ′(aij(t)Ej(t)

)=∑j

(aij(t)∇γ′Ej(t) + aij′(t)Ej(t)) =

∑j

aij′(t)Ej(t)

ja que ∇γ′Ej(t) = 0 i pel mateix argument,

Z ′′i =∑j

aij′′(t)Ej(t).

Com que R(X,Y ) es bilineal es compleix

R(∑

j

aij(t)Ej(t), γ′(t))

=∑j

aij(t)R(Ej(t), γ′(t))

i (3.1) es equivalent am∑j=1

(aij′′Ej + aijR(Ej , γ′)γ′) = 0. (3.2)

Com que sabem que 〈Ei, Ej〉 = δij , per trobar les aij ’s fem el producte escalar de (3.2) amb cada Ekd’on obtenim:

m∑j=1

(aij′′〈Ej , Ek〉+ aij〈R(Ej , γ′)γ′, Ek〉) = 0.

El sistema de m equacions lineals de segon ordre que obtenim es:

aik′′ +

∑j

aij〈R(Ej , γ′)γ′, Ek〉 = 0 ∀k = 1, ...,m.

Si coneixem la curvatura de la varietat el podem resoldre facilment.

3.1.3 Camps de Jacobi a CHn

Per trobar els camps de Jacobi al llarg d’una geodesica de CHn resolem el sistema anterior utilitzantque CHn es un espai de curvatura holomorfa constant i que per aquests espais es coneix el valor de〈R(Ej , γ′)γ′, Ek〉 a partir de l’expressio:

〈R(Ej , γ′)γ′, Ek〉 =−44

(〈Ej , Ek〉〈γ′, γ′〉 − 〈Ej , γ′〉〈γ′, Ek〉+

+〈Ej , JEk〉〈γ′, Jγ′〉 − 〈Ej , Jγ′〉〈γ′, JEk〉+ 2〈Ej , Jγ′〉〈Ek, Jγ′〉).

50 3.2 Coordenades polars

Amb la mateixa notacio que l’apartat anterior i suposant que E2n(t) = JE1(t) es el transportparal.lel de Je1 (lema 3.1.4) al llarg de γ tenim, de la igualtat anterior, que

〈R(Ej , γ′)γ′, Ek〉 =

−4, si j = k = 2n,−1, si j = k, k 6= 1, 2n,

0, si no.

Per tant, el sistema que cal resoldre per a cada i = 1, ..., 2n es:

ai1′′ = 0

aik′′ − aik = 0, si k 6= 1, 2n

ai2n′′ − 4ai2n = 0

aik(0) = 0, ∀ k = 1, ..., 2naik′(0) = δik ∀ k = 1, ..., 2n.

La seva solucio ens dona els seguents camps de Jacobi:Z1(t) = tE1(t) = tγ′(t)Zi(t) = sinh(t)Ei(t), i = 2, ..., 2n− 1Z2n(t) = 1

2 sinh(2t)E2n(t) = sinh(t) cosh(t)E2n.(3.3)

3.2 Coordenades polars

Sigui M una varietat de Riemann completa de dimensio m que compleix que donats dos punts hi hauna unica geodesica unitaria que els uneix. Identifiquem el tangent unitari UpM en el punt p ∈ Mamb Sm−1. Donat un punt q 6= p ∈ M considerem la geodesica unitaria que uneix p i q. Lescoordenades polars (r, u) de q s’obtenen posant r = distancia de p a q i u l’element de Sm−1 quedona la direccio tangent a la geodesica en el punt p.

En el nostre cas, per M = CHn, podem definir coordenades polars ja que es una varietat completaamb curvatura no positiva, per tant, donats dos punts diferents sempre hi ha una unica geodesicaunitaria que els uneix ja que es compleix el teorema de Hadamard.

Utilitzarem les coordenades polars per parametritzar convexos i calcular el volum del convex il’induıt a la seva frontera.

3.2.1 Calcul del volum de convexos a CHn

Amb les coordenades polars, podem parametritzar qualsevol convex Ω de CHn utilitzant l’aplicacioexponencial. Primer de tot fixem un punt p de l’interior del convex com a origen de les coordenadespolars i considerem el conjunt

A = (v, t) ∈ S2n−1 × R | 0 < t ≤ l(v)

on l(v) es la distancia de p a ∂Ω quan anem en la direccio v. La imatge per l’aplicacio exponenciald’aquest conjunt ens dona el convex, es a dir,

expp : A −→ Ω(v, t) 7→ expp(tv)

es difeomorfisme.Llavors, podem calcular el volum d’un convex Ω a partir de:

vol(Ω) =∫

Ωτ =

∫expp(A)

τ =∫A

exp∗p τ

on τ es l’element de volum de CHn.


Siexp∗p τ = J(t, v)t2n−1dtdS2n−1

llavors J(t, v) es el Jacobia de l’aplicacio exponencial. Per calcular el volum d’un convex es necessariconeixer l’expressio d’aquest Jacobia. Fixem una base ortonormal e1 = v, ..., e2n tal que e2n = Je1.Per trobar l’expressio de J(t, v) cal saber:

d(expp(tv))(v)

id(expp(tv))(ei) ∀ i = 2, ..., 2n

expressat en la base ortonormal v, e2, ..., e2n fixada. Per calcular-ho utilitzem els camps de Jaco-bi ja que considerant la caracteritzacio com a variacio respecte geodesiques de la proposicio 3.1.2coincideixen amb td(expp(tv))(ei). En efecte, es compleix

∂(expp(t(v + sei))

)∂s

∣∣∣∣∣(t,0)

=(d expp(t(v + sei))tei

)∣∣(t,0)

=(d expp(tv)

)tei

= t(d expp(tv)

)ei

pero la part de l’esquerra de l’expressio anterior es el camp de Jacobi donat per la variacio φ(t, s) =expp(t(v + sei)) ja que φ(t, s0) = expp(t(v + s0ei)) es geodesica per ser v + s0ei un vector fixat.

Definim Xi(t) =∂(expp(t(v + sei)))

∂s

∣∣∣∣(t,0)

. Les condicions inicials de Xi son Xi(0) = 0 i X ′i(0) =

ei. Per tant, els camps Xi son els que hem calculat a (3.3). D’on obtenim,

J(t, v) = det(d expp(tv)) = det(

1tX1(t), ...,

1tX2n(t)

)=

1t2n

det(X1(t), ..., X2n(t)).

Recordem que e1 = v. Llavors X1(t) = tγ′(t) si γ es la geodesica amb γ(0) = p i γ′(0) = v ja que esel camp de Jacobi

∂(expp(t(v + sv)))∂s

∣∣∣∣(t,0)

= t(d expp(tv))v = tγ′(t).

Finalment obtenim

J(t, v) =1t2n

det(X1(t), ..., Xn(t)) =1

t2n−1det(γ′(t), X2(t)..., Xn(t))

=1

t2n−1det(γ′, sinh(t)E2, ..., sinh(t)E2n−1, sinh(t) cosh(t)E2n)

=1

t2n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1sinh(t)

. . .sinh(t)

sinh(t) cosh(t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

sinh2n−1(t) cosh(t)t2n−1

i, per tant, hem demostrat

Lema 3.2.1. A l’espai hiperbolic complex el Jacobia de l’aplicacio exponencial be donat per

J(t, v) =sinh2n−1(t) cosh(t)

t2n−1.

52 3.2 Coordenades polars

Llavors, l’expressio del volum d’un convex a l’espai hiperbolic complex en coordenades polars es

vol(Ω) =∫

Ωτ =

∫A

exp∗p τ =∫S2n−1

∫ l(v)

0J(t, v)t2n−1dtdS2n−1

=∫S2n−1

∫ l(v)

0

sinh2n−1(t) cosh(t)t2n−1

t2n−1dtdS2n−1

=12n

∫S2n−1

sinh2n(l(v))dS2n−1. (3.4)

Per calcular l’area del convex, es a dir, el volum de la frontera en coordenades polars ho fem demanera analoga. Considerem com a parametritzacio de ∂Ω la imatge per l’aplicacio exponencial deB = (v, t) ∈ S2n−1 × R | t = l(v). Pero fer l’aplicacio exponencial al conjunt B coincideix a ferexpp(l(v)v) amb v ∈ S2n−1 ja que t esta fixada en cada direccio per l(v). Aixı,

φ : S2n−1 −→ ∂Ωv 7→ expp(l(v)v)

Llavors,

vol(∂Ω) =∫∂Ωµ =

∫φ(S2n−1)

µ =∫S2n−1

φ∗µ

on µ es l’element de volum de ∂Ω. Tal com hem parametritzat el convex, cada punt de la fronteraes pot pensar com el punt final d’un segment de geodesica amb vector tangent (a la geodesica) eltransport paral.lel d’un cert u ∈ S2n−1 fixat. Escrivim el vector tangent a cada una de les geodesiquescom ∂t per denotar que aquest vector fa el paper de radi per a cada direccio.

Suposem que q es un punt de la frontera del convex i que esta parametritzat per (u, l(u)). Suposemtambe que v1, ..., v2n−1 es una base ortonormal de l’espai tangent a ∂Ω en q. Per abus de notaciodenotem q per u. Podem escriure φ∗µ com

φ∗µ(u; v1, ..., v2n−1) = µ(φ(u); dφ(v1), ..., dφ(v2n−1)) = τ(φ(u);N, dφ(v1), ..., dφ(v2n−1))

si τ es l’element de volum de CHn. El vector normal N en el punt u es pot descomposar comN = 1

〈∂t,N〉∂t + v on ∂t denota el vector radial i v es combinacio lineal de v1, ..., v2n−1. Llavorsl’expressio anterior s’escriu

τ

(φ(u);

∂t〈∂t, N〉

, dφ(v1), ..., dφ(v2n−1)). (3.5)

Ara, utilitzant que φ(u) = expp(l(u)u) podem calcular ∂t i dφ(vi) en funcio de la diferencial del’aplicacio exponencial obtenint

∂t = d expp(l(u)u)u

idφu(vi) =

(d expp(l(u)u)

)((dlu(u))vi

)u+

(d expp(l(u)u)

)(l(u)vi

)i com que el primer sumand de la igualtat anterior es multiple del vector u, al substituir a la igualtat(3.5) obtenim:

l2n−1(u)〈∂t, N〉

τ(φ(u); d expp(l(u)u)u, d expp(l(u)u)v1, ..., d expp(l(u)u)v2n−1) =l2n−1(u)〈∂t, N〉

J(l(u), u)

on J(l(u), u) es el Jacobia de l’aplicacio exponencial amb t = l(u).Com que hem calculat l’expressio del Jacobia de l’exponencial en un t qualsevol ara podem

utilitzar el resultat, de manera que el volum de la frontera del convex es

vol(∂Ω) =∫S2n−1

l2n−1(u)〈∂t, N〉

J(l(u), u)dS2n−1 =∫S2n−1

sinh2n−1(l(u)) cosh(l(u))〈∂t, N〉

dS2n−1. (3.6)

Per trobar el volum de Ω i ∂Ω hem seguit [BGR01].


3.3 Coordenades de Fermi

Sigui M una varietat de Riemann completa de dimensio m. Per definir coordenades de Fermi en unentorn d’un punt p ∈M es fixa una subvarietat N ⊂M que passa per p, un sistema de coordenadeslocals de la subvarietat i una seccio ortonormal del fibrat normal d’un entorn de p.

Aixı, fixem N ⊂M una subvarietat de dimensio s i considerem ν = (p, v) | p ∈ N, v ∈ (TpN)⊥el fibrat normal de N . Definim

exp : ν −→ M(p, v) 7→ expp(v).

Sigui ON un entorn obert de la seccio nul.la de ν tal que l’aplicacio exponencial es difeomorfisme.Per tot punt q de exp(ON ) hi ha una unica geodesica unitaria que uneix q amb N i minimitza ladistancia de q a N . Sigui N un entorn de p a N tal que hi ha definit un sistema de coordenades quedenotem per (y1, ..., ys) i Es+1, ..., Em seccions ortonormals de la restriccio de ν a N . En aquestasituacio definim les coordenades de Fermi

Definicio 3.3.1. Les coordenades de Fermi (x1, ..., xm) de N ⊂M centrades a p venen donades per

xa

expν

m∑j=s+1

tjEj(p′)

= ya(p′), a = 1, ..., s

xi

expν

m∑j=s+1

tjEj(p′)

= ti, i = s+ 1, ...,m

on p′ es un punt de N i ts+1, ..., tm son tals que∑m

j=s+1 tjEj(p′) ∈ exp(ON ).

Per definir les coordenades de Fermi estem seguint [Gra04].Podem pensar que les coordenades de Fermi d’un punt q prou proper a N es defineixen de la

seguent manera. Considerem la geodesica per q que talla N perpendicularment, en el punt q′. Les sprimeres coordenades de Fermi de q son les coordenades de q′. Les (m− s) ultimes coordenades deFermi son les coordenades del camp tangent a la geodesica en el punt q′ respecte la base de l’espainormal fixada.

Quan la subvarietat es redueix a un punt, les coordenades de Fermi son les coordenades normalsgeodesiques (cf. [Gra04]).

Les coordenades de Fermi les utilitzarem per calcular el volum de tubs ja que, com veurem a laseccio 3.4.5, aquests es parametritzen de manera natural amb les coordenades de Fermi.

Donat un sistema de coordenades de Fermi es pot provar el seguent resultat

Lema 3.3.2. Sigui (x1, ..., xm) un sistema de coordenades de Fermi. Llavors, els camps

∂

∂xs+1, ...,

∂

∂xm

restringits a N son ortonormals.

Demostracio. Seguint a [Gra04] es prova l’enunciat considerant la corba integral de cada camp. EnS val Ej i sabem que aquests son ortonormals.

A mes, fixada una geodesica normal a N podem definir un sistema de coordenades de Fermi queverifiqui el seguent lema.

Lema 3.3.3. Sigui ξ(t) geodesica normal a N amb origen a p. Llavors, podem elegir un sistema decoordenades de Fermi tal que

ξ′(t) =∂

∂xs+1

∣∣∣∣ξ(t)

i(xα ξ)(t) = tδαs+1, 1 ≤ α ≤ m.

54 3.3 Coordenades de Fermi

Demostracio. Nomes cal considerar el sistema de coordenades de Fermi que determina la base orto-normal de l’espai tangent TpM amb els s primers vectors tangents a N en el punt p i l’(s+ 1)-essimvector ξ′(0).

3.3.1 Camps de Fermi

Seguint amb la notacio de l’apartat anterior definim:

Definicio 3.3.4. Diem que A es un camp de Fermi tangent si A =∑s

i=1 ci∂∂xi

amb ci constants.Diem que X es un camp de Fermi normal si X =

∑mi=s+1 di

∂∂xi

amb di constants.

Observacions 3.3.5. (i) Podem considerar la descomposicio dels camps X(N) = X(N)> ⊕ X(N)⊥.

(ii) Si N es un punt, es a dir, en coordenades normals, nomes tenim camps normals.

A partir de la seguent definicio s’interpreten geometricament les coordenades de Fermi.

Definicio 3.3.6. Sigui (x1, ..., xm) un sistema de coordenades de Fermi. Definim

σ2 =m∑

i=s+1

x2i

i

n =m∑

i=s+1

xiσ

∂

∂xi.

Observem que σ i n son independents de les coordenades de Fermi elegides ja que podem passard’una seccio ortonormal a una altra per una matriu de O(m− s).

Lema 3.3.7. Sigui q ∈M . Si existeix una unica geodesica ξ que talla ortogonalment N , en el puntp i passa per q llavors

σ(q) = distancia de q a N

inξ(s) = ξ′(s).

A mes, n coincideix amb el vector normal exterior a cada hipersuperfıcie tubular, es a dir, a cadahipersuperfıcie formada per tots els punts que estan a una certa distancia fixada de N .

Demostracio. La demostracio de la primera igualtat es te considerant un sistema de coordenadesde Fermi adequat i la demostracio de l’ultima afirmacio a partir del lema de Gauss generalitzat (cf.[Gra04]).

Algunes de les propietats de σ i n que utilitzarem estan resumides en el seguent lema. La sevademostracio es directa a partir del lema anterior i de la definicio de σ i n.

Lema 3.3.8. Siguin X, Y camps de Fermi normals i A,B camps de Fermi tangents. Llavors, escompleix:

(1) ∇nn = 0,

(2) n(σ) = 1,

(3) [X,Y ] = [A,B] = [X,A] = [n,A] = 0,

(4) [n, σX] = X(σ)n,

(5) ∇n∇n(A+ αX) +Rn(A+αX)n = 0.


3.3.2 Camps de Fermi i camps de Jacobi

L’ultima igualtat del lema anterior ens permet provar que hi ha una relacio entre els camps de Fermii els camps de Jacobi. Aquesta relacio es util per calcular el volum dels tubs (p.68).

Proposicio 3.3.9. Sigui ξ una geodesica normal a N amb origen a p ∈ N . Sigui X un camp deFermi normal i A un camp de Fermi tangent. Llavors,

σX|ξ i A|ξ

son camps de Jacobi.

3.4 Exemples d’hipersuperfıcies reals

3.4.1 Esferes i horosferes

En una varietat de Riemann, una esfera es defineix com el conjunt de punts que estan a la mateixadistancia d’un de fixat que anomenem centre.

En el model del disc la distancia d entre dos punts [x], [y] esta donada per

(cosh d)2 =〈x, y〉〈y, x〉〈x, x〉〈y, y〉

on 〈x, y〉 = −x0y0 +∑n

j=1 xjyj . Llavors, l’esfera de radi r es

Sλ,x = [y] ∈ CHn | λ〈y, y〉 = 〈x, y〉〈y, x〉

on λ = cosh2(r)〈x, x〉.Les horosferes per [x] ∈ CHn son el lımit de les esferes amb centre [y(t)] que passen per [x] quan

el centre [y(t)] tendeix a la frontera. Igual que en el cas de les esferes podem trobar una expressioper les horosferes.

Fixat [x] ∈ CHn i [y] ∈ ∂CHn, elegim [y(t)] geodesica tal que [y(0)] = [x] i y(t) −−−→t→∞

y.

Considerem les esferes Sλ(t),y(t) amb centre [y(t)] i que passen per [x], es a dir, amb radi d([x], [y(t)]).Llavors, Sλ(t),y(t) = [z] ∈ CHn | λ(t)〈z, z〉 = 〈y(t), z〉〈z, y(t)〉 que en el lımit t→∞ dona

Sλ,y = [z] ∈ CHn | λ〈z, z〉 = 〈y, z〉〈z, y〉

amb λ =〈x, y〉〈y, x〉〈x, x〉

ja que [x] ∈ Sλ,y ∀t i tambe en el lımit i λ(t) = cosh2(d([x], [y(t)]))〈y(t), y(t)〉.

Sλ,y es defineix com l’horosfera que passa per [y] ∈ ∂CHn. Observem que λ < 0.

Curvatures principals i normals de les esferes i horosferes

Per calcular les curvatures principals d’una esfera S a CHn primer estudiem la hipersuperfıcie S′ deH ⊂ Cn+1 obtinguda per l’antiimatge de la projeccio π : H −→ CHn (cf. p.34) de l’esfera de CHn.A partir dels resultats obtinguts trobarem les curvatures principals de l’esfera S de CHn.

Per estudiar les curvatures principals de S′ ens cal coneixer la derivada covariant de S′ induıdaper la de H. Recordem que podem escriure l’esfera de centre [x] i radi r com

[z] ∈ CHn | λ〈z, z〉 = 〈x, z〉〈z, x〉

amb λ = cosh2(r)〈x, x〉. A mes, podem suposar que sempre elegim el representant dels punts deCHn tal que el seu producte es −1, de manera que l’expressio se simplifica a:

[z] ∈ CHn | cosh2(r) = 〈x, z〉〈z, x〉.

56 3.4 Exemples d’hipersuperfıcies reals

Com que hem vist que el grup U(1, n) actua transitivament sobre els punts de CHn podem elegir,com a centre de l’esfera qualsevol punt de CHn. Aixı, fixem [x] = [(1, 0, ..., 0)] com a centre del’esfera. Fixada una esfera tambe tenim transitivitat sobre els punts de l’esfera llavors, podem fixarqualsevol dels seus punts per fer els calculs.

Denotem l’esfera de centre [(1, 0, ..., 0)] i radi r per S. Com a punt de S escollim un [y] de la forma[((y0, 0), (0, 0), ..., (k, 0))]. Per tal que [y] ∈ S hem d’elegir k i y0 tals que 〈y, y〉 = −1 i d([y], [x]) = r.Fixat y0 tenim k determinada per k2 = 1 + y2

0. Per determinar un possible valor de y0 utilitzem que

(cosh d([y], [x]))2 =〈y, x〉〈x, y〉〈y, y〉〈x, x〉

,

d’on obtenim que prenent, per exemple, y0 = cosh r es compleix la igualtat d([y], [x]) = r. Llavors,per simplificar els calculs podem suposar que S es l’esfera de centre [x] = [(1, 0, ..., 0)] i que passa

pel punt [y] = [((cosh r, 0), (0, 0), ..., (0, 0), (√

1 + cosh2(r), 0))]. Amb aquestes eleccions queda

S = [z] ∈ CHn | cosh2(r) = |z0|2.

Ara be, els punts z de H tals que [z] ∈ S han de ser representants de [z] de norma −1. D’aquestamanera,

S′ = π−1(S) = αz ∈ Cn+1 | [z] ∈ S i |α|2 = 1 = z ∈ H | |z0|2 = cosh2(r).

S′ es una hipersuperfıcie de H ja que esta definida per una equacio; S′ te una dimensio real menysque H. Una vegada definida la hipersuperfıcie de H que volem estudiar podem calcular l’expressiode la derivada covariant sobre aquesta hipersuperfıcie prenent com a derivada covariant de l’ambientla de H, que ja hem calculat a la pagina 36. Primer de tot ens cal coneixer el vector normal unitaride S′.

Per calcular el vector normal a S′ utilitzarem que els vectors tangents d’una subvarietat definidaper una submersio son del nucli de la diferencial d’aquesta submersio. Definim

H(z) = (h(z, z) + 1, |z0|2 − cosh2(r))

amb z ∈ Cn+1 ∼= R2n+2 i h(z, w) = Re〈z, w〉. Aquesta aplicacio verifica H−1(0, 0) = S′ ja que lasegona coordenada restringeix als punts de H. Provem que es submersio.

dH(z) =(−2x0 −2y0 2x1 2y1 · · · 2yn2x0 2y0 0 0 · · · 0

)te rang 2 ja que x0 i y0 no es poden anul.lar a la vegada i algun dels xj o yj ha de ser no nul percomplir-se h(z, z) = −1 i |z0|2 = cosh2(r). Els vectors X del nucli de dH compleixen

h(z,X) = 0,

x0X10 + y0X

20 = 0.

Podem pensar la segona condicio com el producte del camp X amb z0q si q = (1, 0, ..., 0) ∈ Cn+1 i z0es la primera coordenada complexa del punt z. Llavors una base de (ker dH)⊥ es z, z0q i el vectornormal unitari,

−→N , a z ∈ S′ ha de ser combinacio lineal de z i de z0q ja que ha de ser de (ker dH)⊥

i de TzH (primera condicio). A mes, demanem que sigui unitari. Per tant,−→N = αz + βz0q on α i β

estan determinades per les condicions:

(i) h(−→N, z0q) = (β − α)|z0|2 6= 0,

(ii) h(−→N, z) = α− β|z0|2 = 0,

(iii) h(−→N,

−→N ) = −α2 − |z0|2(2αβ + β2) = 1.


Utilitzant que |z0|2 = cosh2(r) obtenim α = − coth r i β = 1cosh r sinh r d’on

−→N = − coth(r) · z +

z0cosh r sinh r

· q

Ara ja podem calcular la derivada covariant de S′.

∇S′XY = ∇H

XY −BS′(X,Y )−→N

iBS′(X,Y ) = −h(∇H

X

−→N,Y ) = −h(∇X

−→N + h(X,

−→N )z, Y ) = −h(∇X

−→N,Y )

on∇X

−→N = α∇Xz + β∇Xz0q = − coth r ·X +

X0

cosh r sinh r· q. (3.7)

Per tant,

BS′(X,Y ) = − coth r · h(X,Y )− 1cosh r sinh r

· h(X0q, Y )

amb X,Y ∈ TzM ′.Una vegada tenim la derivada covariant de S′ (l’antiimatge per π de l’esfera de radi r de CHn)

podem calcular les curvatures principals de S′. De totes maneres, com que volem coneixer lescurvatures principals de S no trobarem exactament les curvatures i direccions principals de S′ sinodireccions que al projectar per π ens donen direccions principals de S.

Observem que dπ(Jz) = 0 ja que hem provat que Jz es la direccio tangent a la fibra per π.Per trobar les direccions principals podem trobar o be una base ortonormal en la qual la matriu de

BS′(X,−→N ) diagonalitzi o be una base en la qual la matriu de l’aplicacio de Weingarten diagonalitzi.

Recordem que l’aplicacio de Weingarten es defineix com −∇HX

−→N . A partir de (3.7) tenim:

−∇HX

−→N = coth rX − X0

cosh r sinh rq (3.8)

d’on obtenim que si X0 = 0 llavors X es vector propi de valor propi coth r. Ens falten dos vectorspropis per tenir totes les direccions principals. Ens interessa considerar com a vector de la base Jztot i que no sigui direccio principal de M ′ ja que en projectar per dπ a CHn aquesta direccio s’anul-

la. Pel z que hem elegit Jz = ((0, cosh r), (0, 0), ..., (0,√

1 + cosh2(r))) d’on veiem que es linealmentindependent amb els 2n − 2 vectors ja elegits. Observem que Jz es realment un vector de TzM ′ jaque es verifica

h(Jz, z) = 0

ih(Jz, z0q) = 0.

Finalment, prenem el vector −J−→N . Prenem aquest ja que sabem que sempre es de l’espai tangent.

Per provar que es linealment independent amb els 2n − 1 vectors fixats, calculem la seva expressioexplıcitament.

−J−→N = −J(((α+ β)x0, 0), (0, 0), ..., (αk, 0)) = ((0, tanh rx0), (0, 0), ..., (0, k coth r))

on x0 = cosh r i k =√

1 + cosh2(r). Si calculem el valor de l’aplicacio de Weingarten per −J−→N a

partir de (3.8) obtenim

−∇H−J

−→N

−→N =

((0, tanh2(r)x0), (0, 0), ..., (0, k coth2(r))

)= 2 coth(2r)(−J

−→N )− Jz

que no es vector propi per l’aplicacio, pero que en baixar-lo a S per dπ sı que sera vector propi del’aplicacio de Weingarten a S.


Per trobar les curvatures principals de l’esfera S ens interessa coneixer com hi actua la derivadacovariant. Es verifica que ∇CHneX Y = dπ(∇H

XY ) on X, Y ∈ T[p]E i X,Y ∈ TpE′. Llavors,

−∇CHnfXi

−→N = −dπ(∇Xi

−→N ) =

cosh(r)sinh(r)

Xi,

−∇CHn

−J−→N

−→N = dπ(−∇−J−→N

−→N ) = −dπ(−2 coth(2r)(−J

−→N ) + Jz) = 2 coth(2r)(−J

−→N )

i−∇CHnfJz −→

N = 0.

D’on obtenim que els Xi, i = 1, ..., 2n− 2 son vectors propis de l’aplicacio de Weingarten de CHn devalor propi coth(r) i el vector JN es vector propi de valor propi 2 coth(2r).

Les horosferes es poden pensar com el lımit d’esferes, quan tenim fixat el centre i el radi tendeixa infinit. Llavors, les curvatures principals de les horosferes son 1 amb multiplicitat 2n− 2 i 2 ambmultiplicitat 1. La direccio principal que te el vector propi diferent tambe correspon amb la direccioJ del vector normal.

Per tant, hem provat la seguent proposicio

Proposicio 3.4.1. Les curvatures principals de l’esfera de CHn son

• 2 coth(2r) amb multiplicitat 1 i direccio principal −J−→n (on −→n es el vector normal a l’esfera).

• coth(r) amb multiplicitat 2n− 2.

Les curvatures principals de l’horosfera de CHn son

• 2 amb multiplicitat 1 i direccio principal −J−→n (on −→n es el vector normal a l’horosfera).

• 1 amb multiplicitat 2n− 2.

Corol.lari 3.4.2. Sigui z un punt d’una esfera de CHn, −→n vector normal unitari i −→vi direccioprincipal. Llavors, les subvarietats de CHn generades per l’exponencial de −→n ,−→vi en el punt z sontotalment geodesiques.

Demostracio. Per ser −→vi direccio principal es compleix −∇−→vi

−→n = λ−→vi . Llavors,

〈−J∇−→vi

−→n ,−→n 〉 = λ〈−→vi , J−→n 〉

i si −→vi 6= −J−→n llavors〈−J∇−→vi

−→n ,−→n 〉 = 〈∇−→vi(−J−→n ),−→n 〉 = 0

ja que la segona forma fonamental diagonalitza respecte la base de direccions principals. Per tant,〈−→vi , J−→n 〉 = 0 d’on es pot afirmar que el pla generat per −→n ,−→vi es totalment real i, per tant, lasubvarietat generada per −→n ,−→vi totalment geodesica (cf. corol.lari 2.2.11).

Si−→vi = −J−→n estem considerant la subvarietat generada per −→n , J−→n que sabem que es totalmentgeodesica.

A partir de la proposicio anterior tambe obtenim com a corol.lari els valors possibles per lacurvatures normals de les esferes.

Corol.lari 3.4.3. La curvatura normal de les esferes esta entre coth(r) i 2 coth(2r) i es prenen totsels valors.

La curvatura normal de les horosferes esta entre 1 i 2 i es prenen tots els valors.

Recordem com es defineix la curvatura normal.


Definicio 3.4.4. Sigui (M, g) varietat de Riemann. Definim la curvatura normal en una direccio val punt p com

Kn(v) = g(∇vv, n)

on ∇ es la derivada covariant.

Com que les curvatures principals de l’esfera son les mateixes en tots els seus punts no hi ha cappunt umbilical; no hi ha cap punt on totes les (2n− 1) curvatures principals siguin iguals, les esferesno son hipersuperfıcies totalment umbilicals, tal com ja sabıem per la proposicio 2.2.3.

Tal com hem vist la direccio −J−→n es principal. Les hipersuperfıcies orientables de CHn quetenen aquesta caracterıstica s’anomenen hipersuperfıcies de Hopf i van ser classificades per Montiela la seva tesi (cf. [Mon84]). A la seccio 3.4.8 donem la classificacio i alguna propietat.

Observacio 3.4.5. A la geometria hiperbolica real es te que la metrica de les horosferes es plana, es adir, son isometriques a l’espai euclidia. Aquest fet no es cert a l’espai hiperbolic complex. En efecte,per l’equacio que relaciona el tensor de curvatura R de l’ambient i d’una subvarietat (cf. [KN69]p.23)

R(X,Y )Z = R(X,Y )Z + g(HY,Z)HX − g(HX,Z)HY+g((DYH)X,Z)ξ − g((DXH)Y, Z)ξ

tenim que una hipersuperfıcie de CHn te les curvatures nul.les si

KCHn

(u, v) = h(u, v)2 − h(u, u)h(v, v).

Pero la igualtat anterior no es pot donar per les horosferes. Per exemple, per JN i v vector principalde l’horosfera tenim

KCHn

(JN, v) = −4

h(JN, v)2 − h(JN, JN)h(v, v) = −2ghip(JN, JN)ghip(v, v) = −2.

Volum i area de boles

Fixat un punt [x] ∈ CHn i una distancia r la bola B de centre [x] i radi r es el conjunt de punts queestan a distancia menor o igual que r de [x]. Per calcular el volum utilitzem l’expressio general pelvolum d’un convex parametritzat en coordenades polars. La parametrizacio en coordenades polarsde la bola es

(u, t) ∈ S2n−1 × R | 0 < t ≤ r ∀u −→ B(u, t) 7→ exp[x](tu).

Llavors, per l’expressio del volum d’un convex (3.4) i la seva frontera (3.6)

vol(B) =12n

∫S2n−1

sinh2n(r)dS2n−1 =πn sinh2n(r)

n!2n(3.9)

i

vol(∂B) =∫S2n−1

sinh2n−1(r) cosh(r)〈∂t, N〉

dS2n−1 =πn

n!sinh2n−1(r) cosh(r) (3.10)

ja que en una esfera la direccio radial coincideix amb la normal (pel lema de Gauss).A [Gra04], lema 6.18, es pot trobar la formula pel volum d’una esfera per espais de curvatura

holomorfa constant. En la demostracio tambe s’utilitza la idea de les coordenades polars pero esdedueix l’element de volum a partir de les curvatures principals i els camps de Fermi.


Isometries

Hem provat que les isometries PU(n) ⊂ PU(1, n) fixen una esfera (proposicio 2.1.10). A mes,donats dos punts qualssevol de l’esfera hi ha una isometria que fixa l’esfera i porta un punt a l’altre(observacio 2.1.11). Com que el subgrup d’isometries que fixa lesfera actua transitivament sobre elspunts diem que l’esfera es una hipersuperfıcie homogenia.

Sabem que en els espais de curvatura constant, fixats un punt, un hiperpla de l’espai tangent enaquell punt i un radi hi ha una unica esfera que passa pel punt, te espai tangent l’hiperpla i radiel fixat. En principi, a l’espai hiperbolic complex podria passar que l’esfera no fos unica. Es a dir,podrıem trobar dues esferes que passen pel punt, tenen espai tangent l’hiperpla i el radi fixat peroles curvatures principals en cada direccio son diferents. Aquest fet correspondria a fer una rotacioqualsevol, es a dir, una isometria que fixa el punt i el centre pero per la seguent proposicio podemafirmar que aixo no es possible, es a dir, no totes les rotacions son isometries.

Proposicio 3.4.6. Sigui p ∈ CHn. Fixem un hiperpla de l’espai tangent en el punt p i un radi r > 0.Llavors, existeix una unica esfera de radi r que passa per p i te espai tangent en p l’hiperpla fixat.

Demostracio. Fixat l’hiperpla tangent en el punt p queda fixat el vector normal en el punt. Llavors,la curvatura normal per la direccio −JN esta determinada (i val 2 coth(2r)).

Entenem que dues esferes amb les condicions anterior son diferents si tenen curvatura normaldiferent per alguna direccio. Suposem que A es una isometria que fixa el centre de l’esfera i el punt.Llavors, fixa el vector normal N en p i tambe fixa la direccio JN ja que A J = J A. Per tant, ladireccio −JN sera la mateixa. Com que A conserva els angles, les direccions perpendiculars a −JNtambe queden fixades entre elles. Llavors, la curvatura normal per a cada una d’aquestes direccionssera la mateixa. Per les altres direccions tambe ja que cada direccio es combinacio lineal de lesanteriors.

3.4.2 Discs

Per definir un disc fixem un punt [p] ∈ CHn i w ∈ T[p]CHn. El disc de radi r es

Dr,w = [x] ∈ CHn | ∃ [γ(t)] geodesica unitaria amb [γ(0)] = [p],γ′(0) = u per algun u ∈ 〈w〉⊥ i [γ(s)] = [x] amb s ≤ r.

Podem parametritzar els discs en coordenades polars. Fixem com a origen de les coordenadespolars el centre del disc. Amb la notacio anterior, determinem el disc com la imatge per l’aplicacioexponencial del conjunt

A = (u, t) ∈ S2n−2 × R | 0 < t ≤ r i u ∈ 〈w〉⊥.

Volum de discs

En parlar de volum d’un disc ens referim al volum intrınsec.Llavors,

vol(Dr) =∫

expp(A)η

on η es l’element de volum de expp(A) induıt de l’element de volum de CHn, per tant, es la contracciode l’element de volum τ de CHn amb el vector normal exterior en cada punt

η = iNτ.

En cada punt, podem fer que el vector normal exterior completi a una base ortonormal de CHn.A mes, podem considerar que el primer vector de la base es el normal exterior N i l’ultim JN .


D’aquesta manera, per la definicio de contraccio interior i pels calculs de la pagina 52 tenim que∫expp(A)

η =∫S2n−2

∫ r

0exp∗p(iNτ)dtdS2n−2 = vol(S2n−2)

∫ r

0sinh(t)2n−1 cosh(t)dt

= vol(S2n−2) sinh2n(r). (3.11)

3.4.3 Bisectors

Sabem que a CHn no hi ha hipersuperfıcies reals totalment geodesiques. Per tant, es naturalpreguntar-se quines son les hipersuperfıcies reals que es poden considerar mes properes a les to-talment geodesiques. A la literatura (cf. [Gol99] p.152) es respon que son els bisectors, anomenatstambe superfıcies espinals. Els bisectors corresponen a la idea d’hipersuperfıcie mediatriu de Rn.

Els bisectors descomposen de dues maneres diferents amb subvarietats totalment reals i son dualsde les geodesiques. A mes, son la imatge per l’aplicacio exponencial de (2n − 1) vectors linealmentindependents.

Definicio 3.4.7. Siguin z1, z2 punts diferents de CHn. Definim el bisector de z1, z2 com

E(z1, z2) = z ∈ CHn | d(z1, z) = d(z2, z)

on d(z, zi) denota la distancia a CHn entre zi i z.Com a notacio, es diu que E equidista de z1 (o de z2).

A partir de la formula de la distancia entre dos punts de CHn,

cosh2(d([x], [y])) =〈x, y〉〈y, x〉〈x, x〉〈y, y〉

,

la condicio que compleixen els punts del bisector E(z1, z2) s’escriu

〈z1, z〉〈z, z1〉 = 〈z2, z〉〈z, z2〉. (3.12)

Per treballar amb els bisectors sovint utilitzarem aquesta ultima descripcio.

Definicio 3.4.8. Siguin z1, z2 punts diferents de CHn i Σ la geodesica complexa que conte z1 i z2.Diem que Σ es l’espina complexa del bisector E(z1, z2).

La definicio anterior te sentit ja que donada una geodesica real existeix una unica geodesicacomplexa que la conte (cf. observacio 2.2.13).

Definicio 3.4.9. Siguin z1, z2 punts diferents de CHn. Definim l’espina del bisector E(z1, z2),σ(z1, z2) com la interseccio del bisector i l’espina complexa, es a dir,

σ(z1, z2) = E(z1, z2) ∩ Σ(z1, z2) = z ∈ Σ | d(z1, z) = d(z2, z).

Definim els vertexs del bisector E(z1, z2) com els punts de ∂CHn ∩ σ.

Observem que l’espina es una geodesica (real) dins de Σ per ser Σ isomorf a H2(−4) i a l’espaihiperbolic real ser la mediatriu de dos punts una geodesica .

Exemple 3.4.10. A CH2 amb el model del disc, el bisector respecte els punts z1 = [(1, 0, i)] iz2 = [(1, 0,−i)] es

E(z1, z2) = [(1, z, t)] ∈ CHn | z ∈ C, t ∈ R.

Es pot obtenir l’expressio directament utilitzant la condicio equivalent de (3.12).

L’espina complexa es[(

1, 0, iλ− µ

λ+ µ

)]amb λ, µ ∈ C no nuls a la vegada

i l’espina [1, 0, t].

Els punts que tambe son de ∂CHn han de complir |z|2 + t2 = 1 i els dos vertexs son [(1, 0, 1)] i[(1, 0,−1)].


Descomposicions de E

Una de les descomposicions dels bisectors amb subvarietats de codimensio 1 totalment geodesiquesl’obtenim en considerar l’antiimatge per la projeccio ortogonal sobre l’espina complexa de cada undels punts de l’espina.

Proposicio 3.4.11. Sigui E bisector, Σ l’espina complexa i σ l’espina. Sigui Π : CHn −→ Σ laprojeccio ortogonal sobre Σ. Llavors,

E =⋃s∈σ

Π−1Σ (s).

Demostracio. Per definicio z ∈ E si i nomes si d(z, z1) = d(z, z2). Per altra banda, pel lema 2.3.3aplicat a zi i z tenim que es compleix la formula

cosh(d(z, zi)) = cosh(d(z,Π(z))) cosh(d(Π(z), zi))

per i = 1, 2 d’on tenim la igualtat

d(Π(z), z1) = d(Π(z), z2)

si i nomes si d(z, z1) = d(z, z2). Pero si Π(z) compleix d(Π(z), z1) = d(Π(z), z2) es, per definicio, deσ(z1, z2) i viceversa. Per tant, tenim la igualtat de l’enunciat.

Definicio 3.4.12. Anomenem llesca de E a cada hiperpla complex Π−1Σ (s) .

La segona descomposicio d’un bisector en subvarietats totalment geodesiques s’obte a partir dela unio de tots els Rn-plans que contenen l’espina. Utilitzem les seguents proposicions (cf. [Gol99],corol.lari 5.1.5 i teorema 5.1.7) per donar aquesta descomposicio.

Proposicio 3.4.13. Suposem que E(z1, z2) = E′(z′1, z′2) llavors la llesca, l’espina i l’espina complexa

de E coincideix amb la de E′.

Proposicio 3.4.14. Sigui E bisector amb espina σ i espina complexa Σ. Llavors, E es equidistantde z ∈ Σ− σ.

Demostracio. Per la definicio de Σ, si un bisector es equidistant d’un punt llavors aquest es de Σ.Suposem que E es equidistant de z i de z1 i que z ∈ σ. Llavors, per z = z tenim d(z, z) = 0 i tambes’ha de complir d(z, z1) = d(z, z) per ser z ∈ σ pero no pot ser ja que z 6= z1.

Per altra banda, fixat σ podem considerar la reflexio φ respecte σ. Com que z ∈ Σ − σ llavorsφ(z) ∈ Σ − σ i, per definicio, σ es la geodesica que equidista de z i φ(z), es a dir, es l’espina delbisector E.

Proposicio 3.4.15. Sigui σ ∈ CHn geodesica. El bisector E amb espina σ es la unio dels Rk-plansque contenen σ amb k = 2, ..., n.

Demostracio. Sigui y ∈ Rk-pla que conte σ. Volem veure que llavors y ∈ E.Per tal que y ∈ E cal que d(z1, z) = d(z2, z) amb z1 ∈ Σ−σ qualsevol i z2 = Rσ(z1) on Rσ denota

la reflexio respecte σ (proposicio 3.4.14).Per altra banda, sabem que per a cada Rk-pla que conte σ (un R1-pla) i per qualsevol Rn-pla

que conte l’Rk-pla les inversions ρ respecte l’Rn-pla preserven l’unic subespai complex que conte P(Σ en aquest cas) i actuen com a inversio respecte σ (lema 2.2.14).

Llavors, es compleixen les seguents igualtats

d(z1, z) = d(ρ(z1), ρ(z)) = d(z2, z)

d’on obtenim que y ∈ E.Per provar l’altra inclusio utilitzem el model del disc. Suposem que [z1] i [z2] defineixen el

bisector. Siguin Z1 i Z2 representants de [z1] i [z2] respectivament, tal que 〈Z1, Z1〉 = 〈Z2, Z2〉 = 1


i 〈Z1, Z2〉 > 0. Volem provar que si y ∈ E llavors y esta contingut en un pla real que conte σ.Provarem que el pla que conte el punt y i els vertexs del bisector es real.

Sigui [z] ∈ E ∩ σ. Per la definicio de bisector sabem que d(z1, z) = d(z2, z). Sigui Z = aZ1 + bZ2

representant de [z]. Per la formula de la distancia (proposicio 2.1.14) si |a| = |b| llavors [z] es de E.Volem trobar els vertexs V1, V2 de E, es a dir, els punts de ∂CHn que equidisten de [z1], [z2]

i estan a E. Pel paragraf anterior podem elegir els vertexs de la forma aZ1 + bZ2 amb |a| = |b|i han de tenir producte nul. Resolent l’equacio 〈aZ1 + bZ2, aZ1 + bZ2〉 = 0 obtenim que V1 =

Z1 +(

1cosh(d(z1, z2))

+ i tanh(d(z1, z2)))Z2 i V2 =

(1

cosh(d(z1, z2))+ i tanh(d(z1, z2))

)Z1 + Z2.

Pel punt [y] ∈ E, per ser |〈Y, Z1〉|2 = |〈Y, Z2〉|2 es compleix

〈Y, V1〉〈V2, Y 〉 = 〈Y, Z1〉〈Z2, Y 〉+ 〈Y, Z2〉〈Z1, Y 〉

+(

1cosh(d(z1, z2))

+ i tanh(d(z1, z2)))|〈Y, Z1〉|2

+(

1cosh(d(z1, z2))

− i tanh(d(z1, z2)))|〈Y, Z2〉|2

= 2 Re(〈Y, Z1〉〈Z2, Y 〉) +2

cosh(d(z1, z2))|〈Y, Z1〉|2

d’on podem considerar que per un representant Y de [y] adequat 〈Y, V1〉 i 〈Y, V2〉 son reals (ja queel seu producte es real). A mes, 〈V1, V2〉 ∈ R d’on, per la proposicio 2.2.19, tenim que [y], [z1] i [z2]estan en un pla totalment real.

Definicio 3.4.16. Sigui E bisector amb espina σ. Diem que un Rn-pla es un meridia de E si conteσ.

Imatge per l’aplicacio exponencial

La seguent proposicio caracteritza els bisectors com les hipersuperfıcies que genera l’aplicacio expo-nencial de (2n − 1) vectors linealment independents. A [Hsi98] s’anomenen subvarietats lineals lessubvarietats generades per l’aplicacio exponencial. En l’article anterior tambe s’estudia la interseccioentre bisectors i mes en general, en subvarietats lineals.

Proposicio 3.4.17. Qualsevol bisector E(z1, z2) es pot obtenir com a imatge per l’aplicacio expo-nencial de la seguent manera:

E(z1, z2) = expz(γ′z)⊥

on z = σ ∩ γ amb γ geodesica que uneix z1 i z2 i σ espina de E(z1, z2).

Demostracio. Sigui z el punt d’interseccio de la geodesica γ amb l’espina i v el vector tangentunitari a γ en el punt z. Provem l’enunciat utilitzant el model del disc. A partir de l’expressio deles geodesiques de CHn podem expressar el conjunt de punts que estan a la imatge de l’aplicacioexponencial des de [z] amb vector ortogonal a v com el seguent conjunt

[cosh(t)z + sinh(t)u] amb u ∈ 〈v〉⊥.

Com que a CHn donats dos punts hi ha una unica geodesica que els uneix podem escriure tot[x] ∈ CHn com [x] = [cosh(t)z+sinh(t)w] amb w = u+λv. Provem que [x] es del bisector si i nomessi λ = 0. Sabem que [x] es del bisector si es compleix

|〈x, z1〉| = |〈x, z2〉|.

A mes,[z1] = [cosh(d(z, z1))z + sinh(d(z, z1))v]


i[z2] = [cosh(d(z, z2))z − sinh(d(z, z2))v]

si suposem que la geodesica γ es recorre de [z] a [z1].Suposem que λ = 0. Llavors, [x] = [cosh(t)z + sinh(t)u] i

|〈x, z1〉| = | cosh(t)〈z, z1〉+ sinh(t)〈u, z1〉| = | cosh(t)〈z, z1〉|= | cosh(t)〈z, z2〉| = |〈x, z2〉|

ja que |〈z, z1〉| = |〈z, z2〉| i u i v son ortogonals, per tant, podem elegir representants de manera que〈u, v〉 ∈ R.

Per altra banda, suposem que [x] es del bisector. Llavors,

〈x, z1〉 = cosh(t)〈z, z1〉+ sinh(t)〈u, z1〉+ λ sinh(t)〈v, z1〉= cosh(t)〈z, z1〉+ λ sinh(t)〈v, v〉 = cosh(t)〈z, z1〉+ λ sinh(t)

i〈x, z2〉 = cosh(t)〈z, z2〉 − λ sinh(t)

d’on〈x, z1〉〈z1, x〉 = cosh2(t)〈z, z1〉〈z1, z〉+ 2 cosh(t) sinh(t) Re(λ〈z, z1〉) + |λ|2 sinh2(t)

i〈x, z2〉〈z2, x〉 = cosh2(t)〈z, z2〉〈z2, z〉 − 2 cosh(t) sinh(t) Re(λ〈z, z2〉) + |λ|2 sinh2(t).

Pero per tal que es compleixi |〈x, z1〉|2 = |〈x, z2〉|2 cal que λ = 0 ja que 〈z, z1〉 = 〈z, z2〉.

Amb la descripcio que hem donat dels discs tenim que estan continguts en bisectors ja quepodem descriure els bisectors a partir de la imatge de l’aplicacio exponencial d’un subespai vectorialde dimensio 2n− 1 de l’espai tangent en el punt i aixı es tal com hem definit el disc.

Dualitat entre bisectors i geodesiques

Per dualitat entre bisectors i geodesiques entenem que fixada una geodesica li podem associar ununic bisector i viceversa.

Aquesta dualitat es possible ja que si dos bisectors, respecte parelles de punts diferents, coin-cideixen llavors tenen els mateixos vertexs (proposicio 3.4.13). Fixada σ geodesica li associem elbisector E = Π−1

Σ (σ) on Σ es l’unica geodesica complexa que conte σ (observacio 2.2.13). Fixat E, unbisector, li associem la geodesica σ, la seva espina que per la proposicio anterior es unica. Llavors,es poden provar facilment els seguents lemes.

Lema 3.4.18. A partir de dos punts diferents de ∂CHn queda determinat un unic bisector.

Lema 3.4.19. Hi ha una bijeccio entre els bisectors i les geodesiques de CHn.

Altres propietats

Proposicio 3.4.20. Les isometries de CHn actuen transitivament sobre els bisectors.

Demostracio. Un bisector queda determinat pels dos vertexs ja que els vertexs determinen unaunica geodesica σ, que es l’espina del bisector. Com que les isometries actuen transitivament sobreles parelles de punts de ∂CHn (proposicio 2.1.10 (5)) actuen transitivament sobre els bisectors.

Sabem que no hi ha cap isometria que fixi un bisector punt a punt per no ser hipersuperfıcietotalment geodesica (corol.lari 2.2.5). De totes maneres, podem considerar la inversio respecte unallesca S del bisector. Aquesta inversio fixa punt a punt la llesca S i deixa el bisector invariant. Ames, cada una d’aquestes inversions son reflexions respecte l’espina σ del bisector, per tant, deixenfix el punt de σ que tambe es de S.


Els bisectors son hipersuperfıcies de cohomogenitat 1. Aixo vol dir que l’orbita d’un punt d’unbisector per les isometries que fixen el bisector es una subvarietat de codimensio 1 dins del bisector,es a dir, es una subvarietat de codimensio 2 de CHn (cf. [GG00]).

Per tant, els bisectors no son hipersuperfıcies homogenies. Si ho fossin l’orbita d’un punt d’unbisector per les isometries que fixen el bisector seria tot el bisector.

Per tal de coneixer millor la geometria dels bisectors, donem una llista sense demostracio depropietats interessants (cf. [Gol99]).

Proposicio 3.4.21. (1) Donat un hiperpla complex i dos punts de ∂CHn, l’hiperpla complex esllesca del bisector amb vertexs els punts de ∂CHn fixats ⇔ la inversio respecte l’hiperpla complexintercanvia els vertexs.

(2) Donat un hiperpla complex i dos punts de CHn, l’hiperpla complex es llesca del bisector equi-distant als punts de CHn fixats ⇔ la inversio respecte l’hiperpla complex intercanvia els dospunts.

(3) Donat un Rn-pla i dos punts de ∂CHn, l’Rn-pla correspon a un meridia del bisector amb vertexsels dos punts ⇔ la inversio respecte l’Rn-pla fixa els dos punts.

(4) Donat un Rn-pla i dos punts de CHn, l’Rn-pla correspon a un meridia del bisector equidistantals dos punts ⇔ la inversio respecte l’Rn-pla intercanvia els dos punts.

(5) Donats dos hiperplans complexos ultraparal.lels (es a dir, que no es tallen ni a CHn ni a ∂CHn)hi ha un unic bisector que els te com a llesca.

(6) Donat un hiperpla complex i un punt de ∂CHn hi ha un unic bisector que te l’hiperpla complexcom a llesca i el punt i l’imatge del punt per inversio respecte l’hiperpla complex com a vertexs.

La seguent propietat ens afirma que els bisectors no son convexos (cf. [Gol99] p.193).

Proposicio 3.4.22. Sigui E bisector i x, y ∈ E. Suposem que γ : [a, b] → CHn es el segment degeodesica que uneix els punts x, y. Llavors, les seguents condicions son equivalents:

(1) γ(t) ∈ E per algun t ∈ (a, b).

(2) γ(t) ∈ E per tot t ∈ [a, b].

(3) La projeccio ortogonal de γ a l’espina complexa de E es un segment geodesic.

(4) x, y pertanyen a una mateixa llesca o a un mateix meridia.

A mes, els bisectors no son vora de dominis convexos (cf. [Gol99] i [DFP05]).

Interseccions de bisectors Donats dos bisectors qualssevol pot ser difıcil determinar quina es laseva interseccio. Com que no son hipersuperfıcies totalment geodesiques no podem assegurar que laseva interseccio ho sigui, tal com passa a l’espai hiperbolic real. A mes, la interseccio no sempre seraconnexa.

De totes maneres, imposant restriccions entre els dos bisectors existeixen resultats sobre lespropietats de la seva interseccio. En aquest apartat enunciem un resultat quan els dos bisectorstenen la mateixa espina complexa ja que son els que s’utilitzen per definir poliedres que tenen coma cares bisectors (veure seccio 3.4.4).

Definicio 3.4.23. Diem que dos bisectors son cospinals si tenen la mateixa espina complexa.

Dos bisectors cospinals tenen interseccio si i nomes si es tallen les espines reals. En efecte, elsbisectors queden determinats de manera unica per l’espina (real) (proposicio 3.4.11) i Π−1

Σ (x) ∩Π−1

Σ (y) 6= ∅ nomes si x = y. En aquest cas es compleix la seguent proposicio (cf. [Mos80], teorema3.2.4).


Proposicio 3.4.24. Sigui Σ una geodesica complexa i σ1 i σ2 geodesiques reals contingudes a Σ ambinterseccio no buida. Sigui p ∈ σ1 ∩ σ2 i θ l’angle que formen les geodesiques en p. Llavors, en cadapunt Π−1

Σ (p) els bisectors E1 i E2 es tallen formant un angle θ.

Una situacio en la qual podem assegurar que la interseccio de dos bisectors es connexa es quanson coequidistants.

Definicio 3.4.25. Diem que dos bisectors E1, E2 son estrictament coequidistants si (Σ1−σ1)∩(Σ2−σ2) 6= 0.

Diem que dos bisectors E1, E2 son debilment coequidistants si Σ1 ∩ Σ2 6= 0.

La proposicio 3.4.14 tambe es util per estudiar els bisectors coequidistants.

Exemples 3.4.26. (de bisectors coequidistants)

(i) Si Σ1 = Σ2 = Σ i σ1, σ2 geodesiques reals de E amb σ1∩σ2 = ∅ llavors E1 i E2 son estrictamentcoequidistants.

(ii) Sigui p ∈ CHn i v ∈ TpCHn. Considerem el pla generat per v, Jv i un vector u ortogonal a vi Jv. Llavors, els plans v, Jv i u, Ju son complexos, ortogonals i les geodesiques complexesE1 i E2 que generen es tallen en el punt p. Considerem les geodesiques reals σ1 ∈ Σ1 tangenta v en el punt p i σ2 ∈ Σ2 tangent a u en el punt p. Els bisectors que determinen σ1 i σ2 sondebilment coequidistants.

Dos bisectors tals que (Σ1 − σ1) ∩ (Σ2 − σ2) 6= ∅ s’anomenen estrictament coequidistants jaque hi ha un punt (de Σ1 ∩ Σ2) del qual els dos bisectors en son equidistants. En efecte, com que(Σ1 − σ1) ∩ (Σ2 − σ2) 6= ∅ hi ha algun punt de Σ1 ∩ Σ2 que no es de σ1 ni de σ2. Llavors podemfer la reflexio d’un d’aquests punts p respecte σ1 i obtenir els dos punts que defineixen un bisector idespres fer la reflexio del punt p respecte σ2 i obtenir els dos punts que defineixen l’altre bisector.

A [Gol99] pagina 290 es prova la seguent proposicio.

Proposicio 3.4.27. Donats dos bisectors coequidistants, si la seva interseccio es no nul.la, llavorsaquesta es connexa.

3.4.4 Poliedres

Per poder parlar de poliedres a CHn primer en necessitem una definicio. A la literatura aquesta noesta clara.

A l’espai euclidia Rn es poden definir els poliedres com la interseccio de semiespais. Per deter-minar un poliedre n’hi ha prou, doncs, en donar parelles de direccions i distancies. Per cada parellapodem considerar l’hiperpla que te com a vector normal en cada punt la direccio fixada i esta adistancia de l’origen la fixada. Per fer aixo necessitem fixar un punt i tenir el concepte d’hiperpla.A l’espai hiperbolic complex, per ser espai homogeni, podem fixar qualsevol punt pero el concepted’hiperpla no esta clar. Sabem que no hi ha hipersuperfıcies totalment geodesiques, per tant, un“hiperpla” de CHn no pot ser totalment geodesic. Llavors, les cares dels poliedres tampoc serantotalment geodesiques. A la literatura (cf. [GG00], [GP92a], [GP92b]) es consideren com a caresdels poliedres els bisectors ja que aquests es considera que son les hipersuperfıcies mes properes a sertotalment geodesiques.

Tambe es poden definir els poliedres com el domini fonamental d’un subgrup discret d’isometries.Aquesta descripcio es la que adopta [Mos80]. En aquest article es consideren per primera vegada elsbisectors i es construeix un hexaedre a CH2 donant un subgrup discret d’isometries de CH2. Algunesde les cares del poliedre que construeix tambe son bisectors.

Observem que si es considera que alguna de les cares d’un poliedre esta continguda en un bisectoraquest poliedre no es convex ja que els bisectors no son convexos.

A mes, tal com hem comentat, la interseccio de dos bisectors no sempre es connexa llavors si esdefineixen els poliedres a partir de la interseccio de bisectors pot passar que no siguin connexos.


Una altra possibilitat per definir un poliedre es fixar N punts i considerar l’embolcall convexd’aquests punts. Aquesta definicio no la compleixen els poliedres que tenen un bisector en algunacara ja que no son convexos. De totes maneres, no esta clar que es l’embolcall convex d’N punts aCHn.

3.4.5 Tubs

El concepte de tub es defineix en qualsevol varietat de Riemann, seguirem l’exposicio de [Gra04].

Definicio 3.4.28. Sigui M varietat de Riemann de dimensio m i P subvarietat de dimensio s < m,connexa, immersa i amb clausura compacte. Definim el tub de radi r sobre P com

T (P, r) = expq(v) | q ∈ P, v ∈ (TqP )⊥, ||v|| ≤ r.

Observacio 3.4.29. En general, si considerem r prou gran, pot passar que el tub tingui autointer-seccions. A partir d’ara suposarem que r es prou petit com perque no n’hi hagin i T (P, r) siguihomeomorf a P ×B.

Definicio 3.4.30. Sigui M varietat de Riemann i P hipersuperfıcie de M connexa. Definim lahipersuperfıcie paral.lela a M a distancia r com

Pr = expq(v) | q ∈ P, v ∈ (TqP )⊥, ||v|| = r.

Observacio 3.4.31. Quan P es hipersuperfıcie, l’espai normal (TpP )⊥ te dimensio 1 i esta generatpel vector normal a la hipersuperfıcie. Llavors, tenim dues components de Pr, una per cada possibleeleccio de vector normal.

Observacio 3.4.32. Les boles son tubs respecte un punt.

A partir d’ara, ens centrarem en l’estudi dels tubs de CHn.

Curvatura principal dels tubs sobre hipersuperfıcies

Quan la subvarietat P es una hipersuperfıcie de M podem trobar la curvatura principal de la hi-persuperfıcie paral.lela Pr a partir de les curvatures principals de la hipersuperfıcie P . Aquestarelacio es coneguda en espais de curvatura constant pero la podem generalitzar facilment en espaisde curvatura holomorfa constant, en particular a CHn.

Notacio 3.4.33. En aquesta seccio e1, ..., em−1 denota una base ortonormal de direccions principalsde la hipersuperfıcie P en el punt p i k1, ..., km−1 les curvatures principals associades; Np el vectornormal unitari a P en p elegit en la direccio en la qual fem la hipersuperfıcie paral.lela, i f1, ..., fm−1denota la base obtinguda per transport paral.lel al llarg de la geodesica amb origen a p tangent a Np.

Per donar la relacio entre les curvatures principals de P i Pr utilitzem dos resultats que es podentrobar a [Gra04], pagines 36 i 95. Suposem que r es suficientment petit com perque Pr no tinguiautointerseccions.

Lema 3.4.34. Sigui M espai simetric i P hipersuperfıcie de M . Llavors, f1, ..., fm−1 son direc-cions principals de Pr.

Lema 3.4.35. Suposem que els vectors f1, ..., fm−1 son diferenciables a r. Llavors,

K ′i(r) = K2

i (r) + 〈R(N, fi)fi, N〉 (3.13)

on N es el camp normal a Pr, K1, ...,Km−1 les curvatures principals de Pr i 〈, 〉 la metrica de lavarietat M .

Amb aixo calculem les curvatures principals obtenint:


Proposicio 3.4.36. Sigui P una hipersuperfıcie de CHn i Pr la hipersuperfıcie paral.lela a distanciar. Llavors, les curvatures principals de Pr en el punt q = exprNp estan donades per

Ki(r) =(1 + 3α2

i ) sinh(r√

1 + 3α2i ) + ki

√1 + 3α2

i cosh(r√

1 + 3α2i )√

1 + 3α2i cosh(r

√1 + 3α2

i )− ki sinh(r√

1 + 3α2i )

on αi son les coordenades del vector −JNq respecte la base f1, ..., f2n−1 a q.

Demostracio. Sabem que CHn es un espai simetric, per tant, pel lema 3.4.34 sabem que la basef1, ..., f2n−1 es una base de direccions principals de Pr en el punt q.

Pel lema 3.4.35 sabem que la relacio entre les curvatures principals de P i Pr, esta donadaper l’equacio de Riccatti (3.13). Si coneixem el valor de 〈R(N, fi)fi, N〉 podrem resoldre l’equaciodiferencial. Per la demostracio de la proposicio 1.1.24 tenim les seguents igualtats:

〈R(N, fi)fi, N〉 = −(1 + 3〈fi, JN〉2) = −(1 + 3α2i )

si escrivim −JN =∑2n−1

i=1 αifi i utilitzem que f1, ..., f2n−1 son ortonormals. Resolent l’equacio deRiccatti amb 〈R(N, fi)fi, N〉 = −(1 + 3α2

i ) obtenim la igualtat de l’enunciat.

Corol.lari 3.4.37. Si −JNp es direccio principal de Pp, llavors respecte la base ortonormal dedireccions principals −JN, e2, ..., e2n−1, les curvatures principals de Pr en el punt q = exprNp

estan donades per

K1(r) =4 sinh(2r) + 2k1 cosh(2r)2 cosh(2t)− k1 sinh(2t)

i

Ki(r) =sinh(r) + ki cosh(r)cosh(r)− k1 sinh(r)

, ∀i = 2, .., 2n− 1.

En particular, per les hipersuperfıcies paral.leles a una hipersuperfıcie de Hopf les curvaturesprincipals les podem trobar a partir de les igualtats anteriors.

Volum i area de tubs

Donada una subvarietat connexa, immersa amb clausura compacte d’una varietat de Riemann qual-sevol es coneix l’expressio en serie de potencies pel volum del tub al voltant de la subvarietat (cf.[GV81], teorema 5.3). A l’article [GV81] es dona l’expressio explıcita per varietats concretes comRn, Sn o CPn. Tambe es comenta que els resultats pel cas de curvatura negativa (Hn, CHn) espoden trobar directament canviant les funcions trigonometriques que apareixen a les formules perfuncions hiperboliques a partir de les relacions sin(ix) = i sinh(x) i cos(ix) = cosh(x). Per demostrarles formules s’utilitzen les coordenades de Fermi ja que parametritzen els tubs de manera natural.

Pel cas de CHn la formula pel volum de la frontera d’un tub sobre una subvarietat de dimensioq (teorema 7.4 de [GV81]) es

vol(∂T (P, r)) = sinh2n−q−1(r) coshq+1(r) ·∫P

∫S2n−q−1

A(u, p)dudp. (3.14)

onA(u, p) = det(Id− tanh(r)II + tanh2(r)(〈Ju,Ea〉〈Ju,Eb〉)qa,b=1),

p ∈ P , u ∈ TpP , E1, ..., Eq una base de camps de l’espai tangent en un entorn de p ∈ P i II denotala segona forma fonamental.

Aquesta formula se simplifica pel cas de subvarietats complexes ja que si u es de l’espai normalllavors Ju tambe i 〈Ju,Ea〉〈Ju,Eb〉 = 0 (corol.lari 7.9 de [Gra04]).

L’expressio del volum de Pr es troba integrant l’expressio del volum respecte r (cf. [Gra04] p.42).


Volum i area de tubs sobre corbes A la seccio 4.3 necessitem el volum del cilindre. Podempensar el cilindre com un tub sobre un segment de geodesica, es a dir, una subvarietat de dimensio 1.A l’article [GV82] es dona l’expansio en serie de potencies per varietats de Riemann qualssevol i laformula concreta per algunes varietats com Rn, Sn i CPn i es comenta que per espais de curvaturanegativa es pot obtenir la formula canviant les funcions trigonometriques per hiperboliques. Doneml’expressio del volum d’un tub i del volum de la frontera d’un tub al voltant d’una corba a CHn. Ala demostracio no seguim la de l’article [GV82] sino que la veiem com un cas particular de la formulageneral (3.14).

Proposicio 3.4.38. Sigui σ una corba de CHn. Llavors, el volum de la frontera del tub de radi rsobre σ ve donat per

Sσ(r) = vol(S2n−2) sinh2n−2(r)(

1 +2n

2n− 1sinh2(r)

)L(σ)

on L(σ) denota la longitud de la corba i el volum del tub de radi r sobre σ ve donat per

Vσ(r) = vol(S2n−2)L(σ)∫ r

0sinh2n−2(s)

(1 +

2n2n− 1

sinh2(s))ds. (3.15)

Demostracio. La dimensio del subespai a partir del que construım el tub es 1, per tant, tenim q = 1en la formula general (3.14). Suposem que la corba σ esta parametritzada per l’arc entre [0, L].Llavors, la formula (3.14) queda

Sσ(r) = sinh2n−2(r) cosh2(r)∫ L

0

∫S2n−2

(1− tanh(r)〈∇σ′σ′, u〉+ tanh2(r)〈Ju, σ′〉2)dudt.

Ara, ∫S2n−2

〈∇σ′σ′, u〉du = 0

ja que, fixat t, ∇σ′σ′ es un vector fixat i u es qualsevol vector de S2n−2. A mes,∫

S2n−2

〈Ju, σ′〉2du =∫S2n−2

〈u, Jσ′〉2du = 2∫ π/2

0cos2(θ) vol(S2n−3(sin(θ)))dθ

ja que, fixat t, σ′ es un vector fixat. Per resoldre la integral substituım el volum de S2n−3 per la sevaexpressio

vol(S2n−3(r)) = (2n− 3 + 1)πn−1

(n− 1)!r2n−3

de manera que obtenim∫S2n−2

〈Ju, σ′〉2du =4(n− 1)πn−1

(n− 1)!

∫ π/2

0cos2(θ) sin2n−3(θ)dθ =

4πn−1

(2n− 2)(n− 2)!

∫ π/2

0sin2n−1(θ)dθ

=4πn−1

(2n− 2)(n− 2)!

(2n− 22n− 1

2n− 42n− 3

2n− 62n− 5

· ... · 23

∫ π/2

0sin(θ)dθ

)

=2nπn−1

(2n− 1)(2n− 3) · ... · 3=

vol(S2n−2)2n− 1

ja que

vol(S2n−2) = (2n− 2 + 1)22n−1πn−1(n− 1)!

(2n− 1)!=

22n−1πn−1(n− 1)!(2n− 3)(2n− 5) · ... · 3 · (2n− 2)(2n− 4) · ... · 2

=2nπn−1

(2n− 3) · ... · 3.


Per tant,

Sσ(r) = sinh2n−2(r) cosh2(r)(L vol(S2n−2) + tanh2(r)L

vol(S2n−2)2n− 1

)= L(σ) vol(S2n−2) sinh2n−2(r)

(1 +

2n2n− 1

sinh2(r)).

Per trobar el volum nomes cal integrar l’expressio anterior.

Formula de Steiner generalitzada

Donada una hipersuperfıcie P compacte i orientada en una varietat de Riemann podem considerar eldomini paral.lel Pr. El volum del domini paral.lel es pot trobar a partir del volum del domini inicial.A Rn la formula de Steiner relaciona aquests volums de la seguent manera:

vol(Pr) = vol(P ) +n−1∑i=0

(n− 1i

)1

i+ 1Mi(P )ri+1

on Mi(P ) =(n−1i

)−1 ∫P Si(P ) es la i-essima integral de curvatura mitja i Si denota la funcio simetrica

elemental de grau i, es a dir, Si(P ) =∑

j1<...<jikj1 · ... · kji on kj son les curvatures principals de P

(cf. [San04]).A l’espai hiperbolic real tambe es te una formula de Steiner:

vol(Pr) = vol(P ) +n−1∑i=0

∫ r

0coshn−i(r) sinhi(r)Mi(P )dr.

Estudiar la formula de Steiner a CHn pot ser interessant pel futur estudi de la geometria integrala CHn.

Per estudiar la formula de Steiner a CHn vam comencar pel cas en que la hipersuperfıcie es deHopf, es a dir, el vector −JN es direccio principal (on N es el vector normal a la hipersuperfıcie).El cas general, sense suposar que la hipersuperfıcie es de Hopf, es demostra amb la mateixa idea deconsiderar camps de Jacobi i esta fet a [AGV81].

En calcular l’area de la hipersuperfıcie paral.lela nomes considerem una de les components, perindicar-ho denotem area+(Pr) a l’area de la hipersuperfıcie elegida.

Proposicio 3.4.39. Sigui P hipersuperfıcie de CHn compacte i orientable amb vector normal N talque la direccio −JN es direccio principal amb curvatura principal k2n−1. Considerem la hipersu-perfıcie paral.lela a distancia r, Pr. Llavors, l’area de Pr esta donada per:

area+(Pr) = cosh(2r)2n−2∑j=0

cosh2n−2−j(r) sinhj(r)∫PSj

(k1, ..., k2n−2,

k2n−1

2

)dA

+sinh(2r) sinh2n−2(r)∫PS2n−1

(k1, ..., k2n−2,

k2n−1

2

)dA

+2n−2∑j=1

cosh2n−2−j(r) sinh(r)∫P

k2n−1

2Sj−1(k1, ..., k2n−2)

on k1, ..., k2n−1 son les curvatures principals i Sj(k1..., k2n−2, k2n−1) denota la funcio simetrica ele-mental de grau j, es a dir, la suma de tots els productes que es poden fer considerant j ki diferents.

Demostracio. Per a cada punt p ∈ P considerem la geodesica γ de CHn amb γ(0) = p i γ′(0) = N .Suposem que e1, ..., e2n−2, e2n−1 = −JN es una base ortonormal de direccions principals de P enel punt p i considerem el transport paral.lel d’aquesta al llarg de γ, f1(r), ..., f2n−1(r). Per ser CHn


espai simetric sabem que les direccions fj(r) son direccions principals en el punt γ(r) ∈ Pr. A mes,la direccio f2n−1 coincideix amb −JNr on Nr es el vector normal a la hipersuperfıcie paral.lela.

Per calcular l’area de la hipersuperfıcie paral.lela utilitzem:

area+(Pr) =∫Pr

dAr =∫P

Jac(φ)dA

si Jac(φ) es el Jacobia deφ : P −→ Pr

p 7→ expp rN.

Per trobar l’area necessitem l’expressio dels camps Vi = dφ(ei) que son camps de Jacobi ja que

Vi = (d expp rNp)ei =∂ expα(s) rNα(s)

∂s

∣∣∣∣s=0

es una variacio per geodesiques de γ sobre la corba integral de ei, α (α(0) = p, α′(0) = ei). Lescondicions inicials pels camps Vi son

Vi(0) = ei

V ′i (0) = −∇eiN = kiei.

De manera analoga al calcul dels camps de Jacobi que hem fet a la pagina 50 obtenim que per lescondicions inicials que tenim ara

Vi(r) = (cosh(r) + ki sinh(r))fi, i = 1, ..., 2n− 2

V2n−1(r) = (cosh(2r) +k2n−1

2sinh(2r))f2n−1.

Aplicant els camps de Jacobi a dAr i utilitzant que dAr(f1, ..., f2n−1) = 1 i es 0 si hi ha dos vectorsiguals obtenim el resultat de l’enunciat. En desenvolupar el producte utilizem que

sinh(r) cosh(r) cosh2n−2−j(r) sinhj(r) = cosh2n−3−j(r) sinhj+1(r)cosh(2r)

2+cosh2n−3−j(r)

sinhj+1(r)2

.

Observem que la primera part de l’expressio coincideix amb la formula de l’espai hiperbolic realsi canviem un dels cosh(r) per cosh(2r) i la curvatura de la direccio −JN la dividim per 2.

A l’article [AGV81] es troba la serie de Taylor fins a grau 4 de la formula de Steiner en una varietatde Riemann qualsevol, es dona l’expressio explıcita per Rn, Sn i CPn i es comenta que pels espaisde curvatura negativa Hn i CHn els resultats son els analegs canviant les funcions trigonometriquesper les hiperboliques.

Per CHn la formula de Steiner generalitzada es:

area(Pr) = cosh2n(r)∫P

detF (p)dp

onF (p) = det(δa,b + tanh2(r)δa,2n−1δb,2n−1 + tanh(r)Sab(p))2n−1

a,b=1

on p ∈ P i Sab = 〈∇EaN,Eb〉 i E2n−1 = −JN .Es pot trobar la formula que hem obtingut a la proposicio com un cas particular de l’anterior.

3.4.6 Cilindres

Definim el cilindre de radi r com el tub a distancia r sobre un segment de geodesica. Observem queper tenir definit un cilindre de manera unica hem de fixar el radi r i un segment de geodesica, es adir, un punt, una direccio i la longitud L del segment.

Per la mateixa definicio de tub tenim que en els punts finals del segment de geodesica hi ha undisc de radi r que tal com hem vist coincideix amb un subconjunt d’un bisector.


Volum i area de cilindres

Per calcular el volum del cilindre i de la frontera utilitzem la formula (3.15) i el volum del disc donata (3.11).

Per tant,

vol(Cr,L) = Lvol(S2n−2)∫ r

0(sinh2n−2(s))

(1 +

2n2n− 1

sinh2(s))ds (3.16)

i

vol(∂Cr,L) = Lvol(S2n−2) sinh2n−2(r)(

1 +2n

2n− 1sinh2(r)

)+ 2vol(S2n−2) sinh2n(r) (3.17)

ja que en el volum de la frontera hem de sumar el volum dels dos discs, que tapen el cilindre.

3.4.7 Equidistants sobre CHp i RHn

Igual que en el cas dels cilindres, les equidistants sobre una subvarietat fixada son tubs. De totesmaneres, tractem independentment els tubs sobre CHp i RHn ja que, com veurem al seguent apartat,son un tipus d’hipersuperfıcies de Hopf i aquestes tenen diferents caracteritzacions interessants (cf.[Mon84]).

Equidistant sobre CHp

Fixat CHp ⊂ CHn, definim l’equidistant sobre CHp com el tub al voltant de CHp. Per calcular lescurvatures principals primer definim una hipersuperfıcie a l’espai H ⊂ Cn+1 que projecti a l’equidis-tant sobre CHp. Recordem que hem definit

H =z ∈ Cn+1 : g(z, z) = −|z0|2 +

n∑j=1

|zn|2 = −1

i que CHn s’obte a partir de la projeccio de H per l’aplicacio

π : Cn+1 −→ CPn.

Una vegada definida aquesta hipersuperfıcie de H, en calcularem les curvatures i direccions principalsi les relacionarem amb les curvatures i direccions principals de la hipersuperfıcie que defineix a CHn,es a dir, l’equidistant sobre CHp.

Fixem p tal que 1 ≤ p < n i sigui q = n− p− 1. Considerem la hipersuperfıcie M ′ de H ⊂ Cn+1

definida com

M ′ =z = (z0, ..., zn) ∈ H : −|z0|2 +

p∑j=1

|zj |2 =1

t− 1i

n∑j=p+1

|zj |2 =t

1− t

amb 0 < t < 1. M ′ es S1-invariant. A [Mon84] es prova que la projeccio de M ′ es l’equidistant sobreCHp.

Definim M ′ a partir de la submersio H(z) = (h(z, z)+1, t(−|z0|+∑p

j=1 |zj |2)+∑n

j=p+1 |zj |2). Elvector normal unitari en un punt z ∈M ′ ve donat per Nz = −1√

t(tz0, ..., tzp, zp+1, ..., zn) i la derivada

covariant per −∇′XN = −1√t(tX0, ..., tXp, Xp+1, ..., Xn).

Les curvatures principals de M ′ son√t i 1√

tpero ens interessen les curvatures principals de

M = π(M ′).El vector normal en el punt π(z) te la mateixa expressio que en z ja que Nz no te part a Jz.Les aplicacions de Weingarten a M i M ′ estant relacionades per

−∇Mdπ(X)N = −∇M ′

X N + ghip(X,−JN)Jz. (3.18)


El vector −JN es principal ja que

−∇Mdπ(−JN)N = ∇M ′

JNN + Jz = −(√t+

1√t)JN.

Les altres direccions principals X son de l’espai ortogonal a Jz, JN ja que aquestes compleixenghip(X,−JN) = 0. D’aquesta manera la igualtat (3.18) queda −∇M

dπ(X)N = −∇M ′X N i podem

afirmar que les altres curvatures principals son√t i 1√

tamb dimensions 2p i 2q respectivament.

Observem que si p = n − 1 llavors q = 0 i nomes hi ha dues curvatures principals diferents,√t+ 1√

ti√t. Aquest es el cas de l’equidistant sobre CHn−1.

Si considerem t = tanh2(r) on r coincideix amb el radi del tub tenim

Proposicio 3.4.40. Les curvatures principals de l’equidistant a distancia r al voltant de CHp amb1 ≤ p ≤ n− 1 son constants i valen

1. Si p ≤ 1 < n− 1

• 2 coth(2r) amb multiplicitat 1 i direccio principal −JN ,

• tanh(r) amb multiplicitat 2p,

• coth(r) amb multiplicitat 2q.

2. Si p = n− 1

• 2 coth(2r) amb multiplicitat 1 i direccio principal −JN ,

• tanh(r) amb multiplicitat 2(n− 1).

El raonament anterior tambe te sentit per p = 0. Llavors estem fent l’equidistant al voltant d’unpunt, es a dir, l’esfera. Les curvatures principals que obtenim per p = 0 i t = tanh2(r) son 2 coth(2r)i coth(r), les que ja havıem obtingut per les esferes.

Equidistants sobre RHn

Es defineixen de manera analoga a les equidistants respecte CHp. Es a dir, fixat RHn ⊂ CHn definiml’equidistant sobre RHn com el tub al voltant de RHn.

La subvarietat M ′ de H que projecta a una equidistant sobre RHn es (cf. [Mon84])

M ′ =z ∈ H : | − z2

0 +n∑j=1

z2j |2 = t

.

El vector normal en un punt z esta donat per −√t(t− 1)(tz + (−z2

0 +∑n

j=1 z2j )z) i l’aplicacio de

Weingarten per −∇′XN =√t(t− 1)(tX + 2(−z0X0 +

∑nj=1 zjXj)z+ (−z2

0 +∑n

j=1 z2j )X). Igual que

en el cas de l’esfera, es mes facil trobar els valors propis de l’aplicacio de Weingarten de M = π(M ′)que els de M ′.

Les curvatures principals de M son 2√t−1√t

,√t−1√t−1

i√t+1√t−1

amb multiplicitat 1, n − 1 i n − 1respectivament. La direccio principal amb curvatura principal amb multiplicitat 1 es la direccio−JN , tal com passa amb el cas de les esferes i les equidistants sobre CHp.

Quan t = 4, 2√t−1√t

=√t+1√t−1

=√

3 i nomes hi ha dues curvatures principals diferents,√

3 i 1√3

amb multiplicitat n i n− 1 respectivament.Si prenem t = cosh2(2r) on r coincideix amb el radi del tub obtenim

Proposicio 3.4.41. Les curvatures principals de l’equidistant a distancia r al voltant de RHn sonconstants i valen

1. Si r 6= 12 arccosh(2)


• 2 tanh(2r) amb multiplicitat 1 i direccio principal −JN ,

• coth(r) amb multiplicitat n− 1,

• tanh(r) amb multiplicitat n− 1.

2. Si r = 12 arccosh(2)

•√

3 amb multiplicitat n,

• 1√3

amb multiplicitat n− 1.

3.4.8 Classificacio de les hipersuperfıcies de Hopf

Recordem que una hipersuperfıcie real i orientable de CHn es diu de Hopf si −JN es principal onN denota el vector normal a la hipersuperfıcie.

A [Mon85] es prova la seguent caracteritzacio de les hipersuperfıcies de Hopf.

Proposicio 3.4.42. M es hipersuperfıcie de Hopf si i nomes si les corbes integrals del camp −JNson geodesiques.

La nocio d’hipersuperfıcie de Hopf es pot definir sobre qualsevol varietat de Kahler.El seguent resultat es pot trobar demostrat, per exemple, a [NR97], teorema 2.1.

Proposicio 3.4.43. Sigui M hipersuperfıcie de Hopf d’una varietat de Kahler de curvatura seccionalholomorfa constant no nul.la. Llavors, la curvatura principal de −JN es constant.

Les hipersuperfıcies de Hopf a CHn van ser classificades per Montiel a la seva tesi. La seguentllista, que es coneix com a llista de Montiel, classifica les hipersuperfıcies de Hopf.

• Horosferes.

• Esferes i equidistants al voltant de CHn−1.

• Equidistants al voltant de CHp, 1 ≤ p ≤ n− 2.

• Equidistants al voltant de RHn.

Observem que els bisectors no son hipersuperfıcies de Hopf.Totes les hipersuperfıcies de la llista anterior son homogenies. La classificacio de les hipersu-

perfıcies homogenies de CHn ha estat completada recentment per Berndt i Tamaru (cf. [BT04]). Enaquesta classificacio es prova que totes les hipersuperfıcies homogenies tenen 2, 3, 4, o 5 curvaturesprincipals constants diferents. No es coneix pero cap exemple d’hipersuperfıcie de CHn amb curvatu-res principals constants que no estigui continguda en una hipersuperfıcie homogenia. Recordem quediem que una hipersuperfıcie es homogenia si el grup d’isometries que la fixa actua transitivamentsobre els punts.

A mes, se sap que si en una hipersuperfıcie les curvatures principals nomes prenen dos valorsdiferents en cada punt llavors aquestes son constants i la hipersuperfıcie es de Hopf. Tambe, si enuna hipersuperfıcie les curvatures principals son constants en cada punt i nomes prenen tres valorsdiferents llavors la hipersuperfıcie tambe es de Hopf (cf. [Mon84] i [BDR05]).

Capıtol 4

Comportament asimptotic de convexosa l’espai hiperbolic complex

En aquest capıtol estudiem el comportament del quocient volum/area per successions de dominisconvexos que tendeixen a omplir tot l’espai. Primer definim el concepte de λ-convexitat, estudiemels valors que pot prendre λ quan la varietat es CHn i donem exemples de λ-convexos a partir deles hipersuperfıcies definides al capıtol anterior. Despres donem una acotacio pel lımit del quocientvolum/area de les successions de λ-convexos que tendeixen a omplir tot l’espai (teorema 4.2.1). Lesdesigualtats que trobem milloren les cotes que es coneixen per espais de Hadamard qualssevol (cf.[BGR01]). Finalment, (seccio 4.3) provem que la cota superior aquı trobada es la millor possible.Aixo ho farem veient que les successions d’esferes i cilindres tendeixen a aquest valor.

4.1 Convexitat i λ-convexitat

4.1.1 Convexitat al pla

A R2 hi ha dos tipus de corbes diferents amb curvatura geodesica constant, les rectes i les circum-ferencies. Les rectes tenen curvatura geodesica nul.la i les circumferencies de radi r, 1/r. Per tant,per a qualsevol valor positiu hi ha una circumferencia que te curvatura geodesica constant i igual alvalor fixat.

A H2, en canvi, hi ha quatre tipus de corbes diferents amb curvatura geodesica constant, les ge-odesiques, les equidistants, els horocicles i les circumferencies, que tenen curvatura geodesica constantigual a 0, tanh(r), 1 i coth(r), respectivament. Aixo porta a la seguent definicio:

Definicio 4.1.1. Diem λ-geodesica a la corba tal que la curvatura geodesica en cada punt es iguala λ.

A partir de la definicio anterior es defineix el concepte de λ-convexitat de manera analoga al deconvexitat (cf. [GR99]).

Definicio 4.1.2. Diem que un conjunt de H2 es λ-convex si donats dos punts qualssevol del conjunthi ha un segment de λ-geodesica que els uneix contingut en el conjunt.

Diem que un conjunt de H2 es h-convex si donats dos punts qualssevol del conjunt hi ha unsegment d’horocicle que els uneix contingut en el conjunt.

A H2 donats dos punts diferents hi ha una unica geodesica que els uneix pero, en canvi, hi hadues equidistant i dos horocicles que els uneixen.

Figura 4.1: Les corbes de H2 amb curvatura geodesica constant

75

76 4.1 Convexitat i λ-convexitat

Figura 4.2: N es hipersuperfıcie λ-convexa

Els conjunts λ-convexos de H2 es poden caracteritzar a partir dels valors de la curvatura geodesicaen els punts de la frontera.

Lema 4.1.3. Sigui K un domini compacte de H2 delimitat per una corba C2. Llavors, K es λ-convexsi i nomes si la curvatura geodesica de la frontera satisfa kg ≥ λ.

Demostracio. Suposem que K es un domini λ-convex i que hi ha un punt p pel qual la curvaturageodesica es mes petita que λ. Per ser K convex se sap (cf. [Sch93]) que en coordenades normalsrespecte p es pot aproximar la vora fins a ordre 2 per una parabola, d’on obtenim que la vora delconvex en un entorn de p es el grafic de la funcio

y =12kg(p)x2 + o(x2).

Les λ-geodesiques per p amb ∂/∂x direccio tangent en p son el grafic de la funcio

y = ±12λx2 + o(x2).

Com que kg < λ tenim que una de les dues λ-geodesiques, γ, esta continguda localment dins de Ki es tangent a ∂K en el punt p. Considerem un punt q = (x0, y0) dins de K sobre γ proper a p iun punt qε = (x0, q0 − ε) per ε prou petit de manera que qε estigui contingut a K. Com que en qla λ-geodesica que uneix p i q es tangent a ∂K en p, per continuıtat tenim que la λ-geodesica queuneix p i q0 talla ∂K, d’on obtenim una contradiccio per ser K λ-convex.

Recıprocament, suposem que la curvatura geodesica es mes gran que λ i que el domini no esλ-convex. Llavors, podem trobar dos punts x, y ∈ ∂K tals que no hi ha cap segment de λ-geodesicacontingut a K que els uneix. Com que, per hipotesi, la curvatura geodesica no canvia de signe sabemque K es convex. Sigui 0 ≤ µ < λ el suprem de tots els nombres tals que el segment de µ-geodesicaque uneix x i y esta totalment contingut a K. Si el segment de µ-geodesica toca, tangencialment,∂K llavors arribem a contradiccio ja que es compleix kg ≤ µ < λ. Per tant, el segment ha de tallartangencialment o be en x o be en y pero llavors en aquest punt s’ha de complir kg ≤ µ < λ arribanttambe a contradiccio.

4.1.2 Convexitat en una varietat de Riemann

A partir del lema anterior es defineix la nocio de λ-convexitat per les hipersuperfıcies de varietats deRiemann (cf. [BGR01]).

Definicio 4.1.4. Una hipersuperfıcie de classe C2 es λ-convexa regular si per a qualsevol punt totesles curvatures normals en aquell punt son mes grans o iguals que λ.

Definicio 4.1.5. Una hipersuperfıcie es λ-convexa si per a qualsevol punt hi ha una hipersuperfıcieλ-convexa regular, S, que deixa tot un entorn del punt a l’interior de la part convexa de S.

Per la definicio de λ-convexitat es cert que tota hipersuperfıcie λ-convexa es λ′-convexa per aqualsevol λ′ < λ.

Diem que un domini es λ-convex si la vora es λ-convexa com a hipersuperfıcie.Els dominis 0-convexos son per definicio els dominis tals que totes les curvatures normals de la

seva vora son positives o 0. Es natural preguntar-se si els 0-convexos corresponen amb la nocio mesusual de convexos: donats dos punts diferents del domini el segment de geodesica mınima que elsuneix esta totalment contingut en el domini.

Comportament asimptotic de convexos a l’espai hiperbolic complex 77

La resposta es que tot convex per geodesiques es 0-convex pero en principi el recıproc no es cert.Les dues nocions sı que son equivalents en espais de curvatura constant i en varietats completes,simplement connexes de curvatura seccional no positiva (cf. [Ale77]).

Una nocio equivalent a la de 0-convex es la de localment convex . Diem que un domini Ω eslocalment convex si per a tot punt p ∈ ∂Ω les geodesiques per p tangents a ∂Ω no tallen el convex entot un entorn de p. Tambe es pot enunciar la nocio de localment convex afirmant que la hipersuperfıciegenerada per l’exponencial de l’espai tangent a la frontera del convex no talla el convex en tot unentorn de p (cf. [Bis75]).

Definicio 4.1.6. Diem que un convex es de classe C2 (resp. de classe C2 a trossos) si la seva fronteraes una hipersuperfıcie de classe C2 (resp. de classe C2 a trossos).

Diem que una successio de convexos Ω(t)t∈I tendeix a omplir tot l’espai si Ω(t1) ⊂ Ω(t2) quant1 < t2 i per a cada punt P de l’espai existeix un convex Ω(s) tal que P ∈ Ω(s).

Diem que una successio de convexos Ω(t)t∈I es λ-convexa si cada convex Ω(t) de la successioes λ-convex.

Definicio 4.1.7. Sigui Ω un domini i p ∈ ∂Ω.L’esfera inscrita a Ω en p es l’esfera mes gran continguda a Ω que es tangent a ∂Ω en el punt p.Una esfera inscrita a Ω es una esfera continguda a Ω amb radi maxim (no ha de ser unica).El radi d’una esfera inscrita en un domini s’anomena inradi.L’esfera circumscrita a Ω en p es l’esfera mes petita que conte Ω i es tangent a ∂Ω en el punt p.Una esfera circumscrita a Ω es una esfera que conte Ω amb radi mınim (no ha de ser unica).El radi d’una esfera circumscrita en un domini s’anomena circumradi.

Lema 4.1.8. Els dominis convexos Ω de classe C2 tenen en cada punt p una esfera tangent al convexinscrita en p i en algun punt una esfera circumscrita.

Els dominis convexos Ω de classe C2 a trossos tenen, en els punts p de classe C2, una esferatangent inscrita en p.

Demostracio. Fixem un punt p ∈ ∂Ω i considerem l’espai tangent a la frontera del convex en aquestpunt. Per a cada real positiu, hi ha una unica esfera que passa per p i te el mateix espai tangent enp que la frontera del convex.

Considerem un radi positiu prou petit per tal que l’esfera tangent al punt amb aquest radi estiguitotalment continguda al convex. Com que el convex es compacte podem augmentar el radi de l’esferade manera que a partir d’un cert radi, l’esfera tallara el convex. Per continuıtat podem afirmar queexisteix una esfera inscrita al convex en aquest punt.

Per altra banda, per ser el convex compacte, podem considerar una esfera que contingui el convex.Fixat el centre disminuım el radi de l’esfera. Per un radi prou petit l’esfera estara continguda alconvex, no en contindra cap punt o el tallara. En qualsevol cas, per continuıtat podem afirmar queexisteix una esfera circumscrita al convex en algun punt.

Pel cas en que el convex es de classe C2 a trossos podem provar que pels punts C2 existeix esferainscrita de la mateixa manera.

Pels convexos C2 a trossos no podem assegurar que existeixi esfera circumscrita en algun punt declasse C2. Pel raonament anterior, pot passar que el primer punt d’interseccio del convex i l’esferasigui un punt no C2 per a qualsevol esfera.

Els punts de la frontera d’un domini tals que hi ha una esfera inscrita s’anomenen punts admis-sibles (cf. [BZ88]).

4.1.3 Convexitat a CHn

Volem coneixer per a quins valors de λ ≥ 0 una successio de convexos de CHn que tendeixi a omplirtot l’espai es λ-convexa.


Provarem que pels convexos de classe C2 a trossos que son tan grans com vulguem λ ha de complirλ ≤ 1.

Per demostrar-ho donem primer relacions que ha de satisfer la curvatura normal en alguns puntsdels convexos. A partir d’aquestes trobarem acotacions per la curvatura normal en els punts declasse C2 dels convexos. Aixo permet donar el resultat per a successions de convexos que tendeixena omplir CHn.

Lema 4.1.9. Sigui Ω convex de CHn de classe C2. Suposem que en un punt p ∈ ∂Ω hi ha esferainscrita Si i circumscrita Sc tangents a ∂Ω en p. Llavors, se satisfa

kn,Sc(X) ≤ kn,Ω(X) ≤ kn,Si(X)

per a tot X ∈ TpM . Es a dir, la curvatura normal de l’esfera inscrita, kn,Si es mes gran que lacurvatura normal del convex direccio a direccio, que es mes gran que la curvatura normal de l’esferacircumscrita, kn,Sc.

Demostracio. Sigui N el vector normal exterior unitari a ∂Ω en el punt p. Sigui e1, ..., e2n−1 =−JN base de direccions principals de l’esfera inscrita. Observem que tambe es base de direccionsprincipals de l’esfera circumscrita ja que el vector normal de les dues esferes en el punt coincideix.

Sabem que les subvarietats de CHn generades per l’exponencial de N, ei en el punt p sontotalment geodesiques i coincideixen amb H2(−k2) on k = 2 si i = 2n − 1 i k = 1 altrament (cf.corol.lari 3.4.2).

A l’espai hiperbolic real H2 sabem que l’afirmacio de l’enunciat es certa (ho podem provar demanera analoga a la demostracio de 4.1.3), per tant, tambe ho sera per les direccions principals. Perles altres direccions tambe es cert per continuıtat i per ser els vectors X combinacio lineal de lesdireccions principals.

Recordem que a CHn les curvatures normals d’una esfera de radi r estan acotades entre coth(r) ≤kn ≤ 2 coth(2r) i per a cada punt es prenen tots els valors inclosos els extrems. Llavors, a partir delsdos lemes anteriors podem afirmar:

Proposicio 4.1.10. Sigui Ω ∈ CHn convex acotat.

• Si Ω es de classe C2 a trossos, la curvatura normal en cada punt p ∈ ∂Ω de classe C2 compleix:

kn,Ω ≤ 2 coth(2r)

per a cada direccio. (r denota el radi de l’esfera inscrita al convex en el punt p.)

• Si Ω es de classe C2, la curvatura normal en els punts p de ∂Ω on hi ha esfera circumscritacompleix:

coth(R) ≤ kn,Ω ≤ 2 coth(2r)

per a cada direccio. (r denota el radi de l’esfera inscrita en el punt p i R el radi de l’esferacircumscrita en el punt p.)

La proposicio anterior es valida per a qualsevol direccio pero, per algunes direccions, podemmillorar les desigualtats anteriors ja que coneixem les direccions de l’espai tangent en les quals lacurvatura normal en un punt d’una esfera pren el valor maxim i mınim.

Corol.lari 4.1.11. Sigui Ω ∈ CHn convex acotat i N vector normal en cada punt de ∂Ω.

• Si Ω es de classe C2 a trossos, en cada punt p ∈ ∂Ω, la curvatura normal en les direccions Xtals que N,X genera un pla totalment real compleix:

Kn,Ω(X) ≤ coth(r)

i per la direccio −JN compleix:

Kn,Ω(−JN) ≤ 2 coth(2r).

(r denota el radi de l’esfera inscrita al convex en el punt p.)


• Si Ω es de classe C2, en els punts p ∈ ∂Ω on hi ha esfera circumscrita, la curvatura normal enles direccions X tals que N,X genera un pla totalment real compleix:

coth(R) ≤ Kn,Ω(X) ≤ coth(r)

i per la direccio −JN compleix:

2 coth(2R) ≤ Kn,Ω(−JN) ≤ 2 coth(2r).

(r denota el radi de l’esfera inscrita i R el radi de l’esfera circumscrita al convex en el puntp.)

Estudiem les successions de convexos que tendeixen a omplir tot CHn. A [BGR01] es prova queen una varietat de Hadamard tal que la curvatura seccional compleix −k2

2 ≤ K ≤ −k21 nomes poden

existir successions de λ-convexos que tendeixen a omplir tot l’espai si λ ≤ k2.La geometria especıfica de l’espai hiperbolic complex fa que, en aquest espai, les successions de

λ-convexos que tendeixen a omplir tot l’espai nomes existeixin si λ ≤ k1.

Proposicio 4.1.12. En una varietat de Hadamard tal que les curvatures seccionals compleixen−k2

2 ≤ K ≤ −k21 les successions de convexos acotats de classe C2 a trossos que tendeixen a omplir

tot l’espai nomes poden ser λ-convexos amb λ ≤ k2.

Demostracio. Suposem que λ > k2. Per la λ-convexitat, a cada punt les curvatures normals hande ser mes grans que λ. A mes, per a cada punt de classe C2 hi ha una esfera inscrita amb radi r.Llavors, s’ha de complir, en alguna direccio

k2 < λ ≤ kn ≤ k2 coth(k2r)

d’on obtenim que r ≤ (1/k2)arctanh(k2/λ) i, per tant, el radi esta acotat.

Proposicio 4.1.13. A l’espai hiperbolic complex, CHn, si elegim que les curvatures seccionals com-pleixin −4 ≤ K ≤ −1, les successions de convexos acotats de classe C2 a trossos que tendeixen aomplir tot CHn nomes poden ser λ-convexos amb λ ≤ 1.

Demostracio. Per la definicio de λ-convexitat, es compleix que per a tot convex Ω(t) de la successio,per a tot punt p ∈ ∂Ω de classe C2 i per a alguna direccio X tangent a ∂Ω en p

λ ≤ kn,Ω(t)(X) ≤ kn,Si(X) = coth(r) (4.1)

on Si es l’esfera inscrita a Ω de radi r en el punt p.Aquest argument ha de servir per a tots els convexos de la successio, que tendeixen a omplir tot

l’espai. Per tant, podem considerar que l’esfera inscrita al convex, per convexos prou grans de lasuccessio, te r →∞ d’on coth(r) −−−→

r→∞1. Per les desigualtats de (4.1) cal que λ ≤ 1.

Observacio 4.1.14. L’argument que hem utilitzat per provar que a CHn no existeixen successions deconvexos que tendeixen a omplir tot l’espai amb λ > 1(= k1) es especıfic de CHn. Per varietats deHadamard arbitraries no es pot assegurar que en alguna direccio la curvatura normal d’una esferade radi r pren el valor mınim, k1 coth(k1r). Per varietats de Hadamard amb curvatura seccional Ksatisfent −k2

2 ≤ K ≤ −k21 nomes es pot assegurar que la curvatura normal kn d’una esfera de radi

r satisfa k1 coth(k1r) ≤ kn ≤ k2 coth(k2r) pero no que per alguna direccio es prenguin els valorsextrems (cf. [Pet98]).


4.1.4 Exemples de λ-convexos

A la seccio 3.4 hem donat exemples d’hipersuperfıcies de CHn i hem calculat la seva curvaturanormal. Algunes d’aquestes hipersuperfıcies donen exemples de convexos.

Son convexos:

• Boles de radi r, que son coth(r)-convexos.

• Horosferes, que son 1-convexos.

• Equidistants respecte CHp, 1 ≤ p < n, a distancia r, que son tanh(r)-convexos.

• Equidistants respecte RHn, a distancia r, que son tanh(r)-convexos.

Tambe es convexa la interseccio de dos conjunts convexos.Les hipersuperfıcies generades per l’exponencial en un punt (els bisectors) deixen espais no con-

vexos (cf. [Gol99]). Els discs, que estan continguts en un bisector tampoc son convexos. Aixı, elscilindres, tal com els hem definit a la pagina 71, tampoc son convexos.

Provem ara, que si considerem un cilindre no acotat, es a dir, el tub al voltant d’una geodesicai no nomes al voltant d’un segment de geodesica tenim un convex. Tambe donarem una manera demodificar el cilindre acotat de manera que segueixi sent convex.

Fixem una geodesica γ i un radi r. Per provar que el cilindre que obtenim fent el tub de radi r alvoltant de γ es una hipersuperfıcie convexa veurem que la segona forma fonamental es semidefinidaen cada punt. Utilitzem la seguent parametrizacio del cilindre:

φ : R× R+ × S2n−1 −→ CHn

(r, t, v) 7→ expγ(t)(rv)

on identifiquem S2n−1 amb l’espai normal en cada punt de γ(t).A partir de la parametritzacio anterior definim els camps

N = dφ(∂r)T = dφ(∂t)Ti = dφ(∂vi).

El camp N correspon amb el vector normal a les hipersuperfıcies definides per r = constant, pellema de Gauss.

Estudiem els valors de 〈−∇TN,T 〉 i 〈−∇TiN,Ti〉 per veure que tenen el mateix signe.Per la formula de Koszul i utilitzant que els camps T i Ti son ortogonals amb N i φ-relacionats

obtenim

2〈−∇TiN,Ti〉 = Ti〈N,Ti〉+N〈Ti, Ti〉 − Ti〈Ti, N〉 − 〈Ti, [N,Ti]〉+ 〈N, [Ti, Ti]〉+ 〈Ti, [Ti, N ]〉= N〈Ti, Ti〉.

Per tant, cal estudiar el signe de N〈Ti, Ti〉, que ens diu com varia la norma de Ti al llarg del vectornormal.

Ara, els camps T i Ti son camps de Jacobi ja que es poden veure com a variacio per geodesiques.En efecte,

Ti = dφ(r,t,v)(∂vi) = (d expγ(t)(rv))(∂vi) =∂ expγ(t)(r(v + s∂vi))

∂s

∣∣∣∣(r,0)

i

T = dφ(r,t,v)(∂t) = (d expγ(t)(rv))(∂t) =∂ expγ(t+s)(rv))

∂s

∣∣∣∣(r,0)

.


Com que els camps T i Ti son camps de Jacobi de CHn i sabem l’expressio d’aquests, podemcalcular la seva norma.

Ti es camp de Jacobi amb condicions inicials Ti(0) = 0 i T ′i (0) = vi. Pels calculs de la pagina 50tenim que Ti =

∑sinh(t)Ei(t) si Ei(t) es una base de camps paral.lels i N〈Ti, Ti〉 > 0.

El camp T es pot expressar com a combinacio lineal de sinh(t), cosh(t), sinh(2t) i cosh(2t) (pelscalculs de la pagina 71) i tambe N〈T, T 〉 > 0 i, per tant, hem provat:

Lema 4.1.15. Els cilindres definits com el tub al voltant d’una geodesica son convexos.

Ara volem definir una hipersuperfıcie tancada i acotada a partir dels cilindres anteriors per talde poder-ne calcular el quocient volum/area.

Sabem que les esferes son convexos (ja que totes les curvatures principals en cada punt sonpositives). Considerem el domini seguent: fixem un segment de geodesica γ i construım el tub deradi r al voltant d’aquest segment; en els dos extrems del segment considerem la bola de centreel punt i radi r. Provem que la frontera de la unio d’aquests tres dominis convexos ens dona unahipersuperfıcie tambe convexa.

Observem que cada una de les boles te la meitat continguda a l’interior del cilindre. Llavors,la unio dels tres dominis es connexa i els punts en els quals pot no ser convexa es en els puntsd’interseccio de les boles amb el tub. Busquem 2n− 1 direccions linealment independents de l’espaitangent en els punts conflictius de manera que per cada una d’aquestes puguem assegurar quelocalment l’exponencial des d’aquests punts i per a cada una de les 2n − 1 direccions suporta elcilindre i la bola (definicio de localment convex equivalent a la definicio de convexitat).

Fixem un punt conflictiu p. Considerem la geodesica α que uneix p i el punt mig del segmentde la geodesica γ, q. Per la direccio tangent a la geodesica γ considerem les 2n − 2 direccionslinealment independents que formen un pla totalment real amb γ′. Considerem tambe la direccioJγ′ que forma un pla complex amb γ′. Cada pla conte els punts p i q i es un H2(−1) o un H2(−4).Agafem, com a direccio que suporti, la projeccio del vector tangent a la geodesica que uneix p i qa la recta tangent al cilindre continguda en el pla. La circumferencia es tangent al cilindre en dospunts i per tots els altres punts la circumferencia esta a l’interior. Aixo es perque kn, esfera = coth(r),kn, cilindre = kn, equidistant = tanh(r) i coth(r) > tanh(r). Llavors, en els punts de tangencia l’esferaha de ser interior al cilindre. Aixo ens diu que el cilindre amb una esfera als extrems es convex.

Figura 4.3: Tall del cilindre amb un pla totalment real

De la mateixa manera podem provar que el domini definit com la interseccio del cilindre infinitamb la bola amb centre un punt de la geodesica que defineix el cilindre i radi mes gran que el radidel tub es convex. Els dos dominis son convexos i en els punts de la interseccio tambe ja que podemtrobar 2n− 1 direccions linealment independents que suporten el convex.

Els cilindres (tant acotats com no acotats) no son hipersuperfıcies homogenies. Es a dir, podemtrobar una parella de punts del cilindre tal que no existeix cap isometria que fixa el cilindre i queporta un punt a l’altre. En efecte, les isometries que fixen un cilindre infinit han de deixar invariantla geodesica γ a partir de la qual es defineix. Considerem una parella de punts p, q tals que laprojeccio a γ sigui el mateix punt i que el pla que conte γ i p tingui curvatura seccional diferent queel pla que conte γ i q. Llavors no pot existir cap isometria que porti un pla a l’altre i, per tant, nohi pot haver cap isometria que fixi el cilindre i porti p a q.

82 4.2 Quocient volum/area

4.2 Quocient volum/area

4.2.1 Antecedents

A l’espai euclidia Rn el quocient entre el volum i l’area de qualsevol successio de convexos que tendeixa omplir tot l’espai tendeix a infinit. En efecte, si els convexos son boles llavors es cert ja que elvolum d’una bola es una constant pel radi elevat a n i el de la seva frontera una constant pel radielevat a (n − 1). Per les altres successions podem considerar l’esfera inscrita i la circumscrita acada convex. Tant l’inradi (radi de l’esfera inscrita) com el circumradi (radi de l’esfera circumscrita)tendeixen a infinit quan el convex creix. El quocient entre el volum i l’area dels convexos de lasuccessio esta acotat entre el quocient de la successio d’esferes inscrites i el de les circumscrites, peroels dos tendeixen a infinit.

Aquest comportament no es troba a l’espai hiperbolic Hn(−1) on el quocient tendeix com amaxim a 1.

Els primers resultats sobre el comportament asimptotic de convexos a H2 son de l’any 1972 i elstrobem a [SY72b]. En aquest article es prova que si tenim una famılia Ω(t)t de h-convexos quetendeix a omplir tot H2 llavors

limt→∞

area(Ω(t))longitud(∂Ω(t))

= 1.

El 1985, a [GR85], es va provar que la formula anterior no es certa si en lloc de h-convexos esconsideren convexos (per geodesiques), sino que es poden trobar successions de convexos amb lımitqualsevol valor de l’interval [0, 1].

El primer resultat va ser generalitzat a [BM99] per a Hn on es va provar, per succession d’h-convexos, que

limt→∞


=1

n− 1.

A [GR99] es va provar la influencia de la nocio de λ-convexitat i els possibles valors pel quocient,provant que a H2 per a cada λ ∈ [0, 1] i per a cada α ∈ [λ, 1] existeix una successio de λ-convexosΩ(t)t, que tendeix a omplir tot H2, tal que

limt→∞


= α.

A [BV99] es donen les cotes per dimensio arbitraria provant que si Ω(t) es una famılia deλ-convexos que tendeix a omplir tot Hn llavors

λ

n− 1≤ lim inf

t→∞

volΩ(t)vol(∂Ω(t))

≤ lim supt→∞


≤ 1n− 1

, 0 ≤ λ ≤ 1.

En el mateix article tambe es va generalitzar el resultat en espais de Hadamard per a h-convexosobtenint que en una varietat de Hadamard de dimensio n tal que la curvatura seccional satisfa−k2

2 ≤ K ≤ −k21 llavors

1(n− 1)k2

≤ lim inft→∞


≤ lim supt→∞


≤ 1(n− 1)k1

.

Finalment, a [BGR01] es va considerar el concepte de λ-convexitat per a varietats de Riemann ies va trobar la seguent acotacio per a λ-convexos en una varietat de Hadamard n-dimensional

λ

(n− 1)k22

≤ lim inft→∞


≤ lim supt→∞


≤ 1(n− 1)k1

, 0 ≤ λ ≤ k2.

Per Hn sabem que les cotes son les millors possibles, es a dir, hi ha exemples de successionsde convexos que tendeixen a omplir tot Hn tals que el quocient volum/area tendeix al valor lımitsuperior en unes i al valor lımit inferior en altres (cf. [Sol03]). Aquesta questio no te sentit envarietats de Hadamard arbitraries. La varietat de curvatura negativa mes simple despres de Hn esCHn. Per aquests espai no es coneixia que passa.


4.2.2 Acotacio a CHn

En aquest apartat provarem que les cotes conegudes per varietats de Hadamard en general no sonles optimes ja que per l’espai hiperbolic complex es poden millorar. Aixo ho podrem fer gracies atenir l’expressio explıcita pel Jacobia de l’aplicacio exponencial.

Teorema 4.2.1. Sigui Ω(t)t∈R+ una famılia de dominis compactes λ-convexos (λ ≤ 1) que ten-deixen a omplir tot l’espai CHn, n ≥ 2. Llavors,

λ

4n≤ lim inf

t→∞


≤ lim supt→∞


≤ 12n.

Observacio 4.2.2. Les dues fites d’aquest teorema milloren les fites teoriques per varietats de Hada-mard en general. Substituint k2 = 2 i n per 2n a les fites obtingudes a [BGR01] obtenim, per la fita

inferiorλ

4(2n− 1)que es mes petit que

λ

4ni per la fita superior

12n− 1

que es mes gran que12n

.

Demostracio. Demostrem primer

lim supt→∞


≤ 12n.

Si substituım les expressions pel volum d’un convex i la seva frontera donades a (3.4) i (3.6) respec-tivament, i utilitzem que cosϕ ≤ 1 obtenim

vol(Ω(t))vol(∂Ω(t)) =

12n

∫S2n−1

sinh2n(l(u))dS2n−1∫S2n−1

sinh2n−1(l(u)) cosh(l(u))cosϕ

dS2n−1

≤

∫S2n−1

sinh2n(l(u))dS2n−1

2n∫S2n−1

sinh2n−1(l(u)) cosh(l(u))dS2n−1

≤ 12n

ja que ∫S2n−1

sinh2n(l(u))dS2n−1 ≤∫S2n−1


per ser sinh(x) ≤ cosh(x) ∀x ∈ R+.

Per demostrar

lim inft→∞


≥ λ

4n

utilitzarem un resultat de [BGR01] (teorema 1) que ens afirma que

si d(O, ∂Ω) ≥ arctanh(λ/k2)k2

llavors cosϕ ≥ λ

k2.

La condicio sera certa quan el convex sigui prou gran ja que el costat dreta es constant i l’esquerratendeix a infinit. Recordem que en el nostre cas k2 = 2.

84 4.3 Casos extrems

Aixı, tenim

vol(Ω(t))vol(∂Ω(t)) =

12n

∫S2n−1

sinh2n(l(u))dS2n−1∫S2n−1


dS2n−1

=

∫S2n−1

sinh2n−1(l(u)) cosh(l(u)) tanh(l(u))dS2n−1

2n∫S2n−1


dS2n−1

≥ tanh(r)λ

∫S2n−1


4n∫S2n−1


=λ

4ntanh(r) −−−→

r→∞

λ

4n

on r es la mınima distancia des de O (l’origen de coordenades polars que parametritzen el convex)fins a la frontera del convex.

4.3 Casos extrems

El teorema 4.2.1 ens dona els possibles valors pel lımit del quocient volum/area per qualsevol successiode convexos que tendeix a omplir tot CHn. En aquesta seccio provem que l’extrem superior es potdonar. Una successio de boles que tendeixi a omplir tot CHn, es λ-convexa per a qualsevol λ ∈ [0, 1]i el lımit del quocient pren el valor de la cota superior, 1/2n. Aixo ens permet assegurar que la cotasuperior donada no es pot millorar.

Fita superior Les boles ens proporcionen un exemple per la fita superior. Sabem que les bolesson λ-convexos per a qualsevol λ ∈ [0, coth(r)] ja que hem vist que les curvatures normals sempreson majors o iguals que coth(r) > 1. Si prenem una successio de boles Br amb centre p i radi r,quan fem tendir r a infinit les boles tendeixen a omplir tot l’espai, llavors, per les igualtats (3.9) i(3.10) obtenim

lim supvol(Br)vol(∂Br)

= lim supsinh2n(r)πnn!

2n sinh2n−1(r) cosh(r)πnn!= lim sup

tanh(r)2n

=12n.

Els cilindres modificats tambe ens proporcionen un exemple per la cota superior. Primer de tot,hem de definir una successio de convexos acotats que tendeixi a omplir tot l’espai formada a partirdels cilindres. Fixem un punt i un vector unitari de l’espai tangent en el punt. Considerem el segmentde geodesica de longitud L que te com a punt mig el fixat i vector tangent en aquest punt tambe elfixat. A partir d’aquesta corba construım el tub de radi r. Aixı, tenim definit un cilindre. Si femcreixer L i r tindrem una successio de cilindres que tendeix a omplir tot l’espai.

Per calcular el lımit del quocient utilitzem les formules (3.16) i (3.17) d’on obtenim

lim supr→∞,L→∞vol(Cr,L)

vol(∂Cr, L)

= lim supr→∞,L→∞

vol(S2n−2)L∫ r

0

(sinh2n−2(s)

(1 +

2n2n− 1

sinh2(s)))

ds+πn sinh2n(r)

n!2n

vol(S2n−2)L sinh2n−2(r)(

1 +2n

2n− 1sinh2(r)

)+πn

n!sinh2n−1(r) cosh(r)

.


Per trobar el valor del lımit separem en la suma de dos lımits i per a cada una calculem l’invers demanera que, utilitzant la regla de l’Hopital en el primer lımit, obtenim els quatre lımits seguents:

lim supr→∞,L→∞

sinh2n−2(r)(

1 +2n

2n− 1sinh2(r)

)∫ r

0

(sinh2n−2(s)

(1 +

2n2n− 1

sinh2(s)))

ds

= 2n

lim supr→∞,L→∞πn sinh2n−1(r) cosh(r)

n! vol(S2n−2)L∫ r

0

(sinh2n−2(s)

(1 +

2n2n− 1

sinh2(s)))

ds

= 0


n!2n vol(S2n−2)L(

1 +2n

2n− 1sinh2(r)

)πn sinh2(r)

= ∞

lim supr→∞,L→∞2n cosh(r)

sinh(r)= 2n.

Els dos primers corresponen a l’invers de la primera suma del quocient que volem calcular i els dosultims a l’invers de la segona suma. Llavors, obtenim


vol(Cr,L)vol(∂Cr, L)

=12n,

que es el valor de la cota superior a CHn.

Hem comentat que la interseccio d’un cilindre amb una esfera centrada en un punt de la geodesicaque determina el cilindre es un convex. Augmentant el radi del tub i de l’esfera obtenim tambe unasuccessio de convexos que tendeix a omplir tot CHn. Per aquesta successio tambe podem estudiar elquocient volum/area. El calcul explıcit d’aquest quocient es mes complicat ja que haurıem de sabercalcular el volum d’una part d’esfera. De totes maneres, el quocient tambe tendira a 1/2n sigui quinasigui l’esfera amb la qual fem la interseccio. En efecte, fixem una geodesica γ, un punt p ∈ γ, un radidel tub r i un radi de la bola centrada a p, R. El volum del domini que obtenim de la intersecciodels dos es pot separar en dos sumands.

Per una banda, tenim el volum del cilindre mes petit contingut al domini. Aquest no es delongitud 2R sino menor, posem a = a(r,R). Podem trobar el valor explıcit per aquesta a a partir deles formules de trigonometria hiperbolica a CHn de manera que obtenim

sinh2(a) = 2(

cosh2(R)cosh2(r)

− 1).

Aquest mınim es pren quan estem en un pla holomorf.

Per altra banda, tenim el volum de la part de bola que es del cilindre infinit. Aquest volumsempre sera mes petit que el volum de tota la bola de radi r que passa pels punts d’interseccio de labola de radi R amb el cilindre.

El volum de la frontera del convex tambe es pot separar en dos sumands de manera analoga.

Llavors en fer el quocient i calcular el lımit quan r, a tendeixen a infinit tambe el podem separar

86 4.3 Casos extrems

en quatre lımits de la mateixa manera i obtenim

lim supr→∞,a→∞

sinh2n−2(r)(

1 +2n

2n− 1sinh2(r)

)∫ r

0

(sinh2n−2(s)

(1 +

2n2n− 1

sinh2(s)))

ds

= 2n

lim supr→∞,a→∞volum de la frontera del tros de bola

n! vol(S2n−2)a∫ r

0

(sinh2n−2(s)

(1 +

2n2n− 1

sinh2(s)))

ds

≤ lim supr→∞,a→∞

πn sinh2n−1(r) cosh(r)

n! vol(S2n−2)a∫ r

0

(sinh2n−2(s)

(1 +

2n2n− 1

sinh2(s)))

ds

= 0

lim supr→∞,a→∞

vol(S2n−2)a sinh2n−2(r)(

1 +2n

2n− 1sinh2(r)

)volum del tros de bola

≥ lim supr→∞,a→∞

n!2n vol(S2n−2)a(

1 +2n

2n− 1sinh2(r)

)πn sinh2(r)

= ∞

lim supr→∞,a→∞volum del tros de bola

volum de la frontera del tros de bola

El valor de l’ultim lımit no modificara al resultat ja que ha de ser un nombre positiu que sumarema infinit.

El valor del quocient, en aquesta situacio, nomes pot tendir a un valor mes petit que 1/2n siel valor del segon lımit es estrictament positiu pero en el primer cas ja estem en la situacio que elnumerador pren el valor mes gran possible (cf. figura 4.3).

Fins aquı hem trobat les cotes pel quocient volum/area de les successions de convexos de l’espaihiperbolic complex que tendeixen a omplir tot l’espai i hem provat que la cota superior donada esla millor possible. Per completar l’estudi de les fites superior i inferiors d’aquest quocient a CHn

cal trobar exemples de successions de convexos que tendeixen a omplir tot l’espai i que el quocientvolum/area tendeixi a la cota inferior trobada o be provar que aquesta es pot millorar.

Bibliografia

[AGV81] E. Abbena, A. Gray, and L. Vanhecke. Steiner’s formula for the volume of a parallel hyper-surface in a Riemannian manifold. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 8(3):473–493,1981.

[Ale77] S. Alexander. Locally convex hypersurfaces of negatively curved spaces. Proc. Amer. Math.Soc., 64(2):321–325, 1977.

[BDR05] Jurgen Berndt and Jose Carlos Dıaz-Ramos. Real hypersurfaces with constant principalcurvatures in complex hyperbolic space. arXiv:math.DG/0507361 v1, 2005.

[Ber57] Lipman Bers. Riemann surfaces: 1957-58 / Lipman Bers ; notes by E. Rodlitz and R.Pollack. New York : Courant Institute of Mathematical Sciences. 1957.

[BGR01] A. A. Borisenko, E. Gallego, and A. Reventos. Relation between area and volume forλ-convex sets in Hadamard manifolds. Differential Geom. Appl., 14(3):267–280, 2001.

[Bis75] Richard L. Bishop. Infinitesimal convexity implies local convexity. Indiana Univ. Math.J., 24:169–172, 1974/75.

[Bla76] David E. Blair. Contact manifolds in Riemannian geometry. Springer-Verlag, Berlin, 1976.Lecture Notes in Mathematics, Vol. 509.

[BM99] Alexandr A. Borisenko and Vicente Miquel. Total curvatures of convex hypersurfaces inhyperbolic space. Illinois J. Math., 43(1):61–78, 1999.

[BT04] Jurgen Berndt and Hiroshi Tamaru. Cohomogeneity one actions on noncompact symmetricspaces with a totally geodesic singular orbit. Tohoku Math. J. (2), 56(2):163–177, 2004.

[BV99] A. A. Borisenko and D. I. Vlasenko. Asymptotic behavior of volumes of convex bodies ina Hadamard manifold. Mat. Fiz. Anal. Geom., 6(3-4):223–233, 1999.

[BZ88] Yu. D. Burago and V. A. Zalgaller. Geometric inequalities, volume 285 of Grundlehrender Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences].Springer-Verlag, Berlin, 1988. Translated from the Russian by A. B. Sosinskiı, SpringerSeries in Soviet Mathematics.

[CE75] Jeff Cheeger and David G. Ebin. Comparison theorems in Riemannian geometry. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1975. North-Holland Mathematical Library, Vol.9.

[Che67] S. S. Chern. Complex manifolds without potential theory. Van Nostrand MathematicalStudies, No. 15. D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, N.J.-Toronto, Ont.-London, 1967.

[DFP05] Martin Deraux, Elisha Falbel, and Julien Paupert. New constructions of fundamentalpolyhedra in complex hyperbolic space. Acta Math., 194(2):155–201, 2005.

87

88 BIBLIOGRAFIA

[Eps87] D. B. A. Epstein. Complex hyperbolic geometry. In Analytical and geometric aspects ofhyperbolic space (Coventry/Durham, 1984), volume 111 of London Math. Soc. Lecture NoteSer., pages 93–111. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987.

[GG00] Claudio Gorodski and Nikolay Gusevskii. Complete minimal hypersurfaces in complexhyperbolic space. Manuscripta Math., 103(2):221–240, 2000.

[GH78] Phillip Griffiths and Joseph Harris. Principles of algebraic geometry. Wiley-Interscience[John Wiley & Sons], New York, 1978. Pure and Applied Mathematics.

[Gol99] William M. Goldman. Complex hyperbolic geometry. Oxford Mathematical Monographs.The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1999. Oxford Science Publica-tions.

[GP92a] William M. Goldman and John R. Parker. Complex hyperbolic ideal triangle groups. J.Reine Angew. Math., 425:71–86, 1992.

[GP92b] William M. Goldman and John R. Parker. Dirichlet polyhedra for dihedral groups actingon complex hyperbolic space. J. Geom. Anal., 2(6):517–554, 1992.

[GR85] E. Gallego and A. Reventos. Asymptotic behavior of convex sets in the hyperbolic plane.J. Differential Geom., 21(1):63–72, 1985.

[GR99] Eduardo Gallego and Agustı Reventos. Asymptotic behaviour of λ-convex sets in thehyperbolic plane. Geom. Dedicata, 76(3):275–289, 1999.

[Gra04] Alfred Gray. Tubes, volume 221 of Progress in Mathematics. Birkhauser Verlag, Basel,second edition, 2004. With a preface by Vicente Miquel.

[GV81] A. Gray and L. Vanhecke. The volumes of tubes in a Riemannian manifold. Rend. Sem.Mat. Univ. Politec. Torino, 39(3):1–50 (1983), 1981.

[GV82] A. Gray and L. Vanhecke. The volumes of tubes about curves in a Riemannian manifold.Proc. London Math. Soc. (3), 44(2):215–243, 1982.

[Hel01] Sigurdur Helgason. Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, volume 34 ofGraduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.Corrected reprint of the 1978 original.

[Hsi98] Po-Hsun Hsieh. Linear submanifolds and bisectors in CHn. Forum Math., 10(4):413–434,1998.

[Hsi99] Po-Hsun Hsieh. Semilinear submanifolds in complex hyperbolic space. Forum Math.,11(6):673–694, 1999.

[KH83] Shoshichi Kobayashi and Camilla Horst. Topics in complex differential geometry. InComplex differential geometry, volume 3 of DMV Sem., pages 4–66. Birkhauser, Basel,1983.

[KN63] Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu. Foundations of differential geometry. Vol I.Interscience Publishers, a division of John Wiley & Sons, New York-Lond on, 1963.

[KN69] Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu. Foundations of differential geometry. Vol.II. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 15 Vol. II. IntersciencePublishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney, 1969.

[MK71] James Morrow and Kunihiko Kodaira. Complex manifolds. Holt, Rinehart and Winston,Inc., New York, 1971.

BIBLIOGRAFIA 89

[Mon84] Sebastian Montiel. Hipersuperfıcies reales del espacio hiperbolico complejo, Tesis. Univer-sidad de Granada, 1984.

[Mon85] Sebastian Montiel. Real hypersurfaces of a complex hyperbolic space. J. Math. Soc. Japan,37(3):515–535, 1985.

[Mos80] G. D. Mostow. On a remarkable class of polyhedra in complex hyperbolic space. PacificJ. Math., 86(1):171–276, 1980.

[NR97] Ross Niebergall and Patrick J. Ryan. Real hypersurfaces in complex space forms. In Tightand taut submanifolds (Berkeley, CA, 1994), volume 32 of Math. Sci. Res. Inst. Publ.,pages 233–305. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997.

[O’N83] Barrett O’Neill. Semi-Riemannian geometry, volume 103 of Pure and Applied Mathema-tics. Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], New York, 1983. Withapplications to relativity.

[Pet98] Peter Petersen. Riemannian geometry. Springer-Verlag, New York, 1998.

[Rat94] John G. Ratcliffe. Foundations of hyperbolic manifolds, volume 149 of Graduate Texts inMathematics. Springer-Verlag, New York, 1994.

[San04] Luis A. Santalo. Integral geometry and geometric probability. Cambridge MathematicalLibrary. Cambridge University Press, Cambridge, second edition, 2004. With a forewordby Mark Kac.

[Sch93] Rolf Schneider. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, volume 44 of Encyclopediaof Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

[Sol03] Gil Solanes. Integrals de curvatura i geometria integral a l’espai hiperbolic, Tesis. Univer-sitat Autonoma de Barcelona, 2003.

[Spi79a] Michael Spivak. A comprehensive introduction to differential geometry. Vol. I. Publish orPerish Inc., Wilmington, Del., second edition, 1979.

[Spi79b] Michael Spivak. A comprehensive introduction to differential geometry. Vol. IV. Publishor Perish Inc., Wilmington, Del., second edition, 1979.

[SY72a] L. A. Santalo and I. Yanez. Averages for polygons formed by random lines in Euclideanand hyperbolic planes. J. Appl. Probability, 9:140–157, 1972.

[SY72b] L. A. Santalo and I. Yanez. Averages for polygons formed by random lines in Euclideanand hyperbolic planes. J. Appl. Probability, 9:140–157, 1972.

[War71] Frank W. Warner. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Scott, Foresmanand Co., Glenview, Ill.-London, 1971.

[YK84] Kentaro Yano and Masahiro Kon. Structures on manifolds, volume 3 of Series in PureMathematics. World Scientific Publishing Co., Singapore, 1984.

Index alfabetic

2-forma fonamental, 82-punts homogeni, 303-punts homogeni, 30

Ad(H)-invariant, 22aixecament horitzontal, 35algebra de Lie, 17angle

complex, 44d’holomorfia, 13entre dos plans, 13

aplicacio exponencial, 18atlas holomorf, 3automorfisme d’espais vectorials, 1

bisector, 61bisectors

cospinal, 65debilment coequidistants, 66estrictament coequidistants, 66

Cp-pla, 43camp

de Fermi normal, 54de Fermi tangent, 54de Jacobi, 47invariant dreta, 17invariant esquerra, 17, 19

cilindre a CHn, 71circumradi, 77claudator de Lie, 17condicions d’integrabilitat, 4conjugacio, aplicacio, 2convex de classe C2, 77coordenades

de Fermi, 53normals geodesiques, 53polars, 50

corba integral, 19curvatura

holomorfa, 13normal, 59seccional, 12

disc, 60disc a CHn, 64

equidistant sobreCHp, 72RHn, 73

esfera, 55circumscrita, 77circumscrita tangent en un punt, 77inscrita, 77inscrita tangent en un punt, 77

espaihiperbolic complex, 3, 8, 12, 25, 27, 33, 37homogeni, 20isotropic, 25projectiu complex, 3simetric, 21tangent

complex, 6complexificat, 4holomorf, 5real, 4

vectorialcomplex a partir d’un espai vectorial real,

1complexificat, 2

espinacomplexa d’un bisector, 61d’un bisector, 61

estructuracomplexa, 6quasi-complexa, 4, 6

forma de Kahler, 8funcio potencial de Kahler, 10

geodesica complexa, 43geodesicament complet, 23GL(n,C), 16GL(n,R), 16grup

d’isotropia, 21de Lie, 15

90

INDEX ALFABETIC 91

uniparametric, 19

hipersuperfıcieλ-convexa, 76λ-convexa regular, 76de Hopf, 59, 74homogenia, 60, 74paralela, 67totalment geodesica, 40totalment umbilical, 40tubular, 54

horosfera a CHn, 55

identitat de Jacobi, 17inradi, 77

J, automorfisme, 1J-base, 6

λ-convex, 76λ-geodesica de H2, 76llesca d’un bisector, 62localment convex, 77

metricabi-invariant, 20de Bergmann, 3, 27hermıtica, 4invariant per l’esquerra, 20invariant per la dreta, 20

meridia d’un bisector, 63model

del disc, 27del paraboloide, 33

O(n), 16O(p, q), 16ordre de contacte r entre dues metriques, 10

pla totalment real, 15, 43PO(1, n), 16producte hermıtic, 2

no-degenerat, 25PU(p, q), 16

Rp-pla, 43referencia mobil al llarg d’una geodesica, 48

seccio holomorfa, 12simetria global, 21, 37SO(p, q), 16subespai

horitzontal, 22vectorial totalment real, 43vertical, 22

submersio riemanniana, 23subvarietat

lineal, 63semi-riemanniana, 35totalment real, 43

subvarietat lineal, 43successio

de λ-convexos, 77de convexos que tendeix a omplir tot l’espai,

77superfıcie espinal, 61SU(p, q), 16

tensor de Nijenhuis-Newlander, 4teorema de

Myers-Steenrod, 21tipus d’un producte hermıtic, 25translacio

a l’esquerra, 17, 20a la dreta, 17, 20

tub, 67

U(n), 16U(p, q), 16

vertex d’un bisector, 61varietat

complexa, 3de Hadamard, 25de Kahler, 9quasi-complexa, 4quasi-Kahler, 9

judit abardia bochaca juny de 2006 - uab barcelonamat.uab.cat/~juditab/chn.pdf · 2007. 7. 26. ·...

Documents