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RIGIDEZ ROTACIONAL DE UNIONES ENTRE VIGA Y POSTE
CON CHAPA FRONTAL ATORNILLADA Y SOLDADAS
Juan TomΓ‘s CeligΓΌeta
Agosto 2018
RIGIDEZ ROTACIONAL DE UNIONES ENTRE VIGA Y POSTE CON CHAPA FRONTAL ATORNILLADA Y SOLDADAS
Copyright Β© 2018 por Juan TomΓ‘s CeligΓΌeta y tecnun (Universidad de Navarra).
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CONTENIDO
1 IntroducciΓ³n ............................................................................................................................... 1
2 Modelo de rigidez rotacional ..................................................................................................... 1
2.1 SimplificaciΓ³n del modelo de rigidez .................................................................................. 2
3 ClasificaciΓ³n de las uniones ........................................................................................................ 3
3.1 Por la continuidad del giro ................................................................................................. 3
3.2 Por su rigidez ...................................................................................................................... 4
4 Modelo de rigidez de una uniΓ³n entre perfiles en H ................................................................. 5
5 Rigidez rotacional de una uniΓ³n. ExpresiΓ³n general .................................................................. 5
5.1 Brazo de palanca y centro de compresiones ..................................................................... 6
6 Rigidez de los componentes bΓ‘sicos .......................................................................................... 6
6.1 Alma de columna a cortante .............................................................................................. 7
6.2 Alma de columna a compresiΓ³n ......................................................................................... 7
6.3 Alma de columna a tracciΓ³n ............................................................................................... 8
6.4 Ala de la columna a flexiΓ³n ................................................................................................ 9
6.5 Chapa frontal a flexiΓ³n ....................................................................................................... 9
6.6 Tornillos a tracciΓ³n ........................................................................................................... 10
7 UniΓ³n viga β poste con chapa frontal ...................................................................................... 10
7.1 Rigidez efectiva de una fila de tornillos a tracciΓ³n ........................................................... 10
7.2 Rigidez equivalente de un grupo de filas de tornillos a tracciΓ³n ..................................... 11
7.3 Rigidez equivalente de la uniΓ³n ....................................................................................... 13
8 UniΓ³n viga β viga con chapa frontal ......................................................................................... 16
9 MΓ©todo simplificado para uniones con dos filas de tornillos .................................................. 17
9.1 UniΓ³n viga β poste ............................................................................................................ 17
9.2 UniΓ³n viga - viga ............................................................................................................... 18
10 UniΓ³n viga β poste soldada .................................................................................................. 19
11 Ejemplos ............................................................................................................................... 20
11.1 Ejemplo 1. UniΓ³n atornillada viga poste .......................................................................... 20
11.2 Ejemplo 2. UniΓ³n atornillada viga poste rigidizada .......................................................... 22
11.3 Ejemplo 3. UniΓ³n soldada viga poste ............................................................................... 23
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
1
1 IntroducciΓ³n
La rigidez rotacional de una uniΓ³n entre viga y poste o viga y viga con perfiles en I o H, atornillada o soldada, se determina a partir de la rigidez de sus componentes bΓ‘sicos, que se combinan de forma adecuada para proporcionar la rigidez de la uniΓ³n al giro.
La normativa aplicable al diseΓ±o de este tipo de uniones es:
β’ EurocΓ³digo 3: EN 1993-1-8, Proyecto de Estructuras de Acero, Parte 1-8: Uniones, artΓculo 6.3 Rigidez rotacional.
β’ EAE: InstrucciΓ³n de Acero Estructural. ArtΓculo 62.3.
β’ CTE: CΓ³digo TΓ©cnico de la EdificaciΓ³n. Documento bΓ‘sico DB-SE-A Seguridad Estructural, Acero, artΓculo 8.8.6 (14).
2 Modelo de rigidez rotacional
El diagrama momento β rotaciΓ³n para una uniΓ³n se muestra en la Figura 1. El ella se distinguen tres zonas: la rama lineal, la rama de plastificaciΓ³n no lineal y la rama de gran deformaciΓ³n.
M
Ο
Mj,Rd
Sj
Sj,ini
Mj,Rd23
Mj,Ed
ΟEd ΟXd Figura 1. Diagrama momento - rotaciΓ³n de una uniΓ³n
La rigidez de la rama lineal se denomina ππππ,ππππππ y existen mΓ©todos para calcularla, que se explican mΓ‘s adelante. La rigidez de la rama no lineal se estima como:
ππππ =ππππ,ππππππ
ππ
El coeficiente ππ tiene en cuenta la no-linealidad del sistema, pues cuando el momento aplicado se acerca al momento de resistencia, la rigidez disminuye. Por ejemplo, si πππΈπΈπΈπΈ = 0.9 ππππ,π π πΈπΈ se obtiene ππ = 2.24. Su valor, para uniones soldadas y atornilladas con chapa frontal se indica en la Tabla 1.
El exponente ππ tiene en cuenta el tipo de uniΓ³n, de acuerdo con la Tabla 2.
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
2
πππΈπΈπΈπΈ β€23
ππππ,π π πΈπΈ ππ = 1
23
ππππ,π π πΈπΈ < πππΈπΈπΈπΈ β€ ππππ,π π πΈπΈ ππ = οΏ½1.5 πππΈπΈπΈπΈ
ππππ,π π πΈπΈοΏ½ππ
Tabla 1. Coeficiente de no linealidad de la uniΓ³n
Tipo de uniΓ³n ππ
Soldada 2.7
Atornillada con chapa frontal 2.7
Atornillada con casquillos de angular L en las alas 3.1
Tabla 2. Exponente de no linealidad de la uniΓ³n
2.1 SimplificaciΓ³n del modelo de rigidez
El modelo de rigidez rotacional es no lineal debido al coeficiente ππ. Si se va a efectuar un anΓ‘lisis de la estructura en el rango lineal para calcular las deformaciones y esfuerzos, dicho modelo de rigidez lo transforma en no lineal.
Como simplificaciΓ³n, puede emplearse para el cΓ‘lculo de deformaciones y esfuerzos, en el rango lineal, una rigidez corregida a travΓ©s de un coeficiente ππ constante que sustituye a ππ:
ππππ =ππππ,ππππππ
ππ
El valor de ππ se indica en la Tabla 3.
Tipo de uniΓ³n Viga-pilar Otras
Soldada 2 3
Atornillada con chapa frontal 2 3
Casquillos atornillados al ala 2 3.5
Tabla 3. Coeficiente de rigidez constante equivalente
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
3
M
Ο
Mj,Rd
Sj,ini
Ξ·Sj,ini
Figura 2. Rigidez corregida para un modelo lineal
3 ClasificaciΓ³n de las uniones
3.1 Por la continuidad del giro
Se distinguen tres tipos de uniones, en funciΓ³n de la continuidad del giro entre las piezas unidas (Figura 3):
β’ Uniones rΓgidas: tienen suficiente rigidez rotacional como para garantizar una continuidad total de giros πππ΅π΅ = πππΆπΆ.
β’ Uniones semirrΓgidas: su rigidez no garantiza la continuidad total del giro πππ΅π΅ β πππΆπΆ.
β’ Uniones nominalmente articuladas: transmiten fuerzas, pero sin desarrollar momentos significativos que impidan su capacidad de rotaciΓ³n. Deben ser capaces de absorber las rotaciones resultantes.
ΞΈ
ΞΈ
ΞΈb
ΞΈc Ο
Figura 3. UniΓ³n rΓgida (izquierda) y semi-rΓgida (derecha)
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
4
3.2 Por su rigidez
Las uniones se pueden clasificar por su rigidez, en funciΓ³n de su caracterΓstica momento β rotaciΓ³n (Figura 4).
M
Ο
Figura 4. ClasificaciΓ³n de las uniones por su rigidez
β’ Uniones rΓgidas (1)
Cuando se cumple que la rigidez rotacional es superior a un cierto valor:
ππππ,ππππππ β₯ ππππ πΈπΈπΌπΌπππΏπΏππ
Siendo:
πΌπΌππ la inercia y πΏπΏππ la longitud de la viga.
ππππ = 8 Estructuras donde el arriostramiento reduce el desplazamiento horizontal en un 80%
ππππ = 25 Otras estructuras, siempre que: πΎπΎπππΎπΎππβ₯ 0.1
πΎπΎππ Valor medio de πΌπΌππ/πΏπΏππ para todas las vigas en la parte superior de la planta, siendo πΌπΌππ la inercia y πΏπΏππ la longitud de una viga.
πΎπΎππ Valor medio de πΌπΌππ/πΏπΏππ para todos los pilares de la planta, siendo πΌπΌππ la inercia y πΏπΏππ la longitud de un pilar.
Si πΎπΎπππΎπΎππ
< 0.1 la uniΓ³n se considerarΓ‘ como semirrΓgida.
β’ Uniones articuladas (3)
Cuando la rigidez rotacional es baja, inferior a:
ππππ,ππππππ β€ 0.5 πΈπΈπΌπΌπππΏπΏππ
Siendo πΌπΌππ la inercia y πΏπΏππ la longitud de la viga.
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
5
β’ Uniones semirrΓgidas (2)
Cuando la rigidez estΓ‘ comprendida entre los valores lΓmite anteriores:
ππππ πΈπΈπΌπΌπππΏπΏππ
β€ ππππ,ππππππ β€ 0.5 πΈπΈπΌπΌπππΏπΏππ
Siendo πΌπΌππ la inercia de la viga, πΏπΏππ su longitud y ππππ el coeficiente definido arriba.
4 Modelo de rigidez de una uniΓ³n entre perfiles en H
Los componentes flexibles de la uniΓ³n se modelizan como muelles discretos (Figura 5).
Zona de tracciΓ³n, para una fila cualquiera de tornillos (ππ): β’ Alma de la columna a tracciΓ³n: ππ3ππ β’ Ala de la columna a flexiΓ³n: ππ4ππ β’ Tornillos: ππ10ππ β’ Chapa frontal a flexiΓ³n: ππ5ππ
Zona de compresiΓ³n: β’ Alma de la columna a cortante: ππ1 β’ Alma de la columna a compresiΓ³n: ππ2
k3,r
Ο
Ο
k4,r k5,rk10,r
k1 k2
Figura 5. Modelo de rigidez entre perfiles en H
5 Rigidez rotacional de una uniΓ³n. ExpresiΓ³n general
De forma general la rigidez rotacional de una uniΓ³n de los tipos considerados es (Figura 5):
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
6
ππππ =πΈπΈ π§π§2
ππ β 1ππππ
La rigidez de los componentes bΓ‘sicos se representa por unos coeficientes de rigidez elΓ‘stica ππππ. La suma de los inversos de los coeficientes de rigidez se extiende a todos aquellos que se combinan en serie.
π§π§ es el brazo de palanca de la uniΓ³n, que se deduce a continuaciΓ³n y πΈπΈ el mΓ³dulo de elasticidad del material.
El coeficiente ππ, indicado antes, tiene en cuenta la no linealidad de la uniΓ³n.
5.1 Brazo de palanca y centro de compresiones
Se considera la situaciΓ³n habitual de un momento que produce tracciones en el ala superior de la viga y compresiones en la inferior. En este caso, el centro de compresiones se considera situado en lΓnea con el semi-espesor del ala de compresiΓ³n.
El brazo de palanca de la uniΓ³n π§π§, se determina como (Figura 6):
β’ UniΓ³n soldada: distancia del centro de compresiones al eje del ala superior.
β’ UniΓ³n atornillada con chapa frontal con una fila ΓΊnica de tornillos a tracciΓ³n: distancia del centro de compresiones a la fila de tornillos a tracciΓ³n.
β’ UniΓ³n atornillada con chapa frontal extendida con dos filas de tornillos a tracciΓ³n: distancia del centro de compresiones al punto intermedio entra las dos filas de tornillos.
β’ UniΓ³n atornillada con chapa frontal con dos o mΓ‘s filas de tornillos a tracciΓ³n. Como valor aproximado se puede emplear la distancia del centro de compresiones al punto intermedio entre las dos filas de tornillos mΓ‘s alejadas. Como valor mΓ‘s preciso puede usarse el brazo de palanca equivalente π§π§ππππ definido mΓ‘s adelante.
z Mj z Mj Mjz Mj
z
Figura 6. Brazo de palanca
6 Rigidez de los componentes bΓ‘sicos
La rigidez de los componentes de la uniΓ³n estΓ‘ basada en expresiones empΓrico-analΓticas. La tabla 6.11 de EN 1993-1-8, apartado 6.3.2 indica sus valores. EstΓ‘n todos ellos escalados el mΓ³dulo de elasticidad πΈπΈ, por lo que sus dimensiones son de ππππ.
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
7
6.1 Alma de columna a cortante
β’ Columna sin rigidizar. Para uniΓ³n por un solo lado, o para uniΓ³n a ambos lados con vigas de canto semejante (Figura 7).
ππ1 =0.38 π΄π΄πππππ½π½ π§π§
π΄π΄ππππ: Γ‘rea a cortante del pilar.
π½π½: parΓ‘metro de transformaciΓ³n usado para calcular la resistencia a cortante del alma del pilar.
π§π§: brazo de palanca de la uniΓ³n.
β’ Columna rigidizada: ππ1 = β
k1 k2
Figura 7. Rigidez del alma de la columna a cortante (ππ1) y a compresiΓ³n (ππ2)
6.2 Alma de columna a compresiΓ³n
β’ Columna sin rigidizar (Figura 7):
ππ2 =0.7 ππππππππ,ππ,π€π€ππ π‘π‘π€π€ππ
ππππ
ππππππππ,ππ,π€π€ππ: anchura eficaz del poste a compresiΓ³n usada en el cΓ‘lculo de resistencia a compresiΓ³n. Para una uniΓ³n atornillada, se debe tomar como:
ππππππππ,ππ,π€π€ππ = π‘π‘ππππ + 2β2 ππππ + 5οΏ½π‘π‘ππππ + πππποΏ½ + π π ππ
Siendo ππππ la garganta de la soladura de la chapa frontal a la viga y π π ππ la longitud obtenida mediante dispersiΓ³n a 45ΒΊ a travΓ©s de la chapa frontal, al menos π‘π‘ππ hasta 2 π‘π‘ππ, siempre que la longitud de la chapa debajo del ala sea suficiente.
Para una uniΓ³n soldada se debe tomar ππππππππ,π‘π‘,π€π€ππ = ππ βππππ, donde βππππ es la altura efectiva de la parte de alma del poste que soporta la tracciΓ³n, utilizada en el cΓ‘lculo de resistencia de la uniΓ³n:
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
8
βππππ = π‘π‘ππππ + 2β2 ππππ + 5(π‘π‘ππππ + ππππ)
Siendo ππππ la garganta de la soldadura del ala de la viga al poste y ππππ el radio de acuerdo ala-alma de la columna.
El factor ππ tiene en cuenta la posible abolladura del alma del poste, si Γ©sta estΓ‘ muy comprimida, y se determina en el cΓ‘lculo de la resistencia de la uniΓ³n, en funciΓ³n de la esbeltez de la zona que puede pandear οΏ½Μ οΏ½πππ, de dimensiones βππππ Γ ππππ:
οΏ½Μ οΏ½πππ = 0.932οΏ½βππππ ππππ πππ¦π¦πππΈπΈ π‘π‘π€π€ππ2
οΏ½Μ οΏ½πππ β€ 0.72 ππ = 1 οΏ½Μ οΏ½πππ > 0.72 ππ = πποΏ½ππβ0.22πποΏ½ππ2
ππππ: canto del alma del poste (zona recta del alma).
π‘π‘π€π€ππ: espesor del alma del pilar.
β’ Columna rigidizada: ππ2 = β
6.3 Alma de columna a tracciΓ³n
β’ En una uniΓ³n atornillada, rigidizada o no, para una sola fila de tornillos a tracciΓ³n (Figura 9), o en una uniΓ³n soldada sin rigidizar, su valor es:
ππ3 =0.7 ππππππππ,π‘π‘,π€π€ππ π‘π‘π€π€ππ
ππππ
ππππππππ,π‘π‘,π€π€ππ: anchura eficaz del alma del pilar a tracciΓ³n. Para uniones atornilladas, debe tomarse igual a la menor de las longitudes eficaces ππππππππ para la fila de tornillos estudiada, individualmente o como parte de un grupo de filas, tanto para alas rigidizadas o no.
Para una uniΓ³n soldada se debe tomar ππππππππ,π‘π‘,π€π€ππ = βππππ, siendo βππππ la altura efectiva de la parte de alma del poste que soporta la tracciΓ³n utilizada en el cΓ‘lculo de resistencia de la uniΓ³n ya definida.
ππππ: canto del alma del poste (zona recta del alma).
π‘π‘π€π€ππ: espesor del alma del pilar.
β’ Alma de la columna a tracciΓ³n, en uniΓ³n soldada rigidizada. ππ3 = β
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
9
k3
k3
Figura 8. Rigidez del alma de la columna a tracciΓ³n
6.4 Ala de la columna a flexiΓ³n
En una conexiΓ³n atornillada, para una sola fila de tornillos a tracciΓ³n (Figura 9).
ππ4 =0.9 ππππππππ π‘π‘ππππ3
ππ3
ππππππππ: la menor de las longitudes eficaces para la fila de tornillos, individualmente o como parte de un grupo de filas, tanto para alas rigidizadas o no.
ππ: distancia del eje de tornillos a la lΓnea de formaciΓ³n de la rΓ³tula plΓ‘stica.
π‘π‘ππππ: espesor del ala de la columna.
k4
k4
m
tfc
Figura 9. Rigidez del ala de la columna a flexiΓ³n
6.5 Chapa frontal a flexiΓ³n
En una conexiΓ³n atornillada, para una sola fila de tornillos a tracciΓ³n (Figura 10):
ππ5 =0.9 ππππππππ π‘π‘ππ3
ππ3
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
10
ππππππππ: menor de las longitudes eficaces para la fila de tornillos, individualmente o como parte de un grupo de filas. ππ: distancia del eje de tornillos a la lΓnea de formaciΓ³n de la rΓ³tula plΓ‘stica (Figura 10). Para la fila de tornillos situada en la chapa extendida, tomar πππ₯π₯ en lugar de ππ.
k5
tp
m
Lb
Figura 10. Rigidez de la chapa frontal a flexiΓ³n (izquierda) y de una fila de tornillos (derecha)
6.6 Tornillos a tracciΓ³n
Para una sola fila de tornillos, pretensados o no, de Γ‘rea individual π΄π΄π π (Figura 10):
ππ10 =1.6 As πΏπΏππ
πΏπΏππ: longitud de alargamiento del tornillo, cuyo valor es:
πΏπΏππ = π‘π‘ππππ + π‘π‘ππ + π‘π‘π€π€π€π€π π βππππ +π‘π‘πππππ‘π‘ + π‘π‘βπππ€π€πΈπΈ
2
Siendo π‘π‘ππππ el espesor del ala de la columna, π‘π‘ππ el espesor de la placa, π‘π‘π€π€π€π€π π βππππ el espesor de la arandela, π‘π‘πππππ‘π‘ el de la tuerca y π‘π‘βπππ€π€πΈπΈ el espesor de la cabeza del tornillo.
7 UniΓ³n viga β poste con chapa frontal
7.1 Rigidez efectiva de una fila de tornillos a tracciΓ³n
Se consideran los cuatro componentes bΓ‘sicos que aportan flexibilidad a la fila ππ de tornillos, mediante cuatro rigideces conectadas en serie (Figura 11):
β’ Rigidez del alma de la columna a tracciΓ³n: ππ3,ππ
β’ Rigidez del ala de la columna a flexiΓ³n: ππ4,ππ
β’ Rigidez de los tornillos: ππ10,ππ
β’ Rigidez de la chapa frontal a flexiΓ³n: ππ5,ππ
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
11
No se considera la rigidez de los siguientes efectos: ala y alma de la viga en compresiΓ³n y alma de la viga a tracciΓ³n, pues la deformaciΓ³n asociada a ellos ya se tiene en cuenta en la deformaciΓ³n de la propia viga a flexiΓ³n.
Las rigideces consideradas estΓ‘n en serie, por lo que su rigidez efectiva es:
ππππππππ,ππ =1
1ππ3,ππ
+ 1ππ4,ππ
+ 1ππ5,ππ
+ 1ππ10,ππ
βrk3,r
hr
Ο
Ο
k4,r k5,rk10,r Fr
k1 k2
Figura 11. Modelo de rigidez de una fila de tornillos
7.2 Rigidez equivalente de un grupo de filas de tornillos a tracciΓ³n
Se considera ahora un grupo de filas de tornillos, cada una de las cuales tiene una rigidez eficaz de valor ππππππππ,ππ, y estΓ‘ situada cada una a una distancia βππ del centro de compresiones (Figura 12).
En el caso de 2 o mΓ‘s filas de tornillos, puede despreciarse la flexibilidad de cualquier fila de ellos, siempre que se desprecie asimismo la flexibilidad del resto de las filas mΓ‘s cercanas al centro de compresiΓ³n.
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
12
βr
hrΟ
Frkeff,r
k1 k2
Figura 12. Modelo de rigidez de un grupo de filas de tornillos
La deformaciΓ³n en la fila de tornillos ππ es:
Ξππ = βππππ
Esta ecuaciΓ³n implica que la cinemΓ‘tica de la deformaciΓ³n es la correspondiente a una placa rΓgida, pues su deformaciΓ³n ya ha sido considerada en el tΓ©rmino ππ5.
La fuerza en la fila de tornillos ππ es:
πΉπΉππ = ππππππππ,ππ πΈπΈ Ξππ = ππππππππ,ππ πΈπΈ βππ ππ
Se busca sustituir el grupo de filas de tornillos por una rigidez equivalente ππππππ, situada a una distancia π§π§ππππ del centro de compresiones (brazo de palanca equivalente), de tal manera que produzca la misma fuerza resultante y el mismo momento.
La deformaciΓ³n en la rigidez equivalente es:
Ξππππ = π§π§ππππ ππ
La fuerza en la rigidez equivalente es:
πΉπΉππππ = ππππππ πΈπΈ Ξππππ = ππππππ πΈπΈ π§π§ππππ ππ
Igualando esta fuerza equivalente a la suma de las fuerzas en las filas de tornillos:
πΉπΉππππ = ππππππ πΈπΈ π§π§ππππ ππ = οΏ½πΉπΉππ = οΏ½ππππππππ,ππ πΈπΈ βππ ππ
ππππππ π§π§ππππ = οΏ½ππππππππ,ππ βππ
Esta ecuaciΓ³n proporciona la rigidez equivalente de la uniΓ³n (Figura 13), a falta de conocer el brazo de palanca equivalente:
ππππππ =βππππππππ,ππ βππ
π§π§ππππ
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
13
El momento de la fuerza en la rigidez equivalente es:
ππππππ = πΉπΉππππ π§π§ππππ = ππππππ πΈπΈ π§π§ππππ2 ππ
Igualando este momento a la suma de los momentos de las fuerzas en las filas de tornillos:
ππππππ = ππππππ πΈπΈ π§π§ππππ2 ππ = οΏ½πΉπΉππ βππ = οΏ½ππππππππ,ππ πΈπΈ βππ2 ππ
ππππππ π§π§ππππ2 = οΏ½ππππππππ,ππ βππ2
Sustituyendo ππππππ por su valor y simplificando se obtiene el brazo de palanca de la rigidez equivalente respecto del centro de compresiones (Figura 13):
π§π§ππππ =βππππππππ,ππ βππ2 βππππππππ,ππ βππ
Ο
βeqkeq Feq
zeq
Figura 13. Rigidez equivalente de un grupo de filas de tornillos
7.3 Rigidez equivalente de la uniΓ³n
La rigidez de la uniΓ³n se evalΓΊa mediante la expresiΓ³n general:
ππππ =πΈπΈ π§π§2
ππ β 1ππππ
Esta expresiΓ³n se deduce a continuaciΓ³n, para el caso mΓ‘s general, empleando:
β’ La rigidez equivalente del grupo de filas a tracciΓ³n ππππππ
β’ La rigidez de la zona a compresiΓ³n y cortante, mediante ππ1 y ππ2
β’ El brazo de palanca equivalente de la uniΓ³n π§π§ππππ
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
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Todas las filas de tornillos situadas en la zona a tracciΓ³n estΓ‘n representadas por un muelle de rigidez equivalente ππππππ situado a una distancia π§π§ππππ del centro de rotaciΓ³n (alma inferior).
La deformaciΓ³n de este muelle equivalente que representa a todas las filas a tracciΓ³n es (Figura 14):
Ξππππ =πΉπΉπππππΈπΈ ππππππ
k1 k2
Ο
βeqkeq Feq
zeq
βc
Fc
M
Figura 14. Modelo de rigidez de la uniΓ³n viga β poste con chapa frontal
La zona a compresiΓ³n estΓ‘ modelada con dos muelles en serie que representan la rigidez del alma del pilar: ππ1 es la rigidez del alma del pilar a cortante y ππ2 la rigidez del alma del pilar a compresiΓ³n. Ambos se pueden sustituir por un ΓΊnico muelle a compresiΓ³n con una rigidez equivalente πππΆπΆ:
1ππππ
=1ππ1
+1ππ2
La deformaciΓ³n del muelle de compresiΓ³n es, considerada positiva a compresiΓ³n:
Ξππ =πΉπΉπππΈπΈ ππππ
=πΉπΉπππΈπΈοΏ½
1ππ1
+1ππ2οΏ½
El equilibrio de fuerzas de la secciΓ³n ideal que gira es:
πΉπΉππππ = πΉπΉππ
Esto implica que no existe un axial apreciable en la uniΓ³n. De hecho, lo que se deduce aquΓ es sΓ³lo vΓ‘lido para casos en los que el axial no supera el 5% de la resistencia plΓ‘stica de cΓ‘lculo del perfil de la viga.
El equilibrio de momentos de la secciΓ³n ideal que gira es:
ππ = πΉπΉππππ π§π§ππππ = πΉπΉππ π§π§ππππ
La ecuaciΓ³n de compatibilidad de deformaciones relaciona el giro ππ de la secciΓ³n ideal con las deformaciones de los muelles:
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
15
ππ =Ξππππ + Ξπππ§π§ππππ
Sustituyendo las deformaciones de los muelles:
ππ =1π§π§ππππ
πΉπΉπππππΈπΈοΏ½
1ππππππ
οΏ½ +1π§π§ππππ
πΉπΉπΆπΆπΈπΈοΏ½
1ππ1
+1ππ2οΏ½
Como las dos fuerzas son iguales, se deja en funciΓ³n de una de ellas πΉπΉππππ:
ππ =1π§π§ππππ
πΉπΉπππππΈπΈοΏ½
1ππππππ
+1ππ1
+1ππ2οΏ½
Despejando πΉπΉππππ:
πΉπΉππππ =π§π§ππππ πΈπΈ
οΏ½ 1ππππππ
+ 1ππ1
+ 1ππ2οΏ½Ο
Sustituyendo en la ecuaciΓ³n del momento:
ππ = πΉπΉππ π§π§ππππ =π§π§ππππ2 πΈπΈ
οΏ½ 1ππππππ
+ 1ππ1
+ 1ππ2οΏ½ππ
Por lo tanto, la rigidez inicial al giro del nudo es:
πππ½π½,ππππππ =ππππ
=π§π§ππππ2 πΈπΈ
οΏ½ 1ππππππ
+ 1ππ1
+ 1ππ2οΏ½
Se introduce el coeficiente ππ para tener en cuenta el efecto no lineal:
πππ½π½ =πππ½π½,ππππππ
ππ=
π§π§ππππ2 πΈπΈ
ππ οΏ½ 1ππππππ
+ 1ππ1
+ 1ππ2οΏ½
Los coeficientes de rigidez a emplear en las distintas situaciones se muestran en la Tabla 4, que coinciden con los indicados en la tabla 6.10 de EN 1993-1-8.
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
16
UniΓ³n viga β poste con chapa frontal atornillada
NΓΊmero de filas de tornillos Coeficientes
A un solo lado Una ππ1,ππ2,ππ3,ππ4,ππ5,ππ10
Dos o mΓ‘s ππ1,ππ2,ππππππ
A ambos lados. Momentos iguales y opuestos
Una ππ2,ππ3,ππ4,ππ5,ππ10
Dos o mΓ‘s ππ2,ππππππ
A ambos lados. Momentos diferentes
Una ππ1,ππ2,ππ3,ππ4,ππ5,ππ10
Dos o mΓ‘s ππ1,ππ2,ππππππ
Tabla 4. Coeficientes de rigidez para uniones viga β poste con chapa frontal (EN 1993-1-8)
8 UniΓ³n viga β viga con chapa frontal
En el caso de uniones viga β viga atornilladas con chapa frontal, el procedimiento es el mismo, pero resulta mΓ‘s sencillo pues el nΓΊmero de rigideces involucradas es menor.
La Figura 15 muestra el modelo de rigidez de la uniΓ³n.
h Ο/2
k5,dk10,r
F1
k5,i
Ο/2
zeqΟ/2
keq Feq
Ο/2
Figura 15.Modelo de rigidez de una uniΓ³n viga-viga atornillada con chapa frontal, con una fila de
tornillos (izquierda) y con varias filas (derecha)
La Tabla 5 indica los coeficientes de rigidez a emplear en la expresiΓ³n general de la rigidez de la uniΓ³n para uniones de este tipo. Coincide con la tabla 6.10 de EN 1993-1-8.
UniΓ³n viga β viga con chapa frontal atornillada. Momentos iguales y opuestos Coeficientes
Una fila de tornillos. ππ5,ππ (izquierda), ππ5,πΈπΈ (derecha), ππ10
Dos o mΓ‘s filas de tornillos ππππππ
Tabla 5. Coeficientes de rigidez para la uniΓ³n viga β viga con chapa frontal (EN 1993-1-8)
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
17
La rigidez para el caso de una sola fila de tornillos a tracciΓ³n es:
ππππ,ππππππ =β2 πΈπΈ
οΏ½ 1ππ10
+ 1ππ5,πΈπΈ
+ 1ππ5,ππ
οΏ½
Para el caso general de varias filas de tornillos la expresiΓ³n de la rigidez es:
ππππ,ππππππ =π§π§ππππ2 πΈπΈ
οΏ½ 1ππππππ
οΏ½
9 MΓ©todo simplificado para uniones con dos filas de tornillos
En el caso habitual de uniones con dos filas de tornillos a tracciΓ³n, una en la zona extendida exterior de la chapa frontal y otra bajo el ala, el EC3 permite emplear un mΓ©todo simplificado para determinar la resistencia de la uniΓ³n, que consiste en emplear la misma resistencia para la fila bajo ala (ππ = 2) que para la fila exterior (ππ = 1). De la misma forma es posible emplear un mΓ©todo mΓ‘s sencillo para hallar la rigidez de este tipo de uniones con sΓ³lo dos filas de tornillos.
9.1 UniΓ³n viga β poste
En este caso, el mΓ©todo consiste en (Figura 16):
β’ Calcular la rigidez asociada a la fila de tornillos situada en la chapa extendida ππππππππ,1, como indicado arriba, es decir
ππππππππ,1 =1
1ππ3,1
+ 1ππ4,1
+ 1ππ5,1
+ 1ππ10,1
β’ Suponer para la fila de tornillos situada bajo el ala (ππ = 2) la misma rigidez que para la fila de la chapa extendida ππππππππ,2 = ππππππππ,1.
β’ Emplear como brazo de palanca la distancia desde el centro de compresiones al punto medio entre las dos filas de tornillos π§π§ππππ = 0.5 (β1 + β2).
Esto proporciona una rigidez equivalente:
ππππππ =βππππππππ,ππ βππ
π§π§ππππ=ππππππππ,1 β1 + ππππππππ,2 β2
0.5 (β1 + β2) = 2 ππππππππ,1
β’ La rigidez a compresiΓ³n se evalΓΊa como indicado antes.
β’ La rigidez de la uniΓ³n es:
πππ½π½ =π§π§ππππ2 πΈπΈ
ππ οΏ½ 12 ππππππππ,1
+ 1ππ1
+ 1ππ2οΏ½
La rigidez obtenida de esta forma es inferior a la obtenida con el proceso exacto.
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
18
k1 k2
k3,1 k4,1 k5,1k10,1
k3,1 k4,1 k5,1k10,1
z
Figura 16. Modelo simplificado para uniΓ³n viga - poste con dos filas de tornillos
9.2 UniΓ³n viga - viga
En este caso, el mΓ©todo consiste en (Figura 17):
β’ Calcular la rigidez asociada a la fila de tornillos situada en la chapa extendida ππππππππ,1, como indicado en el apartado 8 para el caso de una fila de tornillos, es decir
ππππππππ,1 =1
1ππ5,ππ,1
+ 1ππ5,πΈπΈ,1
+ 1ππ10,1
β’ Suponer para la fila de tornillos situada bajo el ala (ππ = 2) la misma rigidez que para la fila de la chapa extendida ππππππππ,2 = ππππππππ,1.
β’ Emplear como brazo de palanca la distancia desde el centro de compresiones al punto medio entre las dos filas de tornillos π§π§ππππ = 0.5 (β1 + β2).
Esto proporciona una rigidez equivalente:
ππππππ =βππππππππ,ππ βππ
π§π§ππππ=ππππππππ,1 β1 + ππππππππ,2 β2
0.5 (β1 + β2) = 2 ππππππππ,1
β’ En este caso, no existe rigidez a compresiΓ³n ni cortante en el alma de la columna.
β’ La rigidez de la uniΓ³n es:
πππ½π½ =π§π§ππππ2 πΈπΈ
ππ οΏ½ 12 ππππππππ,1
οΏ½
La rigidez obtenida de esta forma es inferior a la obtenida con el proceso exacto.
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
19
k5d,1k10,1
k5d,1
z
k5i,1 k10,1
k5i,1
Figura 17. Modelo simplificado para uniΓ³n viga β viga con dos filas de tornillos
10 UniΓ³n viga β poste soldada
En el caso de uniones viga β poste soldadas, el procedimiento es el mismo que para las atornilladas, pero resulta mΓ‘s sencillo pues el nΓΊmero de rigideces involucradas es menor.
La Figura 18 muestra el modelo de rigidez empleado, para una uniΓ³n por un lado.
La Tabla 6 indica los coeficientes de rigidez a emplear para esta uniΓ³n en la expresiΓ³n general de la rigidez:
Alma de la columna a cortante, sin rigidizar: ππ1
Alma de la columna a compresiΓ³n, sin rigidizar: ππ2
Alma de la columna a tracciΓ³n, sin rigidizar: ππ3
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
20
k3
k1 k2 M
Figura 18. Modelo de rigidez de una uniΓ³n soldada viga - poste
UniΓ³n viga β poste con conexiones soldadas Coeficientes
Viga a un solo lado del poste ππ1 ππ2 ππ3
Viga a ambos lados del poste. Momentos iguales y opuestos (ππ1 = β) ππ2 ππ3
Viga a ambos lados del poste. Momentos diferentes ππ1 ππ2 ππ3
Tabla 6 Coeficientes de rigidez para una uniΓ³n viga β poste soldada
11 Ejemplos
11.1 Ejemplo 1. UniΓ³n atornillada viga poste
Se trata de una viga IPE 500, atornillada a un poste HEB 340, mediante una chapa frontal con 3 filas de tornillos a tracciΓ³n, una exterior y dos interiores bajo ala (Figura 19). La fila inferior se dedica sΓ³lo a absorber esfuerzo cortante y no se considera en el cΓ‘lculo de rigidez, por su pequeΓ±o brazo de palanca. Tornillos M24 calidad 10.9. Chapa frontal de espesor π‘π‘ππ = 20 ππππ y anchura 240 ππππ. SeparaciΓ³n de las columnas de tornillos π€π€ = 120 ππππ, Material S275.
La Tabla 7 muestra la rigidez equivalente a los distintos efectos, para las tres filas de tornillos a tracciΓ³n.
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
21
w:120
ex :55
16 p1:120
c:110
500
p:70
300a:5
a:8
M24
340
300
21.5
12 200
HEB340
20
IPE 500
Figura 19. Ejemplo 1. UniΓ³n atornillada viga β poste simple
Fila (ππ) ππππ,ππ ππππ,ππ ππππ,ππ ππππππ,ππ ππππππππ,ππ ππππ
1 6.26 47.61 8.91 9.04 2.48 547
2 3.28 24.98 12.76 9.04 1.87 427
3 5.39 41.04 10.31 9.04 2.39 357
Tabla 7. Ejemplo 1. Rigidez equivalente en cada fila
El brazo de palanca equivalente para todas las filas de tornillos a tracciΓ³n resulta ser:
π§π§ππππ =βππππππππ,ππ βππ2 βππππππππ,ππ βππ
= 461.1 mm
La rigidez equivalente de todas las filas de tornillos a tracciΓ³n resulta ser
ππππππ =βππππππππ,ππ βππ
π§π§ππππ= 6.53 mm
La anchura eficaz del poste a compresiΓ³n usada en el cΓ‘lculo de resistencia a compresiΓ³n es:
ππππππππ,ππ,π€π€ππ = 304.8 mm
El canto del alma del poste (zona recta del alma) es: ππππ = 243 mm, y el espesor del alma del pilar es π‘π‘π€π€ππ = 12 mm.Con estos valores, la rigidez del alma del poste a compresiΓ³n es:
ππ2 =0.7 ππππππππ,ππ,π€π€ππ π‘π‘π€π€ππ
ππππ= 10.54 mm
El Γ‘rea a cortante del pilar es π΄π΄ππππ = 5609 ππππ2. El parΓ‘metro de transformaciΓ³n usado para calcular la resistencia a cortante del alma del pilar se ha tomado como π½π½ = 1, segΓΊn Tabla 5.4 EN 1993-1-8, para uniΓ³n sΓ³lo por un lado. El brazo de palanca de la uniΓ³n, determinado como indica la Figura 6, es π§π§ = 487 mm.
Con estos valores, la rigidez del alma del poste a cortante es:
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
22
ππ1 =0.38 π΄π΄πππππ½π½ π§π§
= 4.38 mm
La rigidez equivalente de la uniΓ³n en su rama lineal, con πΈπΈ = 210 GPa, es:
πππ½π½,ππππππ =π§π§ππππ2 πΈπΈ
οΏ½ 1ππππππ
+ 1ππ1
+ 1ππ2οΏ½
= 93.7 106 N mrad
Con esta rigidez rotacional, la uniΓ³n sΓ³lo se puede considerar rΓgida al giro si la viga es muy flexible, con una longitud superior a πΏπΏππ = 8.64 ππ y el pΓ³rtico estΓ‘ arriostrado horizontalmente (factor ππππ =8). Si la viga es mΓ‘s corta que 8.64 m, la viga es mΓ‘s rΓgida que la uniΓ³n y se debe considerar en el modelo la rigidez de esta ΓΊltima.
11.2 Ejemplo 2. UniΓ³n atornillada viga poste rigidizada
Se trata de la misma uniΓ³n que en el ejemplo 1, una viga IPE 500, atornillada a un poste HEB 340, pero en este caso el poste se ha rigidizado mediante dos rigidizadores horizontales, alineados con las alas de la viga (Figura 20). Existen 3 filas de tornillos a tracciΓ³n, una exterior y dos interiores bajo ala. La fila inferior se dedica sΓ³lo a absorber esfuerzo cortante y no se considera en el cΓ‘lculo de rigidez, por su pequeΓ±o brazo de palanca. Tornillos M24 calidad 10.9. Chapa frontal de π‘π‘ππ = 20 ππππ y anchura 240 ππππ. SeparaciΓ³n de las columnas de tornillos π€π€ = 120 ππππ, Material S275.
w:120
ex :55
16 p1:120
c:110
500
p:70
300a:5
a:8
M24
16
ds
Figura 20. Ejemplo 2. UniΓ³n atornillada viga β poste rigidizada
La Tabla 8 muestra la rigidez equivalente a los distintos efectos, para las tres filas de tornillos a tracciΓ³n.
Fila (ππ) ππππ,ππ ππππ,ππ ππππ,ππ ππππππ,ππ ππππππππ,ππ ππππ
1 7.04 53.54 8.91 9.04 2.61 547
2 5.94 45.18 12.76 9.04 2.63 427
3 5.39 41.04 10.31 9.04 2.39 357
Tabla 8. Ejemplo 2. Rigidez equivalente en cada fila
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
23
El brazo de palanca equivalente para todas las filas de tornillos a tracciΓ³n resulta ser:
π§π§ππππ =βππππππππ,ππ βππ2 βππππππππ,ππ βππ
= 459.6 mm
La rigidez equivalente de todas las filas de tornillos a tracciΓ³n resulta ser
ππππππ =βππππππππ,ππ βππ
π§π§ππππ= 7.41 mm
Al haber un rigidizador en el poste, la rigidez del alma del poste a cortante es infinita, ππ1 = β.
Al haber un rigidizador en el poste, la rigidez del alma del poste a compresiΓ³n es infinita, ππ2 = β.
La rigidez equivalente de la uniΓ³n en su rama lineal, con πΈπΈ = 210 GPa, es:
πππ½π½,ππππππ =π§π§ππππ2 πΈπΈ
οΏ½ 1ππππππ
+ 0 + 0οΏ½= 328.7 106
N mrad
Se observa un gran aumento de la rigidez rotacional respecto al ejemplo 1, por la presencia de los rigidizadores en el poste.
Con esta rigidez rotacional, la uniΓ³n se puede considerar rΓgida al giro si la viga tiene una longitud superior a πΏπΏππ = 2.46 ππ y el pΓ³rtico estΓ‘ arriostrado horizontalmente (factor ππππ = 8). Incluso si el pΓ³rtico no estΓ‘ arriostrado (ππππ = 25), la uniΓ³n se puede considerar rΓgida si la viga tiene una longitud superior πΏπΏππ = 7.7 ππ.
11.3 Ejemplo 3. UniΓ³n soldada viga poste
Se trata de la misma uniΓ³n que en el ejemplo 1, una viga IPE 500, soldada a un poste HEB 340, sin rigidizadores horizontales en el poste (Figura 21). La garganta de la soldadura del ala de la viga es ππππ = 10 ππππ, y la del alma es πππ€π€ = 6 ππππ. Material S275.
500
IPE 500
HEB 340
a=10
a=6
340
300
21.5
12 200
HEB340
IPE 500
Figura 21. Ejemplo 3. UniΓ³n soldada viga β poste
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
24
El brazo de palanca de la uniΓ³n, determinado como indica la Figura 6, (distancia entre centros de las alas) es π§π§ = 484 mm.
El Γ‘rea a cortante del pilar es π΄π΄ππππ = 5609 ππππ2. El parΓ‘metro de transformaciΓ³n usado para calcular la resistencia a cortante del alma del pilar se ha tomado como π½π½ = 1, segΓΊn Tabla 5.4 EN 1993-1-8, para uniΓ³n sΓ³lo por un lado. Con estos valores, la rigidez del alma del poste a cortante es:
ππ1 =0.38 π΄π΄πππππ½π½ π§π§
= 4.38 mm
La rigidez del alma del poste a compresiΓ³n es:
ππ2 =0.7 ππ βππππ π‘π‘π€π€ππ
ππππ
La altura efectiva de la parte de alma del poste que soporta la tracciΓ³n βππππ, utilizada en el cΓ‘lculo de resistencia de la uniΓ³n, es:
βππππ = π‘π‘ππππ + 2β2 ππππ + 5οΏ½π‘π‘ππππ + πππποΏ½ = 286.8 mm
Siendo ππππ la garganta de la soldadura del ala de la viga al poste y ππππ = 27 mm el radio de acuerdo ala-alma de la columna. El factor de abolladura del alma es ππ = 0.984, para una esbeltez de la zona que puede pandear de valor οΏ½Μ οΏ½πππ β€ 0.742.
El canto del alma del poste (zona recta del alma) es: ππππ = 243 mm, y el espesor del alma del pilar es π‘π‘π€π€ππ = 12 mm.
Con estos valores, la rigidez del alma del poste a compresiΓ³n es:
ππ2 =0.7 ππ βππππ π‘π‘π€π€ππ
ππππ= 9.76 mm
La rigidez de la columna a tracciΓ³n es, para una uniΓ³n soldada:
ππ3 =0.7 βππππ π‘π‘π€π€ππ
ππππ
Con los valores anteriores se obtiene: ππ3 = 9.91 mm
La rigidez equivalente de la uniΓ³n en su rama lineal, con πΈπΈ = 210 GPa, es:
πππ½π½,ππππππ =π§π§2 πΈπΈ
οΏ½ 1ππ1
+ 1ππ2
+ 1ππ3οΏ½
= 114.3 106 N mrad
Se observa un cierto aumento de la rigidez rotacional respecto a la uniΓ³n atornillada no rigidizada, por el aumento del brazo de palanca, y la rigidez a tracciΓ³n ππ3.
Con esta rigidez rotacional, la uniΓ³n sΓ³lo se puede considerar rΓgida al giro si la viga es muy flexible, con una longitud superior a πΏπΏππ = 7 ππ y el pΓ³rtico estΓ‘ arriostrado horizontalmente (factor ππππ =8). Si el pΓ³rtico no estΓ‘ arriostrado (ππππ = 25), la uniΓ³n sΓ³lo se puede considerar rΓgida si la viga tiene una longitud superior πΏπΏππ = 22 ππ.
Rigidez rotacional de uniones entre viga y poste
25
Si en esta uniΓ³n se aΓ±aden rigidizadores horizontales en el poste, alineados, con las alas de la viga, los valores de las tres rigideces involucradas en el cΓ‘lculo ππ1,ππ2,ππ3 resultan ser infinitos, con lo que la rigidez de la uniΓ³n tambiΓ©n se hace infinita.