josé luis rodríguez blanco vibraciones movimiento armónico simple péndulo matemático

José Luis Rodríguez Blanco

VIBRACIONES

Movimiento armónico simple

Péndulo matemático

José Luis Rodríguez Blanco VIBRACIONES y M.A.S. - 2

MOVIMIENTO VIBRATORIO• Partículas que oscilan periódicamente respecto

a una posición de equilibrio.• Sometidos a una fuerza recuperadora de

carácter central• Microscópicamente:

– Muelles, lengüetas, péndulos, resortes, amortiguadores, membranas, etc.

• Microscópicamente:– Vibraciones de átomos en sólidos, en moléculas,

etc.,


MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

• Partículas que oscilan periódicamente con pequeña amplitud

• Sometidas a una fuerza recuperadora proporcional a la separación del punto de equilibrio.

• La trayectoria es rectilínea

• El periodo es independiente de la amplitud


DINÁMICA del M.A.S.La fuerza elástica o recuperadora es proporcional y opuesta al desplazamiento de la posición de equilibrio:

F = - k·x

k = constante de elasticidad; x = elongación


DINÁMICA del M.A.S.

• La fuerza es de naturaleza electromagnética.• La constante de elasticidad, k, es propia del resorte

(naturaleza y tratamientos recibidos). Se mide en N·m -1

F

x+ A A

x : elongación

A : amplitud (elongación máxima)

La pendiente de la gráfica es - k


CINEMÁTICA del M.A.S.

x = A · sen (ωt + φ0 )

Fase: ωt + φ0 ; Fase inicial: φ0

Pulsación o frecuencia angular: ω = 2π/T = 2πν

Periodo: T; Frecuencia: ν

220 xAωvωtcosωA

td

xdv

xωaωtsenωAtd

vda 0

2 2

m

k

π2

1ν

k

mπ2Tωmk 2


CINEMÁTICA del M.A.S.


ENERGÍA en un M.A.S.

• Energía potencial elástica: EK = ½ k·x2

• Energía cinética: Ec = ½ m·v2

• Energía total del oscilador: E0 = EK + Ec = ½ k·A2

x E cinética E potencial

0 Máxima [ ½ m·(vmax) 2] Nula

± A nula Máxima [½ k·A2]

x ½ m·v2 ½ k·x2


E0

-A +A

EK

EC

ENERGÍA en un M.A.S.


Energías y elongación

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

-2,50 -1,50 -0,50 0,50 1,50 2,50

x (m)

E (J)

Ep (J)

Ec (J)

Etot(J)


Energías y tiempo

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00t (s)

E (J)

Ep (J)

Ec (J)

Etot(J)


PÉNDULO SIMPLE• Punto material que oscila sin rozamiento de

un hilo inextensible y sin masa con pequeñas amplitudes

g

L2T 0• Periodo:

– Independiente de la masa– Independiente de la amplitud (para

pequeñas oscilaciones)– Depende de la raíz cuadrada de la

longitud– Depende del inverso de la raíz

cuadrada de la gravedad local


Movimiento oscilatorio

Movimiento oscilatorio

Sistemas ideales(sin rozamiento)

Sistemas reales

Oscilador perfecto sin pérdidas

Movimiento forzado

Movimiento amortiguado


Oscilaciones amortiguada

• Existe una fuerza opuesta al movimiento que lo va frenando

Ecuación: x = A0·e – γt ·sen(ωt + φ0)

vibración amortiguada

-3

-2

-1

0

1

2

3

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00

t (s)x

(m)

• La amplitud disminuye con el tiempo:

A = A0·e – γt

• La frecuencia (y la pulsación) disminuye con la amortiguación

ω2 = ω02 – γ2


Oscilaciones forzadas

• Se aporta energía al mismo ritmo que se disipa

– Resorte de un reloj, impulsos eléctricos de una pila a un

mecanismo, producción de ondas de radio, etc.

• RESONANCIA: Si la frecuencia de la inyección es muy próxima

a la frecuencia propia del sistema, la amplitud se mantiene

constante.

• Si llega con más rapidez de la que tiene en perderse, la amplitud

aumenta mucho (se usa en dispositivos electrónicos este

fenómeno)


ESTUDIO ESTÁTICO DE UN RESORTE

Objetivo: Estudiar el comportamiento de un resorte (dentro del

límite de elasticidad) comprobando que se cumple la ley de

Hooke

Procedimiento: Se suspenden diferentes masas de un resorte

midiendo el alargamiento.

Análisis de los datos: Se tabulan y representan los datos,

estudiándolos gráfica y numéricamente.

Se determinará específicamente la constante del resorte

con su correspondiente cota de error


ESTUDIO DINÁMICO DE UN RESORTE

Objetivo: Estudiar el comportamiento dinámico de un resorte (dentro

del límite de elasticidad), determinando los factores que pueden

influir en en el periodo de oscilación (masa oscilante y amplitud).

Procedimiento: (a) Se suspende una masa , se estira ligeramente y se

suelta dejándola oscilar 10 veces y se mide el tiempo que tarda

en realizarlas, se repite el procedimiento con una amplitud

distinta.

(b) Se suspenden diferentes masas y se hacen oscilar 10 veces

(con una misma amplitud) midiendo el tiempo de oscilación.

(cada tiempo se mide tres veces tomando el valor medio)


Análisis de los datos: Se tabulan y representan los datos,

estudiándolos gráfica y numéricamente.

– Se hallará la ley que relaciona el periodo con la amplitud de la

oscilación

– Se hallará la ley que relaciona el periodo con la masa

oscilante, determinando a partir de ella la constante del

resorte (debe realizarse el análisis de errores).

– Se estudiará específicamente la influencia de la masa

del resorte sobre la ley estudiada

ESTUDIO DINÁMICO DE UN RESORTE


Factores que influyen en el período de un péndulo. Determinación de la gravedad

Objetivo: Estudiar la influencia de amplitud, masa y longitud sobre el

periodo de un péndulo y hallar la gravedad local.

Procedimiento: Se separa la masa de la posición de equilibrio, se

suelta y se mide el tiempo que tarda en dar 10 oscilaciones. Se

repite el procedimiento tres veces. Se halla el periodo.

a) Se separa la masa diversos ángulos, se suelta y se mide el

tiempo

b) Con una amplitud fija se mide el tiempo que tardan en oscilar

diversas masas.

c) Con una amplitud fija, se mide el tiempo que tarda en oscilar

para diferentes longitudes del péndulo.


Factores que influyen en el período de un péndulo. Determinación de la gravedad

Análisis de los datos: Se tabulan y representan los datos, estudiándolos gráfica y numéricamente.

– Comentar la ley que relaciona la amplitud con el

periodo.

– Realizar lo mismo con la masa.

– Hallar la ley que relaciona el periodo con la longitud

(numérica y gráficamente) con su cota de error.

– A partir de la ley anterior, hallar el valor de la

gravedad local y compararla con el valor

bibliográfico. Hallar la correspondiente cota de error

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