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Algebra de Boole y Circuitos Combinatorios

José Ángel Marcano López

C.I. 26.243.992José Angel Marcano López

Jose Angel C.I. 26243992

Algebra booleana. Definición y propiedades

Sobre el álgebra, podemos decir que es la rama de las matemáticas que apela a la generalización de las operaciones aritméticas utilizando signos, letras y números. Estos elementos se encargan de la representación de entidades matemáticas mediante el simbolismo.

El británico George Boole (1815-1864), por su parte, fue un destacado matemático que está considerado como uno de los pioneros en el desarrollo de las ciencias de la computación. Sus aportes teóricos dieron lugar a la especialización que se conoce como álgebra de Boole o álgebra booleana.

Se denomina así en a este matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. Específicamente, el álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1938.

Boole propuso un esquema o sistema para la expresión simplificada de problemas lógicos a través de dos estados (falso o verdadero) mediante un procedimiento matemático. A esta estructura se la denomina álgebra booleana.

A través del sistema ideado por Boole, se utilizan símbolos para el desarrollo de las operaciones lógicas “SI”, “NO”, “O” e “Y” (o “YES”, “NOT”, “OR” e “IF” en inglés), que de este modo pueden esquematizarse. Este es uno de los pilares de la aritmética computacional y de la electrónica.


Circuitos combinacionales o Combinatorios

Un circuito combinacional, como su nombre lo sugiere es un circuito cuya salida depende solamente de la “combinación” de sus entradas en el momento que se está realizando la medida en la salida. Analizando el circuito, con compuertas digitales, que se muestra (ver el diagrama) se ve que la salida de cada una de las compuertas que se muestran, depende únicamente de sus entradas.

La salida F (salida final o total del circuito) variará si alguna de las entradas A o B o las dos a la vez cambian. Los circuitos de lógica combinacional son hechos a partir de las compuertas básicas compuerta AND, compuerta OR, compuerta NOT. También pueden ser construidos con compuertas NAND, compuertas NOR, compuerta XOR, que son una combinación de las tres compuertas básicas

Jose Angel C.I. 26243992 Funciones u operaciones

La operación de los circuitos combinacionales se entienden escribiendo las ecuaciones booleanas y sus respectivas tablas de verdad. Ejemplo de ecuación booleana: F = A . + . B

tabla de Verdad


Sea B un conjunto en el cual se han definido dos operaciones binarias, + y *, y una operación unitaria, denotada ´; sean 0 y 1 dos elementos diferentes de B. Entonces a la sextupla se le llama álgebra de Boole si se cumplen los axiomas de la tabla para elementos a, b y c cualesquiera en el conjunto B: Leyes conmutativas. Leyes distributivas. Leyes de identidad. Leyes de complemento.

El Algebra de Boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados, que designaremos por 0 y 1 y que están relacionados por dos operaciones binarias denominadas suma (+) y producto (.) (la operación producto se indica generalmente mediante la ausencia de símbolo entre dos variables lógicos.)

Propiedades del Algebra de Boole


Funciones booleanas y circuitos

Una función de álgebra de Boole es una variable binaria cuyo valor es igual al de una expresión algebraica en la que se relacionan entre sí las variables binarias por medio de las operaciones básicas. Producto lógico, Suma lógica e Inversión. Se representa una función lógica por la expresión F = f (a, b, c,....); El valor lógico de f, depende de las variables a, b, c,.... Se llama término canónico de una función lógica a todo producto o suma en la cual aparecen todas las variables en su forma directa o inversa. Al primero de ellos se le llama producto canónico (minterminos) y al segundo suma canónica (maxterminos).

Las funciones de conmutación se pueden expresar: de Forma Algebraica, mediante una Tabla de Verdad o en Forma Canónica. La manera más didáctica de representar una función de conmutación es mediante una Tabla de Verdad, ya que en ella se muestran los valores de salida para cada combinación de valor de entrada. Las Tablas de Verdad permiten modelar los Sistemas Combinacionales.


Propiedades de los Circuitos combinatorios

Un circuito combinacional es aquel que está formado por funciones lógicas elementales (Y, O, NAND, NOR, etc.), que tiene un determinado número de entradas y salidas cuyos valores dependen exclusivamente de los adoptados por las entradas. Propiedades del Algebra de Boole sobre los circuitos combinatorios

Leyes y Propiedades Asociativas y Conmutativas

Leyes y Propiedades Distributivas e Identidad


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